参数方程化成普通方程
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化参数方程与普通方程是数学中的两种表达形式。
参数方程使用参数来表示变量之间的关系，而普通方程则以变量直接表示变量之间的关系。
参数方程与普通方程可以进行互化，即从参数方程导出普通方程，或者从普通方程导出参数方程。
首先，我们来探讨从参数方程导出普通方程的方法。
假设我们有以下参数方程：x=f(t)y=g(t)我们的目标是找到一个普通方程，将x和y之间的关系用该方程表示出来。
为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.将第一个参数方程中的t表示为x的函数，即t=h1(x)。
这里的h1(x)是反函数，用来表示x的函数与t的关系。
2.将第二个参数方程中的t表示为y的函数，即t=h2(y)。
这里的h2(y)是反函数，用来表示y的函数与t的关系。
3.将上述两个方程联立，得到h1(x)=h2(y)。
4.最后将h1(x)=h2(y)代入第一个参数方程，得到x=f(h1(x))。
5.将x=f(h1(x))代入第二个参数方程，得到y=g(h2(y))。
最终，我们得到普通方程x=f(h1(x))和y=g(h2(y))。
接下来，我们来探讨从普通方程导出参数方程的方法。
假设我们有以下普通方程：F(x,y)=0我们的目标是找到一对参数方程，将x和y之间的关系用这对方程表示出来。
为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.假设x=f(t)，其中f(t)是x关于一些参数t的函数。
2.将上面的假设代入普通方程，得到F(f(t),y)=0。
3.将上述方程进行整理，解出y关于t的函数，即y=g(t)。
4.最终得到参数方程x=f(t)和y=g(t)。
需要注意的是，从普通方程导出参数方程的过程中，参数t的选择是自由的，并不唯一、不同的参数选择会导致不同的参数方程，但它们的图形表达的是同一个曲线。
参数方程与普通方程的互化在数学中有非常广泛的应用，尤其在几何学和物理学中经常会用到。
例如，在解决曲线的问题时，参数方程能够更直观地描述曲线的性质，而普通方程则更方便计算。
参数方程化普通方程
参数方程化普通方程[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。
[例题分析]1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数)解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2,又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3 ∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3)(2)(θ∈R，θ为参数）解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。
又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+) y=sinθcosθ=sin2θ∴|x|≤，|y|≤。
∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤)小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。
消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值围，一般来说应分别给出x, y的围。
在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
(3)(t≠1, t为参数)法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。
x+y==1, 又x=-1≠-1，y=≠2,∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。
法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。
由x=, ∴x+xt=1-t,∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
(4)(t为参数)分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是围的改变，可用两种求值域的方法:法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴0<≤1, ∴-1<-1≤1, ∴-1<x≤1。
法二:解得t2=≥0, ∴-1<x≤1,同理可得出y的围。
参数方程
ddtyx2t-1
3 2
1
1 t2
3
t2
1
dx2
dx
2t
4t 3
dt
–The curve is concave upward when t > 0. –It is concave downward when t < 0.
Example 1 (d)
•A curve C is defined by x = t2, y = t3 – 3t. Sketch the curve.
•DAeEtcxeurarmmvpienleCe 1wis(hcde)erefintheedddcbx2uyy2rvxe=didsxt2c,oyddnyx=catv3e–dd3ttd. xddyx
upward or downward.
