复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《复变函数》是数学与应用数学（教师教育）专业的一门重要的专业限选课程，它是重要的基础课程。
本课程的任务是使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数相关知识的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
（二）课程教学的目的和要求在学习本课程之前，学生已经学过数学分析。
本课程本质上是复分析的基本内容。
通过本课程的学习，使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
掌握：解析函数概念及几个与解析函数相关的等价命题、残数理论及其应用、最大模原理及其应用。
理解：复积分、复级数理论。
了解：复几何的基本思想。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学相结合的方法进行。
基本知识与重要内容如基本定理与重要定理从叙述到详细证明，应用等由教师讲授，其它由学生自学。
为了贯彻少而精的原则，本大纲在内容选取上注意突出基本理论与基本方法。
对与数学分析中平行的概念和结果，既指出其相似之处，更强调其不同之点。
对本课程所具有的新内容，包括其证明方法，在课程教学中教师都将给予较详尽的讲解。
有*号的内容，可视教学情况而取舍。
（四）课程与其它课程的联系本课程的先行课程是数学分析，而本课程所讨论的内容和研究方法是其它许多数学理论的基础。
例如在微分几何、偏微分方程、动力系统、计算数学、近代物理、工程技术等理论中都有广泛的应用。
（五）教材与教学参考书教材：钟玉泉编，《复变函数论》，高等教育出版社，2004年第三版教学参考书：余家荣编，《复变函数》，高等教育出版社，1988年第二版二课程的教学内容、重点和难点第一章复数与复变函数教学内容：复数及其表示、几何上的应用，复平面点集，复变函数，复球面与无穷远点重点：复平面点集，复变函数难点：复球面与无穷远点第二章解析函数教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼条件、初等解析函数、初等多值函数重点：解析函数的概念与柯西-黎曼条件难点：支点的概念与初等多值函数第三章复变函数的积分教学内容：复积分的概念及其简单性质、柯西积分定理、柯西积分公式及其推论、解析函数与调和函数的关系、*平面向量场——解析函数的应用（一）重点：柯西积分定理、柯西积分公式及其推论难点：柯西积分公式及其推论第四章解析函数的幂级数表示法教学内容：复级数的基本性质、幂级数、解析函数的泰勒展式、解析函数零点的孤立性及唯一性定理重点：解析函数零点的孤立性及唯一性定理难点：解析函数的泰勒展式与唯一性定理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学内容：解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点、解析函数在无穷远点的性质、*平面向量场——解析函数的应用（二）重点：解析函数的罗朗展式难点：解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质第六章残数理论及其应用教学内容：残数、用残数定理计算定积分、辐角原理及其应用重点：用残数定理计算定积分难点：辐角原理及其应用*第七章保形变换教学内容：解析变换的特性、线性变换、某些初等函数所构成的保形变换重点：线性变换难点：某些初等函数所构成的保形变换三建议学时分配。
复变函数教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一、课程说明1.课程基本情况课程名称：复变函数英文名称：Functions of Complex Variable课程编号：2411211开课专业：大学本科数学与应用数学专业开课学期：第4学期学分/周学时：3/3课程类型：专业主干课2.课程性质《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。
它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
3．本课程的教学目的和任务本课程要注意师范性。
在内容的选取上应突出基本理论和基本方法，把重点放在单复变函数的微分、积分、级数展开式和保形变换上。
使学生掌握复分析的基本理论和近代复分析的基本思想，加深对数学分析及中学有关内容的理解，并为学习后继课程奠定必要的数学基础。
在教学中，应注意基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，基本运算能力的训练严格要求。
基本论证方法思路清晰，论证严谨。
注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。
在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学生掌握主要方法。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程是《数学分析》的提高、抽象和研究对象在复域内的进一步拓宽，它在数学学科众多分支（如概率论、微分几何、泛函分析、数学物理方程和拓扑学）中都有着广泛的应用，因此它也为这些后继课程奠定必要数学基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1. 钟玉泉. 复变函数论 (第三版). 北京：高等教育出版社，2003年.2. 范宜传、彭清泉. 复变函数习题集. 北京：人民教育出版社，1983年.2. 余家荣. 复变函数. 北京：人民教育出版社，1979年.3. 钟玉泉. 复变函数学习指导. 北京：高等教育出版社，1995年.4. 王玉玉, 王健波. 复变函数论（第三版）. 北京：中国时代经济出版社，2008年.三教学方法和教学手段说明以教师讲解为主的课堂教学方式四成绩考核办法本课程以教务处的相关文件规定进行考核。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲课程类别：专业基础课课程代码：LX2107总学时：72 学时学分：4学分适用专业：数学与应用数学本科专业先修课程：数学分析、解析几何一、课程地位、性质和任务复变函数论是数学专业的一门重要必修基础课，又是数学分析的后继课，它的理论与方法深刻渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学的各个分支；同时，在物理的热力学、流体力学、弹性物理等和其它科学领域以及工程技术中都有广泛的应用。
