高等数学作业题及参考答案
高等数学试题及答案完整版
高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
高等数学习题及解答(1)
一般班高数作业（上）第一章 函数1、试判断以下每对函数是不是同样的函数，并说明原因： （2） y sin(arcsin x) 与（6） yarctan(tan x) 与 y x ；（4）y x ；（8）y x 与 y x2；y f ( x) 与 xf ( y) 。
解：判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。
（2） y sin(arcsin x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（4） y x 2x ，两个函数同样；（6） y arctan(tan x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（8） yf (x) 与 xf ( y) 定义域和对应法例都同样，所以两个函数同样。
2、求以下函数的定义域，并用区间表示：x 211（2） yx；（7） y ex x；（3） y 2 xarcsinln 1x解：（2） x [ 2,0) ；（3） x [1 e 2 ,0) (0,1 e 2 ] ；（7） x(0, e)(e,) 。
1 。
1 ln xf (x)x 2 1, x 03、设 1x 2, x ，求 f ( x) f ( x) 。
解：按 x 0 ， x 0 ， x 0 时，分别计算得， f (x)0 x 0f ( x)x 。
2 04、议论以下函数的单一性（指出其单增区间和单减区间） ：（2） y4xx2；（4） y x x 。
解：（2） y 4xx24 ( x 2) 2单增区间为 [0,2] ，单减区间为 [ 2,4] 。
（4） yx x2x x 0) 。
0 x ，定义域为实数集，单减区间为 ( ,5、议论以下函数的奇偶性：（2）f ( x) x x2 1 tanx ；（3）f (x) ln( x2 1 x)；（6） f ( x) cosln x ；1 x, x 0 （7） f (x)x, x 0。
1解：（2）奇函数；（3）奇函数；（ 6）非奇非偶函数；（ 7）偶函数。
6、求以下函数的反函数及反函数的定义域：2x), D f ( ,0) ；（） f ( x) 2x 1, 0 x 1（）。
高等数学试题及答案详解
高等数学试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，如果函数f(x)在某点x=a的极限存在，则对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义说明了极限的什么性质？A. 唯一性B. 有界性C. 局部性D. 连续性答案：A2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分表示的几何意义是什么？A. 曲线y=x^2与x轴围成的面积B. 曲线y=x^2与y轴围成的面积C. 曲线y=x^2与x轴在区间[0,1]上的面积D. 曲线y=x^2与y轴在区间[0,1]上的面积答案：C3. 微分方程dy/dx=2x的通解是？A. y=x^2+CB. y=2x^2+CC. y=x^2+CD. y=x+C答案：A4. 以下哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x答案：B5. 函数f(x)=sin(x)的导数是？A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x)D. -cos(x)答案：A6. 函数f(x)=e^x的不定积分是？A. e^x+CB. e^(-x)+CC. -e^x+CD. -e^(-x)+C答案：A7. 以下哪个级数是收敛的？A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+2+3+4+...D. 1-1/2+1/3-1/4+1/5-...答案：D8. 函数f(x)=ln(x)的定义域是？A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (-∞,+∞)D. [0,+∞)答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点是？A. x=1B. x=-1C. x=2D. x=-2答案：A10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=ln(x)D. f(x)=e^x答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的二阶导数是________。
高等数学练习题(附答案)
《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。
高等数学习题集及解答
高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。
2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。
3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。
4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。
5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。
6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。
7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。
8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。
9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。
10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。
