因动点产生的等腰三角形
因动点产生等腰三角形
B1.1因动点产生等腰三角形策略分析：1. 怎么设动点坐标（1）动点在x 轴上，因为横坐标x 变化，纵坐标y 没有变化，始终等于0，所以可设动点的坐标为（x ，0）;若动点在y 轴上设（,y 0）（2）若动点在函数()y f x =上，则横坐标设为x ，纵坐标为()f x 。
例：点A 在反比例函数3y x =的图象上，设(,)A x y ，因为3y x =，所以用3x来代替y ，这种情况一般直接设为3(,)A x x，有如一次函数23y x =-上的点可以直接设为(,23)x x -2. 等腰三角形分类讨论如图一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况，;AB AC =;AB BC BC =AC =,所以要分类讨论。
3. 如图三角形AOB 的三个顶点在平面直角坐标系中，设11(,),A x y B 22(,)x y 则，AB 两点的距离公式为同样把其他两条边的距离也表示出来，0A =BO =，若需要说明三角形ABC 为等腰三角形，则可按照图1-1的方法，让三条边两两相等即可。
例1：如图，在直角坐标系中，反比例函数8y x =图象上得点,A B 的坐标分别是(2,)m ，(,2)n ，点C 在x 轴上，且 ABC为等腰三角形，求点C 的坐标。
例2：如图，点(,2)A m 是正比例函数和反比例函数的交点，AB y ⊥轴于点,B 2OB AB =，（1）求正比例函数和反比例函数的解析式 （2）求正比例函数和反比例函数的另一个交点C 的坐标。
（3）在y 轴上是否存在一点D 使三角形ACD 为等腰三角形？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由。
y = f (x4. 动点移动的路程如图点P 由C 向点A 移动，速度是每秒1cm ，设运动的时间为t 秒，则路程CP =速度×时间=1×t =t ，点Q 由点B 向点C 移动，速度是每秒2cm ，设运动时间为t ，则路程2BQ t =，例 3 如图，在直角梯形ABCD 中，//,A D B C 90C ︒∠=,12,BC =18AD =，10AB =，动点.P Q 分别从点,D B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点Q 运动到C 时，点P 也随之停止运动，设运动的时间t ，射线PQ 与射线AB 相交于点E ，AEP 能否为等腰三角形?如果能，求出t 的值，如果不能说明理由。
中考数学必考考点探究与提升函数图像中因动点产生的等腰三角形问题
中考数学必考考点探究与提升函数图像中因动点产生的等腰三角形问题如图，给定一直线，给定一线段，那么直线上理论上应该存在五个点使该点与已知线段构成等腰三角形。
例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2解析:（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45．作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ．所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --．当52t =时，S 取得最大值，最大值为158．（2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ．解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =．②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =．③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6 图7例2. （1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254EC =． （2）如图1，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ． 因此△PDM ∽△QDN ． 所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．图1 图2 图3图2，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1． 此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=． 如图3，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图4，如图1，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图4，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图5，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ =，可得5425258CQ =÷=． 所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图4，图5所示）．图4 图51.已知直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x ﹣3）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形3.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，设抛物线的顶点为．(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点，使得△是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；4.抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点，的直线的表达式为．(1)求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点，，构成的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知：如图，抛物线经过、、三点．求抛物线的函数关系式；若过点的直线与抛物线相交于点，请求出△的面积的值；写出二次函数值大于一次函数值的的取值范围；在抛物线上是否存在点使得△为等腰三角形？若存在，请指出一共有几个满足条件的点，并求出其中一个点的坐标；若不存在这样的点，请说明理由．6.已知：抛物线的顶点的坐标为与轴交于点，与轴交于、两点（在的左边）．求此抛物线的表达式；点是线段上一动点（不与点重合），点在线段上移动且，设线段，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；①在的条件下是否存在点，使△是为底的等腰三角形？若存在试求点的坐标；若不存在说明理由．②在中抛物线的对称轴上是否存在点，使△是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点的坐标．7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．8. 如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC 上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m11.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．12.在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
动点产生的等腰三角形(含答案)
