因动点产生的直角三角形问题
函数中因动点产生的直角三角形问题
专题6：函数中因动点产生的直角三角形问题构造直角三角形的方法： 1．要分别考虑以三点为直角顶点的情况 2．再利用相似、勾股定理或者锐角三角函数的相关知识计算，从而求出对应的点坐标．例题、已知：如图一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC 的面积S ；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．解：(1)将B (0，1)，D (1，0)的坐标代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得 1,10.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩得解析式y ＝12x 2－32x ＋1………………3分 (2)设C (x 0，y 0)，则有00200011,13 1.22y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩解得004,3.x y =⎧⎨=⎩∴C (4，3)．………6分 由图可知：S ＝S △ACE －S △ABD ．又由对称轴为x ＝32可知E (2，0)． ∴S ＝12AE ·y 0－12AD ×OB ＝12×4×3－12×3×1＝92………………………8分 当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ．∵Rt△BOP ∽Rt△PFC ，∴BO OP PF CF =．即143a a =-． 整理得a 2－4a ＋3＝0．解得a ＝1或a ＝3∴所求的点P 的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点P 共有二个………………12分(3)设符合条件的点P 存在，令P (a ，0)：当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ，∵Rt △BOP ∽Rt △PFC ，∴CF OP PF BO =,即341a a =-， 整理得a 2-4a+3=0，解得a=1或a=3，∴所求的点P 的坐标为（1，0）或（3，0）， 综上所述：满足条件的点P 共有二个。
动点生成直角三角形问题
二次函数的动点生成直角三角形的问题1．综合与探究：如图,抛物线213y x x 442=--与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q 。
（1）求点A,B,C 的坐标。
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 。
试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
2．如图，抛物线2y ax bx 4=++的对称轴是直线x=32，与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，并且点A 的坐标为（—1，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作CD//x 轴交抛物线于点D ，连接AD 交y 轴于点E ，连接AC ，设△AEC 的面积为S 1, △DEC 的面积为S 2，求S 1：S 2的值；（3）点F 坐标为（6，0），连接D ，在（2）的条件下，点P 从点E 出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F 匀速运动；点Q 从点F 出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A 匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动.若点P 、Q 同时出发，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以D 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t 值..3．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的另一点．已知以AB 为一底边的梯形ABCD 的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E 的坐标；（3）点P 是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P 运动的时间为t 秒．①当t 为 秒时，△PAD 的周长最小？当t 为 秒时，△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P 在运动过程中，是否存在一点P ，使△PAD 是以AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2013年四川攀枝花12分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （1.0），C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知一次函数y 0.5x 2=+的图象与x 轴交于点A ，与二次函数2y ax bx c =++的图象交于y 轴上的一点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有唯一的交点C ，且OC=2．（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；（2）设一次函数y 0.5x 2=+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象的另一交点为D ，已知P 为x 轴上的一个动点，且△PBD 为直角三角形，求点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，23-），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，tan ∠DAE=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△ECA 为直角三角形时，求t 的值．参考答案1．解：（1）当y=0时，213x x 4042--=，解得，12x 2x 8=-=，，∵点B 在点A 的右侧，∴点A ，B 的坐标分别为：（－2，0），（8，0）。
中考专题：动点产生的直角三角形和平行四边形
＆1.3因动点产生的直角三角形问题例13. （2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ= 34AB 时，求tan ∠CED 的值；②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．例14（2011•温州）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（-4，0），点B 的坐标是（0，b ）（b ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P´（点P´不在y 轴上），连接PP´，P´A ，P´C ．设点P 的横坐标为a ．（1）当b=3时，①求直线AB 的解析式；②若点P′的坐标是（-1，m ），求m 的值；（2）若点P 在第一象限，记直线AB 与P´C 的交点为D ．当P´D ：DC=1：3时，求a 的值；（3）是否同时存在a ，b ，使△P´CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a ，b 的值；若不存在，请说明理由．例15设直线l 1:y 1=k 1x +b 1与l 2:y 2=k 2x +b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．(1) 已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C （0,2）．则直线 和 是点C 的直角线(填序号即可)；(2) 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A （3,0）、B （2,7）、C （0,7），P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P P 的直角线，求直线l 1与 l 2的解析式．例16. （2012•广州）如图，抛物线y=- 38x 2- 34x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等A轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t。
中考 压轴题一：两招破解因动点产生直角三角形难题 压轴题二：因动点产生平行四边形的存在性问题解题新策略
压轴题一：两招破解因动点产生的的直角三角形难题一、问题导读因动点产生的直角三角形问题是中考试卷的考查热点，解决这类问题时，我们常常需要分情况讨论，即究竟哪个角是直角。
具体解题策略分类说明如下。
二、典例精析类型1.两动点或三动点形成的直角三角形重要策略：分角讨论法：讨论直角三角形的时候，如果能设出或明确出三角形三个顶点坐标，可利用两点间距离公式分别求出三角形三边长，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
涉及到的知识点有：全等；相似倒角；函数交点；两一次函数斜率之积为-1等知识求解；例1.（2018秋梁子湖区期末）如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣1/2x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①把二次函数表达式化为顶点式表达式，即可求解；②不存在．理由如下：设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣1/2m2+m+4），PD＝﹣1/2m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣1/2m2+2m，当四边形MNPD为平行四边形，则：1/2m2+2m＝3/2，解得：m＝1，则：点P（3，1），由N（1，3），则由两点间距离公式可得：PN＝2√2≠MN，即可求解；（2）分∠BDP＝90°或∠PBD＝90°两种情况，求解即可．【解答】（1）①y＝﹣1/2x2+x+4＝﹣1/2（x﹣1）2+9/2，∴顶点M的坐标为（1，9/2），当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，∴点N的坐标为（1，3）；②不存在．理由如下：MN＝9/2﹣3＝3/2，设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣1/2m2+m+4），PD＝﹣1/2m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣1/2m2+2m，∵PD∥MN．∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣1/2m2+2m＝3/2，解得：m＝1或3（m＝1舍去），∴点P（3，1），由N（1，3），∴则由两点间距离公式可得PN＝2√2≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形，即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），∴抛物线的表达式为：y＝﹣1/2x2+x+4；②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，则PD＝2xP＝4，∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：16a+4b+c=0, c=4, 4a+2b+c=6，解得：a=-1,b=3,c=4，故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．。