11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。
12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。
13、设lny =_______________(0)y '''=。
14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
高等数学试题及答案解析
高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。
计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。
因此，最大值为f(5) = 9。
2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。
因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。
答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。
将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。
2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。
答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。
答案：极值点为x = 3。
解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。
计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。
高等数学典型习题及参考答案
⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。
大学高等数学习题及答案
高等数学（A）1习题1-11.求下列函数的自然定义域：(3)y =1-1-x 2x⎧1-x 2≥0⎧-1≤x ≤1解：由⎨，所以函数的定义域为：[-1,0)⋃(0,1]⇒⎨⎩x ≠0⎩x ≠0(7)y =arcsin(x -3)解：由-1≤x -3≤1⇒2≤x ≤4，所以函数的定义域为：[2,4]1(8)y =3-x +arctanx⎧3-x ≥0⎧x ≤3解：由⎨x ≠0⇒⎨x ≠0，所以函数的定义域为：(-∞,0)⋃(0,3]⎩⎩9.求下列函数的反函数：（1）y =3x +1解：由y 3=x +1⇒x =y 3-1，所以反函数为：y =x 3-11-xy =（2）1+x解：由y (1+x )=1-x ⇒x =1-x 1-yy =1+x1+y ，所以反函数为：习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1(2){(-1)n }n 收敛.且极限为0.⎧n -1⎫(4)⎨⎬n +1⎩⎭收敛，且极限为12n -1(6){3n }2n -12n 1n收敛.且因为：3n =(3)-(3)，知极限为0.习题1-3x |x |当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限4.求f (x )=,φ(x )=x x 是否存在.解：x →0lim -f (x )=lim -x →0x →0x x=lim -1=1,lim +f (x )=lim +=lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0∴lim f (x )=1|x |-x |x |x=lim -lim(-1)=-1,lim φ(x )=lim =lim =lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0-x →0+x →0+x x →0+x x →0∴lim φ(x )不存在.lim -φ(x )=lim -x →0习题1-44.求下列极限并说明理由.（1）lim x →∞2x +1x2x +1112x +1=2+,而lim =0,由定理1可知：lim =2.解：x x →∞x →∞x x x 1-x 2(2)lim x →∞1-x1-x 2(1-x )(1+x )1-x 2=1+x ，而lim x =0,由定理1可知：lim =1解：1-x =x →0x →01-x1-x 习题1-51.计算下列极限.x 2-32（2）x lim →3x +1解：lim x →x -3x →30===023x +1lim(x 2+1)4x →32lim(x 2-3)x 2-2x +1（3）lim x →1x 2-1x 2-2x +1(x -1)2x -1lim =lim =lim =0解：x →1x 2-1x →1(x +1)(x -1)x →1x +14x 3-2x 2+x （4）lim x →03x 2+2x 解：lim 4x -2x +x 4x -2x +1=lim =x →0x →03x 2+2x 3x +2322lim(4x 2-2x +1)x →0lim(3x +2)x →0=1=02x 2-1（7）lim x →∞2x 2-x -11)2x -11x →∞x lim =lim ==解：x →∞2x 2-x -1x →∞111122--2lim(2--2)x x x →∞x x 21-1x 2lim(1-x 2-6x +8（9）lim x →4x 2-5x +4x 2-6x +8(x -4)(x -2)(x -2)2lim =lim =lim 解：x →4x 2-5x +4x →4(x -4)(x -1)x →4(x -1)=3习题1-61.计算下列极限：1-cos2x lim （5）x →0x sin x 1-cos2x 2sin 2x sin xlim =lim =2lim =2⋅1=2解：x →0x sin x x →0x sin x x →0x 2.计算下列极限.-x )（1）lim(1x →0-1lim(1-x )=lim[(1+(-x ))]=e 解：x →0x →01x1-x -11x+2x )（2）lim(1x →02lim(1+2x )=lim[(1+2x )]=e 解：x →0x →01x12x 21x习题1-75.