最新高考数学第一轮复习教案16
高考数学第一轮复习教案
高考数学第一轮复习教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学一轮复习教案
高考数学一轮复习教案教案标题：高考数学一轮复习教案教案目标：1. 确保学生对高考数学考试的各个知识点有全面的了解和掌握。
2. 帮助学生提高解题能力，培养分析和推理的能力。
3. 强化学生的数学思维和解题策略，提高应试能力。
教学内容：本教案主要围绕高考数学考试的各个知识点展开复习，包括代数、函数、几何、概率与统计等内容。
教学步骤：第一步：复习代数知识1. 复习一元二次方程的求根公式和应用。
2. 复习指数与对数的性质和运算法则。
3. 复习不等式的性质和解法。
第二步：复习函数知识1. 复习函数的定义和性质。
2. 复习函数的图像与性质，包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
3. 复习函数的运算法则和复合函数的求解。
第三步：复习几何知识1. 复习平面几何的基本概念和性质。
2. 复习三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦和正切等。
3. 复习平面几何中的相似三角形和勾股定理等。
第四步：复习概率与统计知识1. 复习概率的基本概念和计算方法。
2. 复习统计学中的数据收集、整理和分析方法。
3. 复习概率与统计在实际问题中的应用。
第五步：解题技巧和策略的讲解1. 教授解题的基本思路和步骤，包括审题、分析、解答和检查等。
2. 引导学生掌握解题中常用的技巧和策略，如代入法、逆向思维和分类讨论等。
3. 提供一些典型例题和解题方法的讲解和练习。
第六步：模拟考试和反馈1. 安排模拟考试，模拟高考数学试卷的形式和要求。
2. 收集学生的答卷并进行批改，给予详细的评价和建议。
3. 针对学生的错误和不足，进行有针对性的指导和讲解。
教学评估：1. 教师对学生的参与度和理解程度进行观察和评估。
2. 模拟考试的成绩和学生的答卷质量作为评估指标。
3. 学生对教学内容的反馈和问题的解答情况作为评估依据。
教学资源：1. 高考数学教材和辅助教材。
2. 高考数学模拟试卷和真题。
3. 多媒体设备和投影仪等。
教学延伸：1. 鼓励学生进行自主学习和拓展阅读，加深对数学知识的理解和应用能力。
最新高三一轮数学教学计划(模板16篇)
最新高三一轮数学教学计划（模板16篇）高三一轮教学计划新课程中强调重点培养学生设计实验、动手操作、收集证据等科学探究的能力，教师在指导学生完成本模块每项教学任务时，除了创造实验条件和参与学生讨论外，应适当补充相应资料或引导学生自己搜集相应资料，引导学生相对系统地完成有关的学习内容，而不仅仅是完成几个互不关联的实验的操作。
实验教学是学校教学工作的重要组成部分，是完成教学任务和提高教学质量的重要环节，也是培养学生动手操作能力和科技意识的主要途径。
为切实搞好实验教学，提高课堂教学效果，特制订实验计划如下：一、联系教学内容，加强实验教学，培养学生的实验能力，强化学生的科技意识。
二、认真安排实验，按要求及时把实验通知单送达实验老师。
三、加强对学生的实验室纪律、安全、卫生方面的教育，确保学生的身心健康。
四、要求学生认真完成实验报告册，认真分析实验结果，及时总结经验和教训，存在问题，及时改进。
五、与实验老师密切配合，相互合作，共同辅导学生实验，确保实验教学顺利完成。
高三语文一轮教学计划高三是繁忙的，为避免顾此失彼，同学们应该认真的对自己的学情进行分析，找到自己的长处和缺陷部分，尤其是选考部分，分析一下自己最擅长的是文学类阅读还是实用类阅读，然后据此进行有目的的训练。
当然还有作文，一定要找到自己最擅长的写作文体，然后对此文体进行强化训练。
一旦选定了选考的部分和写作的文体，就一定不能再改变，要保证钟情不渝，至少在高三这年要从一而终，绝不变心。
然后按照自己的学情，制定自己的详细复习的计划，科学安排，务必保证每天均有一定量的语文复习时间。
2、使用好恰当的工具书和语文课本工具书，是语文学习的重要帮手。
查找工具书，不仅可以学到很多老师讲不到的知识，还有助于准确读音、辨析字形、理解词意、领会用法，还可以了解许多历史故事、字词来历，为写作提供原始材料。
同学们应该准备《现代汉语词典》《新华字典》《古汉语字典》《成语小词典》等工具书。
高中一轮复习数学教案
高中一轮复习数学教案时间安排：3周目标：复习全年度的数学知识，加强对难点知识的理解和掌握，为高考做好准备。
第1周第一天：导入复习重点，整体了解数学知识复习内容，并对自己的薄弱知识点进行分析。
第二天：复习数列与数学归纳法，重点讲解等差数列和等比数列的求和公式，解题技巧。
第三天：复习函数与导数，重点讲解导数的定义和性质，应用到函数求导的方法。
第四天：复习三角函数与三角恒等变换，重点讲解三角函数的基本性质和应用。
第五天：复习概率与统计，重点讲解概率计算方法和统计学知识。
第2周第一天：复习解析几何，重点讲解直线、圆和圆锥曲线的性质和解题方法。
第二天：复习数学证明与数学思维，重点讲解数学证明的方法和技巧，培养学生的逻辑思维能力。
第三天：复习二次函数与三次函数，重点讲解二次函数与三次函数的性质和图像。
第四天：复习排列组合与数论，重点讲解排列组合的基本概念和数论的相关知识。
第五天：进行模拟考试，检验学生的学习成果，发现问题，及时进行补习。
第3周第一天：对模拟考试的试题进行分析与讨论，总结不足之处，合理安排后续复习内容。
第二天：复习综合题型，重点讲解综合题的解题技巧与策略。
第三天：复习代数方程与不等式，重点讲解一元二次方程解法和不等式的性质。
第四天：复习立体几何与空间解析几何，重点讲解空间几何的相关知识及应用。
第五天：进行终结性检测，总结复习内容，指导学生合理规划高考复习计划。
教学资源：教科书、习题册、模拟试卷评价方式：平时作业、综合练习、期末模拟考试备注：教师在复习过程中要重点关注学生的学习情况，积极引导学生主动思考，巩固基础知识，提高解题能力。
同时鼓励学生积极参与课堂讨论，互相学习，共同进步。
高三数学一轮复习教案(精品)
高三数学一轮复习教案(精品)一、教学目标- 加深学生对高中数学知识的理解和掌握程度- 通过复巩固基础知识，为高考做好准备- 提高学生解决实际问题的数学能力和思维能力二、教学内容1. 数列与数列求和2. 集合与映射3. 几何运动与解析几何4. 排列与组合5. 数与函数6. 三角函数7. 概率与统计三、教学策略1. 温故知新：复前几年的数学知识，巩固基础，扩宽思路2. 理论联系实际：通过解决实际问题，让学生理解数学在现实生活中的应用3. 深入浅出：通过简单直观的解释和例子，帮助学生理解抽象的数学概念4. 合作研究：鼓励学生在组内合作研究中互相交流、讨论，共同解决问题5. 引导思考：提出问题，引导学生思考和探索，培养他们的独立思考能力四、教学步骤1. 复与导入：通过简单的例子回顾前几年的数学知识，引出本节课的内容2. 知识讲解与示范：对每个知识点进行详细讲解，并举例说明3. 学生练：让学生进行相关练，加深对知识点的理解和掌握4. 错题讲解：对学生练中出现的错误进行解析和讲解，帮助他们纠正错误5. 拓展练：对部分学生进行拓展练，提升他们的数学能力6. 总结与展望：对本节课的内容进行总结，并展望下节课的研究内容五、教学评价1. 听课笔记：学生根据课堂内容进行听课笔记，评价学生对知识的理解和把握程度2. 课堂练成绩：对学生在课堂练中的表现进行评价，衡量他们对知识掌握的程度3. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量和准确性，评价他们对知识的掌握程度以上是高三数学一轮复习教案的大致内容和安排，通过系统的复习和讲解，帮助学生巩固和提高数学知识，为高考做好准备。
同时，通过实际问题的解决和思考，培养学生的数学思维能力和应用能力。
希望这份精品教案能让学生在高考中取得优异成绩。
高三数学一轮复习教案5篇
