高考数学参数方程和普通方程的互化练习

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高考数学参数方程和普通方程的互化练习(20200616214926)

得
化为以为参数的参数方 ,
解得
∴参数方程为
（为参数）
∵
与
可以省略一个。
表示的是同一曲线 ,
所以它们是等价的 ,
∴所求参数方程
例 6 化双曲线
为参数方程。
解：设
,
代入
为,
得
∴
的参数方程为
（为参数 ,
）
这是同学中较为常见的解法 , 出来。
这种解法是错误的 ,
那么错在哪里呢？请你找
错误在于 ,
双曲线
,
）是增解．
例 2 化直线的普通方程）
为参数方程（其中倾斜角
满足
且
解法一：因
,
,
故
∴
设
。取为参数 ,
则得所求参数方程
解法二：如图 ,
点．因动点 M与
的数量
（
）为直线上的定点 ,
为直线上的动
一一对应（当 M在的向上方向或正右方时 ,
；当 M在的下方或正左方时 ,
）,
故取
为参数．
；当 M与重合时 ,
）
∵
∴
即
的最大值是
,
最小值是－
。
点拨：这个题虽然很简单 ,
但它说明了一个道理：曲线的参数方程不仅表示了曲
线,
同时也表示了曲线上的点的坐标．当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时
,
实际上起到了消元的作用 ,
即用一个参数表示了
、,
因此 ,
在
求某些几何量的最值时 ,
参数方程可以起到一元化即消元的作用．
例 12 过点 M（ 2, 1 ）作曲线
则有
∴ M 点坐标为：

