参数方程化普通方程
参数方程化普通方程
参数方程化普通方程[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。
[例题分析]1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数)解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2,又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3 ∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3)(2)(θ∈R，θ为参数）解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。
又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+) y=sinθcosθ=sin2θ∴|x|≤，|y|≤。
∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤)小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。
消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值围，一般来说应分别给出x, y的围。
在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
(3)(t≠1, t为参数)法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。
x+y==1, 又x=-1≠-1，y=≠2,∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。
法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。
由x=, ∴x+xt=1-t,∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
(4)(t为参数)分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是围的改变，可用两种求值域的方法:法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴0<≤1, ∴-1<-1≤1, ∴-1<x≤1。
法二:解得t2=≥0, ∴-1<x≤1,同理可得出y的围。
参数方程化为普通方程
参数方程化为普通方程参数方程是一种用参数表示的方程形式，常用于描述曲线、曲面或者空间中的轨迹。
参数方程的一个重要特点是可以更加简洁地描述复杂的几何形状。
然而，在某些情况下，我们可能需要将参数方程转换为普通方程，以便更好地理解和分析问题。
本文将介绍如何将参数方程化为普通方程的方法。
一、一些常见的参数方程在进一步讨论参数方程化为普通方程之前，我们先来回顾一些常见的参数方程。
1. 二维平面曲线的参数方程对于二维平面曲线，其参数方程形式通常可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，t 为参数，表示曲线上的每一个点的位置。
函数 f(t) 和 g(t)分别表示曲线上每一个点的 x 坐标和 y 坐标。
通过给定不同的参数值 t，我们可以得到曲线上的所有点。
2. 三维曲面的参数方程对于三维曲面，其参数方程形式通常可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u 和 v 分别表示参数，用于描述曲面上的每一个点的位置。
函数 f(u, v)、g(u, v) 和 h(u, v) 分别表示曲面上每一个点的 x、y 和z 坐标。
通过给定不同的参数值 u 和 v，我们可以得到曲面上的所有点。
二、将二维平面曲线的参数方程化为普通方程的方法接下来，我们将介绍如何将二维平面曲线的参数方程化为普通方程。
1. 消去参数法消去参数法是将参数方程化为普通方程常用的方法之一。
其基本思路是通过消除参数 t，得到关于 x 和 y 的方程。
例如，我们有参数方程：x = 2ty = 3t^2为了将其化为普通方程，我们将 t 从第一个方程中解出：t = x/2。
然后将 t 的值代入第二个方程中，得到：y = 3(x/2)^2化简后即可得到普通方程：4y = 3x^22. 直接等式法直接等式法是另一种常用的将参数方程化为普通方程的方法。
其思路是通过让两个方程直接等于，消去参数 t。
例如，我们有参数方程：x = 3ty = 4 - 2t我们可以直接令这两个方程等于：3t = x4 - 2t = y化简后即可得到普通方程：3x + 2y = 4三、将三维曲面的参数方程化为普通方程的方法接下来，我们将介绍如何将三维曲面的参数方程化为普通方程。
§3 参数方程化成普通方程
§3 参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一 代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2.解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)， 即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2，y 2＝4k 2r2（1＋k 2）2，得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r2（1＋k 2）2＝r 2. ∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程.【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1；(2)⎩⎨⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p t2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2tt 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1(x ≠1).(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式， 得y 2＝p (x －2p ).题型二 利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a ，b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a ，b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 2a 2＋y 2b 2＝1这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y b ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ2－tan 2φ＝1，∴有x 2a 2－y 2b 2＝1这是一条双曲线.(3)由已知t ＝y 2p 代入x ＝2pt 2中得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px ，这是一条抛物线.【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数).解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1， ∵－12≤12sin 2θ≤12， ∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2， ∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分.(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两部分圆弧x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0).1.