数列前n项和的求法总结

数列前n 项和的求法总结

核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

一． 公式法

（1） 等差数列前n 项和： S S

=

S (S S +S S )

S

=S S S +

S (S +S )

S

S （2） 等比数列前n 项和： S =S时， S S

=S S S ；

S ≠S时， S S =S S （S −S S ）

S −S

（3） 其他公式： S S

=S +S +S +⋯+S =S

S

S (S +S )

S S =S S

+S S

+S S

+⋯+S S

=S

S (S +S )(SS +S )

S S =S S +S S +S S +⋯+S S =[S S

S (S +S )]S 例题1：求数列 S S

S ，S S

S ，S S

S ，……，(S +S

S S )，…… 的前n 项和S n

解： 点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

练习：

二.倒序相加法

如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{a

n }，公差为d，求证：{a

n

}的前n项和S

n

=n(a

1

+a

n

)/2

解：S

n =a

1

+a

2

+a

3

+...+a

n

①

倒序得：S

n =a

n

+a

n-1

+a

n-2

+…+a

1

②

①+②得：2S

n =(a

1

+a

n

)+(a

2

+a

n-1

)+(a

3

+a

n-2

)+…+(a

n

+a

1

)

又∵a

1+a

n

=a

2

+a

n-1

=a

3

+a

n-2

=…=a

n

+a

1

∴2S

n =n(a

2

+a

n

)S

n

=n(a

1

+a

n

)/2

点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助

a

1+a

n

=a

2

+a

n-1

=a

3

+a

n-2

=…=a

n

+a

1

即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数

列的重要性质来实现的。

练习：

（1）

三.裂项相消法

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

例题3：求数列(n∈N*)的和

解：

点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。

四.错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即

若在数列{a

n ·b

n

}中，{a

n

}成等差数列，{b

n

}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与

原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

例题4：求数列{na n}(n∈N*)的和

解：设S

n

=a+2a2+3a3+…+na n①

若a=1则：S

n

=1+2+3+…+n=

若a≠1则：aS

n

=a2+2a3+…+(n-1)a n+na n+1②

①-②得：(1-a)S

n

=a+a2+a3+…+a n-na n+1③则：

练习：（1）

（2）

（3）求：S S=S+SS+S S S+⋯+(SS−S)S S−S.

解：S S=S+SS+S S S+⋯+(SS−S)S S−S①，

①两边同乘以x，得

SS S=S+S S S+S S S+⋯+(SS−S)S S②

①-②得，（S−S）S S=S+S(S+S S+S S+⋯+S S)−

(SS−S)S S

再用公式法里面的公式即可。

五.迭加法

迭加法主要应用于数列{a

n }满足a

n+1

=a

n

+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件

下，可把这个式子变成a

n+1-a

n

=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，

经过整理，可求出a

n ，从而求出S

n

。