通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本知识、基本理论和基本方法，了解复变函数在其它学科中的有关应用，进一步理解分析数学的思想和方法。
并通过该课程的系统性和严谨性，以锻炼学生思考问题和逻辑推理能力，提高应用知识解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，使学生熟练掌握复变函数的基本概念、基本理论、基本运算及基本方法。
进一步理解分析数学的思想和方法。
了解本学科数学发展的前沿。
同时，通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题，来提高分析问题解、决问题的能力。
三、教学内容与学时分配第一章复数及复平面（8学时）本章介绍了复数及复平面的相关概念，是复变函数论的基础。
需要理解复数的概念；熟悉复数的多种表示法、复数的代数运算；理解复数运算的几何意义；了解区域、曲线和复球面等概念；掌握用复数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
重点是复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。
难点是用不等式表示区域。
第二章复变函数（10学时）本章介绍了复变函数概念及其极限与连续、复变函数的导数与解析函数的概念以及它的一些充要条件、初等函数及性质。
需要掌握复变函数概念、复变函数的极限与连续性；掌握解析函数的概念与柯西—黎曼条件；掌握复变函数的导数、初等解析函数的概念及性质；了解初等多值函数。
重点是解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数的概念及其解析性。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、课程性质:学科专业课二、教学的目的要求：目的：通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论与方法，并且培养学生和用它们解决实际问题的能力，为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
要求：1、熟练掌握复变函数的各种表示方法及其运算，理解复变函数的概念，知道复变函数的极限、连续的概念。
2、理解复变函数导数、复变函数解析的概念，熟悉复变函数解析的充要条件，了解调和函数与解析函数的关系，了解初等解析函数的定义及主要性质。
3、理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分，理解柯西（Cauchy）积分原理，掌握Cauchy积分公式与高阶导数公式，知道解析函数无限次可导的性质。
4、理解复变项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法，知道幂级数在收敛圆内的一些基本性质，了解Taylor定理。
三、学分和学制：共计3学分，学制一学期。
四、授课对象：初等教育系小学教育专业理科专科生。
五、教学环节及总学时安排:课程讲授:54学时课堂讨论及其他实践活动:可根据教学内容适当安排六、教学手段与教法建议：以讲授式为主，适当配以多媒体教学等手段，并采取课堂辅导和课下作业相结合的方式以期达更好的效果。
七、考核方式：期末闭卷考试，平时可结合课堂测验和课下作业等多种考核方式八、教学内容：第一章复数与复变函数（12学时）教学要求：1、了解复数定义及其几何意义；2、熟练掌握复数的运算；3、了解复平面点集的几个基本概念；4、了解区域与若尔当曲线；5、理解复变函数；6、理解复变函数的极限与连续。
教学重点：复变函数及其极限与连续教学难点：区域与若尔当曲线教学内容：第一节复数（4学时）一、复数域二、复平面三、复数的模与辐角四、复数的乘幂与方根五、共轭复数六、复数在几何上的应用第二节复平面上的点集（2学时）一、平面点集的几个基本概念二、区域与诺尔当曲线第三节复变函数（2学时）一、复变函数的概念二、复变函数的极限与极限第四节复球面与无穷远点（4学时）一、复球面二、扩充复平面上的几个概念复习参考题：习题1、2；习题7、8；习题10、11；习题17。
复变函数(工程数学)教学大纲
《复变函数》（工程数学）教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：08138013（二）课程英文名称：Complex Function（三）开课对象：通信工程专业本科生（四）课程性质：《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。
它的理论和方法广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。
本课程以高等数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。
（五）教学目的：本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。
（六）教学内容：本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数的积分，级数、留数，共形映射等。