利用等价无穷小的性质，求下列极限：tan3xlim （1）x →02x tan3x ~3x ,∴lim 解：当x →0时，（3）lim x →0tan3x 3x 33=lim =lim =x →0x →02x x →022x 2tan x -sin xsin 3x 1x ⋅x 2tan x -sin x tan x (1-cos x )2=lim 1=1lim =lim =lim 333x →0x →0x →0x →02sin xsin x x 2解：1(x →0,tan x ~x ,1-cos x ~x 2,sin 3x ~x 3)2习题1-83.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x 2-1（1）y =x 2-3x +2，x =1,x =2解：在x =1点，lim y =lim x →1(x -1)(x +1)(x +1)=lim =-2x →1(x -1)(x -2)x →1(x -2)故x =1点为第一类中的可去间断点.如果补充f (1)=-2,则f (x )在x =2点连续。
高等数学练习册及答案
高等数学练习册及答案一、单项选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x=-2处的导数是（）。
A. -1B. 2C. 5D. 72. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 5在x=1处的切线斜率是（）。
A. -7B. -6C. 0D. 73. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的通解是（）。
A. y = 2x^2 + CB. y = 2x^2 - CC. y = x^2 + CD. y = x^2 - C二、填空题4. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = _______。
5. 函数y = ln(x)的原函数是 _______。
6. 已知∫(2x - 1)dx = 3x^2 - x + C，求∫(4x - 2)dx。
三、解答题7. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。
8. 证明：对于任意正数a和b，不等式a + b ≥ 2√(ab)总是成立。
9. 求解微分方程dy/dx - 3y = 6e^(3x)，且y(0) = 1。
四、应用题10. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 5x + 100，其中x是生产数量。
求生产多少单位产品时，平均成本最低。
答案：一、单项选择题1. B2. D3. A二、填空题4. f'(x) = cos(x) - sin(x)5. 原函数是 xln(x) - x + C6. ∫(4x - 2)dx = 2(3x^2 - x) + C = 2x^2 - 2x + C三、解答题7. 求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 11，令f'(x) = 0得x = (4 ±√7)/3。
检验二阶导数f''(x) = 6x - 12，f''((4 + √7)/3) < 0，所以x = (4 + √7)/3是极大值点；f''((4 - √7)/3) > 0，所以x = (4 - √7)/3是极小值点。
高等数学练习题(含答案)
1．求抛物线2x y =与直线02=--y x 之间的最短距离。
2．求点)8,2(到抛物线x y 42=的最短距离。
3．求过点)31,1,2(的平面，使它与三个坐标面在第一卦限内所围成的立体体积最小。
4．计算二重积分dxdy xy I D⎰⎰=2，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线1=xy 所围成的区域。
5．计算二重积分dxdy e I D y ⎰⎰-=2，其中区域D 由y 轴，直线x y y ==,1所围成。
6．求dxdy y xy I D⎰⎰+=31，其中D 由2,1,0x y y x ===所围成。
7．求dy e dx x I x y ⎰⎰-=11022。
8．求dxdy y x I D ⎰⎰+=)(，其中D 为224,x y x y ==及1=y 所围成的区域。
9．求σd y x I D⎰⎰+=)|(|，其中D 为：1||||≤+y x 。
10．求dxdy y x I D ⎰⎰--=221，其中D ：y y x ≤+22。
11．求dxdy y x x I D⎰⎰--=)2(22，其中D ：1)1(22≤+-y x 。
12．设{}x y x y x D ≤+=22),(，求dxdy x D ⎰⎰。
13．计算二重积分dxdy yx y x D ⎰⎰++--222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一卦限内的闭区域。
14．求ds y x c ⎰+)(，其中c 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 为顶点的三角形边界。
15．设L 是半圆周24y x -=上由点)2,0(A 到点)2,0(-B 之间的一段弧。
计算⎰++Lds y x )1(。
16．计算ds y x L ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+（0>a ）。
17．计算曲线积分⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周x y x =+22。
18．计算曲线积分：dy y x dx y x I L)653()42(-++--=⎰，其中L 是从点)0,0(O 到点)2,3(A 再到点)0,4(B 的折线段。
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
高等数学作业(高升专)答案
