非线性回归模型的线性化

另一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 上式线性化为， 令x 1t = xt，x 2t = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。
令
Z1i = X i , Z 2i = X , ⋯ , Z ki = X
2 i
k i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Y = β 0 + β1Z1i + β 2 Z 2i + ⋯ + β k Z ki + ui
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例：
yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut
令 x 1t = xt，x 2t = xt2，x 3t = xt3，上式变为 yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。 品产量曲线与左图相似。
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非线性回归模型的分类： 非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量 与解释变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X k 之间 虽然被解释变量Y与解释变量 不存在线性关系， 不存在线性关系，但与未知参数 β 0 , β1 ,⋯, β p 之间 存在着线性关系， 存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被 称为非标准线性回归模型 非标准线性回归模型。 称为非标准线性回归模型。 其一般形式为： 其一般形式为：
Y = β 0 + β1 f1 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X k ) + β 2 f 2 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X k )
+ ⋯ + β p f p ( X 1 , X 2 ,⋯, X k )
其中 f1 , ⋯ , f p 是关于 X 1 , X 2 , ⋯ , X k 的p个已知的非 个已知的非 线性函数， 线性函数，, β1 ,⋯, β p 是（p+1）个未知参数． ）个未知参数． β0
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例４.２ ２ 首先建立天津市的C-D生产函数模型 生产函数模型 首先建立天津市的
G D Pi = A K i L i e
两边取对数得到： 两边取对数得到： 令
α
β
ui
i=1，2……，17 ， ，
ln GDPi = ln A + α ln K i + β ln Li + u i
Yi = ln G D Pi , X 1i = ln K i , X 2 i = ln Li
1 50 100 150 200 250 300 350 400
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（4） 、S-型曲线模型 ） 型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为： 性曲线模型的一般形式为： 性曲线模型的一般形式为 1 Yi = α + β e− X i + ui 首先对上式做倒数变换得： 首先对上式做倒数变换得：
1 = α + β e − X i + ui Yi
（3） 对数函数模型 ）
对数函数模型的一般形式为： 对数函数模型的一般形式为：Y i 令
= α + β ln X i + u i
X i* = l n X i 则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi = α + β X
5ui
(β< 0)
5 4
2
1
(β> 0)
3 2
0 50 100 150 200 250 300 350 400
4
2 虽然被解释变量 与解释变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X k 和未 虽然被解释变量Y与解释变量 之间不存在线性关系， 知参数 β 0 , β1 ,⋯, β p 之间不存在线性关系，但是可 以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型 这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非 ，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非 线性回归模型． 线性回归模型．
（2）幂函数模型（全对数模型） ）幂函数模型（全对数模型）
幂函数模型的一般形式为： 幂函数模型的一般形式为：
β Yi = AX 1β1 X 2βi2 ⋯ X kik eui i
对上式两边取对数得到： 对上式两边取对数得到：
ln Yi = ln A + β1 ln X 1i + β 2 ln X 2i + ⋯ + β k ln X ki + ui
令
* * Yi * = ln Y , β 0 = ln A, X 1*i = ln X 1i , X 2i = ln X 2i ,⋯ , X ki = ln X ki
则可将原模型化为标准的线性回归模型： 则可将原模型化为标准的线性回归模型：
* * Yi * = β 0 + β1 X 1*i + β 2 X 2i + ⋯ + β k X ki + ui
第四章 非线性回归模型的线性化
4.1变量间的非线性关系 变量间的非线性关系 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。 但在实际问题中， 但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关 系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所 经济变量间的非线性关系比比皆是。 熟悉的柯布-道格拉斯生产函数 熟悉的柯布 道格拉斯生产函数: 道格拉斯生产函数
双曲线函数还有另一种表达方式， 双曲线函数还有另一种表达方式， 另一种表达方式
yt = a + b/xt + ut 令xt* = 1/xt，得 yt = a + b xt* + ut 上式已变换
成线性回归模型。 成线性回归模型。
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（2） 双曲函数模型 ）
yt = a + b/xt + ut
1/yt = a + b/xt + ut
⋯= f Z
p
p
( X 1 , X 2 ,⋯ , X k )
Y = β 0 + β1Z1 + β 2 Z 2 + ⋯ + β p Z p + u
7
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型 （1）多项式函数模型 ） 多项式函数模型的一般形式为： 多项式函数模型的一般形式为：
Yi = β 0 + β1 X i + β 2 X i2 + ⋯ + β k X ik + ui
2010-11-10
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函数(教材第 例４.２ ：天津市 ２ 天津市GDP函数 教材第 页) 函数 教材第95页 对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型 对于柯布 道格拉斯（ ） 道格拉斯
Yi = AK i Li e
α
β ui
i = 1, 2, ⋯ , n
其中， 表示产出量 表示产出量， 表示资金投入量 表示资金投入量， 表示劳 其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳 动投入量，u是随机误差项，A、 和 β 为未知 动投入量， 是随机误差项， 、 是随机误差项 α 参数。试利用天津市 参数。试利用天津市1980年~1996年的有关统 年 年的有关统 计资料，估计天津市全社会的 计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型 生产函数模型 。
Yi = AK iα Lβ eui 如柯布－道格拉斯生产函数模型： 如柯布－道格拉斯生产函数模型： i
3 如果被解释变量 与解释变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X k 和未 如果被解释变量Y与解释变量 之间都不存在线性关系， 知参数 β 0 , β1 ,⋯, β p 之间都不存在线性关系，而且 也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归 模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性 模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性 化的非线性回归模型． 化的非线性回归模型．
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4.2线性化方法 线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 、 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。 变量替换法 非标准线性回归模型的一般形式为： 非标准线性回归模型的一般形式为：
Y = β 0 + β1 f1 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X k ) + β 2 f 2 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X k )
Y = β 0 + β1 f1 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X k ) + β 2 f 2 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X k )
+ ⋯ + β p f p ( X 1 , X 2 , ⋯, X k ) ＋u
令
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型
{
Z 1 = f1 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X k ) Z 2 = f 2 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X k )
+ ⋯ + β p f p ( X 1 , X 2 ,⋯, X k )
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4.2线性化方法 线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 、 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。 变量替换法 非标准线性回归模型的一般形式为： 非标准线性回归模型的一般形式为：
( b1>0, b2>0, b3>0)
(b1<0, b2>0, b3<0)
例4.1：总成本与产品产量的关系（课本 页） ：总成本与产品产量的关系（课本91页
Ｃ＾t= 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3 (1.8) (12.0) R2 = 0.9998, N = 15 (-2.8) (9.6)