高三数学一轮复习教案5篇作为一名无私奉献的老师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
那么教案应该怎么写才合适呢?以下是小编整理的高三数学一轮复习教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
高三数学一轮复习教案1一、夯实基础。
今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。
扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1、注重课本的基础作用和考试说明的导向作用;2、加强主干知识的生成，重视知识的交汇点;3、培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯;4、加强反思，完善复习方法。
二、解决好课内课外关系。
课内：1)例题讲解前，留给学生思考时间;讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正;讲解后，对解法进行总结。
对题目尽量做到一题多解，一题多用。
一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目让学生领会知识间的联系。
2)学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。
3)每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。
课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。
三、注重师生互动1、多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。
2、让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题;3、每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点;②怎样审题，怎样打开解题思路;③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里;④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。
高考数学一轮复习教学设计
高考数学一轮复习教学设计一、教学目标本教学设计旨在帮助学生通过一轮复习，全面巩固高考数学的核心知识和解题技巧，达到以下教学目标：1. 理解并掌握高考数学各个章节的基础概念和相关定理；2. 熟悉并灵活运用各类数学问题的解题思路和方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力；4. 提高学生的解决实际问题的能力和创新思维。
二、教学内容本教学设计重点涵盖高考数学的各个章节，具体内容安排如下：1. 高中数学知识的复习和巩固（8周）第一周：复习数列与数列的应用第二周：复习函数与函数的应用第三周：复习概率与统计第四周：复习立体几何第五周：复习三角函数第六周：复习向量与坐标系第七周：复习复数与平面几何第八周：复习解析几何2. 完形填空和阅读理解的练习（2周）第九周：完形填空练习第十周：阅读理解练习3. 写作和小作文的练习（2周）第十一周：写作练习第十二周：小作文练习三、教学方法1. 理论教学与实践相结合：通过教师讲解和示范，学生进行练习和解题，深化对数学知识的理解和应用。
2. 合作学习：鼓励学生分组合作，共同解决难题和研究数学问题，培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
3. 案例分析法：通过精选的数学题目和实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力和创新思维。
4. 异彩纷呈的教学手段：利用多媒体、模拟教学等手段，让学生在轻松的氛围中学习数学，激发学生对数学学习的兴趣和学习动力。
四、教学评估1. 课堂小测验：每周一次的课堂小测验，检验学生对本周所学内容的掌握情况。
并及时反馈评估结果，帮助学生发现问题，加强薄弱环节。
2. 月度模拟考试：每个月进行一次模拟考试，帮助学生了解自己的学习进度和存在的问题，督促学生在复习过程中不断提高，做到知识的全面复习。
3. 个人学习计划：每个学生制定个人学习计划，定期与教师进行学习情况的交流和反馈，在自主学习的基础上加强巩固和复习。
五、教学资源1. 教材：根据学生的实际情况选择适合的高考数学教材，如人民教育出版社的《高中数学》教材。
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案引言本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标人教版高考数学考试。
以下是教学案的详细内容。
目标1. 复并巩固高三数学的核心知识点。
2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。
3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵活应用知识。
教学内容教学内容主要包括以下部分：1. 数系与代数- 实数与复数- 集合与命题- 数列与数列极限- 等差数列与等比数列2. 函数与方程- 函数与方程基本概念- 一次函数与二次函数- 指数与对数- 三角函数与三角方程3. 解析几何与向量- 平面与空间几何- 二次曲线与常平面- 直线与平面的位置关系- 向量与向量运算4. 概率与统计- 随机事件与概率- 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查- 相关与回归分析教学方法为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法：1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。
2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。
3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的研究兴趣和数学思维。
4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。
教学评估为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法：1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识点的理解和掌握情况。
2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。
3. 课堂互动评估：评估学生在课堂上的积极参与程度和表现。
4. 模拟考试：进行模拟考试，让学生体验真实考试环境，以便他们熟悉考试形式和提高应试能力。
结语通过本教学案的实施，相信学生们在第一轮数学复习中将取得良好的成绩。
希望学生们能够认真学习、勤于练习，并与老师和同学们积极合作，共同进步。
(完整word版)2019-2020年高考数学一轮复习第16课时导数的综合应用教学案