二次函数压轴题第五讲 因动点产生的直角三角形问题
第五讲因动点产生的直角三角形问题【知识要点】求直角三角形的存在性方法:（1）几何法：一个圆两条线；（2）代数法：盲解【典型例题】例1．如图，y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)（1）求抛物线的解析式；（2）若点N是对称轴上一动点，且△NAC是直角三角形，求点N的坐标；例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．例3．如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线k x a y +-=2)2(经过A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ，（1）求a ，k 的值；（2）在图中求一点Q ，A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q 的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使△ABM 的周长最小？若存在，求△ABM 的周长；若不存在，请说明理由；（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N ，使△ABN 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出N 点的坐标，若不存在，请说明理由．例4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
中考数学压轴专练专题03 因动点产生的直角三角形问题(学生版)
【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】例1 如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B 关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2例2如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q2个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例3 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1例4如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1例5如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例6如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1【变式训练】1．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，在矩形中，是边上的一个动点，当点在（不含两点）上运动时，若是以为斜边的直角三角形，则等于（）A．B．或C．D．或3．如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，24．如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，（s）的值为A．B．1 C．或1 D．或1 或5．若D点坐标(4，3)，点P是x轴正半轴上的动点，点Q是反比例函数12(0)y xx=>图象上的动点，若△PDQ为等腰直角三角形，则点P的坐标是________．6．如图，长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，当△A′BC为直角三角形时，AE的长为______．7．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=________s时，△POQ是等腰三角形；当t=_______s时，△POQ是直角三角形．8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=6cm，AC=8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为___________．9．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.10．如图所示，已知抛物线经过点A （－2，0）、B （4，0）、C （0，－8），抛物线y ＝a x 2 ＋b x ＋c （a≠0）与直线y ＝x －4交于B ，D 两点．（1）求抛物线的解析式并直接写出D 点的坐标；（2）点P 为抛物线上的一个动点，且在直线BD 下方，试求出△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）点Q 是线段BD 上异于B 、D 的动点，过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，交抛物线于点G ．当△QDG 为直角三角形时，求点Q 的坐标．11．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．12．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x ﹣4交于B，D两点（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．13．如图，抛物线与直线交于A 、B 两点.点A 的横坐标为－3，点B 在y 轴上，点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于D . （1）求抛物线的解析式； （2）当m 为何值时，；（3）是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.14．（本小题满分12分）已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．15．如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ．（1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明△MDE 是等腰三角形；（2）△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． 16．如图，直线与抛物线相交于和，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作轴于点D ，交抛物线于点C ．求抛物线的解析式；是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 连接AC ，直接写出为直角三角形时点P 的坐标． yx O DEA BC17．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的对称轴和线段AB的长；（2）如图1，已知点D（0，﹣），点E是直线AC上访抛物线上的一动点，求△AED的面积的最大值；（3）如图2，点G是线段AB上的一动点，点H在第一象限，AC∥GH，AC=GH，△ACG与△A′CG关于直线CG对称，是否存在点G，使得△A′CH是直角三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知，是边长的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．请分别解决下面四种情况：（）如图，设点的运动时间为，那么__________时，是直角三角形；（）如图，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点、都以的速度同时出发．设运动时间为，那么为何值时，是直角三角形？（）如图，若另一动点从点出发，沿射线方向运动．连接交于．如果动点、都以的速度同时出发．设运动时间为，那么为何值时，是等腰三角形？（）如图，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于，连接．如果动点、都以的速度同时出发．请你猜想：在点、的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y 轴上运动．（1）求直线AB的函数解析式；（2）动点M在y轴上运动，使MA+MB的值最小，求点M的坐标；（3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．。
2020年中考数学压轴解答题02 因动点产生的直角三角形问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题02 因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根．一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1,点C在垂线上,垂足除外．如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外．如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个．如图4,已知A(3, 0),B(1,－4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标．我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB．设OC＝m,那么341mm-=．这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】【例1】如图1,已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由；（3）如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2【例2】已知在平面直角坐标系xOy中,直线l别交x轴和y轴于点A（－3,0）,B（0,3）．（1）如图1,已知⊙P经过点O,且与直线l1相切于点B,求⊙P的直径长；（2）如图2,已知直线l2：y＝3x－别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线l2上的一个动点,以Q为圆心,22为半径画圆．①当点Q与点C重合时,求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M,N两点,连结QM,QN．问：是否存在这样的点Q,使得△QMN是等腰直角三角形,若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．【例3】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝13,CD//AB,点E为射线CD上一动点（不与点C重合）,联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时,求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x,AE＝y,当CG＝2GB时,求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长．