参数方程化普通方程

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参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化首先，我们来了解一下参数方程的定义。

参数方程是指使用单一变量来表示曲线上的点的坐标，其中变量通常表示为 t。

对于平面上的曲线，参数方程可以表示为 x=f(t)，y=g(t)，其中 f(t) 和 g(t) 是 t 的函数。

参数方程通常用来表示曲线上每一个点的坐标，在数学中有着广泛的应用。

例如，圆的参数方程可以表示为 x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中 r 表示圆的半径，t 表示角度。

与之相对应的，普通方程是用一个或多个变量的代数方程来表示曲线的方程。

对于平面上的曲线，普通方程可以表示为F(x,y)=0，其中F(x,y)是二元函数。

普通方程常常用来表达曲线的性质和方程，例如直线的普通方程可以表示为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。

1.由参数方程到普通方程：要将参数方程转换为普通方程，可以将参数方程中的参数表示为普通方程中的变量，并解出其他变量的表达式。

具体步骤如下：a.将x=f(t)，y=g(t)中的t表示为普通方程中的变量，如令t=x。

b.将t的表达式代入f(t)和g(t)中，得到x=f(x)，y=g(x)。

c.将得到的方程进行整理，化为普通方程的形式。

2.由普通方程到参数方程：要将普通方程转换为参数方程，可以选取一个合适的参数来表示曲线上每一点的坐标，并构造对应的参数方程。

具体步骤如下：a.选择一个变量作为参数，通常可以选择x或y。

b.将选取的参数代入普通方程中，得到一条关于参数的方程。

c.将方程整理，化为参数方程的形式。

值得注意的是，参数方程和普通方程在表示曲线时的优势和劣势不同。

参数方程可以方便地描绘复杂的曲线，如椭圆、双曲线等，而普通方程可以方便地计算曲线的性质和方程。

因此，在不同的问题和计算需求中，我们可以选择合适的方程形式。

除了上述的基本转换方法，还有一些特殊的曲线可以通过参数方程和普通方程的互化来简化求解。

例如，对于一些特殊的曲线，我们可以通过参数方程的方法来求解它的曲率和切线方程，然后转换为普通方程表示的形式。

参数方程化为普通方程

参数方程化为普通方程参数方程是一种用参数表示的方程形式，常用于描述曲线、曲面或者空间中的轨迹。

参数方程的一个重要特点是可以更加简洁地描述复杂的几何形状。

然而，在某些情况下，我们可能需要将参数方程转换为普通方程，以便更好地理解和分析问题。

本文将介绍如何将参数方程化为普通方程的方法。

一、一些常见的参数方程在进一步讨论参数方程化为普通方程之前，我们先来回顾一些常见的参数方程。

1. 二维平面曲线的参数方程对于二维平面曲线，其参数方程形式通常可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，t 为参数，表示曲线上的每一个点的位置。

函数 f(t) 和 g(t)分别表示曲线上每一个点的 x 坐标和 y 坐标。

通过给定不同的参数值 t，我们可以得到曲线上的所有点。

2. 三维曲面的参数方程对于三维曲面，其参数方程形式通常可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u 和 v 分别表示参数，用于描述曲面上的每一个点的位置。

函数 f(u, v)、g(u, v) 和 h(u, v) 分别表示曲面上每一个点的 x、y 和z 坐标。

通过给定不同的参数值 u 和 v，我们可以得到曲面上的所有点。

二、将二维平面曲线的参数方程化为普通方程的方法接下来，我们将介绍如何将二维平面曲线的参数方程化为普通方程。

1. 消去参数法消去参数法是将参数方程化为普通方程常用的方法之一。

其基本思路是通过消除参数 t，得到关于 x 和 y 的方程。

例如，我们有参数方程：x = 2ty = 3t^2为了将其化为普通方程，我们将 t 从第一个方程中解出：t = x/2。

然后将 t 的值代入第二个方程中，得到：y = 3(x/2)^2化简后即可得到普通方程：4y = 3x^22. 直接等式法直接等式法是另一种常用的将参数方程化为普通方程的方法。