（七）学时数、学分数及学时数具体分配学时数：54 学时分数： 3 学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算2、了解区域的概念3、理解复变函数的概念4、理解复变函数的极限和连续的概念教学时数：6学时教学内容：第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算第二节复数的几何表示一、复平面二、复球面第三节复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根第四节区域一、区域的概念二、单连通域与多连通域第五节复变函数一、复变函数的定义二、映射的概念第六节复变函数的极限和连续性1、函数的极限2、函数的连续性考核要求：1、复数及其代数运算1.1 复数的概念（识记）2、复数的乘幂与方根2.1 复数的乘积、商（应用）2.2 复数的幂与根（应用）3、区域（识记）4、复变函数的极限、连续（领会）第二章解析函数教学要点：1、理解函数的导数及解析的概念2、掌握复变函数可导及解析的充要条件3、了解指数函数、三角函数，对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质。
《复变函数论》教学大纲
《复变函数论》教学大纲一、课程基本信息课程编码：0601112B中文名称：复变函数论英文名称：Theory of Functions of Complex Variable课程类别：专业基础及核心课总学时：48总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何二、课程目标（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解复变函数的发展历史，遵循周易中的复卦的复。
【支撑毕业要求1】2.理解复数的表示方法。
【支撑毕业要求2】3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。
【支撑毕业要求3】4.掌握留数的计算和应用。
【支撑毕业要求5】5.能够应用复变函数方法解决实际问题，理解不同学科间的联系与渗透。
【支撑毕业要求3、4】6.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和解决实际问题的能力。
【支撑毕业要求4、6、7、8】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1 课程目标与毕业要求的对应关系（一）课程内容与课程目标的关系表2 课程内容与课程目标的关系（二）具体内容第一章复变函数的基本概念(10学时）【学习目标与要求】1、学习目标：了解复变函数的发展历史，理解“复”的含义。
会用复数的6种表示方法互相变换，会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。
会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题。
会计算复数列的极限。
掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限。
掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。
2、学习要求：理解复数的相关基本概念，掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。
理解复数的几何表示和几何意义，掌握复数乘法除法的几何意义，了解复数幂和开方的几何意义。
理解复数极限的定义，掌握复数列极限的充要条件，理解复变函数的定义，理解复变函数定义域和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，理解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲一、引言复变函数是数学中重要的概念和工具之一，它在多个学科领域中具有广泛的应用。
本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和相关定理，培养学生的复变函数思维和解题能力。
二、基础知识1. 复数的基本概念1.1 复数的定义和表示1.2 复数的运算规则1.3 复数平面2. 复数函数的基本性质2.1 复数函数的定义2.2 复数函数的分类2.3 复数函数的连续性三、解析函数与调和函数1. 解析函数的概念1.1 解析函数的定义1.2 拟解析函数1.3 解析函数的运算性质2. 调和函数的概念与性质2.1 调和函数的定义2.2 调和函数的性质2.3 调和函数的应用案例四、复变函数的微积分1. 复变函数的导数与全纯函数1.1 复变函数的导数定义1.2 全纯函数的性质1.3 Cauchy-Riemann方程2. 积分和级数2.1 线积分的定义2.2 级数收敛性与收敛域2.3 保形映射与调和函数的全纯性五、留数理论与积分计算1. 留数的概念与计算1.1 留数的定义1.2 计算留数的方法1.3 应用案例：圆周积分计算2. 积分计算与柯西公式2.1 柯西公式的概念与应用2.2 柯西积分定理与柯西奇点定理2.3 辐角原理与Rouché定理六、解析函数的应用1. 解析函数在物理学中的应用1.1 电磁场中的解析函数1.2 流体力学中的解析函数1.3 其他物理学领域的应用2. 解析函数在工程学中的应用2.1 线性系统与解析函数2.2 信号处理与解析函数2.3 通信系统与解析函数七、实际案例与综合应用1. 热区变换与应用1.1 极坐标变换1.2 电场中的热区变换2. 综合案例分析2.1 基于复变函数的工程问题求解2.2 基于复变函数的物理问题求解八、教学评估与提升1. 教学评估方式1.1 课堂表现评估1.2 作业和实验评估1.3 考试评估2. 教学内容提升2.1 添加实例和案例分析2.2 引入计算机辅助教学2.3 拓展教材资料和参考书目九、总结通过本次复变函数教学，学生将掌握复数的基本概念和运算规则，理解解析函数和调和函数的性质，学会应用留数理论和积分计算复变函数，了解复变函数在不同学科和领域的应用，并通过综合应用案例提升解题能力和综合分析能力。