动点问题与等腰三角形
专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)
专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。
等腰三角形中的动点问题讲义
等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．，这是等腰三角形的重要性质． 2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．尝试构造等腰三角形． 3. 分类讨论的类型：分类讨论的类型：①定义法则．①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等．，边（底边与腰）等． ③位置不确定．③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点：分类讨论题目解题要点：①辨识类型；①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．AO EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．的长．AB ECD3. 如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD ．FDCBA4. 如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F ．求证：EC平分∠DEF ．GEB F CDA5. （1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6. 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7. 已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8. 在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10. 若等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11. 已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为30º，请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．等腰三角形顶角的度数．30°lA B13. 如图，在Rt △ABC 中，中，∠∠ACB =90°，∠ABC =60°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，找出所有符合条件的点P ．A B C三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1. 证明略（提示：连接BC ，证明AC =BC ，AB =BC ）2. 10cm （提示：延长CE 交BA 的延长线于点F ，证明BD =2CE ）3. 证明略（提示：延长CF 到E ，使CF =EF ，连接BE ，证明，证明△AFC ≌△BEF ，再证明BE =BC ） 4. 证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD ⊥EC ，再证明ED =CD ，利用平行导角），利用平行导角） 5. （1）-11，13（2）4 （3）1，-36. 120°或20°7. 28. 1cm 或5cm9. 65°或115° 10. 8cm 11. 8cm 或163cm12. 作图略作图略 13. 作图略作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________． 3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ．求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-5 2．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠FAD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ）FCGEDBA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ． 求证：DE =DF ．15. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：BM =ME ．16. 如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE 平分∠ADB ，AF =FC ，连接AD ． 求证：BD =CD ．FB EADC17. 若4x 2-axy +16y 2是完全平方式，则a =_________．18. 在直线l 上任取一点A ，截取AB =8cm ，点C 为AB 中点，截取CD =5cm ，则线段AD 的长为______________．19. 若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为M DC B AEFD CB AE______________． 20. 已知一等腰三角形的三边分别是5x -3，3x +3，27，则x =__________．21. 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________． 22. 已知等腰三角形的周长为24cm ，两边的差为3cm ，则底边长为__________．23. 在已知直线l 上找一点C ，和直线外的A ，B 两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l 上找出所有符合条件的点C ．BAl【参考答案】1. 证明略（提示：延长AD 到H ，使DH =AD ，连接BH ，证明，证明△BHD ≌△CAD ，导出AB =AC ，再证明△BED ≌△CFD ） 2. 证明略（提示：连接BD ，利用“三线合一”，利用“三线合一”证明∠DBE =∠E =30°） 3. 证明略（提示：证明AD =DC ，AD =BD ） 4. ±16 5. 1cm 或9cm 6. 80°或40° 7. 6或8 8. 60°或120° 9. 10cm 或6cm10. 点C 有5个，作图略个，作图略特殊三角形（讲义）一、知识点睛1．等边三角形．等边三角形①定义：①定义： 的三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形． ②判定：②判定： 的等腰三角形是等边三角形．的等腰三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形．③性质：等边三角形等边三角形 、 ． 2．等腰直角三角形．等腰直角三角形①定义：①定义：有一个角是有一个角是有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． ②判定：②判定： 的三角形是等腰直角三角形．的三角形是等腰直角三角形． ③性质：等腰直角三角形等腰直角三角形 ， ． 3．直角三角形．直角三角形 性质：性质：． ．ACB30°CBD A二、精讲精练1. 如图，以BC 为边在正方形ABCD 内部作等边△PBC ，连接AP ，DP ，则∠APD =_____________．PB DC AGAB EFC M N第1题图题图 第2题图题图2. 如图，点C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ，交AN 于点G ，连接EF ．有如下结论：①AN =BM ；②CE =CF ；BCABCA③EF ∥AB ；④∠NGF =60°．其中，正确结论有__________．