其思路是通过让两个方程直接等于，消去参数 t。

例如，我们有参数方程：x = 3ty = 4 - 2t我们可以直接令这两个方程等于：3t = x4 - 2t = y化简后即可得到普通方程：3x + 2y = 4三、将三维曲面的参数方程化为普通方程的方法接下来，我们将介绍如何将三维曲面的参数方程化为普通方程。

参数方程化成普通方程

参数方程化成普通方程参数方程可以表示为一组含有参数的方程组，而普通方程是不含有参数的方程。

将参数方程转化为普通方程的方法有以下几种：1.消参法消参法是将参数方程中的参数用非参数变量表示出来，从而得到普通方程。

具体步骤如下：（1）根据参数方程的定义，将参数用非参数表示，假设参数为t，则可以将参数表示为x=f(t)和y=g(t)；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组中，得到非参数变量的方程组，即F(x,y)=0；（3）通过解F(x,y)=0，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。

2.去参数化法去参数化法是通过消去参数，将参数方程对应的曲线变为非参数方程的方法。

具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为t=x/y或y/x；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组，得到去参数化的方程组；（3）通过解去参数化的方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。

3.参数消去法参数消去法是通过消去参数，得到仅含有非参数变量的方程。

具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）将t代入参数方程的方程组中，得到含有非参数变量x和y的方程组；（3）通过解上述方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。

4.直接法直接法是对特定的参数方程直接求导或代入一些特定的数值来消去参数，从而得到普通方程。

（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）对 t 求导，得到 dt/dx 和 dt/dy；（3）代入 dt/dx 和 dt/dy，消去参数 t，从而得到 x 和 y 之间的关系，从而得到普通方程。

以上是将参数方程化为普通方程的几种方法，具体的选用方法取决于具体的参数方程形式和求解的要求。

不同的方法在不同的场合下有着不同的适用性，需要根据具体情况进行选择。

参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________．解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1，于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即y ＝－1±sin θ，由于参数θ的任意性，可取y ＝－1＋sin θ，因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ，解得x ＝t 2，所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1，代入y ＝1－2t ，得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)，所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1，代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分，又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)．答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。

数学学案：参数方程化成普通方程

§3参数方程化成普通方程1．掌握将参数方程化成普通方程的两种常用的消去参数的方法：代数法和三角恒等式法．2．选取适当的参数，能将普通方程化为参数方程．一、代数法消去参数1．代入法从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数,得到曲线的______．我们通常把这种方法称为代入法．2．代数运算法通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行______，消去参数．【做一做1】将参数方程错误!(t为参数）化为普通方程为__________．二、利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用______消去参数．常用的三角恒等式有：sin2θ＋c O s2θ＝1,错误!－tan2θ＝1，(sin θ＋c O s θ)2－2sin θc O s θ＝1等．将参数方程化为普通方程时，要注意两个方面：(1）根据参数满足的条件，明确x，y的取值范围；（2）消去参数后,普通方程和参数方程中的变量x和y的取值范围要保持一致．【做一做2－1】将参数方程错误!（θ为参数)化为普通方程为__________．【做一做2－2】将参数方程错误!化为普通方程为__________．1．曲线参数方程与普通方程互化的意义剖析：在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程，这都是基于对曲线的更好的研究．有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决．曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式，在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质就可以灵活地选用相应曲线的对应方程形式．2．将参数方程化为普通方程时,消去参数的常用方法剖析：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示），再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程错误!如果t是常数,θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋c O s2θ＝1消参;如果θ是常数,t是参数,那么适当变形后可以利用(m＋n)2－（m－n)2＝4mn消参．答案：一、1．普通方程2．代数运算【做一做1】2x－y－4＝0(x≥0)将x＝t代入y＝2错误!－4得y ＝2x－4。

