隐性有限差分方法显性有限差分方法
《有限差分方法基础》课件
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等 领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并 行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合 、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数 值计算方法，适用于各种微分方程的 求解，尤其在偏微分方程的数值求解 中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条 件，提供精确度和稳定性较高的数值 解，是科学研究、工程技术和实际应 用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方 法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以 便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换 为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式 进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的 数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真 实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择 稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判 断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛 性分析等。
有限差分方法概述
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。
1.基本思想有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法的基本原理
f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差； 舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差； 稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式； 减小网格间距或时间步长； 选择合适的初始条件和边界条件； 选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
有限差分法理解 知乎
有限差分法理解知乎
有限差分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于解决偏微分方程等数学问题。
它的基本思想是将连续的数学问题转化为离散的数值问题，然后通过计算机进行求解。
所谓差分法，即是将连续变量的微分近似转化为离散变量的差分，从而通过数值计算得到近似解。
在有限差分法中，我们将求解区域划分为有限个网格点，然后通过近似求解这些网格点上的差分方程，从而得到整个区域上的近似解。
有限差分法的基本步骤包括以下几个方面：首先，将求解区域进行离散化划分，形成网格；然后，在网格点上建立差分方程，根据问题的特点和所需精度选择差分格式；接着，根据差分方程，将待求解的变量表达为已知量的函数，并组成一系列代数方程；最后，利用数值计算方法，求解这些代数方程，得到所要的数值解。
有限差分法的优点是简单易行，计算效率高，可以用于各种类型的偏微分方程的求解。
然而，也存在一些限制和注意事项，例如需要合理选择网格划分和差分格式，以及应对边界条件的处理等。
总的来说，有限差分法是一种重要的数值计算方法，它通过将连续问题离散化为离散问题，利用数值计算求解这些问题，从而得到近似解。
在实际应用中，有限差分法具有广泛的应用价值，可以解决各种科学工程中的数学问题。
第五讲——显式差分和隐式差分(5)
1. 有限差分法基础 2. 差分格式 3. 差分方程 4. 边界条件的处理
5. 相容性、稳定性和收敛性
回顾
1. 有限差分法的相容性、稳定性和收敛性 相容性：针对差分格式而言，在时间步长和空间步长趋近于零的情况下， 如果差分格式的截断误差（差分格式与原有偏微分方程之差）的模趋近于零， 则该差分格式与原偏微分方程是相容的，或称该差分方程与原偏微分方程 具有相容性。
一般差分格式
Forward-Time Central-Space method Backward -Time Central -Space method
1/ 2
Crank-Nicolson 隐式差分格式
一种隐式差分格式的程序实现
1 求解区域：
2
3
4 边界条件： 初始条件：
5
6
内部节点：
n1 n1 n1 n n n sTi (2 2 s ) T sT sT (2 2 s ) T sT 1 i i 1 i 1 i i 1
Crank-Nicolson 隐式差分格式
n1 n1 n1 n n n sTi sTi 1 (2 2s)T i 1 sTi 1 (2 2s)Ti sTi 1
隐式有限差分格式
Crank-Nicolson 隐式差分格式
Ti n1 Ti n n 1 n 1 n 1 n n n (( T 2 T T ) ( T 2 T T i 1 i i 1 i 1 i i 1 )) 2 t 2(x)
Ti n1 Ti n n 1 n 1 n 1 n n n (( T 2 T T ) ( T 2 T T i 1 i i 1 i 1 i i 1 )) 2 t 2(x)
有限差分法初步
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 结论与展望
01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将偏微分方程离散化为差分方程， 从而求解偏微分方程的近似解。
近似表示微 分，从而将微分方程转化为差分方程。
有限差分法。
COMSOL Multiphysics实现
COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的多物理场仿真软件，也支持有限差分法。 COMSOL提供了友好的用户界面和丰富的物理模型库，使得有限差分法的实现更加便
捷。
有限差分法的并行计算实现
MPI实现
MPI（Message Passing Interface）是一种并行计算的标准，支持多个处理 器之间的通信。通过MPI，可以实现有限差分法的并行计算，提高计算效率。
自适应网格技术
根据解的特性自适应地调整离散点间距，以 提高计算精度和效率。
并行化与优化
通过并行计算和算法优化等技术提高有限差 分法的计算效率。
与其他方法的结合
将有限差分法与其他数值方法或物理模型相 结合，以处理更复杂的问题。
06
结论与展望
结论
01
有限差分法是一种数值计算方 法，通过离散化连续问题为差 分方程，进而求解数值近似解 。
有限差分法原理简单，易于理解和实现，不需要复杂的数学工 具。
有限差分法可以方便地进行并行计算，提高计算效率。
