动点问题(一)等腰三角形与直角三角形
专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)
专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。
等腰三角形中的动点问题讲义
等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．，这是等腰三角形的重要性质． 2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．尝试构造等腰三角形． 3. 分类讨论的类型：分类讨论的类型：①定义法则．①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等．，边（底边与腰）等． ③位置不确定．③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点：分类讨论题目解题要点：①辨识类型；①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．AO EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．的长．AB ECD3. 如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD ．FDCBA4. 如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F ．求证：EC平分∠DEF ．GEB F CDA5. （1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6. 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7. 已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8. 在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10. 若等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11. 已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为30º，请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．等腰三角形顶角的度数．30°lA B13. 如图，在Rt △ABC 中，中，∠∠ACB =90°，∠ABC =60°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，找出所有符合条件的点P ．A B C三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1. 证明略（提示：连接BC ，证明AC =BC ，AB =BC ）2. 10cm （提示：延长CE 交BA 的延长线于点F ，证明BD =2CE ）3. 证明略（提示：延长CF 到E ，使CF =EF ，连接BE ，证明，证明△AFC ≌△BEF ，再证明BE =BC ） 4. 证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD ⊥EC ，再证明ED =CD ，利用平行导角），利用平行导角） 5. （1）-11，13（2）4 （3）1，-36. 120°或20°7. 28. 1cm 或5cm9. 65°或115° 10. 8cm 11. 8cm 或163cm12. 作图略作图略 13. 作图略作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________． 3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ．求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-5 2．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠FAD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ）FCGEDBA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ． 求证：DE =DF ．15. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：BM =ME ．16. 如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE 平分∠ADB ，AF =FC ，连接AD ． 求证：BD =CD ．FB EADC17. 若4x 2-axy +16y 2是完全平方式，则a =_________．18. 在直线l 上任取一点A ，截取AB =8cm ，点C 为AB 中点，截取CD =5cm ，则线段AD 的长为______________．19. 若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为M DC B AEFD CB AE______________． 20. 已知一等腰三角形的三边分别是5x -3，3x +3，27，则x =__________．21. 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________． 22. 已知等腰三角形的周长为24cm ，两边的差为3cm ，则底边长为__________．23. 在已知直线l 上找一点C ，和直线外的A ，B 两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l 上找出所有符合条件的点C ．BAl【参考答案】1. 证明略（提示：延长AD 到H ，使DH =AD ，连接BH ，证明，证明△BHD ≌△CAD ，导出AB =AC ，再证明△BED ≌△CFD ） 2. 证明略（提示：连接BD ，利用“三线合一”，利用“三线合一”证明∠DBE =∠E =30°） 3. 证明略（提示：证明AD =DC ，AD =BD ） 4. ±16 5. 1cm 或9cm 6. 80°或40° 7. 6或8 8. 60°或120° 9. 10cm 或6cm10. 点C 有5个，作图略个，作图略特殊三角形（讲义）一、知识点睛1．等边三角形．等边三角形①定义：①定义： 的三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形． ②判定：②判定： 的等腰三角形是等边三角形．的等腰三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形．③性质：等边三角形等边三角形 、 ． 2．等腰直角三角形．等腰直角三角形①定义：①定义：有一个角是有一个角是有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． ②判定：②判定： 的三角形是等腰直角三角形．的三角形是等腰直角三角形． ③性质：等腰直角三角形等腰直角三角形 ， ． 3．直角三角形．直角三角形 性质：性质：． ．ACB30°CBD A二、精讲精练1. 如图，以BC 为边在正方形ABCD 内部作等边△PBC ，连接AP ，DP ，则∠APD =_____________．PB DC AGAB EFC M N第1题图题图 第2题图题图2. 如图，点C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ，交AN 于点G ，连接EF ．有如下结论：①AN =BM ；②CE =CF ；BCABCA③EF ∥AB ；④∠NGF =60°．其中，正确结论有__________．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°，若BE =6cm ，DE =2cm ，则BC =________．BE DCA4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =60°，∠BCD =120°．求证：BC +DC =AC ．DCBA5. 已知：在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点．的中点．（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的动点，且BE =AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF 的面积是否变化，证明你的结论；的面积是否变化，证明你的结论； （3）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE =AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．D CEB AF6. 现有两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．的形状，并说明理由．MBEDCA7. 