若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A.直线x ＋2y －2＝0 B.以(2，0)为端点的射线 C.圆(x －1)2＋y 2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析 x ＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin 2θ＝2－2y ，故普通方程为x ＋2y －2＝0，但⎩⎨⎧0≤sin 2θ≤1，0≤1＋cos θ≤2，即0≤y ≤1，0≤x ≤2，故为一条线段. 答案 D2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.线段 D.射线解析 ∵x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ，∴x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，y ＝1－cos 2θ＝1－x ， ∴x ＋y ＝1，是一条线段，故选C.答案 C3.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 y ＝t 2＋1t 2＝t 2＋2·t ·1t ＋1t 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2(x ≠0). 答案 y ＝x 2－2(x ≠0)4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________.解析 消参数得圆方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案 (0，2) 22[P 42练习]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ(a ，b ，λ均不为0，0≤θ≤2π)分别取：(1)t 为参数，(2)λ为参数，(3)θ为参数. 则下列结论中成立的是( ) A.(1)，(2)，(3)均是直线 B.只有(2)是直线C.(1)，(2)是直线，(3)是圆D.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线 解析 (1)t 为参数，t ＝x －λcos θa 代入y ＝bt ＋λsin θ中得，y ＝b x －λcos θa＋λsin θ. 整理得：bx －ay －λb cos θ＋λa sin θ＝0，其中a 、b 、λ、θ为常数，故为直线. (2)λ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ⇒⎩⎨⎧x －at ＝λcos θ，y －bt ＝λsin θ.消去参数λ，y －btx －at ＝tan θ，整理得，y ＝tan θ·x －at tan θ＋bt 为直线.(3)θ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ，用三角恒等式消去参数θ.得(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2为以(at ，bt )为圆心，λ为半径的圆. 由以上解答，应选C. 答案 C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x ，y 的取值范围.一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析 消去参数yx ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线. 答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B. 答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x ，代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2.答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线D.一条直线解析 将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D. 答案 D 二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴最大值为2 2. 答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ) ＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ). 其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s ＝x ＋y 的最大值.解 因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.习题2－3 第42页A 组1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2b 2＝1，双曲线.(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，所以y －2x －1＝4.所以4x －y －2＝0，直线. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225＝1，焦距为221.4.椭圆的普通方程为（x －1）216＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0).5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24＝1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b2，点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).B 组1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2.2.解 设动点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25.即（x ＋1）225＋（y －2）29＝1.3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24＝1.4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20x 2，射程为3v 202g ，(2)证明略.。
参数方程化成普通方程
参数方程化成普通方程参数方程可以表示为一组含有参数的方程组，而普通方程是不含有参数的方程。
将参数方程转化为普通方程的方法有以下几种：1.消参法消参法是将参数方程中的参数用非参数变量表示出来，从而得到普通方程。
具体步骤如下：（1）根据参数方程的定义，将参数用非参数表示，假设参数为t，则可以将参数表示为x=f(t)和y=g(t)；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组中，得到非参数变量的方程组，即F(x,y)=0；（3）通过解F(x,y)=0，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
2.去参数化法去参数化法是通过消去参数，将参数方程对应的曲线变为非参数方程的方法。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为t=x/y或y/x；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组，得到去参数化的方程组；（3）通过解去参数化的方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