2019-2020年高考数学一轮复习第16课时导数的综合应用教学案教学目标：能运用导数研究函数的性质（奇偶性、单调性、极值、最值等相关问题） 一、基础训练1. 二次函数对于任意实数都有，且，则的最小值为 .2.设是函数的导函数，若在 上的图像如图所示，则的单调减区间 是 .3.用边长为6转角，再焊接而成，则容器的高为 时，容器的体积最大. 4.函数的最大值是 .5.已知上的可导函数在上是减函数，在上是增函数，如果，那么的符号为 . 二、合作探究 例1．已知函数（1）求函数在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方.变式训练1： 已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+,其中,设两曲线在公共点处的切线相同，求证：例2 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠（1）当时，求证：上单调递增；（2）若函数有三个零点，求t 的值； （3）若存在，使得，试求实数的取值范围.例3. 已知函数x a b bx ax x f )()(23-++=（a ，b 是不同时为0的常数）,其导函数为。
（1） 当时，若存在，使得>0成立，求的取值范围； （2） 求证：函数在（-1,0）内至少存在一个零点：（3） 若函数为奇函数，且在=1处的切线垂直于，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围。
三、能力提升1.若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 .2.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 .3.若曲线的切线与直线平行，则该切线的方程为 .4.如图，等腰梯形的三边分别与函数212([2,2])2y x x =-+∈-的图像切于点，求梯形面积的最小值.四、当堂训练1.若则当取得最大值时, x = .2.已知函数，（1）求函数的单调增区间；（2）若函数在定义域R内单调递增，求的取值范围。
最新届高考数学第一轮复习导学教案
届高考数学第一轮复习导学教案第一课时一元二次不等式【学习目标】1.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。
经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式。
3.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出数形结合的思想。
【学习难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
[自主学习][课前热身]1．不等式29610x x ++≤的解集是 ．2．不等式104x x -<-的解集是 ．3．不等式()120x x ⋅->的解集是 ．4．不等式221x x +>+的解集是 ．5．已知不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，则实数,a b 的值分别为[典型例析]例1 解不等式：（1）22203x x -+-> （2）28116x x -≤ （3）22101x x x --≥-例2解关于x 的不等式（1）2(1)10ax a x -++< （2）220x x m ++≥例3 解关于ｘ的不等式(1)1(0)2a x a x ->>-[当堂检测]1．不等式21212x x -<+-≤的解集是 ．2. 若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b = , c = .3.关于x 的不等式11ax x <-的解集是{}12x x x <>或，那么a = .4．若关于x 的不等式20x ax a -->的解集为R ，则实数a 取值范围是 .若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 取值范围是[学后反思]____________________________________________________ _______ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________。
高三数学第一轮复习教学设计
高三数学第一轮复习教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高三数学第一轮复习，旨在帮助学生全面回顾和巩固高中数学课程内容，为高考做好充分的准备。
教学内容主要包括：函数与极限、导数与微分、积分、立体几何、解析几何、数列、概率与统计等模块。
通过本轮复习，使学生能够熟练掌握各模块的基本概念、原理和方法，形成完整的知识体系，提高解题能力和数学思维能力。
2、教学对象本教学设计的教学对象为高三学生，他们已经完成了高中数学课程的学习，具有一定的数学基础和解决问题的能力。
但由于学生的个体差异，他们在知识掌握程度、学习方法和兴趣上存在一定差异。
因此，在教学过程中，需要关注每个学生的学习情况，因材施教，提高复习效果。
在教学过程中，教师将充分调动学生的积极性，引导他们主动参与课堂讨论和练习，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
同时，针对学生的薄弱环节，进行有针对性的辅导和训练，提高他们的数学素养和应试能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）熟练掌握高中数学各模块的基本概念、原理和方法，形成完整的知识体系。
（2）提高数学解题能力，特别是综合应用能力的提升，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
（3）培养数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、数据分析等，提高学生的数学素养。
（4）掌握一定的数学研究方法，能够对数学问题进行深入探讨和拓展。
2、过程与方法（1）通过课堂讲解、讨论、练习等多种教学活动，让学生在复习过程中主动参与，提高学习积极性。
（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究精神。
（3）运用案例教学，将数学知识与实际应用相结合，提高学生的应用意识。
（4）鼓励学生进行合作学习，发挥团队协作精神，共同解决问题，提高沟通与协作能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，使他们认识到数学在生活中的重要作用，增强学习数学的自信心。
（2）引导学生树立正确的价值观，将数学学习与个人发展、国家利益和社会进步相结合，激发学生的社会责任感。
高三数学一轮复习教学设计
高三数学一轮复习教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高三数学一轮复习。
在这一阶段，学生已经完成了高中数学的全部课程，教学任务是在有限的时间内，帮助学生系统地回顾和巩固数学知识，强化解题技能，提高分析问题和解决问题的能力，为高考做好全面准备。
复习内容涵盖《高中数学课程标准》要求的所有知识点，包括但不限于函数与极限、导数与微分、积分、立体几何、解析几何、数列、概率统计等。
2、教学对象教学对象为即将参加高考的高三学生。
他们具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但在数学知识的深度和广度、解题技巧方面存在差异。
此外，由于面临高考的压力，学生在心理上可能存在不同程度的焦虑和紧张。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，采取有针对性的教学策略，同时注重缓解学生的心理压力，帮助他们建立自信，以积极的态度迎接高考。
二、教学目标1、知识与技能（1）掌握高中数学课程标准要求的所有核心概念、性质、定理、公式，并能够熟练运用。
（2）提高数学运算速度和准确性，培养解题技巧，形成解题策略。
（3）具备较强的数学思维能力，能够运用逻辑推理、空间想象、数据分析等方法解决数学问题。
（4）灵活运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
