动点产生的等腰三角形

动点产生的等腰三角形【知识概要】动态几何题是中考“压轴题”的亮点之一。

这类题型的信息量大，经常把数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形、函数与面积等联系在一起。

解题时要用运动和变化的眼光去观察、思考、研究问题，把握图形运动、变化的全过程，综合运用函数、方程、分类讨论、数形结合等数学思想去解决问题。

【典例精讲】一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形例1，如图（1），已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。

点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。

（1）求直线的解析式。

（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。

（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？图（1）解：（1）过程略，答案：的解析式为（2）过程略，答案：=（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向这类问题首先要弄清楚对于△PCQ而言，那些是顶点是动点，那些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的，所以我们在图（1）上标出了△PCQ的动点（P、Q）和定点（C），以及P、Q的运动方向，由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。

②画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“动”中取“静”）按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，⊿PCQ 的三边两两分别相等，如图①QP=QC，②CP=CQ，③PC=PQ，这个过程需要读者在备用图中试画。

只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。

③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程根据题意我们可知，很多和问题有关的边长都可以用时间的式子表示出来，PC=，CQ=，建立等式模型时，我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相似，但利用以上的方法所需的基本图形是直角三角形，所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。

如图①，当QC=QP，过Q作QD⊥轴于D，D点为PC中点，则CD=PC=，图形中可确定三边的Rt⊿BOC，恰好这个直角三角形与我们把等腰三角形QPC分割出来的R t⊿QDC公共∠BCO，根据“A”型相似或平行相似，则⊿QDC∽⊿BOC，，即，解得如图②，当CP=CQ时，这时CP与CQ正好也在∠BCO的两边上，，解得如图③，当PC=PQ时，过P作PE⊥于E，则CE=CQ=，这时分割出的Rt⊿PEC 与已知的Rt⊿BOC仍然公共∠BCO，并形成斜“A”型相似，则⊿PEC∽⊿BOC，，即，解得，综上所述，当，或5，或时，（都满足），⊿PCQ为等腰三角形【总结】以上题目是动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。

解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。

此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。

【练习】如图（2），在梯形中，∥,,,,图（2）动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（1）求的长。

（过程略，）（2）当∥时，求的值。

(过程略，)（3）试探究：为何值时，为等腰三角形。

解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（2）中完成）②画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图①②③中完成）③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：此问所需要确定三边的直角三角形，目标就锁定到梯形分割出右边的这个直角三角形，这个三边都可以求出的直角三角形还与动态公共∠C，可利用案例一的讨论方法求出相应的时间，注意这题中M、N两个动点的速度不一样了，此问答案为当、或时，为等腰三角形，过程请读者自行完成。

例2，如图（3），直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A 作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；（过程略，）(2)当为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(过程略，)(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将的面积和周长同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；（过程略，不存在）(4)探究：为何值时，为等腰三角形？解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向由题意可知Q、M、N三点在同一条直线上，M、N随着Q点的移动而移动②画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态的三种情况，如图①、②、③③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程此问所用到的方法和案例1有所不同，这时只知道P、Q两个动点的速度，所以动态的CM边不能直接用的式子表示出来，此题的PC=，CN=，接下来就要围绕者PC，CN两边来建立方程。

如图①，当MP=MC，而M N⊥PC，则N点为PC中点，有PC=2NC，有解得：=如图②，当CM=CP时，CM=CP=，CN=，而由图中可以知R t⊿MNC与Rt⊿ABC公共∠ACB，根据“A”型相似或平行相似，，，解得：如图③，当PM=PC时，PM=PC=，则PN=C N－PC=，R t⊿MNC与Rt⊿ABC 公共∠ACB，本应该利用这种平行相似关系建立方程，可R t⊿MNC只有一边CN可以由表示出来，只有利用其它方法建立等式，由上可知R t⊿MNP中的PM、PN都可以用表示出来，只差最后一边MN没有用表示出来，这里刚好可以利用R t⊿MNC与Rt⊿ABC相似把MN也用表示出来，,,则MN=，最后我们利用在R t⊿MNP中存在勾股定理，完成建立方程的步骤，,，解得（-1舍）综上所述当、或时，为等腰三角形二、两动点在两条平行线上同向运动，另一个动点在另一边上运动的等腰三角形问题例3，如图（4），在Rt△ABC中，∠A＝90?，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC 的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．（1）求点D到BC的距离DH的长；(过程略，)（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围，过程略，）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向由题意可知，点Q随点P向右移动而向右平行移动，而点R又随Q的移动而移动。

②画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态的三种情况，如图①、②、③案例3（3）图①案例3（3）图②案例3（3）图③③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程根据题意我们可知，，PQ=，BQ＝x，RQ=，建立等式模型时，和案例1相同，我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。

如图①，当PQ=PR，过P作PM⊥RQ于M，M点为RQ中点，则QM=RQ==，由题意可知∠1+∠2=90°，∠C+∠B=90°，∠2=∠B，则∠1=∠C，即Rt⊿QMP∽Rt⊿CAB，，即，解得如图②，当QP=QR时，=，解得如图③，当RP=RQ时，过R作RN⊥PQ于N，则NQ=PQ=，∠NQR+∠RQC=90°，∠RQC +∠C=90°,则∠NQR=∠C，则Rt⊿QNR∽Rt⊿CAB，，即，解得，综上所述，当为，或6，或时，⊿PQR为等腰三角形。

练习：如图（5），在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.（1）求点到的距离；(过程略，到的距离为)（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.①当点在线段上时，如图（6），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；（过程略，的周长=）②当点在线段上时，如图（7），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（7）中完成）②画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图①②③中完成）③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：当点N在线段DC上运动时，⊿PMN的形状发生改变，但⊿MNC恒为等边三角形。

过E作EG⊥BC于G，PM=EG=，GM=EP=，MN=NC=MC=5-，此问用到的方法与案例3类似，只不过这题∠B的度数更为特殊，由等腰三角形分解为直角三角形就为30°的直角三角形，所以用锐角三角函数比相似更容易建立方程，此问答案为当、或时，⊿PMN为等腰三角形，过程请读者自行完成。

三、两动点在同一直线上运动，另一动点在另一边上运动的等腰三角形问题例4，如图（8），在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（过程略，t =）（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（过程略，S=174）（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向点P、F同向向x轴右移动，点Q在与x 轴平行的BC上向左移动②画出动态三角形形成等腰三角形的截图③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：此题由于动态△PQF的三边任何时候都可以表示出来，所以分析②可以忽略，直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相似与勾股定理），令其两两分别相等建立方程。

由题意可知QB=t，OP=2t，可推到出AF=2t，进而PF=15-2t+2t=15，QP==，QF==①当PQ=PF时，则=15，解得或②当QP=QF时，则=，解得③当FQ=FP时，则=15，解得或（舍）综上所述，当，，，时，△PQF是等腰三角形．【课堂练习】1.（2010年闸北模拟）如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MPQN MN=，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图72. 如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1【解析】（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的： 设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±． 此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图53.如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由 8S S S S =--=A R P A C P P O R△△△梯形CORA ，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6． 因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7． 在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在P A 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当P A ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2c o s A Q A P A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7【课后作业】 1.解方程（组） (1)3(3)ax x =-(2)22560;8x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩ (3)10351521x y x y x y x y⎧+=-⎪+-⎪⎨⎪-=-⎪+-⎩2. 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1【解析】(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m xx y-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2. 如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值 （3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2【解析】（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 所经过的路径长为54π． 考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7。