因动点产生的等腰三角形问题
中考数学压轴题精练：因动点产生的等腰三角形问题
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③如图 5，当 CM＝CA 时，CM2＝CA2．解方程 1＋(m－3)2＝10，得 m＝0 或 6． 当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0)．
图3
得 1（3+7 − t) × 4 − 1 × 4× (4 − t) − 1 × t(7 − t) = 8 ．整理，得 t2 − 8t +12 = 0 ．解得 t＝2 或 t＝6
2
2
2
（舍去）．如图 3，当 P 在 CA 上运动时，△APR 的最大面积为 6．
因此，当 t＝2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8．
在 Rt△OBC 中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以 BC＝2， OC = 2 3 ．
所以点 B 的坐标为 (−2, −2 3) ．
（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 y＝ax(x－4)，
代入点 B (−2, −2 3) ， −2 3 = −2a × (−6) ．解得 a = − 3 ． 6
满分解答
（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1,0)、B(3, 0)两点，设 y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点 C(0 ,3)，得－3a＝3．解得 a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是 y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x＝1． 当点 P 落在线段 BC 上时，PA＋PC 最小，△PAC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H． 由 BH = PH ，BO＝CO，得 PH＝BH＝2．
因此△PDM∽△QDN．
中考数学必考考点探究与提升函数图像中因动点产生的等腰三角形问题
中考数学必考考点探究与提升函数图像中因动点产生的等腰三角形问题如图，给定一直线，给定一线段，那么直线上理论上应该存在五个点使该点与已知线段构成等腰三角形。
例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2解析:（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45．作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ．所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --．当52t =时，S 取得最大值，最大值为158．（2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ．解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =．②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =．③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6 图7例2. （1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254EC =． （2）如图1，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ． 因此△PDM ∽△QDN ． 所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．图1 图2 图3图2，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1． 此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=． 如图3，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图4，如图1，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图4，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图5，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ =，可得5425258CQ =÷=． 所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图4，图5所示）．图4 图51.已知直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x ﹣3）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形3.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，设抛物线的顶点为．(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点，使得△是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；4.抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点，的直线的表达式为．(1)求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点，，构成的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知：如图，抛物线经过、、三点．求抛物线的函数关系式；若过点的直线与抛物线相交于点，请求出△的面积的值；写出二次函数值大于一次函数值的的取值范围；在抛物线上是否存在点使得△为等腰三角形？若存在，请指出一共有几个满足条件的点，并求出其中一个点的坐标；若不存在这样的点，请说明理由．6.已知：抛物线的顶点的坐标为与轴交于点，与轴交于、两点（在的左边）．求此抛物线的表达式；点是线段上一动点（不与点重合），点在线段上移动且，设线段，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；①在的条件下是否存在点，使△是为底的等腰三角形？若存在试求点的坐标；若不存在说明理由．②在中抛物线的对称轴上是否存在点，使△是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点的坐标．7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．8. 如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC 上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m11.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．12.在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
2024成都中考数学二轮复习专题：动点引起的等腰直角三角形存在性问题
动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或312⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x=上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．（2）①联立25y x y ax x c=⎧⎨=++⎩得ax 2+4x+c=0∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=4c >1，即4c －1>0，4c c->0，解得：0<c<4.②由①知，E 点坐标为：x=422a a-=-，即E 22,a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在y=ax 2+5x+4a 中，当y=0时，得：x=－4a ，x=－1a即M 点坐标为（－4a ，0），N 点坐标为（－1a ，0）过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH=2a，MH=242()a a a---=∴EH=MH即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H方法一设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x -=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即P （32，154）.方法二设P （m ，－m 2+2m+3），同理，CH =PK ，HP =KB ，则C （m －m 2+2m+3，－m 2+2m+3+3－m ）∵C 为雁点∴m －m 2+2m+3=－m 2+2m+3+3－m ，解得：m=32，即P （32，154）.②如图所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP =JB ，KC =JP方法一设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x －m ，KC =y －m ，JB =y ，JP =3－x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则P 2103(,)22或2103(,)22方法二设P （m ，－m 2+2m+3），则C （m －（－m 2+2m+3），－m 2+2m+3－（3－m ））∴m －（－m 2+2m+3）=－m 2+2m+3－（3－m ），解得：③如图所示，此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为（32，154）或3()22，或23()22，.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，13313322Q⎫++⎪⎪⎝⎭或34141322Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4)，将（0,8）代入得：a=－1即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8；（2）存在以点Q为直角顶点的等腰直角△CQR，理由如下：①当点Q在第二象限时，如图所示过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR为等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ ≌△LQR∴RL=QK ，QL=CK ，设R （m ，0），Q （x ，y ）则m －x=8－y－x=y即－x=－x 2+2x+8，解得：x=3412-或x=3412+（舍）则Q （3412-，4132）②当点Q 在第一象限时，如图所示同理可得：x=－x 2+2x+8，解得：x=1332或x=1332-（舍），∴Q ⎫⎪⎝⎭.综上所述，满足题意的Q 点坐标为13313322⎛⎫ ⎪⎝⎭或34141322⎛⎫- ⎪⎝⎭．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）【解析】解：（1）∵抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （－1，0），则09301b c b c =-++⎧⎨=--+⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =－x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE t ，即E （3－t ，0），又Q （－1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC －S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4.（3）如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP ，∴MF =PE =t ，PF =QE =4－2t ，∴EF =4－2t +t =4－t ，又OE =3－t ，∴点M 的坐标为（3－2t ，4－t ），∴4－t =－（3－2t ）2+2（3－2t ）+3，解得：t，∴M．【多题一解·对标练习】练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线213y x bx c =++经过坐标原点和点A ，顶点为点M ．（1）求抛物线的关系式及点M 的坐标；（2）将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y mx n =+，且与x 轴负半轴交于点C ，取点()2,0D ，连接DM ，求证：45ADM ACM ∠-∠=︒．【答案】（1）y=13x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析．【解析】解：（1）∵直线AB：y=－12x+3交坐标轴与A、B∴A（6,0），B（0,3）将（6,0），（0，0）代入y=13x2+bx+cx得：1260b cc++=⎧⎨=⎩，解得：2bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为y=13x2－2x，顶点M的坐标为（3，－3）；（2）由题意得：m=1 2-，将点(3,－3)代入y=12-x+n得：n=32-，则直线CM的解析式为y=12-x32-，如图，过点D作DH⊥CM于H，设直线DM的解析式为y=2x+k，将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，则直线DH的解析式为：y=2x－4，联立132224y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即H （1，－2），∴=，=即DH=MH ，又DH ⊥CM ，即三角形DHM 是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM －∠ACM=45°．练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF的面积．【答案】（1）y=－x 2+6x －3；（2）4.【解析】解：（1）由抛物线与y 轴相交于点(0,－3)，得b=－3，∵抛物线的对称轴为x=3，即232b a--=，解得：a=－1∴抛物线的解析式为y=－x 2+6x －3.（2）过点E 作EM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于N ，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x轴∴∠EDM=45°∴△EMD为等腰直角三角形∴EM=DM设E（m，－m2+6m－3），则M(m，0)，DM=3－m，EM=－m2+6m－3，∴3－m=－m2+6m－3解得：m=1或m=6当m=1时，E（1,2），符合题意，DM=EM=2，MN=4，△DEF的面积为4当m=6时，E（6，－3），舍去，综上所述：△DEF的面积为4．。
(初三)18因动点产生的等腰三角形问题
经典例题
例1． 在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在坐标轴上确 定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ C） A． 4个
找法： （3）PA=PO： 点 P 为 AC 的垂直平分线与坐标轴的交点， 如图，有2个，共8个
B． 6个
C． 8个