2、过程与方法（1）培养学生自主学习和合作学习的能力，让学生在复习过程中学会总结、归纳、提炼知识点。
（2）通过问题驱动法、案例分析、小组讨论等形式，引导学生主动探索、发现数学规律，提高解决问题的能力。
（3）采用变式教学、一题多解等方法，培养学生的发散性思维和创新意识。
（4）结合现代信息技术，如多媒体教学、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极、主动、持久的学习态度。
（2）引导学生树立正确的数学观念，认识到数学在科学技术、社会发展中的重要作用，增强学习数学的使命感和责任感。
（3）通过数学学习，培养学生严谨、求实的科学态度，提高他们的逻辑思维能力和批判性思维。
高考数学第一轮专题复习教案16
一轮复习学案 §2.11. 指数与指数函数 姓名 ☆学习目标：1．掌握指数函数的图象和性质；2．掌握指数形式的复合函数的图像、定义域、值域, 单调性、奇偶性．重点：指数函数的图象及性质的简单应用． ☻基础热身：(1).如果函数2()(31)x x f x a a a =--(0a >且1a ≠)在区间[)0,+∞上是增函数，那么实数a的取值范围为( ).A 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ .B ⎫⎪⎪⎣⎭ .C ( .D 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (2).设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( ).A )0,(-∞ .B ),0(+∞.C )3log ,(a -∞ .D ),3(log +∞a . (3).设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是( ).A (01)， .B (12)，.C (23)， .D (34)，． ☻知识梳理：1．指数函数的定义：函数 叫做指数函数.2．指数函数的图象和性质：☆ 案例分析：例1.(1)设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的关系是( ).A 1b a << .B 1a b << .C 1b a <<.D 1a b <<(2) 若函数m y x +=+-12的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是( ).A 2-≤m .B 2-≥m .C 1-≤m .D 1-≥m例2. 已知22x x +≤214x -⎛⎫ ⎪⎝⎭, 求函数22x x y -=-的值域.例3. 设函数f(x)=lg 1243x xa ++⋅,其中a ∈R,如果当x ∈(–∞,1)时，f(x)有意义，求a 的取值范围例4. 已知311()12x f x x a ⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. (1)求()f x 的定义域；(2)讨论()f x 的奇偶性；(3)求a 的范围，使()0f x >在定义域恒成立.例5. 已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >，求证： （1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根参考答案:基础热身：(1).B; (2).C; (3).B. 例1. (1)A; (2).A例2.]22,22[22161161----例3. )0,43(- 例4.(1)),0()0,(+∞⋃-∞; (2) 奇函数; (3)1>a 例5 证明：（1）设121x x -<<，则1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<， ∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<，且1a >，∴12x x a a <，∴120x x a a -<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；另法：∵1a >，(1,)x ∈-+∞ ∴223()()ln 01(1)x x x f x a a a x x -''=+=+>++∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+， 即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-+++， ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+, 而由1a >知01x a < ∴①式不成立；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而00x a > ∴①式不成立 综上所述，方程()0f x =没有负数根。
(全国通用版)高考数学一轮复习 第十六单元 概率学案 理-人教版高三全册数学学案
第十六单元 概率 教材复习课“概率”相关基础知识一课过 互斥事件与对立事件事件 定义 性质互斥事件 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，(事件A ，B是互斥事件)； P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(事件A 1，A 2，…，A n 任意两个互斥) 对立事件 在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A 和A 称为对立事件P (A )＝1－P (A )[小题速通]1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上都不对 解析：选B 由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选B.2．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( ) A.56B.23C.12D.13解析：选A 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56. 3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一件是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.92B ．0.95C ．0.97D ．0.08解析：选A 记事件A ：“生产的产品为甲级品”，B ：“生产的产品为乙级品”，C ：“生产的产品为丙级品”，则P (B )＝0.05，P (C )＝0.03，且事件A ，B ，C 两两互斥，P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，所以P (A )＝0.92.[清易错]易忽视互斥事件与对立事件的关系而致误互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件． 古典概型1．特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. [小题速通]1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 2．