3.参数消去法参数消去法是通过消去参数，得到仅含有非参数变量的方程。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）将t代入参数方程的方程组中，得到含有非参数变量x和y的方程组；（3）通过解上述方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
4.直接法直接法是对特定的参数方程直接求导或代入一些特定的数值来消去参数，从而得到普通方程。
（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）对 t 求导，得到 dt/dx 和 dt/dy；（3）代入 dt/dx 和 dt/dy，消去参数 t，从而得到 x 和 y 之间的关系，从而得到普通方程。
以上是将参数方程化为普通方程的几种方法，具体的选用方法取决于具体的参数方程形式和求解的要求。
不同的方法在不同的场合下有着不同的适用性，需要根据具体情况进行选择。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________． 解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1， 于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ， 即y ＝－1±sin θ， 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ， 因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ， 解得x ＝t 2， 所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)， 所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1， 代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分， 又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。
第2章 §3 参数方程化成普通方程
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普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围， 它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的.如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数方程为xy＝ ＝ttaann2θθ，＋tan θ－1 (θ 为参数).
即(y－1)2＝－14x(y≥1).
方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于 x 轴，开口向左的抛物线的一
部分.
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(2)由已知可得
ax＝11－ ＋tt22，
①
by＝1＋2tt2， ②
①2＋②2 得ax22＋by22＝1(a＞b＞0，x≠－a)，这就是所求的普通方程，方程表 示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆(去掉左顶点).
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【解析】 (1)把 t＝x 代入②得 y＝2x 即普通方程为 y＝2x. (2)由 sin2 θ＋cos2 θ＝1 得 x2＋y2＝1. (3)由②得 t＝y－1，代入①得 x＝2(y－1)2.
【答案】 (1)y＝2x (2)x2＋y2＝1 (3)x＝2(y－1)2
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(t 为参数)
x＝tan t， D.y＝1－tan2t
(t 为参数)
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【解析】 A 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. B 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. C 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]. D 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－t 为参数)；
参数方程化为普通方程
参数方程化为普通方程
1 参数方程介绍
参数方程是一类具有特殊形式的普通方程，它以一个变量构成，而不是两个或多个变量，这类方程是参数方法求解复杂数学模型的重要工具之一。
参数方程在微积分、三角函数、定位语言特别是经济学中被广泛应用，也有应用于物理和数学模型的研究中。
2 参数方程化为普通方程
参数方程可以化为普通方程,但是要根据每一种情况的不同采取不同的算法来实现。
一般来说，参数方程化为普通方程主要有两种技术：(1)将参数方程转化为恒等方程，然后将其化为普通方程。
(2)直接将参数方程的变量全部改写成一般变量，然后进行把换，得到一般普通方程。
以一元参数方程x=asint+bcost为例，a,b为常数，转化为恒等方程：asint+bcost-x=0，令y=asint+bcost 可得：-dy/dx=sin(t)，将式子整理可得：dy=-sin(t)dx，两边积分得：y=bcos(t)+acost+c，令c=x得：y=bcos(t)+acost+x，可将参数方程转化为普通方程：
bcos(t)+acost-y+x=0。
3 结论
参数方程是普通方程的特殊形式，可以通过转化恒等方程或者参
数替换来将参数方程转化为普通方程。
参数方程通过转换为普通方程，可以使用普通算法来求解，从而方便计算机求解复杂数学模型。
参数方程化普通方程
参数方程化普通方程参数方程与普通方程是描述几何图形的两种不同的方式。
参数方程是通过引入一个参数来描述图形上的各个点的坐标，而普通方程则是将图形的所有点都满足的条件表达为一个方程。
下面将详细介绍如何将参数方程转化为普通方程。
假设有一个平面曲线，其参数方程为：x=f(t)y=g(t)我们的目标是将这个参数方程转化为一个普通方程。
第一步是将x和y消除参数t。
为了实现这一点，我们需要找到t的表达式，并将其代入到x和y的表达式中。
为了找到t的表达式，我们可以将参数方程中的两个方程相除：x/y=f(t)/g(t)得到：g(t)x-f(t)y=0（1）我们现在需要找到一个普通方程，使得图形上的所有点都满足这个方程。
这意味着，普通方程必须满足方程(1)的条件。
假设普通方程为h(x,y)=0。
我们需要找到一个满足条件(1)的普通方程。
我们可以通过求解方程(1)来找到普通方程h(x,y)=0。
这个方程是由参数方程决定的，因此也称为参数方程的普通方程。
通过将方程(1)重新整理，我们有：f(t)/g(t)=x/y将x和y替换为普通方程中的x和y，我们有：f(t)/g(t)=h(x,y)这意味着，普通方程h(x,y)必须满足条件f(t)/g(t)=h(x,y)。
因此，可以将普通方程h(x,y)定义为：h(x,y)=f(t)/g(t)这就是将参数方程转化为普通方程的方法。
举例来说，假设有一个参数方程：x=2ty=3t+1将上述参数方程转化为普通方程的步骤如下：首先，通过解方程x=2t，得到t=x/2然后，将t的表达式代入到y的方程中，得到y=3(x/2)+1简化上述方程，我们有y=3x/2+1因此，该参数方程的普通方程为y=3x/2+1通过上述步骤，我们成功地将参数方程转化为普通方程。
要注意的是，并非所有的参数方程都可以转化为普通方程。
有时由于参数方程的特性，无法找到相应的普通方程。
因此，在具体问题中，需要根据参数方程的特点来判断是否可以转化为普通方程。
参数方程普通方程互化
∴普通方程为y＝－x2＋1(0≤y≤1).
02
∴(x－1)2＋y＝cos2θ＋sin2θ＝1， 即y＝－(x－1)2＋1(0≤y≤1)，
