人教A版高中数学必修2第4章4.24.2.1直线与圆的位置关系
人教A版高中数学必修二课件：第四章 4.2 4.2.2直线、圆的位置关系(共41张PPT)
我们并不需要用太华丽的语言来包裹自己，因为我们要做最真实的自己。 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 意志力是人的一条救生索，它可以帮助我们脱离困境，引导我们走向胜利。 实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！ 为了向别人、向世界证明自己而努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。 在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。——苏格拉底 知道自己目的地的人，才是旅行得最远的人。 若现在就觉得失望无力，未来那么远你该怎么扛。 成功永远属于马上行动的人。 失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐；只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 没有目标就没有方向，每一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习阶段都应该给自己树立一个目标。 种子牢记着雨滴献身的叮嘱，增强了冒尖的气。
人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系教案(1)
教学设计课题：§4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）课题: §4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）【教材分析】直线与圆的位置关系是必修2第4章第2节第一课时内容，是继直线方程、圆的方程之后，研究解析几何曲线与曲线之间位置关系的重要课题之一。
从知识体系上看，它安排在“点和圆的位置关系”之后，“圆与圆的位置关系”之前；从数学思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。
因此，直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。
直线与圆的位置关系判断的方法、建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法，“坐标法”研究直线与圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。
【学情分析】(1)知识储备学生在初中平面几何部分已经学习了直线与圆的位置关系，知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小，判断直线与圆的位置关系。
通过数学文化渗透引导学生感受解析几何产生的背景和价值，为学生感受用代数方法解决几何问题的解析几何思想，为本节课的重点用“坐标法”解决平面解析几何问题做好铺垫。
(2)心理特征上课班级为高级中学理科平行班的学生。
根据高级中学已有学生的数学素养和高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为让学生感受数学思想文化的价值。
引导学生感受源远流长的数学文化背景，体会代数方法解决几何问题的奇妙，感受代数与几何对立统一的关系。
博大精深的数学文化可以恰如到好处的满足学生的心理需求，同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜拜古人持之以恒追求知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学家的仰望和敬意。
而高一阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，同时学生的观察能力、想象能力在迅速发展。
这个年龄的学生好奇心强、喜欢表现，注意力容易分散，教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生广泛的、积极主动的参与到教学中，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上。
人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.1 直线与圆的位置关系
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
2＋y2＝13上， (1) 解法 3 ： ∵ ( － 3,2) 在圆 x 解析: ∴切线方程为－3x＋2y＝13.
即3x－2y＋13＝0.
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
谢谢大家！
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
题后反思： (1)由于过某一定点的直线有两类：斜率存在，斜率不存在，
故过某一点做圆的切线，求切线方程时要分情况讨论．
(2)求切线一般有三种方法：①设切点坐标用切线公式：过圆
(x－a)2＋ (y－b)2＝ r2上一点(x0，y0) 的切线方程为 (x－a)(x0－a) ＋
【提示】
相交、相切、相离
探究点1
直线和圆的位置关系
【问题1】如果直线与圆相交，它们的公共点有几个？如果是相切 或相离又是如何呢？
【提示】
相交2个、相切1个、相离0个
探究点1
直线和圆的位置关系
r d d
r
r d
【提示】
相交⇔d<r；相切⇔d=r；相离⇔d>r
探究点1
直线和圆的位置关系
【提示】
相交⇔方程有2个不同实数解⇔ Δ>0；
(y0 － b)(y － b) ＝ r2 ；②设切线方程，用判别式法；③设切线方程，
用圆心到切线的距离等于半径，但要注意斜率不存在的情况．