动点产生的等腰三角形难度一：1．已知，如图，在正方形ABCD中，AB=2，P是BC边上一点，ACPE⊥，垂足为E，连接DE并延长，交边BC于点F，连接AP．（1）判断PAC∠的大小，并证明你的结论；∠与CDF（2）设xBP=，yPF=，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当CEF∆是等腰三角形时，求BP的值．2．如图，等腰梯形ABC D 中，A D B C ∥，5,AB DC ==AD =2，B C =8，M E N B ∠=∠．M E N ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接AF ．（1）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若A E F △为等腰三角形，求出BE 的长．N M DFECBADCBA备用图3．已知在△ABC 中，∠A =45°，AB =7，34tan B ，动点P 、D 分别在射线AB 、AC 上，且∠DPA =∠ACB ，设AP =x ，△PCD 的面积为y ．（1）求△ABC 的面积；（2）如图，当动点P 、D 分别在边AB 、AC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，求线段AP 的长．CAPBDGFEDCBA4．如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG ． （1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ，则446a a -=，解得512=a .（3）当20≤x 时， 22253656x x y =⎪⎭⎫⎝⎛=，当52 x 时， ()2252452455456x x x x y -=-⋅=.（4）720,1125,73125=AD .难度二：5．（2010宝山二模）如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 是BC 边上的一个动点，联结AE ，过点D 作D F AE ⊥，垂足为点F .（1）设BE x =，AD F ∠的余切值为y ，求y 关于x 的函数解析式；（2）若存在点E ，使得∆ABE 、∆ADF 与四边形CDFE 的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD 的面积；（3）对（2）中求出的矩形ABCD ，联结CF ，当BE 的长为多少时，∆CDF 是等腰三角形？解：（1）△ABE ∽△DF A ，xy 2= ……………………………（3分）（2）∵∆ABE ：∆ADF ：四边形CDFE 的面积比是3：4：5 ∴ABCD 41矩形S S ABE =∆∴BC 21E =B ………………………… (1分)设x B =E ，则ＢＣ＝２x∵△ABE ∽△DF A ，且∆ABE ：∆ADF =3：4 ∴3422=AEAD ∴342422=+x x………………………（2分）解得 x =1……（1分） ∴ BC =2，22ABCD =矩形S ………（1分）(备用图)DCBA E FD CBA E FD CB A E F（3） ⅰ)CF=CD 时，过点C 作CM ⊥DF ，垂足为点M 则 CM ∥AEMF DM =………………………（1分）延长CM 交AD 于点G∴1==GD AG∴1=CE∴当BE=1时，∆CDF 是等腰三角形……………（1分） ⅱ）DF=DC 时，则DC=DF=2∵DF ⊥AE AD=2 ∴∠DAE =45°………（1分） 则BE=2∴当BE=2时，∆CDF 是等腰三角形………（1分）ⅲ）FD=FC 时，则F 为AE 中点 ∵△ADF ∽△EAB∴EBAF AEAD =∴xx x 2212222+=+……………………（1分）解得22±=x∴当BE=22-时，∆CDF 是等腰三角形 (1)6．已知：□ABCD 中，对角线AC ⊥AB ，AB =15，AC =20，点P 为射线BC 上一动点，AP ⊥PM （点M 与点B 分别在直线AP 的两侧），且∠PAM =∠CAD ，连结MD 。
因动点产生的等腰三角形答案
1.1因动点产生的等腰三角形答案1．如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ 是等腰三角形？分析：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，根据等腰三角形得出方程12﹣2x=x，求出方程的解即可．解答：解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，∴∠B=90°，∵△BPQ是等腰三角形，∴BP=BQ，∴12﹣2x=x，解得：x=4，即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．点评：本题考查了矩形性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据题意得出方程．2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P有几个？并求出相应等腰三角形的腰长．分析：连接DM，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：PM=CM或CM=PM，然后根据勾股定理进行分析计算．解答：解：根据已知得AD∥BM，AD=BM=6，则四边形ABDM是平行四边形．又∠ABC=90°，根据勾股定理，得CD=10．①作CM的中垂线交CD于P，则△PMC是等腰三角形，此时，CP=5；②当CP=CM=8时，△PMC是等腰三角形；③当点P在AD上，DP=2时，CM=PM=8；④当点P在AB上，BP=2时，CM=PM=8；故有四个．3．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是（﹣8，0），点B的坐标（0，6），BC=10．（2）当点P在什么位置时，△ APQ≌△ CBP，说明理由．（3）当△ PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．分析：（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．（3）分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．解答：解：（1）∵y=x+6∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=﹣8，即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），∵C点与A点关于y轴对称，∴C的坐标是（8，0），∴OA=8，OC=8，OB=6，由勾股定理得：BC==10，（2）当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP，理由是：∵OA=8，P（2，0），∴AP=8+2=10=BP，∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，∴∠AQP=∠BPC，∵A和C关于y轴对称，∴∠BAO=∠BCP，在△ APQ和△ CBP中，，∴△ APQ≌△ CBP（AAS），∴当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP．（3）分为三种情况：①当PB=PQ时，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，∴PB=PQ，即此时P的坐标是（2，0）；②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP，∵∠BAO=∠BPQ，∴∠BAO=∠BQP，而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴此种情况不存在；③当QB=QP时，则∠BPQ=∠QBP=∠BAO，即BP=AP，设此时P的坐标是（x，0），∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，∴（x+8）2=x2+62，解得：x=﹣，即此时P的坐标是（﹣，0）．∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（﹣，0）．故答案为：（﹣8，0），（0，6），10．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．4．（2010•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A的坐标．（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况．分析：（1）利用直线y=x+1与交于点A，直接联立函数解析式求出即可；（2）当△ CBD为等腰三角形时，有三种情况当BD1=D1C时，当BC=BD2时，当CD3=BC分别得出即可；（3）以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．