图1【例4】综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观,折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B′落在矩形ABCD所在平面内,B′C和AD相交于点E,连接B′D．解决问题(1)在图1中,①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开,得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图2所示,结论①和结论②是否成立,若成立,请挑选其中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中,若∠B=30°,AB=43,当△AB′D恰好为直角三角形时,BC的长度为．【例5】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点,试判断△BCD的形状,并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位,平移后的直线与抛物线交于M,N两点（点M在y轴的右侧）,当△AMN为直角三角形时,求t的值．【例6】如图,抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y＝﹣x 与该抛物线交于E,F两点．（1）求点C坐标及抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值．（3）以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点D,使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在,直接写出D点坐标；若不存在,请说明理由．【变式训练】1．如图,点M是直线y=2x+3上的动点,过点M作MN垂直于x轴于点N,y轴上是否存在点P,使得△MNP为等腰直角三角形,则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图,已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（0,8）,点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点,CF＝10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是（）A．817B．717C．49D．593．如图,在△ABC中,AB=2,AO=BO,P是直线CO上的一个动点,∠AOC=60°,当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时,AP的长为（）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．,24．如图,是的直径,弦,是弦的中点,．若动点以的速度从点出发沿着方向运动,设运动时间为,连结,当是直角三角形时,（s）的值为A．B．1 C．或1 D．或1 或5．若D点坐标(4,3),点P是x轴正半轴上的动点,点Q是反比例函数12(0)y xx=>图象上的动点,若△PDQ为等腰直角三角形,则点P的坐标是________．6．如图,长方形ABCD中,∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,AB=CD=6,AD=BC=10,点E为射线AD上的一个动点,若△ABE与△A′BE关于直线BE对称,当△A′BC为直角三角形时,AE的长为______．7．如图,AB 为O e 的直径,C 为O e 上一点,过B 点的切线交AC 的延长线于点D ,E 为弦AC 的中点,10AD =,6BD =,若点P 为直径AB 上的一个动点,连接EP ,当AEP ∆是直角三角形时,AP 的长为__________．8．如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=5,点D 是BC 边上一点且CD=1,点P 是线段DB 上一动点,连接AP,以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时,点O 的运动路径长为_____．9．如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC=6cm ,AC=8cm ．若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B→A 的方向运动,点Q 以1cm/s 的速度从A 点出发沿着A→C 的方向运动,当点P 到达点A 时,点Q 也随之停止运动．设运动时间为t(s),当△APQ 是直角三角形时,t 的值为___________．10．定义：在平面直角坐标系中,对于任意两点A （a ,b ）,B （c ,d ）,若点T （x ,y ）满足x ＝3+a c ,y ＝3+b d那么称点T 是点A ,B 的融合点．例如：A （﹣1,8）,B （4,﹣2）,当点T （x ,y ）满足x ＝143-+＝1,y ＝8(2)3+-＝2时,则点T （1,2）是点A ,B 的融合点．（1）已知点A （﹣1,5）,B （7,7）,C （2,4）,请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图,点D （3,0）,点E （t ,2t +3）是直线l 上任意一点,点T （x ,y ）是点D ,E 的融合点． ①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时,求点E 的坐标．11．如图,在矩形ABCO 中,AO=3,tan ∠ACB=43,以O 为坐标原点,OC 为x 轴,OA 为y 轴建立平面直角坐标系．设D,E 分别是线段AC,OC 上的动点,它们同时出发,点D 以每秒3个单位的速度从点A 向点C 运动,点E 以每秒1个单位的速度从点C 向点O 运动,设运动时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）用含t 的代数式表示点D 的坐标； （3）当t 为何值时,△ODE 为直角三角形？（4）在什么条件下,以Rt △ODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线？并请选择一种情况,求出所确定抛物线的解析式.12．如图,顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ,()1,0B -两点,与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y 轴上是否存在一点P ,使得PAM ∆为直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ,满足DA OA =,过D 作DG x ⊥轴于点G ,设ADG ∆的内心为I ,试求CI 的最小值．13．如图,在等腰Rt ABC V 中,90,142ACB AB ∠==o ．点D,E 分别在边AB,BC 上,将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1,若AD BD =,点E 与点C 重合,AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =． （2）已知点G 为AF 的中点．①如图2,若,2AD BD CE ==,求DG 的长．②若6AD BD =,是否存在点E,使得DEG △是直角三角形？若存在,求CE 的长；若不存在,试说明理由． 14．已知在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1,已知P e 经过点O ,且与直线1l 相切于点B ,求P e 的直径长；(2)如图2,已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ,点Q 是直线2l 上的一个动点,以Q 为圆心,22为半径画圆.①当点Q 与点C 重合时,求证: 直线1l 与Q e 相切；②设Q e 与直线1l 相交于,M N 两点, 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ,使得QMN ∆是等腰直角三角形,若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.15．如图1,已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点,（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点,过M 作x 轴的垂线交BC 于H ,过M 作MQ ⊥BC 于Q ,求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ,使|AR ﹣MR |最大,求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点,将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ,是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形,若存在请求出BT 的长,若不存在,请说明理由．16．在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A,B 两点,点A 在点B 的左侧．（1）如图1,当k=1时,直接写出A,B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2,抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）,在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°？若存在,请求出此时k 的值；若不存在,请说明理由． 17．在平面直角坐标系中,抛物线223y x x =--+与x 轴交于A,B 两点（A 在B 的左侧）,与y 轴交于点C,顶点为D ．（1）请直接写出点A,C,D 的坐标；（2）如图（1）,在x 轴上找一点E,使得△CDE 的周长最小,求点E 的坐标；（3）如图（2）,F 为直线AC 上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由．18．如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.19．已知：如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0,6）,B （6,0）,C （﹣2,0）,点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时,△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线,交线段AB 于点D,再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．20．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0,3)、B （1,0）,其对称轴为直线l ：x=2,过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C,∠AOB 的平分线交线段AC 于点E,点P 是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上,连结PE 、PO,当m 为何值时,四边形AOPE 面积最大,并求出其最大值；（3）如图②,F 是抛物线的对称轴l 上的一点,在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在,请说明理由.21．如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 、B 为x 轴上两点,C 、D 为y 轴上的两点,经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0,）,点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC 的面积最大？若存在,求出△PBC 面积的最大值；若不存在,请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时,求m 的值．22．如图,矩形OABC 中,点O 为原点,点A 的坐标为（0,8）,点C 的坐标为（6,0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点,与AB 边交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合）,点Q 为线段AC 上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式,并求出m 为何值时,S 取得最大值；②当S 最大时,在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F,使△FDQ 为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在,请说明理由．。