高等数学作业答案（高起专）第一章函数作业（练习一）参考答案一、填空题1．函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是]5,3()3,2(2.函数392--=x x y 的定义域为),3(]3,(+∞⋃--∞。
3．已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为()+∞-,1 4．函数1142-+-=x x y 的定义域是),2[]2,(∞+--∞ 。
5．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x 二、单项选择题1. 若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是( C ) .A . ),0(∞+B . ),1[∞+C . ]e ,1[D . ]1,0[ 2. 函数x y πsin ln =的值域是( D ).A . ]1,1[-B . ]1,0[C . )0,(-∞D . ]0,(-∞ 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（C ）． A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数4．函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx （ B ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。
5．若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （B ） A.2x ； B. 22-x ； C.2)1(-x ； D. 12-x 。
6．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 37． 下列函数中，（B ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y = 8．设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f =（C）．A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f =C ．)2()0(π-=f fD ．)4(πf =229. 若函数1)e (+=x f x ，则)(x f = ( C ) .A . 1e +xB . 1+xC . 1ln +xD . )1ln(+x10. 下列函数中=y （B ）是偶函数.A . )(x fB . )(x fC . )(2x fD . )()(x f x f --第二章极限与连续作业（练习二）参考答案一、填空题1．________________sin lim=-∞→xxx x 答案：12.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a 2, =b -8。
高等数学作业题及参考答案
高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。
A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算x f x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。
6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。
第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。
（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。
（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。
（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。
（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y (10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。
A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
完整版)高等数学测试题及答案
完整版)高等数学测试题及答案高等数学测试试题一、是非题（3’×6=18’）1、$\lim_{x\to 1}(1-x)=e$。
（×）2、函数$f(x)$在点$x=x_0$处连续，则它在该点处必可导。
（×）3、函数的极大值一定是它的最大值。
（×）4、设$G(x)=f(x)$，则$G(x)$为$f(x)$的一个原函数。
（√）5、定积分$\int_{-1}^1 x\cos x dx=0$.（√）6、函数$y=x-2$是微分方程$x\frac{dy}{dx}+2y$的解。
（√）二、选择题（4’×5=20’）7、函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$是定义域内的（）A、单调函数B、有界函数C、无界函数D、周期函数答案：C8、设$y=1+2x$，则$dy$=（）A、$2xdx$B、$2x\ln2$C、$2x\ln2dx$D、$(1+2x\ln2)dx$答案：A9、设在区间$[a,b]$上$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在该区间上沿着$x$轴正向A、上升且为凹弧B、上升且为凸弧C、下降且为凹弧D、下降且为凸弧答案：B10、下列等式正确的是（）A、$\int f'(x)dx=f(x)$B、$\int f(x)dx=f'(x)$C、$\int f'(x)dx=f(x)+C$D、$\int f(x)dx=f'(x)+C$答案：C11、$P=-\int \cos^2 x dx$，$Q=3\int dx$，$R=\int xdx$，则int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx < \int_0^1 \sin^2 x dx <\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$A、$P<Q<R$B、$Q<P<R$C、$P<R<Q$D、$R<Q<P$答案：D三、选择题（4’×5=20’）12．