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为( )A.35B.25C.34D.23解析：选B 从这5张卡片中随机抽取2张的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中取出2张卡片上数字之和为偶数的基本事件为(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个，所以从这5张卡片中随机抽取2张，取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为410＝25. 3．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( )A.35B.59C.25D.110解析：选B 由题可得，满足要求的所有基本事件数为6×9＝54，第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的基本事件数为6×5＝30.所以由古典概型可知，P ＝3054＝59. [清易错]1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.1．一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是( )35C.815 D.35 解析：选D 由题意知，摸出2个球的事件数共15个，至少有1个是红球的对立事件为两个均不是红球，事件个数为6个，设两个均不是红球为事件A ，则P (A )＝615＝25，所以其对立事件2个球中至少有1个是红球的概率P ＝1－25＝35. 2．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A 为“抽到红桃K ”，事件B 为“抽到黑桃”，则P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．解析：∵P (A )＝152，P (B )＝1352， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726. 答案：726几何概型[过双基]1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．特点：(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能的．3．公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，136上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 13(x ＋1)≤1”不发生的概率为( )A.89B.2339解析：选 D 因为－1≤log 13(x ＋1)≤1，所以－23≤x ≤2，所以所求事件的概率为1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23136－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝19. 2．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35B.925C.1625D.25解析：选B PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925. 3．(2018·西宁复习检测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．解析：由题意知球的半径为1，其体积为V 球＝4π3，正方体的体积为V 正方体＝23＝8， 则这一点不在球内的概率P ＝1－4π38＝1－π6. 答案：1－π64．数轴上有四个间隔为1的点依次为A ，B ，C ，D ，在线段AD 上随机取一点E ，则E 点到B ，C 两点的距离之和小于2的概率为________．解析：如图，数轴上AD ＝3，而到B ，C 两点的距离之和小于2的点E 在线段MN 内，且MN ＝52－12＝2，所以E 点到B ，C 两点的距离之和小于2的概率P ＝MN AD ＝23.答案：23一、选择题1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是红球B ．至少有1个白球，至多有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至多有1个白球，都是红球解析：选C 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球共有三种可能：两个白球、两个红球、一个白球和一个红球，三者互斥，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，“至少有1个白球”和“至多有1个红球”不互斥，“恰有1个白球”和“恰有2个白球”互斥不对立，故选C.2．一批产品次品率为4%，正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为( )A ．0.75B ．0.71C ．0.72D ．0.3解析：选C 由题意可知，正品率为96%，因为正品中一等品率为75%，所以一等品率为96%×75%＝72%，所以任取一件产品，恰好是一等品的概率为0.72.3．如图，在一不规则区域内，有一边长为1 m 的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为( )A.83m 2 B ．2 m 2 C.163m 2 D ．3 m 2解析：选A 由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到S 正方形S 不规则图形＝3751 000，所以该不规则图形的面积大约为1 000375＝83 (m 2)． 4．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于( )A.118B.19C.16D.536解析：选B 由题意抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，其中点数之积为6的情况为(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共4种情况，故所求概率为P＝436＝19.5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.827B.127C.2627D.1527解析：选B 依题意，小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的小正方体内，这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为33＝27，故根据几何概型得安全飞行的概率为P＝1 27 .6．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A．0.4 B．0.8C．0.6 D．1解析：选C 标记5件产品中的次品为1,2，合格品为3,4,5.从这5件产品中任取2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的总数为10.“从这5件产品中任取2件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6种取法，所以恰有一件次品的概率P＝610＝0.6.7．将一枚骰子连续抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为( )A.13B.12C.1936D.25解析：选C 将一枚骰子连续抛掷两次共有36种结果．方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ≥2c ，其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概型的概率计算公式可得P ＝1936. 