01
∴x2＋y＝1， ∴普通方程为y＝－x2＋1(0≤y≤1).
04
由x＝sin θ－cos θ，得x2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ，
03
跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程.
将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得 y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，
x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数) 例2 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程.
01
02
类型二 普通方程化为参数方程
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(1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价. (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.
参数方程与普通方程的等价性 把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.
202X
感谢各位的观看
汇报人姓名
复习回顾
02
齐次函数（化一）
03
非齐次函数（化二）
04
x＝rcosθ y＝rsinθ
05
x＝ a ＋ rcosθ y＝ b ＋ rsinθ
06
圆的参数方程
1. 运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题.
反思与感悟
思考2
把参数方程化为普通方程的关键是什么？
答案
反思与感悟
跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.
参数方程与普通方程互化例题和知识点总结
参数方程与普通方程互化例题和知识点总结在数学的学习中，参数方程与普通方程的互化是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛的应用，对于我们理解曲线的性质和解决相关问题也具有重要意义。
下面我们通过一些例题来深入探讨参数方程与普通方程的互化，并对相关知识点进行总结。
一、参数方程的概念参数方程是指在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x$、＄y$都是某个变数$t$的函数，并且对于$t$的每一个允许的取值，由方程组所确定的点$（x,y)＄都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数$x$、＄y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。
例如，圆的参数方程为：＄＼begin{cases}x ＝ r\cos\theta ＼＼ y ＝r\sin\theta\end{cases}＄（其中$r$为圆的半径，＄＼theta$为参数）二、普通方程的概念普通方程是指在平面直角坐标系中，用关于$x$、＄y$的方程$F(x,y)＝0$来表示曲线。
三、参数方程与普通方程互化的原则1、消去参数，得到关于$x$、＄y$的方程。
2、注意参数的取值范围对普通方程中$x$、＄y$取值范围的影响。
四、参数方程化为普通方程的方法1、代入消元法例 1：将参数方程$＼begin{cases}x ＝ 2 ＋ 3t ＼＼ y ＝ 12t\end{cases}＄（＄t$为参数）化为普通方程。
解：由$x ＝ 2 ＋ 3t$得$t ＝＼dfrac{x 2}｛3}＄，将其代入$y ＝ 1 2t$中，＄y ＝ 1 2\times\dfrac{x 2}｛3} ＝ 1 ＼dfrac{2x 4}｛3} ＝＼dfrac{7 2x}｛3}＄所以普通方程为$2x ＋ 3y 7 ＝ 0$2、利用三角恒等式消元例 2：将参数方程$＼begin{cases}x ＝ 3\cos\theta ＼＼ y ＝3\sin\theta\end{cases}＄（＄＼theta$为参数）化为普通方程。
直线参数方程普通方程互化
直线参数方程普通方程互化一、直线的参数方程在平面几何中，直线是由无数个点组成的集合。
为了描述这个集合，我们通常使用直线的参数方程。
直线的参数方程表示为：x = x₀ + at y = y₀ + bt其中，(x₀, y₀)为直线上的一个已知点，a和b是常数，t是参数。
以直线上的某一点(x, y)为起点，我们可以根据参数方程，选择适当的a、b和参数t的取值，找到直线上的其他点。
二、直线的普通方程直线的普通方程是另一种描述直线的形式，也常被称为斜截式方程。
直线的普通方程表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
普通方程中的系数A、B和C 决定了直线的位置和方向。
三、直线的参数方程转化为普通方程我们可以通过将直线的参数方程转化为普通方程来描述直线。
下面以直线参数方程中的一点(x, y)为例进行转换。
根据直线的参数方程：x = x₀ + at y = y₀ + bt将x代入普通方程中：Ax + By + C = 0得到A(x₀ + at) + By + C = 0对上式进行展开化简，得到：Ax₀ + Aat + By + C = 0进一步化简，得到：(Aa + B)t + (Ax₀ + By + C) = 0由于(Aa + B)和(Ax₀ + By + C)是常数，我们可以将其分别记为D和E，得到最终的普通方程：Dt + E = 0这就是将直线的参数方程转化为普通方程的过程。
从这个普通方程中，我们可以知道直线的位置、方向以及直线上的其他点。
四、直线的普通方程转化为参数方程同样地，我们也可以通过将直线的普通方程转化为参数方程来描述直线。
下面以直线普通方程Ax + By + C = 0为例进行转换。
我们可以假设直线上的一点为(x₀, y₀)。
根据直线的普通方程：Ax₀ + By₀ + C = 0我们可以得到：Ax₀ + By₀ = -C再假设直线上的另一点为(x, y)，则直线上的点可以使用(x₀, y₀)和(x, y)间的线段长度t来表示：x = x₀ + at y = y₀ + bt要使上述点满足直线的普通方程，我们将(x, y)代入普通方程中：Ax + By + C = 0得到：A(x₀ + at) + B(y₀ + bt) + C = 0进一步化简，得到：(Aa + Bb)t + (Ax₀ + By₀ + C) = 0由于(Aa + Bb)和(Ax₀ + By₀ + C)是常数，我们可以分别记为D和E，得到最终的参数方程：Dt + E = 0这就是将直线的普通方程转化为参数方程的过程。
参数方程与普通方程互化2
参数方程与普通方程互化2参数方程与普通方程互化21.参数方程转普通方程将参数方程转化为普通方程可以使问题更直观，易于理解和求解。
假设有一个参数方程：x=f(t),y=g(t).我们可以通过消去参数t，将参数方程转化为普通方程。
步骤如下：a.从第一个参数方程中解出t，得到t=f^-1(x).b.将t代入第二个参数方程中，得到y=g(f^-1(x)).例如，假设有一个参数方程：x=2t,我们可以先从第一个参数方程中解出t，得到t=x/2、然后将t代入第二个参数方程中，得到y=3(x/2)^2=3x^2/4、这样我们就得到了普通方程y=3x^2/4，将参数方程转化为了普通方程。
2.普通方程转参数方程将普通方程转化为参数方程可以使问题更灵活，特别是在求解曲线上的点坐标时非常有用。
步骤如下：a.假设有一个普通方程y=f(x).b.令t=x，求解上述方程关于t的逆函数t=f^-1(y).c.将t代入x=t，得到新的参数方程x=f^-1(y)，y=t=f^-1(y).例如，假设有一个普通方程y=x^2、我们可以令t=x，然后求解方程关于t的逆函数t=y^0.5、最后将t代入参数方程x=y^0.5，y=t，得到参数方程x=y^0.5，y=t。
3.参数方程与普通方程的优缺点参数方程的优点是在描述曲线上的点时更灵活，易于求解与计算。
特别是在求解曲线上的点坐标时，参数方程的形式非常方便。