函数$f(x)=\frac{x^2}{3x-3}$的间断点为（）A、3B、4C、5D、6答案：A13、设函数$f(x)$在点$x=0$处可导，且$\lim_{h\to 0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}=\frac{1}{2}$，则$f'(0)$=（）A、2B、1C、-1D、-2答案：B14、设函数$f(x)=x^2\ln x$，则$f''(1)$=（）A、2B、3C、4D、5答案：B15、$\frac{d}{dx}\int_0^{\ln(1+x)}\ln(1+t)dt=$A、$\ln(1+x)$B、$\ln(1+x^2)$C、$2x\ln(1+x^2)$D、$x^2\ln(1+x^2)$答案：C16、$\int f'(e^x)e^xdx=$A、$f(e^x)$B、$f(e^x)+C$C、$f'(e^x)$D、$f'(e^x)+C$答案：B四、选择题（7’×6=42’）17、$\lim_{x\to 2x-2}\frac{x^2+x-6}{x-2x+2}=$A、5B、6C、7D、8答案：B18、函数$y=x^3-3x$的单调减少区间为（）A、$(-\infty,-1)$B、$(-\infty,1)$C、$(-1,+\infty)$D、$[-1,1]$答案：A19、已知曲线方程$y=\ln(2+x)$，则点$M(0,\ln2)$处的切线方程为（）A、$y=\frac{x}{2}+\ln2$B、$y=\frac{x}{2}-\ln2$C、$y=2x+\ln2$D、$y=2x-\ln2$答案：AB、y=x+1C、y=x^2+ln2D、y=x+ln2x10、函数f(x)=∫lntdt的极值点与极值分别为：A、x=2，极小值f(2)=1B、x=1，极小值f(1)=1/2(ln2-1)C、x=2，极大值f(2)=1D、x=1，极大值f(1)=1/2(ln2-1)21、曲线y=4-x^2，x∈[0,4]与x轴，y轴以及x=4所围的平面图形的面积值S=A、4B、8C、16D、3222、微分方程dy/dx=ex-2y满足初始条件y(0)=1的特解为：A、lny=ex-1B、e2y=2ex-1C、e2y=ex-1D、e2y=e2x-1。
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高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。
A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。
6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。
第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。
（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。
（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。
（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。
（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。
A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。
A. 3x B x C. x D. 3x（3）设函数xx x f 1sin )(⋅=，则当0)(>-x f 时，)(x f 为 ( ) A. 无界变量 B.无穷大量 C. 有界，但非无穷小量 D. 无穷小量（4）lim sinsin x x x x →021的值为（ ）。
A.1B.∞C.不存在D.0（5）下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。
A ．e 1x x ,()→∞ B.sin ,()x xx →∞ C. ln(),()11+→x x D.x x x +-→110,()（6）当+∞→x 时，下列变量中无穷大量是（ ）A ．)1ln(x +B ．12+x xC ．1+-x eD ．5x x cos（7）xx a x sin lim -∞→等于 ( )。
A. aB. 0C. -aD. 不存在（8）当0→x 时，变量( )是无穷小量。
A.x sin ln B.x 1cos C.x 1sin D.21x e - （9）xx f x 1)(0==是的（ ）。
A. 连续点； B. 跳跃间断点； C.可去间断点； D. 无穷间断点. （10）x x x f x 1)1()(0+==是的（ ）。
A. 连续点；B. 跳跃间断点；C.可去间断点；D. 无穷间断点. （11）函数xx x f 1sin )(=在点0=x 处（ ） A.有定义且有极限 B.有定义但无极限 C.无定义但有极限 D.无定义且无极限（12）=→x xx 0lim （ ）A. 0B. 不存在C. 1D. 1-（13）无穷小量是（ ）A 趋于∞-的一个量B 一个绝对值极小的数C 以零为极限的量D 以零为极限且大于零的量（14）11lim 21--→x x x =( ) A. -2 B. 2 C. 3 D. 1(15) 设41)(2-=x x f ，则2-=x 是)(x f 的（ ） A ．可去间断点 B.跳跃间断点 C ．无穷间断点 .D.以上答案都不对 (16) 39lim 23--→x x x =（ ） A . -6 B. 6 C. 0 D. 2 (17) 24lim 22--→x x x =（ ） A . -6 B. 4 C. 0 D . 2(18) xx x 2sin lim 0→ A. 1 B. 2 C. 0 D. 1-3、计算题（1）112lim 221-+-→x x x x（２）4586lim 221+-+-→x x x x x（３）x x x x )11(lim -+∞→（4）x x x 23tan lim0→（5）2)21(lim -∞→-x x x（6）224sin lim0-+>-x x x（7）)1211(lim 21---→x x x（8）2cos limx x x ∞→（9）)121(lim 1--→x x（10）x x x x x 5sin 2sin lim0+-→（11）1310)21(lim -→-x x x（12）13lim 242+-+∞→x x x x x（13）)1311(lim 31x x x ---→（14）1214lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x（15）x x x x sin 1sinlim20→（16）xx x arctan lim∞→4、求下列函数的间断点，并指出其类型。