D． 1个
经典例题
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=的图象与轴交于 点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4），直线是抛物线的对称轴， 与x轴交于点D，点P是直线上一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）点P在直线上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条 件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）++4 对称轴=1
解法二：利用“三线合一”．
如图：若DA=DE，则需AE=2AF．
经典例题
例1． 在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在坐标轴上确 定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A． 4个
找法： （1）OP=OA： 点P为以O为圆心，OA为半径的圆 与坐标轴的交点， 如图，有4个
对称轴=1
Байду номын сангаас
（2） 连接CA、CP1、CP2，过点C作CH⊥P1P2. 设P1（1，a）, P2(1,b) 由勾股定理得：=AC= =AC=
经典例题
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=的图象与轴交于 点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4），直线是抛物线的对称轴， 与x轴交于点D，点P是直线上一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）点P在直线上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条 件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）++4 （2）
中考压轴专题,2.因动点产生的等腰三角形问题-教师
因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3 tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CHC CQ=，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =．例2 如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO =，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 图2 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的： 设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±． 此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例3 如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =． 所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)， 代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得36a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)663y x x x x =--=-+．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)663y x x x =--=--+，得抛物线的顶点为23(2,)3D ．因此23tan 3DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C P P O RC O R AS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733t t-=-，得418t=．如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]t t t-=---，得5t=．如7，当P A＝PQ时，那么12cosAQAAP∠=．因此2cosAQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t-=-⨯，得22643t=．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例5 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m xx y-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例 6 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD 于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ，过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ，连结PN ，设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3思路点拨1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF ＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF 、EF 与BC 间的距离相等．2．当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．3．分三种情况讨论等腰三角形PMN ，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．满分解答（1）如图4，过点E 作EG ⊥BC 于G ．在Rt △BEG 中，221==AB BE ，∠B ＝60°， 所以160cos =︒⋅=BE BG ，360sin =︒⋅=BE EG ．所以点E 到BC 的距离为3．（2）因为AD //EF //BC ，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点．因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝4．①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变．过点N 作NH ⊥EF 于H ，设PH 与NM 交于点Q ．在矩形EGMP 中，EP ＝GM ＝x ，PM ＝EG ＝3．在平行四边形BMQE 中，BM ＝EQ ＝1＋x ．所以BG ＝PQ ＝1．因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH ＝2PQ ＝2．在Rt △PNH 中，NH ＝3，PH ＝2，所以PN ＝7．在平行四边形ABMN 中，MN ＝AB ＝4．因此△PMN 的周长为3＋7＋4．图4 图5②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．如图5，当PM ＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线上．在Rt △PCM 中，PM ＝3，∠PCM ＝30°，所以MC ＝3．此时M 、P 分别为BC 、EF 的中点，x ＝2．如图6，当MP ＝MN 时，MP ＝MN ＝MC ＝3，x ＝GM ＝GC －MC ＝5－3．如图7，当NP ＝NM 时，∠NMP ＝∠NPM ＝30°，所以∠PNM ＝120°．又因为∠FNM ＝120°，所以P 与F 重合．此时x ＝4．综上所述，当x ＝2或4或5－3时，△PMN 为等腰三角形．图6 图7 图8 考点伸展第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m ，0），那么点P 的坐标为（m ，3），MN ＝MC ＝6－m ，点N 的坐标为（26+m ，2)6(3m -）． 由两点间的距离公式，得21922+-=m m PN ．当PM ＝PN 时，92192=+-m m ，解得3=m 或6=m ．此时2=x ．当MP ＝MN 时，36=-m ，解得36-=m ，此时35-=x ．当NP ＝NM 时，22)6(219m m m -=+-，解得5=m ，此时4=x ．。
第2讲 因动点产生的等腰三角形问题
第2讲因动点产生的等腰三角形问题例1重庆市中考第25题如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1 图2思路点拨1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝AB＝在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝BD＝（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝12AD．在Rt△ADH中，DH＝12AD．所以AE＝DH．因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以F A＝FD，∠F AD＝∠FDA．所以∠F AE＝∠FDH．所以△F AE≌△FDH．所以EF＝HF．图3 图4 图5 （3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．因此FM＝12AD，△ACM是等边三角形．又因为AE＝12AD，所以FM＝EA．又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6 图7 如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8 图9 图10 图11例2长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在三种情况，其中MA ＝MN 和NA ＝NM 两种情况时，点P 的纵坐标是相等的．满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将1)16代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知A (0, 2)，所以PA =214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值． 等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝此时x ＝OH ＝2．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x ===+③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为4+图4 图5考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ==+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例3 上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3 tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CHC CQ=，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =．例4 扬州市中考第27题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．图2（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m=．此时点M的坐标为或(1,)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例5 临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，OC =所以点B 的坐标为(2,--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点B (2,--，2(6)a -=-⨯-．解得a =．所以抛物线的解析式为2(4)y x x x x =-=．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得y =±当P 在时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(16y ++=．解得12y y ==-③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(2y y ++=+．解得y =-综合①、②、③，点P 的坐标为(2,-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．由2=-=-，得抛物线的顶点为D．y x x x(4)2)因此tan DOA∠=DOA＝30°，∠ODA＝120°．例6 盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP PORCORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB=OB＞AB．因此∠OAB ＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠P AQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，3cos5A∠=为定值，7AP t=-，5520333AQ OA OQ OA OR t=-=-=-．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733t t-=-，得418t=．如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]t t t-=---，得5t=．如7，当P A＝PQ时，那么12cosAQAAP∠=．因此2cosAQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t-=-⨯，得22643t=．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7 考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例7南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m xx y-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x xm m=-+221116(8)(4)x x xm m m=--=--+，那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x xm m=-+总有一个根8x m=-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．【强化训练】1.（遂宁25）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2经过A （-2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点。
专题21 因动点产生的等腰三角形问题(基础)-冲刺2021年中考数学(解析版)