同时，参数方程能够更准确地描述曲线的拐点、极值等性质。
普通方程的优点是更直观易懂，一眼就可以看出曲线的整体形状。
特别是在解析几何中，普通方程的形式更加常用。
然而，普通方程也具有一些局限性，例如在描述一些特殊曲线时可能会有困难，需要引入一些复杂的工具。
此外，普通方程在求解特定点的坐标时通常需要进行反函数运算，比较繁琐。
总的来说，参数方程与普通方程在使用上各有优劣，根据具体问题的需求选择使用哪一种形式更加合适。
参数方程化普通方程
参数方程化普通方程参数方程是一种可以用来表示平面上或者空间中曲线的方程形式。
在参数方程中，曲线上的任意一点的坐标都可以用参数表示。
参数方程的一般形式如下：x=f(t)y=g(t)z=h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上的点的x坐标、y坐标和z坐标，f(t)、g(t)和h(t)是关于参数t的函数。
将参数方程化为普通方程的过程就是将参数t消去，得到x、y和z 之间的关系。
下面我们以平面曲线和空间曲线为例，来介绍如何将参数方程化为普通方程。
一、平面曲线：考虑一个简单的例子，即抛物线的参数方程。
抛物线的参数方程为：x=ty=t^2我们可以通过将y用x来表示，从而消去参数t。
将第二个方程中的t替换成第一个方程中的x，得到：y=x^2这就是抛物线的普通方程。
二、空间曲线：考虑一个球面上的曲线的参数方程，球面的参数方程为：x = r*sin(θ)*cos(ϕ)y = r*sin(θ)*sin(ϕ)z = r*cos(θ)其中，r是球的半径，θ和ϕ是球面上的两个参数。
我们可以通过消去参数θ和ϕ，得到球面上的曲线的普通方程。
为了简化问题，我们取r=1、此时，将第一个方程中的θ和ϕ消去，可以得到：x^2+y^2+z^2=1这就是球面上的曲线的普通方程。
从上述两个例子可以看出，将参数方程化为普通方程的关键在于消去参数。
消去参数的方法可以根据具体情况而定，常用的方法有代入法和消元法。
总结起来，将参数方程化为普通方程的关键在于消去参数，常用的消去方法有代入法和消元法。
通过将参数替换成普通方程中的变量，我们可以得到曲线上点的坐标之间的关系。
参数方程和普通方程的转换可以使我们更方便地进行曲线的分析和计算。
直角坐标系参数方程化为普通方程
直角坐标系参数方程化为普通方程直角坐标系是我们常见的坐标系，我们使用的大多数方程都是以直角坐标系表示的。
然而，在某些情况下，将直角坐标系的参数方程转化为普通方程更加方便和直观。
在本文中，我们将介绍如何将直角坐标系的参数方程转化为普通方程的方法。
1. 什么是直角坐标系的参数方程直角坐标系的参数方程是一种以参数形式表示的方程系统。
在直角坐标系中，一条曲线可以通过参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示曲线上某一点的坐标，而t则是参数。
通过给定不同的参数值，我们可以得到曲线上的不同点的坐标。
2. 将参数方程转化为普通方程的步骤要将直角坐标系的参数方程转化为普通方程，我们需要按照以下步骤进行：步骤 1：将参数方程中的x和y分别用t表示，得到x = f(t)和y = g(t)。
步骤 2：解方程组，将得到的t表达式代入到另一个方程中，得到y = h(x)或x = h(y)。
步骤 3：如果还存在多个参数，重复步骤 2，将新得到的t表达式代入到另一个方程中，继续简化。
步骤 4：最终，我们将得到一个普通方程，不再包含参数。
让我们通过一个简单的例子来演示这个转化过程。
3. 例子：将直角坐标系的参数方程转化为普通方程假设有一条曲线的参数方程为：x = 2ty = 3t + 1步骤 1：将参数方程中的x和y分别用t表示，得到x = 2t和y = 3t + 1。
步骤 2：解方程组，将得到的t表达式代入到另一个方程中。
我们将x = 2t代入到y = 3t + 1中，得到y = 3(1/2x) + 1。
步骤 3：简化方程。
我们可以将y = 3(1/2x) + 1进一步简化为y = (3/2)x + 1。
步骤 4：最终，我们将得到转化后的普通方程为y = (3/2)x + 1。
通过以上步骤，我们成功将直角坐标系的参数方程x = 2t和y = 3t + 1转化为了普通方程y = (3/2)x + 1。
高中数学 选修4-4 6.参数方程与普通方程的互化
6.参数方程与普通方程的互化教学目标 班级______姓名________1.掌握参数方程与普通方程的互化.2.掌握参数方程解决问题的一般思想.教学过程一、知识要点.1.参数方程与普通方程的互化：（1）参数方程化普通方程：消参（代入消元法、加减消元法、平方和消元法等）；（2）普通方程化参数方程：选择适当的参数，将x ，y 用参数表示.2.参数方程解题的一般思想：（1）把参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系中解决问题；（3）再将结果转化为参数方程.二、例题分析.1.参数方程化普通方程.例1：把下列参数方程化为普通方程.（1） 1+=t x ，（t 为参数） （2） θθcos sin +=x ，（θ为参数）t y 21-=， θ2s i n 1+=y ，（3） t x 23-=，（t 为参数） （4） θcos =x ，（θ为参数）t y 41--=， 12c o s +=θy（5） tt x 1+=，（t 为参数） （6） θc o s 5=x ，（θ为参数）tt y 1-= θs i n 3=y ，2.普通方程化参数方程.例2：求椭圆14922=+y x 的参数方程：（1）设θcos 3=x （θ为参数）；（2）t y 2=（t 为参数）3.参数方程的应用.例3：在平面直角坐标系中，若l ：t x =，（t 为参数）过椭圆C ：ϕcos 3=x ，（ϕ为参数） a t y -= ϕs i n 2=y的右顶点，则常数a 的值为___________.（2013湖南高考）作业：1.把下列普通方程化成参数方程.（1）012=---y x y ，设1-=t y ，t 为参数；（2）212121a y x =+，设ϕ4cos a x =，ϕ为参数.2.在平面直角坐标系中，曲线C ：t x 222+=，（t 为参数）的普通方程为________. （2014湖南高考） t y 221+=，。
参数方程化成普通方程
x = 2 cos θ (广东卷 )在直角坐标系中圆 C 的参数方程 y = 2 + 2 sin θ 2 (θ 为参数 )，则圆 C 的普通方程为 x _________− 2 )2 = 4 + (y
链接高考
θ (宁夏 海南卷)已知曲线C1 x = cosθ (θ为参数) y = sin
0 为圆心， 解： C1是以(0，)为圆心，以1为半径的圆,
小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参
过程常见方法有两种： 过程常见方法有两种：
1.代数法：代入法， 1.代数法：代入法，加减消去法 代数法 2.三角法 三角法： 2.三角法：利用三角恒等式消去参数
化参数方程为普通方程f(x,y)=0： 化参数方程为普通方程f(x,y)=0：在消参过程 f(x,y)=0 中注意变量x 取值范围的一致性， 中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根 据参数的取值范围，确定f(t) g(t)值域得 f(t)和 值域得x 据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、 的取值范围。 y的取值范围。
解：利用 sin α + cos α = 1得到
2 2
x + y = 25 2 则普通方程是什么？ 若 α ∈ [0，π )，则普通方程是什么？ 思 则普通方程是什么？ 考 若 α ∈ (0， π )，则普通方程是什么？ π 则普通方程是什么？ 若 α ∈ 0， ，则普通方程是什么？
2 2
x = 3 sin ϕ + 4 cos ϕ (3) (ϕ为参数) y = 4 sin ϕ − 3 cos ϕ 2 2 x y (1 解： ) + = 1( x < 5且0 < y ≤ 4) 25 16
§3 参数方程化成普通方程
