因动点产生的等腰三角形问题(三)

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中考压轴题汇编因动点产生的等腰三角形问题

因动点产生的等腰三角形问题例1 2017年重庆市中考第25题如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由．图1 图2例2 2017年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1(,)a两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心16的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP 的长．图1 备用图例4 2017年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例5 2017年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例6 2017年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1因动点产生的等腰三角形问题答案例1 2017年重庆市中考第25题如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，△FAE与△FDH保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状．思路点拨1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．2．中点F有哪些用处呢联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝23，所以AB＝43．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝3，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝43，由勾股定理，得BD＝213．（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE ＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝12AD．在Rt△ADH中，DH＝12AD．所以AE＝DH．因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．图3 图4 图5（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．因此FM＝1AD，△ACM是等边三角形．2又因为AE＝1AD，所以FM＝EA．2又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6 图7如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8 图9 图10 图11例2 2017年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1a两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心(,)16的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在三种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在三种情况，其中MA ＝MN 和NA ＝NM 两种情况时，点P 的纵坐标是相等的．满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-=+＞214x ．而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4．所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝3此时x ＝OH ＝232．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． ③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为423+．图4 图5考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0,1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x +-=+=+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．思路点拨1．第（2）题BP ＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ ．满分解答（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254EC =．（2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．因此△PDM ∽△QDN ．所以43PM DM QNDN==．所以34QN PM =，43PM QN =．图2 图 3图4①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ．因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=．②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ =，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =．例4 2017年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PH，BO＝CO，得PH＝BH＝2．BO CO所以点P的坐标为(1, 2)．图2、(1,)或(1,0)．（3）点M的坐标为(1, 1)、考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m=)或(1,．此时点M的坐标为③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例5 2017年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P 三点共线．请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC=所以点B的坐标为--．(2,（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B-=-⨯-．解得a=．a(2,--，2(6)所以抛物线的解析式为2(4)=-=．y x x（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y=±当P在(2,时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以22++=．解得124(16y==-y y③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以2222++=+．解得y=-．4(2y y综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)2)y x x =-=-23D ．因此23tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例6 2017年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ 是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x=-+=，得7x=．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图 2 图 3图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况．此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ时，那么12cos AQ A AP ∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．。

动点问题(等腰三角形问题)

word 格式-可编辑-感谢下载支持中考数学专题复习研动点问题探究——等腰三角形分类讨论问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态问题。

它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。

题型特点：此类问题常集代数、几何知识于一体，数形结合，有很强的综合性。

是河南中招的必考题，且每年都为压轴题，以函数与三角形和四边形结合的题目为主。

如08年为一次函数与三角形相结合，09年为二次函数与等腰三角形相结合，10年为二次函数与平行四边形相结合。

学情分析：1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。

2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。

3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。

教学方法：1、教师在教学时引导学生把动态问题变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量” 。

并从特殊位置点着手确定自变量取值范围, 对基本图形进行充分的分析,画出符合条件的各种草图分散难点、降低难度，将复杂问题简单化。

2、专题化，少而精。

如动点问题有等腰三角形、直角三角形、三角形相似、四边形存在性等问题，这些都需分类讨论，分小专题复习效果更好。

本节课重点来探究动态几何中的第一类型：动点问题——等腰三角形分类讨论问题（一）自主解决（设计意图：为重点研讨作下铺垫）1、在平面直角坐标系中，已知点P （－2，－1）.点T （t ，0）是x 轴上的一个动点。

当t 取何值时，△TOP 是等腰三角形？情况一:OP=OT 情况二:PO=PT T3(-4,0)情况三:TO=TP设计意图：引导学生总结以已知线段为边作等腰三角形时，通常要分三种情况讨论：以已知线段为底或为腰。

且以已知线段为腰时，以该腰不同顶点为顶角顶点有两种情况。

2、如图：已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°)0,5();0,5(21T T -)0,45(4-T(1)点P 从点A 沿AB 边向点B 运动，速度为1cm/s.若设运动时间为t(s)，连接PC,当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？若△PBC 为等腰三角形则PB=BC∴t=3（二）师生互动，探究新知如图：已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°(2)若点P 从点A 沿射线AB 运动，速度仍是1cm/s.当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？（小组合作交流讨论，根据分类的标准易得到下面四种情况）三、∴t=3或11或7+34或 334时 △PBC 为等腰三角形设计意图：总结探究动点关键“化动为静，分类讨论，画出符合条件的各种草图”，注意一定要分开画.(三）动脑创新，再探新知：（两个动点问题）如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． A DC B MN（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．（小组合作交流讨论）分析：（1）如图① ，求出ＢＣ=10（2）由 MNC GDC △∽△求出5017t = 解决动点问题的好助手：数形结合定相似，比例线段构方程（3）当M 、N 运动到ｔ秒时，若⊿MNC 为等腰三角形，须分三种情况讨论： ①当NC MC =时，即102t t =-∴103t = ②当MN NC =时，过N 作NE MC ⊥于E 由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t-== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ③当MN MC =时，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t == 132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形总结：直角三角形能用相似解决的问题都能用三角函数法，且用三角函数法针对性更强，更省时间。

中考数学压轴题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题

1.2因动点产生的等腰三角形问题例1 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PHBO CO=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．图2（3）点M的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m=此时点M的坐标为或(1,．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例2 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B 以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC=所以点B的坐标为(2,--．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B (2,--，2(6)a --⨯-．解得a =．所以抛物线的解析式为2(4)y x x x x =-=．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得y =±当P 在时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(16y ++=．解得12y y ==-③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(2y y ++=+．解得y =-．综合①、②、③，点P 的坐标为(2,-，如图2所示．图2 图3 考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由2(4)2)y x x x =-=-，得抛物线的顶点为D ．因此tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例3 2011年湖州市中考第24题如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2 动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”，拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例4 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x = 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1 动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R 由B 向O 运动，从图象中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ ，可以体验到，P 在OC 上时，只存在AP ＝AQ 的情况；P 在CA 上时，有三个时刻，△APQ 是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C P P O RC O R A S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况．此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cos=⋅∠来求解．AP AQ A例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN ∶NP 的值要根据点N 的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便． 2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒．在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MPQN MN=，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=．(Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例6 2010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1 动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E 在BC 上运动，观察y 随x 变化的函数图象，可以体验到，y 是x 的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E 是BC 的中点时，y 取得最大值．双击按钮“m ＝8”，拖动E 到BC 的中点，可以体验到，点F 是AB 的四等分点．拖动点A 可以改变m 的值，再拖动图象中标签为“y 随x ” 的点到射线y ＝x 上，从图形中可以看到，此时△DCE ≌△EBF ．思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m xx y-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x xm m=-+221116(8)(4)x x xm m m=--=--+，那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC 的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x xm m=-+总有一个根8x m=-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例7 2009年重庆市中考第26题已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连结DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1 动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到． 2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长． 3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1．由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512,56．如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DADNFA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ．因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。