专题21 因动点产生的等腰三角形问题（基础）1．已知抛物线y ＝﹣（x ﹣m ）2+1与x 轴的交点为A ，B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．当点B 在原点的右边，点C 在原点下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】先求出拋物线y ＝﹣（x ﹣m ）2+1与x 轴的交点，与y 轴的交点，再用m 表示出OB ，OC 的长度，根据当△BOC 为等腰三角形时，BO ＝OC 列出方程，即可求出答案．【解答】解：当y ＝0时，﹣（x ﹣m ）2+1＝0，即有（x ﹣m ）2＝1．∴x 1＝m ﹣1，x 2＝m +1．∵点B 在点A 的右边，∴A （m ﹣1，0），B （m +1，0），∵点B 在原点右边∴OB ＝m +1，∵当x ＝0时，y ＝1﹣m 2，点C 在原点下方，∴OC ＝m 2﹣1，当m 2﹣1＝m +1时，m 2﹣m ﹣2＝0，∴m ＝2或m ＝﹣1（因为对称轴在y 轴的右侧，m ＞0，所以不合要求，舍去），∴存在△BOC 为等腰三角形的情形，此时m ＝2．【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是用m 表示出OB ，OC 的长度，列出方程．2．如图，直线y ＝kx ﹣3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，且OB OC =12 （1）求点B 坐标和k 值；（2）若点A （x ，y ）是直线y ＝kx ﹣3上在第一象限内的一个点，坐标（2，1），请问x 轴上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出OC 的长，根据题意求出OB ，得到点B 坐标，把点B 坐标代入一次函数解析式，求出k ；（2）分BP ＝BA 、P A ＝PB 两种情况，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）对于直线y ＝kx ﹣3，当x ＝0时，y ＝﹣3，∴点C 的坐标为（0，﹣3），即OC ＝3，∵OB OC =12， ∴OB =32，即点B 的坐标为（32，0），则32k ﹣3＝0， 解得，k ＝2；（2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，则OD ＝2，BD ＝2−32=12，AD ＝1，∴Rt △ABD 中，AB =√BD 2+AD 2=√52，∴以B 为圆心，AB 长为半径画弧，从左往右依次交x 轴于P 1，P 2两点，则OP 1=32−√52，OP 2=32+√52，故P 1（32−√52，0），P 2（32+√52，0）， 作AB 的垂直平分线交x 轴于P 3，设DP 3＝x ，则Rt △ADP 3中，12+x 2＝（12+x ）2， 解得x =34，∴P 3（114，0），当AB ＝AP 时，DP ＝DB =12，∴P 4（52，0）， 故存在四个点P ，使△ABP 为等腰三角形．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定，正确求出一次函数图象与坐标轴的交点、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝21cm ，点P 从点B 出发沿BC 以2cm /s 的速度移动到点C ；同时，点Q 从点A 出发沿AD 以1cm /s 的速度移动到点D ；当点P 运动到点C 时点Q 也随之停止运动，设点P 的运动时间为ts 是否存在点P ，使△DPQ 是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的t 的值；如果不存在，请说明理由．【分析】先表示出PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可．【解答】解：如图，过点Q作QE⊥⊥BC，由题意得，AQ＝t，PE＝BP﹣BE＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，∴DQ＝21﹣t，PC＝21﹣2t，QE＝12，（0＜t≤21 2）在Rt△PQE中，PQ2＝122+t2，在Rt△PCD中，PD2＝（21﹣2t）2+122，∵△DPQ是等腰三角形，①当PQ＝PD时，即：122+t2＝（21﹣2t）2+122，∴t＝7或t＝21（舍）；②当PQ＝DQ时，即：122+t2＝21﹣t，此方程无解，③当PD＝DQ时，（21﹣2t）2+122＝21﹣t，∴此方程无解．即：t＝7时，△DPQ是等腰三角形．【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表示出PD，DQ，PQ．4．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）写出三角形APD的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）当点P在运动中，试求出使AP长为√10时运动时间t的值；（4）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；（2）需要分类讨论：点P在AB边、在BC边和在对角线AC上三种情况；（3）根据勾股定理列出方程，解方程即可；（4）分PC＝CD、PD＝PC、PD＝CD三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可．【解答】解：（1）∵x 2﹣7x +12＝0，则（x ﹣3）（x ﹣4）＝0，∴x 1＝3，x 2＝4．∵AB ＜BC ，∴AB ＝3，BC ＝4；（2）如答图1，当点P 在边AB 上时，S =12AD •AP =12×4t ＝2t （0＜t ≤4）；如答图2，当点P 在边BC 上时，S =12AD •AB =12×4×3＝6（4＜t ≤7）； 如答图3，当点P 在对角线AC 上时，由勾股定理得到AC =√32+42=5．S =12AD •AP sin ∠DAC =12×4×（t ﹣7）×35=6t 5−425．（7＜t ≤12）； 综上所述，S ={ 2t(0＜t ≤4)6(4＜t ≤7)6t 5−425(7＜t ≤12)；（3）由题意得√32−(t −3)2=√10，∴t 1＝4，t 2＝2（舍去），则t ＝4时，AP =√10；（4）存在点P ，使△CDP 是等腰三角形，①当PC ＝CD ＝3时，t ＝（3+4+3）÷1＝10（秒）；②当PD ＝PC （即P 为对角线AC 中点）时，AB ＝3，BC ＝4．∴AC =√AB 2+BC 2=5，CP =12AC ＝2.5，∴t ＝（3+4+2.5）÷1＝9.5（秒）；③当PD ＝CD ＝3时，作DQ ⊥AC 于Q ，DQ =12×3×412×5=125，PQ =√32+(125)2=95， ∴PC ＝2PQ =185，∴t =3+4+1851（秒），可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP 是等腰三角形．【点评】本题考查了四边形综合题．需要掌握矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理列出算式是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．5．如图，直线y ＝kx +b 与x 轴交于点B （﹣3，0），且它与双曲线y =12x交于点A 、C ，其中点A （n ，4）在第一象限，点C 在第三象限．（1）求直线y ＝kx +b 的解析式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点A 在双曲线图象上，可求出n 值，将A 、B 点的坐标代入直线y ＝kx +b 中，由待定系数法即可求出结论；（2）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），分三种情况考虑△AOP 是等腰三角形，由边相等得出关于m 的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵点A （n ，4）在双曲线y =12x 的图象上， ∴有4=12n ，解得：n ＝3．即点A 的坐标为（3，4）．将点A 、点B 的坐标代入直线y ＝kx +b 中得：{0=−3k +b 4=3k +b ，解得：{k =23b =2． ∴直线的解析式为y =23x +2．（2）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0）．点O （0，0），点A （3，4），由两点间的距离公式可知：OA =√(3−0)2+(4−0)2=5，OP ＝|m |，AP =√(3−m)2+(4−0)2．△AOP 是等腰三角形分三种情况：①OA ＝OP ，则有5＝|m |，解得：m ＝±5，此时点P 的坐标为（﹣5，0）或（5，0）；②OA ＝AP ，即5=√(3−m)2+(4−0)2，解得：m ＝0（舍去），或m ＝6，此时点P 的坐标为（6，0）；③OP ＝AP ，即|m |=√(3−m)2+(4−0)2，解得：m =256，此时点P 的坐标为（256，0）．综上可知：在x 轴上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，点P 的坐标为（﹣5，0）、（5，0）、（6，0）或（256，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质以及解无理方程，解题的关键：（1）由点在双曲线上求出点A 的坐标；（2）分3种情况考虑边相等的情况．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的性质由边相等得出关于n 的方程是关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（3，1），动点A 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿x 轴正半轴运动，同时动点B 以每秒2个单位的速度从点O 出发沿y 轴正半轴运动，作直线AB ．设运动的时间为t 秒，是否存在t ，使△ABC 是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】运动的时间是t ，则OA ＝t ，OB ＝2t ，利用勾股定理把AB 2，BC 2和AC 2用t 表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t 的值，然后判断t 是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可．【解答】解：运动的时间是t ，则OA ＝t ，OB ＝2t ．在直角△OAB 中，AB 2＝OA 2+OB 2＝t 2+（2t ）2＝5t 2，过C 作CD ⊥x 轴于点D ，则D 的坐标是（3，0）．在直角△ACD 中，AC 2＝CD 2+AD 2＝1+（3﹣t ）2＝t 2﹣6t +10，BC 2＝32+（2t ﹣1）2＝4t 2﹣4t +10，当AB 是斜边时，AB 2＝AC 2+BC 2，则5t 2＝t 2﹣6t +10+4t 2﹣4t +10，解得：t ＝2．此时AB 2＝20，AC 2＝2，BC 2＝18，此时不是等腰三角形，故不符合条件；当AC 是斜边时，AC 2＝AB 2+BC 2，则t 2﹣6t +10＝5t 2+（4t 2﹣4t +10），解得：t＝0或﹣4（不符合题意，舍去）；当BC是斜边时，AB2+AC2＝BC2，则5t2+（t2﹣6t+10）＝4t2﹣4t+10，解得：t＝0（舍去），或1．当t＝1时，AB2＝5，AC2＝1﹣6+10＝5，此时AB＝AC．总之，当t＝1时，△ABC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用m表示出AB2，BC2和AC2是关键．7．如图，直线AB：y=−√62x+√3的图象与x轴、y轴交于A、B两点，直线上一动点P以1cm/s的速度由点A向终点B运动，设运动时间为t（s）．（1）点A的坐标为（√2，0）；点B的坐标为（0，√3）；（2）求OP的最短距离；（3）是否存在t的值，使△OAP为等腰三角形？若存在，直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据y=−√62x+√3的图象与x轴、y轴交于A、B两点，于是令x＝0，y＝0，解方程即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AB的长，由三角形的面积公式得到OA•OB＝AB•OP，代入数据即可得到结论；（3）①根据平行线分线段成比例定理列比例式求得t，②根据AP＝OA，求得t，③根据相似三角形的性质即可得到t．【解答】解：（1）在y=−√62x+√3中，令x＝0，得y=√3，y＝0，得x=√2，∴A的坐标为（√2，0），点B的坐标为（0，√3）；故答案为：（√2，0），（0，√3）；（2）当OP⊥AB时，OP的距离最短，∵OA=√2，OB=√3，∴AB=√OA2+OB2=√5，∵S△AOB=12OA•OB=12AB•OP，∴OP=OA⋅OBAB=√305；（3）①如图1，当OP＝AP，过P作PC⊥OA于C，∴AC＝0C，∴PC∥OB，∴APAB=ACAO=12，∴t=√5 2，②当AP＝OA时，即t=√2，③如图2，当OA＝OP时，过O作OC⊥AB于C，∴∠ACO＝∠AOB＝90°，∵∠OAB＝∠AOC，∴△AOC∽△AOB，∴AOAB=ACOA，∴√2√5=√2，∴AC=2√5 5，∴AP＝t＝2AC=4√5 5．综上所述：当t=√52，√2，4√55时，△OAP为等腰三角形．【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．8．如图，一次函数y＝3x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A，B，C，且点C的坐标为（3，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在这个二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线y＝3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B 两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），利用两点式法即可求得抛物线的解析式；（2）分别从AB＝BQ，AQ＝BQ，AB＝AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵C（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∴3＝a×1×（﹣3），∴a＝﹣1，∴此抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）存在．∵抛物线的对称轴为：直线x=−1+32=1，∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1，∵OA＝OQ1，BO⊥AQ1，∴当Q1B＝AB时，设Q（1，q），∴1+（q﹣3）2＝10，∴q＝0，或q＝6，∴Q（1，0）或Q（1，6）（在直线AB上，舍去）．当Q2A＝Q2B时，设Q2的坐标为（1，m），∴22+m2＝12+（3﹣m）2，∴m＝1，∴Q2（1，1）；当Q3A＝AB时，设Q3（1，n），∴22+n2＝12+32，∴n＝±√6，∴Q 3（1，√6），Q 4（1，−√6）．∴符合条件的Q 点坐标为Q 1（1，0），Q 2（1，1），Q 3（1，√6），Q 4（1，−√6）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键，还要注意别漏解．9．如图．在平面直角坐标系中，点C 、点A 为x 轴上两点，OA 、OC 的长是方程y ＝x 2﹣7x +12＝0的两个根（OC ＞OA ）．点B 在y 轴上，CD ⊥AB 交y 轴于点P ，且CP ＝AB ．（1）求点A 、C 的坐标．（2）求直线CD 的函数解析式．（3）直线CD 上是否存在点E ，使△ACE 为等腰三角形？若存在，请直接写出点E 坐标；若不存在．请说明理由．【分析】（1）解方程x 2﹣7x +12＝0得OC ＝4，OA ＝3，即可得到结论；（2）根据已知条件易求△PCO ≌△ABO ，于是得到OP ＝OA ＝3，OB ＝OC ＝4，求得p 的坐标，再根据待定系数法可求得结论；（3）易求AC ＝3﹣（﹣4）＝7，分三种情况：①EC ＝EA ，根据等腰三角形的性质可求得结论，②EC ＝CA ＝7，根据相似三角形的性质可求得结论，③EA ＝CA ＝7，有勾股定理求出结论．