有限差分法可以应用于各种不同类型的偏微分方程，具有广泛 的适用性。
有限差分法的缺点
精度问题
由于有限差分法是一种离散化方法，其精度受到离散点间距的限制， 可能导致计算结果不够精确。
期权定价的数值方法
期权定价的数值方法小结1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。
2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。
从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。
3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和Crank-Nicolson方法等。
5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。
其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。
6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。
二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。
模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。
蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。
蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。
隐性有限差分方法显性有限差分方法
随机路径： 在风险中性世界中， 为了模拟路径 dS r q Sdt Sdz ，我们把期权的有效期 分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为
2 ln S t t ln S t r q t t 2
或
r q t 2 ue
2
，
r q t t 2 d e 该方法优点在于无论 和 t 如何变化，概率总是不
2
d
t
2
2
变的
13
三叉树图
每一个时间间隔 t 内证券价格有三种运动的可能： 1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su ； 2、保持不变，仍为 S ； 3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su2 Su S S Sd Su S Sd
Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3
Sd2
14
一些相关参数：
ue
1 d u
3t
t pd 12 2
2 1 r q 2 6
t pu 12 2
2 1 r q 2 6
际上是在用大量离散
的小幅度二值运动来 模拟连续的资产价格
相同期 限下步 长越小
精确度 越高
运动
3
无套利定价法： 构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 fd 当 Su u Sd 时 ,股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合
此时
fu f d Su Sd
A
则期权A 的更优估计值为：
f A fˆA f B fˆB
16
适应性网状模型
在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价
格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。 即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步 长
有限差分法基本原理PPT课件
uin1
uin
a
t x
(uin
un i 1
)
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x
ui0 u (xi )
uin 1
uin
a
t x
(uin1
uin )
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)
lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n
t x 2
(Ti
n 1
2Ti n
Ti
n 1
),
S
t x 2
Ti n1
STi n1
(1
2S )Tin
STi
n 1
上式T中i n 近似数值
有限差分法及其应用
有限差分法及其应用1有限差分法简介有限差分法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方程将解域划分为差分网格，用有限个网络节点代替连续的求解域。
有限差分法通过泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值得差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
2有限差分法的数学基础有限差分法的数学基础是用差分代替微分，用差商代替微商而用差商代替微商的意义是用函数在某区域内的平均变化率来代替函数的真是变化率。
而根据泰勒级数展开可以看出，用差商代替微商必然会带来阶段误差，相应的用差分方程代替微分方程也会带来误差，因此，在应用有限差分法进行计算的时候，必须注意差分方程的形式，建立方法及由此产生的误差。
3有限差分解题基本步骤有限差分法的主要解题步骤如下：1）建立微分方程根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式，写出初始条件和边界条件。
2）构建差分格式首先对求解域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局，差分形式和步长；然后以有限差分代替无线微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。
3）求解差分方程差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程，其求解方法主要包括两种:精确法和近似法。
其中精确法又称直接发，主要包括矩阵法，高斯消元法及主元素消元法等；近似法又称间接法，以迭代法为主，主要包括直接迭代法，间接迭代法以及超松弛迭代法。
4）精度分析和检验对所得到的数值进行精度与收敛性分析和检验。
4商用有限差分软件简介商用有限差分软件主要包括FLAC、UDEC/3DEC和PFC程序，其中，FLAC是一个基于显式有限差分法的连续介质程序，主要用来进行土质、岩石和其他材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析；UDEC/3DEC是针对岩体不连续问题开发，用于模拟非连续介质在静，动态载荷作用下的反应；PFC是利用显式差分算法和离散元理论开发的微、细观力学程序，它是从介质的基本粒子结构的角度考虑介质的基本力学特性，并认为给定介质在不同应力条件下的基本特征主要取决于粒子之间接粗状态的变化，适用于研究粒状集合体的破裂和破裂发展问题，以及颗粒的流动(大位移）问题。
有限差分法
u xxx
xr
+