因动点产生的等腰三角形答案

1.1因动点产生的等腰三角形答案1．如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ 是等腰三角形？分析：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，根据等腰三角形得出方程12﹣2x=x，求出方程的解即可．解答：解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，∴∠B=90°，∵△BPQ是等腰三角形，∴BP=BQ，∴12﹣2x=x，解得：x=4，即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．点评：本题考查了矩形性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据题意得出方程．2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P有几个？并求出相应等腰三角形的腰长．分析：连接DM，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：PM=CM或CM=PM，然后根据勾股定理进行分析计算．解答：解：根据已知得AD∥BM，AD=BM=6，则四边形ABDM是平行四边形．又∠ABC=90°，根据勾股定理，得CD=10．①作CM的中垂线交CD于P，则△PMC是等腰三角形，此时，CP=5；②当CP=CM=8时，△PMC是等腰三角形；③当点P在AD上，DP=2时，CM=PM=8；④当点P在AB上，BP=2时，CM=PM=8；故有四个．3．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是（﹣8，0），点B的坐标（0，6），BC=10．（2）当点P在什么位置时，△ APQ≌△ CBP，说明理由．（3）当△ PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．分析：（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．（3）分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．解答：解：（1）∵y=x+6∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=﹣8，即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），∵C点与A点关于y轴对称，∴C的坐标是（8，0），∴OA=8，OC=8，OB=6，由勾股定理得：BC==10，（2）当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP，理由是：∵OA=8，P（2，0），∴AP=8+2=10=BP，∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，∴∠AQP=∠BPC，∵A和C关于y轴对称，∴∠BAO=∠BCP，在△ APQ和△ CBP中，，∴△ APQ≌△ CBP（AAS），∴当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP．（3）分为三种情况：①当PB=PQ时，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，∴PB=PQ，即此时P的坐标是（2，0）；②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP，∵∠BAO=∠BPQ，∴∠BAO=∠BQP，而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴此种情况不存在；③当QB=QP时，则∠BPQ=∠QBP=∠BAO，即BP=AP，设此时P的坐标是（x，0），∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，∴（x+8）2=x2+62，解得：x=﹣，即此时P的坐标是（﹣，0）．∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（﹣，0）．故答案为：（﹣8，0），（0，6），10．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．4．（2010•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A的坐标．（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况．分析：（1）利用直线y=x+1与交于点A，直接联立函数解析式求出即可；（2）当△ CBD为等腰三角形时，有三种情况当BD1=D1C时，当BC=BD2时，当CD3=BC分别得出即可；（3）以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．解答：解：（1）由题意，得：，解得：，∴点A的坐标为（，）．（2）当△ CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，∴x=﹣1，点B的坐标为（﹣1，0）．在y=﹣+3中，当y=0时，﹣x+3=0，∴x=4，点C的坐标为（4，0）．∴BC=5．①当BD1=D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴，垂足为点M1，则BM1=M1C=BC．∴BM1=，OM1=﹣1=，x=，∴y=﹣×+3=，点D1的坐标为（，）．②当BC=BD2时，过点D2作D2M2⊥x轴，垂足为点M2，则D2M22+M2B2=D2B2．∵M2B=﹣x﹣1，D2M2=﹣x+3，D2B=5，∴（﹣x﹣1）2+（﹣x+3）2=52，解得：x1=﹣，x2=4（舍去）．此时，y=﹣×（﹣）+3=，∴D2的坐标为（﹣，），③当CD3=BC时，CB=5，CD3=5，此时D3坐标为（0，3），当CD4=BC时，BC=CD4，=5，M4D4=OD3=3，CO=CM4=4，则D点坐标为（8，﹣3）．（6分）由此可得点D的坐标分别为D1（，），D2（﹣，），D3（0，3），D4（8，﹣3）．（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及两直线交点的求法以及平行四边形的判定等知识，注意分类讨论思想的应用不要漏解．。

中考专题因动点产生的等腰三角形问题

1.2因动点产生的等腰三角形问题例1 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．例2 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．例3 2011年湖州市中考第24题如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2 思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．图3 图4 图5第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例4 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．图2 图3 图4图5 图6 图7例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B 方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．图2 图3 图4图5 图6 图7例6 2010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C 重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．图2 图3 图4例7 2009年重庆市中考第26题已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DE⊥DC，交OA 于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC 交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为56，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1 图2思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求F A的长．3．将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标．图3 图4 图51.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．图2 图3例2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是k y x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．图1 图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线k y x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5例3 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1 思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了．图2 图3 图4例4 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长．3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长．4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =．如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图1思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．图2 图31.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 2012年福州市中考第21题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．图1 图2 图3思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．图4 图5 图6例 2 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC 于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1思路点拨1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C 、Q 、E 、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．．图2 图3例 3 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．思路点拨1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO ＝MA 确定点M 在OA 的垂直平分线上，并且求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C 的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m ．图2 图3 考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为727(,)416．图4例4 2011年江西省中考第24题将抛物线c1：233y x=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．3．根据矩形的对角线相等列方程．图2 图3 图4例5 2010年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m 的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．图3 图4 图5考点伸展在本题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图6，Q(2,－2)；如图7，Q(－2,2)；如图8，Q(4,－4)．图6 图7 图8例6 2010年山西省中考第26题在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．图3 图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5 图6例 7 2009年福州市中考第21题如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB 于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x 的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1思路点拨1．如何用含有x的式子表示平行四边形的边PQ，第（1）题作了暗示．2．通过计算，求出平行四边形面积最大时的x值，准确、规范地画出此时的图形是解第（3）题的关键，此时点E是BC的中点，图形充满了特殊性．3．画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点H的圆，过点C的圆．图2 图3图4 图5 图6图7 图8 例8 2009年江西省中考第24题如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图1思路点拨1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．2．当四边形PEDF 为平行四边形时，根据DE =FP 列关于m 的方程．3．把△BCF 分割为两个共底FP 的三角形，高的和等于OB ．图2 图3 1.5 因动点产生的梯形问题例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73t a n =∠D P E ，求四边形BDEP 的面积．图1思路点拨1．这道题的最大障碍是画图，A 、B 、C 、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D 、P 两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE 的正切值中的7的几何意义就是D 、P 两点间的垂直距离等于7，那么点P 向右平移到直线x ＝3时，就停止平移．图2 图3例2 2012年衢州市中考第24题如图1，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A (1，2)，过A 、C 两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．图2 图3例3 2011年北京市海淀区中考模拟第24题已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．备用图图1 图2例 4 2011年义乌市中考第24题已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图2思路点拨1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．图3 图4 图5第 21 页共 23 页例5 2010年杭州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x +，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时．① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1思路点拨1．第（1）题求点M 的坐标以后，Rt △OCM 的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t 与x 的比例式，从而得到t 关于x 的函数关系．3．探求自变量x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况．4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH 与MO 的长度比．图2 图3 图4图5 图6 图7例 6 2010年上海市奉贤区中考模拟第24题已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；第 22 页共 23 页 (2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．过△AOD 的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形．3．用抛物线的解析式可以表示点M 的坐标．图2 图3 图4例7 2009年广州市中考第25题如图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．根据△ABC的面积和AB边上的高确定AB的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示．2．数形结合，根据点A、B、C的坐标确定OA、OB、OC间的数量关系，得到△AOC∽△COB，从而得到△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB是它的外接圆直径，再根据对称性写出m的取值范围．3．根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D有两个，但是求点D的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些．图2 图3 图4第23 页共23 页。

