参数方程与普通方程的互化 课件(22张)

t
为参数）
(2)
x 2cos
(
y sin
为参数）
1、通过什么样的途径，能从参数方程得 到普通方程？
2、在参数方程与普通方程互化中，要注 意哪些方面？
预习自测：
把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各
表示什么曲线？
(1)
x t 1
(
y 1 2t
t
为参数）
y=-2x+3
(2)
x 2cos
x y
a b
r r
cos sin
(:为参数)
(x a)2 ( y b)2 r2
复习回顾
同学们，请回答下面的方程各表示什么样的曲线：
例：2x+y+1=0
直线
(1) y 3x2 2x 1
抛物线
(2) x2 y2 1 94
椭圆
x (3)
y
cos sin
3(为参数)
x
y
x f (t),
y
g
(t).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x,y)
都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，
联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理
(
y sin
x
2
为参数）
y2
1
4
1. 代入消参法
2. 三角变换消参法
参数方程化为普通方程最常用的消参方法
1、通过什么样的途径，能从参数方程
得到普通方程？ 消去参数
2、在参数方程与普通方程互化中，要 注意哪些方面？
考向一、参数方程化为普通方程
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明各
表示什么曲线？ （1） x t 1 (t为参数)
代入y 1 2 t , 得到y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)
y
(1,1)
o
x
代入消参法
(2)x sin cos 2 sin( ),
4 所以x [ 2, 2],
把x sin cos平方后减去y 1 sin 2
得到x2 y, x [ 2, 2].
1,
9
4
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是
94
x {
3
cos
(为参数)
y 2sin 2,2
y 2sin
y 2sin2,2
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
x2 a2
y2 b2
1 椭圆的参数方程:
x a cos y bsin
(为参数)
练习：动点P(x,y)在曲线 x2 y2 1上变化 ，求3x+4y的
最大值和最小值
16 9
最大值12 2,最小值 12 2.
课堂小结
一、知识点总结：
1.参数方程化为普通方程的方法——消去参数 （代入消参法，三角变换消参法、整体代入法）； 2.普通方程化为参数方程的方法——引入参数。
意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意
义的变数。
圆的参数方程的一般形式
圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程：
x
y
r cos r sin
(为参数)
x2 y2 r2
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时， OM0转过的角度。
圆心在( a, b )，半径为r 的圆的参数方程：
于是x2 9(1 t 2 ), x 3 1 t 2
所以，椭圆x2 y2 1的参数方程是 94
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1 t 2 (t为参数)
y 2t
y 2t
3、普通方程化为参数方程
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t, t为参数
这是抛物线的一部分。
y
三角变换 消参法
2 o
2
参数方程化为普通方程的步骤:
步骤： 1、写出定义域（x的范围） 2、消去参数(代入消元，三角变换消元)
思考：在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？
注意： 在参数方程与普通方程的互化中， 必须使x,y前后的取值范围保持一致。
练习：将下列参数方程化为普通方程。
y 12 t
展示、点评组：3组
（2）
x sin cos (为参数) y 1 sin 2
展示、点评组：4组
（1）展示人规范 快捷，过程完整 点评人总结规律 （用彩笔）
（2）其他同学讨 论完毕，A层注 意拓展，不浪费 一分钟。
（3）小组长要检 查、落实，力争 全达标。
解：（1）由x t 1 1有 t x 1
例2、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数
（2）设y 2t,t为参数
1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有 限个还是无限个？ 无限个 2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？ 如何区分？
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2
参数方程与普通方程的互化
教学目标：
知识目标:能通过消去参数将参数方程化为普通 方程，由普通方程识别曲线的类型 。
情感目标:通过活动、质疑培养学生合作交流、 自主探究的数学学习习惯和反思意识
能力目标:感受探索性问题的研究方法，培 养学生的创新意识
重点:参数方程和普通方程的等价互化
参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数t的函数
1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有
限个还是无限个？
无限个
2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？
如何区分？
两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取.
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 椭圆的参数方程: 94
x 3cos y 2sin
(为参数)
椭圆的标准方程:
x 3 2t x sin
(1)
y
1
4t
(2)
y
c
os2
展示组5组
展示组6组
(3)
xt
y t2
1 t
1 t2
(t
0)
展示组7组
(1) y 2x 7
(2) y 1 2x2 (1 x步 1骤) ：（1）求定义域；
(3) x2 y 2(x 2) （2）消参。
整体代入法
考向二、普通方程化为参数方程
cos sin
3(为参数)
(x 3)2 cos2
y2 sin2
(x 3)2 y2 cos2 sin2
(x 3)2 y2 1
表示圆心(3,0), 半径为1的圆.
预习自测：
把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各
表示什么曲线？
(1)
x t 1
(
y 1 2t