高中数学参数方程与普通方程的互化练习题含答案

高中数学参数方程与普通方程的互化练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知曲线C 的参数方程为{x =3ty =2t 2+1（t 为参数），则点M 1(0, 1)，M 2(5, 4)与曲线C的位置关系是（） A.M 1在曲线C 上，但M 2不在 B.M 1不在曲线C 上，但M 2在 C.M 1，M 2都在曲线C 上 D.M 1，M 2都不在曲线C 上2. 参数方程{x =−3+2cos θy =1+2sin θ（θ为参数）化为普通方程是（）A.(x −1)2+(y +3)2=1B.(x +3)2+(y −1)2=4C.(x −2)2+(y +2)2=4D.x +y −2=03. 与普通方程x 2+y −1=0等价的参数方程为（t 为参数）（） A.{x =sin t y =cos 2t B.{x =tan ty =1−tan 2t C.{x =√1−t y =t D.{x =cos t y =sin 2t4. 已知点P(x, y)在曲线{x =−2+cos θy =sin θ(θ为参数，且θ∈[π, 2π)）上，则点P 到直线{x =2+t y =−1−t （t 为参数）的距离的取值范围是（） A.[−3√22, 3√22] B.[3√22−1, 3√22+1] C.(√2, 2√2] D.(√2, 3√22+1]5. 在曲线{x =sin 2θy =cos θ+sin θ(θ为参数)上的点是（）A.(12，−√2) B.(−34，12)C.(2,√3)D.(1,√3)6. 在平面直角坐标系内，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，直线l 的参数方程是{x =−3+√32ty =2+√32t （t 为参数）．若M ，N 分别为曲线C 与直线l 上的动点，则|MN|的最小值为（） A.√2+1 B.3√2−1 C.√2−1 D.3√2−27. 方程{x =sin θy =cos θ（θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标是（）A.(2,7)B.(13,23)C.(12,12)D.(1,0)8. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =ty =4+t （t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4√2sin (θ+π4)，则直线l 和曲线C 的公共点有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个9. 下列那些点既在曲线C 1:{x =√5cos θy =sin θ（0≤θ<π，θ为参数）又在曲线 C 2:{x =54t 2y =t（t ∈R ，t 为参数）上（） A.(1, 2√55) B.(−1, ±2√55) C.(1, 2√55) D.(1, ±2√55)10. 若直线y =x −b 与曲线{x =2+cos θy =sin θ(θ∈[0, 2π)）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（）A.(2−√2，1)B.[2−√2，2+√2]C.(−∞,2−√2)∪(2+√2,+∞)D.(2−√2，2+√2)11. 参数方程{x =3t 2+3y =t 2−1(0≤t ≤5)表示的曲线（形状）是________．12. （坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程是{x =2+√2cos θy =√2sin θ（θ为参数），则该曲线的普通方程为________．13. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为ρcos θ=2，它与抛物线{x =8t 2y =8t （t 为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=________．14. 已知直线{x =√32t y =1+12t （t 为参数）与抛物线x 2=y 交于A 、B 两点，则线段AB 的长是________．15. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1:{x =2t +2y =1−t（t 为参数）与曲线C 2:{x =a sin θy =3cos θ．(θ为参数，且a >0)有一个公共点在x 轴上，则实数a =________．16. 设抛物线C ：，（t 为参数）的焦点为F ，曲线(s 为参数，k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝________．17. （理）在直角坐标系xOy 中，点M 为曲线C:{x =3+cos θy =sin θ（θ为参数）上一点．O 为坐标原点，则|OM|的最小值为________．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1:{x =1−ty =2t +1（t 为参数）与曲线C 2:{x =2cos θy =b sin θ(θ为参数，b >0)有一个公共点在y 轴，则b =________．19. 曲线C 的参数方程为{x =cos θy =sin θ(θ为参数，0<θ≤π2)，直线l:2x +y +a =0和曲线C 有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．20. 直线{x =2+2ty =−1+t （t 为参数）上对应t =0，t =1两点间的距离是________．21. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t ，y =4−2t(t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=21+cos 2θ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求|PQ| 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =4sin θ（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =2+t sin α’（t 为参数）．求C 和l 的直角坐标方程；若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．23. 在直角坐标系xOy 中，已知点M (1,√32),C 1的参数方程为{x =12+ty =√3t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ .(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线 C 1 与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．24. （本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系rOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cos θ,y =2sin θ(θ为参数）直线Ⅰ的参数方程为{x =a +2t,y =1+t （t 为参数）．(1)若a =1，直线！与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|(2)若a =−3，求曲线C 上的点到直线！的距离的最小值．25. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线I 的参数方程为{x =1+ty =1+√3t （t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2，点P 关于极点对称的点P ′的极坐标为(√2，5π4).(1)写出圆C 的直角坐标方程及点P 的极坐标；(2)设直线I 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．26. 已知曲线C ：x 24+y 29=1，直线l ：{x =2+ty =2−2t(t 为参数）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程.27. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =−2√3+4cos θy =2+4sin θ （θ为参数），直线l的参数方程为{x =−2√3+my =√3m（m 为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若P(−2√3,0)，求1|PM|2+1|PN|2的值．28. 已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为{x =2+2ty =1+4t （t 为参数）．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√2sin (θ+π4)．（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）判断直线l 和圆C 的位置关系．29. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=2√5sin θ．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 坐标为(3, √5)，求|PA|⋅|PB|的值．30. 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：{x =ty =1+2t （t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程：ρ=2cos θ．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线l 和曲线C 的位置关系． 31.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos φ，y =2sin φ（φ为参数，0≤φ≤π），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为φ=4，等边三角形ABC 的顶点都在C 2上，且点A,B,C 依逆时针次序排序，点A 的极坐标为(4,π6)．(1)求点A,B,C 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求点P 到直线BC 的距离的取值范围取值范围．32. 已知直线l 过点P(1,0)，且倾斜角为θ，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=3cos 2θ+3sin 2θ，且直线交曲线C 于A ，B 两点．（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，当θ=π3时，求|AB|的长度；（2）当直线的倾斜角θ变化时，求|PA|⋅|PB|的取值范围．33. （1）点P 是椭圆x 29+y 216=1上的动点，求点P 到直线4x +3y =12的最大距离； 33. （2）已知圆C 的参数方程{x =1+2cos αy =2sin α（α为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ=m ，且直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．34. 已知直线l 经过点P(1, 1)，倾斜角α=π3．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆C:{x =2cos θy =2sin θ（θ为参数）相交于点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积|PA|⋅|PB|．35. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+√5cosφ,y =2+√5sinφ（φ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求曲线C 1普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α(0>α>π),ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，若|AB|=√2，求α的值．36. 曲线C:{x =1ty =1t √t 2−1，直线l:ρcos θ+ρsin θ=a （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围．37. 在同一平面直角坐标系中，曲线C:x 2+y 2=1经过伸缩变换{x′=3x y′=2y 后，变为曲线C′．（1）求曲线C′的方程；（2）求曲线C′上的点到直线x +2y −8=0距离的最小值．38. 直角坐标系中曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点M(0, 1)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点（A 在B 上方），且满足BM =2AM ，求直线l 的方程．39. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =2+t sin α（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P(1, 2)，设圆C 与直线l 交于点A 、B ，求1|PA|+1|PB|的最小值．40. 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．参考答案与试题解析高中数学参数方程与普通方程的互化练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把曲线C的参数方程化为普通方程，验证点M1、M2是否在曲线C上即可．【解答】解：把曲线C的参数方程{x=3ty=2t2+1（t为参数）化为普通方程，得y=2x 29+1；当x=0时，y=1，∴点M1在曲线C上；当x=5时，y=509+1≠4，∴点M2不在曲线C上．故选：A．2.【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】直接消去参数，即可得到普通方程．【解答】解：由题意，2cosθ=x+3，2sinθ=y−1，消去参数θ得，(x+3)2+(y−1)2=4，故选B．3.【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】A．化为普通方程为x2+y−1=0，x∈[−1,1]，y∈[0,1]B．化为普通方程为x2+y−1=0，x∈R，y∈(−∞,1]C．化为普通方程为x2+y−1=0，x∈[0,+∞)，y∈(−∞,1]D．化为普通方程为x2+y−1=0，x∈[−1,1]，y∈[0,1]而已知方程x2+y−1=0，x∈R，y∈(−∞,1]，显然与之等价的方程是B．4.【答案】 D【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】消去参数，转化为普通排除，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：消去参数θ，得曲线的标准方程为(x +2)2+y 2=1，∵ θ∈[π, 2π)，∴ −1≤cos θ<1，即−3≤−2+cos θ<−1，即−3≤x <−1 其图象是圆心为(−2, 0)，半径为1的圆的一部分，消去参数t 得直线的方程为x +y −1=0，则圆心到直线的距离加上半径为所求距离的最大值，即圆心到直线的距离d =|−2−1|√2=3√2=3√22，则距离的最大值为3√22+1，点(−1, 0)到直线的距离最小，此时点(−1, 0)到直线的距离d =√2=√2=√2，但取不到．故点P 到直线的距离的取值范围是(√2, 3√22+1]，故选：D5.【答案】 B【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】先找曲线的普通方程y 2=1+x ，结合选项可找出符合条件的点．【解答】解：曲线{x =sin 2θy =cos θ+sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2=1+xx =sin 2θ≤1结合选项可得x =−34时，y =12满足条件故选：B 6. 