（1.5a） （1.5b）
进而，在点 xr 处的一阶导数的两个近似公式可由（1.5）给出
ux
xr
= (ux )r
≈
u ( xr
+ h) − u(xr ) h
=
ur+1 − ur h
ux
xr
= (ux )r
≈
u(xr ) − u(xr h
− h)
=
ur
− ur−1 h
（1.6a） （1.6b）
有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微 分方程和定解条件。对于求解的偏微分方程定解问题，有限差分方法的主要步骤如下：利用 网格线将定解区域化为离散点集；在此基础上，通过适当的途径将微分方程离散化为差分方 程，并将定解条件离散化，这一过程叫做构造差分格式，不同的离散化途径一般会得到不同 的差分格式；建立差分格式后，就把原来的偏微分方程定解问题化为代数方程组，通过解代 数方程组，得到出定解问题的解在离散点上的近似值组成的离散解，应用插值方法可从离散 解得到定解问题在整个定解区域上的近似解。由此可见，有限差分方法有大体固定的模式， 它有较强的通用性。但是，不能误认为不去了解这种逼近方法的基本知识，只是单纯模仿， 便能轻易获得满意的结果。因为在应用这种逼近方法时会发生许多重要的但有时还是相当困 难的数学问题，包括精度、稳定性与收敛性等。
− hD exp( 2 )ur
由（*1）式与（*2）相减得到
ur+1/ 2
− ur−1/ 2
=
exp(
hD 2
)ur
−
exp(
−
hD 2
)ur
= δur
有限差分法基础ppt课件
由（1）得到，
f (x x) f (x) x d f (x) (x)2 d 2 f (x) (x)3 d 3 f (x) (x)4 d 4 f (x)
dx
2! dx2
3! dx3
4! dx4
d f (x) f (x x) f (x) O(x)
dx
x
（3） （4）
9
d f (x) f (x x) f (x) O(x)
如果1更靠近0点则可以用x方向的线性插值给出0点的函数值如果2更靠近0点则可以用x方向的线性插值给出0点的函数值21c双向插值法i1ji1ji1j1i1j1ij1i1j1i1j1i1i1j1变步长二次偏导数222第二类和第三类边界条件对于点o过o点向边界g做垂线pq交边界于q交网线段vr于popahprbhvpch因为p一般不是节点其值应当以点和pr点的插值给出代入第二三类边界条件23图中o与r重合图中v与r点重合2第二类和第三类边界条件2424差分方程对于具体地球物理问题的偏微分方程组利用上述差分格式可以给出偏导数的微商近似进一步得到差分方程组
3. 如何数值求解差分方程组
6
2.2 网格剖分
• 网格剖分就是研究区域和边界的离散化 • 1.矩形分割 • 2.三角形分割 • 3.极网格分割
7
对地球物理问题的连续求解区域通过网格划分离散为空间上得一系 列网格点，接下来需要利用一定的差分格式对偏微分方程组中的导 数用差商进行近似，从而将偏微分方程组离散化为差分方程组。
dx
2x
单侧，一阶精度 单侧，一阶精度 对称，二阶精度
d2 dx2
f (x)
f (x x) 2 f (x) (x)2
f (x-x)
二阶精度
13
• 定解问题的有限差分解法 1．离散
有限差分方程
有限差分方程
（最新版）
目录
1.有限差分方程的定义
2.有限差分方程的性质
3.有限差分方程的应用
4.有限差分方程的求解方法
正文
有限差分方程是一种数学模型，它主要用于描述离散系统的演化。
在计算机科学和工程领域，有限差分方程被广泛应用，因为它可以方便地用于数值计算和模拟。
有限差分方程的性质包括稳定性、一致性和收敛性。
稳定性是指当系统受到微小扰动时，系统能够恢复到原状态。
一致性是指方程的解在所有时间点上都能够保持一致。
收敛性是指当差分的大小无限减小时，方程的解能够趋近于真实解。
有限差分方程在许多领域都有应用，例如在生态学中，它可以用来描述种群的数量变化；在物理学中，它可以用来描述物体的运动；在经济学中，它可以用来描述市场的变化。
求解有限差分方程的方法有多种，其中最常见的方法是欧拉法和改进欧拉法。
欧拉法是一种数值求解方法，它通过在一定时间内对系统进行微分和积分来求解方程。
改进欧拉法是欧拉法的一种改进，它通过增加积分的步数来提高求解的精度。
除了欧拉法和改进欧拉法，还有其他一些求解有限差分方程的方法，例如龙格库塔法和阿达姆斯法。
龙格库塔法是一种高精度的数值求解方法，它通过在每个时间步长内对系统进行多次微分和积分来求解方程。
阿达姆
斯法是一种自适应的数值求解方法，它通过自动调整积分的步数来提高求解的精度。
有限差分方程是一种重要的数学模型，它被广泛应用于计算机科学和工程领域。
金融工程-完整版
考试形式-12个题目选10个答~只改10个~多答无效~这个复习文档是武媚整理的...强烈感谢哦~我只负责录入-_-||| ...-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.金融工程的定义是什么？金融工程是做什么的？金融工程：包括设计、开发和实施具有创新意义的金融工具和金融手段，并且对金融问题提出创造性的解决方案。
工程化地解决金融问题：定量化、可重复、标准化。
经济环境的变化：金融创新的推动，信息技术的发展史金融工程发展的外部条件，市场参与者追求市场效率是金融工程产生的内在动因。
风险管理在金融工程中居于核心地位。
现在金融理论的发展是金融工程产生的思想基础，金融工程活动反过来又为金融理论的进一步创新提供了实践的舞台。
2.金融工程的分析方法？核心？无套利工具分析？投资组合？未来收益相等现在价值相等，一价定理，复制。
模拟-》积木分析。
（1）金融工程的核心思想：无套利定价法。
套利是在某项金融资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。
无套利定价方法：一价律，若两种资产（组合）的期末价值相同，则期初的价值也相同。
无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。
众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。
这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。
无套利定价的机制的主要特征：1）要求套利活动在无风险的状态下进行2）无套利定价的关键技术就是所谓的“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券3）无风险的套利活动从即时现金流看是零风险投资组合。
有限差分方法
有限差分方法有限差分方法一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
偏微分方程初值问题的差分法许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。
描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质：若初始时刻t=t0的解已给定,则t t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。
利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
双曲型方程的差分方法最简单的双曲型方程的初值问题是：式中嫓(x)为已知初值函数。
