动点问题与等腰三角形
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例一:平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
例二:如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点。
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.
①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l 于点H,连结OP,试求△OPH的面积;
②当m=−3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F. 是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
例三:如图,在平面直角坐标系中,二次函数交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求面积的最大值;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在,请说明理由.
例四:如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A,B 两点,与y轴交于点C,直线L经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与
抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为,。
(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标。
(2)试探究抛物线上是否存在点F,使?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q,试探究:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形。
例五:如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B 两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.
(1)求直线AE的解析式.
(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值.
(3)点G是线段CE的中点,将抛物线沿x轴的正方向平移得到抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.