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲(Functions of Complex V ariable)学分数 3 周学时 3+1课程性质：数学系基础课学分数： 3总学时：(3+1)×18=72教学对象：数学系二年级本科生使用教材：《复变函数论》，张锦豪、邱维元编，高等教育出版社，2001参考教材：《复变函数论》，范莉莉、何成奇编，上海科学技术出版社，1987 《复分析》(第三版), L. Ahlfors 著, McGraw-Hill, 1979.教学内容：第1章复数与复值函数(学时数9+3)1.1 复平面与扩充复平面A. 复数B. 复数的平面表示C. 直线和圆的方程D. 复数的球面表示1.2 邻域与开集A. 复平面上的邻域与开集B. 序列与极限C. 扩充复平面上的邻域与开集1.3 连续函数A. 复坐标下的连续函数B. 连续函数序列C. 等度连续1.4 平面曲线A. 曲线的表示B. 连通集C. 连续的辐角函数第2章可微函数(学时数9+3)2.1 函数的微分A. 实坐标下函数的微分B. 复坐标下函数的微分2.2 全纯函数的定义A. Cauchy-Riemann 条件B. 一些初步讨论C. 反函数的存在性D. 保角性质2.3 分式线性变换A. 分式线性函数B. 对称C. 交比A. 复数项级数B. 函数项级数C. 幂级数D. 指数函数与三角函数第3章复积分(学时数9+3)3.1 积分的基本性质A. 区间上的复积分B. 光滑曲线上的积分C. 复坐标下的面积元D. Green 公式的复形式3.2 多值函数的单值支A. 绕数的积分表示B. 单连通区域C. 对数函数的单值支D. 一般幂函数的单值支第4章全纯函数与半纯函数(学时数9+3)4.1 Cauchy 积分理论A. Cauchy 积分公式B. 全纯函数的幂级数展开C. 函数全纯的积分判别法D. Cauchy 定理的一般形式4.2 零点与极点A. 零点的孤立性B. 在极点附近的分解式C. 辐角原理D. 全纯函数的局部行为4.3 留数理论A. Laurent 级数B. 本性奇点C. 留数D. 留数定理4.4 分解理论A. 部分分式B. 无穷乘积C. 全纯函数的因子分解第5章调和函数(学时数6+2)5.1 调和函数A. 均值性质B. Poisson 积分C. Laplace 方程D. 调和函数的孤立奇性E. 典型区域上调和函数的边值问题5.2 次调和函数A. 次均值性质B. Perron 族C. 一般的Dirichlet 问题D. Green 函数第6章双全纯映射(学时数6+2)6.1 典型区域的全纯自同构A. 单位圆的全纯自同构B. 复平面的全纯自同构6.2 Riemann 映射定理A. 凝聚原理B. 单连通区域到单位圆的双全纯映射C. Riemann 映射的极值性质D. 边界对应6.3 上半平面到多边形的双全纯映射A. Schwarz 对称原理B. 关于解析曲线的对称C. 上半平面到多边形内的双全纯映射6.4 全纯函数空间A. 平方可积全纯函数空间B. 完备正规正交系C. Bergman 核D. 不变度量第7章解析延拓(学时数6+2)7.1 解析延拓A. 解析延拓的一般概念B. 对数函数与幂函数的解析延拓C. Riemann 面7.2 单值性定理A.沿曲线的解析延拓B. 单值性定理。
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《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲
一、前言
复变函数是数学中非常重要的一个分支，研究和应用广泛。
本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和应用，帮助学生掌握复变函数的理论和解题方法。
二、基本概念和初等函数
1. 复数的定义和运算规则
2. 复变函数的定义和性质
3. 初等函数概念及其在复变函数中的应用
三、解析函数
1. 解析函数的定义和性质
2. 函数的解析性与调和性的关系
3. 基本解析函数的引入和性质
四、级数展开
1. 幂级数的概念和性质
2. 基本初等函数的幂级数展开
3. 常用函数的级数展开
五、留数与留数定理
1. 解析函数的奇点及分类
2. 留数的定义和计算方法
3. 留数定理及其应用
六、辐角原理和主要定理
1. 辐角原理的引入和性质
2. 极大模原理的定义和应用
3. 唯一性定理和边界值问题的解决
七、复变函数的应用
1. 简单电路中的应用
2. 热传导方程中的应用
3. Laplace变换和傅里叶变换中的应用
八、论文写作与参考文献
1. 论文写作的基本要求和格式
2. 如何查找和引用相关文献
3. 导师指导与学术交流
结语
本教学大纲囊括了复变函数的基本理论和重要应用，并配有适当的例题和习题，以帮助学生巩固所学知识。
希望通过本课程的学习，学生能够对复变函数有一个深入的理解，并能够独立解决实际问题。
复变函数教学大纲(工科)(2)
课程编号：×××课程名称：复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。
为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。
对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。
本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。
二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。
2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。
要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。
）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。
