参数方程化成普通方程PPT课件
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参数方程化为普通方程教学课件
解：（1）(x-1)2+(y+3)2=4； （2）(x-1)2+(y+3)2=4,(y≥-3).
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
2 x s i n t x t x t x t A 、 、 、 D 、 4 B 2 C 2 y s i n t yt yt yt
将参数方程变形为
x cos a y sin b
将方程两边平方后相加，得
2 2 x y 2 1 (x a , y b ) 2 a b
2 2 cos 1 根据三角恒等式 sin 可以消除参数 ，得到
2 2 x y 2 2 cos sin 2 2 a b
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 2 y t
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值 范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
这是中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程
例5 参数方程
1 （A）双曲线的一支，这支过点（1， ）： 2 1
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) 表示 y 1(1sin ) 2
（ ）
（B）抛物线的一部分，这部分过（ 1， ）；
1 2 （C）双曲线的一支，这支过点（–1， 代数法消去参数（直接代入消元；加减消元）； 利用三角恒等式消去参数 2.注意：根据参数条件，明确x，y的取值范围； 消除参数后，普通方程要与原参数方程的取值 范围要保持一致；
参数方程与普通方程的互化 ppt课件(32张) 重点中学高中数学 苏教版 选修四
2 2 y ＋ 1 x ①2＋②2得 ＋ ＝1. 25 16
2
①
将下列参数方程化为普通方程： 1 x＝t＋ t ， (1) y＝t2＋ 1 t2
x＝2＋3cos (2) y＝3sin θ
(t为参数)；
θ，
(θ为参数)．
1 1 2 2 【解】 (1)∵x＝t＋ t ，∴x ＝t ＋t2＋2. 1 把y＝t ＋t2代入得x2＝y＋2.
(1)将x＝
3 cos
x－12 θ＋1代入 ＋ 3
3cos θ＋1， (θ为参数)， 5sin θ＋2
这就是所求的参数方程．
(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1 ＝t2＋3t＋1，
x＝t＋1， ∴ 2 y＝t ＋3t＋1
(t为参数)，
如果t是常数，θ是参数，那么
可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参 数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn消参．
参数方程化为普通方程
将下列参数方程化为普通方程： x＝t＋1， t －1 (1) y＝ 2t 3 t －1 (θ为参数)．
普通方程化为参数方程
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方 程． x－12 y－22 (1) ＋ ＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ为参数) 3 5 (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)
【自主解答】 y－22 ＝1得： 5 y＝2＋ 5sin θ.
x＝ ∴ y＝
(φ为参数)．
1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟 一？
【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所 求得的曲线的参数方程的形式也不同．
2
①
将下列参数方程化为普通方程： 1 x＝t＋ t ， (1) y＝t2＋ 1 t2
x＝2＋3cos (2) y＝3sin θ
(t为参数)；
θ，
(θ为参数)．
1 1 2 2 【解】 (1)∵x＝t＋ t ，∴x ＝t ＋t2＋2. 1 把y＝t ＋t2代入得x2＝y＋2.
(1)将x＝
3 cos
x－12 θ＋1代入 ＋ 3
3cos θ＋1， (θ为参数)， 5sin θ＋2
这就是所求的参数方程．
(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1 ＝t2＋3t＋1，
x＝t＋1， ∴ 2 y＝t ＋3t＋1
(t为参数)，
如果t是常数，θ是参数，那么
可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参 数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn消参．
参数方程化为普通方程
将下列参数方程化为普通方程： x＝t＋1， t －1 (1) y＝ 2t 3 t －1 (θ为参数)．
普通方程化为参数方程
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方 程． x－12 y－22 (1) ＋ ＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ为参数) 3 5 (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)
【自主解答】 y－22 ＝1得： 5 y＝2＋ 5sin θ.
x＝ ∴ y＝
(φ为参数)．
1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟 一？
【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所 求得的曲线的参数方程的形式也不同．
2.1.3 参数方程和普通方程的互化 课件(人教A选修4-4)
x＝ ∴ y＝
(θ 为参数)
这就是所求的参数方程． (2)将 x＝t＋1 代入 x2－y＋x－1＝0 得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1 ＝t2＋3t＋1
x＝t＋1， ∴ y＝t2＋3t＋1.