8．设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2≤1，则x －y ＋2≤0的概率为( )A.14B.π4C.π－24πD.4π－24π 解析：选C 如图，x 2＋(y －1)2≤1表示圆心为(0,1)，半径为1的圆面，面积为π；同时，x －y ＋2≤0表示圆面内在x －y ＋2＝0左上方的点构成的平面区域，连接CB ，则CA ⊥CB ，阴影部分的面积为π4－12×1×1＝π4－12，由几何概型的概率公式得P ＝π－24π. 二、填空题9．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：如图，可设AB 与AB ′的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23. 答案：2310．在圆x 2＋y 2＝4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则|x |＋|y |≤2的概率为________．解析：不等式|x |＋|y |≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，则|x |＋|y |≤2的概率为P ＝222π×22＝2π. 答案：2π11．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为________．解析：画树状图为：红红白 红白红 白红红共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，则随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为13. 答案：13 12．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班的男生人数为________．解析：根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x 63，“选出的标兵是男生”的概率是x 63，故63－x 63＝1011×x 63，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33. 答案：33三、解答题13．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数6 12 18 12 12 选择L 2的人数0 4 16 16 4(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由题意知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计相应的概率约为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，由调查结果得：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60 L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)A1，A2分别表示甲选择L1，L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1，L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.14．在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10 0.25＝40(人)，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)由图知，“数学与逻辑”科目的成绩为D的频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.(3)因为两科考试中，共有6个得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)＝16.高考研究课(一)古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度古典概型5年4考求古典概型的概率古典概型的简单问题[典例] (1)则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )A.110B.310C.12D.710(2)(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解] (1)由题意，从这五条线段中任取三条，有10种不同的取法，其中所取三条线段能构成一个三角形的取法有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共有3种不同的取法，所以所取三条线段能构成一个三角形的概率为310.答案：B(2)①由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个．则所求事件的概率为P ＝315＝15. ②从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事件的概率为P ＝29. [方法技巧] 计算古典概型的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树状图法．[即时演练]1．袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从袋中一次摸出两个球，总的事件个数为6.摸出两个相同颜色球只有两个黄球，所以2只球颜色相同的概率为16，所以这2只球颜色不同的概率为1－16＝56. 答案：562．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.(1)根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；(2)这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s 21，s 22，试比较s 21与s 22的大小(只需直接写出结果)；(3)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．(注：成绩大于等于75分为优良)．解：(1)设这10名同学中男、女生的平均成绩分别为x 1，x 2.则x 1＝64＋76＋77＋784＝73.75， x 2＝56＋79＋76＋70＋88＋876＝76， 故该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75,76.(2)s 21<s 22.(3)设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ，男生按成绩由低到高依次编号为a 1，a 2，a 3，a 4，女生按成绩由低到高依次编号为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学的取法有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 1，b 5)，(a 1，b 6)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 2，b 5)，(a 2，b 6)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(a 3，b 5)，(a 3，b 6)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 4，b 3)，(a 4，b 4)，(a 4，b 5)，(a 4，b 6)，共24种．