3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。
重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。
要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。
2、熟练掌握初等解析函数的运算。
复变函数课程大纲
复变函数课程大纲一、课程简介复变函数是数学分析的重要分支，研究复数域上的函数及其性质。
本课程旨在介绍复变函数的基本理论和应用，使学生对复变函数的复杂性和美妙性有全面的了解。
二、课程目标1. 理解和掌握复数的基本概念和性质。
2. 掌握复变函数的连续性、可微性和解析性。
3. 熟悉复变函数的积分理论和Laurent级数展开。
4. 理解共形映射的概念和应用。
5. 学会应用复变函数分析解决实际问题。
三、课程大纲1. 复数与复平面1.1 复数的定义与运算规则1.2 复数的几何表示及其性质1.3 复平面上的点集与集合运算2. 复变函数的基础2.1 复变函数的定义2.2 复变函数的极限与连续性2.3 复变函数的导数与解析性2.4 初等函数的复变函数3. 全纯函数与解析函数3.1 全纯函数的定义与性质3.2 解析函数的概念与判定条件3.3 应用：调和函数与调和共轭函数4. 积分理论4.1 积分路径和积分曲线4.2 积分的独立性与积分路径的连通性 4.3 柯西黎曼积分定理及其应用4.4 柯西积分公式和柯西定理5. 级数展开与留数理论5.1 函数的Taylor展开5.2 Laurent级数的定义与性质5.3 留数与留数定理5.4 应用：计算复积分和求解微分方程6. 共形映射6.1 什么是共形映射6.2 平面区域的共形映射6.3 上半平面到单位圆盘的映射6.4 应用：边值问题与几何构造四、教学方法为达到课程目标和要求，将采用以下教学方法：1. 理论讲授：将重点突出的知识点进行全面而详细的讲解。
2. 示例演练：通过具体的例子和问题，在课堂上进行实际操作和计算，以加深学生对知识的理解。
3. 案例分析：引入一些真实的案例和应用，让学生将所学的复变函数理论应用于实际问题的求解。
4. 讨论互动：组织课堂讨论，鼓励学生积极参与，提出问题和思考，促进学习效果的提高。
五、考核方式1. 平时作业：布置课后习题和实践题，加深对知识的理解与应用能力。
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《复变函数》课程教学大纲
课程编号：
适用专业：彝文专业数学与应用数学（彝汉）
学时数：40
学分数：3.0
执笔者：胡鹏
编写日期：2014年8月
一、课程性质和目的
（一）教学性质
《复变函数》课程是数学与应用数学专业函授生的一门必修课。
它在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术…）有着广泛应用。
另外，它的某些内容与中学数学教育还有着密切联系。
通过本课程的学习,使学生系统掌握复变函数的基本理论与方法,从而增强分析问题与解决问题的能力。
开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的解决实际问题的能力，再就是使学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增强做好中学数学教育工作的能力。
学习复变函数课程需要数学分析课程的有关知识，同时它也为泛函分析与数学物理方程等后继课的学习做好了必要的准备。
（二）教学目的
了解并掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、保形变换、解析开拓、调和函数等有较深入的了解，重点了解怎么利用复变函数知识解决一些数分中无法解决的积分问题。
二、教学内容与学时分配
第一章复数与复变函数
（一）教学内容
复数的表示，复数的性质与运算，平面图形的复数表示，区域与约当曲线，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面。
（二）教学目的
1.1．熟练掌握复数的模与幅角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。
1.2．理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。
1.3．充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。
1.4．了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。
第二章解析函数
（一）教学内容
复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西-黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点的多值函数，反三角函数与反双曲函数。
（二）教学要求
2.1．理解复变函数的导数的概念，掌握解析函数的定义及其简单性质，熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。
2.2．熟练掌握指数函数的定义与主要性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。
2.3．掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解析分支，了解一般幂函数与一般指数函数，理解并掌握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解析分支的方法，会由已知单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数。
（三）教学重难点
重点：解析函数的概念，解析函数的充要条件。
难点：支点的概念，具有多个支点的多值函数。
第三章复变函数的积分
（一）教学内容
