高等数学B资料：第13周作业中错误
陕西省安康市《教育公共基础笔试》教师教育
陕西省安康市《教育公共基础笔试》教师教育《说明：本卷为历年及近期公务员(国考)考试真题》本卷共150题，考试时间90分钟，满分100分一、单选题1. 动作的稳定性、准确性、灵活性较差的是（）的动作特点。
A、操作模仿阶段B、操作整合阶段C、操作熟练阶段D、操作定向阶段【参考答案】A2. 下级机关同时向自己的直接上级机关和更高一级的上级领导机关行文，是指（）。
A、逐级行文B、多级行文C、越级行文D、直达行文【参考答案】B3. “举一反三”和“触类旁通”说的是（）。
A、创造性B、学习迁移C、学习策略D、学会学习【参考答案】B4. 预习型作业经常采用的形式是（）。
A、阅读作业B、单元作业C、学期练习D、技能训练【参考答案】A5. 板书就呈现的内容与载体来分，可包括板书与板画。
“板书”以（）为主，有时配以线条符号；“板画”以图画为主。
板画，又称简笔画、黑板画，是教师在课堂上以简练的线条，在较短的时间内高度概括地勾勒出各种景物、事物、人物的形象或内在关系的一种绘画。
A、文字和图画B、文字C、图画D、线条【参考答案】B6. 引导学生领悟无产阶级思想政治观点和道德规范，组织和指导学生的道德实践，培养学生的社会主义品德的教育是（）。
A、体育B、德育C、智育D、美育【参考答案】C7. 公办幼儿园转制必须经（）审核批准。
城乡中小学布局调整后，空余校舍要优先用于举办幼儿园。
A、市级教育部门B、国家教育部C、省级教育部门D、县级以上教育部门【参考答案】C8. 如果一个家长想用看电视作为强化物奖励儿童认真按时完成作业的行为，最合适的安排应该是（）。
A、让儿童看完电视以后立即督促他完成作业B、规定每周看电视的适当时间C、惩罚孩子过分喜欢看的行为D、只有按时完成家庭作业后才能看电视【参考答案】D10. 关于我国已经具备了社会主义社会的一般特征，下列说法错误的是（）。
A、共产党领导的人民当家作主的人民民主专政的国家政权B、实行议会民主制和两党竞争的制度C、以马克思主义为指导的思想文化D、以公有制和按劳分配为主体的经济基础【参考答案】B11. 提出“最近发展区”的观点的是（）。
高等数学作业题及参考答案
高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。
A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。
6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。
第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。
（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。
（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。
（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。
（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。
A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。
高等数学：13-4幂级数
而幂级数
n1
xn n2n
的收敛半径为
R
2
，收敛区间为（
2，2），而收敛
域为[2，2) ．
因此，收敛域应为 (R, R) ， (R, R],[R, R) 及[R, R]
四个区间之一．
47-15
除上述情形外，幂级数 anxn 还有下列两种特殊情形． n0
⑴ 幂级数 anxn 仅在点 x 0处收敛，即收敛域 I0 {0}，此时规 n0
幂级数 anxn 发散． n0 而在点 x R 与 x R 处幂级数 anxn 可能收敛，也可能发散． n0
47-13
例如，对幂级数
n1
xn n2n
，
R
2
．在(2,
2)
内，该幂级数绝对收敛，
在 (,2) (2,) 内，该幂级数发散，而在点x 2 和 x 2 处，该幂级
数分别是发散与收敛的．
⑵ 当 R 时，其收敛域I0 (,) ；
⑶ 当 0 R 时，其收敛域 I0 是 (R, R), (R, R], [R, R) 及[R, R]
四个区间之一，并在收敛区间(R, R) 内，幂级数 anxn 绝对收敛． n0
47-17
对于幂级数 an (x x 0)n ，也有类似的结论，我们可通过变量 n0
的和函数， s(x) 的定义域为 I0 ，即
s(x) un (x), x I0 ． n1
例如，函数项级数 xn1 的和函数为s(x)
1
(1 x 1) ，即
n1
1 x
xn1
1
(1 x 1) ．
n1
1 x
47-4
与常数项级数类似，记sn (x) 为函数项级数（13.41）的前n 项部分
重修自修说明【模板】
重修自修说明重修自修，主要针对一年级公共必修课未通过，或因转专业等需要进行跨校区选课、上课的同学，请根据以下方法进行选课。
1、大学英语重修自修说明（不需要网上提交重修自修申请）：2、计算机公共课重修自修情况：3.体育教研部重修说明（不需要网上提交重修自修申请）：4、数学公共必修课重修自修说明（不需要网上提交重修自修申请、直接选课）：5、马克思主义学院重修自修说明（不需要网上提交重修自修申请、直接选课，选课后提交纸质申请、开学第一周内完成）6.初等教育学院专业课重修课堂（不需要网上提交重修自修申请、直接选课）附件：体育教研部体育课重修办法为保证学生体育锻炼质量、培养学生体育锻炼习惯，我校体育课不设自修，所有未通过考试的学生都必须进行重修。
现将体育课重修办法公布如下：1、所有未通过考试的学生都必须填写《首都师范大学重修、自修申请表》，纸质版交体研部教学秘书处备案；2、由教秘老师根据学生已选课程和体育课程余量为学生当面选课，选定相应的校区、项目和教师；对体育课重修办法的几点说明：1、学生在校期间，第1学期至第7学期重修体育课时，只能在开设相应课程的学期上课，不能用其它时段课程置换替代（即体育1、3只能在秋学期重修，体育2、4只能在春学期重修，其他时段一律不得置换替代）。
2、学生在第8学期需要重修或补修体育课时，可以进行课程置换替代。
学生必须在开学第一周在体研部教秘老师处备案，教秘老师指定相应课堂和老师。
学生按规定按时完成相应的课程后，由体研部老师进行期末成绩认定（例如：如果体育1或体育3没有成绩或成绩不合格，可以在最后一个春学期修专门为毕业生设定的课程，期末由任课教师给予成绩认定）。
3、本规定自2015年9月起执行。
4、本规定最终解释权归体育教研部。
附件：数科院开设的必修课重修选课工作安排一、面向全校各专业的公共数学自学重修安排：为了加强自学重修学生的教学及管理，本学期数科院开设的公共数学课自学重修生选课具体安排如下：1、在良乡开设的课程：高等数学1、高等数学A-1、高等数学B-1及城里开设的课程：高等数学3为了便于管理，我院专门开设了独立的重修课堂，重修以上课程的同学请注意以下二点：（1）、务必在开学第一、二两周内自行上网选课，数科院不收纸制申请表；（2）、若重修选课不足15人则课表中已安排的好的上课时间地点（以开学第3周查询的地点为准）为本门课每周的答疑辅导的安排（不上课），所有选了课的同学，请务必在第4周相应时间，按时到相应教室参加第一次的讲座，届时将有专人讲解本课程重修的具体安排及要求；以上注意：线性代数重修班本学期不开设，下学期开设，重修线性代数的同学请在下学期选课。
高等数学上册试题B
高等数学上册试题B一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。
共24分）1．（3分）设()x f 的定义域为[]1,0，()x f ln 的定义域为（ ） Ａ．[]1,0 Ｂ．()2,0 Ｃ．[]e ,1 Ｄ．()1,02．（3分）设()x x x f =，()22x x =ϕ，则()[]x f ϕ是（ ） Ａ．xx 2 Ｂ．22x Ｃ．x x 22 Ｄ．xx23．（3分）在区间()+∞∞-,内，函数()()1lg 2++=x x x f 是（ ）Ａ．周期函数 Ｂ．有界函数 Ｃ．奇函数 Ｄ．偶函数4．（3分）()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,2tan x a x xxx f ，当a 为何值时，()x f 在0=x 处连续（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．4-5．（3分）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,11x x x x f x α，要使()x f 在0=x 处连续，则=α（ ） Ａ．0 Ｂ．0 Ｃ．e Ｄ．e 16．（3分）函数1+=x y 在0=x 处满足条件（ ） Ａ．连续但不可导 Ｂ．可导但不连续 Ｃ．不连续也不可导 Ｄ．既连续已可导7．（3分）已知()()()()()d x c x b x a x x f ----=且()()()()d c b c a c k f ---='，则=k （ ） Ａ．a Ｂ．b Ｃ．c Ｄ．d8．（3分）下列函数中，是同一函数的原函数的函数对是（ ）Ａ．x 2sin 21与x 2cos 41- Ｂ．x ln ln 与x 2lnＣ．2xe 与xe 2 Ｄ．2tanx 与x x 2sin 1cot +-二、填空题9．（3分）=→x x x x 2sin 1sinlim 22010．（3分）设()231ln e x y ++=，则='y11．（3分）设⎩⎨⎧==t y t x ln 2，则=dxdy12．（3分）曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则=a ，=b13．（3分）()x F 是()x f 的一个原函数，则()=⎰--dx e f e xx14．（3分）函数()⎰--x t tdte e2的驻点=x15．（3分）=-⎰π2sin 1dx x 16．（3分）=⎰-22cos 2xdx xe x1=-yxe 确定函数()x y y =，求()0y '18．（5分）求nx mx x sin ln sin ln lim0→19．（5分）求⎰dxe x120．（5分）()⎰-321ln e e x x dx21．（5分）⎰--223cos cos ππdxx x22．（5分）讨论⎰-1121dx x 的收敛性。
《高等数学B1》练习试卷答案及评分标准
《高等数学B1》练习试卷答案及评分标准一、单项选择题:（每小题3分，共18分，把正确选项的字母填入括号内）1. 函数1+=x y 是( B ).A 、有界函数B 、单调函数C 、奇函数D 、周期函数2. =→xx x 1sin lim 0( A ). A 、0 B 、1 C 、π D 、∞ 3. 下列导数算式正确的是（ C ）A 、()x x e e 22='B 、()x x sin cos ='C 、()22='x D 、x x ln 1='⎪⎭⎫⎝⎛4. 函数xy 1=在区间()+∞,0上是（ B ） A 、单调增加的凹函数 B 、单调减少的凹函数 C 、单调增加的凸函数 D 、单调减少的凸函数5. 一条曲线经过点()0,1，且在任意点x 处的切线斜率为x 2，则该曲线 的方程是（ C ）.A 、13+=x yB 、2x y =C 、12-=x yD 、12+=x y6. 定积分()dx x f ba⎰是（ C ）A 、()x f 的一个原函数；B 、()x f 的全部原函数C 、一个确定常数；D 、任意常数二、填空题:（每小题3分，共18分）7．=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n 21lim 2e .8．已知x y 2sin =，则dydx= x 2c o s2 . 9．函数12+=x y 的极小值为 1 .10. 已知)(x f 的一个原函数为4x ，则=')(x f 212x .11.=⎰-ππxdx x sin 2 0 .12. 椭圆19422=+y x 围成平面图形的面积等于 π6 .三、计算题：（每小题6分，共36分）13. 233lim 22-++∞→x xx x .解：原式31=14.20cos 1lim x x x -→; 解：原式21=15. 设()1ln 2+=x x y ，求dxdy和dy . 解：()121ln 222+++=x x x dx dy ()dx x x x dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=121ln 22216．求参数方程⎩⎨⎧==ty t x sin cos 所确定函数的一阶导数dx dy。
高等数学B(1)练习题