初中数学几何思路集锦：因动点产生的直角三角形问题
因动点产生的直角三角形问题一．解答题（共7小题）1．如图所示,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上）,当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN,过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4．试问x为何值时,△PQW为直角三角形？（3）试用含的代数式表示MN2,并求当x为何值时,MN2最小？求此时MN2的值．2．已知,△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发,沿线段AB向点B运动．（1）如图1,设点P的运动时间为t（s）,那么t=_________（s）时,△PBC是直角三角形；（2）如图2,若另一动点Q从点B出发,沿线段BC向点C运动,如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s）,那么t为何值时,△PBQ是直角三角形？（3）如图3,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s）,那么t为何值时,△DCQ是等腰三角形？（4）如图4,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D,连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中,△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．3．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图）,若斜边所在的直线为y=﹣2x+4．点B'是OA上的动点,折叠直角三角形纸片OAB,使折叠后点B与点B'重合,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D．（1）若B'与点O重合,直接写出点C、D的坐标；（2）若B'与点A重合,求点C、D的坐标；（3）若B'D∥OB,求点C、D的坐标．4．如图,在平面直角坐标系中,A（﹣3,0）,点C在y轴的正半轴上,BC∥x轴,且BC=5,AB交y轴于点D,．（1）求出C的坐标．（2）过A,C,B三点的抛物线与x轴交于点E,连接BE,若动点M从点A出发沿x轴正方向运动,同时动点N从点E 出发,在直线EB上作匀速运动,运动速度为每秒1个单位长度,当运动时间t为多少时,△MON为直角三角形．5．（2009•衡阳）如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60度．（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点,连接CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t（s）（0＜t＜2）,连接EF,当t为何值时,△BEF为直角三角形．6．如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA上,且DO平行于⊙O 的弦MB,连DM并延长交x轴于点C．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系,并给出证明；（2）设点D的坐标为（﹣2,4）,①求MC的长；②若动点P从点A出发向点D匀速运动,速度是每秒1个单位长；同时点Q从点D出发向点C匀速运动,速度是每秒2个单位长；其中一个点到达终点时运动即结束．连接PQ交OD 于点H,当△PDH为直角三角形时,求点P的坐标．7．已知点M,N的坐标分别为（0,1）,（0,﹣1）,点P是抛物线y=上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证：∠PNM=∠QNM；（3）是否存在这样的点P,使得△PMN为等腰直角三角形？若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．答案与评分标准一．解答题（共7小题）1．如图所示,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上）,当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN,过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4．试问x为何值时,△PQW为直角三角形？（3）试用含的代数式表示MN2,并求当x为何值时,MN2最小？求此时MN2的值．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理。
因动点产生的直角三角形问题
因动点产生的直角三角形问题例1（沈阳市中考第25题）如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1 满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C(0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==． 进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）． 过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．例2（浙江省中考第23题）设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．1满分解答（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273PO PO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6．如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例3（北京市中考第24题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2,n)在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1满分解答(1) 因为抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t, 2t)．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3 考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =． 如图6，当两圆外切时，30t =-图4 图5 图6例4（嘉兴市中考第24题）如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图1满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，4=MN 1=MA 1>MB x AB=得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x 所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ．综合①②得，△ABC 的最大面积为22．考点伸展 第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-． 整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ．例5（河南省中考第23题）如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =．如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+． 定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-． 定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =，22t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S＝4的情形，此时2t =+③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值． 如图6，当ON//AC 时，t ＝3；如图7，当MN//AC 时，t ＝2.5．图6 图7例6（天津市中考第25题）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BN AM MN +=；（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图2满分解答 （1）如图3，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ．因此CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠．又由CB CA =，得 CB CD =．由DCM DCM ECF DCN ∠-︒=∠-∠=∠45，ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ACM ACM ∠-︒=∠-︒-︒=454590，得BCN DCN ∠=∠．又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =，B CDN ∠=∠． 所以︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． 在Rt △MDN中，由勾股定理，得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=．图3 图4 （2）关系式222BN AM MN +=仍然成立．如图4，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ．所以CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，CAM CDM ∠=∠．又由CB CA =，得 CB CD =．由︒+∠=∠+∠=∠45DCM ECF DCM DCN ，ACMACM ECF ACN ACB BCN ∠+︒=∠-∠-︒=∠-∠=∠45)(90，得BCN DCN ∠=∠．又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =， 45=∠=∠B CDN ．又由于︒=∠-︒=∠=∠135180CAB CAM CDM ，所以 9045135=-=∠-∠=∠CDN CDM MDN ．在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=．考点伸展当扇形CEF绕点C旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式2BN22=仍然成立．MN+AM图5 图6 图7。