(t 为参数)
这就是所求的参数方程．
返回
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特 别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普 通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的．如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数
返回
参数方程和普通方程的互化
(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于 识别曲线 类型 ，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式， 一般地，可以通过消去参数 而从参数方程得到普通方程． (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y的取 值范围 保持一致．
返回
[例 1] 方程．
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数
答案：y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)
返回
点击下图进入
返回
2
① ， ②
返回Байду номын сангаас
消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入
消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的 方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取
值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函
数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
返回
1 x＝t＋ ， t 2．方程 表示的曲线是( y＝2 A．一条直线 C．一条线段 B．两条射线
)
(θ 为参数)
这就是所求的参数方程． (2)将 x＝t＋1 代入 x2－y＋x－1＝0 得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1 ＝t2＋3t＋1
x＝t＋1， ∴ y＝t2＋3t＋1.
(t 为参数)
这就是所求的参数方程．
返回
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特 别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普 通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的．如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数
返回
参数方程和普通方程的互化
(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于 识别曲线 类型 ，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式， 一般地，可以通过消去参数 而从参数方程得到普通方程． (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y的取 值范围 保持一致．
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[例 1] 方程．
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数
答案：y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)
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点击下图进入
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2
① ， ②
返回Байду номын сангаас
消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入
消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的 方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取
值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函
数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
返回
1 x＝t＋ ， t 2．方程 表示的曲线是( y＝2 A．一条直线 C．一条线段 B．两条射线
)
高三数学参数方程与普通方程的相互转化课件
类型3：参数方程与普通方程的相互转化☯知识清单☯一、曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x y 、都是某个变数t 的函数x f t yg t，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M x,y 都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x y 、的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
二、参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x y 、中的一个与参数t 的关系，例如x f t ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g t ，那么x f t yg t，就是曲线的参数方程。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x y 、的取值范围保持一致。
三、常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程参数方程直线 00y y tanx x00x x t cos yy t sin(t 为参数) 圆 222x ay brx a r cos y b r sin (为参数) 椭圆 222210x y a b a b x a cos y b sin (为参数)双曲线 2222100x y a ,b a b x a sec y btan(为参数)抛物线22ypx22x pt (t 为参数)【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：t 是直线上任一点M x,y 到000M x ,y 的距离。
【知识必备】1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f t 和g t 的值域，即x 和y 的取值范围。
2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式221cos sin ，2211tan cos 。
☯典型例题☯例题1：普通方程转参数方程（圆）1. 已知圆O 的圆心坐标为(2,1)，半径3r =，求圆O 的参数方程。
参数方程化成普通方程省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
x2 y 2
当t 0时，x 2.当t 0时，x 2
x2 y 2 x 2
或 y 2
练习：
将下列参数方程化成一般方程
1
x
（3）
x
3t 2 1
t为参数
y t2
t1
t t为参数
x
2
y
3t 2 1 t2
（t为参数） t2 1 t2
将参数方程化为
y
t
1 t
解：（1）x
y 27
例2.将参数方程
x
1
1
t t为参数化为普通方程
y 1 t2
解：由x
1
1 t
0得
t
1
t
x 1
1 x
利用解方 程求出参 数t ,然后
将其代入y 1 t 2得
裔入消去 参数。
1
y 1 1 x2
x 1
例3.将
x y
1 2
3t 4t
t为参数化成普通方程。
解：将参数方程变形为
3y
1
0( x
1)
一般方程中，必 须使x，y旳取值 范围保持一致。
2x 3 y 00 x 3或 1 y 0 不然，转化就是
3x2 y2 4
不等价旳.