【解答】（1）解：解方程x 2﹣7x +12＝0得x 1＝3，x 2＝4，∴OC ＝4，OA ＝3，∴A （3，0），C （﹣4，0）；（2）∵CD ⊥AB ，x 轴⊥y 轴，∴∠PCO ＝∠ABO ＝90°﹣∠BAO ，在△PCO 和△ABO 中，{∠POC =∠AOB ∠PCO =∠ABO CP =AB，∴△PCO ≌△ABO ，∴OP ＝OA ＝3，OB ＝OC ＝4，∴P （0，3），设直线AD 解析式为y ＝kx +b ，把P （0，3），C （﹣4，0）代入可得{b =3−4k +b =0解得{b =3k =34．故直线CD 的函数解析式为y =34x +3； （3）AC ＝3﹣（﹣4）＝7，CP =√42+32=5，当EC ＝EA 时，根据等腰三角形的性质，E 点的横坐标为−12， 把x =−12代入y =34x +3得：y =218，即E （−12，218）当EC ＝AC ＝7时， 设p （b ，m ）， ∴m PO=EC PC，即m 3=75，解得：m =215， 把y =215代入y =34x +3得x =85，即E （85，215） 当EA ＝AC ＝7时，设E （n ，34n +3），由勾股定理得：（n ﹣3）2+（34n +3）2＝AE 2＝72，解得：n =2450±22450，∵AP =√32+32=√18＜7， ∴E 在第一象限， ∴n ＞0，∴n =12425，n ＝4，34n +3=16825， ∴E （12425，16825），（−485，−215）， 综上所述：E 的坐标为：E （−485，−215），E （−12，218），E （85，215），E （12425，16825）．【点评】本题主要考查了一元二次方程，全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式的求法，等腰三角形的性质，综合性强，能正确分类是解决问题的关键．10．如图，已知A （1，3），B （5，0），在x 轴上是否存在点P ，使△P AB 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】过A 作AC ⊥x 轴于C ，根据A （1，3），B （5，0），得到AC ＝3，BC ＝4，根据勾股定理得到AB =√AC 2+BC 2=5，①若AP ＝AB ＝5，则PC ＝BC ＝4，求得 P 1（﹣3，0）；②若BP ＝BA ＝5，求得P 2（0，0）或P 3（10，0）；③若P A ＝PB ，则P 在AB 的垂直平分线上，求得P 4（158，0）．【解答】解：存在， 过A 作AC ⊥x 轴于C ， ∵A （1，3），B （5，0）， ∴AC ＝3，BC ＝4， ∴AB =√AC 2+BC 2=5，①若AP ＝AB ＝5，则PC ＝BC ＝4， ∴P 1（﹣3，0）；②若BP ＝BA ＝5，则P 2（0，0）或P 3（10，0）； ③若P A ＝PB ，则P 在AB 的垂直平分线上， ∴PB 5=524，∴PB =258，∴P 4（158，0）．综上所述：p （﹣3，0），（0，0），（10，0），（158，0）．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解答此题的关键．11．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （m ，0），B （n ，0），点A 位于点B 的右侧，且m ，n 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的两个根，与y 轴交于C （0，3）．在抛物线上的对称轴上是否存在点P ，使得△P AC 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】解方程求得A 和B 的坐标，求得对称轴，当A 是直角顶点时，求得过A 于AC 垂直的直线与抛物线的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C 是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC 是等腰三角形的底边时，求得AC 的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可．【解答】解：解方程x 2+2x ﹣3＝0得x 1＝﹣3，x 2＝1， 则A 的坐标是（1，0），B 的坐标是（﹣3，0）． 抛物线的对称轴是x ＝﹣1．设AC 的解析式是y ＝kx +b ，则{k +b =0b =3，解得：{k =−3b =3，则直线AC 的解析式是y ＝﹣3x +3．当A 是直角顶点时，过A 且垂直于AC 的直线解析式设是y =13x +c ， 把A 代入得：13+c ＝0，解得：c =−13， 则解析式是y =13x −13．令x ＝﹣1，则y =−13−13=−23，则交点是（﹣1，−23）．到A 的距离是√(−1−1)2+(−23)2=2√103，AC =√32+12=√10， 则三角形不是等腰三角形；同理，当C 时直角时，过C 于AC 垂直的直线的解析式是y =13x +3，与对称轴x ＝﹣1的交点是（﹣1，83）．到C 的距离是√(−1−1)2+(83)2=103≠AC ，则不是等腰直角三角形； 当P 是直角，即AC 是斜边时，AC 的中点是（12，32），过这点且与AC 垂直的直线的解析式是y =13x +86． 当x ＝﹣1时，y =−13+86=1． 则与对称轴的交点是（﹣1，1）．则到A 的距离是√(−1−1)2+12=√5． ∵（√5）2+（√5）2＝（√10）2， ∴P 的坐标是（﹣1，1）．【点评】本题考查了二次函数与x 轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键． 12．直线MN 与x 轴，y 轴分别相交A 、C 两点，分别过A 、C 作x 轴、y 轴的垂线，二者相交于B 点，且OA ＝8，OC ＝6．（1）求直线MN 的解析式；（2）已知在直线MN 上存在点P ，使△PBC 是等腰三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）根据题意求出点A 、C 的坐标，运用待定系数法求出直线MN 的解析式； （2）从PC ＝PB ，PC ＝BC ，PB ＝BC 三种情况进行解答． 【解答】解：（1）∵OA ＝8，OC ＝6， ∴A （8，0），C （0，6）， 设直线MN 的解析式为：y ＝kx +b ， {8k +b =0b =6， 解得：{k =−34b =6，直线MN 的解析式：y =−34x +6； （2）由题意得，B （8，6）， ∵点P 在直线MN 上， ∴设P （a ，−34a +6），当PC ＝PB 时，点P 为BC 的中垂线与MN 的交点，则P 1（4，3）； 当PC ＝BC 时，a 2+（−34a +6﹣6）2＝64， 解得，a 1=−325，a 2=325， 则P 2（−325，545），P 3（325，65）；当PB ＝BC 时，（a ﹣8）2+（−34a +6﹣6）2＝64， 解得，a =25625， 则P 4（25625，−4225）． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和等腰三角形的判定，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．13．在平面直角坐标中，x 轴上有点A 和点M ，y 轴上有一点B ，过点M 作MN ⊥AB 于点N ，交y 轴于点G ，且MG ＝AB ，OA 、OM （OA ＜OM ）的长是方程x 2﹣7x +12＝0的两个根． （1）求点A ，B 及点M 的坐标； （2）求直线MN 的解析式；（3）直线MN 上是否存在点P ，△PMA 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一对直角相等，一对对顶角相等得到三角形BNG 与三角形OMG 相似，利用相似三角形对应角相等得到∠ABO ＝∠OMG ，再由一对直角相等，AB ＝MG ，利用AAS 得到三角形AOB 与三角形OMG 全等，利用全等三角形对应边相等得到OB ＝OM ，OG ＝OA ，求出已知方程的解确定出OA 与OM 的长，求出A 与M 坐标，进而确定出B 的坐标即可；（2）由（1）确定出G 与M 坐标，设直线MN 解析式为y ＝kx +b ，把G 与M 坐标代入求出k 与b 的值，确定出直线MN 解析式即可；（3）直线MN 上存在点P ，△PMA 是等腰三角形，如图所示，分三种情况考虑：若P A ＝PM ；MP ＝MA ；AM ＝PM ，分别求出P 的坐标即可．【解答】解：（1）∵∠BNG ＝∠GOM ＝90°，∠BGN ＝∠MGO ， ∴∠BNG ＝∠OMG ， 在△AOB 和△GOM 中， {∠ABO =∠GMO∠AOB =∠GOM AB =MG， ∴△AOB ≌△GOM （AAS ）， ∴OB ＝OM ，OA ＝OG ， 方程x 2﹣7x +12＝0，分解因式得：（x ﹣3）（x ﹣4）＝0， 解得：x ＝3或x ＝4， ∴OA ＝3，OM ＝4，∴A （﹣3，0），M （4，0），B （0，4）；（2）由（1）得：G （0，3），M （4，0）， 设直线MN 解析式为y ＝kx +b ， 把G 与M 坐标代入得：{b =34k +b =0，解得：k =−34，b ＝3，则直线MN 解析式为y =−34x +3；（3）直线MN 上存在点P ，△PMA 是等腰三角形，分三种情况考虑：若P A ＝PM ，作PQ ⊥AM ，可得PQ 垂直平分AM ， 由A （﹣3，0），M （4，0），得到AM ＝7，即QM =72，OQ ＝4−72=12， 把x =12代入得：y =218，此时P （12，218）；若AM ＝MP ，设P （a ，−34a +3），由M （4，0）， 得到（a ﹣4）2+（−34a +3）2＝49， 解得：a =485或a =−85， 此时P （485，−215），P （−85，215），若AM ＝AP 时，∵OA ＝OG ＝3，∠AOB ＝∠GOM ，OB ＝PM ＝4， ∴△AOB ≌△GOM ， ∴∠OAB ＝∠OGM ＝∠BGN ， ∵∠OAB +∠ABO ＝90°， ∴∠ABO +∠BGN ＝90°， ∴MN ＝MP ，∵A （﹣3，0），B （0，4）， ∴直线AB 的解析式为y =43x +4①， ∵直线MN 解析式为y =−34x +3②； ∴直线MN 和AB 的交点坐标为（−1225，8425）， ∵M （4，0），∴P （−12425，16825） 综上，满足题意P 的坐标为（12，218）或（485，−215）或（−85，215）或（−12425，16825）． 【点评】此题属于一次函数解析式，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键． 14．如图①，反比例函数y =kx （x ＜0）图象经过点A （﹣1，b ），过点A 作AB ⊥x 轴于B ，△AOB 的面积为√32．（1）求k 和b 的值．（2）若一次函数y =−√33x +m 的图象经过点A ，并且与x 轴交于点M ，求M 的值．（3）如图②，在x 轴上是否存在点P ，使△P AM 为等腰三角形？若存在，求出所有的P 点，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据三角形面积公式得到12×1×b =√32，则可求出b =√3，从而可确定A 点坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k 的值；（2）把A 点坐标代入一次函数解析式求出m 的值，然后根据x 轴上点的坐标特征求M 点的坐标； （3）先计算出AM 的长，再分类讨论：当MP ＝MA ＝2√3时，根据x 轴上点的坐标特征写出P 点坐标；当AP ＝AM 时，P 点与M 点关于AB 对称，易得此时P 点坐标；当P A ＝PM 时，由于OA ＝OM ＝2，所以此时P 点坐标为（0，0）． 【解答】解：（1）∵△AOB 的面积为√32， ∴12×1×b =√32，∴b =√3， ∴A （﹣1，√3）， ∴k ＝﹣1×√3=−√3，（2）把A （﹣1，√3）代入y =−√33x +m 得√33+m =√3，解得m =2√33，∴一次函数解析式为y =−√33x +2√33， 当y ＝0时，−√33x +2√33=0，解得x ＝2， ∴M 点的坐标为（2，0）； （3）存在．∵A （﹣1，√3），M （2，0）； ∴MA =√(2+1)2+(√3)2=2√3，当MP ＝MA ＝2√3时，P 点坐标为（2+2√3，0）或（2﹣2√3，0）； 当AP ＝AM 时，P 点坐标为（﹣4，0）； 当P A ＝PM 时，P 点坐标为（0，0），综上所述，当P 点坐标为（2+2√3，0）或（2﹣2√3，0）或（﹣4，0）或（0，0）时，△P AM 为等腰三角形．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会应用等腰三角形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．15．如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ，点P 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点Q 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△BPQ 的面积为65cm 2；（2）在点P ，Q 的运动中，是否存在时间t ，使△BPQ 为等腰三角形．若存在，请求出对应的时间t ；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，先求出AE 的长，由相似三角形的性质可求PF =3(5−t)5cm ，BF =4(5−t)5cm ，由三角形的面积公式可求解； （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ，AE ⊥BC ， ∴BE ＝EC ＝4cm ， ∴AE =√AB2−BE2=√25−16=3cm ，∵∠PFB ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△AEB ∽△PFB ， ∴BP AB =PF AE =BF BE ， ∴5−t 5=PF 3=BF4，∴PF =3(5−t)5cm ，BF =4(5−t)5cm ， ∵△BPQ 的面积为65cm 2， ∴12×BQ ×PF =65，∴12×t ×3(5−t)5=65， ∴t 1＝1，t 2＝4，∴当t 为1或4时，△BPQ 的面积为65cm 2；（2）当BP ＝BQ 时，则5﹣t ＝t ， ∴t =52，当BQ ＝PQ 时，∵PQ 2＝PF 2+QF 2， ∴t 2＝[3(5−t)5]2+[4(5−t)5−t ]2， ∴t 1＝5（不合题意），t 2=2513，当BP ＝PQ 时，则点P 在BF 的垂直平分线上， ∴4(5−t)5=t2，∴t =4013， 综上所述：t 的值为52或2513或4013时，△BPQ 为等腰三角形．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．16．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y =53x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于272？请求出点Q 的坐标；（3）在y 轴上是否存在点P 使△P AB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）y =53x 相交于点B ，则点B （3，5），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）△OBQ 的面积=12×OA ×|xQ ﹣xB |=12×9×|m ﹣3|=272，即可求解； （3）分AB ＝AP 、AB ＝BP 、AP ＝BP 三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）y =53x 相交于点B ，则点B （3，5），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：k =−43，b ＝9；（2）设点Q （m ，−43m +9），则△OBQ 的面积=12×OA ×|xQ ﹣xB |=12×9×|m ﹣3|=272， 解得：m ＝0或6，故点Q （0，9）或（6，1）；（3）设点P （0，m ），而点A 、B 的坐标分别为：（0，9）、（3，5）， 则AB 2＝25，AP 2＝（m ﹣9）2，BP 2＝9+（m ﹣5）2， 当AB ＝AP 时，25＝（m ﹣9）2，解得：m ＝14或4； 当AB ＝BP 时，同理可得：m ＝9（舍去）或1； 当AP ＝BP 时，同理可得：m =478；综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，1）或（0，478）【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C （2，m ）为直线y ＝x +2上一点，直线y =−12x +b 过点C ． （1）求m 和b 的值；（2）直线y =−12x +b 与x 轴交于点D ，动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向A 点运动．