第一章 函数、极限与连续作 业 题一、计算下列函数极限1.220()lim h x h x h →+-2. 231lim (2sin )x x x x x→∞-++3. 322232lim 6x x x x x x →-++-- 4. 1x →5 3tan sin lim x x xx →- 6 0x →7 21lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭8. 01lim 1cos x x →-9．()2sin 0lim 13xx x →+10.22x →11．()120lim e x xx x -→+ 12.()1lim 123nn nn →∞++13．21sinlim x x →+∞e 1lim e 1nn n →∞-+二、确定下列极限中含有的参数1.2212lim22x ax x bx x →-+=-+-2．(lim 1x x →-∞=三、解答题1.探讨函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.练 习 题一、单项选择题1.以下结论正确的是 .A. lim 0n n y A ε→∞=⇔∀>，在(,)A A εε-+之外只有{}n y 的有限项B. 设n a y b <<，且lim nn y A →∞=，则有a A b <<C. 收敛数列必有界D. 发散数列必无界 2.若函数()f x 在某点0x 极限存在， 则 . A. ()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B. ()f x 在点0x 的函数值必存在,但不肯定等于该点极限值C. ()f x 在点0x 的函数值可以不存在D. 若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值 3.极限0limx xx→= . A. 1 B. 1- C. 0 D. 不存在 4.下列命题正确的是 .A. 无穷小量的倒数是无穷大量B. 无穷小量是肯定值很小很小的数C. 无穷小量是以零为极限的变量D. 无界变量肯定是无穷大量 5.下列变量在给定的改变过程中为无穷小量的是 .A. 1sin(0)x x→ B. 1e(0)xx →C. 2ln(1)(0)x x +→D. 21(1)1x x x -→-6.变量11sin xx.A. 是0x →时的无穷小B. 是0x →时的无穷大C. 有界但不是0x →时的无穷小D. 无界但不是0x →时的无穷大 7.0x =是1()sin f x x x=的 .A. 可去间断点B. 跳动间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点8.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩.A. 在0,1x x ==处都间断B. 在0,1x x ==处都连续C. 在0x =处连续，1x =处间断D. 在0x =处间断，1x =处连续9.设函数2,0(),0x f x xk x ≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = . A. 4 B. 14 C. 2 D. 1210.方程sin 2x x +=有实根的区间为 .A. ,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭二 、填空题1.0sin lim x x x →= ；sin lim x x x→∞= .2.0sin limsin x x x x x →-=+ ；sin lim sin x x xx x→∞-=+ . 3.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫=⎪+⎝⎭； 10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 4.当0x →时，sin3x 是2x 的 无穷小；2sin x x +是x 的 无穷小；1cos sin x x -+是2x 的 无穷小；23e1x x --是2arcsin x 的 无穷小；1(1)1nx +-是xn的 无穷小；32x x -是22x x -的 无穷小. 5.已知0x →时，()12311ax +-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a = .6.设2,0()sin ,0a bx x f x bxx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处连续，则常数,a b 应满意的关系为 . 7.()sin xf x x=的可去间断点为 ；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为 .8．函数21()23f x x x =--的连续区间是 ．三、计算题1.220e 1lim x x x →-2.0ln(12)lim sin x x x→-3.0x +→4.x →.5.lim x →+∞6. n7.0x → 8.220tan lim e 1x x x x x -→+-9.20sin cos 1lim sin 3x x x x x→+-- 10.()21ln(1)0lim cos x x x +→11．探讨函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ 在0x =处的连续性.12.证明方程e 2x x -=在区间(0,2)内至少有一实根.其次章 导数与微分作 业 题1.利用导数定义计算()ln()f x a x =+的导数(1)f '.2.探讨函数1arctan ,0()x x f x x⎧≠⎪=⎨在0x =处的连续性和可导性.求下列函数的导数（3-7小题） 3.21arctan 2ln ln 2y x x x =-+-，求'y4.2sin(21)e x y x -=⋅ ，求'y5.sin 3cos xy x=-，求'y6.1,0xy x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，求'y7设()f x 可导，计算函数(e )x y f x =+的导数d d y x.求下列函数的二阶导数（8-10小题）8. (ln y x =，求''y9 2e cos x y x =⋅，求''y10.设2(sin )y f x =，其中()f x 二阶可导，求22d d yx.11.已知arctan y x =d d yx12.求曲线35230y y x x ++-=在0x =处的切线方程.13 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩，所确定的隐函数的二阶导数利用对数求导法求下列函数的导数d d yx.（14-15小题）14.sin x y x =，求'y 15.y ='y求下列函数的微分（16-19小题）16.2ln sin y x x x =+，求dy 17.21cot exy =，求dy18.42ln x y y =+，求dy 19.y x x y =，求dy练 习 题一、单项选择题 1.已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--= .A ．2 B.2- C.1- D.1 2.()|2|f x x =-在点2x =处的导数是 .A.1B.0C.1-D.不存在 3.设()(1)(2)...()f x x x x x n =+++，则(0)f '= .A.(1)!n -B.nC.!nD.04.()f x 在0x x =处左导数0()f x -'和右导数0()f x +'存在且相等是()f x 在0x x =处可导的 条件.A ．必要非充分 B.充分非必要 C ．充分必要 D. 既非充分又非必要 5.设函数()y y x =由方程3330x y axy +-=所确定，则d d yx= . A.22ay x y - B.22x y ay ax+- C.22ay x y ax -- D.22x ax y - 6.设22()f x y y +=，其中22()f x y +是可导函数，则d d yx= . A.22()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+C.222()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 7.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩的函数()y y x =的二阶导数22d d yx = .A.2csc bt a - B.32csc b t a -C.2csc b t a D.32csc b t a8.设()y y x =由参数方程2e 321sin 02x t t t y y π⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定，则0d d t yx == . A.0 B.12 C.1e sin 2x y D.23二、填空题1.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则(0)f '= .2.设(0)0f =，(0)f '存在，则0()limx f x x→= . 3.设2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(0)f +'= ，(0)f -'= ，(0)f ' .4.设2111f x x x⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()f x '= . 5.设2()y f x =，且()f x 可导，则d d yx= . 6.设()sin cos 22xf x x =+，则(100)()f π= .7.设(ln )y f x =，其中()f x ''存在，则22d d yx= .8.设g 是f 的反函数，且2(4)5,(4)3f f '==，则(5)g '= . 9.d ＝x，d ＝1d x x .10.由方程e 0x y xy ++=所确定的函数()y y x =的微分d y = .三、计算题1.求曲线sin y x =在3x π=处的切线方程和法线方程.2.(ln e x y =+，求'y3.)11y⎫=-⎪⎭，求'y4.a a xa x a y x a a =++，求'y5.cos (sin )x y x =，求'y6.设2()1n f x x x x =++++，计算()(0)n f .7. y =dyarctaney x=，求dy9. .求参数方程e sin cos tx t y t t⎧=⎨=+⎩所确定的函数()y y x =的微分d y .10. .证明：当||x 1x n≈+.第三章 微分中值定理与导数的应用作 业 题一、证明题1. 证明：若()f x 在区间I 内可导，且()0f x '=，则()f x 在区间I 内是一个常数．2.证明方程510x x +-=只有一个正实根.3．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=.4.证明：当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.二、求下列函数的极限.1.30sin lim ;x x x x →-2.1lim 1ln x x x x x x →--+3.21lim(cos)x x x → 4.1lim (1);xx x →+∞+5.arctan 2lim ;1x x xπ→+∞- 6.2cos lim;2x xx ππ→-三、解答题1. 判定函数)2x (0 cos )(π≤≤+=x x x f 的单调性．2. 证明：当1>x 时，xx 132->．3. 求32 )52(x x y -=的极值点与极值．4. 求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值与最小值．5. 求曲线31x y =的拐点和凹凸区间．6. 求下列曲线的渐近线(1) 12+-=x x y ； (2) xx y )1ln(+=7. 作函数23)1(22--=x x y 的图形．练 习 题一、证明题1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.2．证明：当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.3. 证明：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上严格单增．4. 设01 (21)0=++++n a a a n ，证明多项式n n x a x a a x f +++=...)(10在)1,0(内至少有一个零点．二、求下列函数的极限.1.0e 1lim sin x x x x →-- 2.30sin cos lim sin x x x x x→-3.2ln 2lim tan x x x ππ+→⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4.2201lim cot x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭5.sin 0lim(cot )xx x → 6.210arcsin lim xx x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题1.确定下列函数的单调区间.（1）82y x x=+ （2）23(1)y x x =-2.列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间.4.求函数()(1)e x f x x -=+的极值.5.求函数32()21f x x x x =-+-在[0,2]上的极值，最大值与最小值.6. 设324x y x+=，求：⑴ 函数的增减区间与其极值； ⑵ 函数图象的凹凸区间与其拐点； ⑶ 渐近线； ⑷ 做出其图形.第四章 不定积分 作 业 题一、求下列不定积分： (1) ⎰-dx xx )1(2； (2) ⎰++dx x x 1124；(3) dx xx e e x xx⎰--) 2(3； (4) dx xx ⎰sin cos 122；二、用第一换元法求下列不定积分(1) ⎰xdx x 54cos sin ； (2) )0( 22>-⎰a xa dx ；(3) dx x x x )1(arctan ⎰+； (4) )0( 22≠+⎰a xa dx；三、用其次换元法求下列不定积分 (1) dx x x x ln ln 1⎰+； (2) dx xx x x ln 12⎰++；(3) ⎰-24xx dx ． (4) )0( 22>+⎰a xa dx ．四、用分部积分计算下列不定积分(1) ⎰xdx x ln ； (2) ⎰dx e x x 2；(3) ⎰≠=)0( sin ab bxdx e I ax (4) ⎰dx xe x ．五、求下列不定积分（三角函数、有理式、无理式）(1) ⎰+--+dx x x x x x 223246)1(24； (2) ⎰+)1(24x x dx ；（3）dx xx ⎰ cos sin 32． (4)dx x x xx cos 3sin 2cos 2sin 3⎰++．(5) ⎰-+342)1()1(x x dx； (6) dx xx 14⎰+；练 习 题一、填空题1．设2()ln(1)d f x x x C =++⎰，则()f x = . 2.()d d f x ⎰= .3.设()F x 是()f x 的一个原函数，则()e e d x x f x --⎰＝ .二、单项选择题1．下列等式正确的是 .A ．()()d d f x x f x =⎰B ．()()d f x x f xC '=+⎰C ．()()d f x f x =⎰D ．()()dd d f x x f x C x =+⎰ 2. 