如图，在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ，则以下结论中：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ； ④AN :AB =AM :AC ．正确的有（．正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】 一、精讲精练1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；③三边都相等，三个内角都是60°． 2．①直角；②有两个角是45°；③两直角边相等，两底角都是45°． 3．30°角所对的直角边是斜边的一半．角所对的直角边是斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、精讲精练1． 150°ACNP MB2． ①②③④①②③④ 3． 8cm 4． 证明：如图，延长BC 到E ，使CE =CD ，连接DE ，BD ．∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形为等边三角形 ∴DC =DE ，∠2=60° ∵AB =AD ，∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形为等边三角形 ∴AD =BD ，∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△BDE （SAS ） ∴AC =BE ∵BE =BC +CE=BC +DC ∴BC +DC =AC5． （1）略；）略；（2）四边形AEDF 的面积保持不变，S =12ABC S D（3）△ABC 仍为等腰直角三角形仍为等腰直角三角形 6． △EMC 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 7． C321E A B C D特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠BED 的度数为________．B C EADOAB C DE第1题图题图 第2题图题图2. 如图，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于点O ，连接BC ，则∠BOC =__________．3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =DC ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．是等边三角形．FA B C DE4. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．D GA B CF E5. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高，F为BC 的中点．连接DE ，DF ，EF ．求证：∠FED =∠FDE ．FAB C DE6. 纳米技术（nanotechnology ）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（ ）米．（保留两个有效数字）留两个有效数字）A ．3.9×10-1B ．3.9×10-10C ．4.0×10-10D ．4.0×10-17. 如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是（的值是（ ） A ．2.5 B ．4.5 C ．5D ．7 图2图1y 102 m xABC DP8. 在△ABC 中，AB =6，AC =4，则中线AD 的取值范围是______．【参考答案】1．45° 2．120° 3．证明：如图，连接AC ∵∠B=∠D =60°，AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60° ∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠FAD 在△EAC 和△FAD 中FEDCBAACE D AC AD EAC FAD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△EAC ≌△FAD （ASA ） ∴AE=AF ∴△AEF 是等边三角形是等边三角形 4．证明：连接DE ∵AC=BC ，∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°，AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△AEF ≌△DEG （ASA ）∴EG =EF5．证明：∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点的中点∴EF =12BC ，DF =12BC∴∠FED =∠FDE6．C 7．B8．15AD <<321E FCBAGD 第3题图题图第4题图题图FA B CD E特殊三角形随堂测试题 姓名________1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是BC 边上的一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，连接AD ，AE ，DE ．点F 为DE 中点，连接AF ，CF ． 求证：（1）AD =AE ；（2）AF =CF ．FED CBA【参考答案】略轴对称的实际应用（讲义）一、知识点睛1．折叠问题：．折叠问题：（1）性质：折叠是________变换，_________________为对称轴，折叠前后的图形___________，对应边相等，对应角相等．，对应边相等，对应角相等． （2）思考步骤：）思考步骤：①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合．①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合． 2．轴对称最值问题：．轴对称最值问题：（1）特征：有定点，有动点，动点在___________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．接组成的线段和（周长）最小．（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l 上找一点P ，使得在直线同侧的点A ，B 到点P 的距离之和AP +BP 最小．最小．lBA二、精讲精练1. 如图，把一张长方形的纸片ABCD ，沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在M ，N的位置上，EM 与BC 相交于点G ，若，若∠EFG =55°，则∠1的度数是_______________．G 1N MFE DCB Aα30°B AD第1题图题图 第2题图题图2. 有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α=________．3. 如图a 是长方形纸带，∠DEF =25°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是________．图c图b图a BCDEFA G F EDC B A G A BCDEF4. 如图所示，一个边长是1cm 的正方形，的正方形，沿一条直线折叠，阴影部分的周长是沿一条直线折叠，阴影部分的周长是_________．MNAB CDE H第4题图题图 第5题图题图5. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则，则 ∠AHB 的度数是__________．6. 如图将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，若长方形ABCD 的周长为46cm ，则△AEF 的周长为__________．A BCD E F7. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最短．的周长最短．ABC PQ8. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边BA ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．BACP9. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 周长最小时，周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为的度数为___________________________．．DCABB A MCD N10. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时四边形PMNQ 的周长最小．周长最小．OA BQP三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．（1）轴对称，折痕所在直线，全等）轴对称，折痕所在直线，全等 2．（1）定直线）定直线 （2）将折线转直）将折线转直 二、精讲精练 1．