dt
d 2 y
d dt
3 2
它表示双曲线的右支，草图所示。
x
8t 4 t2
(4)
y
4 t2 4 t2
y
o
2x
解
8t x 4 t2
得
x 4t 2 4 t2
又
y
4 4
t2 t2
两式平方相加，得
4 t2 4 t2
θ = π/3
dy dx
sin / 3 1 cos / 3
3/2 1 1
2
3
θ = π/3
x
r
3
sin
3
将椭圆的参数方程转换为普通方程
将椭圆的参数方程转换为普通方程椭圆是一种常见的二维几何图形，它具有独特的形状和特征。
椭圆的参数方程是一种描述椭圆的方程形式，它能够直观地表示出椭圆的形状和位置。
然而，有时我们需要将椭圆的参数方程转换为普通方程，以便更方便地进行计算和分析。
本文将介绍如何将椭圆的参数方程转换为普通方程。
让我们回顾一下椭圆的参数方程。
一个椭圆可以由以下两个参数方程表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度，t表示参数，取值范围为0到2π。
为了将椭圆的参数方程转换为普通方程，我们需要利用三角函数的性质以及坐标系中的关系。
首先，我们将参数方程中的cos(t)和sin(t)分别表示为x轴和y轴上的坐标值，即：cos(t) = x / asin(t) = y / b将上述两个等式代入椭圆的参数方程中，得到：x = a * (x / a)y = b * (y / b)简化上述等式，得到：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1这就是椭圆的普通方程，也被称为椭圆的标准方程。
在普通方程中，x和y分别表示椭圆上的点的坐标，a和b表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。
椭圆的普通方程可以帮助我们更方便地计算和分析椭圆的性质。
例如，可以通过普通方程确定椭圆的中心点、长半轴和短半轴的长度，进而计算出椭圆的周长和面积。
除了将椭圆的参数方程转换为普通方程，我们还可以将普通方程转换为参数方程。
这样做可以更方便地描述椭圆的轨迹和位置。
具体的转换方法可以通过将普通方程中的x和y表示为参数t的函数来实现。
总结起来，本文介绍了将椭圆的参数方程转换为普通方程的方法。
通过将参数方程中的cos(t)和sin(t)表示为x轴和y轴上的坐标值，我们可以得到椭圆的普通方程。
椭圆的普通方程可以帮助我们更方便地计算和分析椭圆的性质。
同时，我们还可以通过将普通方程转换为参数方程来描述椭圆的轨迹和位置。
希望本文的内容能够对读者理解椭圆的参数方程转换为普通方程有所帮助，以及在相关的计算和分析中能够应用到这些知识。
§3 参数方程化成普通方程
§3 参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一 代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2.解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)， 即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2，y 2＝4k 2r2（1＋k 2）2，得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r2（1＋k 2）2＝r 2. ∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程.【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1；(2)⎩⎨⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p t2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2tt 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1(x ≠1).(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式， 得y 2＝p (x －2p ).题型二 利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a ，b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a ，b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 2a 2＋y 2b 2＝1这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y b ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ2－tan 2φ＝1，∴有x 2a 2－y 2b 2＝1这是一条双曲线.(3)由已知t ＝y 2p 代入x ＝2pt 2中得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px ，这是一条抛物线.【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数).解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1， ∵－12≤12sin 2θ≤12， ∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2， ∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分.(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两部分圆弧x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0).1.若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A.直线x ＋2y －2＝0 B.以(2，0)为端点的射线 C.圆(x －1)2＋y 2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析 x ＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin 2θ＝2－2y ，故普通方程为x ＋2y －2＝0，但⎩⎨⎧0≤sin 2θ≤1，0≤1＋cos θ≤2，即0≤y ≤1，0≤x ≤2，故为一条线段. 答案 D2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.线段 D.射线解析 ∵x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ，∴x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，y ＝1－cos 2θ＝1－x ， ∴x ＋y ＝1，是一条线段，故选C.答案 C3.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 y ＝t 2＋1t 2＝t 2＋2·t ·1t ＋1t 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2(x ≠0). 答案 y ＝x 2－2(x ≠0)4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________.解析 消参数得圆方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案 (0，2) 22[P 42练习]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ(a ，b ，λ均不为0，0≤θ≤2π)分别取：(1)t 为参数，(2)λ为参数，(3)θ为参数. 则下列结论中成立的是( ) A.(1)，(2)，(3)均是直线 B.只有(2)是直线C.(1)，(2)是直线，(3)是圆D.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线 解析 (1)t 为参数，t ＝x －λcos θa 代入y ＝bt ＋λsin θ中得，y ＝b x －λcos θa＋λsin θ. 整理得：bx －ay －λb cos θ＋λa sin θ＝0，其中a 、b 、λ、θ为常数，故为直线. (2)λ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ⇒⎩⎨⎧x －at ＝λcos θ，y －bt ＝λsin θ.消去参数λ，y －btx －at ＝tan θ，整理得，y ＝tan θ·x －at tan θ＋bt 为直线.(3)θ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ，用三角恒等式消去参数θ.得(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2为以(at ，bt )为圆心，λ为半径的圆. 由以上解答，应选C. 答案 C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x ，y 的取值范围.一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析 消去参数yx ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线. 