§3 参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一 代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2.解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)， 即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2，y 2＝4k 2r2（1＋k 2）2，得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r 2（1＋k 2）2＝r 2.∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程.【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1；(2)⎩⎨⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p t2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1(x ≠1).(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式， 得y 2＝p (x －2p ).题型二 利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a ，b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a ，b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 2a 2＋y 2b 2＝1这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y b ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ2－tan 2φ＝1，∴有x 2a 2－y 2b 2＝1这是一条双曲线.(3)由已知t ＝y 2p 代入x ＝2pt 2中得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px ，这是一条抛物线.【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数).解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1， ∵－12≤12sin 2θ≤12， ∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2， ∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分.(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两部分圆弧x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0).1.若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A.直线x ＋2y －2＝0 B.以(2，0)为端点的射线 C.圆(x －1)2＋y 2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析 x ＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin 2θ＝2－2y ，故普通方程为x ＋2y －2＝0，但⎩⎨⎧0≤sin 2θ≤1，0≤1＋cos θ≤2，即0≤y ≤1，0≤x ≤2，故为一条线段. 答案 D2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A.直线B.圆C.线段D.射线解析 ∵x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ，∴x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，y ＝1－cos 2θ＝1－x ， ∴x ＋y ＝1，是一条线段，故选C.答案 C3.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 y ＝t 2＋1t 2＝t 2＋2·t ·1t ＋1t 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2(x ≠0). 答案 y ＝x 2－2(x ≠0)4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________.解析 消参数得圆方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案 (0，2) 22[P 42练习]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ(a ，b ，λ均不为0，0≤θ≤2π)分别取：(1)t 为参数，(2)λ为参数，(3)θ为参数. 则下列结论中成立的是( ) A.(1)，(2)，(3)均是直线 B.只有(2)是直线C.(1)，(2)是直线，(3)是圆D.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线 解析 (1)t 为参数，t ＝x －λcos θa 代入y ＝bt ＋λsin θ中得，y ＝b x －λcos θa＋λsin θ. 整理得：bx －ay －λb cos θ＋λa sin θ＝0，其中a 、b 、λ、θ为常数，故为直线. (2)λ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ⇒⎩⎨⎧x －at ＝λcos θ，y －bt ＝λsin θ.消去参数λ，y －btx －at ＝tan θ，整理得，y ＝tan θ·x －at tan θ＋bt 为直线.(3)θ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ，用三角恒等式消去参数θ.得(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2为以(at ，bt )为圆心，λ为半径的圆. 由以上解答，应选C. 答案 C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x ，y 的取值范围.一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析 消去参数yx ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线. 答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B. 答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x ，代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2.答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线D.一条直线解析 将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D. 答案 D 二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴最大值为2 2. 答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ) ＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ). 其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s ＝x ＋y 的最大值.解 因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.