典例精讲：题型三：弦长问题 例3 过点P(4，－4)的直线l被圆C:x2+y2－2x－4y－20=0截得的弦AB 的长度为8，求直线l的方程. 分析:设出直线l的方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长
人教A版高中数学必修二《4.2.1直线与圆的位置关系》教案
直线与圆的位置关系教案一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．四、教学过程设计复习提问：1、点与圆有几种位置关系？2、若将点改成直线 ，那么直线与圆的位置关系又如何呢？1、直线 与圆的位置关系：观察右边的三个图形：直线与圆分别有多少个公共点？1、如图1，直线与圆_______公共点，那么这条直线与圆_________.2、如图2，直线与圆有______公共点时，那么直线与圆________.此时，这条直线叫做圆的_______，这个公共点叫做_______.3、如图3，直线与圆有_______公共点时，那么直线与圆________.此时，这条直线叫做________.二、学生动手画出圆心到直线的距离d 与半径r 比较，得出结论：1、当d>r 时，直线与圆相离；2、当d=r 时，直线与圆相切；3、当d<r 时，直线与圆相交 .归纳与小结：三、例题讲解例1 ：如图，已知直线L:063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ,.O a b.A .O c . F .E.O判断直线L 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.解法一：圆04222=--+y y x 可化为5)1(22=-+y x . 其圆心C的坐标为（0，1），半径长为5 ，点C （0，1）到直线L 的距离所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 解法二：由直线 l 与圆的方程，得：消去y ，得：所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：A （2，0），B （1，3）四、课堂小结直线与圆的位置关系的判断方法有两种：①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离． ②几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断：当d<r 时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d>r 时，直线与圆相离． 五、课堂练习 1.判断直线 与圆 的位置关系. 510513|6103|22<=+-+⨯=d 214)3(2⨯⨯--=∆由 ，解得： 0232=+-x x 1,221==x x 把 代入方程①，得 ； ,221==x x 01=y 把 代入方程① ，得 ．1,221==x x 32=y 0243=++y x 0222=-+x y x .04222=--+y y x2.已知直线，圆C：试判断直线l与圆C有无公共点，有几个公共点.六、课后练习试解本节引言中的问题.七、课后作业习题4.2 A组1、3、5八、板书设计在教学中我把黑板分为三部分，把知识要点写在左侧，中间多媒体展示，右边实例应用.yl:+6=x。
人教A版高中数学必修2 4.2.1直线与圆的位置关系(教学设计)
人教A版高中数学必修2课题：4.2.1直线与圆的位置关系【教材分析】《直线、圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容。
它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用解析法进一步研究直线与圆的位置关系，它既是对圆的方程的应用和拓展，又是研究圆和圆的位置关系的基础，并且为后续研究直线和圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。
【学生学情分析】在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系,前阶段又学习了直线方程和圆的方程。
本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究直线与圆的位置关系的判断方法。
通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数形结合”的意识。
【教学目标】（一）知识与技能：理解直线与圆三种位置关系；能根据直线、圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆位置关系；掌握直线和圆的位置关系判定的应用，会求弦长.（二）方法与过程：通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、合作交流的学习方式；强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．（三）情感态度与价值观：让学生亲生经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“数形结合”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯.【教学重点与难点】重点：直线与圆的位置关系的判断方法.难点：灵活的运用“数形结合”解决直线和圆相关的问题．【课型】新课【课时安排】1节课【教法、学法指导、教学手段】教法“引导-探究”教学法、“命名”教学法、“题组”教学法；学法：观察发现、自主探究、合作交流、变式学习、归纳总结、应用提高;教学手段：多媒体教学【教学准备】学生学情，课件、教学设计，学生课堂练习题；彩色粉笔，翻页笔。
间的位置关系呢？方法一：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的方法二，由直线l(–问题6过点M【板书设计】有两个公共点直线和圆相交有惟一公共点直线和圆相切直线和圆相离。
高一数学人教版A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系
得 b＝±2 5.