110°110°2．75° 3．105°105°4．4cm5．75° 6．23cm7．如图所示，以BC 为对称轴作点P 的对称点P ʹ，连接QP ʹ交BC 于点R ，则点R 即为所求．即为所求．RP'QP CBA8．作图略，△PMN 周长的最小值为4 9．120°10．如图所示：点M ，N 即为所求即为所求Q'P'N MP QB AO轴对称的实际应用（随堂测试）1. 点D ，E 分别在等边△ABC 的边AB ，BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1，EB 1分别交边AC 于点F ，G ．若∠BDE =50°，则∠CGE =________．B 1GF EDCBA2. 如图，∠AOB =60°，点P 为∠AOB 内部任意一点，OP =5cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，请画图求解，当△PEF 的周长最小时，点O到EF 的距离是_____．PB OAAEO F B P【参考答案】1．80° 2．2.5cm轴对称的实际应用（作业）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A ʹ处，折痕为CD ，则∠A ʹDB =_______．A ′A DB C BE ADFGC第1题图题图 第2题图题图2. 已知：如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，EF 为折痕．若折叠后∠BCE =30°，BE =2，则矩形纸片的长AB =________，△CEF 的周长为_______________．3. 如图，一牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，且AC =BD ，已知A 到河岸CD 的中点的距离为500米．牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．A B CD4. 如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的角平分线上，OP =10cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是__________．．OPB AP O F EAB5. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法中正确的有_______． ①AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACF 边CF 上的高；⑤AD 是△ACF 的角平分线．的角平分线．6. 已知2x 3+x =2，求2x 6+3x 4+x 2-x +9的值．的值．【参考答案】1．10° 2．6；12 3．最短路程为1000米 4．5cm 5．①③④．①③④ 6．11E F C D B AG H。
全等三角形之动点问题(简单题)
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm.(1)求AB的长;(2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形?二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求：(1)△PAB为等腰三角形的t值;(2)△PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且∠ABM=45。
，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?;(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。
五、相遇问题：因动点产生的相遇问题5.如图，在△ABC中，AB= BC= AC= 12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿△ABC的三边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.(1)点M.N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M.N运动几秒后，可得到等边△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN?如果能，请求出此时M、N运动的时间.六、最值问题：因动点产生的最值问题6.如图K 13一6，点P,Q分别是△ABC的边AC,AB上的定点，请你在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.。
动点问题(等腰三角形问题)
中考数学专题复习研动点问题探究——等腰三角形分类讨论问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态问题。
它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
题型特点：此类问题常集代数、几何知识于一体，数形结合，有很强的综合性。
是河南中招的必考题，且每年都为压轴题，以函数与三角形和四边形结合的题目为主。
如08年为一次函数与三角形相结合，09年为二次函数与等腰三角形相结合，10年为二次函数与平行四边形相结合。
学情分析：1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。
2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。
教学方法：1、教师在教学时引导学生把动态问题变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量” 。
并从特殊位置点着手确定自变量取值范围, 对基本图形进行充分的分析,画出符合条件的各种草图分散难点、降低难度，将复杂问题简单化。
2、专题化，少而精。
如动点问题有等腰三角形、直角三角形、三角形相似、 四边形存在性等问题，这些都需分类讨论，分小专题复习效果更好。
本节课重点来探究动态几何中的第一类型：动点问题——等腰三角形分类讨论问题（一）自主解决（设计意图：为重点研讨作下铺垫）1、在平面直角坐标系中，已知点P （－2，－1）.点T （t ，0）是x 轴上的一个动点。
当t 取何值时，△TOP 是等腰三角形？情况一:OP=OT 情况二:PO=PT T3(-4,0)情况三:TO=TP设计意图：引导学生总结以已知线段为边作等腰三角形时，通常要分三种情况讨论：以已知线段为底或为腰。
且以已知线段为腰时，以该腰不同顶点为顶角顶点有两种情况。
2、如图：已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°)0,5();0,5(21T T -)0,45(4-T(1)点P 从点A 沿AB 边向点B 运动，速度为1cm/s.若设运动时间为t(s)，连接PC,当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？若△PBC 为等腰三角形则PB=BC∴t=3（二）师生互动，探究新知如图：已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°(2)若点P 从点A 沿 射线AB 运动，速度仍是1cm/s.当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？（小组合作交流讨论，根据分类的标准易得到下面四种情况）三、∴t=3或11或7+34或 334时 △PBC 为等腰三角形 设计意图：总结探究动点关键“化动为静，分类讨论，画出符合条件的各种草图”，注意一定要分开画.(三） 动脑创新，再探新知：（两个动点问题 ） 如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．（小组合作交流讨论）分析：（1）如图① ，求出ＢＣ=10A D CB M N（2）由 MNC GDC △∽△求出5017t = 解决动点问题的好助手：数形结合定相似，比例线段构方程（3）当M 、N 运动到ｔ秒时，若⊿MNC 为等腰三角形，须分三种情况讨论：①当NC MC =时，即102t t =-∴103t = ②当MN N C =时，过N 作NE MC ⊥于E 由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t-== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ③当MN MC =时，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t == 132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 总结：直角三角形能用相似解决的问题都能用三角函数法，且用三角函数法针对性更强，更省时间。
等腰三角形(动点问题)
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
4 P
A
7
B
自主思考 小组合作交流讨论