(1) 2312+--=x x x y（2）x y 1cos=(3) 1132--=x x y5、x x f 1)(=，求xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0高等数学作业题（二）第三章 导数与微分1、 填空题（1）抛物线2x y =在点 处的切线平行于直线0142=-+x y 。
（2）曲线3x y =在点)1,1(--的法线方程是（3）设函数)(x f y =在点x 可导，则函数)()(x kf x g =（k 是常数）在点x（可导、不可导）。
（4）一物体的运动方程为1023+=t s ，此物体在2=t 时瞬时速度为(5) 2)12(+=x y ，则y '= (6) 设2)13(+=x y ，则y '= 。
(7) )2ln(2x y +=，=dy 。
(8) 设12+=x y ，dx dy = 。
(9) )2ln(2x y +=，=dy 。
2、选择题（1）在抛物线2x y =上过⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21点的切线是（ ） A ．平行于ox 轴 B ．与ox 轴构成45 C ．与ox 轴构成135 ； D ．平行于oy 轴。
（2）过点)3,1(，且切线斜率为x 2的曲线方程)(x y y =应满足的关系是（ ）A ．x y 2='B ．x y 2=''C ．31(2=='），y x yD ．3)1(,2==''y x y(3) )12ln(-=x y ，则)1(f '=（ ）A . 0 B. 2 C. 1 D. 3(4) 3ln -=y ，则dy =（ ）A . dx 3B . dx 31- C. dx 31 D. 0 (5) x e x f 2)(=，则)1(f '=（ ）A . 2eB . 22e C. e D. 2(6) 22)(2-=x x f ，)1(f '=（ ）A. 1B. -4C. 0D. 43、求下列函数的导数dxdy （1）38)1ln(cos x x x y ++⋅=（2）21sin x y +=（3）5ln cos sin 2+⋅+=x x x x y（4） x ex x y ++=1cos sin 2（5）)(sec ln 2x y =（6）221x a y -=，()a x <(7) ()21arccos x y -=(8) x ey 1sec 2-=（9） )1ln(sin x y =（10）x y 31arcsin +=(11)a y x =+，求dxdy(12)⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 11 , 求dx dy（13）cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩,求dx dy 。
(14) 0233=+-x y y(15) x x y sin )(tan =(16) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2321t t y t x ,求dx dy(17) ⎪⎩⎪⎨⎧-==2332tt y t x ，求dx dy(18) 2)23ln(+=x y4、求下列函数的微分（1）5555++=x x y（2）xx y sin 1cos 1+-=(3) )2ln(3-=x y5、求下列函数的二阶导数x d y d 22 （1）22x y x +=（2）求()21ln x x y ++=的二阶导数。
6、求由参数方程()⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶7、求抛物线()022>=p px y ，在点⎪⎭⎫ ⎝⎛p p M ,2处的切线方程为与法线方程高等数学作业题（三）第四章 中值定理与导数应用１、填空题(1) )1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间内单调增加。
（2）若曲线3)(b ax y -=在))(,1(3b a -处有拐点，则a 与b 应满足关系 （3）函数x x y +=12在]1,21[-上的最小值是 (4) 设在),(b a 内曲线弧是凸的，则该曲线弧必位于其上每一点处的切线的 方。
２、选择题（1）若函数 )(x f 在 0x 点取得极小值，则必有（ ）A ．0)('0=x f 且 0)(''=x fB ．0)('0=x f 且 0)(''0<x fC ．0)('0=x f 且 0)(''0>x fD ．0)('0=x f 或不存在(2) 极限ex x e x --→1ln lim 的值为 ( )。
A. 1 B. 1-e C. e D. 0(3) 若))(,(00x f x 为连续曲线 )(x f y =上的凹弧与凸弧分界点,则 ( )。
A. ))(,(00x f x 必为曲线的拐点B. ))(,(00x f x 必定为曲线的驻点C. 0x 为)(x f 的极值点D. 0x 必定不是)(x f 的极值点（4）函数12+=x y 在区间[0，2]上（ ）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减（5）如果0)('0=x f ，则0x 一定是（ ）A. 极小值点B. 极大值点C. 驻点D. 拐点（6）函数)(x f y =在点0x x =处取得极值，则必有（ ）A. 0)("0<x fB. 0)("0>x fC. 0)('0=x f 或)('0x f 不存在D. 0)("0=x f（7）（ ）为不定式。