第2章 §3 参数方程化成普通方程

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普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数方程为xy＝＝ttaann2θθ，＋tan θ－1 (θ 为参数).
即(y－1)2＝－14x(y≥1).
方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于 x 轴，开口向左的抛物线的一
部分.
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(2)由已知可得
ax＝11－＋tt22，
①

by＝1＋2tt2， ②
①2＋②2 得ax22＋by22＝1(a＞b＞0，x≠－a)，这就是所求的普通方程，方程表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆(去掉左顶点).
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【解析】 (1)把 t＝x 代入②得 y＝2x 即普通方程为 y＝2x. (2)由 sin2 θ＋cos2 θ＝1 得 x2＋y2＝1. (3)由②得 t＝y－1，代入①得 x＝2(y－1)2.
【答案】 (1)y＝2x (2)x2＋y2＝1 (3)x＝2(y－1)2
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(t 为参数)
x＝tan t， D.y＝1－tan2t
(t 为参数)
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【解析】 A 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. B 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. C 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]. D 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－t 为参数)；

参数方程和普通方程的互化

（一）、代入法：
所谓代入法是指先由一个方程求出参数方程的表达式（参数用X或Y作变量），在带入另外一个方程进行化简。
练习一
• 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各自表示什么曲线 x t 1 • （1）
y 1 2 t
解：由 x= y 2 x 3 t 1有 t 得到 t x 1, 代入y 1 2
普通方程化为参数方程
从普通方程化为参数方程方程，必须先指定参数或给出参数与x,y中之一的函数关系。同一个普通方程,由于选择参数不一样，得到的参数方程也不一样。 x2 y2 1 的参数方程例4：求椭圆
1
设x 3cos , 为参数
9
4
2
设 y 2t，t为参数
x 3 cos , 为参数 1 y 2 sin x 3 1 t 2 , t为参数 2 y 2t
王李斌
弥勒四中
问题情景
• 如何判断参数方程：
x cos 3
y sin
是什么图形？直接由参数方程来判断曲线类型不容易，但如果将参数方程转化为普通方程就容易得多。这就是我们今天研究的内容：参数方程和普通方程的互化
参数方程转化为普通方程
• 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，因而可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。 • 注意在参数与普通方程互化中，必须使X，Y取值范围保持不变 • 参数方程转化为普通方程方法：
1 2 1 2 (t ) (t ) 1等 t t
练习2
• （1）
x sin cos
y 1 sin 2
x 1 4cos t
• （2）

参数方程化为普通方程

3x2 y2 4
二. 利用三角恒等式消去参数
例5.将 x
5 cos
为参数化为普通方程。
y 5 sin
解：利用sin2 cos2 1得到
x2 y2 25
若 0，2 ，则普通方程是什么？
思若 0，，则普通方程是什么？
考若 0，，则普通方程是什么？
2
例6
将 x
t为参数
y t2
x
2
3t 2
1 t2 （t为参数）
t2
x
（3）
t
1
t t为参数
y 1 t 2
将参数方程化为
y
t
1 t
普通方程中，必须使x，y的取值
范围保持一致。
解：（1）x 3y 1 0(x 1) 否则，转化就是
2x 3y 00 x 3或 1 y 0 不等价的.
复习回顾
2.直线，圆，椭圆，抛物线与双曲线的参数方程
x x t cos
直线的参数方程
0
t为参数
y
y 0
t sin
圆的参数方程 x
a
r cos
为参数
y b r sin
x a cos
椭圆的参数方程
为参数
y b sin
抛物线的参数方程 x y
2 pt 2 2 pt
1
普通方程是x2 y2 1
C 是直线，普通方程是x y 2 0 2
C 与C 有且只有一个交点
1
2
已知参数方
程
x y
at bt
cos a, b, 均不为0，0
sin
2 ，
分别取1t为参数； 2 为参数; 3 为参数.