解答：解：（1）由题意，得：，解得：，∴点A的坐标为（，）．（2）当△ CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，∴x=﹣1，点B的坐标为（﹣1，0）．在y=﹣+3中，当y=0时，﹣x+3=0，∴x=4，点C的坐标为（4，0）．∴BC=5．①当BD1=D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴，垂足为点M1，则BM1=M1C=BC．∴BM1=，OM1=﹣1=，x=，∴y=﹣×+3=，点D1的坐标为（，）．②当BC=BD2时，过点D2作D2M2⊥x轴，垂足为点M2，则D2M22+M2B2=D2B2．∵M2B=﹣x﹣1，D2M2=﹣x+3，D2B=5，∴（﹣x﹣1）2+（﹣x+3）2=52，解得：x1=﹣，x2=4（舍去）．此时，y=﹣×（﹣）+3=，∴D2的坐标为（﹣，），③当CD3=BC时，CB=5，CD3=5，此时D3坐标为（0，3），当CD4=BC时，BC=CD4，=5，M4D4=OD3=3，CO=CM4=4，则D点坐标为（8，﹣3）．（6分）由此可得点D的坐标分别为D1（，），D2（﹣，），D3（0，3），D4（8，﹣3）．（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及两直线交点的求法以及平行四边形的判定等知识，注意分类讨论思想的应用不要漏解．。
因动点产生的等腰三角形问题
因动点产生的等腰三角形问题1.如图5，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图52.如图6，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图6因动点产生的梯形问题1.如图：二次函数y =﹣x 2 + ax + b 的图象与x 轴交于A （-21，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．2.已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．图1 图 2A CB 第1题图。
31 动点引起的等腰直角三角形存在性问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或312⎛⎫⎪⎪⎝⎭或31,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：（1）联立4yxy x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：22xy=⎧⎨=⎩或22xy=-⎧⎨=-⎩即：函数4yx=上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．（2）①联立25y xy ax x c=⎧⎨=++⎩得ax2+4x+c=0∵这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=4c>1，即4c－1>0，4cc->0，解得：0<c<4.②由①知，E点坐标为：x=422a a-=-，即E22,a a⎛⎫--⎪⎝⎭在y=ax2+5x+4a中，当y=0时，得：x=－4a，x=－1a即M点坐标为（－4a，0），N点坐标为（－1a，0）过E点向x轴作垂线，垂足为H点，EH=2a，MH=242()a a a---=∴EH=MH即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H方法一设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x -=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即P （32，154）.方法二设P （m ，－m 2+2m+3），同理，CH =PK ，HP =KB ，则C （m －m 2+2m+3，－m 2+2m+3+3－m ）∵C 为雁点∴m －m 2+2m+3=－m 2+2m+3+3－m ，解得：m=32，即P （32，154）.②如图所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP =JB ，KC =JP方法一设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x －m ，KC =y －m ，JB =y ，JP =3－x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则P 23(,)22或23(,)22方法二设P （m ，－m 2+2m+3），则C （m －（－m 2+2m+3），－m 2+2m+3－（3－m ））∴m －（－m 2+2m+3）=－m 2+2m+3－（3－m ），解得：③如图所示，此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为（32，154）或3()22，或23()22，.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，13313322Q⎫++⎪⎪⎝⎭或34141322Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4)，将（0,8）代入得：a=－1即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8；（2）存在以点Q为直角顶点的等腰直角△CQR，理由如下：①当点Q在第二象限时，如图所示过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR为等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ ≌△LQR∴RL=QK ，QL=CK ，设R （m ，0），Q （x ，y ）则m －x=8－y－x=y即－x=－x 2+2x+8，解得：x=32-或x=32+（舍）则Q （32-，32）②当点Q 在第一象限时，如图所示同理可得：x=－x 2+2x+8，解得：x=12或x=12-（舍），∴Q ⎫⎪⎝⎭.综上所述，满足题意的Q 点坐标为1122⎛⎫ ⎪⎝⎭或3322⎛⎫- ⎪⎝⎭．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）【解析】解：（1）∵抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （－1，0），则09301b c b c =-++⎧⎨=--+⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =－x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE t ，即E （3－t ，0），又Q （－1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC －S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4.（3）如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP ，∴MF =PE =t ，PF =QE =4－2t ，∴EF =4－2t +t =4－t ，又OE =3－t ，∴点M 的坐标为（3－2t ，4－t ），∴4－t =－（3－2t ）2+2（3－2t ）+3，解得：t，∴M．【多题一解·对标练习】练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线213y x bx c =++经过坐标原点和点A ，顶点为点M ．（1）求抛物线的关系式及点M 的坐标；（2）将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y mx n =+，且与x 轴负半轴交于点C ，取点()2,0D ，连接DM ，求证：45ADM ACM ∠-∠=︒．【答案】（1）y=13x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析．