这初值问题的解是：u(x,t)=嫓(x-at)。
(2)由(2)可见，(1a)(1b)的解(2)当a>0时代表一个以有限的速度a沿特征线x-at=常数向右传播的波,而解u(x,t)在P(慜,惭)点的值完全由嫓(x)在x轴上的点A(慜-а惭,0)的值决定。
A点就是双曲型方程(1a)在P点的依赖域(图1)。
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Su Sd
f ert pfu 1 p fd
其中 p ert d
ud
4
在风险中性世界里：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
Sert pSu (1 p)Sd e rt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则： S 2 2t pS 2u 2 (1 p)S 2d 2 S 2[ pu (1 p)d]2
2 t pu 2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在0到τ之间，则在iΔt时刻不确定部分的价值为： 当 it 时 S*(it) S(it) 当 it 时（表示红利） S*(it) S(it) Der( it)
综上可得在 it 时刻：
当 it 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*u jd i j Der( it) 当 it 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j 0,1, ,i
S0*u jd i j
j 0,1, ,i
（ S0* 为零时刻的 S* 的值）
11
（一） p 0.5 的二叉树图 （二）三叉树图 （三）控制方差技术 （四）适应性网状模型
5
倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在 t 时间
长度内以无风险利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提 前执行期权和继续再持有 t 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中 较大者作为本结点的期权价值。（见书本案例 12.1）
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价
格为： S (1 i )u j d i j
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
9
如何解决节 点不重合的问 题
Su
S
Sd
Su2-D S-D
除权日
Sd2-D
10
在已知红利额的情况下,为了使得二叉树的节点重合减少计算量,我 们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权 有效期内所有未来红利的现值。
相同期 限下步 长越小
精确度 越高
3
无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头
当 Su u S时d,股 票fd 价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合 此时 fu fd
Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S f Su fu ert
以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。
8
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：Su dj i j , j 0,1,, i 如果时刻it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S(1 )u j d i j j 0,1, ,i
1
Su p
S 1-p Sd
把期权的有效期分为很多很小的时间间
隔 t ，并假设在每一个时间间隔 t 内证
券价格只有两种运动的可能：
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su ；
2、下降到原先的 d 倍，即 Sd
相应地，期权价值也会有所不同，分
别为 fu 和 fd 。
2
二叉树模型的思想实 际上是在用大量离散 的小幅度二值运动来 模拟连续的资产价格 运动
在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分 方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情 形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数 值方法（Numerical Procedures）为期权定价，主要包括二叉 树方法（Binomial Trees）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值 方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻 为零时刻。
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二叉树一般定价过程 假设把该期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 Su j d i j 表示结点 (i, j) 处的证券价格
可得：fN，j max(X Su jd N j ,0)，其中 j 0,1, , N 若期权不被提前执行，t 后，则：fij ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ] 所以 fij (0 i N,0 j i) 实际上表示在时间 it 时第j个结点处的 美式看跌期权的价值 若有提前执行的可能性，则 fij max{X Su jdi j ,ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]} 这样推至 f00 即为当前期权的价格。
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q 当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，
r q 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
p e (rq)t d ud
u e t d e t
对于股价指数期权来说，q 为股票组合的红利收益 率；对于外汇期来说，q 为国外无风险利率，因此
再设定：u 1
（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和
Rubinstein所d用的条件）
t 由以上三式可得，当 很小时：
p e rt d udu e td Nhomakorabeae t
从而 f ert pfu 1 p fd
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。