解析答案
类型三 弦长问题 例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析答案
(2) 圆心为C(2 ，－1) ，截直线 y＝x－1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 __(_x－__2_)_2_＋__(y_＋__1_)_2_＝__4______. 解析 设圆的半径为r，由条件，得
|2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2. 又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2， 所以r2＝2＋2＝4，r＝2， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
解析答案
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程： ①经过点 P(－ 2， 2)；
解 ∵(－ 2)2＋( 2)2＝4， ∴点P在圆x2＋y2＝4上，
∴切线方程为－ 2x＋ 2y＝4， 即 x－y＋2 2＝0.
②切线斜率为2.
解 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得： 22＋|b|－12＝2 故所求切线方程为 2x－y±2 5＝0.
人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系教案(2)
4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系整体设计教学分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d 后,比较与半径r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 三维目标1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想.2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性. 重点难点教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 课时安排 2课时教学过程第1课时 导入新课思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系.思路2.(复习导入)(1)直线方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零).(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为(a,b),半径为r.(3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ,-2E ),半径为21F E D 422-+.推进新课 新知探究 提出问题①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？讨论结果：①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d 与半径r 的关系图形相交 两个 d ＜r 相切 只有一个 d=r相离没有d ＞r二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. ④直线与圆的位置关系的判断方法： 几何方法步骤： 1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离. 3°作判断：当d ＞r 时,直线与圆相离；当d=r 时,直线与圆相切;当d ＜r 时,直线与圆相交. 代数方法步骤： 1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值. 4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离；若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相交.反之也成立. 应用示例思路1例1 已知直线l ：3x+y-6=0和圆心为C 的圆x 2+y 2-2y-4=0,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. 解法一:由直线l 与圆的方程,得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+)2(.042)1(,06322y y x y x消去y,得x 2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0,所以直线l 与圆相交,有两个公共点.解法二：圆x 2+y 2-2y-4=0可化为x 2+(y-1)2=5,其圆心C 的坐标为(0,1),半径长为5,圆心C 到直线l 的距离d=2213|1603|+-+⨯=105＜5.所以直线l 与圆相交,有两个公共点.由x 2-3x+2=0,得x 1=2,x 2=1.把x 1=2代入方程①,得y 1=0;把x 2=1代入方程①,得y 2=3.所以直线l 与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.例2 已知圆的方程是x 2+y 2=2,直线y=x+b,当b 为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为b 为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.解法一:若直线l ：y=x+b 和圆x 2+y 2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,消去y,得2x 2+2bx+b 2-2=0,所以Δ=(2b)2-4×2(b 2-2)=16-4b 2.所以,当Δ=16-4b 2＞0,即-2＜b ＜2时,圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b 2=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b 2＜0,即b ＞2或b ＜-2时,圆与直线没有公共点.解法二：圆x 2+y 2=2的圆心C 的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C 到直线l:y=x+b 的距离d=2||11|0101|22b b =+-⨯+⨯-.