答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B. 答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x ，代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2.答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线D.一条直线解析 将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D. 答案 D 二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴最大值为2 2. 答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ) ＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ). 其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s ＝x ＋y 的最大值.解 因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.习题2－3 第42页A 组1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2b 2＝1，双曲线.(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，所以y －2x －1＝4.所以4x －y －2＝0，直线. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225＝1，焦距为221.4.椭圆的普通方程为（x －1）216＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0).5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24＝1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b2，点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).B 组1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2.2.解 设动点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25.即（x ＋1）225＋（y －2）29＝1.3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24＝1.4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20x 2，射程为3v 202g ，(2)证明略.。
参数方程化成普通方程
参数方程化成普通方程参数方程可以表示为一组含有参数的方程组，而普通方程是不含有参数的方程。
将参数方程转化为普通方程的方法有以下几种：1.消参法消参法是将参数方程中的参数用非参数变量表示出来，从而得到普通方程。
具体步骤如下：（1）根据参数方程的定义，将参数用非参数表示，假设参数为t，则可以将参数表示为x=f(t)和y=g(t)；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组中，得到非参数变量的方程组，即F(x,y)=0；（3）通过解F(x,y)=0，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
2.去参数化法去参数化法是通过消去参数，将参数方程对应的曲线变为非参数方程的方法。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为t=x/y或y/x；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组，得到去参数化的方程组；（3）通过解去参数化的方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
3.参数消去法参数消去法是通过消去参数，得到仅含有非参数变量的方程。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）将t代入参数方程的方程组中，得到含有非参数变量x和y的方程组；（3）通过解上述方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
4.直接法直接法是对特定的参数方程直接求导或代入一些特定的数值来消去参数，从而得到普通方程。
（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）对 t 求导，得到 dt/dx 和 dt/dy；（3）代入 dt/dx 和 dt/dy，消去参数 t，从而得到 x 和 y 之间的关系，从而得到普通方程。
以上是将参数方程化为普通方程的几种方法，具体的选用方法取决于具体的参数方程形式和求解的要求。
不同的方法在不同的场合下有着不同的适用性，需要根据具体情况进行选择。
数学学案：参数方程化成普通方程
§3参数方程化成普通方程1．掌握将参数方程化成普通方程的两种常用的消去参数的方法：代数法和三角恒等式法．2．选取适当的参数，能将普通方程化为参数方程．一、代数法消去参数1．代入法从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数,得到曲线的______．我们通常把这种方法称为代入法．2．代数运算法通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行______，消去参数．【做一做1】将参数方程错误!(t为参数）化为普通方程为__________．二、利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用______消去参数．常用的三角恒等式有：sin2θ＋c O s2θ＝1,错误!－tan2θ＝1，(sin θ＋c O s θ)2－2sin θc O s θ＝1等．将参数方程化为普通方程时，要注意两个方面：(1）根据参数满足的条件，明确x，y的取值范围；（2）消去参数后,普通方程和参数方程中的变量x和y的取值范围要保持一致．【做一做2－1】将参数方程错误!（θ为参数)化为普通方程为__________．【做一做2－2】将参数方程错误!化为普通方程为__________．1．曲线参数方程与普通方程互化的意义剖析：在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程，这都是基于对曲线的更好的研究．有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决．曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式，在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质就可以灵活地选用相应曲线的对应方程形式．2．将参数方程化为普通方程时,消去参数的常用方法剖析：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示），再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程错误!如果t是常数,θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋c O s2θ＝1消参;如果θ是常数,t是参数,那么适当变形后可以利用(m＋n)2－（m－n)2＝4mn消参．答案：一、1．普通方程2．代数运算【做一做1】2x－y－4＝0(x≥0)将x＝t代入y＝2错误!－4得y ＝2x－4。
第2章 §3 参数方程化成普通方程
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普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围， 它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的.如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数方程为xy＝ ＝ttaann2θθ，＋tan θ－1 (θ 为参数).
即(y－1)2＝－14x(y≥1).
方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于 x 轴，开口向左的抛物线的一
部分.
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(2)由已知可得
ax＝11－ ＋tt22，
①
by＝1＋2tt2， ②
①2＋②2 得ax22＋by22＝1(a＞b＞0，x≠－a)，这就是所求的普通方程，方程表 示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆(去掉左顶点).
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【解析】 (1)把 t＝x 代入②得 y＝2x 即普通方程为 y＝2x. (2)由 sin2 θ＋cos2 θ＝1 得 x2＋y2＝1. (3)由②得 t＝y－1，代入①得 x＝2(y－1)2.