已知参数方程怎样求普通方程

已知参数方程怎样求普通方程已知参数方程如何求普通方程？这是许多同学在学习数学时经常遇到的问题。

本文就为大家详细解答这个问题。

首先，我们需要了解什么是参数方程，什么是普通方程。

参数方程是指用参数t表示一条曲线上的点的坐标。

比如，对于一个圆的参数方程是：x = r cos t, y = r sin t。

而普通方程则是用x和y表示曲线上的点的坐标。

例如，圆的普通方程是：x^2 + y^2 = r^2。

因此，我们可以看出，参数方程和普通方程是互相转换的，也就是说，如果我们已知参数方程，就可以求出对应的普通方程。

接下来，我们来具体介绍求解的方法。

以二次曲线为例，假设现在有一条抛物线的参数方程为x = t, y = t^2。

想要将其转换为普通方程，需要按照以下步骤进行。

步骤一：将y表示成t。

对于上述抛物线，可以把y=t^2转化为t=sqrt(y)，然后将其代入x=t，得到x=sqrt(y)。

步骤二：消去参数t。

对于上述抛物线，将t=sqrt(y)代入x=t中得到x=sqrt(y)，再将t=sqrt(y)代入y=t^2中得到y=y^2，整理后可得到方程y=x^2。

步骤三：检验结果。

将x=sqrt(y)代入y=x^2中得到y=y^2，也就是说，通过普通方程和参数方程求得的结果是一致的。

综上所述，普通方程和参数方程是数学上非常基础的概念，它们可以相互转换，通过转换可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。

求解普通方程的方法就是将参数t表示成y或x，然后消去参数t，最后做好检验即可。

希望本文对大家理解普通方程和参数方程的转换方法有所帮助。

如果还有其他数学问题需要解答，欢迎随时联系我们。

直线参数方程普通方程互化

直线参数方程普通方程互化一、直线的参数方程在平面几何中，直线是由无数个点组成的集合。

为了描述这个集合，我们通常使用直线的参数方程。

直线的参数方程表示为：x = x₀ + at y = y₀ + bt其中，(x₀, y₀)为直线上的一个已知点，a和b是常数，t是参数。

以直线上的某一点(x, y)为起点，我们可以根据参数方程，选择适当的a、b和参数t的取值，找到直线上的其他点。

二、直线的普通方程直线的普通方程是另一种描述直线的形式，也常被称为斜截式方程。

直线的普通方程表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

普通方程中的系数A、B和C 决定了直线的位置和方向。

三、直线的参数方程转化为普通方程我们可以通过将直线的参数方程转化为普通方程来描述直线。

下面以直线参数方程中的一点(x, y)为例进行转换。

根据直线的参数方程：x = x₀ + at y = y₀ + bt将x代入普通方程中：Ax + By + C = 0得到A(x₀ + at) + By + C = 0对上式进行展开化简，得到：Ax₀ + Aat + By + C = 0进一步化简，得到：(Aa + B)t + (Ax₀ + By + C) = 0由于(Aa + B)和(Ax₀ + By + C)是常数，我们可以将其分别记为D和E，得到最终的普通方程：Dt + E = 0这就是将直线的参数方程转化为普通方程的过程。

从这个普通方程中，我们可以知道直线的位置、方向以及直线上的其他点。

四、直线的普通方程转化为参数方程同样地，我们也可以通过将直线的普通方程转化为参数方程来描述直线。

下面以直线普通方程Ax + By + C = 0为例进行转换。

我们可以假设直线上的一点为(x₀, y₀)。

根据直线的普通方程：Ax₀ + By₀ + C = 0我们可以得到：Ax₀ + By₀ = -C再假设直线上的另一点为(x, y)，则直线上的点可以使用(x₀, y₀)和(x, y)间的线段长度t来表示：x = x₀ + at y = y₀ + bt要使上述点满足直线的普通方程，我们将(x, y)代入普通方程中：Ax + By + C = 0得到：A(x₀ + at) + B(y₀ + bt) + C = 0进一步化简，得到：(Aa + Bb)t + (Ax₀ + By₀ + C) = 0由于(Aa + Bb)和(Ax₀ + By₀ + C)是常数，我们可以分别记为D和E，得到最终的参数方程：Dt + E = 0这就是将直线的普通方程转化为参数方程的过程。

参数方程与普通方程互化2

参数方程与普通方程互化2参数方程与普通方程互化21.参数方程转普通方程将参数方程转化为普通方程可以使问题更直观，易于理解和求解。

假设有一个参数方程：x=f(t),y=g(t).我们可以通过消去参数t，将参数方程转化为普通方程。

步骤如下：a.从第一个参数方程中解出t，得到t=f^-1(x).b.将t代入第二个参数方程中，得到y=g(f^-1(x)).例如，假设有一个参数方程：x=2t,我们可以先从第一个参数方程中解出t，得到t=x/2、然后将t代入第二个参数方程中，得到y=3(x/2)^2=3x^2/4、这样我们就得到了普通方程y=3x^2/4，将参数方程转化为了普通方程。