【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】将ρ=2cos θ转化为普通方程，将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心(2, 0)到直线l 的距离，由直线与圆的位置关系求出|MN|的最小值．【解答】解：由ρ=2cos θ得，ρ2=2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2=2x ，即x 2+y 2−2x =0，则曲线C 是以(1, 0)为圆心，1为半径的圆，由{x =−3+√32t y =2+√32t 得，x −y +5=0，所以直线l 的直角坐标方程是x −y +5=0，则圆心(1, 0)到直线l 的距离d =2=3√2>1，因为M ，N 分别为曲线C 与直线l 上的动点，所以|MN|的最小值为3√2−1，故选：B ． 7.【答案】 D【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解根据三角函数知识，容易得到普通方程为x 2+y 2=1，代入点的坐标，选D ． 8. 【答案】 B【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵ 直线l 的参数方程为{x =ty =4+t （t 为参数）． ∴ 它的普通方程为：x −y +4=0， ∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4√2sin (θ+π4)， ∴ ρ=4√2(sin θcos π4+cos θsin π4) =4(sin θ+cos θ)，两边同乘以ρ，得 x 2+y 2=4y +4x ，∴ 它的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −2)2=8，它的半径为2√2，圆心为(2, 2)，圆心到直线的距离为d =√2=2√2，∴ 直线l 和曲线C 的公共点有1个．故选：B ． 9.【答案】 C【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】首先，将两个曲线的参数方程化为普通方程，然后，联立方程组，求解其交点即可．【解答】解：由曲线C 1:{x =√5cos θy =sin θ（0≤θ<π，θ为参数），得：x 25+y 2=1，(y ∈[0, 1)）由曲线 C 2:{x =54t 2y =t （t ∈R ，t 为参数），得y 2=45x ，联立方程组，{x 25+y 2=1y 2=45x，得x =1或x =−5（舍去）， ∴ y =±2√55， ∵ y ∈[0, 1)，两个曲线的交点坐标为(1, 2√55)，故选：C ．10. 【答案】 D【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】由题意将参数方程化为普通方程，因为直线与圆有两个不同的交点，可得√2<1，从而求出b 的范围；【解答】解：{x =2+cos θy =sin θ化为普通方程(x −2)2+y 2=1，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以2<1解得2−√2<b <2+√2法2：利用数形结合进行分析得|AC|=2−b =√2，∴ b =2−√2同理分析，可知2−√2<b <2+√2．故选D ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 11.【答案】线段【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】参数方程化为普通方程，即可得出结论．【解答】解：参数方程{x =3t 2+3y =t 2−1(0≤t ≤5)，化为普通方程为x −3y +6=0(0≤x ≤78)，∴ 参数方程{x =3t 2+3y =t 2−1(0≤t ≤5)表示的曲线（形状）是线段．故答案为：线段． 12.【答案】(x −2)2+y 2=2 【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】在曲线C 的参数方程中，用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程．【解答】解：曲线C 的参数方程是{x =2+√2cos θy =√2sin θ（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程为 (x −2)2+y 2=2，故答案为 (x −2)2+y 2=2． 13.【答案】 8【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】先把直线的极坐标方程化为普通范方程，再代入抛物线方程中，求出交点A 、B ，即得|AB|．【解答】解：直线的极坐标方程为ρcos θ=2，化为普通范方程是x =2，把x =2代入抛物线方程{x =8t 2y =8t （t 为参数）中，求得t =±12，∴ y =±4；∴ 交点A(2, 4)、B(2, −4)， ∴ |AB|=|−4−4|=8；故答案为：8． 14. 【答案】2√133【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把直线{x =√32t y =1+12t （t 为参数）代入抛物线x 2=y ，化为3t 2−2t −4=0．再利用根与系数的关系、参数的几何意义、弦长公式即可得出．【解答】解：把直线{x =√32t y =1+12t（t 为参数）代入抛物线x 2=y ，化为3t 2−2t −4=0．∴ t 1+t 2=23，t 1t 2=−43．∴ |AB|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√(23)2−4×(−43)=2√133．故答案为：2√133． 15.【答案】4【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】求出曲线C 1的普通方程为x +2y −4=0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2a2+y 29=1，由曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，得在x +2y −4=0上，y =0时，x =4，从而曲线C 2:x 2a 2+y 29=1过点(4, 0)，由此能求出结果．【解答】解：∵ 曲线C 1:{x =2t +2y =1−t（t 为参数）∴ 曲线C 1的普通方程为x +2y −4=0， ∵ 曲线C 2:{x =a sin θy =3cos θ．(θ为参数，且a >0)，∴曲线C2的直角坐标方程为x2a2+y29=1，联立{x+2y−4=0x2a+y29=1，∵曲线C1:{x=2t+2y=1−t（t为参数）与曲线C2:{x=a sinθy=3cosθ．(θ为参数，且a>0)有一个公共点在x轴上，在x+2y−4=0上，y=0时，x=4，∴曲线C2:x2a +y29=1过点(4, 0)，∵a>0，∴a=4．故答案为：4．16.【答案】2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把参数方程化为普通方程，利用抛物线的简单性质求出焦点F的坐标，再求出两条曲线的交点P的坐标，根据PF⊥x轴，求得k的值．【解答】抛物线C：，（t为参数）的焦点为F，即y2＝4x，它的焦点为F(1, 0)，曲线(s为参数，k>0)，即y，它与C交于点P(,)．∵PF⊥x轴，则1，∴k＝2，17.【答案】2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把曲线C的坐标代入两点间的距离公式，求出|OM|的取值范围，即得最小值．【解答】解：根据题意，得|OM|=√x2+y2=√(3+cosθ)2+sin2θ=√9+6cosθ+cos2θ+sin2θ=√10+6cosθ；∵−1≤cosθ≤1，∴4≤10+6cosθ≤16；∴2≤√10+6cosθ≤4，∴|OM|的最小值为2．故答案为：2．18.【答案】 3【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】曲线C 1:{x =1−ty =2t +1（t 为参数），消去参数化为：2x +y −3=0．由曲线C 2:{x =2cos θy =b sin θ(θ为参数，b >0)，利用cos 2θ+sin 2θ=1化为直角坐标方程．直线与曲线C 2有一个公共点在y 轴，公共点为(0, 3)．代入曲线C 2方程即可得出．【解答】解：曲线C 1:{x =1−ty =2t +1（t 为参数），消去参数化为：2x +y −3=0．曲线C 2:{x =2cos θy =b sin θ(θ为参数，b >0)，化为：x 24+y 2b 2=1．∵ 直线与曲线C 2有一个公共点在y 轴，∴ 公共点为(0, 3)．代入曲线C 2方程可得：b 2=9，b >0，解得b =3．故答案为：3． 19. 【答案】(−√5, −2) 【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】先求出曲线C 的普通方程为x 2+y 2=1，x ∈[0, 1), y ∈(0, 1]，它的图象是以(0, 0)为圆心，以1为半径的圆在第一象限部分，作出曲线C 图象如右图，过(1, 0)，斜率为−2的直线方程是2x +y −2=0，它与曲线C 有一个交点，联立{x 2+y 2=12x +y +a =0，得5x 2+4ax +a 2−1=0，由直线l:2x +y +a =0和曲线C 有两个公共点，得−√5<a <√5，直线2x +y −√5=0与曲线C 相切，只有一个交点，作出图象，利用数形结合思想能求出实数a 的取值范围．【解答】解：∵ 曲线C 的参数方程为{x =cos θy =sin θ(θ为参数，0<θ≤π2)，∴曲线C的普通方程为x2+y2=1，x∈[0, 1), y∈(0, 1]，曲线C是以(0, 0)为圆心，以1为半径的圆在第一象限部分，作出曲线C图象如右图，直线l:2x+y+a=0的斜率k=−2，曲线C与y轴交于(0, 1)，与x轴接近于(1, 0)，过(0, 1)，斜率为−2的直线方程是2x+y−1=0，它与曲线C有一个交点，过(1, 0)，斜率为−2的直线方程是2x+y−2=0，它与曲线C有一个交点，联立{x2+y2=12x+y+a=0，得5x2+4ax+a2−1=0，∵直线l:2x+y+a=0和曲线C有两个公共点，∴△=16a2−20a2+20>0，解得−√5<a<√5，直线2x+y−√5=0与曲线C相切，只有一个交点，作出图象，观察图象得到当直线l介于2x+y−2=0和2x+y−√5=0之间时，直线l:2x+y+a=0和曲线C有两个公共点，∴实数a的取值范围是(−√5, −2)．故答案为：(−√5, −2)．20.【答案】√5【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】首先，将t=0，t=1代人，得到两个点，然后，利用两点间的距离公式求解．【解答】解：∵直线{x=2+2ty=−1+t（t为参数），将t=0，t=1代人，得(2, −1)，(4, 0)，∴该两点之间的距离为：√(2−4)2(−1−0)2=√5，故答案为：√5．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：(1)直线l的普通方程为y=4−2x，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y22=1；(2)曲线C的参数方程为{x=cosα，y=√2sinα.设点Q的坐标为(cosβ,√2sinβ)，|PQ|≥√2sinβ−4|√5≥√6√5=4√5−√305，故|PQ|的最小值为4√5−√305．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)直线l的普通方程为y=4−2x，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y22=1；(2)曲线C的参数方程为{x=cosα，y=√2sinα.设点Q的坐标为(cosβ,√2sinβ)，|PQ|≥√2sinβ−4|√5≥√6√5=4√5−√305，故|PQ|的最小值为4√5−√305．22.【答案】曲线C的直角坐标方程为x 24+y216=1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanα⋅x+2−tanα；当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．−2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】略将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得到关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t−8=0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+ t2=0．又由①得t1+t2=−4(2cosα+sinα)1+3cosα，故2cosα+sinα=0，于是直线l的斜率k=tanα=−2．23. 【答案】解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t ，y =√3t （t 为参数），消去参数可得y =√3x −√32．由曲线C 2的极坐标方程为3ρ=2+cos 2 θ，得2ρ2+ρ2cos 2 θ=3，所以C 2的直角坐标方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M (1,√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t ，y =√32+√32t （t 为参数），代入3x 2+2y 2=3化简可得3t 2+8t +2=0．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】无无【解答】解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t ，y =√3t （t 为参数），消去参数可得y =√3x −√32．由曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2 θ，得2ρ2+ρ2cos 2 θ=3，所以C 2的直角坐标方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M (1,√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t ，y =√32+√32t（t 为参数），代入3x 2+2y 2=3化简可得3t 2+8t +2=0．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．24. 【答案】【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】【解答】 25.【答案】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x 2+y 2=4；点P 关于极点对称的点P ′的极坐标为(√2，5π4)，则P(√2,π4)； (2)点P 化为直角坐标为P(1, 1) 将{x =1+t y =1+√3t 代入x 2+y 2=4，得4t 2+(2+2√2)t −2=0，则|t 1t 2|=12，所以，点P 到A 、B 两点的距离之积为12．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法写出圆C 的直角坐标方程；利用点P 关于极点对称的点P ′的极坐标为(√2，5π4)，得到点P 的极坐标；（2）设直线I 与圆C 相交于两点A 、B ，将{x =1+t y =1+√3t 代入x 2+y 2=4，得：|t 1t 2|=12，即可求点P 到A 、B 两点的距离之积．【解答】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x 2+y 2=4；点P 关于极点对称的点P ′的极坐标为(√2，5π4)，则P(√2,π4)；(2)点P 化为直角坐标为P(1, 1) 将{x =1+t y =1+√3t 代入x 2+y 2=4，得4t 2+(2+2√2)t −2=0，则|t 1t 2|=12，所以，点P 到A 、B 两点的距离之积为12．26. 【答案】解：由题意得，曲线C ：x 24+y 29=1，∴ 曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =3sin θ(θ为参数)∵ 直线l ：{x =2+ty =2−2t (t 为参数)，∴ 直线l 的普通方程为2x +y −6=0. 