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x ，且过点2(,3)e ，则该曲线方程为 .A ．ln y x =B ．ln 1y x =+C ．211y x=-+ D ．ln 3y x =+3. 设()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '=⎰ . A ．222e x x C --+ B ．222e xx --C ．22(21)e x x C ---+ D ．()()d xf x f x x +⎰三、求下列不定积分1. x2. ⎰xdx x 35sec tan3. dx x x x ⎰++)1(212224. x ⎰5. 23sin cos d x x x ⎰6. 3tan d x x ⎰7.x 8.9.2(1)d xx x -⎰10.d x ⎰11.x ⎰12. 2sin e d xx x ⎰13.x ⎰ 14.21(1)d x x x +⎰第五章 定积分 作业题一、求下列定积分1. 22sec (1tan )40d x x x π+⎰ 2.13-21(115)d x x +⎰3. 122(1)0d x x +⎰ 4.41x ⎰5.221x ⎰ 6.401cos 2d x x x π+⎰7.220sin d x x x π⎰ 8.1cos(ln )ed x x ⎰9.1ex ⎰ 10.2x ⎰二、解答题 1.把极限)221limn n n →∞++表示成定积分．2. 03(sin )lim(1)d e xxx t t tx →--⎰3. 设21,1()1,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求20()d f x x ⎰与0()()d x x f x x ϕ=⎰.4.设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且()(2)()0d xF x x t f t t =-⎰，证明：若()f x 单调不增，则()F x 单调不减．三、定积分的几何应用1.求抛物线243y x x =-+-与其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积.2. 设有曲线y =过原点作其切线，求由此曲线、切线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.3. 计算底面是半径R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的全部截面都是等边三角形的立体体积.练 习 题一、填空题1.依据定积分的几何意义，20d x x =⎰ ，1x -=⎰ ， sin d x x ππ-=⎰ ．2. 设0sin d t x u u =⎰，0cos d t y u u =⎰，则d d y x = . 3．31d d d x x ⎰= .4．设e x x -为()f x 的一个原函数，则10()d xf x x '=⎰ ．5. 设()f x 是连续函数，且2-1()0d x f t t x =⎰，则(7)f = .二、单项选择题1. 定积分()d b a f x x ⎰ ．A ．与()f x 无关B ．与区间[],a b 无关C ．与()d b a f t t ⎰相等D ．是变量x 的函数2．设()f x 在[],a b 上连续，()()d x a x f t t φ=⎰，则 ． A ．()x φ是()f x 在[],a b 上的一个原函数B ．()f x 是()x φ在[],a b 上的一个原函数C ．()x φ是()f x 在[],a b 上唯一的一个原函数D ．()f x 是()x φ在[],a b 上唯一的一个原函数 3.arctan b d d d a x x x=⎰______． A ．arctan x B ．211x + C ．arctan arctan b a - D ．0 4．下列反常积分收敛的是 ．A ．+0e d x x ∞⎰B ．1ln e d x x x +∞⎰C ．1sin 1-1d x x⎰ D ．32+1d x x -∞⎰ 5．211-1d x x=⎰ ．A ．0B ．2C ．－2D ．发散三、计算题1．ln 0x ⎰ 2．)211d x x -⎰3．x ⎰ 4．20sin cos sin cos d x x x x xπ-++⎰5．已知sin ,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求0()()d x F x f t t =⎰．四、求下列定积分与反常积分1．求1ln e e d x x x ⎰ 2．220cos x x x π⎰d3．1sin(ln )x x ⎰e d 4．244cos e d x x x ππ-⎰5.1x ⎰06．0d e ex x x +∞-+⎰7．322arctan (1)+0d x x x ∞+⎰ 8．+1x ∞⎰五、证明题1．设()f x 是连续函数，证明()()d d b ba a f x x f ab x x =+-⎰⎰六、计算题1．直线y x =将椭圆2236x y y +=分为两部分.设小块面积为A ，大块面积为B ，求A B的值.2．求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．。
高等数学试题(含答案)
《高等数学》试题库一、选择题 （一）函数1、下列集合中（ ）是空集。
{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且2、下列各组函数中是相同的函数有（ ）。
()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是（ ）。
()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（ ）。
()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、下列函数中，（ ）是奇函数。
x xa . x xb sin .211.+-x x a a c 21010.x x d -- 6、下列函数中，有界的是（ ）。
arctgx y a =. t g xy b =. xy c 1.= xy d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （ ）。
()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是（ ）。
π4.a π2.b π.c 2.πd 9、下列函数不是复合函数的有（ ）。
xy a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c s i n lg .= x ey d s i n1.+=10、下列函数是初等函数的有（ ）。
11.2--=x x y a ⎩⎨⎧+=21.xx y b 00≤〉x x x y c c o s 2.--=()()2121lg 1sin .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式（ ）.（A ）a x <<+∞ （B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥12、若ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=（ ）.（A ）31t + （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++13、函数log (a yx =+ 是（ ）.（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 14、函数()yf x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线（ ）. （A ）0y = （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =-15、函数1102x y-=-的反函数是（ ）.（A ）1xlg22y x =- （B ）log 2x y = （C ）21log y x= （D ）1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos yx x =+是周期函数，它的最小正周期是（ ）.（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π 17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 18、下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A ． x y )e1(= B ． 2ln x y = C ． xx y cos sin =D ． 35x y = 19、若函数f(e x)=x+1，则f(x)=( )A. e x+1 B. x+1 C. ln(x+1) D. lnx+120、若函数f(x+1)=x 2，则f(x)=( )A.x 2B.(x+1) 2C. (x-1) 2D. x 2-1 21、若函数f(x)=lnx ，g(x)=x+1，则函数f(g(x))的定义域是( ) A.x>0 B.x ≥0 C.x ≥1 D. x>-1 22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(e -1，1)D. (e -1，e) 23、函数f(x)=|x-1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数 24、下列函数中为奇函数的是( )A.y=cos(1-x)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛++=21ln x x y C.e x D.sinx 2 25、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（ ）是偶函数。
高等数学入学考试复习资料(1)(1)
高等数学入学考试复习资料判断题1. 数列n y 满足2(0)n y c c ∆=≠，则其通项可用关于n 的二次多项式表达。
( )√2. 数列{}n x 收敛的充分必要条件是数列{}n x 收敛．( )×3. 如果lim n n x a →∞=，则11lim lim lim 1n n n n n n x xx x n ++→∞→∞→∞==．( )× 4. 若()f x 在点0x 连续，则存在0x 的某个邻域()0,U x δ使()f x 在该邻域内连续．( )×5. 存在在其定义域内不连续的初等函数．( )√6. 若函数()f x 在0x 处连续，则()f x 不一定在0x 处可导．( )√7. 若函数()f x 在0x 处可导，则()f x 一定在0x 处连续．( )√8. 若可导函数()f x 当x a >时，有()0f x '>，则当x a >时，一定有()0f x >．( × )9. 连续函数一定有原函数. ( √ )10. 如果()()f x g x ''>，则()()f x g x >．( × )11. 若()f x 在点0x 不可导，则曲线()y f x =在()()00,x f x 处不存在切线．( × )12. 初等函数在其定义区间内必连续．( √ )13. 不连续函数可能存在原函数. ( √ )14. 初等函数的定义域是其自然定义域的子集. ( √ )15. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( × ) 16. sin lim1x x x→∞=. ( × ) 17. 22lim 33x x x →∞-=-+. ( × ) 18. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. ( × )19. 0x y =是指数函数. ( × )20. 函数()log 01a y x a = <<的定义域是()0, +∞. ( × )21. 23log 3log 21⋅=. ( √ )22. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. ( √ )23. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ )24. 指数函数是基本初等函数. ( √ ) 25.00x →=. ( √ ) 26. 函数3234y x x =++为基本初等函数. ( √ ) 27. 111a a x dx x C a +=++⎰. ( × ) 28. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( × )29. sin x 与x 是等价无穷小量. ( × )30. 1x e -与x 为等价无穷小量. ( × )31. 若函数()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( × )32. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( × )33. 当奇函数()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. ( √ )34. 若偶函数()[]()1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. ( √ )35. 若奇函数()[]()1,1y f x x =∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. ( √ )高等数学入学考试复习资料判断题1. 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度v=与∆t 有关. ( × )2. 连续函数在连续点都有切线. ( × )3. 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( × )4. 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( × )5. 