当d ＞r 时,即2||b ＞2,即|b|＞2,即b ＞2或b ＜-2时,圆与直线没有公共点;当d=r 时,即2||b =2,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当d ＜r 时,即2||b ＜2,即|b|＜2,即-2＜b ＜2时,圆与直线有两个公共点.点评：由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断. 变式训练已知直线l 过点P(4,0),且与圆O ：x 2+y 2=8相交,求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解法一：设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因为直线l 与圆O 相交,所以圆心O 到直线l 的距离小于半径, 即1|4|2+-k k ＜22,化简得k 2＜1,所以-1＜k ＜1,即-1＜tanα＜1.当0≤tanα＜1时,0≤α＜4π；当-1＜tanα＜0时,43π＜α＜π.所以α的取值范围是［0,4π)∪(43π,π).解法二：设直线l 的方程为y=k(x-4),由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,8),4(22y x x k y ,消去y 得(k 2+1)x 2-8k 2x+16k 2-8=0. 因为直线l 与圆O 相交,所以Δ=(-8k 2)2-4(k 2+1)(16k 2-8)＞0,化简得k 2＜1.(以下同解法一) 点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案.思路2例1 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,求经过圆上一点M(x 0,y 0)的切线方程.活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x 0,y 0),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径,切线与法线垂直. 解法一:当点M 不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM 的斜率为k 1, 因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以k=-11k . 因为k 1=00x y 所以k=-00y x .所以经过点M 的切线方程是y-y 0=-00y x(x-x 0). 整理得x 0x+y 0y=x 02+y 02.又因为点M(x 0,y 0)在圆上,所以x 02+y 02=r 2.所以所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.当点M 在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.解法二:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P 与M 不重合时,△OPM 为直角三角形,OP 为斜边,所以OP 2=OM 2+MP 2,即x 2+y 2=x 02+y 02+(x-x 0)2+(y-y 0)2.整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当P 与M 重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2. 解法三:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M 不在坐标轴上时,由OM ⊥MP 得k OM ·k MP =-1,即00x y ·xx yy --00=-1,整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当点M 在坐标轴上时,P 与M 重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.点评:如果已知圆上一点的坐标,我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程. 变式训练求过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点M(x 0,y 0)的圆的切线方程.解:设x 0≠a,y 0≠b,所求切线斜率为k,则由圆的切线垂直于过切点的半径,得k=by a x k CM---=-001,所以所求方程为y-y 0=by a x ---00(x-x 0),即(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=(x 0-a)2+ (y 0-b)2.又点M(x 0,y 0)在圆上,则有(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2.代入上式,得(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=r 2.当x 0=a,y 0=b 时仍然成立,所以过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点M(x 0,y 0)的圆的切线方程为(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=r 2.例2 从点P(4,5)向圆(x －2)2＋y 2=4引切线,求切线方程.活动:学生思考交流,提出解题的方法,回想直线方程的求法,先验证点与圆的位置关系,再利用几何性质解题.解:把点P(4,5)代入(x －2)2＋y 2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以点P 在圆(x －2)2＋y 2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y －5=k(x －4),即kx －y ＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即1|4502|2+-+-k k k =2,k=2021. 所以切线方程为21x －20y ＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4.点评:过圆外已知点P(x,y)的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为k,写出点斜式方程,再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关k 的方程.