【解析】解：（1）∵直线AB：y=－12x+3交坐标轴与A、B∴A（6,0），B（0,3）将（6,0），（0，0）代入y=13x2+bx+cx得：1260b cc++=⎧⎨=⎩，解得：2bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为y=13x2－2x，顶点M的坐标为（3，－3）；（2）由题意得：m=1 2-，将点(3,－3)代入y=12-x+n得：n=32-，则直线CM的解析式为y=12-x32-，如图，过点D作DH⊥CM于H，设直线DM的解析式为y=2x+k，将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，则直线DH的解析式为：y=2x－4，联立132224y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即H （1，－2），∴=，=即DH=MH ，又DH ⊥CM ，即三角形DHM 是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM －∠ACM=45°．练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF的面积．【答案】（1）y=－x 2+6x －3；（2）4.【解析】解：（1）由抛物线与y 轴相交于点(0,－3)，得b=－3，∵抛物线的对称轴为x=3，即232b a--=，解得：a=－1∴抛物线的解析式为y=－x 2+6x －3.（2）过点E 作EM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于N ，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x轴∴∠EDM=45°∴△EMD为等腰直角三角形∴EM=DM设E（m，－m2+6m－3），则M(m，0)，DM=3－m，EM=－m2+6m－3，∴3－m=－m2+6m－3解得：m=1或m=6当m=1时，E（1,2），符合题意，DM=EM=2，MN=4，△DEF的面积为4当m=6时，E（6，－3），舍去，综上所述：△DEF的面积为4．。
(初三)18因动点产生的等腰三角形问题
经典例题
例1． 在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在坐标轴上确 定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ C） A． 4个
找法： （3）PA=PO： 点 P 为 AC 的垂直平分线与坐标轴的交点， 如图，有2个，共8个
B． 6个
C． 8个
D． 1个
经典例题
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=的图象与轴交于 点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4），直线是抛物线的对称轴， 与x轴交于点D，点P是直线上一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）点P在直线上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条 件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）++4 对称轴=1
解法二：利用“三线合一”．
如图：若DA=DE，则需AE=2AF．
经典例题
例1． 在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在坐标轴上确 定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A． 4个
找法： （1）OP=OA： 点P为以O为圆心，OA为半径的圆 与坐标轴的交点， 如图，有4个
对称轴=1
Байду номын сангаас
（2） 连接CA、CP1、CP2，过点C作CH⊥P1P2. 设P1（1，a）, P2(1,b) 由勾股定理得：=AC= =AC=
经典例题
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=的图象与轴交于 点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4），直线是抛物线的对称轴， 与x轴交于点D，点P是直线上一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）点P在直线上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条 件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）++4 （2）
2因动点产生的等腰三角形问题
动点产生的等腰三角形例：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PHBO CO=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．（3）设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5强化训练：1．（2012•临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2012秋•文昌校级期末）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图所示，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一个交点A．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是以OP为底的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2014秋•安溪县期末）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（3）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2015•浠水县校级模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：1.符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．2.符合条件的点P的坐标分别是：P1（﹣4，0）、P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）、P4（，0）．3. P点坐标为（4，0）．4. 所求的点为P1（2，3），P2（2，3+），P3（2，3﹣），P4（2，2）．5.符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．。
二次函数压轴题第四讲 因动点产生的等腰三角形问题
第四讲因动点产生的等腰三角形问题【知识要点】求等腰三角形的存在性方法:（1）几何法：两个圆一条线；（2）代数法：盲解【典型例题】例1．如图，y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)（1）求抛物线的解析式；（2）若点N是抛物线对称轴上一动点，且△NAC是等腰三角形，求点N的坐标．例2．如图，抛物线)0(42≠++=a bx ax y 与x 轴交于点A （-2，0）和B （4，0）、与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）T 是抛物线对称轴上的一点，且△ACT 是以AC 为底的等腰三角形，求点T 的坐标；（3）点M 、Q 分别从点A 、B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行．当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒23个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时间t （秒）与△APQ 的面积S 的函数关系式例3．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B、C；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；（3）在（2）的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例4．如图，已知二次函数c x ax y ++=32的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N 的坐标；（4）若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．。