习题2－3 第42页A 组1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2b 2＝1，双曲线.(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，所以y －2x －1＝4.所以4x －y －2＝0，直线. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225＝1，焦距为221.4.椭圆的普通方程为（x －1）216＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0).5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24＝1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b2，点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).B 组1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2.2.解 设动点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25.即（x ＋1）225＋（y －2）29＝1.3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24＝1.4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20x 2，射程为3v 202g ，(2)证明略.。
参数方程化普通方程
参数方程化普通方程一、什么是参数方程和普通方程？1. 参数方程参数方程是指用一个参数或一组参数来表示曲线上的各个点的坐标。
例如，可以用参数方程表示一个圆的边界上的点的坐标： - 圆的参数方程为： - x = r * cos(t) - y = r * sin(t) - 其中，r 是圆的半径，t 是参数，取值范围为 0 到2π。
2. 普通方程普通方程是指用一个或多个变量的代数式直接表示曲线或曲面的方程。
例如，可以用普通方程表示一个圆的边界： - 圆的普通方程为： - (x - a)^2 + (y - b)^2 - r^2 = 0 - 其中，(a, b) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
二、参数方程化普通方程的方法将参数方程化为普通方程有多种方法，我们将介绍两种常用的方法。
1. 消元法(1) 基本步骤消元法是指根据两个参数方程，通过消去参数来得到普通方程的方法。
以二维空间中的曲线为例，假设有两个参数方程： - x = f(t) - y = g(t)可以按照以下步骤将其消元为普通方程： 1. 将第一个参数方程转化为关于 t 的代数式； 2. 将第二个参数方程中的 t 替换为第一步得到的关于 t 的代数式，得到关于 x 和 y 的代数式，即得到普通方程。
(2) 例子以参数方程 x = t, y = t^2 为例，求其对应的普通方程。
首先，将 x = t 代入第二个参数方程 y = t^2，得到 y = x^2。
因此，普通方程为 y = x^2。
2. 中间变量法(1) 基本步骤中间变量法是指通过引入一个新的中间变量，使参数方程化为包含该中间变量的代数式，然后消去该中间变量得到普通方程的方法。
以二维空间中的曲线为例，假设有两个参数方程： - x = f(t) - y = g(t)可以按照以下步骤将其化简为普通方程： 1. 将第一个参数方程表示为 x - f(t) = 0 的形式； 2. 将第二个参数方程表示为 y - g(t) = 0 的形式； 3. 消去 t，得到关于 x 和 y 的代数式，即得到普通方程。
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参数方程化普通方程[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。
[例题分析]1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数)解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2,又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3)(2)(θ∈R，θ为参数）解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。
又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+) y=sinθcosθ=sin2θ∴|x|≤，|y|≤。
∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤,|y|≤)小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。
消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。
在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
(3)(t≠1, t为参数)法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。
x+y==1,又x=-1≠-1，y=≠2,∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。
法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。
由x=, ∴x+xt=1-t,∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
(4)(t为参数)分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法:法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴0<≤1, ∴-1<-1≤1, ∴-1<x≤1。
法二:解得t2=≥0, ∴-1<x≤1,同理可得出y的范围。
(5) (t为参数)分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。
由x=得x2=≥0, ∴-1<x≤1,由y=, t=0时，y=0；t≠0时，|y|=≤=1，从而|y|≤1。
法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，x2+y2=()2+()2===1。
法二:关键能不能用x, y表示t，且形式简单由x=得t2=，代入y==t(1+x)∴t=再代入x=，化简得x2+y2=1。
法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象可令t=tgθ，θ∈(-)，∴x==cos2θ,y==sin2θ,∴x2+y2=1，又2θ∈(-,)，∴-1<x=cos2θ≤1, -1≤y=sin2θ≤1,所求方程为x2+y2=1(x≠-1)。
2．已知圆锥曲线方程是1）若t为参数，φ为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。
2）若φ为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率e。
解:1）由已知，由(1) 得t=代入(2)y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)2=-(y-4sinφ+5)为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。
2）由已知∴=1，表示中心在(3t+1, -6t2-5)的椭圆，其中a=5, b=4, c=3，∴e=。
分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。
从而给出参数方程一般应指明所取参数。