(word完整版)2017年中考专题复习动点产生的等腰三角形问题

0319动点产生的等腰三角形问题1．如图所示，矩形ABCD中,AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A 不重合）,点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．（1)你能求出点A的坐标吗？（2）在x轴上是否存在一点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．3．如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2)且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．（1)求双曲线和直线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形?如果存在,直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3）,与x轴交于点B（4,0）．（1)求抛物线的解析式；（2）连接AB,点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d(d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3)在（2）的条件下，连接AD,是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D 沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s,设P,Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形?（2）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能,说明理由．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,AB=BC=10，AD=16．动点P、Q分别从点D、B同时出发,动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．(1）直接用含t的代数式表示:PA= ；（2）当t= 秒时,PQ∥AB；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由．7．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合）,且保持DE∥BC,以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．(1）试求△ABC的面积；（2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长;（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．8．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A,EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长;若不能,请说明理由．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8，BC=6,CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC 向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时,两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；(2)当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?(3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？10．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）,解答下列问题:（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值?S的最大值是多少?（2）如图乙,连接PC，将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形？11．如图,正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP,过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示)；（2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形?(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变,试求这个定值．12．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P 为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°(1）求ED、EC的长；(2）若BP=2，求CQ的长；(3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形,求BP的长．13．如图，已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1)求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移,在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2017年03月19日马赛的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题(共1小题）1．（2010•济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据题意，结合图形,分情况讨论：①BP为底边;②BP为等腰三角形一腰长．【解答】解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B 为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B 为圆心BC为半径的圆没有交点．故选：C．【点评】本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．二．解答题（共12小题)2．(2016秋•黄州区校级月考）如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．（1）你能求出点A的坐标吗？（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．【分析】（1)利用解方程组可得到A点坐标；（2）需要分类讨论：AP=AO、OA=OP、AP=OP，根据等腰三角形的性质来求点P的坐标．【解答】解:（1)解方程组得或,所以A点坐标为（2，4）；（2)①当AP=AO时，作AB⊥x轴于B点，如图1，当PB=OB时，△AOP是以OP为底的等腰三角形，而A（2,4），所以P点坐标为（4，0）．②当OA=OP时,∵A（2，4),∴OA==2，则P（±2,0）；③当AP=OP时，如图2,过点P作PQ⊥AO于点Q．设P（t,0）．则Q（1，2）．故OA•PQ=OP×4，即×2×=t×4，解得t=5，即（5，0）．综上所述,符合条件的点P的坐标是(4,0)或（2，0）或（﹣2,0）或（5,0）．【点评】本题考查了二次函数综合题，同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时,应有规律的去找不同的解是解题关键．3．（2010秋•本溪月考）如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2）且与x轴、y 轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．(1）求双曲线和直线的解析式;（2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．【分析】(1）根据双曲线y=过点A(1,2)，利用待定系数法，可得双曲线解析式，根据△AOB 的面积为3，可得B点坐标，根据直线过A、B两点,利用待定系数法，可得直线解析式；（2）根据两边相等的三角形是等腰三角形，分类讨论,AB=AP,AB=BP，AP=BP，可得答案．【解答】解：（1）∵双曲线y=过点A（1，2)，∴2=,k=2，双曲线的解析式是y=，∵△AOB的面积为3，底是OB的长,高是A点的纵坐标，×2×OB=3,∴B点坐标是（3，0），∵直线y=ax+b过点A、B，∴2=a+b ①,0=3a+b②，②﹣①得a=﹣1，b=3,∴一次函数的解析式是y=﹣x+3；（2)设P点坐标为（x，0)，AB=，当AP=PB时,,x=3（不合题意，舍)或x=﹣1，P点坐标（﹣1，0），当AB=BP时，PB=2，∴P点坐标为（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP=BP时，，x=，P点坐标是（,0）．故P（﹣1，0）,（3﹣2,0），（3+2，0），（，0）．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，（1）利用待定系数法求解是解题关键;（2)分类讨论是解题关键．4．(2015秋•道外区期末)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A(0，3），与x轴交于点B(4,0）．(1)求抛物线的解析式；(2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D,设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式(不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD,是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在,求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式;（2)根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标,根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．【解答】解:（1）将A、B点坐标代入，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；（2）如图：设AB的解析式为y=kx+b，将B、A的坐标代入，得，解得，AB的解析式为y=﹣x+3，C在直线AB上，C（m，﹣m+3）,D(m，﹣m2+m+3)．CD的长为﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+2m,即d=﹣m2+2m;(3）AC2=m2+（m）2，CD2=(﹣m2+2m）2，AD2=m2+（﹣m2+m)2,①当AC=AD时,m2+（m）2=m2+(﹣m2+m）2，化简，得（﹣m2+2m）(﹣m2+m）=0，解得m=0（不符合题意,舍)，m=4（不符合题意,舍），m=1;②当AC=CD时，m2+（m）2=(﹣m2+2m）2，化简，得（﹣m2+m）（﹣m2+m)=0，解得m=0（不符合题意，舍），m=（不符合题意,舍），m=;③当AD=CD时，m2+(﹣m2+m）2=（﹣m2+2m）2，化简，得﹣m2(m﹣）=0，解得m=．综上所述:m的值为1、或．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD,BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形?（2)△PBQ能否成为等边三角形？若能,求t的值；若不能,说明理由．【分析】（1）此题由3种情况，①从假设△BPQ是等腰三角形入手．求证△BMP∽△BCD,利用对应边成比例即可求得t的值．②在Rt△BMP中，利用cos∠DBC=，解得t．③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线,垂足为N．利用Rt△BNQ∽Rt△BCD其对应边成比例即可求得t．（2）若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由②，知当BQ=BP时，．由①，知当BP=PQ时,．而BQ=BP与BP=PQ不能同时成【解答】解：（1）若△BPQ是等腰三角形．①如图，当PB=PQ时,自点P向BC引垂线，垂足为M,则有BM=MQ．方法一:由△BMP∽△BCD,得，∴．∴，解得．方法二：在Rt△BMP中，．∴，解得．②当BQ=BP时，有t=5﹣t，解得．③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．由Rt△BNQ∽Rt△BCD,得．∴，解得．（2）不能．若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由(2）②,知当BQ=BP时，．由（2）①，知当BP=PQ时，．∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立，∴△PBQ不可能为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强,是一道难题．6．（2013春•邢台期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,AB=BC=10,AD=16．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动,当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒)．（1)直接用含t的代数式表示：PA= 16﹣2t ；(2）当t= 秒时，PQ∥AB；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能,请求出t的值；如果不能，请说明理由．【分析】(1）根据已知求出即可；（2）根据平行四边形的性质和判定得出BQ=AP,求出即可；（3）求出CD和PN，分为三种情况:①PE=AP,②AE=AP，③PE=AE，根据勾股定理和等腰三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵AD=16，DP=t，∴AP=16﹣2t，故答案为：16﹣2t．（2）当BQ=AP，∵BC∥AD，∴四边形PABQ是平行四边形,∴此时PQ∥AB，即t=16﹣2t,t=，故答案为：．（3)设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，过B作BM⊥AD于M，∴∠BMA=90°,∵∠C=90°，∴∠D=∠BMA，∴CD∥BM，∴四边形CDMB是矩形，∴CD=BM，BC=DM=10，∴AM=16﹣10﹣6，在Rt△BMA中，AB=10,由勾股定理得：BM=8，分为三种情况:①当PE=AP=16﹣2t时,如图1，过P作PN⊥BC于N，则四边形CDPN是矩形,∴PN=CD=8，CN=DP=2t，∵PE=AP，∴∠A=∠E,∵BC∥AD,∴∠EBQ=∠A，∴∠E=∠EBQ,∴EQ=BQ=t，在Rt△PNQ中，由勾股定理得：82+（10﹣2t﹣t）2=(16﹣2t﹣t)2，t=；②如图1,当AE=AP时，∴∠E=∠EPA，∵BC∥AD,∴∠EPA=∠CQP,∵∠EQB=∠CQP，∴∠E=∠EQB，∴EB=QB=t，∵AE=AP,BC=10，∴10+t=16﹣2t，t=2；③如图1，当PE=AE时，∵BC∥AD，∴∠EQB=∠EPA,∠EBQ=∠A，∵AE=PE，∴∠A=∠EPA，∴∠EQB=∠EBQ，∴QE=BE，∵AE=PE,∴BC=PQ=10，在Rt△PNQ中,NQ=10﹣2t﹣t=10﹣3t，pn=8,PQ=BC=10由勾股定理得:82+(10﹣3t）2=102，t=；④当p在DA的延长线上时，若PA=AE，则2t﹣16=10﹣t，解得：t=,而点Q运动到点C所用时间是10秒，＜10，符合题意即设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，t的值是秒或2秒或秒或秒．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，梯形的性质,等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，注意要进行分类讨论啊．7．（2012秋•宝安区期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）试求△ABC的面积;（2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．【分析】（1)作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．（2)根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE 的长度．（3）根据△ADE∽△ABC得=，求出AD的长．【解答】解:(1）过A作AH⊥BC于H,∵AB=AC=5,BC=6，∴BH=BC=3，∴AH===4，∴S=BC•AH=×6×4=12．△ABC(2）令此时正方形的边长为a，∵DE∥BC,∴，∴a=．（3）当AD=x时,由△ADE∽△ABC得=，即=,解得DE=x,当BD=DG时，5﹣x=x，x=，当BD=BG时，=,解得x=，当BG=DG时,=，解得x=,∴当△BDG是等腰三角形时，AD=或或．【点评】本题考查了正方形、等腰三角形的性质,相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．8．（2013•金城江区三模)如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF,将△DEF 与△ABC重合在一起，△ABC不动,△ABC不动,△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A,EF与AC交于M点．(1)求证:△ABE∽△ECM；(2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证出∠CEM=∠BAE，从而可证得△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE,∴△ABE∽△ECM；（2）能．解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF,∴AE≠AM;当AE=EM时，则△ABE≌△ECM,∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE=，∴BE=6﹣=;∴BE=1或．【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．9．(2016秋•芦溪县期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6,CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长,再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；（3）根据题意画出图形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三种情况进行讨论．【解答】解：(1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6,∴AB=10．∵CD⊥AB，=BC•AC=AB•CD．∴S△ABC∴CD===4。