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( √ )6. 周期函数的导数仍是周期函数. ( √ )7. 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( √ )8. 若对任意x ∈(a, b),都有f '(x)=0,则在(a, b)内f(x)恒为常数. ( × )9. 设f(x)=lnx. 因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( × )10. ( × )11. 已知y=3x 3+3x 2+x+1, 求x=2时的二阶导数: y '=9x 2+6x+1, y '|x=2=49. 所以y"=(y ')'=(49)'=0.( × )12. 若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间(b a ,)内连续； ( √ )13. 初等函数在有定义的点是可导的； ( × )14. ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导; ( × )15. 设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间(b a ,)内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f ； ( × )16. 设{}{}n n y x ,为两个数列，若n n x y > ( 2 1、、=n )则lim lim n n n n x y →∞→∞> ；( × ) 17. 若函数)(x f 以A 为极限，则)(x f 可表为)1()(o A x f += ； ( √ )18. 设)(x f 定义于[b a ,]上，若)(x f 取遍)(a f 与)(b f 之间的任意值，则)(x f 比在[b a ,]上连续； ( × )19. 若)(x f 在[)+∞,a 连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在[)+∞,a 有界;( × ) 20. 若)(x f y =的导数)('x f 在[b a ,]上连续，则必存在常数L,使2121)()(x x L x f x f -≤- ，[]b a x x , , 21∈∀ ； ( √ )21. 当0→x 时，()()() (m>n 0)m n m n o x o x o x ++=> ； ( × ) 22. 0n 0n n n a a →→∞⇔→→∞（）（）； ( √ )23. 若)(x f 和)(x g 在0x 点都不可导，则)()(x g x f +在0x 点也不可导;( √)24. )(x f 为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点123x x x <<有：13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- ( √ ) 25. 若)(x f 在0x 二阶可导，则(()00,x f x )为曲线)(x f y =的拐点的充要条件为0)(0''=x f ； ( √ )26. 若S 为无上界的数集，则存在一个递增数列{}S x n ⊂,使得 , ()n x n →∞→∞.( √ )27. 若0lim =∞→n n a ，则∞=∞→nn a 1lim ； ( √ ) 28. 有限开区间(b a ,)内一致连续的函数)(x f 必在开区间内有界；( √ )29.设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若存在数A ，使)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，(0→∆x )，则)(x f 在点0x 可导且)(0'x f A = ； ( √ )30. ψϕ+=f ，若函数f 在点0X 可导，则函数ϕ和ψ都在点0X 可导；( × )31. 设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间(b a ,)内可导，若对),(b a x ∈∀， 0)('≠x f ，则必有)()(b f x f ≠； ( √ )32. 若)(x f 在点0x 处的左、右极限都存在，则)(x f 在点0x 的极限存在。
高等数学B1(二) 教学大纲
高等数学B1（二）一、课程说明课程编号：130705X20课程名称（中/英文）：高等数学B1（二）/Advanced Mathematics B1 (II)课程类别：必修学时/学分：48/3先修课程：高等数学B1（一）适用专业：理工类教材、教学参考书：基本教材：《高等数学》（上、下册），主编，2014.9，中南大学出版社主要参考书：《大学数学系列课程学习辅导与同步练习册》（高等数学下），2015.9，中南大学出版社二、课程设置的目的意义高等数学B是高等院校商科类各专业学生必修的重要基础理论课，是一门应用广泛的工具学科，是学生提高文化素质和学习有关专业知识的重要基础.通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数、极限与连续；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学；5、无穷级数；6、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础.高等数学B的教学分为三部分，分别是高等数学B1（一）（必修）、高等数学B1（二）（必修）和高等数学B2（选修）．开设时间是大学第一学年，分两学期授课，总学时为64+48+32，学分为4+3+2．第一学期高等数学B1（一），每周5学时（约13周）；第二学期前第一到十周讲授高等数学B1（二），每周5学时（约10周）；十到十六周讲授高等数学B2，每周5学时（约6周）.学习本课程的目的和任务：第一、使学生系统地获得大纲中所列基础知识、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和进一步深造奠定必要的数学基础.第二、通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力和自学能力，特别要培养学生具有熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.三、课程的基本要求本课程基本要求的高低用不同词汇加以区分，对概念、理论，高要求用“理解”一词表述，低要求用“了解”一词表述；对方法、运算，高要求用“掌握”一词表述，低要求用“会”或“了解”表述.学生对高要求部分必须深入理解，牢固掌握，熟练应用.具体要求如下：第5章空间解析几何1．理解向量的概念，熟练掌握向量的运算：线性运算（加、减、数乘）和乘积运算（数量积、向量积和混合积）；2．掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量坐标进行向量的运算；3．掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件；4．掌握平面方程和直线方程及其特点，熟练掌握求平面方程和直线方程的方法；5．掌握点到直线、点到平面及两异面直线的距离；6．理解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面：球面、椭球面、锥面、椭圆抛物面的方程及其图形，掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及以坐标原点为顶点的锥面方程；7．会用平面束的方法解决有关直线与平面的各类问题；8．会利用平面的法向量和直线的方向向量研究平面与平面、直线与直线、平面与直线的位置关系；9．会用截痕法研究二次曲面；10．知道空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线投影到坐标面的投影柱面及投影曲线方程．第6章多元函数微分学1．理解多元函数的概念及其几何意义，会求函数的定义域；2．理解偏导数和全微分的概念，掌握多元函数一阶、二阶偏导数的求法；3．掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；4．掌握求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数；5．掌握方向导数与梯度的计算方法；6．掌握求空间曲线上一点的切线与法平面及曲面上一点的切平面与法线的方程；7．理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值；8．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上连续函数的性；9．了解全微分存在的必要条件和充分条件；10.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；11．了解空间曲线上一点的切线与法平面及曲面上一点的切平面与法线的概念，12．了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题．第7章二重积分1．熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；2．理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，了解重积分的中值定理；3．了解二重积分换元法；4．会用二重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面侧面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．四、教学内容、重点难点及教学设计注：实践包括实验、上机等五、实践教学内容和基本要求无六、考核方式及成绩评定七、大纲撰写：大纲审核：。
(最新)国家开放大学学习作业及答案
（最新）国家开放大学学习作业及答案篇一一、多选题（每题5分，共计10分）１、同学们，在学习了“任务一”的相关内容后，请将你认为适合描述为国家开放大学特色的选项选择出来。
选择一项或多项：（BCDE）A. 国家开放大学是一所与普通高校学习方式相同的大学B. 国家开放大学是一所在教与学的方式上有别与普通高校的新型大学C. 国家开放大学是基于信息技术的特殊的大学D. 国家开放大学可以为学习者提供多终端数字化的学习资源E. 国家开放大学是为没有条件参与全日制校园学习的人群提供学习资源的大学F. 国家开放大学的学习参与活动必须要到校园中和课堂上反馈２、请将下列适用于国家开放大学学习的方式选择出来。
选择一项或多项：（ＡBCD）A. 利用pad、手机等设备随时随地学习B. 在集中面授课堂上向老师请教问题C. 在网络上阅读和学习学习资源D. 在课程平台上进行与老师与同学们的交流讨论反馈二、判断题（每题2分，共计10分）３、制定时间计划，评估计划的执行情况，并根据需要实时地调整计划，是管理学习时间的有效策略。
（对）４、在国家开放大学的学习中，有课程知识内容请教老师，可以通过发email、QQ群、课程论坛等方式来与老师联络。
（对）５、远程学习的方法和技能比传统的课堂学习简单，学习方法并不重要。
（错）６、纸质教材、音像教材、课堂讲授的学习策略都是一样的。
（错）７、在网络环境下，同学之间、师生之间无法协作完成课程讨论。
（错）篇二一、单选题（每题2分，共计10分）１、开放大学学制特色是注册后（Ａ）年内取得的学分均有效。
选择一项：A. 8B. 3C. 10D. 5２、请问以下是专业学习后期需要完成的环节？（Ｂ）选择一项：A. 课程形成性评价B. 专业综合实践C. 入学测试D. 了解教学计划３、请问以下不是专业学位授予的必备条件？（Ａ）选择一项：A. 被评为优秀毕业生B. 毕业论文成绩达到学位授予相关要求C. 课程成绩达到学位授予的相关要求D. 通过学位英语考试４、学生本人要在学期开学后（Ｄ）内向学籍所在教学点提出申请，并填写《国家开放大学学生转专业审批表》，经国开分部审核批准后，即可办理转专业手续。
高等数学极限求解方法（共7篇）
高等数学极限求解方法（共7篇）以下是网友分享的关于高等数学极限求解方法的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
高等数学求极限的方法篇1对于求解极限的方法可以归结为以下几类: (1)常用等价无穷小记住以下常用等价无穷小-例1 求极限limx →0x (1-cos x ) 【解】原式=x →0 =x →0=x →01==x →02例2 求下列极限1+cos x 2x() -1x (I)w =lim (II ) w =limx →0x →0ln(1+2x 3)4(2)等价无穷小的性质定理：有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论：常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论：有限个无穷小的乘积也是无穷小.1【解】lim =0 , lim sin 为有界量，∴原式=0x →0x →0x【注】本题也可以利用常用的等价无穷小公式.(3)常用的极限sin x x sin x x lim =lim =1 lim =0 lim 极限不存在x →0x →0x →∞x →∞x sin x x sin x11x ln(1+x )lim(1+) =lim(1+x ) x =e lim =1x →∞x →0x →0x xlim =1 lim =1n →∞n →∞11例4 求w=lim(+2x ) xx →∞x(4)极限存在的两个准则(1)夹逼准则如果数列{x n },{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2,3,...) ;(2)li m y n =lim z n =a , 那么数列{x n }的极限存在，且lim x n =a .n →∞n →∞n →∞(2)单调有界准则单调有界数列必有极限.(5)极限的定义(6)洛必达法则【解】(7)变量替换11方法2 w =lim(+2x ) x =e A ，而x →∞x01t1(t +2-1) x =1/t 0A =lim(+2x -1) −−−→lim −−→lim(1+2t ln 2) =1+l n 2, x →∞x t →0t →0t 故w =e 1+ln 2=2e(8)泰勒公式高等数学中极限的求解方法篇2龙源期刊网高等数学中极限的求解方法作者：曲波来源：《速读下旬》2014年第05期摘要：本文介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。