1、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
D
C
4 P
A
若⊿MNC为等腰三角形，须分三种情况讨论：
①CM=CN
t 10 2t
∴
t 10 3
A
D
N
②NM=NC
cos c EC 5 t NC t
3 =5
B
M HE
C
（图①）
∴
t 25 8
A
D
③MN=MC cos C
FC
1t 2
3
60
∴ t B
MC 10 2t 5
17
N
F HM C
2、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三 角形？
D
30°
A
7P
若△PBC为等腰三角形
C
4
则PB=BC
B
∴t=3
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（2）①ｔ=4
②ｔ=40-16 5
ｔ= 40
13
y 1 x2 4x 2
ｔ= 16 3
1、化动为静，作出符合条件的各种情况的草图 2、分类讨论 3、数形结合 4、用三角形相似或三角函数法或勾股定理建立等量关系
(完整版)初二动点问题(含答案)
动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想类型：1。
利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程,速度(动点怎么动)3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据4。
分情况讨论,把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6。
动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1,梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形；当t= 时,四边形是等腰梯形.2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1，N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为．的长为 ；的长为 ;4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD—BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BCEFCF于点F，求证：AE=EF．AB的中点M,连接ME,则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点"改为“点E是边BC上(除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．ACBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图36、如图， 射线MB上，MB=9，A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；(2)△ PAB为直角三角形的t值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向CCA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能（2）若点Q以②中的运动速度从点C来的运动速度从点B边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次哪条边上相遇?A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2。
初中数学动点问题及练习题附参考答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
初中数学动点问题大全
初中数学动点问题大全动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。
题型一动点形成的面积问题1．面积公式：三角形面积用12S ah =来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。
2．面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。
3．相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。
角度1：利用公式法解决动点面积问题例题1：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点30A （，）和23B （，）．过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC ADC S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(,3)a （其中4a >），射线O 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S S ∆∆的值；如果变化，请说明理由．O x y （备用图）O xy解析：（1）∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ，∴点P 的坐标为（6，2）．设直线AO 的表达式为y kx =（0k ≠）．将点P （6，2）代入y kx =，解得13k =．∴所求反比例函数的解析式为13y x =．（2）∵AB //x 轴，∴点B 纵坐标为3，将3y =代入12y x=，得4x =．∴B 坐标为（4，3）．∵AB =BO ，∴224(40)(30)a -=-+-9a =．∴点A 坐标为（9，3）．（3）不变．延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，∴32ADO AEO S S a ∆∆==．∵点C 坐标为（a ，12a ）．∴6CEO S ∆=，同理6BDO S ∆=，∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABO ACO S S ∆∆=．∵△ABP 与△ABO 同高，∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=．同理ACP ACO S AP S AO ∆∆=．∴1ABP ACP S S ∆∆=．即当a 变化时，ABP ACPS S ∆∆的值不变，且恒为1变式2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(3,0)B ，(0,4)C ，点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上，∴设0P x （，）.∵A )0,1(-，∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中，222OA OC AC +=；又∵14OA OC ==，∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CM PM BC AB AC ∴= ；300B P x （，），（，）1点P 在点B 的左侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)12217x -=解得110x .P =∴（，）2点P 在点B 的右侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)122417x -=解得11x =+，21x =-（不合题意，舍去）∴P（1+0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+0）角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2：如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB DC ==，4AD =．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且//ME DN ，//MF AN ，联结EF ．（1）如图1，如果//EF BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38，求AM 的长；解析：（1）∵AD //BC ，EF //BC ，∴EF //A D ．又∵ME //DN ，∴四边形EF DM 是平行四边形．∴EF =DM ．同理可证，EF =AM ．∴AM =DM ．∵AD =4，∴122EF AM AD ===．（2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．∵ME //DN ，∴△AME ∽△AN D ．∴22AME ADN S AM S AD∆∆=．同理可证，△DM F ∽△DN A ．即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=．设AM =x ，则4DM AD AM x =-=-．∴22(4)516168x x -+=．即得2430x x -+=．