2.普通方程转参数方程将普通方程转化为参数方程可以使问题更灵活，特别是在求解曲线上的点坐标时非常有用。

步骤如下：a.假设有一个普通方程y=f(x).b.令t=x，求解上述方程关于t的逆函数t=f^-1(y).c.将t代入x=t，得到新的参数方程x=f^-1(y)，y=t=f^-1(y).例如，假设有一个普通方程y=x^2、我们可以令t=x，然后求解方程关于t的逆函数t=y^0.5、最后将t代入参数方程x=y^0.5，y=t，得到参数方程x=y^0.5，y=t。

3.参数方程与普通方程的优缺点参数方程的优点是在描述曲线上的点时更灵活，易于求解与计算。

特别是在求解曲线上的点坐标时，参数方程的形式非常方便。

同时，参数方程能够更准确地描述曲线的拐点、极值等性质。

普通方程的优点是更直观易懂，一眼就可以看出曲线的整体形状。

特别是在解析几何中，普通方程的形式更加常用。

然而，普通方程也具有一些局限性，例如在描述一些特殊曲线时可能会有困难，需要引入一些复杂的工具。

此外，普通方程在求解特定点的坐标时通常需要进行反函数运算，比较繁琐。

总的来说，参数方程与普通方程在使用上各有优劣，根据具体问题的需求选择使用哪一种形式更加合适。

参数方程与普通方程互化

在将参数方程转化为普通方程后，需要采用适当的方法验证转化过程的正确性，例如通过对比原方程和转化后的方程的图形或数值解等。
VS
误差分析
在验证过程中，需要对误差进行分析，以评估转化过程的精度和准确性，并根据需要调整和改进转化方法。
转化后方程的简化与化简
简化方程进行简化，以使其更易于理解和分析。简化的步骤可能包括合并同类项、消去某些变量等。
= a(t)t$、$y = b(t)$，其中 $t$ 是参数。
三角函数法
要点一
总结词
利用三角函数的性质，将普通方程转化为参数方程。
要点二
详细描述
利用三角函数的周期性、有界性等性质，将普通方程转化为参数方程。例如，将普通方程 $x = acostheta$、$y = bsintheta$ 转化为参数方程 $theta = theta(t)$、$x = acostheta(t)$、$y = bsintheta(t)$，其中 $t$ 是参数。
详细描述
三角函数法的基本思想是利用三角函数的性质，如三角恒等式、周期性等，将参数方程转化为普通方程。这种方法适用于与三角函数有关的参数方程。
代数法
总结词
通过代数运算，将参数方程转化为普通方程的方法。
详细描述
代数法的基本思想是通过代数运算，如加减、乘除、乘方等，将参数方程转化为普通方程。这种方法适用于参数不易消去或与三角函数无关的参数方程。
03 普通方程转化为参数方程的方法
引入参数法
总结词
通过引入参数，将普通方程转化为参数方程，参数通常表示方向或时间。
详细描述
在普通方程中引入一个或多个参数，将普通方程中的变量表示为参数的函数，从而将普通方程转化为参数方程。例如，将普通方程 $x = a(t)t$、$y = b(t)t$ 转化为参数方程 $x

参数方程化普通方程

参数方程化普通方程参数方程是一种可以用来表示平面上或者空间中曲线的方程形式。

在参数方程中，曲线上的任意一点的坐标都可以用参数表示。

参数方程的一般形式如下：x=f(t)y=g(t)z=h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上的点的x坐标、y坐标和z坐标，f(t)、g(t)和h(t)是关于参数t的函数。

将参数方程化为普通方程的过程就是将参数t消去，得到x、y和z 之间的关系。

下面我们以平面曲线和空间曲线为例，来介绍如何将参数方程化为普通方程。

一、平面曲线：考虑一个简单的例子，即抛物线的参数方程。

抛物线的参数方程为：x=ty=t^2我们可以通过将y用x来表示，从而消去参数t。

将第二个方程中的t替换成第一个方程中的x，得到：y=x^2这就是抛物线的普通方程。

二、空间曲线：考虑一个球面上的曲线的参数方程，球面的参数方程为：x = r*sin(θ)*cos(ϕ)y = r*sin(θ)*sin(ϕ)z = r*cos(θ)其中，r是球的半径，θ和ϕ是球面上的两个参数。