动点产生的等腰三角形问题
动点产生的等腰三角形问题类型1:一动点两定点如图，在平面中找点P，使得点P与已知点A.B构成等腰三角形分类讨论：第一种情况：以AB为腰，分别以AB为圆心，AB长为半径画圆，则在圆上的点（除去AB重合或共线的点）都能与AB构成等腰三角形；第二种情况：以AB为底，即为两圆的交点P1P2，P1P2是线段AB的垂直平分线总结：就是“两圆一线”模型解题技巧：步骤1：通过“两圆一线”确定动点位置；步骤2：分类讨论，建立方程模型求动点坐标注意：去除与直线AB共线的点的方法：求直线AB的解析式，再验证P点是否在直线AB 上，在则共线，不在，则不共线或用几何方法证明例题1:在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A.5B.6C.7D.8例题2:如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x x =--x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,对称轴与x 轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.(1) 求直线AE 的解析式;(2) 点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE 的面积最大时,求P 点坐标.(3) 点G 是线段CE 下方的中点,将抛物线2y x =x 轴正方向平移得到新抛物线'y ,'y 经过点D, 'y 的顶点为点F.在新抛物线'y 的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.练习1:如图1,已知二次函数2y ax bx c =++(a,b,c 为常数,a ≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M 的纵坐标为83-.直线l 的解析式为y=x.(1) 求二次函数的解析式;(2) 直线l 沿x 轴向右平移,得到直线'l ,'l 与线段OA 相交于B,与x 轴下方的抛物线相交于点C,过点C 作CE ⊥x 轴于点E,把△BCE 沿直线'l 折叠,当点E 恰好落在抛物线上'E 点时,(图2),求直线'l 的解析式;(3) 在(2)的条件下, 'l 与y 轴交于点N,把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△''B ON ,P为'l 上的动点,当△''PB N 为等腰三角形时,求符合条件的点P 的坐标.练习2:如图1,在平面直角坐标系中,抛物线249y x bx c =-++经过点A(-5,0)和点B(1,0). (1) 求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2) 如图2,连接AD,BD,点M 在线段AB 上(不与A,B 重合),∠DMN=∠DBA,MN 交线段AD 于点N,是否存在这样点M,使得△DMN 为等腰三角形?若存在,求出AN 的长;若不存在,请说明理由.类型2:多个动点1.在平面内使构成等腰三角形的三个点中，动点个数≥2个；解决这类问题的方法：让三个点分别做顶角顶点，进行分类讨论；如图，在平面内点A、B、P为动点，使得△PAB是等腰三角形？分类：①以P为顶点,PA=PB；②以A为顶点,AP=AB③以B为顶点,BA=BP2.在具体的题目中有时不仅要找出符合题意的点，还要计算出点的坐标，计算点的坐标的方法可以参考以下几种方法：①全等；②相似；③勾股定理；④锐角三角函数；⑤面积法；⑥方程或者方程组.例题1:如图,△ABC是边长为8的等边三角形,现有两点M,N分别从点A,点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为每秒1个单位长度,点N的运动速度为每秒2个单位长度,当点M第一次到达B点时,M,N同时停止运动.(1)点M,N运动几秒后,可得到等边三角形AMN?(2)点M,N运动几秒后,M,N两点重合?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰△AMN?若存在,请求出此时M,N运动的时间.例题2:如图1,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A(0,6),与x 轴交于点B(-2,0),C(6,0).(1) 直接写出抛物线的解析式及其对称轴;(2) 如图2,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P 作PD ⊥AC 于点E,交x 轴于点D,过点P 作PG ∥AB 交AC 于点F,交x 轴于点G.设线段DG 的长为d,求d 与m 的函数关系式,并注明m 的取值范围;(3) 在(2)的条件下,若△PDG 的面积为4912. ①求点P 的坐标;②设M 为直线AP 上一动点,连接OM 交直线AC 与点S,则点M 在运动过程中,在抛物线上是否存在点R,使得△ARS 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M 及其对应的点R 的坐标;若不存在,请说明理由.练习1:如图①,在平面直角坐标系中,已知A(-2,2),B(-2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M 以B →C →D 运动(M 不与点B,点D 重合),设运动时间为t(秒).(1) 求经过A,C,D 三点的抛物线的解析式;(2) 点P 在(1)中的抛物线上,当M 为BC 的中点时,若△PAM ≌PBM,求点P 的坐标;(3) 当点M 在CD 上运动时,如图②,过点M 作MF ⊥x 轴,垂足为F,ME ⊥AB,垂足为E,设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S,求S 与t 的函数关系,并求出S 的最大值;(4) 点Q 为x 轴上一点,直线AQ 与直线BC 交于点H,与y 轴交于点K,是否存在点Q,使得△HOK 为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.练习2:抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x 轴于点D,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点(点P 不与C,D 重合),过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E,交x 轴于点F.(1) 求抛物线的解析式;(2) 当△PCF 的面积为5时,求点P 的坐标;(3) 当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标.课后练习:1.如图所示,二次函数2(1)2y k x =-+的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B 两点,点B 在点A 的右侧,直线AB 分别与x,y 轴交于C,D 两点,其中k ＜0.(1)求A,B 两点的横坐标;(2)若△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形,求k 的值;(3)二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点A(-4,0),B(2,0),交y 轴于点C(0,6),在y 轴上有一个点E(0,-2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点,求△ADE 面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P 点的坐标,若不存在,请说明理由.3.抛物线263y x x =-+-与y 轴相交于点C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=3,D 为对称轴与x 轴的交点,在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E,F 两点,若△DEF 是等腰三角形,求△DEF 的面积.4.