【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，曲线C ：x 24+y 29=1，∴ 曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =3sin θ(θ为参数)∵ 直线l ：{x =2+ty =2−2t (t 为参数)，∴ 直线l 的普通方程为2x +y −6=0. 27. 【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =−2√3+4cos θy =2+4sin θ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x +2√3)2+(y −2)2=16，整理得x 2+y 2+4√3x −4y =0 .根据 {x =ρcos θ，y =ρsin θ，ρ2=x 2+y 2，，转换为极坐标方程为ρ=4sin θ−4√3cos θ．(2)直线l 的参数方程为{x =−2√3+my =√3m，转换为直线的标准参数式为 {x =2√3+12ty =√32t（t 为参数）代入圆的直角坐标方程为t 2−2√3t −12=0 . 所以t 1+t 2=2√3,t 1t 2=−12，所以1|PM|2+1|PN|2=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2(t 1t 2)2=12+24122=14.【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2√3+4cos θy =2+4sin θ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x +2√3)2+(y −2)2=16，整理得x 2+y 2+4√3x −4y =0 .根据 {x =ρcos θ，y =ρsin θ，ρ2=x 2+y 2，，转换为极坐标方程为ρ=4sin θ−4√3cos θ．(2)直线l 的参数方程为{x =−2√3+my =√3m，转换为直线的标准参数式为 {x =2√3+12ty =√32t （t 为参数）代入圆的直角坐标方程为t 2−2√3t −12=0 . 所以t 1+t 2=2√3,t 1t 2=−12，所以1|PM|2+1|PN|2=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2(t 1t 2)2=12+24122=14．28.【答案】解：（1）消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y =2x −3； ρ=2√2(sin θ+π4)，即ρ=2(sin θ+cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：(x −1)2+(y −1)2=2 （2）圆心C 到直线l 的距离d =√22+12=2√55<√2，所以直线l 和⊙C 相交．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）消去参数t得到直线l的直角坐标方程，再利用ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ= y，将圆的极坐标方程化成圆的直角坐标方程；（2）利用圆心C到直线l的距离d与半径r进行比较，即可判定直线l和⊙C的位置关系．【解答】解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x−3；ρ=2√2(sinθ+π4)，即ρ=2(sinθ+cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ)，消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：(x−1)2+(y−1)2=2（2）圆心C到直线l的距离d=22=2√55<√2，所以直线l和⊙C相交．29.【答案】（1）∵ρ=2√5sinθ，∴ρ2=2√5ρsinθ，所以，圆C的直角坐标方程为x2+y2−2√5y=0，即x2+(y−√5)2=5，（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t2−3√2t+4=0，解得t=√2，或t=2√2代入直线l的参数方程得，{x=2y=√5+1或{x=1y=√5+2所以A，B的坐标为(2, √5+1)，(1, √5+2)，∵点P坐标为(3, √5)，∴|PA|⋅|PB|=√(3−2)2+(√5−√5−1)2⋅√(3−1)2+(√5−√5−2)2=4【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，求出A，B点的坐标，根据两点间的距离公式计算即可．【解答】（1）∵ρ=2√5sinθ，∴ρ2=2√5ρsinθ，所以，圆C的直角坐标方程为x2+y2−2√5y=0，即x2+(y−√5)2=5，（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t2−3√2t+4=0，解得t=√2，或t=2√2代入直线l的参数方程得，{x=2y=√5+1或{x=1y=√5+2所以A，B的坐标为(2, √5+1)，(1, √5+2)，∵点P坐标为(3, √5)，∴|PA|⋅|PB|=√(3−2)2+(√5−√5−1)2⋅√(3−1)2+(√5−√5−2)2=4 30.【答案】解：（1）直线l的参数方程：{x=ty=1+2t（t为参数），消去参数t，可得直线为y=2x+ 1；曲线C的极坐标方程：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+ y2，∴曲线C为：x2+y2=2x，（2）x2+y2=2x，圆C的圆心(1, 0)半径1，则圆心到直线距离d=√5>1直线l和曲线C的位置关系相离【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）消去此时t即可将直线l的参数方程化为普通方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）利用（1）通过圆心到直线的距离与半径比较，即可判断直线l和曲线C的位置关系．【解答】解：（1）直线l的参数方程：{x=ty=1+2t（t为参数），消去参数t，可得直线为y=2x+ 1；曲线C的极坐标方程：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+ y2，∴曲线C为：x2+y2=2x，（2）x2+y2=2x，圆C的圆心(1, 0)半径1，则圆心到直线距离d=√5>1直线l和曲线C的位置关系相离31.【答案】解：(1)由x=φcosθ，y=φsinθ得点A的直角坐标为A(2√3,2)．由题意得点B的极坐标为(4,5π6)，点C的极坐标为(4，32π)，所以点B的直角坐标方程为B(−2√3,2)，点C的直角坐标为C(0,−4).(2)由(1)得直线BC的方程为√3+y+4.设点P(cosφ，2sinφ)(0≤φ≤π)，则点P到直线BC的距离d=|√7sin(φ+θ)+4|2(其中cosθ=√7sinθ=√3√7).因为0≤φ≤π，所以θ≤φ+θ≤π+θ，所以√3√7≤sin(θ+φ)≤1,所以d∈[4−√32，4+√72].【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用,考查转化与化归能力、运算求解能力【解答】解：(1)由x=φcosθ，y=φsinθ得点A的直角坐标为A(2√3,2)．由题意得点B的极坐标为(4,5π6)，点C的极坐标为(4，32π)，所以点B的直角坐标方程为B(−2√3,2)，点C的直角坐标为C(0,−4).(2)由(1)得直线BC的方程为√3+y+4.设点P(cosφ，2sinφ)(0≤φ≤π)，则点P到直线BC的距离d=|√7sin(φ+θ)+4|2(其中cosθ=√7sinθ=√3√7).因为0≤φ≤π，所以θ≤φ+θ≤π+θ，所以√3√7≤sin(θ+φ)≤1,所以d∈[4−√32，4+√72].32.【答案】解：（1）曲线C的普通方程为x 23+y2=1．当θ=π3时，直线l的参数方程为{x=1+12ty=√32t，（t为参数），将l的参数方程代入x 23+y2=1中，得5t2+2t−4=0，则t1+t2=−25，t1t2=−45，所以|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=2√215．（2）把直线l的参数方程代入x 23+y2=1中，得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cosθt−2=0，|PA|⋅|PB|=|t1∥t2|=2cos2θ+3sin2θ=21+2sin2θ，0≤sin2θ≤1，23≤|PA|⋅|PB|≤2，所以|PA|⋅|PB|的取值范围是[23,2]．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）曲线C的普通方程为x 23+y2=1．当θ=π3时，直线l的参数方程为{x=1+12ty=√32t，（t为参数），将l的参数方程代入x 23+y2=1中，得5t2+2t−4=0，则t1+t2=−25，t1t2=−45，所以|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=2√215．（2）把直线l的参数方程代入x 23+y2=1中，得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cosθt−2=0，|PA|⋅|PB|=|t1∥t2|=2cos2θ+3sin2θ=21+2sin2θ，0≤sin2θ≤1，23≤|PA|⋅|PB|≤2，所以|PA|⋅|PB|的取值范围是[23,2]．33.【答案】解：（1）由题意，设点P的坐标为(3cosθ, 4sinθ)，则点P到直线4x+3y=12的距离是d=|4×3cosθ+3×4sinθ−12|5=|12√2sin(θ+π4)−12|5；当sin(θ+π4)=−1时，点P到直线4x+3y=12的最大距离为12√2+125；（2）圆C的标准方程是(x−1)2+y2=4，直线l的直角坐标方程为2x+y=m；∵直线l与圆C相切，∴√5=2，解得m=2±2√5；∴实数m的值为2±2√5．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由题意，设出点P的坐标，求出P到直线4x+3y=12的距离d最大值；（2）把圆C、直线l化为直角坐标方程，由直线l与圆C相切，d=r，求出m的值．【解答】解：（1）由题意，设点P的坐标为(3cosθ, 4sinθ)，则点P 到直线4x +3y =12的距离是 d =|4×3cos θ+3×4sin θ−12|5=|12√2sin (θ+π4)−12|5；当sin (θ+π4)=−1时，点P 到直线4x +3y =12的最大距离为12√2+125；（2）圆C 的标准方程是(x −1)2+y 2=4，直线l 的直角坐标方程为2x +y =m ； ∵ 直线l 与圆C 相切， ∴√5=2，解得m =2±2√5；∴ 实数m 的值为2±2√5． 34. 【答案】解：（1）直线l 的参数方程为{x =1+t cos π3y =1+t sin π3即{x =1+12ty =1+√32t．（2）圆C:{x =2cos θy =2sin θ的普通方程为x 2+y 2=4．把直线{x =1+12ty =1+√32t代入x 2+y 2=4，得t 2+(√3+1)t −2=0， ∴ t 1t 2=−2．即点P 到A 、B 两点的距离之积为2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由直线l 经过点P(1, 1)，倾斜角α=π3，可写出直线l 的参数方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的方程和利用参数的几何意义即可得出．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为{x =1+t cos π3y =1+t sin π3即{x =1+12ty =1+√32t．（2）圆C:{x =2cos θy =2sin θ的普通方程为x 2+y 2=4．把直线{x =1+12ty =1+√32t代入x 2+y 2=4，得t 2+(√3+1)t −2=0， ∴ t 1t 2=−2．即点P 到A 、B 两点的距离之积为2． 35.【答案】【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答 36.【答案】解：（1）将曲线C 的两式平方相加可得，曲线C 的普通方程为：x 2+y 2=1(xy >0或y =0)，由x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得直线l 的普通方程为：x +y =a ．（2）当直线和圆相切时， d =2=1，解得a =±√2，当直线经过点(1, 0)时，a =1，当直线经过点(−1, 0)时，a =−1，由直线l 与曲线C 有公共点，则a ∈[−√2, −1]∪[1, √2]．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）将曲线C 的两式平方相加可得，曲线C 的普通方程，注意范围；由x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得直线l 的普通方程；（2）求得直线和圆相切的a 值，以及直线过点(−1, 0)，(1, 0)，可得a 值，结合直线和曲线有交点，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）将曲线C 的两式平方相加可得，曲线C 的普通方程为：x 2+y 2=1(xy >0或y =0)，由x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得直线l 的普通方程为：x +y =a ．（2）当直线和圆相切时， d =√2=1，解得a =±√2，当直线经过点(1, 0)时，a =1，当直线经过点(−1, 0)时，a =−1，由直线l 与曲线C 有公共点，则a ∈[−√2, −1]∪[1, √2]． 37. 【答案】解：（1）由x 2+y 2=1、{x′=3x y′=2y ，可得曲线C′的方程为：(x′3)2+(y′2)2=1，化简得：x′29+y′24=1．（2）因为椭圆的参数方程为 {x′=3cos θy =2sin θ （θ为参数），所以可设点M 的坐标为 (3cos θ, 2sin θ)．由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d =√5=√5，由三角函数性质知，当 θ−α=0时，d 取最小值为 3√55．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由条件可得曲线C′的方程为：(x′3)2+(y′2)2=1，化简可得结果．（2）根据椭圆的参数方程为 {x′=3cos θy =2sin θ，可设点M 的坐标为 (3cos θ, 2sin θ)．求得点M 到直线的距离为d =5=5，根据余弦函数的值域求得d 的最小值．【解答】解：（1）由x 2+y 2=1、{x′=3x y′=2y ，可得曲线C′的方程为：(x′3)2+(y′2)2=1，化简得：x′29+y′24=1．（2）因为椭圆的参数方程为 {x′=3cos θy =2sin θ （θ为参数），所以可设点M 的坐标为 (3cos θ, 2sin θ)．由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d =√5=√5，由三角函数性质知，当 θ−α=0时，d 取最小值为 3√55． 38. 【答案】解：（1）由曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数），可得：曲线C 的直角坐标方程为：x 216+y 29=1．（2）设直线l 的参数方程为：{x =t cos αy =1+t sin α（α为参数）代入曲线C 的方程有：(7sin 2α+9)t 2+32t sin α−128=0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 2=−2t 1，则t 1+t 2=−32sin α9+7sin 2α=−t 1，t 1t 2=−1289+7sin 2α=−2t 12，∴ sin 2α=1，∴ 直线l 的方程为：x =0．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1，可得曲线C 的直角坐标方程．（2）设直线l 的参数方程为：{x =t cos αy =1+t sin α（α为参数）代入曲线C 的方程有：。