我们可以通过消去参数θ和ϕ，得到球面上的曲线的普通方程。

为了简化问题，我们取r=1、此时，将第一个方程中的θ和ϕ消去，可以得到：x^2+y^2+z^2=1这就是球面上的曲线的普通方程。

从上述两个例子可以看出，将参数方程化为普通方程的关键在于消去参数。

消去参数的方法可以根据具体情况而定，常用的方法有代入法和消元法。

总结起来，将参数方程化为普通方程的关键在于消去参数，常用的消去方法有代入法和消元法。

通过将参数替换成普通方程中的变量，我们可以得到曲线上点的坐标之间的关系。

参数方程和普通方程的转换可以使我们更方便地进行曲线的分析和计算。

冲刺高考数学参数方程与普通方程的互化

冲刺高考数学参数方程与普通方程的互化在高考数学中，参数方程与普通方程的互化是一个重要的考点，也是解决许多数学问题的有力工具。

对于即将参加高考的同学们来说，熟练掌握这一知识点至关重要。

首先，我们来了解一下什么是参数方程。

参数方程是指在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，并且对于 t 的每一个允许的取值，由方程组确定的点（x, y) 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程。

而普通方程，则是指直接用变量 x 和 y 表示的方程。

那么为什么要进行参数方程与普通方程的互化呢？这是因为在某些情况下，使用参数方程能够更方便地描述曲线的性质和特点；而在另一些情况下，使用普通方程则更便于进行计算和分析。

接下来，我们具体看看如何进行参数方程与普通方程的互化。

先从参数方程化为普通方程说起。

以常见的圆的参数方程为例，假设圆的参数方程为：x ＝ a ＋r cosθ，y ＝ b ＋r sinθ （其中（a, b) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数）。

我们可以通过三角函数的平方和关系：cos²θ ＋sin²θ ＝ 1 来进行消参。

将 x ＝ a ＋r cosθ 变形为：cosθ ＝（x a) ／ r ，将 y ＝ b ＋r sinθ变形为：sinθ ＝（y b) ／ r 。

然后将它们代入cos²θ ＋sin²θ ＝ 1 中，得到：（x a) ／ r²＋（y b) ／ r²＝ 1经过整理，就可以得到圆的普通方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²再比如，椭圆的参数方程：x ＝a cosθ，y ＝b sinθ （其中 a 为长半轴，b 为短半轴，θ 为参数）。

同样利用三角函数的平方和关系消参，得到：（x ／ a)²＋（y ／ b)²＝cos²θ ＋sin²θ ＝ 1即椭圆的普通方程：x²／ a²＋ y²／ b²＝ 1在进行参数方程化为普通方程的过程中，需要注意以下几点：一是要注意参数的取值范围，确保在消参过程中不改变曲线的范围。