二. 利用三角恒等式消去参数
例5.将 x
5 cos
为参数化为普通方程。
y 5 sin
解：利用 sin2 cos2 1得到
过程常见措施有两种：
1.代数法：代入法，加减消去法 2.三角法：利用三角恒等式消去参数
化参数方程为一般方程f(x,y)=0：在消参过程 中注意变量x、y取值范围旳一致性，必须根 据参数旳取值范围，拟定f(t)和g(t)值域得x、 y旳取值范围。
参数方程和普通方程的互化 课件
参数方程 和普通方程的互化
例、把下列参数方程化为普通方程，并说明各
表示什么曲线？
（1）{ x t 1 y 12 t(t为参数)（2）、{x Nhomakorabeay
sin cos 1 sin 2
解：（1）由x t 1 1有 t x 1 代入y 1 2 t ,得到y 2x 3 又x t 1 1,所以与参数方程等价的 普通方程是 y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2
1,
9
4
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x {
3c
os
(为参数)
y 2sin
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
y
o
2
x
2
参数方程化为普通方程的步骤
步骤：
1、消掉参数(代入消元，三角公式法， 配方法)
2、写出定义域（x的范围） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y前后的取值范围保持一致。
例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
C{ x t (t为参数) y t
D{x
1 1
cos2t cos2t
(t为参数)
y tan t
2.若x2 y2 4,则x y的最大值是 _________
解：x2 y2 4的参数方程为{x 2 cos (为 y 2sin
参数)
x y 2 cos 2sin 2 2 cos( )
例、把下列参数方程化为普通方程，并说明各
表示什么曲线？
（1）{ x t 1 y 12 t(t为参数)（2）、{x Nhomakorabeay
sin cos 1 sin 2
解：（1）由x t 1 1有 t x 1 代入y 1 2 t ,得到y 2x 3 又x t 1 1,所以与参数方程等价的 普通方程是 y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2
1,
9
4
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x {
3c
os
(为参数)
y 2sin
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
y
o
2
x
2
参数方程化为普通方程的步骤
步骤：
1、消掉参数(代入消元，三角公式法， 配方法)
2、写出定义域（x的范围） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y前后的取值范围保持一致。
例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
C{ x t (t为参数) y t
D{x
1 1
cos2t cos2t
(t为参数)
y tan t
2.若x2 y2 4,则x y的最大值是 _________
解：x2 y2 4的参数方程为{x 2 cos (为 y 2sin
参数)
x y 2 cos 2sin 2 2 cos( )
参数方程与普通方程的互化 课件
见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2
＝4，11－ ＋kk222＋1＋2kk22＝1 等．
(2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而 使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证 普通方程与参数方程的等价性．
题型二 把普通方程化成参数方程
点击2 参数方程的应用 【例3】 设曲线 C 的参数方程为 xy＝＝－2＋1＋3co3ssinθθ(θ为参数)，直线
l 的方程为 x－3y＋2＝0，则曲线 C 上到直线 l 距离为7 10的 10
点的个数为
( )．
解析
由题意，曲线
C
可变形为：xy＋－12＝＝33scions
θ θ，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
题型三 参数方程的综合性问题
【例3】
x＝1＋tcos
已知直线 C1： y＝tsin α
α，
(t 为参数)，
x＝cos θ， C2： y＝sin θ (θ为参数)．
π (1)当 α＝ 3 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；
● (2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数 方程，并指出它是什么曲线．
【反思感悟】 考查参数方程与普通方程的互化能力，考查利用参数表示动点轨迹方程的运算能 力．
高考在线——参数方程与普通方程互化的应用
点击1 参数方程与普通方程的互化
【例1】
参数方程
x＝cos α
y＝1＋sin
α(α为参数)化成普通方程为
________．
解析 ∵xy＝＝1c＋ os sαin α，cos2α＋sin2α＝1，
＝4，11－ ＋kk222＋1＋2kk22＝1 等．
(2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而 使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证 普通方程与参数方程的等价性．
题型二 把普通方程化成参数方程