【答案】 (1)y＝2x (2)x2＋y2＝1 (3)x＝2(y－1)2
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(t 为参数)
x＝tan t， D.y＝1－tan2t
(t 为参数)
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【解析】 A 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. B 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. C 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]. D 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－t 为参数)；
参数方程和普通方程的互化
吗？
提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数
方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一
个．
陕西省周至中学
淳朴 团结 勤奋 向上
我的疑惑 ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________
[考题印证]
(2013·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π与曲线 4
x＝t＋1， y＝ t－1 2，
(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的
直角坐标为________．
陕西省周至中学
，(其中 t 是参数，a∈
R)，点 M(3,1)在该曲线上．(1)求常数 a；(2)求曲线 C 的普通 方程．
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解：(1)由题意可知有
1＋2t＝3 at2＝1
，
故ta＝＝11，， ∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t，
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y的取值 范围 保持一致．
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[小问题·大思维]
1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？
提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．
2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的
圆的参数方程转化为普通方程
圆的参数方程转化为普通方程圆是一个非常重要的几何图形，其具有很多特殊的性质和应用，比如在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
圆可以用很多方式来表示，其中一种常见的方式是使用参数方程。
本文将介绍如何从圆的参数方程转化为普通方程。
1.什么是圆的参数方程？在笛卡尔坐标系中，一个圆可以表示成所有满足以下方程的点的集合：(x−a)2+(y−b)2=r2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
如果将上式展开，得到一个一次方程组：x2−2ax+a2+y2−2by+b2=r2由于等式右边是常数，所以可以把它记为一个新的符号t，即：t=r2−a2−b2将t带入原方程中，得到圆的参数方程：x=a+rcosθ,y=b+rsinθ其中，θ是参数，表示圆上任意一点对应圆心的连线与x轴正方向的夹角。
圆的参数方程在某些情况下非常有用，比如在物理学中描述圆周运动、计算极坐标下的面积等。
2.从圆的参数方程转化为普通方程虽然圆的参数方程在某些情况下非常有用，但是在其他领域，如计算机程序设计、工程建模等方面，常使用普通方程来表示圆。
从参数方程转换为普通方程有多种方法，下面是其中的两种：方法一：使用三角函数公式根据三角函数的定义，可以得到：cos2θ+sin2θ=1将cosθ和sinθ分别用参数方程表示：cosθ=(x−a)/r,sinθ=(y−b)/r代入上述公式，得到：(x−a)2/r2+(y−b)2/r2=1再将这个方程进行一些简单的变形，便可以得到普通方程：(x−a)2+(y−b)2=r2这个公式与开篇给出的表示圆的普通方程是完全一致的。
方法二：降维圆的参数方程是一个二维的方程，而普通方程是一个一维的方程。
因此，我们可以用一些技巧将参数方程降维。
例如，可以将y视为因变量，x和θ视为自变量，然后把θ消去。
这样得到一个包含x和y的一次方程：(x−a)2+(y−b)2=r2同样，这个方程与开篇给出的表示圆的普通方程完全一致。
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化传统的数学学科中，方程是一种非常重要的概念。
一般而言，我们所看到的方程都属于普通方程，比如抛物线的方程或是直线的方程等等。
然而，除了普通方程之外，还有一种非常重要的方程，那就是参数方程。
参数方程是一种用参数的形式来表示曲线的方程，其主要特点是可以直观地描述出曲线的走向和形状，因此在实际计算和理论研究中具有非常重要的价值。
对于普通方程和参数方程的互化，我们可以通过以下几个步骤来实现。
一、将普通方程转化为参数方程对于普通方程 y = f(x)，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = f(t)。
这里的 t 是一个参数，我们可以将其看作是一个自变量，它的变化将会影响到函数图像的形态和走向。
以直线 y = 2x + 1 为例，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = 2t + 1。
在这个参数方程中，当 t 取 0 时，我们可以得到直线的一个点 (0,1)，而当 t 取 1 时，我们可以得到直线的另一个点(1,3)，以此类推。
通过这样的转化，我们不仅可以更加直观地描述出曲线的走向和形态，还能够对曲线进行更加细致的研究和计算。
二、将参数方程转化为普通方程对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过消除参数 t 来得到普通方程 y = g(x)。
这个过程需要用到高中阶段学习的基本代数技能，具体步骤如下：1. 由第一个参数方程得到 x = f(t)，即 t = f^{-1}(x)。
2. 将第二个参数方程中的 t 用上一步得到的代数式代替，得到y = g(f^{-1}(x))。