其中两名同学均为优良的取法有：(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 2，b 5)，(a 2，b 6)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(a 3，b 5)，(a 3，b 6)，(a 4，b 3)，(a 4，b 4)，(a 4，b 5)，(a 4，b 6)，共12种，所以P (A )＝1224＝12，即两名同学成绩均为优良的概率为12.古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高.常见的命题角度有：1古典概型与平面向量相结合；2古典概型与直线、圆相结合；3古典概型与函数相结合； 4古典概型与统计相结合.角度一：古典概型与平面向量相结合 1．(2018·威海调研)从集合{}2，3，4，5中随机抽取一个数a ，从集合{}1，3，5中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况，故所求的概率为16. 角度二：古典概型与直线、圆相结合2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为________． 解析：∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6＝36种结果，满足条件的事件是以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上，则(x ，y )为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率P ＝336＝112.答案：112 角度三：古典概型与函数相结合3．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率； (2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． 解：(1)由题意知，总的基本事件的个数是3×5＝15.∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a≤1，即2b ≤a 时． 若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，∴所求事件的概率P ＝515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，即△OAB 部分；构成所求事件的区域为△OAC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0，a －2b ＝0.得交点坐标C ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83， ∴由几何概型概率公式得所求事件的概率P ＝12×8×8312×8×8＝13. 角度四：古典概型与统计相结合4．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110. [方法技巧]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25. 2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115. 3．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110. 4．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13. 答案：135．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以Y 的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.一、选择题1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝410＝25.2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( )A.112B.16C.14D.13解析：选C 骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为(x，y)，共有6×6＝36个，记两次点数之积为奇数的事件为A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P(A)＝936＝14.3．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)，则A，B入住同一标间的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选B 记A，B入住同一标间的概率为P，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)共有C 25C 23A 22A 33＝90种不同的方法，A ，B 入住同一标间有C 23A 33＝18种不同的方法，∴P ＝1890＝15. 4．(2018·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724 解析：选C 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b ＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13. 5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为( )A.18B.38C.58D.78解析：选D 高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n ＝24＝16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P ＝1－116－116＝78. 6．a ，b ，c ，d ，e 是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(不允许重复)，则abc ＋de 为奇数的概率为( )A.12B.415C.25D.35解析：选C 由题意可得a ，b ，c ，d ，e 是1,2,3,4,5这5个数，将这5个数分组可得。
高三数学第一轮教案设计模板
一、教学目标1. 知识与技能：掌握高三数学第一轮复习的知识点，提高解题能力。
2. 过程与方法：通过小组合作、探究、总结等方法，培养学生自主学习能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
二、教学内容1. 集合与函数概念2. 函数的性质3. 导数与微分4. 三角函数与解三角形5. 平面向量6. 数列7. 不等式与不等式组8. 立体几何9. 解析几何10. 概率与统计三、教学重难点1. 教学重点：掌握各章节的核心概念、性质、方法，提高解题能力。
2. 教学难点：培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、空间想象能力。
四、教学过程1. 导入- 回顾高二数学知识点，引导学生思考如何衔接高三数学。
- 提出本节课的学习目标，让学生明确学习方向。
2. 集合与函数概念- 讲解集合的基本概念，如元素、集合、子集等。
- 介绍函数的定义、性质、图像等。
- 通过实例讲解函数在实际生活中的应用。
3. 函数的性质- 分析函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