设点P 的运动时间为t 秒． ①若△ACP 的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使△ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点C （2，m ）代入直线y ＝x +2中得：m ＝2+2＝4，则点C （2，4），直线y =−12x +b 过点C ，4=−12×2+b ，b ＝5；（2）①由题意得：PD ＝t ，A （﹣2，0），y =−12x +5中，当y ＝0时，−12x +5＝0，D （10，0），AD ＝10+2＝12，12(12−t)•4＝10，即可求解； ②分AC ＝PC 、AP ＝CP 、AC ＝AP 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）把点C （2，m ）代入直线y ＝x +2中得：m ＝2+2＝4，∴点C （2，4），∵直线y =−12x +b 过点C ，4=−12×2+b ，b ＝5；（2）①由题意得：PD ＝t ，y ＝x +2中，当y ＝0时，x +2＝0，x ＝﹣2，∴A （﹣2，0），y =−12x +5中，当y ＝0时，−12x +5＝0，x ＝10，∴D （10，0），∴AD ＝10+2＝12，∵△ACP 的面积为10，∴12(12−t)•4＝10， t ＝7，则t 的值7秒；②设点P （10﹣t ，0），点A 、C 的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），当AC ＝PC 时，则点C 在AP 的中垂线上，即2×2＝10﹣t ﹣2，解得：t ＝4；当AP ＝CP 时，则点P 在点C 的正下方，故2＝10﹣t ，解得：t ＝8；当AC ＝AP 时，同理可得：t ＝12﹣4√2故：当t ＝4秒或（12﹣4√2）秒或8秒时，△ACP 为等腰三角形．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．18．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交于y轴于点H．（1）连接BM，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（2）在（1）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形BMP？如存在，求出t的值；如不存在，请说明理由．【分析】（1）设点M到BC的距离为h，由△ABC的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得△PBM的面积；（2）分类讨论：①当MB＝MP时，PH＝BH，解得t；②当BM＝BP时，利用勾股定理可得BM的长，易得t．【解答】解：（1）设点M到BC的距离为h，由S△ABC＝S△ABM+S△BCM，即12×5×4=12×5×32+12×5h，∴h=5 2，①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：S=12（5﹣t）×32，即S=−34t+154（0≤t＜5）；②当P运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：S=12[5﹣（10﹣t）]×52，即S=54t−254（5＜t≤10）；（2）存在①当MB＝MP时，∵点A的坐标为（﹣3，4），AB＝5，MB＝MP，MH⊥AB，∴PH＝BH，即3﹣t＝2，∴t＝1；②当BM＝BP时，即5﹣t=√(4−52)2+22，t=52综上所述，当t ＝1或52时，△PMB 为以BM 为腰的等腰三角形． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，等腰三角形的性质和三角形的面积公式及待定系数法求解析式，利用分类讨论的思想，数形结合是解答此题的关键．19．已知直线y ＝﹣2x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点，抛物线y ＝ax 2﹣x +c 经过点A 、D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）如果点C （﹣2，y ）在这条抛物线上，在y 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据直线解析式可求出A 与D 的坐标，然后将A 、D 的坐标代入抛物线的解析式中即可求出a 、c 的值，然后令y ＝0代入抛物线的解析式中即可求出B 的坐标．（2）设P （0，m ），由（1）可求出点C 的坐标，然后根据勾股定理求出BC 2、CP 2、BP 2，由于△BCP 为等腰三角形，故分三种情况：BC ＝CP 、BC ＝BP ，BP ＝CP ，然后列出方程求出m 的值．【解答】解：（1）令x ＝0代入y ＝﹣2x +4，∴y ＝4，∴D （0，4），令y ＝0代入y ＝﹣2x +4，∴x ＝2，∴A （2，0），把A （2，0）和D （0，4）代入y ＝ax 2﹣x +c ，∴{0=4a −2+c 4=c解得：{a =−12c =4∴抛物线的解析式为：y =−12x 2﹣x +4∴令y ＝0代入y =−12x 2﹣x +4，解得：x ＝2或x ＝﹣4∴B （﹣4，0）（2）将C （﹣2，y ）代入y =−12x 2﹣x +4，∴y ＝4，∴C （﹣2，4），设P （0，m ）∵B （﹣4，0），C （﹣2，4）∴由勾股定理可知：BC 2＝（﹣4+2）2+（0﹣4）2＝20，BP 2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣m ）2＝16+m 2，CP 2＝（﹣2﹣0）2+（4﹣m ）2＝4+（4﹣m ）2，当BC ＝BP 时，∴BC 2＝BP 2，∴20＝16+m 2，∴m ＝±2，P （0，2）或P （0，﹣2）当BC ＝CP 时，∴BC 2＝CP 2，∴20＝4+（4﹣m ）2∴m ＝0或m ＝﹣8，∴P （0，0）或P （0，8），当BP ＝CP 时，∴BP 2＝CP 2，∴16+m 2＝4+（4﹣m ）2，解得：m =12，∴P （0，12）， 综上所述，P 的坐标为：（0，﹣2）、（0，2）（0，0）、（0，8）、（0，12） 【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股定理，待定系数法求解析式，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质与判定，综合程度较高，需要学生综合运用所学的知识．20．如图，抛物线y =−38x 2+34x +3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，在y 轴上是否存在点M 使△ACM 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】令x ＝0可求得对应的y 值，从而可求得点C 的坐标，令y ＝0可求得对应的x 的值，可求得点A 的坐标，然后设点M 的坐标（0，a ），分为AM ＝AC 、AM ＝MC 、CA ＝CM 三种情况，并结合两点间的距离公式列方程求解即可．【解答】解：∵当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3）．令y ＝0得：−38x 2+34x +3＝0，解得：x ＝﹣2或x ＝4，∴A （﹣2，0）．∴AC 2＝32+（﹣2）2＝13．设点M 的坐标为（0，a ）．当AC ＝AM 时，由两点间的距离公式可知：22+a 2＝13，解得a ＝3（舍去），或a ＝﹣3，∴点M 的坐标为（0，﹣3）．当AC ＝CM 时，由两点间的距离公式可知：（a ﹣3）2＝13，解得：a ＝3±√13，∴点M 的坐标为（0，3+√13）或（0，3−√13）．当AM ＝CM 时，由两点间的距离公式可知：22+a 2＝（3﹣a ）2，a =56．∴点M 的坐标为（0，56）． 综上所述，点M 的坐标为（0，﹣3）或（0，3+√13）或（0，3−√13）或（0，56）． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了两点间的距离公式、等腰三角形的性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，分类讨论是解题的关键．。
二次函数压轴题第四讲 因动点产生的等腰三角形问题
第四讲因动点产生的等腰三角形问题【知识要点】求等腰三角形的存在性方法:（1）几何法：两个圆一条线；（2）代数法：盲解【典型例题】例1．如图，y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)（1）求抛物线的解析式；（2）若点N是抛物线对称轴上一动点，且△NAC是等腰三角形，求点N的坐标．例2．如图，抛物线)0(42≠++=a bx ax y 与x 轴交于点A （-2，0）和B （4，0）、与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）T 是抛物线对称轴上的一点，且△ACT 是以AC 为底的等腰三角形，求点T 的坐标；（3）点M 、Q 分别从点A 、B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行．当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒23个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时间t （秒）与△APQ 的面积S 的函数关系式例3．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B、C；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；（3）在（2）的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例4．如图，已知二次函数c x ax y ++=32的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N 的坐标；（4）若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．。
因动点产生的等腰三角形问题
1.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t≥0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当4<t时，求S关于t的函数解析式；2<（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线．．AB．．上是否存在点P，使PDE∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．（图1）（图2）2.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。
3.如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.4.(宝山2011)如图11，已知2tan =∠MON ，点P 是MON ∠内一点，OM PC ⊥，垂足为点C ,2=PC ，6=OC ，A 是OC 延长线上一点，联结AP 并延长与射线ON 交于点B .（1）当点P 恰好是线段AB 的中点时，试判断△AOB 的形状，并说明理由； （2）当CA 的长度为多少时，△AOB 是等腰三角形；A D EB FC 图4（备用） ADE BF C 图5（备用） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M图3 A D E B F C P NM （第25题）。
动点产生的等腰三角形问题
动点产生的等腰三角形问题类型1:一动点两定点如图，在平面中找点P，使得点P与已知点A.B构成等腰三角形分类讨论：第一种情况：以AB为腰，分别以AB为圆心，AB长为半径画圆，则在圆上的点（除去AB重合或共线的点）都能与AB构成等腰三角形；第二种情况：以AB为底，即为两圆的交点P1P2，P1P2是线段AB的垂直平分线总结：就是“两圆一线”模型解题技巧：步骤1：通过“两圆一线”确定动点位置；步骤2：分类讨论，建立方程模型求动点坐标注意：去除与直线AB共线的点的方法：求直线AB的解析式，再验证P点是否在直线AB 上，在则共线，不在，则不共线或用几何方法证明例题1:在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A.5B.6C.7D.8例题2:如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x x =--x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,对称轴与x 轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.(1) 求直线AE 的解析式;(2) 点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE 的面积最大时,求P 点坐标.(3) 点G 是线段CE 下方的中点,将抛物线2y x =x 轴正方向平移得到新抛物线'y ,'y 经过点D, 'y 的顶点为点F.在新抛物线'y 的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.练习1:如图1,已知二次函数2y ax bx c =++(a,b,c 为常数,a ≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M 的纵坐标为83-.直线l 的解析式为y=x.(1) 求二次函数的解析式;(2) 直线l 沿x 轴向右平移,得到直线'l ,'l 与线段OA 相交于B,与x 轴下方的抛物线相交于点C,过点C 作CE ⊥x 轴于点E,把△BCE 沿直线'l 折叠,当点E 恰好落在抛物线上'E 点时,(图2),求直线'l 的解析式;(3) 在(2)的条件下, 'l 与y 轴交于点N,把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△''B ON ,P为'l 上的动点,当△''PB N 为等腰三角形时,求符合条件的点P 的坐标.练习2:如图1,在平面直角坐标系中,抛物线249y x bx c =-++经过点A(-5,0)和点B(1,0). (1) 求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2) 如图2,连接AD,BD,点M 在线段AB 上(不与A,B 重合),∠DMN=∠DBA,MN 交线段AD 于点N,是否存在这样点M,使得△DMN 为等腰三角形?若存在,求出AN 的长;若不存在,请说明理由.类型2:多个动点1.在平面内使构成等腰三角形的三个点中，动点个数≥2个；解决这类问题的方法：让三个点分别做顶角顶点，进行分类讨论；如图，在平面内点A、B、P为动点，使得△PAB是等腰三角形？分类：①以P为顶点,PA=PB；②以A为顶点,AP=AB③以B为顶点,BA=BP2.在具体的题目中有时不仅要找出符合题意的点，还要计算出点的坐标，计算点的坐标的方法可以参考以下几种方法：①全等；②相似；③勾股定理；④锐角三角函数；⑤面积法；⑥方程或者方程组.