(初三)18因动点产生的等腰三角形问题

经典例题
例1．在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ C） A． 4个
找法：（3）PA=PO：点 P 为 AC 的垂直平分线与坐标轴的交点，如图，有2个，共8个
B． 6个
C． 8个
D． 1个
经典例题
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=的图象与轴交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4），直线是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线上一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）点P在直线上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）++4 对称轴=1
解法二：利用“三线合一”．
如图：若DA=DE，则需AE=2AF．
经典例题
例1．在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（） A． 4个
找法：（1）OP=OA：点P为以O为圆心，OA为半径的圆与坐标轴的交点，如图，有4个
对称轴=1
Байду номын сангаас
（2）连接CA、CP1、CP2，过点C作CH⊥P1P2. 设P1（1，a）, P2(1,b) 由勾股定理得：=AC= =AC=
经典例题
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=的图象与轴交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4），直线是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线上一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）点P在直线上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）++4 （2）

二次函数-因动点产生的等腰三角形问题典型例题

二次函数-因动点产生的等腰三角形问题例1、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3 tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PM QN==．所以45333BP BM PM=-=-=．②如图6，当QC＝QD时，由cosCHCCQ=，可得5425258CQ=÷=．所以QN＝CN－CQ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN==．所以725366BP BM PM=+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256 BP=．例2 、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PHBO CO=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例3、如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC = 所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得3a =．所以抛物线的解析式为23323(4)y x x =-=．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )． ①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±．当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==- ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-．综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)2)y x x =-=-23D ．因此23tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例4、如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x = 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况．此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP ∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cos=⋅∠来求解．AP AQ A例5 、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EBCE BF=，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+，那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程 218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例6、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD 于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ，过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ，连结PN ，设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3思路点拨1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF ＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF 、EF 与BC 间的距离相等．2．当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．3．分三种情况讨论等腰三角形PMN ，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．满分解答（1）如图4，过点E 作EG ⊥BC 于G ．在Rt △BEG 中，221==AB BE ，∠B ＝60°，所以160cos =︒⋅=BE BG ，360sin =︒⋅=BE EG ．所以点E 到BC 的距离为3．（2）因为AD //EF //BC ，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点．因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝4．①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变．过点N 作NH ⊥EF 于H ，设PH 与NM 交于点Q ．在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝3．在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．所以BG＝PQ＝1．因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2．在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7．在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．因此△PMN的周长为3＋7＋4．图4 图5②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．在Rt△PCM中，PM＝3，∠PCM＝30°，所以MC＝3．此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝3，x＝GM＝GC－MC＝5－3．如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．此时x＝4．综上所述，当x＝2或4或5－3时，△PMN为等腰三角形．图6 图7 图8考点伸展第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m ，0），那么点P 的坐标为（m ，3），MN ＝MC ＝6－m ，点N 的坐标为（26+m ，2)6(3m -）．由两点间的距离公式，得21922+-=m m PN ．当PM ＝PN 时，92192=+-m m ，解得3=m 或6=m ．此时2=x ．当MP ＝MN 时，36=-m ，解得36-=m ，此时35-=x ．当NP ＝NM 时，22)6(219m m m -=+-，解得5=m ，此时4=x ．。