动点产生的直角三角形问题
因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．思路点拨1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．满分解答（1）由21314(2)(8)424y x x x x =--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142y x =-+．由点P的坐标为(m, 0)，可得1(,4)2M m m--，213(,4)42Q m m m--．所以MQ＝221131(4)(4)82424m m m m m-+---=-++．当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．解方程21884m m-++=，得m＝4，或m＝0（舍去）．此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．所以四边形CQBM是平行四边形．图2 图3 （3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为1(,(2)(8))4x x x+-．①如图3，当∠DBQ＝90°时，12QG BHGB HD==．所以1(2)(8)1482x xx-+-=-．解得x＝6．此时Q(6,－4)．②如图4，当∠BDQ＝90°时，2QG DHGD HB==．所以14(2)(8)42x xx-+-=-．解得x＝－2．此时Q(－2,0)．图3 图4例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==．所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．例3 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上． 思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是k y x =．题目中的k 都是一致的． 2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-． （2）在反比例函数k y x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1 所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大． （3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称， 当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+． 解得1233k =（如图2），2233k =-（如图3）．图2 图3 考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线kyx=（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．图4 图5例4 2011年浙江省中考第23题设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB 有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA．答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273PO PO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P 从O 向A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长．3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长．4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =． 如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B 在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB 和∠ACB 可以成为直角，∠CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U ”形，当AB 等于1.5时，面积达到最大值．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ． （2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x 所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22． 考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-．整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ． 例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+．③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7例8 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ． 在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=． 解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+． ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =， 所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =． 不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．图6 图7。
因动点产生的直角三角形问题
因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-．因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+．根据对称性，直线l 还可以是334y x =+．考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4． 在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．例2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是ky x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1233k =（如图2），2233k =-（如图3）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5例3 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==． 进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）． 过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==． ②1(12,2)P --，265(1,)22P --．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．例4 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．答案：（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =． 如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答：（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．（3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22． 考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =， 例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-． 整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ．例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．满分解答：（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt△BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-． 定义域为2＜t ≤5．郭氏数学内部资料图2 图3②把S＝4代入22455S t t=-，得224455t t-=．解得1211t=+，2211t=-（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时211t=+．③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM 5t=-，3cos5B=，所以535tt-=．解得258t=．如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，5t=．不存在∠ONM＝90°的可能．所以，当258t=或者5t=时，△MON为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．图6 图7。
九年级数学中考复习专题因动点产生的直角三角形问题
