因动点产生的等腰三角形问题(三)

因动点产生的等腰三角形问题

1、（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB 的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题；分类讨论。

解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）∵抛物线过原点O和点A．B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x

（3）存在，

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），

①若OB=OP，

则22+|y|2=42，

解得y=±2，

当y=2时，在Rt △POD 中，∠PDO=90°，sin ∠POD==，

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P 、O 、B 三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P 的坐标为（2，﹣2） ②若OB=PB ，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2，

故点P 的坐标为（2，﹣2），

③若OP=BP ，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2，

故点P 的坐标为（2，﹣2），

综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣2

），

2、（湖州中考）

如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点。P （0，m ）是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交A B 的延长线于点D 。 ⑴求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； ⑵当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；

⑶设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2），当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动。请直接写出点H 所经过的路径长。（不必写解答过程）

3、（盐城中考）如图，已知一次函数y =-

x +7与正比例函数y = 4

3

x 的图象交于点A ，

且与x 轴交于点B .

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．

A O

C P

B

D M

x y A

O C P

B

D

M

x

y （第24题图）

图1

图2

E

动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不

存在，请说明理由．

【答案】（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +7y=43

x

，解得 ⎩⎨⎧x =3

y =4，∴A (3，4) .

令y =-x +7=0，得x =7．∴B （7，0）.

（2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4. 由S △APR =S 梯形COBA -S △ACP -S △POR -S △ARB =8，得 12(3+7)×4-12×3×(4-t )- 12t(7-t )- 1

2t ×4=8 整理,得t 2

-8t +12=0, 解之得t 1=2,t 2=6（舍） 当P 在CA 上运动，4≤t ＜7.

由S △APR = 1

2

×(7-t ) ×4=8，得t =3（舍）

∴当t =2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8. ②当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4. 此时直线l 交AB 于Q 。 ∴AP=（4-t ）2

+32

，AQ=2t ，PQ=7-t

当AP =AQ 时， （4-t ）2

+32

=2(4-t )2

, 整理得，t 2

-8t +7=0. ∴t =1, t =7(舍) 当AP=PQ 时，（4-t ）2

+32

=(7-t )2

,整理得，6t =24. ∴t =4(舍去) 当AQ=PQ 时，2（4-t ）2

=(7-t )2

整理得，t 2

-2t -17=0 ∴t =1±3 2 (舍) 当P 在CA 上运动时，4≤t ＜7. 此时直线l 交AO 于Q 。过A 作

AD ⊥OB 于D ,则AD =BD =4.

设直线l 交AC 于E ，则QE ⊥AC ，AE =RD =t -4，AP =7-t

由cos ∠OAC= AE AQ = AC

AO ，得AQ = 53(t -4)．

当AP=AQ 时，7-t = 53(t -4)，解得t = 41

8.

当AQ=PQ 时，AE ＝PE ，即AE = 1

2AP

得t -4= 1

2(7-t )，解得t =5.

当AP=PQ 时，过P 作PF ⊥AQ 于F AF = 12AQ = 12×5

3(t -4).

在Rt △APF 中，由cos ∠P AF ＝

AF

AP ＝ 35，得AF ＝ 35

AP 即 12×53(t -4)= 35×(7-t )，解得t= 226

43

.