二次函数压轴题第四讲因动点产生的等腰三角形问题

第四讲因动点产生的等腰三角形问题【知识要点】求等腰三角形的存在性方法:（1）几何法：两个圆一条线；（2）代数法：盲解【典型例题】例1．如图，y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)（1）求抛物线的解析式；（2）若点N是抛物线对称轴上一动点，且△NAC是等腰三角形，求点N的坐标．例2．如图，抛物线)0(42≠++=a bx ax y 与x 轴交于点A （-2，0）和B （4，0）、与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）T 是抛物线对称轴上的一点，且△ACT 是以AC 为底的等腰三角形，求点T 的坐标；（3）点M 、Q 分别从点A 、B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行．当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒23个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时间t （秒）与△APQ 的面积S 的函数关系式例3．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B、C；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；（3）在（2）的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例4．如图，已知二次函数c x ax y ++=32的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N 的坐标；（4）若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．。

中考数学动点之等腰三角形问题

动点之等腰三角形问题【例3】(2019·湖南中考真题)如图一，在射线DE 的一侧以AD 为一条边作矩形ABCD ，AD =5CD =，点M 是线段AC 上一动点(不与点A 重合)，连结BM ，过点M 作BM 的垂线交射线DE 于点N ，连接BN ．(1)求CAD ∠的大小；(2)问题探究：动点M 在运动的过程中，①是否能使AMN ∆为等腰三角形，如果能，求出线段MC 的长度；如果不能，请说明理由．②MBN ∠的大小是否改变？若不改变，请求出MBN ∠的大小；若改变，请说明理由．(3)问题解决：如图二，当动点M 运动到AC 的中点时，AM 与BN 的交点为F ，MN 的中点为H ，求线段FH 的长度．【答案】(1)30︒∠=CAD ；(2)①能，CM 的值为5或；②大小不变，30︒∠=MBN ；(3)=FH .【解析】(1)在Rt ADC ∆中，求出DAC ∠的正切值即可解决问题．(2)①分两种情形：当NA NM =时，当AN AM =时，分别求解即可．②30MBN ∠=．利用四点共圆解决问题即可．(3)首先证明ABM ∆是等边三角形，再证明BN 垂直平分线段AM ，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：(1)如图一(1)中，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=，∵DC tan AD 3∠===CAD ， ∴30︒∠=CAD ．(2)①如图一(1)中，当AN NM =时，∵90BAN BMN ︒∠=∠=，BN BN =，AN NM =，∴Rt Rt ()BNA BNM HL ∴∆≅∆，∴BA BM =，在Rt ABC ∆中，∵30ACB DAC ︒∠=∠=，5AB CD ==，∴210AC AB ==，∵60BAM ︒∠=，BA BM =， ∴ABM ∆是等边三角形，∴5AM AB ==，∴5CM AC AM =-=．如图一(2)中，当AN AM =时，易证15AMN ANM ︒∠=∠=，∵90BMN ︒∠=，∴75CMB ︒∠=，∵30MCB ︒∠=，∴180753075CBM ︒︒︒︒∠=--=， ∴CMB CBM ∠=∠，∴CM CB ==综上所述，满足条件的CM 的值为5或．②结论：30︒∠=MBN 大小不变．理由：如图一(1)中，∵180BAN BMN ︒∠+∠=，∴,,,A B M N 四点共圆，∴30MBN MAN ︒∠=∠=．如图一(2)中，∵90BMN BAN ∠=∠=，∴,,,A N B M 四点共圆，∴180MBN MAN ︒∠+∠=，∵180DAC MAN ︒∠+∠=，∴30MBN DAC ︒∠=∠=，综上所述，30︒∠=MBN ．(3)如图二中，∵AM MC =，∴BM AM CM ==，∴2AC AB =，∴AB BM AM ==，∴ABM ∆是等边三角形，∴60BAM BMA ︒∠=∠=，∵90BAN BMN ︒∠=∠=，∴30NAM NMA ︒∠=∠=，∴NA NM =，∵BA BM =，∴BN 垂直平分线段AM ， ∴52FM =，∴cos30FM NM ︒==， ∵90NFM ︒∠=，NH HM =，∴126FH MN ==．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【变式3-1】如图①，已知正方形ABCD 边长为2，点P 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，连结PQ 、DQ 、CQ 、BQ .设AP=x.(1)当1x =时，求BP 长；(2)如图②，若PQ 的延长线交CD 边于E ，并且90CQD ∠=，求证：CEQ ∆为等腰三角形；(3)若点P 是射线AD 上的一个动点，则当CDQ ∆为等腰三角形时，求x 的值.【答案】(2)证明见解析；(3)△CDQ 为等腰三角形时x 的值为、+4.【解析】(1)利用勾股定理求出BP 的长即可；(2)根据对称性质及正方形的性质可得AB=BQ=BC ，∠A=∠BQP=∠BCE=90°，可得∠BQE=90°，由第一视角相等性质可得∠BCQ=∠BQC ，根据同角或等角的余角相等的性质可得∠EQC=∠ECQ ，可得EC=EQ ，可得结论；(3)若△CDQ 为等腰三角形，则边CD 边为该等腰三角形的一腰或者底边．又Q 点为A 点关于PB 的对称点，则AB=QB ，以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，则Q 点只能在弧AB 上．若CD 为腰，以点C 为圆心，以CD 的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDQ 为等腰三角形(CD 为腰)的Q 点．若CD 为底边，则作CD 的垂直平分线，其与弧AC 的交点即为使得△CDQ 为等腰三角形(CD 为底)的Q 点．则如图所示共有三个Q 点，那么也共有3个P 点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．【详解】(1)∵AP=x=1，AB=2，∴(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°．∵Q点为A点关于BP的对称点，∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，∴QB=BC，∠BQE=∠BCE=90°，∴∠BQC=∠BCQ，∴∠EQC+∠BQC=∠ECQ+∠BCQ=90°，∴∠EQC =∠ECQ，∴EQ=EC，即△CEQ为等腰三角形.(3)如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形．①讨论Q1，如图，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD 于E，交BC于F，∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为2，∴FC=1，在四边形ABPQ1中，∵∠ABQ1=30°，∴∠APQ1=150°，∴∠EPQ1=30°，△PEQ1为含30°的直角三角形，∵EF是BC的垂直平分线，∴AE=12AD=1，∴②讨论Q2，如图，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，交CD于G，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F，∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2=BQ2．