点击2 参数方程的应用 【例3】 设曲线 C 的参数方程为 xy＝＝－2＋1＋3co3ssinθθ(θ为参数)，直线
l 的方程为 x－3y＋2＝0，则曲线 C 上到直线 l 距离为7 10的 10
点的个数为
( )．
解析
由题意，曲线
C
可变形为：xy＋－12＝＝33scions
θ θ，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
题型三 参数方程的综合性问题
【例3】
x＝1＋tcos
已知直线 C1： y＝tsin α
α，
(t 为参数)，
x＝cos θ， C2： y＝sin θ (θ为参数)．
π (1)当 α＝ 3 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；
● (2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数 方程，并指出它是什么曲线．
【反思感悟】 考查参数方程与普通方程的互化能力，考查利用参数表示动点轨迹方程的运算能 力．
高考在线——参数方程与普通方程互化的应用
点击1 参数方程与普通方程的互化
【例1】
参数方程
x＝cos α
y＝1＋sin
α(α为参数)化成普通方程为
________．
解析 ∵xy＝＝1c＋ os sαin α，cos2α＋sin2α＝1，
2.1.3 参数方程和普通方程的互化 课件(人教A选修4-4)
数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
返回
1 x＝t＋ ， t 2．方程 表示的曲线是( y＝2 A．一条直线 C．一条线段 B．两条射线
)
解析：t＞0 时
D．抛物线的一部分 1 x＝t＋ t ≥2
1 1 当 t＜0，x＝t＋ t ＝－(－t＋ )≤－2. －t 即曲线方程为 y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
x＝ ∴ y＝
(θ 为参数)
这就是所求的参数方程． (2)将 x＝t＋1 代入 x2－y＋x－1＝0 得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1 为参数)
这就是所求的参数方程．
返回
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特 别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普 通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的．如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数
(θ 为参数)．
t＋1 (1)可采用代入法，由 x＝ 解出 t 代入 t－1
(2)采用三角恒等变换求解．
返回
[解]
t＋1 x＋1 (1)由 x＝ ，得 t＝ . t－1 x－1
2
x＋1x－1 2t 代入 y＝ 3 化简得 y＝ (x≠1)． t －1 3x2＋1 x x＝5cos θ cos θ＝5 (2)由 得 y＝4sin θ－1 sin θ＝y＋1 4 y＋12 x 2 2 ① ＋② 得 ＋ ＝1. 25 16
x－12 y－22 (1) ＋ ＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数) 3 5 (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
返回
[解]
x－12 y－22 (1)将 x＝ 3cos θ＋1 代入 ＋ ＝1 得：y 3 5 3cos θ＋1， 5sin θ＋2.
返回
1 x＝t＋ ， t 2．方程 表示的曲线是( y＝2 A．一条直线 C．一条线段 B．两条射线
)
解析：t＞0 时
D．抛物线的一部分 1 x＝t＋ t ≥2
1 1 当 t＜0，x＝t＋ t ＝－(－t＋ )≤－2. －t 即曲线方程为 y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
x＝ ∴ y＝
(θ 为参数)
这就是所求的参数方程． (2)将 x＝t＋1 代入 x2－y＋x－1＝0 得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1 为参数)
这就是所求的参数方程．
返回
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特 别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普 通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的．如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数
(θ 为参数)．
t＋1 (1)可采用代入法，由 x＝ 解出 t 代入 t－1
(2)采用三角恒等变换求解．
返回
[解]
t＋1 x＋1 (1)由 x＝ ，得 t＝ . t－1 x－1
2
x＋1x－1 2t 代入 y＝ 3 化简得 y＝ (x≠1)． t －1 3x2＋1 x x＝5cos θ cos θ＝5 (2)由 得 y＝4sin θ－1 sin θ＝y＋1 4 y＋12 x 2 2 ① ＋② 得 ＋ ＝1. 25 16
x－12 y－22 (1) ＋ ＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数) 3 5 (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
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[解]
x－12 y－22 (1)将 x＝ 3cos θ＋1 代入 ＋ ＝1 得：y 3 5 3cos θ＋1， 5sin θ＋2.