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°，若BE =6cm ，DE =2cm ，则BC =________．BE DCA4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =60°，∠BCD =120°．求证：BC +DC =AC ．DCBA5. 已知：在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点．的中点．（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的动点，且BE =AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF 的面积是否变化，证明你的结论；的面积是否变化，证明你的结论； （3）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE =AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．D CEB AF6. 现有两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．的形状，并说明理由．MBEDCA7. 如图，在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ，则以下结论中：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ； ④AN :AB =AM :AC ．正确的有（．正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】 一、精讲精练1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；③三边都相等，三个内角都是60°． 2．①直角；②有两个角是45°；③两直角边相等，两底角都是45°． 3．30°角所对的直角边是斜边的一半．角所对的直角边是斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、精讲精练1． 150°ACNP MB2． ①②③④①②③④ 3． 8cm 4． 证明：如图，延长BC 到E ，使CE =CD ，连接DE ，BD ．∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形为等边三角形 ∴DC =DE ，∠2=60° ∵AB =AD ，∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形为等边三角形 ∴AD =BD ，∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△BDE （SAS ） ∴AC =BE ∵BE =BC +CE=BC +DC ∴BC +DC =AC5． （1）略；）略；（2）四边形AEDF 的面积保持不变，S =12ABC S D（3）△ABC 仍为等腰直角三角形仍为等腰直角三角形 6． △EMC 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 7． C321E A B C D特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠BED 的度数为________．B C EADOAB C DE第1题图题图 第2题图题图2. 如图，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于点O ，连接BC ，则∠BOC =__________．3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =DC ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．是等边三角形．FA B C DE4. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．D GA B CF E5. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高，F为BC 的中点．连接DE ，DF ，EF ．求证：∠FED =∠FDE ．FAB C DE6. 纳米技术（nanotechnology ）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（ ）米．（保留两个有效数字）留两个有效数字）A ．3.9×10-1B ．3.9×10-10C ．4.0×10-10D ．4.0×10-17. 如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是（的值是（ ） A ．2.5 B ．4.5 C ．5D ．7 图2图1y 102 m xABC DP8. 在△ABC 中，AB =6，AC =4，则中线AD 的取值范围是______．【参考答案】1．45° 2．120° 3．证明：如图，连接AC ∵∠B=∠D =60°，AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60° ∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠FAD 在△EAC 和△FAD 中FEDCBAACE D AC AD EAC FAD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△EAC ≌△FAD （ASA ） ∴AE=AF ∴△AEF 是等边三角形是等边三角形 4．证明：连接DE ∵AC=BC ，∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°，AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△AEF ≌△DEG （ASA ）∴EG =EF5．证明：∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点的中点∴EF =12BC ，DF =12BC∴∠FED =∠FDE6．C 7．B8．15AD <<321E FCBAGD 第3题图题图第4题图题图FA B CD E特殊三角形随堂测试题 姓名________1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是BC 边上的一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，连接AD ，AE ，DE ．点F 为DE 中点，连接AF ，CF ． 求证：（1）AD =AE ；（2）AF =CF ．FED CBA【参考答案】略轴对称的实际应用（讲义）一、知识点睛1．折叠问题：．折叠问题：（1）性质：折叠是________变换，_________________为对称轴，折叠前后的图形___________，对应边相等，对应角相等．，对应边相等，对应角相等． （2）思考步骤：）思考步骤：①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合．①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合． 2．轴对称最值问题：．轴对称最值问题：（1）特征：有定点，有动点，动点在___________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．接组成的线段和（周长）最小．（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l 上找一点P ，使得在直线同侧的点A ，B 到点P 的距离之和AP +BP 最小．最小．lBA二、精讲精练1. 