§3 参数方程化成普通方程

§3 参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】把参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2.解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)，即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2，y 2＝4k 2r2（1＋k 2）2，得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r 2（1＋k 2）2＝r 2.∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程.【反思感悟】用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1；(2)⎩⎨⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p t2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1(x ≠1).(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式，得y 2＝p (x －2p ).题型二利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a ，b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a ，b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 2a 2＋y 2b 2＝1这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y b ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ2－tan 2φ＝1，∴有x 2a 2－y 2b 2＝1这是一条双曲线.(3)由已知t ＝y 2p 代入x ＝2pt 2中得y 24p 2·2p ＝x ，即y 2＝2px ，这是一条抛物线.【反思感悟】用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数).解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1， ∵－12≤12sin 2θ≤12， ∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2， ∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分.(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两部分圆弧x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0).1.若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A.直线x ＋2y －2＝0 B.以(2，0)为端点的射线 C.圆(x －1)2＋y 2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析 x ＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin 2θ＝2－2y ，故普通方程为x ＋2y －2＝0，但⎩⎨⎧0≤sin 2θ≤1，0≤1＋cos θ≤2，即0≤y ≤1，0≤x ≤2，故为一条线段. 答案 D2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A.直线B.圆C.线段D.射线解析 ∵x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ，∴x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，y ＝1－cos 2θ＝1－x ， ∴x ＋y ＝1，是一条线段，故选C.答案 C3.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 y ＝t 2＋1t 2＝t 2＋2·t ·1t ＋1t 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2(x ≠0). 答案 y ＝x 2－2(x ≠0)4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________.解析消参数得圆方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案 (0，2) 22[P 42练习]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ(a ，b ，λ均不为0，0≤θ≤2π)分别取：(1)t 为参数，(2)λ为参数，(3)θ为参数. 则下列结论中成立的是( ) A.(1)，(2)，(3)均是直线 B.只有(2)是直线C.(1)，(2)是直线，(3)是圆D.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线解析 (1)t 为参数，t ＝x －λcos θa 代入y ＝bt ＋λsin θ中得，y ＝b x －λcos θa＋λsin θ. 整理得：bx －ay －λb cos θ＋λa sin θ＝0，其中a 、b 、λ、θ为常数，故为直线. (2)λ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ⇒⎩⎨⎧x －at ＝λcos θ，y －bt ＝λsin θ.消去参数λ，y －btx －at ＝tan θ，整理得，y ＝tan θ·x －at tan θ＋bt 为直线.(3)θ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ，用三角恒等式消去参数θ.得(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2为以(at ，bt )为圆心，λ为半径的圆. 由以上解答，应选C. 答案 C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x ，y 的取值范围.一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析消去参数yx ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线. 答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B. 答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x ，代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2.答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线D.一条直线解析将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D. 答案 D 二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.解析参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴最大值为2 2. 答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ) ＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ). 其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s ＝x ＋y 的最大值.解因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.习题2－3 第42页A 组1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2b 2＝1，双曲线.(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，所以y －2x －1＝4.所以4x －y －2＝0，直线. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225＝1，焦距为221.4.椭圆的普通方程为（x －1）216＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0).5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24＝1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.8.解根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b2，点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).B 组1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2.2.解设动点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25.即（x ＋1）225＋（y －2）29＝1.3.解曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)，顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24＝1.4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20x 2，射程为3v 202g ，(2)证明略.。

参数方程与普通方程互化

转换关系
参数方程和普通方程之间可以通过消参法、换元法等数学手段进行相互转换。
应用场景
参数方程常用于描述具有参数变量的曲线或运动轨迹，如行星运动、摆线等；普通方程则广泛应用于几何图形、解析几何等领域。
02
参数方程转化为普通方程的方法
消去参数法
总结词
通过消除参数，将参数方程转化为普通方程的方法。
转化过程中的等价性检验
在将参数方程转化为普通方程或普通方程转化为参数方程后，需要进行等价性检验，以确保转化后的方程与原方程描述的轨迹一致。
等价性检验可以通过对比转化前后的轨迹、观察转化前后的参数变化等方式进行。如果转化后的方程与原方程描述的轨迹不一致，需要对转化过程进行修正或重新选择转化方法。
在物理问题中，物体的运动轨迹往往受到多个因素的影响，如重力、摩擦力、电磁场等。参数方程可以用来描述这些复杂运动轨迹，通过设定参数（通常是时间）来表达物体的位置、速度和加速度等物理量随时间的变化。
几何问题中的曲线表示
总结词
参数方程在几何问题中常用于表示复杂的曲线或曲面，使得曲线的形状和性质更加直观。
详细描述
消去参数法是通过对方程中的参数进行运算，消去参数，从而将参数方程转化为普通方程的方法。具体步骤包括对方程中的参数进行代数运算，以消去参数，得到普通方程。
三角函数法
总结词
利用三角函数的性质，将参数方程转化为普通方程的方法。
详细描述
三角函数法是通过利用三角函数的性质，如三角函数的和差公式、倍角公式等，对方程进行变换，从而将参数方程转化为普通方程的方法。这种方法在处理与圆、椭圆等有关的参数方程时特别有效。
坐标系的选取对于参数方程和普通方程的互化至关重要。不同的坐标系会导致参数方程和普通方程的形式和复杂程度发生变化。