高考数学 212参数方程和普通方程的互化知能提升演练

第2课时参数方程和普通方程的互化一、选择题1．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)，则曲线的普通方程为( )．A ．y 2＝1＋xB ．y 2＝1－xC ．y 2＝1－x (－2≤y ≤2)D ．以上都不对答案 C2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )．A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1答案 A3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t21＋t2，y ＝2t 1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )．A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又∵x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1，故选D.答案 D4．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为 ( )．A.π6或5π6 B.π4或3π4C.π3或2π3D ．－π6或－5π6答案 A 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________．答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2，y >0)6．令x ＝t ，t 为参数，则曲线4x 2＋y 2＝4(0≤x ≤1，0≤y ≤2)的参数方程为________．答案 ⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)7．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为直角坐标方程是________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.答案 (x －1)2＋y 2＝15－18．(2009·天津高考)设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2的距离为________．解析由题意得直线l 1的普通方程为3x －y －2＝0，故它与l 2的距离为|4＋2|10＝3105. 答案3105三、解答题9．设y ＝tx (t 为参数)，求圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程．解把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得 (1＋t 2)x 2－4tx ＝0，解得x ＝4t 1＋t 2，∴y ＝tx ＝4t21＋t2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t2(t 为参数)，这就是圆的参数方程．10．两曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t 2，y ＝－4t 2(t 为参数)，求它们的交点坐标．解将两曲线的参数方程化为普通方程，得x 29＋y 216＝1，y ＝43x (x ≤0)．联立解得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22.11．(普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008·海南·宁夏高考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程．C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解 (1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22，联立消元得2x2＋22x＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。

参数方程与普通方程的互化及应用(含答案)

参数方程与普通方程的互化及应用典题探究例1：椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)例2：参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21) C.双曲线的一支，这支过(-1，21)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)例3:在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)例4：下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1 D .⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1演练方阵A 档（巩固专练）1．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化成直角坐标方程为( )A.()2224x y ++= B.()2224x y +-= C.()2224x y -+= D.()2224x y ++=2.极坐标cos()4πρθ=-表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆3.在极坐标系中，与圆4sin ρθ=相切的条直线的方程是( )A. sin 2ρθ=B. cos 2ρθ=C. cos 2ρθ=-D. cos 4ρθ=- 4．24sin52p θ=表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线5．极坐标方程24sin 3θ=表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆 D .抛物线6．求曲线22xt yt⎧=⎨=-⎩（为参数）与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数）的交点．7．化直线的普通方程00tan (x )y y x α-=-为参数方程(倾斜角满足0α≠且2πα≠）8．求椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程．9．用圆上任一点的半径与x 轴正方向的夹角为参数，把圆2220x y x +-=化为参数方程。

第二讲一第三课时参数方程和普通方程的互化(优秀经典课时作业及答案详解)

[课时作业] [A 组基础巩固]1．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A. 答案：A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线解析：x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin 2θ∈[0,1]，∴x ＋y ＝1，(x ∈[0,1])为线段．答案：C3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t2y ＝2t 2＋1 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1y ＝4t ＋1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2t －1 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋1 解析：由y ＝2x ＋1知x ，y 可取全体实数，故排除A 、D ，在B 、C 中消去参数t ，知C 正确．答案：C4．下列各组方程中，表示同一曲线的是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝1tan θ⎝⎛⎭⎫θ为参数且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2与xy ＝1 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝b sin θ(θ为参数且a ≠0)与y ＝b a xD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞0，b ＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与x 2a 2＋y 2b 2＝1解析：A 中前者x ＞0，y ＞0，后者x ，y ∈R ，xy ≠0；C 中前者x ∈[－|a |，|a |]，y ∈[－|b |，|b |]，后者无此要求；D 中若0≤θ＜2π，则二者相同．答案：B5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋21－t ，y ＝2t －1＋2－t (t 为参数且t ∈R)代表的曲线是( ) A ．直线 B ．射线 C ．椭圆D ．双曲线解析：∵x ＝2t ＋21－t ＝2－t (22t ＋2)，y ＝2t －1＋2－t ＝2－t (22t －1＋1)＝12×2－t (22t ＋2)，∴y ＝12x ，且x ≥22，y ≥2，故方程表示的是一条射线．答案：B6．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)的普通方程是________，与x 轴交点的直角坐标是________．解析：由y ＝t 2－1，得t 2＝y ＋1，代入x ＝3t 2＋2，可得x －3y －5＝0，又x ＝3t 2＋2，所以x ≥2，当y ＝0时，t 2＝1，x ＝3t 2＋2＝5，所以与x 轴交点的坐标是(5,0)．答案：x －3y －5＝0(x ≥2) (5,0)7．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)8．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析：易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.答案：(x －1)2＋y 2＝15－19．化普通方程x 2＋y 2－2x ＝0为参数方程．解析：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y ＝kx ，选择直线的斜率k 为参数，不同的k 值，对应着不同的点(异于原点)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝kx ，故(1＋k 2)x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝21＋k 2. 将x ＝21＋k 2代入y ＝kx 中，得y ＝2k 1＋k 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋k 2，y ＝2k1＋k2(k 为参数)是原曲线的参数方程．10．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ(sin θ＋cos θ)，y ＝sin θ(sin θ＋cos θ)(θ为参数)表示什么曲线？解析：显然y x ＝tan θ，则y 2x 2＋1＝1cos 2θ，cos 2θ＝1y2x 2＋1，x ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝12sin 2θ＋cos 2θ＝12×2tan θ1＋tan 2θ＋cos 2θ，即x ＝12×2y x 1＋y 2x 2＋11＋y 2x2， x ⎝⎛⎭⎫1＋y 2x 2＝y x ＋1，得x ＋y 2x ＝x ＋y x，即x 2＋y 2－x －y ＝0.该参数方程表示圆．[B 组能力提升]1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 21＋t 2，y ＝5－t21＋t2(t 为参数)表示的图形为( )A ．直线B ．圆C ．线段(但不包括右端点)D ．椭圆解析：从x ＝3t 21＋t 2中解得t 2＝x 3－x ，代入y ＝5－t 21＋t 2中，整理得到2x ＋y －5＝0.但由t 2＝x 3－x ≥0解得0≤x <3.所以化为普通方程为2x ＋y －5＝0(0≤x <3)，表示一条线段，但不包括右端点．答案：C2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2t ＋sin 2t ，y ＝cos t ＋sin t (t 为参数)表示的曲线( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2t ＋sin 2t ，y ＝cos t ＋sin t⇒⎩⎨⎧x ＝12(1－2sin 2t )＋sin 2t ＝12，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，－2≤y ≤ 2，它表示以点⎝⎛⎭⎫12，－2和点⎝⎛⎭⎫12，2为端点的线段，故关于x 轴对称．答案：A3．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，它们的交点坐标为________．解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5＜x ≤ 5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，2554．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________. 解析：直线l 1化为普通方程是y －2＝－k 2(x －1)，该直线的斜率为－k2.直线l 2化为普通方程是y ＝－2x ＋1，该直线的斜率为－2，则由两直线垂直的充要条件，得⎝⎛⎭⎫－k 2·(－2)＝－1，即k ＝－1. 答案：－15．已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2 θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)． (1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解析：(1)证明：方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，∴图象为抛物线．设其顶点为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，消去θ，得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 29＝1.∴不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆x 216＋y 29＝1上的抛物线．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0，弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ ，当cos θ＝－1即θ＝π时，弦长最长为12.6.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护水坝的坝基．如图是运用鼻坝进行挑流的示意图．已知水库的水位与鼻坝的落差为9 m ，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18 m ．求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．解析：建立如图所示的直角坐标系．设轨迹上任意一点为P (x ，y )．由机械能守恒定律，得12m v 2＝mgh .鼻坝出口处的水流速度为v ＝2gh ＝18g . 取时间t 为参数，则有x ＝v t cos 30°＝36g2t ， y ＝v t sin 30°－12gt 2＝32g 2t －12gt 2，所以，挑出水流的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝36g 2t ，y ＝32g 2t －12gt2(t 为参数)，消去参数t ，得y ＝－127x 2＋33x .取y ＝－18，得－127x 2＋33x ＝－18，解得x ＝93＋2732＝183或x ＝93－2732＝－93(舍去)．挑出的水流与坝基的水平距离为 x ＝183≈31.2(m)．挑出水流的轨迹方程为y ＝－127x 2＋33x ，x ∈[0,18 3 ]．。