求出k,因为有两条,所以应有两个不同的k 值,当求得的k 值只有一个时,说明有一条切线斜率不存在,即为垂直于x 轴的直线,所以补上一条切线x=x 1. 变式训练求过点M(3,1),且与圆(x-1)2+y 2=4相切的直线l 的方程. 解:设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0, 因为圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2, 所以22)1(|13|-++-k k k =2,解得k=-43. 所以切线方程为y-1=-43(x-3),即3x+4y-13=0. 当过点M 的直线的斜率不存在时,其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线x=3也符合题意.所以直线l 的方程是3x+4y-12=0或x=3.例3 (1)已知直线l ：y=x+b 与曲线C ：y=21x -有两个不同的公共点,求实数b 的取值范围；(2)若关于x 的不等式21x -＞x+b 解集为R ,求实数b 的取值范围.图1解:(1)如图1(数形结合),方程y=x+b 表示斜率为1,在y 轴上截距为b 的直线l ； 方程y=21x -表示单位圆在x 轴上及其上方的半圆, 当直线过B 点时,它与半圆交于两点,此时b=1,直线记为l 1； 当直线与半圆相切时,b=2,直线记为l 2.直线l 要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l 在l 1与l 2之间(包括l 1但不包括l 2), 所以1≤b ＜2,即所求的b 的取值范围是［1,2).(2)不等式21x -＞x+b 恒成立,即半圆y=21x -在直线y=x+b 上方, 当直线l 过点(1,0)时,b=-1,所以所求的b 的取值范围是(-∞,-1). 点评:利用数形结合解题,有时非常方便直观. 知能训练本节练习2、3、4. 拓展提升圆x 2+y 2=8内有一点P 0(-1,2),AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦. (1)当α=43π时,求AB 的长； (2)当AB 的长最短时,求直线AB 的方程. 解:(1)当α=43π时,直线AB 的斜率为k=tan 43π=-1,所以直线AB 的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.解法一：(用弦长公式)由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,8,122y x x y 消去y,得2x 2-2x-7=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=1,x 1x 2=-27, 所以|AB|=2)1(1-+|x 1-x 2|=2·212214)(x x x x -+=2·)27(41-⨯-=30.解法二：(几何法)弦心距d=21,半径r=22,弦长|AB|=230218222=-=-dr . (2)当AB 的长最短时,OP 0⊥AB,因为k OP0=-2,k AB =21,直线AB 的方程为y-2=21(x+1), 即x-2y+5=0.课堂小结(1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法. (2)求切线方程. 作业习题4.2 A 组1、2、3.设计感想本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的,是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课.本节的主题是直线和圆,在解析几何中,直线与圆的关系是一个非常重要的知识点,可以对学生的思维有一个很好的锻炼,将几种重要的数学思想灌输给学生.首先,一开始的复习提问全面又突出重点,特别是“初中学习的如何判断直线和圆的位置关系？”这个问题,为学生思考提供了很好的引导.其次对于例题的选择有很高的要求,好的例题是一个好教案的重要保证.在例题的设计方面,本教案共分为三个层次来一步步的推进,让学生由浅入深,从思维容量上层层递进,对学生的思考和分析都有很好的引导作用,通过思路1的例题1、2对直线与圆的几种位置关系作了巩固,是每个学生都必须也能够掌握的.但这几题虽是基础题也并不是平淡无奇的题,它印证了判定的条件和结论在一定条件下是可以转化的.通过思路2的例题1、2,对圆的切线方程的求法进行了说明和总结.这个知识点与“直线与圆”联系起来,而且同时又渗透了数形结合的思想.让学生通过具体的练习,通过自主地思考、研究,来体会数学思想对我们解题和研究的作用.例题3的设计给学生留下了讨论的空间,不仅将与直线与圆有关的各知识点联系了起来,而且还通过各知识点之间的联系、综合应用,组织学生一起思考起来,对应用的加强更是体现了“分类活动,激发潜能”的基本要求.。
人教A版高中数学必修二第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
(3)当 d>r，即 |k1＋＋5k|2>1⇒k>－152时，直线与圆相离．
1－1.求实数 b 的范围，使直线 y＝x＋b 和圆 x2＋y2＝2： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 解法一：由圆 x2＋y2＝2 得圆心为(0,0)，半径为 2. (1)相交⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2<r＝ 2， 解得－2<b<2. (2)相切⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2＝r＝ 2， 解得 b＝－2 或 b＝2. (3)相离⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2>r＝ 2， 综上得 b<－2 或 b>2.
x1－x22＋y1－y22＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2.
3－1.(2010 年四川)直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于 A、B 两点，则|AB|＝_2____3.
解析：圆心为(0,0)，半径为 2 2，圆心到直线 x－2y＋5＝ 0 的距离为 d＝ |102＋＋0＋－52|2＝ 5，由|A2B|2＋( 5)2＝(2 2)2，得 |AB|＝2 3.