如图,抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A,B 两点,交y 轴于点C(0,3),顶点F 的坐标为(1,4),对称轴交x 轴于点H,直线112y x =+交x 轴于点D,交y 轴于点E,交抛物线的对称轴于点G.(1)求出a,b,c 的值;(2)点M 为抛物线对称轴上一个动点,若△DGM 是以DG 为腰的等腰三角形时,请求出点M 的坐标;(3)点P 为抛物线上的一个动点,当点P 关于直线112y x =+的对称轴恰好落在x 轴上时,请直接写出此时点P 的坐标.5.如图,抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C(0,-2),点A 的坐标是(2,0),P 为抛物线上的一个动点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D,交直线BC 于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 若点P 在第二象限内,且PE=14OD,求△PBE 的面积; (3) 在(2)的条件下,若M 为直线BC 上一点,在x 轴的上方,是否存在点M,使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,一次函数3y x =-图象与坐标轴交于点A(3,0),B (0,,二次函数233y x x =-A,B 两点,点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以B,C,P,Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,抛物线213222y x x =-++与x 轴交于A(-1,0),B(4,0),与y 轴交于点C,连接AC,BC,点P 在抛物线上运动,如图,若点P 在第一象限,直线AP 交BC 于点F,过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H,当△PFH 为等腰三角形时,求线段PH 的长.8.如图,已知两直线1l ,2l 分别经过点A(1,0),点B(-3,0),且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C,当点C 的坐标为时,恰好有1l ⊥2l ,经过点A,B,C 的抛物线的对称轴与1l ,2l ,x 轴分别交于点G,E,F,D 为抛物线的顶点.(1)抛物线的函数解析式;(2)试说明DG 与DE 的数量关系?并说明理由;(3)若直线2l 绕点C 旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当△MCG 为等腰三角形时,请直接写出点M 的坐标.9.如图,已知抛物线2y=ax 9a --与坐标轴交于A,B,C 三点,其中C(0,3),∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D,交BC 于点D,交BC 于点E,过点D 的直线l 与射线AC,AB 分别交于点M,N.(1)直接写出a 的值,点A 的坐标及抛物线的对称轴;(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD 为等腰三角形,求出点P 的坐标;(3)证明:当直线l 绕点D 旋转时, 11AM AN+均为定值,并求出该定值.。
中考数学压轴题精讲：因动点产生的等腰三角形问题(含试题-含详解)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
D
②当 BP＝BO＝4 时，BP2＝16．
X
所以 42 ( y 2 3)2 16 ．解得 y1 y2 2 3 ．
S
图1
③当 PB＝PO 时，PB2＝PO2．所以 42 ( y 2 3)2 22 y2 ．
Z
解得 y 2 3 ．
X
综合①、②、③，点 P 的坐标为(2, 2 3)，如图 1 所示．
Z
所以 PM DM 4 ．所以QN 3 PM ， PM 4 QN ．
X
QN DN 3
4
3
图1
1.2 因动点产生旳等腰三角形问题
例4 2023年上海市虹口区中考模拟第25题
（2）
①如图 2，当 BP＝2，P 在 BM 上时，PM＝1．
此时QN 3 PM 3 ．所以CQ CN QN 4 3 19 ．
Y
可以得到△ BDP 也是等腰三角形，PB＝PD．在△ BDP 中可以
D
直接求解 BP 25 ．
X
6
S
Z
X
图6
1.2 因动点产生旳等腰三角形问题
例3 2023年临沂市中考第26题 如图，点A在 x 轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB旳 位置．
（1）求点B旳坐标；
（2）求经过A、O、B旳抛物线旳解析式； （3）在此抛物线旳对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B
Y
为顶点旳三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 旳坐标；若 不存在，请阐明理由．
所以 ED CD tan C 5 3 15 ， EC 25 ．
44
4
Y D
（2）如图 1，过点 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N，
X
因动点产生的等腰三角形问题
一、因动点产生的等腰三角形问题1、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．2、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．4、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？二、因动点产生的直角三角形问题5、如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．7、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．8、设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC 上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．三、因动点产生的相似三角形例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
因动点产生的等腰三角形、直角三角形问题
因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP ＝2，求CQ 的长；（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．图1 备用图满分解答（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254EC =． （2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．因此△PDM ∽△QDN ．所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．图2 图3 图4①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以314CQ CN QN =+=．（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，得∠PDF ＝∠CDQ ．因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形． ①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CHC CQ=，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =． 例2 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)． 图2（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1．