3. 对上一步得到的式子进行合并和化简，即可得到普通方程形式的表达式 y = g(x)。
以圆为例，我们可以将其参数方程 x = rcos(t)，y = rsin(t) 转化为普通方程：1. t = arccos(\frac{x}{r}) 或 t = arcsin(\frac{x}{r})。
参数方程化标准方程
参数方程化为标准方程的方法主要包括以下步骤：
首先，要明确参数方程中的变量和参数。
一般情况下，参数方程的形式为x=x(t)，y=y(t)，其中x和y是变量，t是参数。
然后，通过消参的方法将参数方程转化为标准方程。
消参过程中需要注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x，y的范围。
这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
需要注意的是，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。
从而给出参数方程一般应指明所取参数。
在某些特殊情况，消参之后给出x，y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。
以上就是参数方程化为标准方程的基本步骤和注意事项，希望对你有所帮助。
参数方程与普通方程互化2
参数方程与普通方程互化2参数方程与普通方程互化21.参数方程转普通方程将参数方程转化为普通方程可以使问题更直观，易于理解和求解。
假设有一个参数方程：x=f(t),y=g(t).我们可以通过消去参数t，将参数方程转化为普通方程。
步骤如下：a.从第一个参数方程中解出t，得到t=f^-1(x).b.将t代入第二个参数方程中，得到y=g(f^-1(x)).例如，假设有一个参数方程：x=2t,我们可以先从第一个参数方程中解出t，得到t=x/2、然后将t代入第二个参数方程中，得到y=3(x/2)^2=3x^2/4、这样我们就得到了普通方程y=3x^2/4，将参数方程转化为了普通方程。
2.普通方程转参数方程将普通方程转化为参数方程可以使问题更灵活，特别是在求解曲线上的点坐标时非常有用。
步骤如下：a.假设有一个普通方程y=f(x).b.令t=x，求解上述方程关于t的逆函数t=f^-1(y).c.将t代入x=t，得到新的参数方程x=f^-1(y)，y=t=f^-1(y).例如，假设有一个普通方程y=x^2、我们可以令t=x，然后求解方程关于t的逆函数t=y^0.5、最后将t代入参数方程x=y^0.5，y=t，得到参数方程x=y^0.5，y=t。
3.参数方程与普通方程的优缺点参数方程的优点是在描述曲线上的点时更灵活，易于求解与计算。
特别是在求解曲线上的点坐标时，参数方程的形式非常方便。
同时，参数方程能够更准确地描述曲线的拐点、极值等性质。
普通方程的优点是更直观易懂，一眼就可以看出曲线的整体形状。
特别是在解析几何中，普通方程的形式更加常用。
然而，普通方程也具有一些局限性，例如在描述一些特殊曲线时可能会有困难，需要引入一些复杂的工具。
此外，普通方程在求解特定点的坐标时通常需要进行反函数运算，比较繁琐。
总的来说，参数方程与普通方程在使用上各有优劣，根据具体问题的需求选择使用哪一种形式更加合适。
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程是一类多项式方程组，在一定条件下可以相互互化。
参数方程是把未知量以参数的形式表示，即在方程中以参数的形式出现，把直接求解出来的未知量的过程改为先求出参数大小，再根据参数给出的方程求解未知量，这样可以非常方便地解决一些复杂的问题，并且求解时更容易得到整体的解。
普通方程是指未知量出现在方程中，通过求解这些方程就可以求出未知量的值。
通过适当的替换，可以把参数方程转换为普通方程。
首先，可以用定义的参数来替换参数方程中的参数，然后对方程的每个自变量和参数进行分别求导，得到无关的普通方程，再利用分离变量法去除参数，最后求解得到未知量的值。
参数方程转换为普通方程步骤如下：
1.用定义的参数替换参数方程中的参数；
2.对每个自变量和参数分别求导，得到无关的普通方程；
3.利用分离变量法去除参数，得到普通方程；
4.将普通方程转化为一般形式，求解自变量的值；
通过上述步骤，可以将参数方程转换为普通方程，并获得解析函数，从而求出未知量的值。
参数方程在一定条件下可以转换为普通方程。
参数方程化成普通方程
x = 2 cos θ (广东卷 )在直角坐标系中圆 C 的参数方程 y = 2 + 2 sin θ 2 (θ 为参数 )，则圆 C 的普通方程为 x _________− 2 )2 = 4 + (y
链接高考
θ (宁夏 海南卷)已知曲线C1 x = cosθ (θ为参数) y = sin
0 为圆心， 解： C1是以(0，)为圆心，以1为半径的圆,
小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参
过程常见方法有两种： 过程常见方法有两种：
1.代数法：代入法， 1.代数法：代入法，加减消去法 代数法 2.三角法 三角法： 2.三角法：利用三角恒等式消去参数
化参数方程为普通方程f(x,y)=0： 化参数方程为普通方程f(x,y)=0：在消参过程 f(x,y)=0 中注意变量x 取值范围的一致性， 中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根 据参数的取值范围，确定f(t) g(t)值域得 f(t)和 值域得x 据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、 的取值范围。 y的取值范围。
解：利用 sin α + cos α = 1得到
2 2
x + y = 25 2 则普通方程是什么？ 若 α ∈ [0，π )，则普通方程是什么？ 思 则普通方程是什么？ 考 若 α ∈ (0， π )，则普通方程是什么？ π 则普通方程是什么？ 若 α ∈ 0， ，则普通方程是什么？
2 2
x = 3 sin ϕ + 4 cos ϕ (3) (ϕ为参数) y = 4 sin ϕ − 3 cos ϕ 2 2 x y (1 解： ) + = 1( x < 5且0 < y ≤ 4) 25 16
§3 参数方程化成普通方程