- 通过例题讲解如何判断函数的性质。
- 引导学生掌握函数性质的应用方法。
4. 导数与微分- 讲解导数的定义、性质、运算等。
- 介绍微分的基本概念和应用。
- 通过例题讲解导数在求解极值、最值、切线斜率等方面的应用。
5. 三角函数与解三角形- 讲解三角函数的定义、性质、图像等。
- 介绍解三角形的基本方法。
- 通过例题讲解三角函数在实际问题中的应用。
6. 平面向量- 讲解向量的概念、运算、几何意义等。
- 介绍向量在解析几何中的应用。
- 通过例题讲解向量在解决实际问题中的应用。
7. 数列- 讲解数列的定义、性质、通项公式等。
- 介绍数列的求和公式、数列极限等。
- 通过例题讲解数列在实际问题中的应用。
8. 不等式与不等式组- 讲解不等式的基本概念、性质、解法等。
- 介绍不等式组的解法。
- 通过例题讲解不等式与不等式组在实际问题中的应用。
9. 立体几何- 讲解空间几何的基本概念、性质、计算方法等。
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高三一轮复习第四章平面向量与复数
4.3平面向量的数量积【教学目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【重点难点】
1.教学重点：理解平面向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表达
式，会进行平面向量数量积的运算；
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 真题再现;
1.(2016·全国Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，
BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，12，则∠ABC ＝( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.答案 A 2.(2013·全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________.
解析 ∵b·c ＝0，∴b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，t a·b ＋(1－t )·b 2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，a ，b ＝60°，∴1
2t ＋1－t ＝0，t ＝2.答案 2
3．(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )
A.π3
B.π2
C.2π
3 D.5π6 【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )
＝0，∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－1
2，∴
〈a ，b 〉＝2
3π.【答案】 C
4．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB
→＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b
C ．a ·b ＝1
D ．(4a ＋b )⊥BC → 【解析】 在△ABC 中，由BC
→＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2
＝4×(－1)
＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.【答
案】 D
知识梳理： 知识点 平面向量的数量积
1．向量的夹角
图示
范围
共线
非零向作OA →＝，则
[0°，180°]
∠AO 180°∠90°
学生通过
对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。
AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13
AB →－14AD →， ∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13
AB →－14AD →＝13|AB →|2
－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13
×36－316×16＝9.
【答案】 C
归纳： 1．向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用
定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法
求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．转化法求数量积
若向量的模与夹角不能确定，则应把向量用已知模或夹角的向量表示，然后再求数量积．
考点二: 平面向量数量积的性质
●命题角度1 平面向量的模
1．(2015·浙江高考)已知e 1，e 2是平面单
引导学生通过对基础知识的逐点扫
描，来澄清概
念，加强理解。
从而为后面的练习奠定基础.
在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学
块，提高模式识别能力和
解题效率。
教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。
由向量a ，b 的夹角为锐角，得b ≠λa ，即t ≠1.综上知，t >－1且t ≠1. 【答案】 (－1,1)∪(1，＋∞)
2．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________. 【解析】 |a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°. ∵c ＝ta ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝ta ·b ＋(1－t )b 2＝t ×1×1×12＋(1－t )×1＝t 2＋1－t ＝1－t 2.又∵b ·c ＝0，∴1－t 2＝0，∴t ＝2.【答案】 2
归纳：平面向量数量积求解问题的策略 1．求两向量的夹角：cos θ＝a ·b |a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．
2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.
3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .
(2)|a ±b |＝a ±b
2
＝
a 2±2a ·
b ＋b 2.
(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.
评分标准：
65分以上为能力超强60~65分为能力强
55~60分为能力较强50~55分为能力一般50分以下为能力差
凡事发生，必有利我！因为凡事都是我赋予它意义，它才对我有意义。
而我的思维模式已经调整成“赋予所有事情对我有利的意义”了。
什么叫做说话的高手？说的人家舒服、感动，同时愿意按你说的做。
这就是语言的魅力。
你对爱的定义是什么？通过你说话我就知道。
哭泣女：“给他做了20年饭，从来没听他夸我一句。
”——她的爱是“肯定、赞许”
委屈男：“不管她做的好吃不好吃，我不全都吃掉了嘛”——他的爱是“行动”
“纪念日、生日，买个包包就完了，从没见他在家过！”——她的爱是“陪伴”，他的爱是“礼物”。