因动点产生的直角三角形问题1.如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？【2】如图14（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．图14（1） 图14（2） 图14（3）3.在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )． （1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．【4】如图9，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．图91解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22．考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-．整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ． 2解：（1）3k =-，（-1，0），B （3，0）．································· 3分 （2）如图14（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ．则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23，△MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． ························································· 6分说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和． （3）如图14（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m 23， △DOB 的面积=-23（322--m m ）， ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m ． ∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875． （4）有两种情况：如图14（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ． ∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+． ························· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；ì=-ïïíï=ïî 2230.x y ，ì=ïïíï=ïî∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）． ········ 13分 如图14（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2． ∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF 的解析式为3y x =--． ························· 14分由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；ì=ïïíï=-ïî 2214x y ，．ì=ïïíï=-ïî ∴点Q 2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4）， 使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．图14（2）图14（3） 图14（4）3解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-． （2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0． 当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1k =（如图2），2k =3）．图2 图34解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°， ∴POC POD △≌△，∴PC PD =． ·············································································· 3分 （2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥∵PBF △是等腰直角三角形，∴112PM BF ==， ∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+又∵抛物线经过点(33)P ，和点(20)D ，，∴有93420a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得2b ⎨=-⎩∴抛物线的解析式为22y x x =-． ······················································································ 7分（3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点．连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小．∵抛物线22y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，，设CE 所在直线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-⎧⎨=⎩，解得32k b =-⎧⎨=⎩．∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．点P 满足32y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点P 的坐标为1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，．PED △的周长即是CE DE +=（4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(22)，． ···································· 14分。
因动点产生的直角三角形问题
§1.3因动点产生的直角三角形问题我们先看三个问题:1.已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?2.已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?3.已知点A(4, 0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标.图1 图2 图3如图1,点C在垂线上,垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个.解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.图4如图4,已知A(3, 0), B(1, -4),如果直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上,求点C的坐标.我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C.如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB.设OC=m,那么=-.这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点.如图,在矩形ABCO中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4, 3),点A、C在坐标轴上,点P 在BC边上,直线l1: y=2x+3,直线l2: y=2x-3.(1) 分别求直线l1与x轴、直线l2与AB的交点坐标;(2) 已知点M在第一象限,且是直线l2上的点,若△APM是等腰直角三角形,求点M的坐标;(3) 我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形称为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N 在图形F上,Q是坐标平面内的点,且点N的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由).请打开几何画板文件名“16义乌绍兴24”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有3个点M可以落在直线y=2x-3上.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有4个点N随点P运动.1.第(2)题:设M(x, 2x-3),擦去两条直线,在BC上取点P.2.以AP为斜边构造等腰Rt△APM,再以MA和MP为斜边构造直角三角形全等.3.以AP为直角边构造等腰Rt△APM,再以AP和PM为斜边构造直角三角形全等.4.第(3)题与(2)题相同的是∠AMP=∠ANP.求x关于m的关系式.如图1,点A的坐标为(2, 0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为x轴上一动点,且在点A的右侧,连结BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连结AD交BC于点E.(1) ①直接回答:△OBC与△ABD全等吗?②试说明:无论点C如何移动, AD始终与OB平行;(2) 当点C运动到使AC2=AE·AD时,如图2,经过O、B、C三点的抛物线y1.试问:y1上是否存在动点P,使△BEP为直角三角形且BE为直角边?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3) 在(2)的条件下,将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M,函数y=x+m 的图象l与M有公共点.试写出:l与M的公共点为3个时,m的取值.图1 图2请打开几何画板文件名“17达州25”,拖动y轴上的点H可以平移直线l,可以体验到,当直线l与开口向下的抛物线左侧相切,或与开口向上的抛物线右侧相切时,直线l与两条抛物线的公共点有3个.1.△CBO绕着点B逆时针旋转60°与△DBA重合,把图形中60°的角都标记出来.2.第(2)题要分三步完成:先确定点C,再求抛物线的解析式,最后分两种情况讨论点P,共有3个符合条件的点P.3.第(3)题采用数形结合思想,当直线与抛物线相切时,联立方程组消去y,那么Δ=0.如图,已知☉O的半径长为1, AB、AC是☉O的两条弦,且AB=AC, BO的延长线交AC于点D,连结OA、OC.(1) 求证:△OAD∽△ABD;(2) 当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;(3) 记△AOB、△AOD、△COD的面积为S1、S2、S3,若S2是S1和S3的比例中项,求OD 的长.请打开几何画板文件名“17上海25”,拖动点A运动,可以体验到,△OAB和△OAC是两个全等的等腰三角形,4个底角保持相等,△OCD可以两次成为直角三角形.观察面积比的度量值,可以体验到,当两个面积比相等时,比值就是黄金分割数.1.把相等的弦所对的圆心角标记出来,由此得到的等腰三角形的底角都相等.2.直角三角形OCD存在两种情况,不存在∠OCD为直角的可能.3.第(3)题中的三个三角形都是等高三角形,把面积比转化为对应底边的比.§1.4因动点产生的平行四边形问题我们先思考三个问题:1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?图1 图2 图3如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D.