∵AB=BQ2，∴△ABQ2为等边三角形．∴AF=12AE=1，在四边形ABQ2P中，∵∠BAD=∠BQ2P=90°，∠ABQ2=60°，∴∠APQ2=120°，∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，∴∴，∴，即PD=2-，∴x=AP=2-PD=.③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作PQ3⊥BQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，记Q3与F 重合．∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=2，∴∴在四边形ABQ3P中∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，∴∠EPF=30°，∴，∵AE=1，∴+4.综上所述：△CDQ 为等腰三角形时x 的值为、、【点睛】本题考查四边形的综合、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质，第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q 找全．另外求解各个P 点也是勾股定理的综合应用熟练掌握并灵活运所学知识是解题关键．【变式3-2】(2019·河南中考模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+3交y 轴于点A ，交x 轴于点B(-3，0)和点C(1，0)，顶点为点M ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E 为x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点E 的坐标；(3)点F 为直线AB 上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)223y x x =--+ ；(2)E(-37，0)；(3)点P 的坐标为(2，-5)或(1，0)．【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+3)(x-1)，然后将点A 的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；(2)作A关于x轴的对称点A′(0，-3)，连接MA′交x轴于E，此时△AME的周长最小，求出直线MA'解析式即可求得E的坐标；(3)如图2，先求直线AB的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点F的坐标为(m，m+3)，分三种情况进行讨论：①当∠PBF=90°时，由F1P⊥x轴，得P(m，-m-3)，把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论；②当∠BF3P=90°时，如图3，点P与C重合，③当∠BPF4=90°时，如图3，点P与C重合，从而得结论．【详解】(1)当x=0时，y=3，即A(0，3)，设抛物线的解析式为：y=a(x+3)(x-1)，把A(0，3)代入得：3=-3a，a=-1，∴y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3，即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，∴M(-1，4)，如图1，作点A(0，3)关于x轴的对称点A'(0，-3)，连接A'M交x轴于点E，则点E就是使得△AME的周长最小的点，设直线A′M 的解析式为：y=kx+b ，把A'(0，-3)和M(-1，4)代入得：43k b b ＝＝-+⎧⎨-⎩，解得：73k b -⎧⎨-⎩＝＝∴直线A'M 的解析式为：y=-7x-3，当y=0时，-7x-3=0， x=-37，∴点E(-37，0)，(3)如图2，易得直线AB 的解析式为：y=x+3，设点F的坐标为(m，m+3)，①当∠PBF=90°时，过点B作BP⊥AB，交抛物线于点P，此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即△BPF1和△BPF2，∵OA=OB=3，∴△AOB和△A'OB是等腰直角三角形，∴∠F1BC=∠BF1P=45°，∴F1P⊥x轴，∴P(m，-m-3)，把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3(舍)，∴P(2，-5)；②当∠BF3P=90°时，如图3，∵∠F3BP=45°，且∠F3BO=45°，∴点P 与C 重合，故P(1，0)，③当∠BPF4=90°时，如图3，∵∠F4BP=45°，且∠F4BO=45°，∴点P 与C 重合，故P(1，0)，综上所述，点P 的坐标为(2，-5)或(1，0)．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用．【变式3-3】(2019·广西中考真题)已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点()2,4M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于AB 、两点． (1)求m b 、的值；(2)当PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)满足(2)的条件时，求sin BOP ∠的值．【答案】(1)1m =；2b =；(2)点P 的坐标为()1,1-或()2,4；(3)sin BOP ∠的值为2．【解析】(1)根据点M 的坐标，利用待定系数法可求出,m b 的值；(2)由(1)可得出抛物线及直线AB 的解析式，继而可求出点A 的坐标，设点P 的坐标为2(,)x x ，结合点,A M 的坐标可得出22,PA PM 的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x 的方程，解之即可得出结论；(3)过点P 作PN y ⊥轴，垂足为点N ，由点P 的坐标可得出,PN PO 的长，再利用正弦的定义即可求出sin BOP ∠的值．【详解】(1)将()2,4M -代入2y mx =，得：44m =， ∴1m =；将()2,4M -代入y x b =-+，得：42b =+，∴2b =；(2)由(1)得：抛物线的解析式为2y x ，直线AB 的解析式为2y x =-+，当0y =时，20x -+= ，解得：2x =，∴点A 的坐标为()2,0，2OA =，设点P 的坐标为2(,)x x ，则()222242204()4PA x x x x x =-+-=+-+， ()222242()247420PM x x x x x =--+-=-++， ∵PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形，∴22PA PM =，即4242447420x x x x x x +-+=-++，整理，得：220x x --=，解得：121,2x x =-=，∴点P 的坐标为()1,1-或()2,4；(3)过点P 作PN y ⊥轴，垂足为点N ，如图所示，当点P 的坐标为()1,1-时，1PN =，PO ==，∴sin 2PN BOP PO ∠==；当点P 的坐标为()2,4时，2PN =，PO ==∴sin PN BOP PO ∠==，∴满足(2)的条件时，sin BOP ∠的值的值为．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出,m b 的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x 的方程；(3)通过解直角三角形，求出sin BOP ∠的值．。