此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =．此时点M 的坐标为或(1,)． ③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例3 2012年临沂市中考第26题如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，OC =所以点B 的坐标为(2,--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点B (2,--，2(6)a --⨯-．解得a =．所以抛物线的解析式为2(4)y x =-=．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得y =±当P 在时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(16y ++=．解得12y y ==-③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(2y y ++=+．解得y =-综合①、②、③，点P 的坐标为(2,-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由2(4)2)y x x x =-=-D ．因此tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例4 2011年盐城市中考第28题如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C P P O RC O R AS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7． 在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在P A 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当P A ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．满分解答（1）由21314(2)(8)424y x x x x =--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142y x =-+．由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213(,4)42Q m m m --．所以MQ ＝221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++．当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)． 所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分． 所以四边形CQBM 是平行四边形．图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)． 第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(,(2)(8))4x x x +-．①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482x x x -+-=-．解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以14(2)(8)42x x x-+-=-．解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．图3 图4例 2 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+． 定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-． 定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =22t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =．③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =．如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7。
函数中因动点产生的等腰三角形问题
函数中因动点产生的等腰三角形问题方法：通常要考虑以已知的线段“为腰”或者“为底”两种情况。
1．为腰：分别以已知线段的两个端点为圆心，以已知的线段长为半径画圆，圆与所要求的图象的交点就是符合条件的点；2．为底：做已知线段的垂直平分线，中垂线与所要求的图象的交点就是符合条件的点 例1、已知：抛物线y=ax 2+bx+c(a ＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2. (1)求该抛物线的解析式；(2)点D 在线段AB 上且AD=AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求解∴c=－6, 即y=ax 2+bx －6由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-061214422b a a b解得：a=161 ,b=－41∴该抛物线的解析式为y=161x 2－41x －6 -------3分 方法二：∵A 、B 关于x=2对称∴A （－8，0） 设y=a(x ＋8)(x －12) C 在抛物线上 ∴－6=a ×8×(－12) 即a=161∴该抛物线的解析式为：y=161x 2－41x －6 --------3分 （2）存在，设直线CD 垂直平分PQ,在Rt △AOC 中，AC=2268+=10=AD∴点D 在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC ，-----------4分 由已知∠PDC=∠ACD∴∠QDC=∠ACD ∴DQ ∥AC -----------------------------5分 DB=AB －AD=20-10=10∴DQ 为△ABC 的中位线 ∴DQ=21AC=5 -----------------6分 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 ∴t=5÷1=5(秒)∴存在t=5(秒)时，线段PQ 被直线CD 垂直平分-----------7分 在Rt △BOC 中, BC=22126+=65 ∴CQ=35 ∴点Q 的运动速度为每秒553单位长度.------------------8分 （3）存在 过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，则QH=3，PH=9在Rt △PQH 中，PQ=2239+=310 --------------------9分 ①当MP=MQ ，即M 为顶点，设直线CD 的直线方程为：y=kx+b(k ≠0),则：⎩⎨⎧+==-b k b 206 解得：⎩⎨⎧=-=36k b ∴y=3x-6当x=1时，y=－3 ∴M 1(1, －3) ------------------------10分 ②当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且P 为顶点. 设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：42+y 2=90 即y=±74∴M 2（1，74） M 3（1，－74） -----------------------11分 ③当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且Q 为顶点.过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3) 设直线x=1存在点M(1,y),(y＋3)2+52=90 即y=－3±65∴M4(1, －3＋65) M5((1, －3--------------------12分综上所述：存在这样的五点：M1(1, －3), M2（1，74）, M3（1M4(1, －3＋65),M5((1, －3－65).。
因动点产生的等腰三角形、直角三角形问题