参数方程和普通方程的互化 课件
参数方程的应用
已知曲线
C1
：
x＝－4＋cos y＝3＋sin t
t，
(t
为 参 数 ) ， C2 ：
x＝8cos θ， y＝3sin θ
(θ 为参数)．
(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示
什么曲线；
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 l：x－2y－7＝0 距离的最小值．
得et＋e－t＝co2sxθ， et－e－t＝si2nyθ，
即2et＝co2sxθ＋si2nyθ， 2e－t＝co2sxθ－si2nyθ.
得 2et·2e－t＝co2sxθ＋si2nyθco2sxθ－si2nyθ， 即coxs22θ－siny22θ＝1.
方法·规律 (1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有： ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变 量表示)，再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参
[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法以 及点到直线的距离的求法．解答本题需要先把题目条件中的 参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题．
(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：6x42 ＋y92＝1. C1 为圆心是(－4,3)，半径是 1 的圆． C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8， 短半轴长是 3 的椭圆．
方法·规律 (1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般 来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的 坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数 与 x，y 的相互关系比较明显，容易引出方程． (2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决 定参数方程是否与普通方程等价．
参数方程参数方程和普通方程的互化ppt
参数方程和普通方程的优缺点比较
03
参数方程和普通方程的应用场景
03
电磁学
在研究电磁场时，参数方程可以用来描述电场和磁场的变化。
物理问题中的参数方程应用
01
运动学
参数方程常用于描述物体的运动轨迹，例如，物体质点的位置随时间的变化。
02
波动
参数方程可以用来描述波的传播，例如，振幅随时间的变化。
解析几何
参数方程通常用于描述具有某些特定变化规律的问题，如运动轨迹、物理实验数据等。
参数方程的定义
普通方程又叫直角坐标方程，它是一种以x、y坐标轴为基准的平面图形表示方式，通过x、y坐标轴上点的坐标来表示图形上的点。
普通方程通常用于描述几何图形、函数图像等平面图形。
普通方程的定义
将参数方程转化通方程更加直观易懂。
案例二：圆方程的参数形式
椭圆方程的参数形式通过使用两个参数，描述椭圆在坐标系中的位置和形状。
总结词
椭圆方程的一般形式是 (x - a)2/b2 + (y - c)2/d2 = 1，其中 (a, c) 是椭圆中心的坐标，b 和 d 是椭圆的长半轴和短半轴
详细描述
案例三：椭圆方程的参数形式
05
总结与展望
2023
参数方程参数方程和普通方程的互化
目录
contents
参数方程和普通方程的基本概念参数方程和普通方程的互化方法参数方程和普通方程的应用场景参数方程和普通方程的案例分析总结与展望
01
参数方程和普通方程的基本概念
参数方程是一种描述某一变化过程的数学表达方式，其中包含一个或多个参数，这些参数是变化的，而参数的变化规律则由参数方程来描述。
参数方程的优势
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(为参数), 则点( x,
y)的
轨迹是( D )
A、直线x 2 y 2 0, B、以(2,0)为端点的射线
C、圆(x 1)2 y2 1, D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段
2、 若已知直线的参数方程为{x 1 t (t为参数)则它
y 1t
与曲线{x 2 cos (为参数)的交点有 ___2__ 个.
所以，椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1 t 2 (t为参数)
y 2t
y 2t
3、普通方程化为参数方程
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t, t为参数
1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有
参数方程化成 普通方程
一.代数法消去参数
例1 将参数方程 x
3t
1
t为参数化成普通方程。
y t 3
解：由x 3t 1得
t x1 3
将其代入y t 3得
y x 13
27
x
例2.将参数方程
1
1
t t为参数化为普通方程
y 1 t2
解：由x 1 1 t 0得
t
1
t
x 1
限个还是无限个？
无限个
2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？
如何区分？
两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取.
高考链接
（09广东（文））若直线
x 1 2t
y
2
3t
（t为参数）
与直线 4x ky 1垂直，则常数 k=__-6____.