如图，把一张长方形的纸片ABCD ，沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在M ，N的位置上，EM 与BC 相交于点G ，若，若∠EFG =55°，则∠1的度数是_______________．G 1N MFE DCB Aα30°B AD第1题图题图 第2题图题图2. 有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α=________．3. 如图a 是长方形纸带，∠DEF =25°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是________．图c图b图a BCDEFA G F EDC B A G A BCDEF4. 如图所示，一个边长是1cm 的正方形，的正方形，沿一条直线折叠，阴影部分的周长是沿一条直线折叠，阴影部分的周长是_________．MNAB CDE H第4题图题图 第5题图题图5. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则，则 ∠AHB 的度数是__________．6. 如图将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，若长方形ABCD 的周长为46cm ，则△AEF 的周长为__________．A BCD E F7. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最短．的周长最短．ABC PQ8. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边BA ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．BACP9. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 周长最小时，周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为的度数为___________________________．．DCABB A MCD N10. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时四边形PMNQ 的周长最小．周长最小．OA BQP三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．（1）轴对称，折痕所在直线，全等）轴对称，折痕所在直线，全等 2．（1）定直线）定直线 （2）将折线转直）将折线转直 二、精讲精练 1．110°110°2．75° 3．105°105°4．4cm5．75° 6．23cm7．如图所示，以BC 为对称轴作点P 的对称点P ʹ，连接QP ʹ交BC 于点R ，则点R 即为所求．即为所求．RP'QP CBA8．作图略，△PMN 周长的最小值为4 9．120°10．如图所示：点M ，N 即为所求即为所求Q'P'N MP QB AO轴对称的实际应用（随堂测试）1. 点D ，E 分别在等边△ABC 的边AB ，BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1，EB 1分别交边AC 于点F ，G ．若∠BDE =50°，则∠CGE =________．B 1GF EDCBA2. 如图，∠AOB =60°，点P 为∠AOB 内部任意一点，OP =5cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，请画图求解，当△PEF 的周长最小时，点O到EF 的距离是_____．PB OAAEO F B P【参考答案】1．80° 2．2.5cm轴对称的实际应用（作业）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A ʹ处，折痕为CD ，则∠A ʹDB =_______．A ′A DB C BE ADFGC第1题图题图 第2题图题图2. 已知：如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，EF 为折痕．若折叠后∠BCE =30°，BE =2，则矩形纸片的长AB =________，△CEF 的周长为_______________．3. 如图，一牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，且AC =BD ，已知A 到河岸CD 的中点的距离为500米．牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．A B CD4. 如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的角平分线上，OP =10cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是__________．．OPB AP O F EAB5. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法中正确的有_______． ①AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACF 边CF 上的高；⑤AD 是△ACF 的角平分线．的角平分线．6. 已知2x 3+x =2，求2x 6+3x 4+x 2-x +9的值．的值．【参考答案】1．10° 2．6；12 3．最短路程为1000米 4．5cm 5．①③④．①③④ 6．11E F C D B AG H。
动点问题(一)等腰三角形与直角三角形
动点问题（一）等腰三角形与直角三角形 1、已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°若点P 从点A 沿AB 运动，速度是1cm/s 。
当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？
2、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
D C B
A 7 4
3、已知：直线121y +=x 与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线c bx x ++=22
1y 与直线交于A 、E 两点，与轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使的值最大，求出点M 的坐标．
练：如图点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
《动点问题--“两定一动”中等腰三角形的存在性问题》课件
那个点.
如图：
y
B
A
C1
O
C2
C4 x
C3 C5
直角坐标系·动点：
2.如图，点A坐标为(1,1)， 点B坐标为(4,3)，
在坐标轴上取点C，使得△ABC是等腰三角形.
分析：本题与探究二、变式训练一例相比，扩大了点C的
满足范围，坐标轴上取满足条件的点分两类情况讨论，
②当C在y轴上时,设C(0,n),由A(1,1),B(4,3)
解得n=
，故C(0, )
∴AB2=9+4=13,AC2=n2-2n+2, BC2=n2-6n+25
综上所述,存在8个符合条件的点，即
∵△ABC是等腰三角形，故分三种情况讨论.
C(
±
,
)或(2,0)或(6,0)或(
,0)
③当AC=BC时，m2-4m+4=m2+16，解得，m=-3. ∴C(-3,0).
综上所述,C1(2-
,0),C2(2+
O
,0),C3(-2,0),C4(-3,0)符合条件.
A
x
二次函数·动点：
3.如图，己知二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴的一个交点为A(-1,0)，
与y轴交于点B.试问∶在抛物线的对称轴上是否存在点P.使得△PAB是
不变，解答问题.
23
综上所述，(2,0)或(6,0)或 ( 6 ,0)
或（1+ 2 3 ,0）
.