例题1:如图,△ABC是边长为8的等边三角形,现有两点M,N分别从点A,点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为每秒1个单位长度,点N的运动速度为每秒2个单位长度,当点M第一次到达B点时,M,N同时停止运动.(1)点M,N运动几秒后,可得到等边三角形AMN?(2)点M,N运动几秒后,M,N两点重合?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰△AMN?若存在,请求出此时M,N运动的时间.例题2:如图1,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A(0,6),与x 轴交于点B(-2,0),C(6,0).(1) 直接写出抛物线的解析式及其对称轴;(2) 如图2,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P 作PD ⊥AC 于点E,交x 轴于点D,过点P 作PG ∥AB 交AC 于点F,交x 轴于点G.设线段DG 的长为d,求d 与m 的函数关系式,并注明m 的取值范围;(3) 在(2)的条件下,若△PDG 的面积为4912. ①求点P 的坐标;②设M 为直线AP 上一动点,连接OM 交直线AC 与点S,则点M 在运动过程中,在抛物线上是否存在点R,使得△ARS 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M 及其对应的点R 的坐标;若不存在,请说明理由.练习1:如图①,在平面直角坐标系中,已知A(-2,2),B(-2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M 以B →C →D 运动(M 不与点B,点D 重合),设运动时间为t(秒).(1) 求经过A,C,D 三点的抛物线的解析式;(2) 点P 在(1)中的抛物线上,当M 为BC 的中点时,若△PAM ≌PBM,求点P 的坐标;(3) 当点M 在CD 上运动时,如图②,过点M 作MF ⊥x 轴,垂足为F,ME ⊥AB,垂足为E,设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S,求S 与t 的函数关系,并求出S 的最大值;(4) 点Q 为x 轴上一点,直线AQ 与直线BC 交于点H,与y 轴交于点K,是否存在点Q,使得△HOK 为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.练习2:抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x 轴于点D,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点(点P 不与C,D 重合),过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E,交x 轴于点F.(1) 求抛物线的解析式;(2) 当△PCF 的面积为5时,求点P 的坐标;(3) 当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标.课后练习:1.如图所示,二次函数2(1)2y k x =-+的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B 两点,点B 在点A 的右侧,直线AB 分别与x,y 轴交于C,D 两点,其中k ＜0.(1)求A,B 两点的横坐标;(2)若△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形,求k 的值;(3)二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点A(-4,0),B(2,0),交y 轴于点C(0,6),在y 轴上有一个点E(0,-2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点,求△ADE 面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P 点的坐标,若不存在,请说明理由.3.抛物线263y x x =-+-与y 轴相交于点C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=3,D 为对称轴与x 轴的交点,在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E,F 两点,若△DEF 是等腰三角形,求△DEF 的面积.4.如图,抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A,B 两点,交y 轴于点C(0,3),顶点F 的坐标为(1,4),对称轴交x 轴于点H,直线112y x =+交x 轴于点D,交y 轴于点E,交抛物线的对称轴于点G.(1)求出a,b,c 的值;(2)点M 为抛物线对称轴上一个动点,若△DGM 是以DG 为腰的等腰三角形时,请求出点M 的坐标;(3)点P 为抛物线上的一个动点,当点P 关于直线112y x =+的对称轴恰好落在x 轴上时,请直接写出此时点P 的坐标.5.如图,抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C(0,-2),点A 的坐标是(2,0),P 为抛物线上的一个动点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D,交直线BC 于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 若点P 在第二象限内,且PE=14OD,求△PBE 的面积; (3) 在(2)的条件下,若M 为直线BC 上一点,在x 轴的上方,是否存在点M,使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,一次函数3y x =-图象与坐标轴交于点A(3,0),B (0,,二次函数233y x x =-A,B 两点,点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以B,C,P,Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,抛物线213222y x x =-++与x 轴交于A(-1,0),B(4,0),与y 轴交于点C,连接AC,BC,点P 在抛物线上运动,如图,若点P 在第一象限,直线AP 交BC 于点F,过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H,当△PFH 为等腰三角形时,求线段PH 的长.8.如图,已知两直线1l ,2l 分别经过点A(1,0),点B(-3,0),且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C,当点C 的坐标为时,恰好有1l ⊥2l ,经过点A,B,C 的抛物线的对称轴与1l ,2l ,x 轴分别交于点G,E,F,D 为抛物线的顶点.(1)抛物线的函数解析式;(2)试说明DG 与DE 的数量关系?并说明理由;(3)若直线2l 绕点C 旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当△MCG 为等腰三角形时,请直接写出点M 的坐标.9.如图,已知抛物线2y=ax 9a --与坐标轴交于A,B,C 三点,其中C(0,3),∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D,交BC 于点D,交BC 于点E,过点D 的直线l 与射线AC,AB 分别交于点M,N.(1)直接写出a 的值,点A 的坐标及抛物线的对称轴;(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD 为等腰三角形,求出点P 的坐标;(3)证明:当直线l 绕点D 旋转时, 11AM AN+均为定值,并求出该定值.。
中考数学压轴题精讲：因动点产生的等腰三角形问题(含试题-含详解)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
D
②当 BP＝BO＝4 时，BP2＝16．
X
所以 42 ( y 2 3)2 16 ．解得 y1 y2 2 3 ．
S
图1
③当 PB＝PO 时，PB2＝PO2．所以 42 ( y 2 3)2 22 y2 ．
Z
解得 y 2 3 ．
X
综合①、②、③，点 P 的坐标为(2, 2 3)，如图 1 所示．
Z
所以 PM DM 4 ．所以QN 3 PM ， PM 4 QN ．
X
QN DN 3
4
3
图1
1.2 因动点产生旳等腰三角形问题
例4 2023年上海市虹口区中考模拟第25题
（2）
①如图 2，当 BP＝2，P 在 BM 上时，PM＝1．
此时QN 3 PM 3 ．所以CQ CN QN 4 3 19 ．
Y
可以得到△ BDP 也是等腰三角形，PB＝PD．在△ BDP 中可以
D
直接求解 BP 25 ．
X
6
S
Z
X
图6
1.2 因动点产生旳等腰三角形问题
例3 2023年临沂市中考第26题 如图，点A在 x 轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB旳 位置．
（1）求点B旳坐标；
（2）求经过A、O、B旳抛物线旳解析式； （3）在此抛物线旳对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B
Y
为顶点旳三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 旳坐标；若 不存在，请阐明理由．
所以 ED CD tan C 5 3 15 ， EC 25 ．
44
4
Y D
（2）如图 1，过点 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N，
X
因动点产生的等腰三角形问题
一、因动点产生的等腰三角形问题1、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．2、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．4、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？二、因动点产生的直角三角形问题5、如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．7、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．8、设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC 上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．三、因动点产生的相似三角形例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
初三数学提优专题1(动点产生的等腰三角形问题)
第一节动点产生的等腰三角形问题讲方法一、两定点一动在平面中找点P,使得点P与已知点A、B构成等腰三角形第一类点,以AB为腰:如图,分别以A、B为圆心,AB的长为半径画圆,则两圆上的点(除去与A、B重合或共线的点)都能与A、B构成等腰三角形。
第二类点,以AB为底:如图,连接两圆的交点P1P2,可证直线P1P2是线段AB生垂直平分线,则P1P2所在直线上的点(除去与直线AB共线的点)都能与A、B构成等腰三角形。
总结:就是“两圆一中垂去五点”模型。
注:去除与直线AB共线的点的方法:求直线AB的解析式,再验证P点是否在直线AB上，在则共线,不在,则不共线;或用几何方法证。
二、动点个数不止在平面内使构成等腰三角形的三个点中,动点个数大于或等于两个解决问题的方法:让三个点轮流做顶角顶点,进行分类讨论。
三、计算点坐标的方法在具体题目中有时不仅要找出符合题意的点,还要计算出此点的坐标,计算点坐标的方参考以下几种:1.全等或相似(找相等线段或成比例线段);2.勾股定理;3.锐三角函数；4.面积法；5.方程或方程组学思路铺垫如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=CB=2，AD⊥DB，AB=4,DO垂直于AB.若点P在梯形的对称轴l上,那么使APDB为等腰三角形的点P有_____个，坐标分别是________思路：①平行+等腰出角平分线②垂直要想到：1.两锐角互余；2.可用勾股定理；3.锐角三角函数③两定一动模型压轴题(重庆中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=3332332--x x 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,对称轴与x 轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上(1)直线AE 的解析式为________2)点G 是线段CE 的中点,将抛物线y=3332332--x x 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ‘,y ’经过点D, y ’的顶点为点F.在新抛物线y ’的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由。
专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(压轴题)
《中考压轴题》专题37：动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问一、选择题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是A．2B．3C．4D．5二、填空题1.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的△是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。
中点，点P在BC上运动，当ODP2.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ 是等腰三角形，则符合条件的Q点有个.3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标．三、解答题1.如图，抛物线21y x mx n 2=-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．2.如图，二次函数24y x bx c 3=++的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D 点坐标．3.已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （32，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=12AP 时，求t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-），以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.（1）求直线BC 的解析；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m n ⋅的值，并证明你的结论；（4）点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t(0<t )秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.5.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213y x x 222=-++的图像与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，过动点H （0,m ）作平行于x 轴的直线，直线与二次函数213y x x 222=-++的图像相交于点D ，E.（1）写出点A,点B 的坐标；（2）若m >0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；（3）直线上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.6.如图1，抛物线y=ax 2+bx ﹣1经过A （﹣1，0）、B （2，0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式．（2）如图1，当点P 的横坐标为32时，求证：△OBD ∽△ABC ．（3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE=2PE 时，求△POD 的面积．（4）当以点O 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标．7.如图，抛物线y=-x 2+bx+c 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，已知经过点A ，B 的直线的表达式为y=x+3．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C 的坐标；（2）如图①，点P （m ，0）是线段AO 上的一个动点，其中-3＜m ＜0，作直线DP ⊥x 轴，交直线AB 于D ，交抛物线于E ，作EF ∥x 轴，交直线AB 于点F ，四边形DEFG 为矩形．设矩形DEFG 的周长为L ，写出L 与m 的函数关系式，并求m 为何值时周长L 最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使点A ，B ，Q 构成的三角形是以AB 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的图象过点M (2,-，顶点坐标为N 1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11.已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。