参数方程化普通方程练习题有答案知识讲解

参数方程化普通方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，∴x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1.答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝13．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12ty ＝t 2，(t 为参数)的形状为____________．解析：因为t ＝2x ，代入y ＝t 2，得y ＝4x 2，即x 2＝14y ，所以曲线C 为抛物线．答案：抛物线4.将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t ，(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)； (3)⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝2－12t ，(t 为参数)；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝1－t 21＋t2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1，代入y ＝1－2t ，得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎨⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ①②①2＋②2得x 225＋（y ＋1）216＝1. (3)由⎩⎨⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎨⎧x －1＝32t y －2＝－12t， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，∴y －2＝－33(x －1)(x ≠1)∴3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2（1＋t 2）2y 2＝1＋t 4－2t 2（1＋t 2）2， ①② ①＋②得x 2＋y 2＝1.5.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．6.把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ－cos θy ＝sin 2θ，(θ为参数)化成普通方程是____________．解析：将x ＝sin θ－cos θ两边平方得x 2＝1－sin 2θ，即sin 2θ＝1－x 2，代入y ＝sin 2θ，得y ＝－x 2＋1. 又x ＝sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，∴－2≤x ≤2，故普通方程为y ＝－x 2＋1(－2≤x ≤2)．答案：y ＝－x 2＋1(－2≤x ≤2)7.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ.，(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值及此时Q 点坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆.2分由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)，则⎩⎨⎧cos θ＝x8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆.5分(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，6分 C 3为直线x －2y －7＝0.7分则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，9分从而当cos φ＝45，sin φ＝35时，d 取得最小值855.11分此时，Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫325，－95.12分 8.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3，0)．9．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．10.化参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，∵－t －3t ≥23，∴t ＋3t＋1≤－23＋1.∴|t ＋3t ＋1|≥23－1，∴d ≥23－15.∵23＋15>23－15， ∴d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．。

参数方程和普通方程的互化

见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2
＝4，11－＋kk222＋1＋2kk22＝1 等．
(2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性．
巩固练习
【反思感悟】考查参数方程与普通方程的互化能力，考查利用参数表示动点轨迹方程的运算能力．
当堂检测
(2010·陕西高考)参数方程xy＝＝1c＋ os sα in α(α 为参数) 化成普通方程为________．
解析 ∵xy＝＝1c＋ os sα in α，cos2α＋sin2α＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.
(2)C1 的普通方程为 xsin α－ycos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，
故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为
x＝12sin2α，
y＝－12sin αcos
(α 为参数)．
α
P 点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116.
故 P 点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．
三．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．
02 【核心扫描】
一．对参数方程化为普通方程的考查是热点．
ห้องสมุดไป่ตู้二．
本课内容常与方程、三角函数结合起来命题．(难点)
名师点睛
参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒
普通方程来判断曲线的类型．
线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问
圆的参数方程
逆时针
x＝rcos y＝rsin

2020年高中数学人教A版选修4-4练习(九) 参数方程和普通方程的互化 Word版含解析

课时跟踪检测(九) 参数方程和普通方程的互化一、选择题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：选C 代入法，将方程化为y ＝x －2，但x ∈[2,3]， y ∈[0,1]，故选C.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线解析：选C x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin 2θ∈[0,1]， ∴x ＋y ＝1，(x ∈[0,1])为线段．3．下列参数方程中，与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t 2(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2ty ＝sin t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝|t |y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos 2t 1＋cot 2t y ＝tan t(t 为参数) 解析：选D A 中y 有限制y ＝t 2≥0；B 中sin 2t 和sin t 都表示在一定范围内；C 中化简不是方程y 2＝x ，而是x 2＝y 且有限制条件；代入化简可知选D.4．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A ．(x －1)2(y －1)＝1B ．y ＝x (x －2)(1－x )2(x ≠1)C ．y ＝1(1－x )2－1(x ≠1) D ．y ＝x1－x 2(x ≠±1) 解析：选B 由x ＝1－1t ，得1t ＝1－x ，由y ＝1－t 2，得t 2＝1－y .所以(1－x )2·(1－y )＝⎝⎛⎭⎫1t 2·t 2＝1，进一步整理得到y ＝x (x －2)(1－x )2(x ≠1)．二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．解析：由于cos 2θ＝1－2sin 2θ，故y ＝1－2x 2，即y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1)．答案：y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1)6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．解析：由直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)，消去参数s 得l 1的普通方程为x －2y －1＝0，由直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)，消去参数t 得l 2的普通方程为ay －2x ＋a ＝0，因为l 1与l 2平行，所以斜率相等，即2a ＝12，1a ≠12，所以a ＝4.答案：47．已知直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为________．解析：直线的普通方程为y ＝3x －43，代入圆的方程，得x 2－6x ＋8＝0，设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6， ∴x 1＋x 22＝3， ∴y 1＋y 22＝33－43＝－ 3. ∴A ，B 的中点坐标为(3，－3)．答案：(3，－3) 三、解答题8．把参数方程⎩⎨⎧x ＝4k 1－k 2，y ＝4k21－k2(k 为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．解：法一：若x ≠0，两式相除，得k ＝yx .代入x ＝4k 1－k 2，整理，得x 2－y 2－4y ＝0(x ≠0)．若x ＝0，则k ＝0，可得y ＝0. 显然点(0,0)在曲线x 2－y 2－4y ＝0上．又由y ＝4k 21－k 2＝－4－4k 2－1，可知y ≠－4.则方程所表示的曲线是双曲线x 2－y 2－4y ＝0，去掉点(0，－4)．法二：由y ＝－4－4k 2－1，知y ≠－4，所以可解得k 2＝yy ＋4，代入x 2的表达式，得 x 2＝16·y y ＋4⎝⎛⎭⎫1－y y ＋42，整理，得 x 2－y 2－4y ＝0(y ≠－4)．则方程所表示的曲线是双曲线x 2－y 2－4y ＝0，除去点(0，－4)．法三：∵x 2＝⎝⎛⎭⎫4k 1－k 22，y 2＝⎝⎛⎭⎫4k 21－k 22，两式相减，并整理，得 x 2－y 2＝(4k )2·(1－k 2)(1－k 2)2.∵1－k 2≠0， ∴x 2－y 2＝(4k )21－k 2＝4y ，即x 2－y 2－4y ＝0.∴方程表示双曲线x 2－y 2－4y ＝0，除去点(0，－4)．9．如图所示，经过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 中点轨迹的普通方程．解：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．在此圆上任取一点P (2cos θ，2sin θ)， PQ 的中点为M (2cos θ，sin θ)，PQ 中点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．化成普通方程为x 24＋y 2＝1.10．化下列参数方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋t ，y ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎨⎧x ＝tan θ＋1tan θ，y ＝1cos θ＋1sin θ⎝⎛⎭⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z .解：(1)变形为⎩⎨⎧x ＝－1＋21＋t ，y ＝2－21＋t，∴x ≠－1，y ≠2， ∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．(2)⎩⎨⎧x ＝1sin θcos θ，①y ＝sin θ＋cos θsin θcos θ，②②式平方结合①，得y 2＝x 2＋2x ，由x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2. ∴普通方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

2020高中数学选修4-4检测：参数方程与普通方程互化(附解析)

1．参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线2．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎨⎧ x ＝t 2y ＝2t 2＋1 B.⎩⎨⎧ x ＝2t －1y ＝4t ＋1 C.⎩⎨⎧ x ＝t －1y ＝2t －1 D.⎩⎨⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋14．下列各组方程中，表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝1tan θ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈），（为参数且20πθθ与xy ＝1B.⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)与⎩⎨⎧x ＝－a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数) C.⎩⎨⎧ x ＝a sin θ，y ＝b sin θ(θ为参数且a ≠0)与y ＝b a x D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞0，b ＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与12222=+by a x5．若直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.6．方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)的普通方程是________，与x 轴交点的直角坐标是________．7．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．8.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．9．化普通方程x 2＋y 2－2x ＝0为参数方程．10．已知两曲线参数方程分别为C 1:⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和 C 2:⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R),求曲线C 1和C 2交点坐标1．参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线解：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A.2．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线解析：x ＝cos 2θ∈[0,1]， y ＝sin 2θ∈[0,1]，∴x ＋y ＝1，(x ∈[0,1])为线段．答案：C 3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎨⎧ x ＝t 2y ＝2t 2＋1 B.⎩⎨⎧ x ＝2t －1y ＝4t ＋1 C.⎩⎨⎧ x ＝t －1y ＝2t －1 D.⎩⎨⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋1 解析：由y ＝2x ＋1知x ，y 可取全体实数，故排除A 、D ，在B 、C 中消去参数t ，知C 正确．答案：C 4．下列各组方程中，表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝1tan θ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈），（为参数且20πθθ与xy ＝1B.⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)与⎩⎨⎧x ＝－a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数) C.⎩⎨⎧ x ＝a sin θ，y ＝b sin θ(θ为参数且a ≠0)与y ＝b a x D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞0，b ＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与12222=+by a x解析：A 中前者x ＞0，y ＞0，后者x ，y ∈R ，xy ≠0；C 中前者x ∈[－|a |，|a |]，y ∈[－|b |，|b |]，后者无此要求；D 中若0≤θ＜2π，则二者相同．答案：B5．若直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，则k ＝________.解析：直线l 1化为普通方程是y －2＝－k 2(x －1)，该直线的斜率为－k2.直线l 2化为普通方程是y ＝－2x ＋1，该直线的斜率为－2，则由两直线垂直的充要条件，得⎪⎭⎫⎝⎛2-k ·(－2)＝－1，即k ＝－1.答案：－16．方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)的普通方程是________，与x 轴交点的直角坐标是________．解析：由y ＝t 2－1，得t 2＝y ＋1，代入x ＝3t 2＋2，可得x －3y －5＝0，又x ＝3t 2＋2，所以x ≥2，当y ＝0时，t 2＝1，x ＝3t 2＋2＝5，所以与x 轴交点的坐标是(5,0)．答案：x －3y －5＝0(x ≥2) (5,0) 7．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)8.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解：易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，求得为5－1.答案：(x －1)2＋y 2＝15－19．化普通方程x 2＋y 2－2x ＝0为参数方程．解析：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y ＝kx ，选择直线的斜率k 为参数，不同的k 值，对应着不同的点(异于原点)，所以⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝kx ，故(1＋k 2)x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝21＋k 2.将x ＝21＋k 2代入y ＝kx 中，得y ＝2k1＋k 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋k 2，y ＝2k1＋k2(k 为参数)是原曲线的参数方程．10．已知两曲线参数方程分别为C 1:⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和 C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R),求曲线C 1和C 2交点坐标为解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5＜x ≤ 5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5521，.答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛5521，。