动点产生的等腰三角形问题

动点产生的等腰三角形问题类型1:一动点两定点如图，在平面中找点P，使得点P与已知点A.B构成等腰三角形分类讨论：第一种情况：以AB为腰，分别以AB为圆心，AB长为半径画圆，则在圆上的点（除去AB重合或共线的点）都能与AB构成等腰三角形；第二种情况：以AB为底，即为两圆的交点P1P2，P1P2是线段AB的垂直平分线总结：就是“两圆一线”模型解题技巧：步骤1：通过“两圆一线”确定动点位置；步骤2：分类讨论，建立方程模型求动点坐标注意：去除与直线AB共线的点的方法：求直线AB的解析式，再验证P点是否在直线AB 上，在则共线，不在，则不共线或用几何方法证明例题1:在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A.5B.6C.7D.8例题2:如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x x =--x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,对称轴与x 轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.(1) 求直线AE 的解析式;(2) 点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE 的面积最大时,求P 点坐标.(3) 点G 是线段CE 下方的中点,将抛物线2y x =x 轴正方向平移得到新抛物线'y ,'y 经过点D, 'y 的顶点为点F.在新抛物线'y 的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.练习1:如图1,已知二次函数2y ax bx c =++(a,b,c 为常数,a ≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M 的纵坐标为83-.直线l 的解析式为y=x.(1) 求二次函数的解析式;(2) 直线l 沿x 轴向右平移,得到直线'l ,'l 与线段OA 相交于B,与x 轴下方的抛物线相交于点C,过点C 作CE ⊥x 轴于点E,把△BCE 沿直线'l 折叠,当点E 恰好落在抛物线上'E 点时,(图2),求直线'l 的解析式;(3) 在(2)的条件下, 'l 与y 轴交于点N,把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△''B ON ,P为'l 上的动点,当△''PB N 为等腰三角形时,求符合条件的点P 的坐标.练习2:如图1,在平面直角坐标系中,抛物线249y x bx c =-++经过点A(-5,0)和点B(1,0). (1) 求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2) 如图2,连接AD,BD,点M 在线段AB 上(不与A,B 重合),∠DMN=∠DBA,MN 交线段AD 于点N,是否存在这样点M,使得△DMN 为等腰三角形?若存在,求出AN 的长;若不存在,请说明理由.类型2:多个动点1.在平面内使构成等腰三角形的三个点中，动点个数≥2个；解决这类问题的方法：让三个点分别做顶角顶点，进行分类讨论；如图，在平面内点A、B、P为动点，使得△PAB是等腰三角形？分类：①以P为顶点,PA=PB；②以A为顶点,AP=AB③以B为顶点,BA=BP2.在具体的题目中有时不仅要找出符合题意的点，还要计算出点的坐标，计算点的坐标的方法可以参考以下几种方法：①全等；②相似；③勾股定理；④锐角三角函数；⑤面积法；⑥方程或者方程组.例题1:如图,△ABC是边长为8的等边三角形,现有两点M,N分别从点A,点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为每秒1个单位长度,点N的运动速度为每秒2个单位长度,当点M第一次到达B点时,M,N同时停止运动.(1)点M,N运动几秒后,可得到等边三角形AMN?(2)点M,N运动几秒后,M,N两点重合?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰△AMN?若存在,请求出此时M,N运动的时间.例题2:如图1,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A(0,6),与x 轴交于点B(-2,0),C(6,0).(1) 直接写出抛物线的解析式及其对称轴;(2) 如图2,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P 作PD ⊥AC 于点E,交x 轴于点D,过点P 作PG ∥AB 交AC 于点F,交x 轴于点G.设线段DG 的长为d,求d 与m 的函数关系式,并注明m 的取值范围;(3) 在(2)的条件下,若△PDG 的面积为4912. ①求点P 的坐标;②设M 为直线AP 上一动点,连接OM 交直线AC 与点S,则点M 在运动过程中,在抛物线上是否存在点R,使得△ARS 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M 及其对应的点R 的坐标;若不存在,请说明理由.练习1:如图①,在平面直角坐标系中,已知A(-2,2),B(-2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M 以B →C →D 运动(M 不与点B,点D 重合),设运动时间为t(秒).(1) 求经过A,C,D 三点的抛物线的解析式;(2) 点P 在(1)中的抛物线上,当M 为BC 的中点时,若△PAM ≌PBM,求点P 的坐标;(3) 当点M 在CD 上运动时,如图②,过点M 作MF ⊥x 轴,垂足为F,ME ⊥AB,垂足为E,设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S,求S 与t 的函数关系,并求出S 的最大值;(4) 点Q 为x 轴上一点,直线AQ 与直线BC 交于点H,与y 轴交于点K,是否存在点Q,使得△HOK 为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.练习2:抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x 轴于点D,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点(点P 不与C,D 重合),过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E,交x 轴于点F.(1) 求抛物线的解析式;(2) 当△PCF 的面积为5时,求点P 的坐标;(3) 当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标.课后练习:1.如图所示,二次函数2(1)2y k x =-+的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B 两点,点B 在点A 的右侧,直线AB 分别与x,y 轴交于C,D 两点,其中k ＜0.(1)求A,B 两点的横坐标;(2)若△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形,求k 的值;(3)二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点A(-4,0),B(2,0),交y 轴于点C(0,6),在y 轴上有一个点E(0,-2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点,求△ADE 面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P 点的坐标,若不存在,请说明理由.3.抛物线263y x x =-+-与y 轴相交于点C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=3,D 为对称轴与x 轴的交点,在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E,F 两点,若△DEF 是等腰三角形,求△DEF 的面积.4.如图,抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A,B 两点,交y 轴于点C(0,3),顶点F 的坐标为(1,4),对称轴交x 轴于点H,直线112y x =+交x 轴于点D,交y 轴于点E,交抛物线的对称轴于点G.(1)求出a,b,c 的值;(2)点M 为抛物线对称轴上一个动点,若△DGM 是以DG 为腰的等腰三角形时,请求出点M 的坐标;(3)点P 为抛物线上的一个动点,当点P 关于直线112y x =+的对称轴恰好落在x 轴上时,请直接写出此时点P 的坐标.5.如图,抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C(0,-2),点A 的坐标是(2,0),P 为抛物线上的一个动点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D,交直线BC 于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 若点P 在第二象限内,且PE=14OD,求△PBE 的面积; (3) 在(2)的条件下,若M 为直线BC 上一点,在x 轴的上方,是否存在点M,使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,一次函数3y x =-图象与坐标轴交于点A(3,0),B (0,,二次函数233y x x =-A,B 两点,点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以B,C,P,Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,抛物线213222y x x =-++与x 轴交于A(-1,0),B(4,0),与y 轴交于点C,连接AC,BC,点P 在抛物线上运动,如图,若点P 在第一象限,直线AP 交BC 于点F,过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H,当△PFH 为等腰三角形时,求线段PH 的长.8.如图,已知两直线1l ,2l 分别经过点A(1,0),点B(-3,0),且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C,当点C 的坐标为时,恰好有1l ⊥2l ,经过点A,B,C 的抛物线的对称轴与1l ,2l ,x 轴分别交于点G,E,F,D 为抛物线的顶点.(1)抛物线的函数解析式;(2)试说明DG 与DE 的数量关系?并说明理由;(3)若直线2l 绕点C 旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当△MCG 为等腰三角形时,请直接写出点M 的坐标.9.如图,已知抛物线2y=ax 9a --与坐标轴交于A,B,C 三点,其中C(0,3),∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D,交BC 于点D,交BC 于点E,过点D 的直线l 与射线AC,AB 分别交于点M,N.(1)直接写出a 的值,点A 的坐标及抛物线的对称轴;(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD 为等腰三角形,求出点P 的坐标;(3)证明:当直线l 绕点D 旋转时, 11AM AN+均为定值,并求出该定值.。

因动点产生的等腰三角形问题

一、因动点产生的等腰三角形问题1、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．2、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．4、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？二、因动点产生的直角三角形问题5、如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．7、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．8、设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC 上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．三、因动点产生的相似三角形例题如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(压轴题)

《中考压轴题》专题37：动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问一、选择题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是A．2B．3C．4D．5二、填空题1.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的△是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。

中点，点P在BC上运动，当ODP2.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ 是等腰三角形，则符合条件的Q点有个.3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标．三、解答题1.如图，抛物线21y x mx n 2=-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．2.如图，二次函数24y x bx c 3=++的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D 点坐标．3.已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （32，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=12AP 时，求t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-），以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.（1）求直线BC 的解析；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m n ⋅的值，并证明你的结论；（4）点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t(0<t )秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.5.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213y x x 222=-++的图像与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，过动点H （0,m ）作平行于x 轴的直线，直线与二次函数213y x x 222=-++的图像相交于点D ，E.（1）写出点A,点B 的坐标；（2）若m >0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；（3）直线上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.6.如图1，抛物线y=ax 2+bx ﹣1经过A （﹣1，0）、B （2，0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式．（2）如图1，当点P 的横坐标为32时，求证：△OBD ∽△ABC ．（3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE=2PE 时，求△POD 的面积．（4）当以点O 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标．7.如图，抛物线y=-x 2+bx+c 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，已知经过点A ，B 的直线的表达式为y=x+3．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C 的坐标；（2）如图①，点P （m ，0）是线段AO 上的一个动点，其中-3＜m ＜0，作直线DP ⊥x 轴，交直线AB 于D ，交抛物线于E ，作EF ∥x 轴，交直线AB 于点F ，四边形DEFG 为矩形．设矩形DEFG 的周长为L ，写出L 与m 的函数关系式，并求m 为何值时周长L 最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使点A ，B ，Q 构成的三角形是以AB 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的图象过点M (2,-，顶点坐标为N 1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11.已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。