第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱(1)PPT课件
∞
∑ f(t) = A0+ Akmcos (kw1t +fk) k=1
Akm= ak2 + bk2
结束
① A0 是 f(t) 的恒定分量，
fk
=
arctg
-bk ak
或称为直流分量。
② k=1的项 Amcos(w1t +f1)
具有与 f(t) 相同的频率，称基波分量。
基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。
的对比时不方便，而且数ak、bk的意义也不明确。 将展开式合并成另一种形式—余弦级数：
令 ak= Akmcosfk bk=-Akmsinfk
∞
∑ 则 f(t) = A0+ Akmcos (kw1t +fk)
k=1
式中： Akm= ak2 + bk2
fk =
arctg
-bk ak
25.11.2020
9
了解周期函数分解为傅
里叶级数的方法和信号 频谱的概念。
重点
结束
非正弦周期电流电
路的电流、电压的 有效值、平均值；
理解周期量的有效值、
平均值的概念，掌握周 期量有效值的计算方法。
掌握非正弦周期电流电
路的谐波分析法和平均 功率的计算，了解滤波 器的概念。
非正弦周期电流电
路的平均功率；
非正弦周期电流电
路的计算方法(叠 加定理、戴维宁定 理和诺顿定理)。
i
T
尖顶脉冲
t o
晶闸管的触发脉冲等
5
实践中常见的非正弦周期信号（续）
i 尖顶波
u 三角波
结束
T 2
t
o
T
T 2
重庆大学网络教育2019年秋季学期课程作业高等数学(II-2)第123次
答案+我名字在为常数，则级数 ( )设，当a=（）时。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题4、已知某微分方程的通解和初始条件分别为和，则常数和分别等于（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题5、微分方程的通解是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题6、与的大小关系为（），其中V是以点（1,1,1），（2,1,1），（1,2,1）和（1,1,2）为顶点的闭区域。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题7、下列一阶微分方程中哪个不是可分离变量的微分方程（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题8、下列平面中，垂直于Z轴的是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题9、求解微分方程的通解的Matlab命令为（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题10、函数的定义域是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题11、求解微分方程使用变换降阶得到的方程是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题12、级数的和为（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题13、方程组所表示的圆的半径为（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题14、方程表示的曲面是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题15、椭球面的中心坐标是( )。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题二、判断题(共 5 题、5 / 5 分 )1、级数收敛。
（）∙∙正确!∙收藏该题展开该题2、幂级数的收敛区间为[-6,-4]。
（）∙∙正确!∙收藏该题展开该题3、已知是的解，则微分方程的通解为。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题4、微分方程的通解是。
（）∙∙正确!∙收藏该题展开该题5、对于非齐次微分方程的通解的Matlab命令为y=dsolve ('D2y-2Dy=(x^2+2x)exp(x)','x')。
（）∙∙正确!∙收藏该题展开该题三、填空题(共 6 题、0 / 12 分 )1、二阶齐次微分方程的通解为_________。
∙收藏该题2、如果和是某二阶常系数齐次线性微分方程的解，则该微分方程为________。
∙收藏该题3、设，则= ________________。
《高等数学》试卷B及答案
《高等数学》工科（上）试题（姓名 学号 专业 班级 本试题一共 4 道大题（21）小题,共 4页,满分100分.考试时间120分钟.2.试卷若有雷同以零分记.一、 选择填空（每小题3分，共18分） 1、当0x +→时，()(ln 1ln 1x +--（ ）A 、高阶无穷小B 、低阶无穷小C 、同阶无穷小D 、等价无穷小2、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin)(2x x xx x f 在0=x 是 （ ）A 、连续可导B 、不连续不可导C 、不连续但可导D 、连续不可导 3、设函数30(21)xy t dt =+⎰则y 在16x =-有 （ ）A 、极小值B 、极大值C 、 无极值D 、有极小值也有极大值 4、已知当0x ≠时，'()f x 连续，则23()(13)()2xxf x x f x dx x e'-+=⎰ ( )A 、3()2xf x x eB 、3()2xf x C x e+ C 、3()2xf x C x e-+ D 、3()xf x C x e+5、如果a 、b 是方程()0f x =的两个根，()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么方程()0f x '=在(,)a b 内 （ ） A 、只有一个根 B 、至少有一个根 C 、没有根 D 、以上结论都不对 6、222y x z +=在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、旋转抛物面 B 、顶点在坐标原点、开口向下的圆锥面 C 、顶点在坐标原点、开口向上的圆锥面 D 、抛物柱面二、 填空题（每小题4分，共36分）： 7、232lim43→-+=-x x x k x ，则k =（ ）；8、)(x f 一个原函数为arctan x ，则()d f x dx '=⎰（ ）； 9、=+-++→→yx y x y x 24)(lim（ ）； 10、设()()x ax f t dtF x x a=-⎰，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F ax （ ）；11、)1ln(4222y x yx z ---=的定义域为（ ）；12、过点（2，3，-1）且与平面2530x y z -++=垂直的直线方程为（ ）； 13、221xdx x+∞=+⎰（ ）；14、曲线221x xy -=在点（1，1）处的曲率K =（ ）； 15、设32),,(z y x z y x f ++=，则grad (2,1,1)f -=（ ）；三、 计算题（每小题7分，共28分）： 16、1234lim ()3→++x x x x x17、设21sin ()xt f x dt t=⎰，求1()⎰xf x dx18、设()23,w f x y z xyz =++，f 具有二阶连续偏导数，求2,wwx x y∂∂∂∂∂19、求摆线⎩⎨⎧≤≤--=-=)(,cos 1sin πϑπϑϑϑy x 的弧长L 。
高等数学练习册答案
高等数学练习册答案【篇一：高等数学练习册答案(下)】>7.5可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. y?xarctanx?ln?x2?c1x?c22.y?c1ex?x2?x?c2 3．y?c2e 二、求微分方程xy???y??0的通解?y?c1ln x?c2 ?三、求微分方程y3 y???1?0满足初始条件y|x?1?1? y?|x?1?0的特解?y?x?x2?7.6高阶线性微分方程一、判断题1．设y1(x)，y2(x)，y3(x)是某个二阶齐次线性微分方程的三个解，且y1(x)，y2(x)，y3(x).线性无关，则微分方程的通解为：y?c1y1(x)?c2y2(x)?(1?c1?c2)y3(x) （√ ）2．设y1(x)，y2(x) 是某个二阶齐次线性微分方程的二个特解，则y?c1y1(x)?c2y2(x) (c1 ，c2是任意常数)是该方程的通解。
（╳） 3．y=c1x2+c2x2lnx(c1 ，c2是任意常数)是方程xy???3xy??4y?0的通解。
（√ ）二、选择题答：1.c 2.c 3.c 4.b7.7常系数齐次线性微分方程一、判断题1．方程212c1x?1 y???y?0的解y1?ex,y2?e?x线性无关。
（√ ） 2．二阶常系数齐次线性微分方程任意两个解都线性无关。
（╳）3．二阶常系数齐次线性微分方程y???y??5y?0无解。
（╳）二、填空题x?2x 1、y?c1e?c2e2、 x?c1e?c2te? 3、y?e?3x(c1cos2x?c2sin2x)? 5t25t24、 y?c1?c2x?c3ex?c4xex5、y?e2xsin3x三、选择题答：1.b 2.b 3.a 4.c 5.b四、求下列微分方程(1)求微分方程y???4y??0的通解?y?c1?c2e4x?(2)求微分方程y???4y??5y?0的通解?y?e2x(c1cos x?c2sin x)?(3)求微分方程y(4)?2y????y???0的通解?y?c1?c2x?c3ex?c4xex?(4)求微分方程4y???4y??y?0? 满足所给初始条件y|x?0?2? y?|x?0?0的特解?7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题答：1、1xy?c1e2?c2e?x?ex，2、 ?1xy?e2(2?x)?y?ex(c1cos2x?c2sin2x)?1xexcos2x? 41xsinx?cosx 223、y??cosx??sinx?sin2x 4、y?二、选择题答：1.d 2.b 3.a 4.c 5.d 6.d程y???3y??2y?3xe?x的通解?原方程的通解为y?c1e?x?c2e?2x?e?x(x2?3x) 131332四、求微分方程y???3y??2y?5?满足已给初始条件 y|x?0?1? y?|x?0?2的特解?原方程的通解为y?c1ex?c2e2x?特解为 5? 25? 2 y??51ex?e2x?72第12章无穷级数12.1常数项级数的概念与性质一、判断题二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3.[x^(n/2)]*(1/2*n!)三、选择题答：1.c 2.a 3.c 4.c四、判定下列级数的收敛性 (1)111?3?13?5?15?7? ? ? ? ?(2n?1)(2n?1)? ? ? ? ?级数收敛?(2)sin?6?sin2?6?sin3?6? ? ? ? sinn?6? ? ? ? ?该级数发散? (3)13?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? ;级数发散?12.2 常数项级数的审敛法一、判断题二、填空题4. 0答：1.p1 2. ?sn?有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.??limun?0 ?un?un?1三、选择题答：1. d 2.c 3.d 4.a5.c四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性?(1)1??? ? ? ? ?级数发散? (4)sin11351? ? ? ? ?(2n?1)??sin??sin?? ? ? ? ?sin?? ? ? ? ? 2222级数收敛?五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性?23n3333(1)??? ? ? ? ?n? ? ? ? ? 1?22?223?23n?2级数发散?n2?n! (2)?n?n?1n?级数收敛?六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性?(1)?(n?1?n)n? 2n?1级数收敛(2)?(n?1?b)n? 其中a?a(n??)? a? b? a均为正数?nnan当b?a时级数收敛? 当b?a时级数发散?七、判定下列级数是否收敛？如果是收敛的? 是绝对收敛还是条件收敛？(1)1?1?1?1? ? ? ? ? 此级数是收敛的?条件收敛的?(2)?(?1)n?1n?1?n? 3?- 5 -解n?1?|(?1)n?1n|??n? ?3n?1n?13n?1级数收敛? 并且绝对收敛?12.3幂级数一、判断题二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,三、选择题答：1.d 2.b3d四、求下列幂级数的收敛域?(1)x?2x2?3x3? ? ? ? ?nxn? ? ? ??收敛域为(?1? 1)?2n?1x（2）?(?1)? 2n?1n?1n?1?xln 4. 绝对收敛 2?x收敛域为[?1? 1]?五、利用逐项求导或逐项积分? 求下列级数的和函数?(1)?nxn?1?n?1?s(x)?1 (?1?x?1 )(1?x2)? 352n?1xxx(2)x??? ? ? ? ?? ? ? ?? 352n?111?x s(x)?ln (?1?x?1) 21?x【篇二：高等数学练习册上答案】1 函数一、是非判断题1、f(x)在x上有界，g(x)在x上无界，则f(x)?g(x)在x上无界. [ √ ]2、函数f(x)?lnex与函数g(x)?elnx是表示同一函数. [ ╳] 答：不是同一函数，因为f(x)的定义域是(??，??)而g(x)的定义域(0，??)3、函数1f(x)?(1?cosx)2二、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是( a ) （a）y?|elnx| （b）y?x2 （c）y?x4（d）y?xsgnx2、f(x)?(cos3x)2在其定义域(??，??)上是（b）(a)最小正周期为3?的周期函数；(b)的周期函数；32?(c)的周期函数；(d)非周期函数。