3．抛物线y2=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。
求G点轨迹方程，并说明其图形。
解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)∴k2x2-4px-4p2=0, 若A，B坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则∴x M=, y M=,∵AB⊥CD,∴CD方程为y=-x，代入y2=4p(x+p)，∴x2-4px-4p2=0，设C(x3, y3),D(x4,y4)∴N(2pk2, -2pk) 则G点坐标(x,y)为y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)x=p(k2+)≥p·2=2p，而y∈R在方程中都已体现，∴轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。
说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。
在某些特殊情况，消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。
如方程θ∈[0,π]，是个圆，但消参之后得x2+y2=1(|x|≤1, |y|≤1)却无法说明这一点。
在线测试选择题1．曲线的参数方程为（φ为参数），则方程所表示的曲线为（）A、射线B、线段C、双曲线的一支D、抛物线2．参数方程（θ为参数，且0≤θ<2π）所表示的曲线是（）.A、椭圆的一部分B、双曲线的一部分C、抛物线的一部分，且过(-1，)点D、抛物线的一部分，且过(1，)点3．已知直线l的参数方程为则直线l的倾斜角为（）A、B、C、D、4．抛物线（t为参数）的准线方程是（）A、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-25．弹道曲线的参数方程为（t为参数，α，v0，g为常数）当炮弹到达最高点时，炮弹飞行的水平距离是（）A、B、C、D、答案与解析解析：（1）∵x=cos2φ∈[0，1]，y=1-cos2φ=1-x，∴x+y-1=0，x∈[0，1]为一条线段。
故本题应选B。
（3）本题认为直线l的倾斜角是是不对的，因为只有当直线的参数方程为：（其中t为参数），其中的α才是直线的倾斜角，消去参数t，化参数方程为普通方程后，再求直线l的倾斜角是可以的。
但直线l的倾斜角θ适合tanθ=，这里只要把两个方程相除就可得：，∴tanθ==-，又0≤θ<π，∴θ=。
故本题应选D。
（4）化参数方程为直角坐标方程，得(x-2)2=4(y+1)，其准线方程为y=--1=-2。
故本题应选D。
（5）由y=v0tsinα-知，当炮弹到达最高点时，t=，代入x=v0tcosα，得x=v0cosα·。
故本题应选C。
参数方程、极坐标·疑难辨析参数方程是曲线与方程理论的发展，极坐标是坐标法的延伸．参数方程的基本概念与极坐标系的理论是本章的重点．参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定、极坐标方程与曲线的基本理论是本章的难点与疑点．弄清这两个难点，把握参数法变与不变矛盾的统一的思想是学好本章的关键．把握求轨迹方程的参数法的基本思路和消参数的基本方法，重视消参数前后x、y的取值范围的变化是保证轨迹完备性、纯粹性的关键．弄清一点的极坐标的多种表达式：（(-1)nρ，θ+nπ），（n∈Z）和极坐标与直角坐标的互化是运用极坐标解决问题的基本功．题1下列参数方程（t是参数）中方程y2=x表示同一曲线的是（）【疑难或错解】参数方程与消去参数后所得的普通方程是否表示同一曲线的判定是一难点．问题的实质在于判定方程的同解性．方程的同解性原是代数中的难点，加上参数方程中出现的函数不局限于代数函数，其困难就更大了．本题各个参数方程消去参数后所得普通方程都是y2=x，更增加迷惑性，因而误选A、B、C都有．【剖析】从A、B、C、D消去参数t后所得的普通方程都是y2=x．但在A中y=t2≥0，这与y2=x中y的允许值范围y∈R不一致，故A应排除．在B中，x=sin2t≥0，x∈[0，1]与y=sint∈[-1，1]与方程y2=x中的x，y取值范围不一致，故B也应排除．中的x∈[0，+∞)，y∈R完全相同，所以D中参数方程与y2=x同解，应选D．【点评】参数方程与消去参数后所得普通方程是否同解的判定，涉及函数定义域与值域的研究而无通法可循，只能根据参数方程通方程F(x，y)=0中x，y的允许值范围（即方程F(x，y)=0的定义域）是否一致来判断．仅根据消去参数后所得的普通方程F(x，y)=0的外形来判定，常易失误．表示的曲线是（）A．圆B．半圆C．四分之一圆D．以上都不对消去θ，得x2+y2=1，未分析x，y的取值范围，即断言表示的曲线为圆，而误选A．时t不存在，所以消去t后方程x2+y2=1中x≠-1，即在圆x2+y2=1中应除去一点（-1，0）．所以此参数方程表示的曲线为单位圆x2+y2=1上除去一点（-1，0）．在普通方程x2+y2=1中应注明x∈(-1，1］．应选D．为参数)交于A、B两点，求弦长|AB|．【疑难或错解】以直线的参数方程代入双曲线的普通方程(y-2)2-x2=1，有(-4t)2-(-1+3t)2=1，即7t2+6t-2=0．①方程①的两个根分别为t1=PA，t2=PB，其中点P的坐标为（-1，2）．方程①的两个根：错解混淆了直线参数方程的标准型和非标准型中参数t的几何意义．在标准型中，P（x0，y0）为直线上的定点，Q（x，y）为直线上任意一点，则t表示有向线段PQ的数量（规定直线向上、向右为正方向）．这一结论不适用于非标准型．因此运用直线参数方程求二次曲线的弦长时，应先将直线的参数方程化为标准型，否则将导致错误．将双曲线方程化为普通方程：∴(y-2)2-x2=1．②方程③的两个根分别为t1=PA，t2=PB,【点评】设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．的定点，故x1-x2=a(t1-t2)，y1-y2=b(t1-t2)，∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=(a2+b2)(t1-t2)2．利用这一结果也可求|AB|之长，结果与正解同．所以此曲线为以为端点的线段。
【点评】消去参数过程中不分析x，y的取值范围，导致轨迹纯粹性受破坏．【剖析】错解仅考虑ab≠0的情况，而忽视ab=0的情形，因而解答不完整．ab=0时，有a=0，b≠0；a≠0，b=0；a=0，b=0三种情况，应逐一进行讨论．【正确】当ab≠0时，如上解有当ab=0时，有下列三种情形：（1）a=0，b≠0时，原方程为此时，曲线为y轴（含原点）．（2）a≠0，b=0，原方程为∴|x|≥|a|，即x≥|a|或x≤-|a|．消去t，得普通方程为y=0，x∈(-∞，-|a|]∪[|a|，+∞)．此时曲线为x轴上的两条射线，端点分别为(|a|，0)指向正半轴；(-|a|，0)指向负半轴．【点评】消去参数过程中不注意方程中x，y的取值范围，对任意常数a，b的可能情况不分别讨论是导致失误的主要原因．（t为参数）．问l1与12是否表示同一曲线为什么【疑难或错解】l1：未对x，y的取值范围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言l1和l2表示同一直线，焉能不失误．【剖析】在曲线l1的参数方程中，x=1+cos2θ=2cos2θ∈[0，2]，消去参数θ所得的普通方程2x-y+1=0中x∈[0，2]，所以曲线l1为以（0，1）与（2，5）为端点的线段．只l2，所以l1、l2不是同一条曲线．【点评】在曲线l1消去参数时，未分析x的取值范围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因．A．20°B．70°C．110°D．160°而误选（A）．（D）．还有将原方程化为而无法作出判断．【剖析】上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致．在直线参数方程的标准型：sinα＞0，故当a＜0，b＞0，且a2+b2=1时，才是标准型．等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。