解得11x =，23x =．∴AM 的长为1或3．A B CD M N EF （图1）AB C D M N E F变式3：已知直线1l 、2l ，12//l l ，点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC BC ⊥，60ABC ∠=︒，4AB =，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合．（1）如图1，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长；（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N ．①如图2，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长．解析：变式4：如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BC AC ⊥，4AD =cm ，︒=∠45D ，3=BC cm ．（1）求B ∠cos 的值；（2）点E 为BC 延长线上的动点，点F 在线段CD 上（点F 与点C 不重合），且满足ADE AFC ∠=∠，如图2，设x BE =，y DF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E 为射线BC 上的动点，点F 在射线CD 上，仍然满足ADE AFC ∠=∠，当AFD ∆的面积为2cm 2时，求BE 的长．解析：（1）∵//AD BC ，∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒，∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =，∴4AC =.∵3=BC ，∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.（2）∵//AD BC ，∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠，ADE FDA EDC ∠=∠+∠，又AFC ADE ∠=∠，∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DF DC CE =.在Rt ADC ∆中，222AC AD DC +=，又4==AC AD ，∴24=DC .∵x BE =，∴3-=x CE .y DF =，∴3244-=x y .22322-=x y .定义域为113<<x .（3）当点E 在BC 的延长线上，由（2）可得：ADF DCE ∆~∆，∴2(DC AD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=，4=AD ，24=DC ，∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21，∴44)3(21=⨯-⨯BE ，∴5BE =.当点E 在线段BC 上，同理可得：44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3：已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为(0)m m >，过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；解析：变式5：已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12．（1）求顶点D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标．解析：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=，∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -（2）设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式，得，1a =所以，这条抛物线的表达为223y x x =--（3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+解得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫ ⎪⎝⎭巩固1：如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，3AC =．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF OA ⊥，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D 的坐标．解析：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=a a x ，∴OC =1，OA =OC +AC =4，∴点A （4，0）．∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ，∴OBOC OA OB =，∴OB OB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．（2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ，由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24m FG -=，∴2:524:)22141(2=-++-m m m ，∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）巩固2：如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD DAF ∆∆∽；（2）若1BC =，设CD x =，AF y =；①求y 关于x 的函数解析式及定义域；②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒A C BO yx∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，∴BCD ∆∽DAF∆（2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CD AD AF=∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11x x y=-，∴()201y x x x =-<<（3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BF BC BD=，∵BE BD =，1BC =，∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，∴279BE BF ==，∴29AF =∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCDS BE S BC ∆∆==∵1BC =，BE BD =，∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ，∵60C ∠=︒，∴BH =16DH =，12CH =当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=．巩固3：在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．解析：（1）△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时，如图（1）：∵矩形ABCD ，==90D A ∠∠ ，∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ，∴1=3∠∠，∴△EAP ∽△PDC②当P 在AD 边上时，如图（2）：同理可得△EAP ∽△PDC（2）若点P 在边AD 上，据题意：PD x =6PA x =-4DC =AE y =又∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时，据题意PD x =，则6PA x =-，4DC =，AE y =，∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴()2664x x y x -=>（3）假如存在这样的点P ，使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAP PDC C C x =- ，∴()6:42x -=，∴2x =-不合题意舍去；②若点P 在边DA 延长线上，同理得()6:42x -=，∴14x =综上所述：存在这样的点P 满足题意，此时14PD =巩固4：如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--顶点为9(1,)2-（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA =OC =4，∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ，∠NBA =∠OM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN AB AB AM =又∵AN =2，AB =∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2，点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1．