方法总结
几何法:
(1)“两圆-线”作出点;
(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。
4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
全等三角形之动点问题(简单题)
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm.(1)求AB的长;(2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形?二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求：(1)△PAB为等腰三角形的t值;(2)△PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且∠ABM=45。
，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?;(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。
五、相遇问题：因动点产生的相遇问题5.如图，在△ABC中，AB= BC= AC= 12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿△ABC的三边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.(1)点M.N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M.N运动几秒后，可得到等边△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN?如果能，请求出此时M、N运动的时间.六、最值问题：因动点产生的最值问题6.如图K 13一6，点P,Q分别是△ABC的边AC,AB上的定点，请你在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.。
动点问题(等腰三角形问题)
中考数学专题复习研动点问题探究——等腰三角形分类讨论问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态问题。
它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
题型特点：此类问题常集代数、几何知识于一体，数形结合，有很强的综合性。
是河南中招的必考题，且每年都为压轴题，以函数与三角形和四边形结合的题目为主。
如08年为一次函数与三角形相结合，09年为二次函数与等腰三角形相结合，10年为二次函数与平行四边形相结合。
学情分析：1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。
2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。
教学方法：1、教师在教学时引导学生把动态问题变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量” 。
并从特殊位置点着手确定自变量取值范围, 对基本图形进行充分的分析,画出符合条件的各种草图分散难点、降低难度，将复杂问题简单化。
2、专题化，少而精。
如动点问题有等腰三角形、直角三角形、三角形相似、 四边形存在性等问题，这些都需分类讨论，分小专题复习效果更好。
本节课重点来探究动态几何中的第一类型：动点问题——等腰三角形分类讨论问题（一）自主解决（设计意图：为重点研讨作下铺垫）1、在平面直角坐标系中，已知点P （－2，－1）.点T （t ，0）是x 轴上的一个动点。
当t 取何值时，△TOP 是等腰三角形？情况一:OP=OT 情况二:PO=PT T3(-4,0)情况三:TO=TP设计意图：引导学生总结以已知线段为边作等腰三角形时，通常要分三种情况讨论：以已知线段为底或为腰。
且以已知线段为腰时，以该腰不同顶点为顶角顶点有两种情况。
2、如图：已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°)0,5();0,5(21T T -)0,45(4-T(1)点P 从点A 沿AB 边向点B 运动，速度为1cm/s.若设运动时间为t(s)，连接PC,当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？若△PBC 为等腰三角形则PB=BC∴t=3（二）师生互动，探究新知如图：已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°(2)若点P 从点A 沿 射线AB 运动，速度仍是1cm/s.当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？（小组合作交流讨论，根据分类的标准易得到下面四种情况）三、∴t=3或11或7+34或 334时 △PBC 为等腰三角形 设计意图：总结探究动点关键“化动为静，分类讨论，画出符合条件的各种草图”，注意一定要分开画.(三） 动脑创新，再探新知：（两个动点问题 ） 如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．（小组合作交流讨论）分析：（1）如图① ，求出ＢＣ=10A D CB M N（2）由 MNC GDC △∽△求出5017t = 解决动点问题的好助手：数形结合定相似，比例线段构方程（3）当M 、N 运动到ｔ秒时，若⊿MNC 为等腰三角形，须分三种情况讨论：①当NC MC =时，即102t t =-∴103t = ②当MN N C =时，过N 作NE MC ⊥于E 由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t-== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ③当MN MC =时，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t == 132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 总结：直角三角形能用相似解决的问题都能用三角函数法，且用三角函数法针对性更强，更省时间。
动点问题2：函数解析式及等腰(直角)三角形
（1）直接写出D点的坐标； （2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数 关系； （3）当△AEF是等腰三角形时，求y的值．
4.已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中 AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始， 以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始， 沿D—A—B方向，以每秒1个单位的速度向点B运 动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点， 另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过 点N作NP⊥BC于P，交BD于点Q． （1）点D到BC的距离为_________； （2）求出t为何值时，QM∥AB； （3）设△BMQ的面积为S， 求S与t的函数关系式； （4）求出t为何值时， △BMQ为直角三角形。 F
2.如图，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是 （8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别 是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段 CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A 出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t s. ①当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？ ②当t为何值时，PQ⊥OB？ ③当t为何值时，PQ∥AB？ ④当t为何值时， △OPQ是等腰三角形？
1.等边△ABC边长为6，P为BC边上一点， ∠MPN=60°，PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F （ （1 3）如图 ）如图1 3，当点 ，若点P P为 在BC BC的三等分点，且PE⊥AB 边上运动，且∠MPN绕 时，判断△ EPF 的形状； 点P旋转，当 CF=AE=2 时，求PE的长． （2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持 PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
