动点问题与等腰三角形

例一：平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

例二：如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点。

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l 于点H，连结OP，试求△OPH的面积；

②当m=−3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

例三：如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点A（-4，0），B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由.

例四：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线L经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与

抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为，。

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标。

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m)，直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形。

例五：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上.

（1）求直线AE的解析式.

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值.

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴的正方向平移得到抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.