高等数学课后习题及参考答案(第四章)
高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231. (3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx xx 21;解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x m n m C x mn dx x dx x mn m m nm nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532; 解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|C =2C ,C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x | 1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解 设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e x ch x 都是x x e xsh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x e x ch x =e x (sh x ch x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x e x sh x =e x (ch x sh x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x xe d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332xdx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a xa x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+xdx 21;解C x x C t t dt t tdt t t x xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan . (40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解 因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x 23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d xx x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x x x x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解 因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233 ⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2 C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458; 解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx xx x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8 ⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解 ⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C xx dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17.⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )122(221111111令 C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4xx dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解 令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxxx x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx .解 令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u udx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662.4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解 C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6.⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax ax axax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e ba ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e edx xx)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x x dx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12.16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx . 24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444.25.⎰-416x dx;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx xxx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dx x x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C ee x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xd e d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1 C e e e xx x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ;解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t t x dx x 2232/321sin cos sec sec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx x x xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。
高数第二章极限知识点（精选3篇）
高数第二章极限知识点（精选3篇）以下是网友分享的关于高数第二章极限知识点的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一：高中数学知识点总结第十三、四章极限与导数高中数学第十三章-极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极限知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个n 0时结论正确；②假设当n =k （k ∈N +, k ≥n 0）时，结论正确，证明当n =k +1时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设P (n ) 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当n =n 0（n 0∈N +）时，P (n ) 成立；②假设当n ≤k （k ∈N +, k ≥n 0）时，P (n ) 成立，推得n =k +1时，P (n ) 也成立. 那么，根据①②对一切自然数n ≥n 0时，P (n ) 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法：①lim a n =an →∞②当n →∞时，a n →a . ⑵几个常用极限：①lim C =C （C 为常数）n →∞②limn →∞1nk=0(k ∈N , k 是常数)③对于任意实常数，当|a | 1时，lim a n =0n →∞当a =1时，若a = 1，则lim a n =1；若a =-1，则lim a n =lim (-1) n 不存在n →∞n →∞n →∞当a 1时，lim a n 不存在n →∞⑶数列极限的四则运算法则：如果lim a n =a , lim b b =b ，那么n →∞n →∞①lim (a n ±b n ) =a ±bn →∞②lim (a n ⋅b n ) =a ⋅bn →∞③lima n a=(b ≠0)n →∞b n b特别地，如果C 是常数，那么n →∞lim (C ⋅a n ) =lim C ⋅lim a n =Ca .n →∞n →∞⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S =a 1(q 1) . 1-q（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0（但不等于x 0）时，如果函数f (x ) 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于x 0时，函数f (x ) 的极限为a . 记作lim f (x ) =a 或当x →x 0时，f (x ) →a .x →x 0注：当x →x 0时，f (x ) 是否存在极限与f (x ) 在x 0处是否定义无关，因为x →x 0并不要求x =x 0. （当然，f (x ) 在x 0是否有定义也与f (x ) 在x 0处是否存在极限无关. ⇒函数f (x ) 在x 0有定义是lim f (x ) 存在的既不充分又不必要条件. ）x →x 0如P (x ) =⎨⎧x -1x 1在x =1处无定义，但lim P (x ) 存在，因为在x =1处左右极限均等于零.x →1⎩-x +1x 1⑵函数极限的四则运算法则：如果lim f (x ) =a , lim g (x ) =b ，那么x →x 0x →x 0①lim (f (x ) ±g (x )) =a ±bx →x 0②lim (f (x ) ⋅g (x )) =a ⋅bx →x 0③limx →x 0f (x ) a=(b ≠0) g (x ) b特别地，如果C 是常数，那么x →x 0lim (C ⋅f (x )) =C lim f (x ) .x →x 0x →x 0lim [f (x )]n =[lim f (x )]n （n ∈N +）x →x 0注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限：1①lim =0 n →∞x ②lim a x =0（0＜a ＜1）；lim a x =0（a ＞1）x →+∞x →-∞③limsin x x=1⇒lim =1x →0x x →0sin x1④lim (1+) x =e ，lim (1+x ) x =e （e =2. 71828183）x →0x →∞x14. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点x =x 0连续，那么函数f (x ) ±g (x ), f (x ) ⋅g (x ), 在点x =x 0处都连续.⑵函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足三个条件：①函数f （x ）在点x =x 0处有定义；②lim f (x ) 存在；③函数f （x ）在点x =x 0处的极限值x →x 0f (x )(g (x ) ≠0) g (x )等于该点的函数值，即lim f (x ) =f (x 0) .x →x 0⑶函数f （x ）在点x =x 0处不连续（间断）的判定：如果函数f （x ）在点x =x 0处有下列三种情况之一时，则称x 0为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点x =x 0处没有定义，即f (x 0) 不存在；②lim f (x ) 不存在；③lim f (x ) 存在，x →x 0x →x 0但lim f (x ) ≠f (x 0) .x →x 05. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数f （x ）在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b ) 0. 