参数方程化普通方程

参数方程化普通方程一、什么是参数方程和普通方程？1. 参数方程参数方程是指用一个参数或一组参数来表示曲线上的各个点的坐标。

例如，可以用参数方程表示一个圆的边界上的点的坐标： - 圆的参数方程为： - x = r * cos(t) - y = r * sin(t) - 其中，r 是圆的半径，t 是参数，取值范围为 0 到2π。

2. 普通方程普通方程是指用一个或多个变量的代数式直接表示曲线或曲面的方程。

例如，可以用普通方程表示一个圆的边界： - 圆的普通方程为： - (x - a)^2 + (y - b)^2 - r^2 = 0 - 其中，(a, b) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。

二、参数方程化普通方程的方法将参数方程化为普通方程有多种方法，我们将介绍两种常用的方法。

1. 消元法(1) 基本步骤消元法是指根据两个参数方程，通过消去参数来得到普通方程的方法。

以二维空间中的曲线为例，假设有两个参数方程： - x = f(t) - y = g(t)可以按照以下步骤将其消元为普通方程： 1. 将第一个参数方程转化为关于 t 的代数式； 2. 将第二个参数方程中的 t 替换为第一步得到的关于 t 的代数式，得到关于 x 和 y 的代数式，即得到普通方程。

(2) 例子以参数方程 x = t, y = t^2 为例，求其对应的普通方程。

首先，将 x = t 代入第二个参数方程 y = t^2，得到 y = x^2。

因此，普通方程为 y = x^2。

2. 中间变量法(1) 基本步骤中间变量法是指通过引入一个新的中间变量，使参数方程化为包含该中间变量的代数式，然后消去该中间变量得到普通方程的方法。

以二维空间中的曲线为例，假设有两个参数方程： - x = f(t) - y = g(t)可以按照以下步骤将其化简为普通方程： 1. 将第一个参数方程表示为 x - f(t) = 0 的形式； 2. 将第二个参数方程表示为 y - g(t) = 0 的形式； 3. 消去 t，得到关于 x 和 y 的代数式，即得到普通方程。

参数方程化普通方程

参数方程化普通方程要将参数方程转化为普通方程，我们首先来看一下参数方程的定义。

参数方程是通过给定的一个或多个参数，将方程的自变量和因变量表示为参数的函数。

例如，一个简单的二维平面上的参数方程可以表示为：x=f(t)y=g(t)这里的参数t可以是任何实数。

当我们给定t的值时，就可以计算出x和y的值。

要将参数方程化为普通方程，我们可以使用以下步骤：1.确定参数的范围：首先，我们必须确定参数t的范围。

该范围应该包含任何使方程有意义的值。

通常情况下，我们选择一个连续的范围来表示整个曲线或曲面。

2.消除参数：为了将参数方程转化为普通方程，我们需要消除参数t。

这可以通过解方程组x=f(t)和y=g(t)来实现。

具体来说，我们可以将其中一个参数方程表示为t的函数，并将其代入另一个参数方程中。

这样就得到了只包含自变量x和因变量y的普通方程。

3.简化方程：在得到普通方程后，我们可以进一步简化它，使其更容易理解和分析。

这可能涉及到对方程进行化简、整理和变形的步骤。

让我们通过一个具体的例子来说明这些步骤。

考虑以下二维平面的参数方程：x=2ty=3t+1我们可以将上述步骤应用于此参数方程：1.确定参数的范围：在这种情况下，参数t的范围可以选择为任何实数。

2.消除参数：我们可以从第一个参数方程中得到t=x/2，并将其代入第二个参数方程中：y=3(x/2)+1=(3/2)x+13.简化方程：我们可以观察到，将消除参数后的方程乘以2可以得到一个更简单的形式：2y=3x+2这就是我们所得到的普通方程。

通过以上的步骤，我们可以将参数方程转化为普通方程。

然而，需要注意的是，并不是所有的参数方程都可以很容易地转化为普通方程。

在一些情况下，这可能需要更复杂的代数运算和技巧。

参数方程在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在物理学中，参数方程常常用于描述物体的运动轨迹。

此外，参数方程还可以用于描述曲线、曲面、空间曲线等复杂的几何形状。

转化为普通方程后，我们可以更方便地进行分析和计算。