复变函数的积分的定义、性质与计算，柯西积分定理及其推广，不定积分，柯西积分公式或高阶导数公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理，解析函数与调和函数的关系。
（二）教学要求
3.1．理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。
3.2．掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。
3.3．熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解析函数的平均值定理、无穷可微性
以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理。
3.4．掌握调和函数与共轭调和函数的概念，理解解析函数与调和函数的关系，掌握由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。
（三）教学重难点
重点：柯西积分定理，柯西积分公式。
难点：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。
第四章级数
（一）教学内容
复数项级数及其基本性质，一致收敛的复变函数项级数及其性质，解析函数项级数的维尔斯特拉斯定理，阿贝尔定理和幂级数的敛散性，幂级数收敛半径的求法，幂级数和函数的解析性，泰勒定理，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，一些初等函数的泰勒展开式，解析函数零点的孤立性，解析函数的唯一性定理，最大模原理，双边幂级数，罗朗定理，解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式，孤立奇点的三种类型及其判别法，席瓦尔兹引理，关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理，解析函数在无穷远点的性质，整函数与亚纯函数。
（二）教学要求
4.1．理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准则，熟悉复连续函数项级数的性质，了解复变函数项级数的内闭一致收敛性，熟练掌握关于解析函数项级数的维尔斯特拉斯定理。
4.2．掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数的敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。
4.3．掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。
4.4．掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。
4.5．了解双边幂级数的敛散性及其和函数的解析性，掌握罗朗定理，理解罗朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解析函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数。
4.6．掌握孤立奇点的三种类型及其判别法，掌握席瓦尔兹引理，了解关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理。
4.7．理解解析函数在无穷远点邻域内的性态，掌握无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法。
4.8．掌握整函数的概念及其分类，了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系。
（三）教学重难点
重点：解析函数的第三充要条件，第四充要条件，解析函数的唯一性定理，解析函数零点的孤立性，罗朗定理，孤立奇点的类型及其判别法。
难点：解析函数的唯一性定理，解析函数零点的孤立性，罗朗定理，孤立奇点的类型及其判别法。
第五章留数
（一）教学内容
留数的定义，留数定理，留数的求法，函数在无穷远点的留数，用留数计算实积分，对数留数，幅角原理，儒歇定理。
（二）教学要求
5.1．掌握留数的定义与留数定理，熟练掌握留数的求法，掌握无穷远点的留数的定义及其求法。
5.2．掌握用留数计算三角函数有理式在一个周期上的积分、有理函数的无穷限广义积分、有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积的无穷限广义积分的方法，了解积分路径上有奇点的积分的求法。
5.3．掌握关于解析函数零点与极点个数的定理，掌握幅角原理及其应用，掌握儒歇定理及其应用。
（三）教学重难点
重点：留数定理，留数的求法，儒歇定理。
难点：用留数计算实积分，幅角原理，儒歇定理。
三、课程教学的基本要求
1、本课程以课堂讲授为主，精讲多练。
在课堂教学中可适当补充难易适中的题目作为例题，开阔学生的视野，拓宽知识面。
在作业和练习方面，任课教师可以有针对性地增加一定量的附加题，题的难度略高于教材上的习题，并适当增加应用题的数量，以锻炼学生解决实际问题的能力。
2、根据教育发展的趋势和教学改革的要求，在本课程的教学过程中，应逐步引入现代化教学手段。
3、除教材外，应给学生指定相关的参考书，以拓宽学生的知识面。
四、本课程与其它课程的联系与分工
本课程应用广泛在数学各分支比如（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术…）都有着广泛应用，学好本课程是学好其他课程的先决条件。
五、建议教材与教学参考书
1、余家荣主编：《复变函数》，高等教育出版社，2007年第4版。
2、西安交通大学高等数学教研室主编：《复变函数》，高等教育出版社，1996年第4版
3、谭小江主编：《复变函数简明教程》，北京大学出版社，2002年版
4、复变函数与积分变换编写组：《复变函数与积分变换》，北京邮电大学出版社2009年第1版。