课堂小结：
1、参数方程化为普通方程的步骤
1 x
利用解方 程求出参 数t ,然后 代入消去
将其代入y 1 t 2得 参数。
1
y 1 1 x2
x 1
例3.将
x y
1 2
3t 4t
t为参数化成普通方程。
解：将参数方程变形为通过将两参数
4 x 4 12t
3y
6
12t
方程的乘,除, 乘方等运算进 行适当的变形，
两式相加得
通过两个方程 的加，减等代
为参数
y b sin
抛物线的参数方程
x y
2 pt 2 2 pt
t为参数 p0
双曲线的参数方程
x
a
cos
为参数
y b tan
引例
x
t
1
t t为参数
y
t
1 t
直接判断此参数方程所表示的曲线类型 并不容易，但若将参数方程化为熟悉的 普通方程，则比较简单了。
1、通过什么样的途径，能从参数方程
得到普通方程？ 消去参数
2、在参数方程与普通方程互化中，要 注意哪些方面？
必须使x,y的取值范围保持一致.
2、参数方程化为普通方程
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各 表示什么曲线？
（1） x t 1 (t为参数) y 12 t
（2）
x sin cos (为参数) y 1 sin 2
普通方程为
数运算消去参 数。
4x 3y 2 0
例4.将
x
t
1 t
t为参数 化为普通方程。
y
t2
1 t2
解：将x t 1 两边同时平方得 t
x2
t2
1 t2
2
由题意知t 0
x2 y 2
当t 0时，x 2.当t 0时，x 2
得到x2 y, x [ 2, 2].
这是抛物线的一部分。
y
三角变换 消1、写出定义域（x的范围） 2、消去参数(代入消元，三角变换消元)
注意： 在参数方程与普通方程的互化中， 必须使x,y前后的取值范围保持一致。
课堂练习：
1、若曲线{x
y
1 cos 2 sin2
解：（1）由x t 1 1有 t x 1
代入y 1 2 t , 得到y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)
y
(1,-1)
o
x
代入消元法
(2)x sin cos 2 sin( ),
4 所以x [ 2, 2],
把x sin cos平方后减去y 1 sin 2
（1）写出定义域（x的范围） （2）消去参数(代入消元，三角变换消元） 注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须
使x,y前后的取值范围保持一致。
2、普通方程化为参数方程的步骤
把含有参数等式代入即可
课后作业：
1、 若已知曲线的参数方程为{ x cos (为参数) y cos 2 1
与直线y a有两个交点， 则a的取值范围为_______
2、P(x, y)是曲线{x 2 cos (为参数)上任意 y sin
一点,则(x 5)2 ( y 4)2的最大值为_________
3、（汕头市2010年普通高中高三教学质量测评（理））
已知点P( x,
y
y)
在曲线
x
y
s2incos（
为参数，
[
,2
)）
上，则 x 的取值范围为______
复习回顾
1.曲线的参数方程与普通方程的定义
一般地，在直角坐标系 中，如果曲线上任意一 点的坐标x, y都是某个变数t
的函数 x
f t 1，且对于t的每一个允许值，由方 程组1所确定的点x, y都
y g t
在这条曲线上，那么方 程组1就叫作这条曲线的参数 方程，其中t叫作参变数，
简称参数。
相对于参数方程，把直 接用坐标x, y表示的曲线方程f x, y 0
叫作曲线的普通方程
2.直线，圆，椭圆，抛物线与双曲线的参数方程
x x t cos
直线的参数方程
0
t为参数
y
y 0
t sin
圆的参数方程
x
a
r cos
为参数
y b r sin
x a cos
椭圆的参数方程
9 cos2 y2
1, 94
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x {
3
cos
(为参数)
y 2sin
（2）把y 2t代入椭圆方程，得 x2 4t 2 1 94
于是x2 9(1 t 2 ), x 3 1 t 2
y 2sin
3、普通方程化为参数方程
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t, t为参数
1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有 限个还是无限个？
2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？ 如何区分？
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到