§3 参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一 代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2.解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)， 即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2，y 2＝4k 2r2（1＋k 2）2，得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r 2（1＋k 2）2＝r 2.∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程.【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1；(2)⎩⎨⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p t2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1(x ≠1).(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式， 得y 2＝p (x －2p ).题型二 利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a ，b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a ，b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 2a 2＋y 2b 2＝1这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y b ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ2－tan 2φ＝1，∴有x 2a 2－y 2b 2＝1这是一条双曲线.(3)由已知t ＝y 2p 代入x ＝2pt 2中得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px ，这是一条抛物线.【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数).解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1， ∵－12≤12sin 2θ≤12， ∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2， ∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分.(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两部分圆弧x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0).1.若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A.直线x ＋2y －2＝0 B.以(2，0)为端点的射线 C.圆(x －1)2＋y 2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析 x ＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin 2θ＝2－2y ，故普通方程为x ＋2y －2＝0，但⎩⎨⎧0≤sin 2θ≤1，0≤1＋cos θ≤2，即0≤y ≤1，0≤x ≤2，故为一条线段. 答案 D2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A.直线B.圆C.线段D.射线解析 ∵x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ，∴x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，y ＝1－cos 2θ＝1－x ， ∴x ＋y ＝1，是一条线段，故选C.答案 C3.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 y ＝t 2＋1t 2＝t 2＋2·t ·1t ＋1t 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2(x ≠0). 答案 y ＝x 2－2(x ≠0)4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________.解析 消参数得圆方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案 (0，2) 22[P 42练习]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ(a ，b ，λ均不为0，0≤θ≤2π)分别取：(1)t 为参数，(2)λ为参数，(3)θ为参数. 则下列结论中成立的是( ) A.(1)，(2)，(3)均是直线 B.只有(2)是直线C.(1)，(2)是直线，(3)是圆D.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线 解析 (1)t 为参数，t ＝x －λcos θa 代入y ＝bt ＋λsin θ中得，y ＝b x －λcos θa＋λsin θ. 整理得：bx －ay －λb cos θ＋λa sin θ＝0，其中a 、b 、λ、θ为常数，故为直线. (2)λ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ⇒⎩⎨⎧x －at ＝λcos θ，y －bt ＝λsin θ.消去参数λ，y －btx －at ＝tan θ，整理得，y ＝tan θ·x －at tan θ＋bt 为直线.(3)θ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ，用三角恒等式消去参数θ.得(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2为以(at ，bt )为圆心，λ为半径的圆. 由以上解答，应选C. 答案 C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x ，y 的取值范围.一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析 消去参数yx ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线. 答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B. 答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x ，代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2.