重点 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定 的方法有两种： (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根 据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交； 若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ ＜0，则相离； (2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断， 若 d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若 d＞r，直 线与圆相离．
解法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为 x0x＋y0y＝ 25，将坐标(1，－7)代入后得 x0－7y0＝25，
由xx002－ ＋7y20y＝0＝2525 ，解得xy00＝ ＝－ 4 3 或xy00＝ ＝－ －34 . 故所求切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
人教版高中数学必修二 第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0，（x－a）2＋（y－b）2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？[提示]“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断B[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|－5|32＋42＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.]2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1 B． 2C． 3 D．2D[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.]3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．45[由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝|3＋2|5＝5，则弦长＝2r2－d2＝4 5.]直线与圆的位置关系0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，(1)∴当Δ>0时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－43<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能A [将点P (3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3，0)在圆内．∴过点P 的直线l 必与圆C 相交．]求圆的切线方程思路探究：确定点A 在圆外→判断切线条数 ――――――――――――――→根据圆心到直线的距离d ＝r求切线方程 [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－158.所以切线方程为－158x－y＋152－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？[解]因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3, 1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y＝1.2．若本例的条件不变，求其切线长．[解]因为圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|＝（3－4）2＋（1＋3）2＝17，又|BC|＝r＝1，则|AB|＝|AC|2－|BC|2＝（17）2－12＝4，所以切线长为4.圆的切线的求法：(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.(2)点在圆外时：①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．直线与圆的相交问题1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示]将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？[提示]通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2r2－d2.【例3】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．思路探究：法一：求圆心半径――――→勾股定理 弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解 法二：求交点坐标――――――――――→利用两点间距离公式求弦长[解] 法一：圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5， 其圆心坐标为(0，1)，半径r ＝ 5. 点(0，1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，l ＝2r 2－d 2＝10，所以截得的弦长为10.法二：设直线l 与圆C 交于A 、B 两点．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，得交点A (1，3)，B (2，0)，所以弦AB 的长为|AB |＝（2－1）2＋（0－3）2＝10.3．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长为10，求该直线方程”，又如何求解？[解] 由例题知，圆心C (0，1)，半径r ＝5，又弦长为10， 所以圆心到直线的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫1022＝5－52＝102.又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k ，则直线方程为y ＝k (x －2)， 所以d ＝|－1－2k |k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，所以直线方程为y ＝－3(x －2)或y ＝13(x －2)， 即3x ＋y －6＝0或x －3y －2＝0.求弦长常用的三种方法：(1)利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系⎝ ⎛⎭⎪⎫12l 2＋d 2＝r 2解题．(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．(3)利用弦长公式，设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3－4＋12|32＋42＝115＜r ＝3.又点(1，－1)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]2．若直线y ＝x ＋a 与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为( ) A ．2 B ．± 2 C ．1 D ．±1B [由题意得|a |2＝1，所以a ＝±2，故选B.] 3．求过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋1＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)， 即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.。
【说课稿】人教A版数学必修2 4.2.1直线与圆位置关系 说课稿
《直线与圆的位置关系》说课稿---人教A版必修2第四章4.2.1一、教材分析1．教材的地位与作用“直线与圆的位置关系”这节课的教材是高中数学2第四章第二节的内容，它是学生在已经掌握“圆的概念性质”和“点和圆的位置关系”的基础上，进一步学习直线与圆的各种不同的位置关系。
它是在学生在已获得一定的探究方法的基础上的进一步深化。
这一节的内容不仅是在“圆与方程”一章中重要的一种位置关系，同时也是培养同学们的空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，为今后的课程学习打下良好基础。
2．教学目标（1）知识目标：掌握直线和圆的几种位置关系，熟练掌握判断位置关系的两种方法。
判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法。
（2）能力目标：通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，读图分析、收集处理信息、团结协作、语言表达的能力，以及通过师生双边活动，初步培养学生运用知识的能力，培养学生加强理论联系实际的能力。
（3）情感目标培养学生自主学习的能力，让同学主动去探究问题的本质，唤醒学生的主体意识，使学生获得积极的情感体验。
抓住探究的好奇心理，主动学习的心理素质，通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生唯物主义的思想观点。
3．教材的重点与难点教学重点：掌握直线和圆的几种位置关系，学会判定直线与圆的位置关系的两种方法：（1）直线到圆心距离与圆半径的大小关系，写出判定直线与圆的位置关系。
（2）通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，写出判定直线与圆的位置关系。
教学难点：位置关系《=》大小关系式《=》解的个数4．教材处理教学如何提示知识的发生过程？即它们是如何被提出的、发现的，是如何被抽象、概括的，是如何被猜测、判断的……在这一系列的思维活动中，蕴含了极其丰富的思维因素与价值。
二、教学策略㈠教学手段：如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。
我在教学过程中拟计划进行如下操作：1：“读（看）——议——讲”结合法2：图表分析法3：读图讨论法4：教学过程中坚持启发式教学的原则基于本节课的与实际联系较强特点，着重采用课本与图形实物相结合的教学方法。
人教A版高中数学必修二课件第四章4.2.1直线与圆的位置关系(共36张PPT)
3.弦长问题 当直线和圆相交时,以公共点为端点的线段的长即为弦长,且 半弦长、圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.