1.2因动点产生的等腰三角形问题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1 图2例2 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．例3 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．例4 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．。

沪教版初三C专题(中考冲刺：压轴题突破-动点产生的等腰三角形问题3星) (1)巩固基础

-------------动点产生的等腰三角形问题（★★★）1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.通过观察了解因动点产生的等腰三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法，掌握“动中取静，以静窥动”的解题策略；3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力；4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变；5.掌握动点产生的等腰三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解．知识结构1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.例题1如图，在直角三角形ABC 中，直角边3cm 4cm AC BC ==，．设P Q ，分别为AB,BC 上的动点，在点P 自点A 沿AB 方向向点B 作匀速移动的同时，点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm ，当Q 点到达C 点时，P 点就停止移动.设P Q ，移动的时间t 秒．当t 为何值时，PBQ △为等腰三角形？（★★★）解答方法：1.由勾股定理求得AB=5cm ，通过已知可以知道BP 、BQ 均能用t 的代数式表示；2.等腰三角形分类讨论：当△PBQ 为等腰三角形时，分三种情况 ①当PB=PQ 时，通过等腰三角形的三线合一性质，过点P 作BQ 的高PM ，得到BM=QM ，此时有RT △BPM ，有两种方法：一是通过PM ∥AC 得到对应线段成比例，另外一种是通过∠B 的余弦值求解； ②当BQ=BP 时，直接求出t ；③当QB=QP 时，同第一种情况．答案：若BPQ △是等腰三角形．①如图，当PB PQ = 时，过点P 作BC 的垂线，垂足为M ，则有BM MQ =． “典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：ACB PQ方法一：由BMP BCA △∽△，得BM BPBC BA=， ∴(5)420455BP BC t tBM BA ⋅-⋅-===． ∴20452t t -=，解得4013t =．方法二：在Rt BMP △中，45cos 25t BM BC BP t BM BC BP BA =-====，，∠A ∴4255tt =-，解得4013t =．②当BQ BP =时，有5t t =-，解得52t =．③如图，当QB QP =时，自点Q 向AB 引垂线，垂足为N ．由Rt Rt BNQ BCA △∽△，得BN BQBC BA=． ∴5245tt-=，解得2513t =．我来试一试！如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒,6,BC =9AD =，5AB =．动点P 、Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒1个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以相同速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）；联结BP 、PQ ，当BPQ ∆能否为等腰三角形，请求出t 的值．（★★★）解答方法：1.过B 点作BH ⊥AD ，通过已知求出BH 、AH 的长，然后我们发现BQ 、PQ 、PB 都能用含t 的代数式表示；2.等腰三角形分类讨论，分三种情况，分别是BQ=BP 、PB=PQ 、QB=QP ，分别代入含t 的代数式建立方程，解方程即可。

专题六：因动点产生的等腰三角形问题

专题六：因动点产生的等腰三角形问题零点突破【例1】如图，在直角三角形ABC 中，直角边AC=6cm ，BC=8cm. 设P 、Q 分别为AB 、BC 上的动点，点P 自点A 沿AB 方向向点B 作匀速移动且速度为每秒2cm ，同时点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速移动且速度为每秒1cm ，当P 点到达B 点时，Q 点就停止移动. 设P 、Q 移动的时间t 秒. 当t 为何值时，△PBQ 为等腰三角形？【例2】已知：如图，一次函数y=43x +n 与x 轴交于点B ，一次函数y=﹣23x +m 与y 轴交于点C ，且它们的图象都经过点D （1，﹣83）．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）设点P （t ，0），且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值；（3）在（2）的条件下，在第四象限内，以CP 为腰作等腰Rt △CPQ ，求点Q 的坐标．【例3】已知如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD与点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．【例4】已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．【例5】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=3，AB=16．点E在射线BC上，点F4在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．变式训练真题直面1.（2016•山西）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．2.（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．。

初二等腰三角形动点问题专题讲解

初二等腰三角形动点问题专题讲解好啦，今天咱们聊聊初二的等腰三角形动点问题。

哎呀，这个话题可真有趣，尤其是对于那些对几何图形充满好奇的同学们。

想象一下，你在操场上玩耍，突然看到两个小朋友在一起玩一个三角形的游戏，怎么样才能让这个三角形的两个边长相等呢？嘿嘿，等腰三角形就是这么来的。

等腰三角形的两个边一样长，哇，这就像是姐妹花，站在一起总是那么和谐，默契得不行。

想象一下，如果你把一个三角形的顶点固定住，然后让底边的两个点自由移动，这就是我们的动点问题了。

你会发现，尽管这两个点可以自由移动，但只要它们的距离保持相等，三角形的形状就不会改变。

说白了，它们就像一对舞蹈搭档，始终保持着优雅的舞姿，绝不会踩到对方的脚。

说到这里，可能有小伙伴会问，动点问题有什么用呢？嘿，实际上这可是一个很重要的概念。

比如说，想象你在设计一个游乐场的滑梯，滑梯的两边需要是一样高的，才能保证小朋友们玩得开心又安全。

等腰三角形的知识就能帮你设计出完美的滑梯结构，哈哈，这不就是“造福人民”吗？然后，我们再来看看这个动点问题的解决方法。

有的小伙伴可能会觉得，动点问题听起来挺复杂，但其实只要掌握几个基本的原理，轻轻松松就能搞定。

比如说，可以用尺子量一量，用量角器量一量，或者借助计算器做一些简单的计算。

每一次的测量和计算，都能让你更深入地理解这个三角形的美妙之处，真是让人兴奋呢！再说说动点的问题，其实它还有很多有趣的变化。

比如说，你把底边的两个点一边移动，另一边也在移动，这样三角形就会变得越来越大，越来越小。

这时候，就像是你在玩捉迷藏，躲来躲去，兴奋得不得了。

你会发现，虽然三角形的形状在变，但它的特征始终没变。

这个过程就像人生的起伏，虽然会遇到各种各样的挑战，但只要心中有目标，始终向前走，总能找到属于自己的路。

说到这，大家有没有想到身边的故事？比如说小明和小红，他们也有一段等腰三角形的“爱情故事”。

小明总是喜欢和小红一起做数学题，他们的关系就像是那两个动点，虽然有时会有点摩擦，但总是能够找到平衡点，互相成就。