如图2,已知A(0, 3), B(-2, 0), C(3, 1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D 的坐标呢?点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C(3, 1)先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5, 4).如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直),点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等.关系式x A+x C=x B+x D和y A+y C=y B+y D有时候用起来很方便.我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.图4如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点, AB⊥x轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么点A的坐标可以表示为(x, -x2+2x+3),点C的坐标可以表示为(x, x-1).线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为AB=y A=-x2+2x+3,线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标表示为AC=y A-y C=-x2+2x+3-(x-1)=-x2+x+4.通俗地说,数形结合就是: 点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2, 9),与y轴交于点A(0, 5),与x轴交于点E、B.(1) 求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2) 过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;(3) 若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.请打开几何画板文件名“16泰安28”,拖动点P在AC上方的抛物线上运动,可以体验到,S 随P变化的图象是开口向下的抛物线的一部分.拖动点N在对称轴上运动,可以体验到,两个点M都有机会落在抛物线上.1.设抛物线的顶点式比较简便.2.四边形APCD的对角线互相垂直,面积等于对角线积的一半.3.因为AE与MN平行且相等,所以M、N两点间的水平距离、竖直距离与A、E两点间的水平距离、竖直距离分别相等.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x+m(m>0)的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB.(1) 求点A的坐标;(2) 求直线AC的表达式;(3) 点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.请打开几何画板文件名“17普陀24”,可以体验到,以A、B、E、F为顶点的菱形存在四种情况,其中一种情况点F在x轴的下方.1.从待定系数的二次函数的解析式中可以得到抛物线的对称轴是直线x=1,然后这道题目和抛物线没有什么关系了.2.第(3)题以AB为分类标准,分两种情况讨论菱形.两种情况的菱形都可以画出准确的示意图.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C: y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,顶点为D(0, 4), AB=4.设点F(m, 0)是x轴正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得抛物线C'.(1) 求抛物线C的函数表达式;(2) 若抛物线C'与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围;(3) 如图2, P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C'上的对应点为P'.设M是C上的动点,N是C'上的动点,试探究四边形PMP'N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.图1 图2请打开几何画板文件名“17成都28”,拖动点F运动,可以体验到,正方形PMP'N的顶点M、N共有三次机会同时落在两条抛物线上,其中一次点F运动到原点.1.用m表示抛物线C'的顶点坐标,设抛物线C'的顶点式.2.抛物线C'与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,一个临界时刻是抛物线C'经过点D,另一个临界时刻是B、F重合.3.第(3)题:先构造正方形,用m表示点M的坐标,再把点M代入抛物线C的解析式求解m的值.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B(4, 0),与过点A的直线相交于另一个点D,,过点D作DC⊥x轴,垂足为C.(1) 求抛物线的表达式;(2) 点P在线段OC上(不与点O、C重合),过点P作PN⊥x轴,交直线AD于点M,交抛物线于点N,连结CM,求△PCM面积的最大值;(3) 若点P是x轴正半轴上一动点,设OP的长为t,是否存在t,使以点M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.请打开几何画板文件名“17菏泽24”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,N在M上方时,不存在NM=DC的情况;M在N上方时,存在MN=DC.1.点N、M、P的横坐标都用t表示,点N、M的纵坐标分别用抛物线和直线AD的解析式表示.2.第(2)题先求S△PCM关于t的二次函数,再求这个二次函数的最大值.3.第(3)题根据NM与DC相等列方程,分两种情况:N在M上方,M在N上方.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 3).点M、N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.(1) 求二次函数的表达式;(2) 过点N作NF⊥x轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;(3) 若∠DMN=90°,MD=MN,求点M的横坐标.图1 备用图请打开几何画板文件名“17威海25”,拖动点M在抛物线上运动,可以体验到,MD=MN存在四种情况.1.设MN与抛物线的对称轴交于点H,那么MN=2MH.因此ME、MN的长就可以用点M的坐标表示了.2.第(3)题中MN=MD,点M与D、N的位置关系存在四种情况.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x-2x-3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连结AC、BC.(1) 求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;(2) 求△ABC外接圆的半径;(3) 点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.请打开几何画板文件名“17宿迁25”,拖动点Q在x轴上运动,可以体验到,点P和点P'各有四次机会落在抛物线上,其中一次机会与点C重合.1.翻折以后的抛物线与x轴的交点不变,开口方向改变了,可以直接写出交点式.2.观察△ABC的三个顶点,发现AB边和BC边的垂直平分线都是特殊的直线,这两条直线的交点就是△ABC外接圆的圆心.3.第(3)题的平行四边形,以BC为分类标准,按照边或者对角线分两种情况讨论.。
动点产生的直角三角形问题
因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==．所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-．因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6．所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+．根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4． 在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．例2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是ky x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1233k =（如图2），2233k =-（如图3）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5例3 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1动感体验请打开几何画板文件名“11沈阳25”，拖动点E 或F 在y 轴上运动，可以体验到，△CDE 有两次机会成为等腰直角三角形．双击按钮“PQ ＝3”可以准确显示34PQ AB =时的位置．思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题． 2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b=+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k bb+=⎧⎨=-⎩解得1k=，3b=-．所以直线BC的函数表达式为3y x=-．（3）①因为AB＝4，所以334PQ AB==．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为12-．于是得到点P的坐标为17,24⎛⎫--⎪⎝⎭，点F的坐标为70,4⎛⎫-⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF=-=-=，522 EC FC==．进而得到51322OE OC EC=-=-=，点E的坐标为10,2⎛⎫-⎪⎝⎭．直线BC:3y x=-与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．过点D作DH⊥y轴，垂足为H．在Rt△EDH中，DH＝1，13222EH OH OE=-=-=，所以tan∠CED23DHEH==．②1(12,2)P--，265 (1,)22P--．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P 的横坐标．设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，∠APB 有两个时刻可以成为直角，此时△BCP ∽△POA ．答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P 从O 向A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =． 如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B 在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB 和∠ACB 可以成为直角，∠CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U ”形，当AB 等于1.5时，面积达到最大值．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）．当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）．易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22． 考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-．整理，得x x a 43-=．所以21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ．例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+．③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7。