类型一直线与圆的位置关系 【典型例题】 1.(2013·临沂高一检测)如果a2+b2=c21,那么直线ax+by+c
2
=0与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.相交或相切 2.(2013·安徽高考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共 点,则实数a取值范围是( ) A.[-3,-1]B.[-1,3] C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
30°，得|PO|＝2，
由可x得2＋y2＝4，
x＋y＝2 2
答案:() 2，2
x＝ 2， y＝ 2.
【互动探究】题2中将圆的方程改为x2＋y2－4x＋2y＋1=0，
其他条件不变，则切线方程又是什么？
【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx，则有 2 2k 1 ，
【易错误区】求直线的切线方程时，忽略切线斜率不存在的
情况
【典例】过点P(6,-8)与圆C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直线方
程为
.
【解析】将圆的方程配方,得(x-1)2+(y-2)2=25,所以圆心
C(1,2),半径r=5.
易知点P(6,-8)在圆C外部,设切线方程为y+8=k(x-6),即kx-y-
2
圆的半径r=2，所以弦长为l= 2 r2 d2 2 4 2 2 2；
方法二：代数法：联立直线和圆的方程
y x
x，
高中数学人教新课标A版必修2 第四章 圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系
高中数学人教新课标A版必修2 第四章圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系选择题直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.不确定【答案】B【解析】当a＝0时，直线y＝0显然与该圆相交；当a≠0时，圆心（0,0）到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝（半径），也与该圆相交．故答案为：B。
分a为零和a不为零两种情况来讨论。
选择题已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）A.x2＋y2－2x－3＝0B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2＋2x－3＝0D.x2＋y2－4x＝0【答案】D【解析】设圆心为（a,0）（a＞0），则即a＝2，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故答案为：D。
由直线与圆相切的性质可以求出圆的方程。
选择题圆心坐标为（2，－1）的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（）A.（x－2）2＋（y＋1）2＝4B.（x－2）2＋（y＋1）2＝2C.（x－2）2＋（y＋1）2＝8D.（x－2）2＋（y＋1）2＝16【答案】A【解析】圆心到直线的距离，圆的半径，∴圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝4.所以答案是：A。
选择题已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y＋10＝0上任意一点，点A关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值为（）A.10B.－10C.－4D.4【答案】B【解析】通过配方可得圆C的标准方程为（x＋）2＋（y＋2）2＝，由题意，可知直线x＋2y－1＝0过圆心C（－，－2），∴－－4－1＝0，∴a＝－10.又a＝－10时，＞0，∴a的值为－10，所以答案是：B.【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，以及对圆的一般方程的理解，了解圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．选择题已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A.B.C.πD.2π【答案】D【解析】圆x2＋y2＝4的圆心为O（0,0），半径r＝2，设直线x ＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2 .在△MNO中，|OM|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2 ，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于.所以答案是：D。
人教A版高中数学必修二课件：第四章4-2-4-2-1直线与圆的位置关系
判定 方法
|Aa＋Bb＋C| 法 A2＋B2
判 定 方 法
代 数 法 由消元得到一元二次 Δ >0 方程的判别式Δ Δ ＝0 Δ <0
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )
(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后 得到的一元二次方程必有解．( )
|0＋0－c| ＝1，c＝ 2，所求方程为 x＋y－ 2＝0. 2 2 1 ＋1 答案：x＋y－ 2＝0
类型 1 直线与圆位置关系的判断(自主研析) [典例 1] 若直线 4x－3y＋a＝0 与圆 x2＋y2＝100 有 如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数 a 的取值范围．
4x－3y＋a＝0， 解：法一 (代数法)由方程组 2 2 x ＋y ＝100， 消去 y 得 25x2＋8ax＋a2－900＝0.