直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2．圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距．利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4：直线与圆相切问题例题4：如图，在ABC ∆中，10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上（点F 不与点A 、C 重合）//EF AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC x =．（1）求B ∠的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE DF 、分别交AB 于M 、N ，若MN y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC 1没有公共点时，求x 的取值范围．2一个公共点时，求x 的取值范围．3两个公共点时，求x 的取值范围．AE CB FA B D GC EF变式6：已知：矩形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ，分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点，BC ＝6．（1）当点F 为AD 中点时，求AB 的长；（2）联结AG ，设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在x 的值，使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点F 为AD 中点，且AD =BC =6，∴AF =3∵矩形ABCD 中，∠ABC =90°，BG ⊥AC 于点E ，∴∠ABE +∠EBC =90°，∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ，∴△ABF ∽△BCF ，∴AB AF BC AB =∴AB =23（2）由（1）可得△ABF ∽△BCF ∴AB AF BC AB =∵AB ＝x ，BC ＝6∴AF =62x ；同理可得：CG =x36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =x x x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。
九下第一轮复习等腰三角形与直角三角形的存在性问题
探索等腰三角形及直角三角形的存在性问题考点分析：中考中对于等腰三角形及直角三角形的存在性问题的考查多以压轴题形式出现,题目的设计多与几何图形中的动点问题、坐标系中的抛物线相结合，综合性很强，对学生分析问题、解决问题的能力提出较高的要求。
思想：等腰三角形直角三角形存在性问题都是对分类讨论、数形结合、方程思想的考察方法：等腰三角形与直角三角形存在性问题第一步学会做图。
第二步根据图形特征进行计算题型：等腰三角形已知点的情况主要分为“两定一动型”和“一定两动型”，直角三角形已知一边求另一顶点。
教学目标：1.探索并总结等腰三角形和直角三角形的存在性问题的解决方法与步骤；2.在研究等腰三角形和直角三角形存在性问题中，进一步发展空间观念，经历等腰三角形和直角三角形思考问题的过程，建立几何直观；3.在多种形式的数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力；能独立思考，体会数学的分类思想、数形结合思想、方程思想等。
4.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
重点、难点分析：重点：等腰三角形和直角三角形存在性问题的解决方法与步骤。
难点：1.问题中条件或结论的不确定性、答案的多样性；2.针对问题正确分类画图后寻找等量关系。
教学过程：一．主要知识回顾：（课前完成）1.若ABC∆是等腰三角形，则可能有下列线段相等：①②③2.等腰三角形的性质：3直角三角形ABC中，可能是直角的有①②③4直径所对的圆周角。
二．中考中的题目分类：等腰三角形（一）两定一动型1.只找点不计算（以选择题或填空题的形式出现，只需按照“两圆一线”的方法作出图形即可求解）例1.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,3)在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个针对性练习1. 如图所示，在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M是线段BC上一定点，且MC=8,动点P从C点出发沿C D A B→→→的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个．2.计算题目（解这类题目的方法可以分为几何法与代数法）。
2023年中考数学高频考点突破-三角形动点问题
2023年中考数学高频考点突破-三角形动点问题1．如图，长方形ABCD中，AB=10cm，AD=12cm，∠A=90°．点P从点A出发，沿射线AB的方向以5cm/秒的速度移动；同时，点Q也从点A出发，以l2cm/秒的速度沿射线AD的方向移动．设两点的运动时间为t秒．（1）当点P到达点B时，t=．（2）用含t的式子表示PQ，可以表示为．（3）试求出使△APQ的周长等于长方形ABCD周长的三分之一的t值．（4）若Q点到达D点后立刻按照原路原速返回，试求出何时△APQ为等腰三角形．2．如图，△ABC 中，△C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P 从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t 秒．（1）出发2 秒后，求△ABP 的周长．（2）当t 为几秒时，BP 平分△ABC？（3）另有一点Q，从点C 开始，按C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？3．在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=BC=3 √2，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．（1）求△ADE的周长的最小值；（2）若CD=4，求AE的长度．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=20cm，AC=16cm，点P从点A出发，以每秒1cm 的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t>0）（1）求BC的长．（2）当PA=PB时，求t的值．5．如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度。
中考数学复习专题 6动点综合问题(含中考真题解析)学生版
动点综合问题知识点对应策略动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题【20XX年题组】1．（2015牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．2．（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP 的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．（2015资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A．B．C．D．4．（2015广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发．按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD ﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A B C D6．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A B ．C ．D ．7．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．128．（2015乐山）如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．212D．1729．