参数方程与普通方程的互化解答题(2)

1．已知曲线12:1x cost C y sint =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),24:3x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)化12,C C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线2C 的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线1C 于,A B 两点,求AB ．答案：(1) ()()221:211,C x y ++-=圆心是()2,1-,半径是1的圆． 222: 1.169x y C +=中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆；解答：(1)()()222212:211,: 1.169x y C x y C ++-=+= 曲线1C 为圆心是()2,1-,半径是1的圆．曲线2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆．(2)曲线2C 的左顶点为()4,0-,则直线l的参数方程为4x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(s 为参数),将其代入曲线1C 整理可得,240s -+=,设,A B 对应参数分别为12,s s ,则1212 4.s s s s +== 所以12AB s s =-==2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,(2x t t y t=+⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 的参数方程为22tan (2x y tan θθθ⎧=⎨=⎩为参数). (1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求直线l 和曲线C 的公共点的坐标.答案：(1) 220x y --=，22y x =；(2) ()1,1,2,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解答：(1)由直线l 的参数方程为1,(2x t t y t =+⎧⎨=⎩为参数)，得1t x =-，代入2y t =，得直线l 的普通方程为220x y --=. 由曲线C 的参数方程为22tan (2x y tan θθθ⎧=⎨=⎩为参数)，得tan 2y θ=，代入22tan x θ=，得曲线C 的普通方程22y x =.(2)由题意，得22202,x y y x --=⎧⎨=⎩解得11121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩或2222x y =⎧⎨=⎩.故直线l 和曲线C 的公共点的坐标为()1,1,2,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 3．已知曲线1C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),曲线2C 的参数方程为t t 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),且曲线1C 与2C 相交于A,B 两点. (1)求曲线1C , 2C 的普通方程;(2)若点)F ,求FAB ∆的周长.答案： (1) 22142x y +=，y x =； (2)8.解答：(1)将曲线1C 的参数方程消去参数可得:22142x y +=. 曲线2C 的参数方程消去参数可得: y x =+(2)由(1)知点)F 是椭圆1C 的右焦点,且曲线2C 过椭圆1C的左焦点() ,则根据椭圆的定义可得FAB ∆的周长为228a ⨯=.4．已知圆1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(其中θ为参数)和直线2cos :tsin x t l y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(其中t 为参数,α为直线l 的倾斜角).如果直线l 与圆C 有公共点,求α的取值范围.答案：ππ62α≤≤ 解答：圆C 的普通方程为()2211x y -+=,将直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程,得22()30t cos t αα++= ,由题意知这个关于t 的一元二次方程有解,故2410()2cos αα∆=+-≥,即2π3()64sin α+≥,即π6()sin α+≥π6()sin α+≤ 又0απ≤<,故只能是π62()sin α+≥即ππ2π363α≤+≤,即ππ62α≤≤. 5．已知直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数).(1)若在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。

参数方程与普通方程的互化填空题(1)

1．参数方程cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)化成普通方程为________.答案：()2211x y +-=解答：因为()2222,1x cos y sin αα=-=,所以将两式两边分别相加得()2211x y +-=. 2．参数方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为_______.答案：212y x =-,[]1,1x ∈-解答由题意可得2212sin 1y x θ=-=- ,又因[]sin 1,1x θ=∈-,则参数方程化为普通方程为212y x =-,[]1,1x ∈-.3．在平面直角坐标系中,曲线C:2t,21t 2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)的普通方程为_______. 答案：x -y -1=0 解答：直接化简,两式相减消去参数t 得,x -y=1,整理得普通方程为x -y -1=0.4．参数方程()2t tt tx e e y e e--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，(t 是参数)的普通方程为_______ 答案：()2212416x y x -=≥ 解答：2,,2422 2? 22tt t t tt y x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒⇒+-=⎨⎨ ⎪⎪=-⎝⎭⎝⎭⎪⎪-=⎩⎪⎩.5．曲线的参数方程是2111x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， (t 是参数,0t ≠)则它的普通方程为答案：()()()2211x x y x x -=≠-解答：111,1x t t x -==-,而2 1?y t =-,即()()()2221 11?11x x y x x x -⎛⎫=-=≠ ⎪-⎝⎭-. 6．已知抛物线C ：22(2x t y t ⎧=⎨=⎩t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，(),P x y 是线段OM 的中点，则点P 的轨迹普通方程为_______. 答案：()2 0y x x =≠解答：抛物线的普通方程为2 2?y x =,设点() ,?P x y ,点M 为()()111 ,0x y x ≠, 则112,2x x y y ==.∵点 M 在抛物线上,且点 M 与O 不重合,()22440y x y x x =⇒=≠ 7．参数方程sin 2sin cos x y θθθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)表示的曲线的普通方程是__________.答案：()2111y x x =+-≤≤解答：()2222sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 1,y x θθθθθθθθ=+=++=+=+又[]sin 21,1,x θ=∈-∴曲线的普通方程是()2111y x x =+-≤≤.8．将参数方程221,1 x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为__________.答案：()222x y y -=≥解答：由1x t t=+得22212,x t t=++ 又221 ,y t t=+∴22x y =+. ∵2212,t t+≥∴2y ≥. 9．将参数方程1,2(12a x t t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩为参数)转化成普通方程为_______________。

参数方程与普通方程的互化解答题(3)