等腰三角形(动点问题)
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
4 P
A
7
B
自主思考 小组合作交流讨论
1、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
D
C
4 P
A
若⊿MNC为等腰三角形，须分三种情况讨论：
①CM=CN
t 10 2t
∴
t 10 3
A
D
N
②NM=NC
cos c EC 5 t NC t
3 =5
B
M HE
C
（图①）
∴
t 25 8
A
D
③MN=MC cos C
FC
1t 2
3
60
∴ t B
MC 10 2t 5
17
N
F HM C
2、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三 角形？
D
30°
A
7P
若△PBC为等腰三角形
C
4
则PB=BC
B
∴t=3
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（2）①ｔ=4
②ｔ=40-16 5
ｔ= 40
13
y 1 x2 4x 2
ｔ= 16 3
1、化动为静，作出符合条件的各种情况的草图 2、分类讨论 3、数形结合 4、用三角形相似或三角函数法或勾股定理建立等量关系
七年级下册数学等腰三角形全等动点问题
七年级下册数学等腰三角形全等动点问题引言等腰三角形是中学数学中常见的一个几何图形，也是初学三角函数的重要基础。
而等腰三角形的全等动点问题则是其重要的数学应用之一，本文将对此进行探讨。
等腰三角形简介等腰三角形是指两边（腰）长度相等的三角形，其顶角顶点到底边中点的距离称为它的高。
等腰三角形中，高线既是中线，也是角平分线，且从顶点到底边中点的距离最短。
等腰三角形全等动点问题等腰三角形全等动点问题是指，当已知等腰三角形ABC的底边AB和高CD时，确定其顶点C的位置，使得其全等于另一个已知的等腰三角形A'B'C'。
该问题可以使用解析几何或向量运算等多种方法求解。
解析几何方法通过解析几何方法，可以将等腰三角形ABC和A'B'C'表示为坐标形式，并列出方程组进行求解。
具体而言，设等腰三角形ABC的顶点坐标为(x1, y1)，底边AB所在直线方程为y=kx+b，高CD所在直线方程为y=-1/kx+d，则有：$$\begin{cases}y=kx+b \\y=-\frac{1}{k}x+d \\x-x_1=k\cdot(y-y_1) \\\frac{x-x_1}{y-y_1}=-\frac{1}{k}\end{cases}$$将其中已知量代入，可得未知量x1和y1的值，从而确定等腰三角形ABC的位置。
向量运算方法通过向量运算方法，可以利用向量的基本运算和向量之间的夹角定义，求解等腰三角形ABC的位置。
具体而言，设等腰三角形ABC的底边AB与坐标轴重合，且长为1，高CD与x轴正方向的夹角为θ，则有：$$\begin{cases}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{A'C'} \\|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{A'C'}| \\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD})=0\end{cases}$$将其中已知量代入，根据向量夹角的余弦值可以解出θ，从而确定等腰三角形ABC的位置。
等腰三角形动点问题分类讨论题型
等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。
比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。
像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。
比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。
假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。
想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。
要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。
在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。
像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。
等腰三角形动点问题探究
《等腰三角形》动点问题动点问题探究播州区泮水中学谭洪康教学设计：一、学习目标：1、概念：等腰三角形：有两边相等的三角形.,2、性质：（1）等腰三角形两底角相等（等边对等角）；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（三线合一）；3、掌握分析动点问题的方法，化动为静；4、掌握数形结合思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法解决动点问题.二、教学重点、难点：教学重点：1、等腰三角形的概念及性质；2、解决动点问题的思路和方法.3、规范书写，提高得分点.教学难点：在动点问题中“怎样化动为静”，“快速准确地找到解决问题的突破口”三、教学内容：中考数学专题复习--等腰三角形动点问题动态问----图形中的点、线、面的运动，构成了数学中的一个新问题．题。
在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
(一)、一个动点：图形中一个动点所形成的等腰三角形问题例1：如图，已知平行四边形ABCD中AB=7cm,BC=4cm,∠A=30°，点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t（s），连接PC，当t为何值时，ΔPBC为等腰三角形？提示：如图，连接PCDC ABP的腰边为等腰以BP、BCΔPBC∴PB=BC 即7-t=4即：t=3所以当t=3s时，ΔPBC为等腰三角形归纳：1、定图形；2、表线段；3、列方程；4、解问题注意：分情况考虑等腰三角形的底和腰如图，已知平行四边形ABCD中，AB=7cm,BC=4cm,∠A=30°，点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
设运动时间为t（s），连接PC，当t为何值时，ΔPBC为等腰三角形？1、如图已知ABCD中，AB=7cm，BC=4cm，∠A=30°DCAB(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
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例一：平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
例二：如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点。
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l 于点H，连结OP，试求△OPH的面积；
②当m=−3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
例三：如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点A（-4，0），B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由.
例四：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线L经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与
抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为，。
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标。
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m)，直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形。
例五：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上.
（1）求直线AE的解析式.
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值.
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴的正方向平移得到抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.。