新第6讲 动点产生的直角三角形问题
精锐教育学科教师辅导讲义知识结构二．动点产生的直角三角形题型分类总结：为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标。
动点产生的直角三角形问题的解题方法和策略：1.寻找题目中的已知量；2.观察能否利用“特殊点”、“交点”求解；）图像上一点，P A⊥x轴于点A，交函数）图像于点N.（点M、N不重合）2:已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,5==CD AB ，12=BC ,6=AD ,点E 在AD 边上，且2:1:=ED AE , 联接CE ，点P 是AB 边上的一个动点（P 不与B A ,重合），过点P 作PQ ∥CE ，交BC 于Q ，设y CQ x BP ==, 。
（1）求B cos 值；（2分）（2）求y 关于x 的函数关系式；并写出函数的定义域；（5分）（3）连结EQ ,试探索EQC ∆能为直角三角形吗，若可以，求出x 的长，若不能请说明理由。
2：在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在边CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠。
（1）若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）当CPQ ∆ 为直角三角形时，求点P 、B 之间的距离。
3：已知△ABC 为等边三角形，AB =6，P 是AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在△ABC 内作正方形DEFG ，其中D 、E 在BC 上，F 在AC 上。
（满分10分，3分+7分）（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域； （2）△GDP 是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由。
（★★★★★）。
因动点产生的直角三角形问题1
因动点产生的直角三角形问题例1. 如图，已知与x 轴交于点A （1，0）和B （5，0）的抛物线1l 的顶点为C （3，4）抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '(1) 求抛物线2l 的函数关系式(2) 已知原点O ，定点D （0，4），2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P运动到何处时，以点D 、O 、P 、P '为顶点的四边形是平行四边形？(3) 在2l 上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由Cx例2. 如图，RT △ABC 中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A 的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，AB=10，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点D （0，2）出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒（1） 求∠BAO 的度数（2） 当点P 在AB 上运动的时候，△OPQ 的面积为S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图像为抛物线的一部分如图2，求点P 的运动速度（3） 求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标（4） 如果点P 、Q 保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，∠OPQ 的大小随时间t 的增大，而增大沿BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两条边运动时，使∠OPQ=90°的点有几个？请说明理由t图二例3.已知抛物线21162y ax ax a=-+（a<0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC=2OA（1）求这个抛物线的函数关系式（2）求点A到直线BC的距离（3）将△ABC沿直线AC翻折，使点B与点B'重合，连结B B',点Q是B B'的中点，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP是以QC为直角边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在；请说明理由。
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因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，点D的坐标为．因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．图2 图3（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．联结GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为．根据对称性，直线l还可以是．考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．例2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．思路点拨1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是．题目中的k都是一致的．2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．当k＝－2时，反比例函数的解析式是．（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线．图1所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．由OQ2＝OA2，得．解得（如图2），（如图3）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．图4 图5例3 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，－3)，得．所以抛物线的函数表达式为．（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得解得，．所以直线BC的函数表达式为．（3）①因为AB＝4，所以．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P 的横坐标为．于是得到点P的坐标为，点F的坐标为．所以，．进而得到，点E的坐标为．直线BC:与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．过点D作DH⊥y轴，垂足为H．在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED．②，．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．例4 2011年浙江省中考第23题设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．答案：（1）直线①和③是点C的直角线．（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．如图2，当OP＝6时，l1：，l2：y＝－2x＋6．如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1，l2：．图2 图3例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．图1思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线经过原点，所以．解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．如图5，当P、Q重合时，两圆内切，．如图6，当两圆外切时，．图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？图1思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．满分解答：（1）在△ABC中，，，，所以解得．（2）①若AC为斜边，则，即，此方程无实根．②若AB为斜边，则，解得，满足．③若BC为斜边，则，解得，满足．因此当或时，△ABC是直角三角形．（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．①如图2，若点D在线段AB上，则．移项，得．两边平方，得．整理，得．两边平方，得．整理，得所以（）．当时（满足），取最大值，从而S取最大值．图2 图3②如图3，若点D在线段MA上，则．同理可得，（）．易知此时．综合①②得，△ABC的最大面积为．考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设，例如在图2中，由列方程．整理，得．所以．因此．例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图1思路点拨1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．满分解答：（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH 中，BN＝t，，所以．如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时．定义域为0＜t≤2．如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时．定义域为2＜t≤5．图2 图3②把S＝4代入，得．解得，（舍去负值）．因此，当点M在线段OB 上运动时，存在S＝4的情形，此时．③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得．如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．所以，当或者时，△MON为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．图6 图7。