（2015庆阳）如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线y x=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为．10．（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．12．（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂．其足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为51中正确的说法是．（把你认为正确的说法的序号都填上）13．（2015江西省）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．14．（2015鄂尔多斯）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边上．15．（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？16．（2015宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若»»=AB BC，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．17．（2015攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．18．（2015桂林）如图，已知抛物线212y x bx c=-++与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2015淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，动点M、N相遇；（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．【20XX年题组】1．（20XX年甘肃天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿»AB线段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）A B C．D．2．（20XX年贵州安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．2B．1C．2D．223．（20XX年安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A B C D4．（20XX年江苏苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A 重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．5．（20XX年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__________6．（20XX年浙江嘉兴中考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为23；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD=25；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是163．其中正确结论的序号是．7．（20XX年湖南衡阳）如图，直线AB与x轴相交于点()40A-，，与y轴相交于点()03B，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时，将直线34y x=以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为()05t t<<秒．⑴证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；⑵当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理．8．（20XX年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P 从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE=AO ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； （2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；（3）在线段PE 上取点F ，使PF=1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM=2，FN=1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD 的面积为S ．①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值；②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围．基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=3cm ，BC=4cm ．动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿射线BA 运动，求出点P 运动所有的时间t ，使得△PBC 为等腰三角形．归纳 2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合． 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245 D ．5归纳 3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．BAC基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）模拟1．如图1，在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2，则AB边上的高是（）A．3 B．4 C．5 D．62．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．3．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A—B—C—D—A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）4．某景点有一座圆形的建筑，如图，小江从点A沿AO匀速直达建筑中心点O处，停留拍照后，从点O沿OB以同样的速度匀速走到点B，紧接着沿¼BCA回到点A，下面可以近似地刻画小江与中心点O的距离S随时间t变化的图象是（）．5．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）A B C D ．【6．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=23cm，E为CD边上的中点，点P从点A沿折线AE﹣EC运动到点C时停止，点Q从点A沿折线AB﹣BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数关系的图象可能是（）A B C D．7．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．【答案】（1）t=1或3241时，△BPQ∽△BCA；（2）t=78．9．如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），B（3，2），点C在线段OA上，BC=BA，点Q是线段BC上一个动点，点P的坐标是（0，3），直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），且与x轴交于点D．（1）求点C的坐标及b的值；（2）求k的取值范围；（3）当k为取值范围内的最大整数时，过点B作BE∥x轴，交PQ于点E，若抛物线y=ax2﹣5ax（a≠0）的顶点在四边形ABED的内部，求a的取值范围．10．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若2，求点F的坐标．11．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC 上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）．（1）求点N的运动速度；（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．12．如图，直线y=-12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）．（1）求B，C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明问题．13．如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．（1）求证：PA=PE；（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．14．如图，抛物线y=12x2+mx+n与直线y=-12x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA2A后停止，当点E的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？15．已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标；（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，MN OPMN OPg的值最大，并求出最大值；（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值．17．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长．（2）当t为何值时，MN∥CD？（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．。
