中考复习专题之三因动点问题产生的直角三角形问题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 20XX 年广州市中考第24题

如图1，抛物线233

384

y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y

轴交于点C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；

（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．

三个时，求直线l 的解析式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．

2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

（1）由2333

3(4)(2)848

y x x x x =--+=-+-，

得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．

（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、

D 到直线AC 的距离相等．

过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．

由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以

3

4

DG CO BG AO ==． 所以3944

DG BG ==，点D 的坐标为9

(1,)4-．

因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．

而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27

(1,)4

．

图2 图3

（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．

联结GM ，那么GM ⊥l ．

在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．

在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113

tan 4

M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6．

所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为3

34

y x =-+．

根据对称性，直线l 还可以是3

34

y x =

+． 考点伸展

第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4． 在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．

因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．

例2 20XX年杭州市中考第22题

在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k 的值．

动感体验

请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．

思路点拨

1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是

k

y

x ．题目

中的k 都是一致的．

2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．

3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．

满分解答

（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x

=

． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2

y x

=-．

（2）在反比例函数k

y x

=

中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．

当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．

抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215

()24

k x k +-的对称轴是直

线1

2

x =-． 图1

所以当k ＜0且1

2x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．

（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15

(,)24

k --，A 、B 关于原点O 中心对称，

当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．

由OQ 2＝OA 2，得222215

()()124

k k -+-=+．

解得1233k =（如图2），22

33

k =-（如图3）

．

图2 图3

考点伸展

如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线k

y x

=

（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．

问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？