函数中因动点产生的等腰三角形问题
函数中因动点产生的等腰三角形问题方法：通常要考虑以已知的线段“为腰”或者“为底”两种情况。
1．为腰：分别以已知线段的两个端点为圆心，以已知的线段长为半径画圆，圆与所要求的图象的交点就是符合条件的点；2．为底：做已知线段的垂直平分线，中垂线与所要求的图象的交点就是符合条件的点 例1、已知：抛物线y=ax 2+bx+c(a ＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2. (1)求该抛物线的解析式；(2)点D 在线段AB 上且AD=AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求解∴c=－6, 即y=ax 2+bx －6由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-061214422b a a b解得：a=161 ,b=－41∴该抛物线的解析式为y=161x 2－41x －6 -------3分 方法二：∵A 、B 关于x=2对称∴A （－8，0） 设y=a(x ＋8)(x －12) C 在抛物线上 ∴－6=a ×8×(－12) 即a=161∴该抛物线的解析式为：y=161x 2－41x －6 --------3分 （2）存在，设直线CD 垂直平分PQ,在Rt △AOC 中，AC=2268+=10=AD∴点D 在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC ，-----------4分 由已知∠PDC=∠ACD∴∠QDC=∠ACD ∴DQ ∥AC -----------------------------5分 DB=AB －AD=20-10=10∴DQ 为△ABC 的中位线 ∴DQ=21AC=5 -----------------6分 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 ∴t=5÷1=5(秒)∴存在t=5(秒)时，线段PQ 被直线CD 垂直平分-----------7分 在Rt △BOC 中, BC=22126+=65 ∴CQ=35 ∴点Q 的运动速度为每秒553单位长度.------------------8分 （3）存在 过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，则QH=3，PH=9在Rt △PQH 中，PQ=2239+=310 --------------------9分 ①当MP=MQ ，即M 为顶点，设直线CD 的直线方程为：y=kx+b(k ≠0),则：⎩⎨⎧+==-b k b 206 解得：⎩⎨⎧=-=36k b ∴y=3x-6当x=1时，y=－3 ∴M 1(1, －3) ------------------------10分 ②当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且P 为顶点. 设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：42+y 2=90 即y=±74∴M 2（1，74） M 3（1，－74） -----------------------11分 ③当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且Q 为顶点.过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3) 设直线x=1存在点M(1,y),(y＋3)2+52=90 即y=－3±65∴M4(1, －3＋65) M5((1, －3--------------------12分综上所述：存在这样的五点：M1(1, －3), M2（1，74）, M3（1M4(1, －3＋65),M5((1, －3－65).。
专题01 因动点产生的等腰三角形问题(解析版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01 因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。
在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么1cos2AC AB A=∠；③如图3，如果CA＝CB，那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3 【典例分析】【例1】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F ．()1求抛物线的解析式；()2当PCF V 的面积为5时，求点P 的坐标；()3当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．思路点拨()1把1,05,0AB （-），（）代入函数,利用交点式求解即可. ()2先求出点C ，设点2P m （，），然后得函数PB 的表达式为：1533m y mx =-+⋯①，，根据CE PE ⊥，得故直线CE 表达式中的k 值为3m ，求出直线CE 的表达式为362y x m m ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭②，联立①②并解得： 223m x =-，求出22,03m F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用PCF V 的面积为5，求出m 即可；()3由点F 的坐标得：22222222224,33m m CP m CF PF m -++＝（），＝（）＝（），分别算出CP CF ＝，CP PF ＝，CF PF ＝时的m 即可.满分解答()1将抛物线化为交点式：()222=h 99y x bx c x x k =-++-++（） 将1,05,0A B （-），（）代入可得()21-59y x x =-+（）()2222810459999x x x x =---=-++. 故抛物线解析式为28210999++=-y x x . ()2抛物线的对称轴为1x =，则点22C （，），设点2P m （，），将点,P B 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得：函数PB 的表达式为： 1533m y mx =-+⋯①， CE PE ⊥Q ，故直线CE 表达式中的k 值为3m ， 将点C 的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE 的表达式为： 362y x m m ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭② 联立①②并解得： 223m x =-故点22,03m F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1122)225223PCF m S PC DF m ⎛⎫⨯⨯---= ⎪⎝⎭V ＝＝（， 解得：5m =或3-（舍去5），故点2,3P（-）; ()332,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()2,2-． 考点伸展第（3）问的解题过程是这样的：由()2确定的点F 的坐标得：22222222224,33m m CP m CF PF m -++＝（），＝（）＝（）， ①当CP CF ＝时，即： ()22243m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得0m =：或365（均舍去）， ②当CP PF ＝时， ()222223m m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：32m =或3（舍去3）， ③当CF PF ＝时，同理可得：2m =±（舍去2），故点 32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()2,2-． 【例2】如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答所以点P的坐标为(1, 2)．图2（3）点M的坐标为(1, 1)、6)、(1,6-或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m=此时点M的坐标为6或(1,6)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5【例3】如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-．综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形． 由23323(4)2)y x x =-=-+23D ． 因此23tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°． 【例4】在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在33y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． （3）当OPQ ∆为等腰三角形时，求点Q 的坐标．思路点拨（1）作AH OP ⊥，由点P 在3y x =的图像上知：30HOQ ∠=︒，求出AH ，即可得解； （2）①当点P 在第三象限时，②当点P 在第一象的线段OH 上时，③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时，分别证明Q 、P 、O 、A 四点共圆，即可求得QAP ∠=30°； （3）分OP OQ =，PO PQ =，QO QP =三种情况，分别求解即可． 满分解答（1）作AH OP ⊥，则AP AH ≥∵点P 在3y x =的图像上 ∴30HOQ ∠=︒，60HOA ∠=︒∵(0,2)A ， ∴sin 603AH AO =︒=g ∴3AP ≥（2）①当点P 在第三象限时，由90QPA QOA ∠=∠=︒，可得Q 、P 、O 、A 四点共圆， ∴30PAQ POQ ∠=∠=︒②当点P 在第一象的线段OH 上时，由90QPA QOA ∠=∠=︒，可得Q 、P 、O 、A 四点共圆， ∴180PAQ POQ ∠+∠=︒，又此时150POQ ∠=︒ ∴18030PAQ POQ ∠=︒-∠=︒③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时，由90QPA QOA ∠=∠=︒，可得180APQ AOQ ∠+∠=︒， ∴Q 、P 、O 、A 四点共圆，∴30PAQ POQ ∠=∠=︒（3）设(,)3P m m ，则AP l ：623y m-=+∵PQ AP ⊥，∴PQ k =∴PQ l ：)3y x m m =-+∴4(,0)3m Q -∴2243OP m =，2216493OQ m =+ 224493PQ m =+①当OP OQ =时，则224164393m m =+整理得：230m -+= 解得：3m =∴14,0)Q ， 24,0)Q②当PO PQ =时，则22444393m m =+整理得：2230m +-=解得：m =或m =当2m =时，Q 点与O 重合，舍去，∴3m =-，∴3(23,0)Q -③当QO QP =时，则221616444433993993m m m m -+=-+ 整理得：230m m -=解得：3m =∴423(,0)Q【例5】如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且DMN DAM ∠=∠，设AM x =，DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使DMN V 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．思路点拨()1由翻折可知：10.AD AF DE EF ===，设EC x =，则8.DE EF x ==-在Rt ECF V 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．()2①证明ADM V ∽GMN V ，可得ADAMMG GN=，由此即可解决问题．②有两种情形：如图31-中，当MN MD =时.如图32-中，当MN DN =时，作MH DG ⊥于.H 分别求解即可解决问题．满分解答（1）如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴10AD BC ==，8AB CD ==， ∴90B BCD ∠=∠=︒，由翻折可知：10AD AF ==．DE EF =，设EC x =，则8DE EF x ==-．在Rt ABF V 中，226BF AF AB =-=，∴1064CF BC BF =-=-=，在Rt EFC V 中，则有：()22284x x -=+， ∴3x =， ∴3EC =． （2）①如图2中，∵AD CG ∥，∴AD DECG CE =， ∴1053CG =， ∴6CG =，∴16BG BC CG =+=，在Rt ABG V 中，2281685AG =+= 在Rt DCG V 中，226810DG +=， ∵10AD DG ==， ∴DAG AGD ∠=∠，∵DMG DMN NMG DAM ADM ∠=∠+∠=∠+∠，DMN DAM ∠=∠， ∴ADM NMG ∠=∠， ∴ADM GMN V V ∽， ∴AD AMMG GN=， 1085xyx =--，∴214510105y x x =-+． 当45x =时，y 有最小值，最小值2=．②存在．有两种情形：如图3-1中，当MN MD =时，∵MDN GMD ∠=∠，DMN DGM ∠=∠， ∴DMN DGM V V ∽， ∴DM MN DG GM=， ∵MN DM =， ∴10DG GM ==， ∴8510x AM ==-．如图3-2中，当MN DN =时，作MH DG ⊥于H ．∵MN DN =， ∴MDN DMN ∠=∠， ∵DMN DGM ∠=∠， ∴MDG MGD ∠=∠， ∴MD MG =， ∵BH DG ⊥，∴5DH GH ==， 由GHM GBA V V ∽，可得GH MGGB AG=， ∴51685=， ∴55MG =， ∴551158522x AM ==-=． 综上所述，满足条件的x 的值为8510-或115． 【例6】如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值． 