北师大七年级下册数学期末综合复习拔高训练专题三 动点综合问题(有答案)
专题三动点综合问题考点一：利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题例1.（2013•白城校级模拟）在△ABC中，AB=AC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90°；（2）如图2，设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在线段BC上移动时，请写出α，β之间的数量关系，请说明理由．解：α+β=180°．证明如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，∴∠CAE=∠BAD．在△ABD和△ACE中AB＝AC∠BAD＝∠CAEAD＝AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠BCE=180°，即α+β=180°．【针对训练】1.（2015深二外期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s 的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？解：（1）经过1秒后，BP=3，CQ=3，CP=5，已知△ABC中，AB＝AC,∴∠B=∠C.在△BPD与△CQP中，BD=CP, ∠B=∠C,BP=CQ,∴△BPD≌△CQP（SAS）.（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ.∴要使△BPD与△CQP全等，必须BP=CP，BD=CQ.设点Q的运动速度为x厘米/秒，依据时间相等，得方程4÷3＝5÷x，x=3.75∴当点Q的运动速度为3.75厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等。
等腰三角形动点问题探究
《等腰三角形》动点问题动点问题探究播州区泮水中学谭洪康教学设计：一、学习目标：1、概念：等腰三角形：有两边相等的三角形.,2、性质：（1）等腰三角形两底角相等（等边对等角）；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（三线合一）；3、掌握分析动点问题的方法，化动为静；4、掌握数形结合思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法解决动点问题.二、教学重点、难点：教学重点：1、等腰三角形的概念及性质；2、解决动点问题的思路和方法.3、规范书写，提高得分点.教学难点：在动点问题中“怎样化动为静”，“快速准确地找到解决问题的突破口”三、教学内容：中考数学专题复习--等腰三角形动点问题动态问----图形中的点、线、面的运动，构成了数学中的一个新问题．题。
在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
(一)、一个动点：图形中一个动点所形成的等腰三角形问题例1：如图，已知平行四边形ABCD中AB=7cm,BC=4cm,∠A=30°，点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t（s），连接PC，当t为何值时，ΔPBC为等腰三角形？提示：如图，连接PCDC ABP的腰边为等腰以BP、BCΔPBC∴PB=BC 即7-t=4即：t=3所以当t=3s时，ΔPBC为等腰三角形归纳：1、定图形；2、表线段；3、列方程；4、解问题注意：分情况考虑等腰三角形的底和腰如图，已知平行四边形ABCD中，AB=7cm,BC=4cm,∠A=30°，点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
设运动时间为t（s），连接PC，当t为何值时，ΔPBC为等腰三角形？1、如图已知ABCD中，AB=7cm，BC=4cm，∠A=30°DCAB(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
(完整版)初中数学动点问题归纳
BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根△ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴 交点方程有 的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
4、 常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
初中数学三角形动点问题解析
初中数学三角形动点问题解析一、命题：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=5，AB=5，CD=3，点E在线段BA上以2个单位/秒的速度从B点出发向A点运动，点F在线段CB上以1个单位/秒的速度从C点出发向B点运动，点E与点F同时运动，且当点F 到达B点时两点同时停止运动，假设运动时间为t，请根据上述已知条件回答下列问题。
⑴在运动过程中，是否存在时间t，使得△BCE是等边三角形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；⑵当t为何值时，△BEF是直角三角形；⑶当t为何值时，△BEF是等腰三角形。
二、说题：本题是对特殊三角形的性质和判定定理的一个全面考察，对相似三角形的性质的应用，以及作图能力和动态分析能力有较强的要求，能掌握常见二次根式的化简，会利用三角函数计算出特殊角的大小。
涉及到的知识点有等边三角形的三个内角都是060的等腰三角形是等边三角60，有一个0形，有一个直角的三角形是直角三角形，有两个角对应相等的两三角形相似，相似三角形的对应边成比例，有两边相等的三角形是等腰三角形，二次根式的化简。
其中涉及到课标对三角形的要求有，了解等腰三角形的概念，探索并掌握等腰三角形的判定定理，探索等边三角形的性质定理，有一个角是060的等腰三角形是靠边三角形，了解直角三角形的概念，了解相似三角形的判定定理及性质定理。
在解决第①题时，只要根据等边三角形的三个内角都是060，并利用锐角三角函数算出060≠∠B ,从而得到运动中不存在等边三角形。
第②题，先要认识要成为直角三角形要有直角存在，但认识到在运动过程中B ∠的大小不发生变化，固而只有两种情况，并在图中画出情况图，从而利用相似三角形的对应边比例求出时间t 。
第③题，抓住有两边相等的三角形是等腰三角形，从而了解到存在三种情况，并在图中画出各种情况的图形，利用等腰三角形的三线合一作出底边的高线，从而得到相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例，顺利求出三种情况的t 值，在解题过程中应注意把二次根式化简。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动点问题（一）等腰三角形与直角三角形 1、已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°若点P 从点A 沿AB 运动，速度是1cm/s 。
当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？
2、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
D C B
A 7 4
3、已知：直线121y +=x 与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线c bx x ++=22
1y 与直线交于A 、E 两点，与轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使的值最大，求出点M 的坐标．
练：如图点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。