2
22 －2 ＝0，
即圆心位于直线 kx－y＝0 上，于是有 k－2＝0，即 k ＝2，因此所求直线方程是 2x－y＝0. 答案：2x－y＝0
5．垂直于直线 y＝x＋1 且与圆 x2＋y2＝1 相切于第 一象限的直线方程是________________． 解析：由题意知直线方程可设为 x＋y－c＝0(c＞0)， 则圆心到直线的距离等于半径 1，即
法二 由于直线 l 与圆相切，所以方程组 y－4＝k（x＋1）， 只有一解． 2 2 （x－2） ＋（y－3） ＝1，
消去 y，得到关于 x 的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2 ＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0， 则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0， 3 解得 8k ＋6k＝0，即 k＝0 或 k＝－ ， 4
2019-2020人教A版数学必修2第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系课件PPT
(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．
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[解] 法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
C．相离
D．无法判断
B [圆心(0，0)到直线 3x＋4y－5＝0 的距离 d＝ |3－2＋5|42＝1. ∵d
＝r，∴直线与圆相切．选 B.]
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2．设 A，B 为直线 y＝x 与圆 x2＋y2＝1 的两个交点，则|AB|＝( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
D [直线 y＝x 过圆 x2＋y2＝1 的圆心 C(0，0)，则|AB|＝2.]
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直线与圆位置关系判断的三种方法： (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系 判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
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已知圆 C：x2＋y2－4x＝0，l 是过点 P(3，0)的直线，则( )
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法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为 C(2，1)，半径 r＝2.
圆心 C(2，1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
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(1)当 d<2 时，即 m>0 或 m<－43时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； (2)当 d＝2 时，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切，即直线与 圆只有一个公共点； (3)当 d>2 时，即－43<m<0 时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点．
人教A版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系 课件
课堂小结
1、通过本课学习，应知道直线与圆有三种位置关系。
2、会根据数量关系和几何关系来判断直线与圆的位置 关系。
3、掌握切线的最基本的判定方法：d=r，会求圆的切 线；注意讨论直线的斜率； 4、掌握直线被圆所截的得弦长求法： ⑴几何法：用弦心距，半径及半径构成
直角三角形的三边 ⑵代数法：弦长公式：
y
受台风影响的圆形区域的圆的方程：
x2+y2=9 轮船航线所在直线的方程为：
4x+7y-28=0
港口
轮船
O
x
问题归结为：圆与直线有无公共点？
直线与圆的位置关系
观察与思考
观察上面五条直线与圆的位置情况， 归纳一下共有几种不同的位置关系？
直线和圆的位置关系
r
d EC F
直线 l与⊙A
相交 d ＜r
两个公共点
z x y的最大值。
解：z x y y x z表示斜率为1，纵截距 为z,且与圆有交点的一系列平行直线。
问题转化为：过圆上一 动点P作斜率为 1的直线， 求此直线的纵截距的最 大值。
由图可知满足条件的直 线为圆的切线 (设切点为 T )。
下面求该切线的纵截距：
设切线l的纵截距为z0，则l的方程为：x
8.已知圆与直线相交（设直线不过圆心），圆半
径为r，圆心C到直线l的距离为d(d>0)，讨论圆上
到直线距离为a(a>0)的点的个数。
解：当0<a<r-d时，4个（每段弧上各两个）；
当a= r-d时，3个(其中1个是点B，
另两个点在优弧上)；
y
l
当r-d<a<r+d时，2个(都在
A
优弧上)；
人教A版高中数学必修二课件：第四章 4.2 4.2.3直线、圆的位置关系(共56张PPT)
时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命 才真正开始。