答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线D.一条直线解析 将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D. 答案 D 二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴最大值为2 2. 答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ) ＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ). 其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s ＝x ＋y 的最大值.解 因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.习题2－3 第42页A 组1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2b 2＝1，双曲线.(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，所以y －2x －1＝4.所以4x －y －2＝0，直线. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225＝1，焦距为221.4.椭圆的普通方程为（x －1）216＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0).5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24＝1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b2，点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).B 组1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2.2.解 设动点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25.即（x ＋1）225＋（y －2）29＝1.3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24＝1.4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20x 2，射程为3v 202g ，(2)证明略.。
参数方程化为普通方程教案
一、教案基本信息参数方程化为普通方程教案适用年级：高中数学教学目标：1. 理解参数方程与普通方程的概念及其关系。
2. 学会将参数方程转化为普通方程的方法。
3. 能够运用普通方程解决实际问题。
二、教学重点与难点重点：1. 参数方程与普通方程的转化方法。
2. 普通方程的解法及其应用。
难点：1. 对参数方程与普通方程关系的理解。
2. 在实际问题中灵活运用普通方程。
三、教学准备1. 教师准备PPT，包括参数方程与普通方程的定义、转化方法及实例。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生运用普通方程解决。
四、教学过程1. 导入：a. 引导学生回顾参数方程的概念，举例说明。
b. 引导学生回顾普通方程的概念，举例说明。
c. 提问：参数方程与普通方程有什么关系？如何将参数方程转化为普通方程？2. 新课讲解：a. 讲解参数方程与普通方程的定义及其关系。
b. 讲解将参数方程转化为普通方程的方法，包括步骤及注意事项。
c. 通过实例演示参数方程转化为普通方程的过程。
3. 课堂练习：a. 让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
b. 引导学生运用普通方程解决实际问题，加深对普通方程的理解。
4. 课堂小结：b. 强调普通方程在实际问题中的应用价值。
五、课后作业1. 完成教材中的课后练习题。
六、教学拓展1. 引导学生探讨参数方程与普通方程在其他领域的应用，如物理、工程等。
2. 介绍一些高级的参数方程与普通方程的转化方法，如利用微积分等。
七、教学评价1. 课后收集学生的课后作业，评估学生对参数方程与普通方程转化的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行一个小测验，测试学生对parameter equation 与普通方程的掌握情况。
八、教学反思在课后，教师应该反思这节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和接受程度。
教师还应该考虑是否有必要调整教学方法和教学节奏，以便更好地满足学生的学习需求。
九、教学延伸1. 引导学生进一步研究普通方程的解法，如代数法、几何法等。
圆的渐开线参数方程化成渐开线普通方程
圆的渐开线参数方程化成渐开线普通方程渐开线是一种具有特殊几何性质的曲线，其参数方程可以被转化为普通方程。
本文将介绍如何将圆的渐开线的参数方程转化为普通方程。
渐开线是指曲线上一点在运动过程中，与固定点之间的连线的端点所形成的曲线。
圆的渐开线是指一个圆上的一点沿着圆周运动，同时圆心也在运动，最终形成的曲线。
圆的渐开线的参数方程可以表示为：x = r * cos(t) + a * ty = r * sin(t) + a其中，r表示圆的半径，a表示圆心相对于固定点的距离，t表示运动的参数。
这个参数方程描述了运动过程中曲线上一点的坐标。
为了将参数方程转化为普通方程，我们需要将参数t消去。
首先，我们可以通过参数方程得到x和y的关系：x - a * t = r * cos(t)y - a = r * sin(t)然后，我们可以将上述两个方程相乘并整理：(x - a * t)^2 + (y - a)^2 = (r * cos(t))^2 + (r * sin(t))^2进一步展开化简可得：x^2 - 2axt + a^2t^2 + y^2 - 2ay + a^2 = r^2 * (cos^2(t) + sin^2(t))由于cos^2(t) + sin^2(t) = 1，上述方程可以简化为：x^2 - 2axt + a^2t^2 + y^2 - 2ay + a^2 = r^2经过整理后，我们得到了圆的渐开线的普通方程：x^2 + y^2 - 2axt - 2ay + (a^2 - r^2)t^2 + a^2 - r^2 = 0这是圆的渐开线的普通方程，通过这个方程我们可以直接计算曲线上任意一点的坐标。
渐开线具有独特的性质，例如其切线与半径的夹角始终保持不变，且切线与半径的长度之比等于参数t的导数。
这些性质使得渐开线在物理学、工程学和数学等领域有广泛的应用。
渐开线的普通方程可以帮助我们更直观地理解和计算渐开线的性质。