因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以314CQ CN QN=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3 tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PM QN==．所以45333BP BM PM=-=-=．②如图6，当QC＝QD时，由cosCHCCQ=，可得5425258CQ=÷=．所以QN＝CN－CQ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN==．所以725366BP BM PM=+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =． 例2 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ．由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)． 图2（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1．此时点M 的坐标为(1, 1)． ②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±．此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)． ③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例3 2012年临沂市中考第26题如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =． 所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)， 代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得36a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)663y x x x x =--=-+．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)y x x x =--=--+，得抛物线的顶点为23(2,)D ．因此23tan DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例4 2011年盐城市中考第28题如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7． 在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在P A 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当P A ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．满分解答（1）由21314(2)(8)424y x x x x =--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142y x =-+．由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213(,4)42Q m m m --．所以MQ ＝221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++．当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)．所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分． 所以四边形CQBM 是平行四边形．图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)． 第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(,(2)(8))4x x x +-．①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482x x x -+-=-．解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以14(2)(8)42x x x-+-=-． 解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．图3 图4例 2 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+．③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7。
专题六：因动点产生的等腰三角形问题
专题六：因动点产生的等腰三角形问题零点突破【例1】如图，在直角三角形ABC 中，直角边AC=6cm ，BC=8cm. 设P 、Q 分别为AB 、BC 上的动点，点P 自点A 沿AB 方向向点B 作匀速移动且速度为每秒2cm ，同时点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速移动且速度为每秒1cm ，当P 点到达B 点时，Q 点就停止移动. 设P 、Q 移动的时间t 秒. 当t 为何值时，△PBQ 为等腰三角形？【例2】已知：如图，一次函数y=43x +n 与x 轴交于点B ，一次函数y=﹣23x +m 与y 轴交于点C ，且它们的图象都经过点D （1，﹣83）． （1）求B 、C 两点的坐标；（2）设点P （t ，0），且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值；（3）在（2）的条件下，在第四象限内，以CP 为腰作等腰Rt △CPQ ，求点Q 的坐标．【例3】已知如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD与点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．【例4】已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．【例5】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=3，AB=16．点E在射线BC上，点F4在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．变式训练真题直面1.（2016•山西）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．2.（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．。
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动点问题专题（1）
1、如图，在直角坐标系xoy中,反比例函数y=8/x图像上的点A,B的的坐标分别为（2，m）、（n，2），点c在x轴上，三角形ABC为等腰三角形，求点c的坐标。
3、如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点
C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在线段DA上运动时，连接BD，若∠ABP=∠ADB，求t的值；
（2）当点P在线段DA上运动时，若以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，求t的值；
（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请直接写出t 的值；如果不能，请说明理由．
4、如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .
（1）试求ABC ∆的面积；
（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；
（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．。