1．已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为52(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数). (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程.(2)设曲线C 与直线l 相交于P Q ，两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积. 答案：(1) 224x y x +=,50x -=；(2) 解答：(1)对于C 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，进而得224x y x +=.对于l：由5(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数)得)5y x =-，即50x -=. (2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2，0)，半径为2，则弦心距32d ==，弦长PQ ==，因此以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积2S d PQ =⋅=2．在直角坐标系中,曲线C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(φ为参数),直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数). 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P 的极坐标为π2⎫⎪⎭.(1)求点P 的直角坐标,并求曲线C 的普通方程;(2)设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ,求PA PB +的值. 答案：(1) (P ， 221515x y +=；(2)6. 解答：(1)由题意得:点P的横坐标π02x ==,点P的纵坐标π2x ==所以(P ;消去参数φ的曲线C 的普通方程为:221515x y +=；(2)点P 在直线l 上,将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得:2280t t +-=；设其两个根为12,t t ,所以:12122,8t t t t +==-, 由参数t 的几何意义知:126PA PB t t +=-==3．已知曲线22:143x yC +=,直线112:2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)设()1,2M ,直线l 与曲线C 交点为A B 、,试求·MA MB 的值.答案：(1) 20y -+=；(2)2815. 解答：(1)C 的参数方程23x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).())11212:2212x t t x l y t y x ⎧=+⇒=-⎪⎪⎨⎪=+⇒-=-⎪⎩,∴直线l20y -+-=.(2)221 3142122t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,221331441244t t t ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2153704t t +++=,∴(12124328,1515t t t t ++=-=, 1228·15MA MB t t ==. 4．已知直线l的参数方程为1122x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为cos cos21x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(φ为参数),定点()1,0P -.(1)设直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求||AP BP ⋅的值;(2)过点P 作曲线C 的切线m (斜率不为0),以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求切线m 的极坐标方程. 答案： (1)4；(2) 880cos sin ρθρθ++=. 解答：(1)曲线C 的普通方程为22y x =,将直线l2121()2t =-+,整理得24(40t t -++=,设点A,B 对应的参数分别为12,t t ,则124t t =,因而12·4||AP BP t t ==.(2)由题意可知,切线斜率一定存在,设过点P 作曲线C 的切线为()10x ny n =-≠, 由212x ny y x=-⎧⎨=⎩,得2210nx x --=,180n ∆=+=,因而18n =-,则切线m 的直角坐标方程为880x y ++=.将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入,得直线m 的极坐标方程为880cos sin ρθρθ++=. 5．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数),曲线2C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0,a b ϕ>>为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线:l θα=与12,C C 各有一个交点.当0α=时,这两个交点间的距离为2,当π2α=时,这两个交点重合.(1)分别说明12,C C 是什么曲线,并求出a 与b 的值; (2)设当π4α=时,l 与12,C C 的交点分别为11,A B ,当π4α=-时,l 与12,C C 的交点分别为22,A B ,求四边形1221A A B B 的面积.答案：(1) 1C 是圆,2,3,1C a b ==； (2).解答：(1)1C 是圆,2C 是椭圆.当0α=时,射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为()()1,0,,0a ,因为这两点间的距离为2,所以a=3. 当π2α=时,射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为()()0,1,0,b ,因为这两点重合,所以b=1. (2)12,C C 的普通方程分别为221x y +=和2219xy +=.当π4α=时,射线l 与1C 交点1A 的横坐标为,与2C 交点1B的横坐标为'x = 当π4α=-时,射线l 与12,C C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称,因此四边形1221A A B B 为梯形,故四边形1221A A B B 的面积为()()2'2'225x x x x +-=.()()2'2'225x x x x +-=6．在直角坐标系x y O 中,设倾斜角为α的直线2:(x tcos l t y tsin αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)与曲线2:(x cos C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数)相交于不同两点,A B . (1)若π3α=,求线段AB 中点M 的坐标; (2)若2PA ⋅PB =OP ,其中(P ,求直线l 的斜率. 答案：(1)12,13⎛ ⎝⎭； (2). 解答：设直线l 上的点,A B 对应参数分别为12,t t .将曲线C 的参数方程化为普通方程2214xy +=.(1)当π3α=时,设点M 对应参数为0t .直线l方程为122(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 代入曲线C 的普通方程2214x y +=,得21356480t t ++=,则12028213t t t +==-,所以,点M的坐标为12,13⎛⎝⎭. (2)将2x tcos y tsin αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入2214x y +=,得()()222cos4sin 4cos 120t t αααα++++=,因为2122212,7cos 4sin t t ααPA ⋅PB ==OP =+,所以22127cos 4sin αα=+. 得25tan 16α=.由于()32cos cos 0ααα∆=->,故tan α= 所以直线l47．倾斜角为α的直线l 过点()8,2P ,直线l 和曲线C:2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数) 交于不同的两点12,M M .(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程,并写出直线l 的参数方程;(2)求12·PM PM 的取值范围. 答案： (1) 8cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).；(2)128(,64]9. 解答:(1)曲线C 的普通方程为221324x y +=,直线l 的参数方程为8cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数). (2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得:()()228 82 32tcos tsin αα+++=, 整理得()()222816 32 640sincos t cos sin t αααα++++=,由()()222163246480cos sin sin cos αααα∆=+-⨯+>,得cos sin αα>,故)4[π0,α∈,121226417sin αPM PM t t +⋅∴==128,649(]∈.8．在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C的极坐标方程为3π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭,曲线2C 的参数方程为8(3x cos y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数). (1)将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线2C 的参数方程化为普通方程; (2)若P 为2C 上的动点,求点P 到直线32:(2x tl t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数)的距离的最小值.答案：(1) ()()224432x y ++-=，221649x y +=；(2)0.解答:(1)由3π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭得8cos 8sin ρθθ=-+,所以28cos 8sin ρρθρθ=-+, 故曲线1C 的直角坐标方程为2288x y x y +=-+,即()()224432x y ++-=,8,3x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩.消去参数θ得2C 的普通方程为221649x y +=. (2)设()8cos ,3sin P θθ,直线l 的普通方程为270x y --=,故点P 到直线l 的距离为()7d θϕ=+-(其中43cos ,sin 55ϕϕ==), 因此min 0d =,故点P 到直线l 的距离的最小值0. 9．已知曲线1C ：43t x cost y sin =-+⎧⎨=+⎩，(t 为参数2)C ：83x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数) (1)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线. (2)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线270x y --=距离的最小值.答案：(1) ()()221431,C x y ++-=：.为圆心是(-4,3),半径是1的圆.2221649x y C +=：为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆；(2). 解答:(1)()()222212431,1649x y C x y C ++-=+=：：.1C 为圆心是(-4,3),半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当2t π=时,()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-,故324cos ,2sin .2M M θθ⎛⎫-++⎪⎝⎭到3C 的距离()43sin 13130,,tan 23d πθθϕθϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=--∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 从而当()sin 1ϕθ-=时,d取得最小值5. 10．在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为:2(x tcos t y tsin αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,其中π0)2α<<,椭圆M 的参数方程为2(x cos y sin βββ=⎧⎨=⎩为参数),圆C 的标准方程为()2211x y -+=.(1)写出椭圆M 的普通方程;(2)若直线l 为圆C 的切线,且交椭圆M 于,A B 两点,求弦AB 的长. 答案：(1) 2214x y +=；(2)7. 解答:(1)椭圆M 的普通方程为2214x y +=.(2)将直线的参数方程C得()22cos 30t t αα+++=,由直线l 为圆C 的切线可知0∆=即()22cos 430αα+-⨯=解得6πα=,所以直线l 的参数方程为:2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,将其代入椭圆M的普通方程得27480t ++=, 设,A B 对应的参数分别为12,t t ,所以12121248,777t t t t AB t t +=-=-=-==.。

课时作业4：一参数方程和普通方程的互化

第2课时参数方程和普通方程的互化一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝12．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为( ) A.π4，(1,0) B.π4，(－1,0) C.3π4，(1,0) D.3π4，(－1,0) 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0,1)点C ．x 2＋y 2＝1去掉(1,0)点D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1,0)点4．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos αy ＝2sin α相切，则θ等于( )A.π6 B.5π6 C.π6或5π6D.π35．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线二、填空题6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．7．若曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)，则其普通方程为________________．8．在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直角l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．9．过点M (2,1)作曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的普通方程为________．10．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．三、解答题11．将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (a ，b 为大于0的常数，t 为参数)化为普通方程，并判断曲线的形状．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数，r 为常数，r >0)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋2＝0.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求r 的值．13．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．四、探究与拓展14．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos(θ－π4)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.15．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )在直线l 上，且在曲线C 内，求x －y 的取值范围； (3)若Q (x ，y )在曲线C 上，求Q 到直线l 的最大距离d max .答案精析1．A 2.C3．D [x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 22＝1，又∵当x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1,0)．]4．C [直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6.] 5．C [x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin 2θ∈[0,1]， ∴x ＋y ＝1(x ∈[0,1])，它表示线段．]6.⎩⎨⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)解析把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，∴参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t2(t为参数)．7．4x 2＋y 2－y ＝0(0<y ≤1) 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)两式相除，得k ＝－4x y ，代入y ＝4k 2＋4，得4x 2＋y 2－y ＝0. 由于y ＝4k 2＋4∈(0,1]，所以曲线的普通方程为4x 2＋y 2－y ＝0(0<y ≤1)． 8．ρ(cos θ－sin θ)＝1解析设倾斜角为π4的直线l 的方程为y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)到直线x －y ＋b ＝0的距离为d ＝|b ＋1|2，依题意，得|AB |＝2r 2－d 2＝2，即1－⎝⎛⎭⎪⎫|b ＋1|22＝1，解得b ＝－1，所以直线方程为x －y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，即ρ(cos θ－sin θ)＝1为所求． 9．2x ＋y －5＝0解析由于曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ表示圆心在原点，半径为4的圆，所以过点M 的弦与线段OM垂直，因为k OM ＝12，所以弦所在直线的斜率是－2，故所求直线方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0为所求． 10．4 2解析圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 11．解因为x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，所以t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t 两边平方，可得 x 2＝a 24⎝⎛⎭⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b2⎝⎛⎭⎫t －1t 两边平方，可得 y 2＝b 24⎝⎛⎭⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．所以方程表示焦点在x 轴上的双曲线． 12．解由2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋2＝0，得ρcos θ－ρsin θ＋2＝0，即直线l 的方程为x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2，圆心坐标为(0,0)，所以，圆心到直线的距离d ＝2，由|AB |＝2r 2－d 2＝22，得r ＝2.13．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝10，∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10. ∵ρ＝2cos θ＋6sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10， ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. (2)∵圆C 1的圆心为C 1(－2,0)，圆C 2的圆心为C 2(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32<210， ∴两圆相交．设公共弦的长为d ， ∵两圆半径相等， ∴公共弦平分线段C 1C 2， ∴⎝⎛⎭⎫d 22＋⎝⎛⎭⎫3222＝(10)2，解得d ＝22， ∴公共弦长为22. 14．±2或±5 2解析圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2,2)，半径长为2 2.圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2. 15．解 (1)因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)因为x －y ＝35t －⎝⎛⎭⎫1＋45t ＝－15t －1，又－1<t <1. 所以－15<－15t <15，所以－65<－15t －1<－45，即x －y 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－65，－45. (3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为4x －3y ＋3＝0，d ＝|4cos θ－3sin θ|5＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝43，∴d max ＝1.。

高考数学参数方程和普通方程的互化练习