参数方程化为标准方程
参数方程化为标准方程参数方程是指用一个参数（通常用t表示）表示自变量x和y的方程形式，即x=f(t)，y=g(t)。
在一些特定的情况下，我们需要将参数方程化为标准方程，以便更好地理解和分析曲线的性质。
本文将介绍参数方程化为标准方程的方法和步骤。
首先，我们来看一个具体的例子，将参数方程x=2t，y=t+1化为标准方程。
步骤一，消去参数t。
我们可以通过将参数方程中的t表示出来，然后代入另一个方程，从而消去参数t，得到标准方程。
对于上述例子，我们可以将x=2t代入y=t+1中，得到y=（x/2）+1。
步骤二，整理得到标准方程。
接下来，我们可以将得到的y=（x/2）+1进行整理，得到标准方程的形式。
将分式转化为整式，得到2y=x+2。
通过以上两个步骤，我们成功地将参数方程x=2t，y=t+1化为了标准方程2y=x+2。
这个过程可以帮助我们更好地理解曲线的性质，比如斜率、截距等。
除了上述的具体例子外，我们还可以通过一般的方法将参数方程化为标准方程。
下面，我们将介绍一般的方法和步骤。
一般方法：对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以通过以下步骤将其化为标准方程。
步骤一，消去参数t。
将参数方程中的t表示出来，然后代入另一个方程，从而消去参数t。
步骤二，整理得到标准方程。
将得到的表达式进行整理，得到标准方程的形式。
通过以上一般方法，我们可以将任意参数方程化为标准方程。
需要注意的是，有时候参数方程化为标准方程可能会比较复杂，需要运用一些代数技巧和数学知识。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法和步骤，以便更好地解决问题。
总结：参数方程是一种表示曲线的方式，而标准方程则更便于我们理解和分析曲线的性质。
将参数方程化为标准方程可以帮助我们更好地理解曲线，从而更好地解决实际问题。
通过本文的介绍，我们可以掌握将参数方程化为标准方程的方法和步骤。
在实际应用中，我们可以根据具体情况灵活运用这些方法，解决各种问题。
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直接判断此参数方程所表示的曲线类型 并不容易，但若将参数方程化为熟悉的普 通方程，则比较简单了。
参数方程化成 普通方程
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
解：(1)应用加减消元法，得2x 3y 7,因此，所求 的普通方程是 2x+3y+7=0
解：(2)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2x （ 3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）
链接高考
广东卷 在直角坐标系中圆
C的参数方程
x 2 cos
y 2 2 sin
为参数 ，则圆C的普通方程为x_2 _____y___ 22 4
宁夏
海南卷已知曲线C1
x y
cos s in
为参数
曲线C2
x
同时平方得
x2 1 2y
又 x sin cos
x 2
2 sin
4
普通方程为x2 1 2 y x 2
练习 把下列参数方程化为普通方程
解：1 x2 y2 1 x 5且0 y 4
25 16
二. 利用三角恒等式消去参数
解：利用sin2 cos2 1得到
x2 y2 25
若 0，2 ，则普通方程是什么？
思 若 0， ，则普通方程是什么？
考 若 0， ，则普通方程是什么？
2
解：将x xs2in1c2ossin两 边cos
苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁 也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？
1
1
x2
x 1
利用解方 程求出参 数t ,然后 代入消去 参数。
练习：将下列参数方程化成普通方程
将参数方程化为
普通方程中，必
解：（1）x
3y
1
0( x
1)
须使x，y的取值 范围保持一致。
否则，转化就是
2x 3y 00 x 3或 1 y 0 不等价的.
阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新
课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、
2y 1 2x2 1 x 1 3x2 y2 25
三. 整体消参法
说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有:
(1)代入(消参数)法
(2)加减(消参数)法 (3)借用代数或三角恒等式(消参数)法 常见的代数恒等式:
在消参过程中注意变 量x、y取值范围的 一致性，必须根据参 数的取值范围，确定 f(t)和g(t)值域得x、y 的取值范围。
此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文
会员免费下载 顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
一.代数法消去参数
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
步骤：（1）消参； （2）求定义域。
特别强调：参数方程与普通方程互化中。必 须使x,y的范围保持一致
解：由x 1 1 t 0得
t
t 1 x 1
1 x
将其代入y 1 t 2得
y
1
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在 划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文 意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁， 水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水
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2 2
t 2t 2
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t为参数，则C1，C2各是什么曲线？
并指出C1，C2的公共点的个数。
解： C 是以0，0为圆心，以1为半径的圆, 1
普通方程是x2 y2 1
C 是直线，普通方程是x y 2 0 2
C 与C 有且只有一个交点
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11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。