2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上． 3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．满分解答图2 图3 图4 （2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15． 由△AQP ∽△ABD ，得2()AQP ABDS AP S AD=△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ．②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -， 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形． 当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ． 如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =535t=．所以35QP =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ．在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ 22QH CH +2268()(8)55t t +-图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法： ①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝35t ． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35． 综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9【变式训练】1．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知(23,2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC ⊥，交x 轴于点D ．下列结论：①23OA BC ==；②当点D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为23,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形，(23,2)B ，23OA BC ∴==②∵点D 为OA 的中点，132OD OA ∴==，2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥ A 于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE BC ∴⊥，四边形OFEC 是矩形，2EF OC ∴＝＝，设PE a ＝，则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣， 在Rt BEP ∆中，PE OC 3BE BC tan CBO ∠===， 33BE PE a ∴==，)CE BC BE a ∴=-==-，PD PC ⊥Q ，90CPE FPD ︒∴∠∠=， 90CPE PCE ︒∠+∠=Q ，,FPD ECP ∴∠=∠， 90CEP PFD ︒∠=∠=Q ，CEP PFD ∴∆∆∽，PE CPFD PD ∴=，a FD ∴=FD ∴=，tan PC aPDC a PD∴∠=== 60PDC ︒∴∠=，故③正确；④2)B Q ，四边形OABC 是矩形，2OA AB ∴==，tan AB AOB OA ∠==Q 30AOB ︒∴∠=，当ODP ∆为等腰三角形时， Ⅰ、OD PD ＝， 30DOP DPO ∴∠∠o ＝＝， 60ODP ∴∠o ＝， 60ODC ∴∠o ＝，OD ∴==Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠o ＝＝，90COD CPD ∠∠o Q ＝＝，10590OCP ∴∠o o ＝＞，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝，30POD PDO ∴∠∠o ＝＝，15090OCP ∴∠o o ＝＞故不合题意舍去，∴当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为23,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故④正确，故选：D ．2．如图，在正方形ABCD 中，E F 、是对角线AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且42AB EF ＝，＝，设AE x ＝．当PEF V 是等腰三角形时，下列关于P 点个数的说法中，一定正确的是（ ）①当0x ＝（即E A 、两点重合）时，P 点有6个 ②当0422x ＜＜时，P 点最多有9个 ③当P 点有8个时，x ＝2﹣2④当PEF V 是等边三角形时，P 点有4个 A ．①③ B ．①④C ．②④D ．②③【答案】B 【详解】①当0x ＝(即E A 、两点重合)时，如图1，分别以A F 、为圆心，2为半径画圆，各2个点P ， 以AF 为直径作圆，有2个P 点，共6个， 所以，①正确；②当0＜x ＜42﹣2时，如图2、图3所示，此时P 点最多有8个，故②错误；③当点P 有8个时，如图2、图3所示，此时0＜x ＜2﹣2， 故③错误；④如图4，当△PEF 是等边三角形时，有两个P 点关于BD 对称的位置，共有4个，故④正确；综上，不正确的是②③，一定正确的是①④，故选B.3．如图，在矩形ABCD 中，3310AD AB ==，点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，2CE BE =，点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等，则MN =_____．【答案】6或158【详解】 分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时，作PF MN ⊥于F ，如图所示：则90PFM PFN ∠=∠=︒，Q 四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，3310BC AD AB ===90A C ∠=∠=︒，∴10AB CD ==，2210BD AB AD =+=，Q 点P 是AD 的中点，∴13102PD AD ==， Q PDF BDA ∠=∠，∴PDF BDA ∆∆:，∴PF PD AB BD =，即31021010=， 解得：32PF =， Q 2CE BE =，∴3BC AD BE ==，∴BE CD =，∴2CE CD =，Q PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等，PF MN ⊥，∴MF NF =，PNF DEC ∠=∠，Q 90PFN C ∠=∠=︒，∴PNF DEC ∆∆:，∴2NF CE PF CD==， ∴23NF PF ==，∴26MN NF ==；②MN 为等腰△PMN 的腰时，作PF ⊥BD 于F ，如图所示，由①得：32PF =，3MF =， 设==MN PN x ，则3=-FN x ，在V Rt PNF 中，2223(3)2⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x x ， 解得：158x =，即158=MN ，综上所述，MN 的长为6或158. 4．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(8,6)-，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE ∆∽CBO ∆，当APC ∆是等腰三角形时，P 点坐标为_____．【答案】326()55-，或(43)-， 【详解】 解：∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC ∆是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示：∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(8,6)-，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE ∆∽CBO ∆，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示：∵CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(-8,6)，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴222208610BC BO C =+=+=， ∴2BP =，∵PBE ∆∽CBO ∆，∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，； 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，； 故答案为：326()55-，或(43)-，．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，3），点B （5，0），有一动点P 在直线AB 上，△APO 是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（ ）A ﹒2个B ﹒3个C ﹒4个D ﹒5个【答案】C【详解】如图，（1）AP 1=AO ；（2）AP 2=AO ；（3）OA=OP 3；（4）AP 4=OP 4.因此，满足条件的点P共有4个.故选C.6．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°。
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因动点产生的等腰三角形问题例1、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC 上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PHBO CO=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例3、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =． 所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)， 代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得3a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)y x x x x =--=-+． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)2)y x x =-=-23D ． 因此23tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例5、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E 在BC 上运动，观察y 随x 变化的函数图象，可以体验到，y 是x 的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E 是BC 的中点时，y 取得最大值．双击按钮“m ＝8”，拖动E 到BC 的中点，可以体验到，点F 是AB 的四等分点．拖动点A 可以改变m 的值，再拖动图象中标签为“y 随x ” 的点到射线y ＝x 上，从图形中可以看到，此时△DCE ≌△EBF ．思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+．(2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例 6 、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD 于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ，过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ，连结PN ，设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P 在EF 上运动，可以体验到，当N 在AD 上时，△PMN 的形状不发生改变，四边形EGMP 是矩形，四边形BMQE 、四边形ABMN 是平行四边形，PH 与NM 互相平分．当N 在DC 上时，△PMN 的形状发生变化，但是△CMN 恒为等边三角形，分别双击按钮“PM ＝PN ”、“MP ＝M N ”和“NP ＝NM ”，可以显示△PMN 为等腰三角形．思路点拨1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF ＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF 、EF 与BC 间的距离相等．2．当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．3．分三种情况讨论等腰三角形PMN ，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．满分解答（1）如图4，过点E 作EG ⊥BC 于G ． 在Rt △BEG 中，221==AB BE ，∠B ＝60°， 所以160cos =︒⋅=BE BG ，360sin =︒⋅=BE EG ．所以点E 到BC 的距离为3．（2）因为AD //EF //BC ，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点． 因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝4．①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变． 过点N 作NH ⊥EF 于H ，设PH 与NM 交于点Q ． 在矩形EGMP 中，EP ＝GM ＝x ，PM ＝EG ＝3．在平行四边形BMQE 中，BM ＝EQ ＝1＋x ． 所以BG ＝PQ ＝1．因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH ＝2PQ ＝2． 在Rt △PNH 中，NH ＝3，PH ＝2，所以PN ＝7． 在平行四边形ABMN 中，MN ＝AB ＝4． 因此△PMN 的周长为3＋7＋4．图4 图5②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．如图5，当PM ＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线上． 在Rt △PCM 中，PM ＝3，∠PCM ＝30°，所以MC ＝3． 此时M 、P 分别为BC 、EF 的中点，x ＝2．如图6，当MP ＝MN 时，MP ＝MN ＝MC ＝3，x ＝GM ＝GC －MC ＝5－3． 如图7，当NP ＝NM 时，∠NMP ＝∠NPM ＝30°，所以∠PNM ＝120°． 又因为∠FNM ＝120°，所以P 与F 重合． 此时x ＝4．综上所述，当x ＝2或4或5－3时，△PMN 为等腰三角形．图6 图7 图8考点伸展第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m ，0），那么点P 的坐标为（m ，3），MN ＝MC ＝6－m ，点N 的坐标为（26+m ，2)6(3m -）．由两点间的距离公式，得21922+-=m m PN ．当PM ＝PN 时，92192=+-m m ，解得3=m 或6=m ．此时2=x ． 当MP ＝MN 时，36=-m ，解得36-=m ，此时35-=x ．当NP ＝NM 时，22)6(219m m m -=+-，解得5=m ，此时4=x ．。