那么在开区间(a , b ) 内至少有函数f (x ) 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使f (ξ) =0.⑵介值定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f (a ) =A , f (b ) =B ，那么对于A , B 之间任意的一个数C ，在开区间(a , b ) 内至少有一点ξ，使得f (ξ) =C （a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当0 |x -x 0| δ时，有g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，且lim g (x ) =lim h (x ) =A ，则x →x 0x →x 0必有lim f (x ) =A .x →x 0注：|x -x 0|：表示以x 0为的极限，则|x -x 0|就无限趋近于零. （ξ为最小整数） 6. 几个常用极限：①lim q n =0, q 1 n →+∞a n=0(a 0) ②limn →+∞n !③limn k ann →+∞=0(a 1, k 为常数）④lim ⑤limln n=0n →+∞n(lnn ) k n εn →+∞=0(ε 0, k 为常数）高中数学第十四章导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数) 、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14. 导数知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)称为函数y =f (x ) 在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率；如果极限=∆x ∆x f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y存在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim∆x →0∆x ∆x →0∆x limy =f (x ) 在x 0处的导数，记作f … (x 0) 或y … |x =x 0，即f … (x 0) =lim注：①∆x 是增量，我们也称为“改变量”，因为∆x 可正，可负，但不为零.②以知函数y =f (x ) 定义域为A ，y =f … (x ) 的定义域为B ，则A 与B 关系为A ⊇B . 2. 函数y =f (x ) 在点x 0处连续与点x 0处可导的关系：⑴函数y =f (x ) 在点x 0处连续是y =f (x ) 在点x 0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y =f (x ) 在点x 0处可导，那么y =f (x ) 点x 0处连续. 事实上，令x =x 0+∆x ，则x →x 0相当于∆x →0.于是lim f (x ) =lim f (x 0+∆x ) =lim [f (x +x 0) -f (x 0) +f (x 0)]x →x 0∆x →0∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y. =lim∆x →0∆x ∆x →0∆xf (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0)⋅∆x +f (x 0)]=lim ⋅lim +lim f (x 0) =f … (x 0) ⋅0+f (x 0) =f (x 0).∆x →0∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x⑵如果y =f (x ) 点x 0处连续，那么y =f (x ) 在点x 0处可导，是不成立的. =lim [例：f (x ) =|x |在点x 0=0处连续，但在点x 0=0处不可导，因为∆y ∆y ∆y不存在. =1；当∆x ＜0时，=-1，故lim∆x →0∆x ∆x ∆x∆y |∆x |，当∆x ＞0时，=∆x ∆x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f … (x 0) ，切线方程为y -y 0=f … (x )(x -x 0).4. 求导数的四则运算法则：(u ±v ) … =u … ±v … ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y … =f 1‟ (x ) +f 2‟ (x ) +... +f n … (x )(uv ) … =vu … +v … u ⇒(cv ) … =c … v +cv … =cv … （c 为常数）vu … -v … u ⎛u ⎫(v ≠0) ⎪=v 2⎝v ⎭…注：①u , v 必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.22例如：设f (x ) =2sin x +，g (x ) =cos x -，则f (x ), g (x ) 在x =0处均不可导，但它们和x xf (x ) +g (x ) =sin x +cos x 在x =0处均可导.5. 复合函数的求导法则：f x … (ϕ(x )) =f … (u ) ϕ‟ (x ) 或y … x =y … u ⋅u … x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f … (x ) ＞0，则y =f (x ) 为增函数；如果f … (x ) ＜0，则y =f (x ) 为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数y =f (x ) 在区间I 内恒有f … (x ) =0，则y =f (x ) 为常数.注：①f (x ) 0是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如y =2x 3在(-∞, +∞) 上并不是都有f (x ) 0，有一个点例外即x =0时f （x ）= 0，同样f (x ) 0是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x 0附近所有的点，都有f (x ) ＜f (x 0) ，则f (x 0) 是函数f (x ) 的极大值，极小值同理）当函数f (x ) 在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f … (x ) ＞0，右侧f … (x ) ＜0，那么f (x 0) 是极大值；②如果在x 0附近的左侧f … (x ) ＜0，右侧f … (x ) ＞0，那么f (x 0) 是极小值.也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧导数异号，而不是f … (x ) =0. 此外，函数不①可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.②注①：若点x 0是可导函数f (x ) 的极值点，则f … (x ) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y =f (x ) =x 3，x =0使f … (x ) =0，但x =0不是极值点.②例如：函数y =f (x ) =|x |，在点x =0处不可导，但点x =0是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：…I. C … =0（C 为常数）(sinx ) =cos x (arcsinx ) =…1-x2(x n ) … =nx n -1（n ∈R ）(cosx ) … =-sin x (arccosx ) … =- 1-x2II. (lnx ) … =1‟ 11(loga x ) … =log a e (arctanx ) =2 x x x +11x 2+1(e x ) … =e x (a x ) … =a x ln a (arc cot x ) … =-III. 求导的常见方法：①常用结论：(ln|x |)‟ =1. x②形如y =(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n ) 或y =求代数和形式. (x -a 1)(x -a 2)...(x -a n )两边同取自然对数，可转化(x -b 1)(x -b 2)...(x -b n )③无理函数或形如y =x x 这类函数，如y =x x 取自然对数之后可变形为ln y =x ln x ，对两边y (1)求导可得=ln x +x ⋅⇒y … =y ln x +y ⇒y … =x x ln x +x x . y x篇二：高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点：(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。
《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出版社
《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出书社第一周学习任务第一章第1 节习题1－14(3)(6) (8),5(3),9(2),15(4),17函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的成立第2 节习题1－21(2) (5) (8)数列极限的定义数列极限的性质(独一性、有界性、保号性)第3 节习题1－32,4函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的根本性质〔独一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等〕第4 节习题1－44,6无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系第5 节习题1－51(5)(11)(13),3,5 极限的运算法那么(6 个定理以及一些推论)第6 节习题1－61(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)函数极限存在的两个准那么〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕两个重要极限〔注意极限成立的条件，熟悉等价表达式〕操纵函数极限求数列极限第7 节习题1－71,2,3(1),4(3)(4)无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小〕及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法第8 节习题1－83(4),4,5函数的持续性，函数的间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕判断函数的持续性和间断点的类型第9 节习题1－93(4)(6)(7),4(4) (6),6持续函数的、和、差、积、商的持续性反函数与复合函数的持续性初等函数的持续性第10 节习题1－101,3有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在长短常重要的一种方法)总复习题一总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第二周学习任务在进行第二周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第一周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第二章第1 节习题2－12,6,7,8,13,16(2),17导数的定义、几何意义、物理意义单侧与双侧可导的关系可导与持续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，操纵导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程第2 节习题2－22(9),3(2),4,7(8),8(5),11(6)(9)导数的四那么运算公式〔和、差、积、商〕反函数的求导公式复合函数的求导法那么根本初等函数的导数公式分段函数的求导第3 节习题2－31(3), 3(2),4(1),8,10(2),高阶导数n 阶导数的求法〔归纳法，莱布尼兹公式〕第4 节习题2－41(1),2,3(4),4(1),5(2),10隐函数的求导方法，对数求导法由参数方程确定的函数的求导方法第5 节习题2－52,6函数微分的定义，几何意义根本初等函数的微分公式微分运算法那么，微分形式不变性一元函数微分在函数近似计算中的应用总复习题二总复习题二1,3,6(1),7,11,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第三周学习任务在进行第三周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第二周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第三章第1 节习题3－16,8,11(1),12,15费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数第2 节习题3－21(10)(13)(15),4 洛必达法那么及其应用第3 节习题3－35,7,10(2) (3)泰勒中值定理麦克劳林展开式第4 节习题3－43(6) ,5(4),6,9(5) ,10(3),12函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点第5 节习题3—51(8),4(3),10,11函数极值的存在性：一个必要条件，两个充实条件最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题第6 节习题3－61,4操纵导数作函数图形〔一般出选择题〕：函数f (x)的间断点、f '(x)和f ''(x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f '(x)和f ''(x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点第四周学习任务在进行第四周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第三周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第三章第7 节习题3－75弧微分曲率的定义，曲率的计算公式,曲率圆、曲率半径总复习题三总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第四章第1 节习题4－11(1),2(1)(6)(8)(13)(17)(19)(21)(25),5原函数和不定积分的概念与根本性质〔之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系〕根本的积分公式原函数的存在性、几何意义和力学意义第2 节习题4－22(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16)(17)(19)(21)(30)(32)(34)(36) (37)第一类换元积分法〔凑微分法〕第二类换元积分法第3 节习题4－32,5,6,9,14,17,18,19,22,24 分部积分法第4 节习题4－42,4,8,20,23 有理函数积分法，可化为有理函数的积分总复习题四总复习题四1,2,5,9,10,12,14,16,21,23,33,35,38 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第五周学习任务在进行第五周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第四周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第五章第1 节习题5—12(1),3(2)(3),11,12(2),13(5)定积分的定义与性质(7 个性质)函数可积的两个充实条件第2 节习题5—25(2),6(5)(8)(11)(12),9(2),10,12,13积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式第3 节习题5—31(2)(4)(6)(10)(12)(19)(21)(24)(26) ,5,6,7(11)定积分的换元法定积分的分部积分法第4 节习题5—41(4)(8)(10),2无穷限的反常积分无界函数的反常积分总复习题五总复习题五1(1) (2) (4) ,3(2),4(2),10(7) (9)(10),11,12,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六章第1 节————元素法第2 节习题6—21(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1)(3) ,16,19,21求平面图形的面积〔直角坐标情形、极坐标情形〕旋转体的体积及侧面积平行截面面积为的立体的体积、平面曲线的弧长第3 节习题6—35,11 用定积分求功、水压力、引力总复习题六总复习题六2,3,5 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六周学习任务在进行第六周学习任务前，先拿出两天的时间对前五周学习的内容进行简单的复习.首先用一天的时间总结归纳第五周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库；其次用一天对前五周的常识点、难题及错题进行复习章学习内容习题章节操练标题问题备注第七章第1 节习题7—11(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2)微分方程的根本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解第2 节习题7—21(1)(3)(4)(7),2(3),4,6可别离变量的微分方程的概念及其解法第3 节习题7—31(1)(4),2(1),3一阶齐次微分方程的形式及其解法可化为齐次的方程第4 节习题7—41(2)(3)(7)(10),2(1)(4),3,4,7(3),8(5)一阶线性微分方程的形式和解法伯努利方程的形式和解法第5 节习题7—51(1)(4)(7),2(2),3用降阶法解以下微分方程：y(n) = f ( x)，y'' = f ( x,y')和y'' = f ( y, y')第6 节习题7—61(1)(3)(6),4(2),n 阶线性微分方程的形式线性微分方程的解的布局：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质第7 节习题7—71(1)(4)(5),2(2)(3),特征方程特征方程的根与微分方程通解中的对应项微分方程的通解第8 节习题7—81(1)(3)(7)(9),2(2),6二阶常系数非齐次线性微分方程，此中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积第9 节习题7—96 欧拉方程的形式和通解总复习题七总复习题七1(1)(2)(3)(4), 2,3(1)(2)(7),4(4) ,7总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第七周学习任务在进行第七周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第六周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第八章第1 节习题8—113,15向量概念和线性运算，空间直角坐标系操纵坐标作向量的线性运算向量的模、标的目的角、投影第2 节习题8—23,7,9(1)(2)(3),10向量积、数量积、混合积的概念、性质、运算律、物理意义两向量平行、垂直的充要条件第3 节习题8—32,7,10(1)(4),11(3)曲面方程的概念旋转曲面的概念，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程柱面的概念及二次曲面的概念与常用二次曲面〔锥面、椭球面、双曲面、抛物面〕的方程及其图形第4 节习题8—4 3,5(1),8 空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程第5 节习题8—5 1,3,5,9平面的点法度方程、一般方程两平面的夹角，两平面垂直、平行或重合的充要条件第6 节习题8—6 1 ,3,4,5,8,14空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程两直线的夹角，两直线垂直、平行或重合的充要条件直线与平面的夹角，直线与平面垂直、平行的充要条件平面束总复习题八总复习题八1(1)(2)(3)(4),7,10,12,13,14(1)(2),15,17,20 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第九章第1 节习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(4),7(1),8 二元函数的极限、持续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理第2 节习题9—2 1(4)(5)(6),4,6(2),8,9(2) 偏导数的概念，高阶偏导数的求解第3 节习题9—3 1(1) (4),2,3,5 全微分的定义，可微分的必要条件和充实条件第4 节习题9—4 2,4,6,8(1),10,12(1)多元复合函数求导法那么〔共3 个定理〕全导数全微分形式不变性第5 节习题9—5 1,4,6,8,10(1)一个方程的情形〔定理1，定理2〕方程组的情形〔定理3〕第八周学习任务在进行第八周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第七周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第九章第6 节习题9—6 3,6,8空间曲线的切线与法平面，曲线在一点处的切向量曲面的切平面与法线，曲面在一点处的法向量第7 节习题9—7 2,5,8标的目的导数的概念，标的目的余弦标的目的导数与可微的关系梯度的概念与计算公式第8 节习题9—8 1,2,6,9,11多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充实条件条件极值，拉格朗日乘数法第9 节习题9—9 二元函数的二阶泰勒公式总复习题九总复习题九1,2,5,6(2) ,8,9,11,15,18 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十章第1 节习题10—1 2,4(1)(2)(3),5(1)(4)二重积分的定义、几何意义二重积分的性质〔6 个〕二重积分的中值定理第2 节习题10—21(1)(4),2(1)(3),4(1)(3),6(1)(2)(6),11(1)(3),12(1)(3),13(1 )(3),14(1) (3)操纵直角坐标计算二重积分操纵极坐标计算二重积分第九周学习任务在进行第九周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第八周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库天数学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十章第3 节习题10-31(2),4,5,6,7,9(1)(2), 10(1)(2),11(1)(2)(3)(4),12(1)(3)三重积分的定义和性质、操纵直角坐标计算三重积分、操纵柱面坐标计算三重积分、操纵球面坐标计算三重积分第4 节习题10—4 1,2,3,4(1),5,7,(1)(3) ,14 曲面的面积、质心、动弹惯量、引力总复习题十总复习题十1(1),2(1)(3),3(1),6,8(1),10,11,12 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十一章第1 节习题11—1 1,3(1)(3)(5)(7) 对弧长的曲线积分的概念、性质、计算方法第2 节习题11—2 1,3(1)(3)(5)(7),4(1) (3),7(1)(2)对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法两类曲线积分之间的联系第3 节习题11—31(1)(2),2(1),3,4(1)(2),5(1)(3), 6(1)(3)格林公式操纵格林公式计算曲线积分平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积第4 节习题11—4 4(1)(2),5(1) (2),6 (1) (3) 对面积的曲面积分的概念、性质、计算方法第5 节习题11—5 3(1)(3) (4),4(1)对坐标的曲面积分的概念、性质、计算方法两类曲面积分之间的联系第十周学习任务在进行第十周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第九周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十一章第6 节习题11—61(1)(3),2(1),3(1)高斯公式操纵高斯公式计算曲面积分散度的概念与计算第7 节习题11—72(1)(2),3(1)斯托克斯公式操纵斯托克斯公式计算曲线积分旋度的概念与计算总复习题十一总复习题十一1,2,3(1)(3),3(6),4(1)(3),5,7 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十二章第1 节习题12—12(3)(4),3(1)(2)4(1)(2)(5)常数项级数的概念收敛级数的根本性质等比级数〔几何级数〕敛散性的判别级数收敛的必要条件第2 节习题12—21(1)(4)(5),2(1)(4),3(1)(3),4(1) (3)(5),5(2)(3)(5正项级数及其审敛法〔正项级数收敛的充要条件，比拟审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法〕p 级数敛散性的判别交错级数及其审敛法〔莱布尼茨定理〕绝对收敛与条件收敛第3 节习题12—31(1)(2)(3) (6),2(1) (2)函数项级数的概念幂级数及其收敛性〔阿贝尔定理及其推论，幂级数的收敛半径〕幂级数的运算〔幂级数的和函数的性质〕第4 节习题12—42(1)(2)(4) ,4,5,6泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步调e x、sin x 、cos x、ln(1+ x)、(1 x)α + 的麦克劳林展开式用间接法把函数展开成幂级数第十一周学习任务在进行第十一周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第十周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十二章第7 节习题12—71(1)(2),2(1)(3),6三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数〔收敛定理，狄利克雷充实条件〕正弦级数和余弦级数第8 节习题12—81(1),2(1) 周期为2l的周期函数的傅里叶级数总复习题十二总复习题十二1,2(1)(5),4,5(1),5(2),6(1),7(1)(4),8(1)(3),9(1),10(1),11 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法备注以上第十二章的内容用两天的时间完成，用两天的时间将高等数学的上册做系统的复习，用两天的时间将高等数学的下册做系统的复习。