立体图形的教学与反思

“立体图形”教学设计与反思初中数学“立体图形”的教学是一大难点。

如果教法不当，学生就会丧失学习兴趣，从此败下阵来，造成初中数学教学质量低下。

通过深入研究和认真实践，我探索出一套“立体图形”教学法，排除了初中数学第一道“拦路虎”，提高了学生的学习兴趣，有效地提高了教学质量。

一、突破正方体十一种表面展开图的教学重、难点的方法：“立体图形”的难点是培养学生的观察力和想象力。

在教学中，我们要切忌离开实物，空洞说教。

否则，学生只能“坐飞机”漫天飞翔。

因此教学时，我们必须做到物图结合，形成立体概念。

1、在教学立体图形的认识时，老师和学生带来了萝卜、红苕、马铃薯……在老师的指导下，学生把带来的实物截成正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥……通过实际操作，学生初步掌握了这些立体图形的特征。

2、让学生掌握实物与图形的异同点，牢固树立空间概念。

这样就能攻克难关，进入一片新的天地。

例如：我们眼见的正方体是六个全等的正方形。

在画正方体时，我们只能画出正面一个实实在在的正方形，背面是一个虚线画出的正方形，上下两个底面和左右两个侧面却是画的四个平行四边形。

老师必须精心指导学生把四个平行四边形想象成正方形，形成正确的空间形象。

3、学生通过展开与折叠的实际操作，加深对“立体图形”的印象，进一步掌握“立体图形”的特征和规律，有利于解决实际问题。

学生把正方体的十一种表面展开图，用硬纸板画成图样，然后进行展开和折叠，一定能收到良好的效果。

二、突破把一个平面图形绕一条直线进行旋转的教学重、难点的方法。

有了充分的感性认识，我们必须把“立体图形”的规律、特征上升到理性认识，要求学生表述达些规律、特征，切忌语言模糊不清。

1、解：从左到右，从上到下，依次说明如下：①长方形绕着长或宽旋转一周得到的几何体是圆柱。

②直角梯形绕着下底旋转一周得到一个圆锥和圆柱组合成一起的几何体。

③直角三角形绕着直角边旋转得到的几何体是圆锥。

④直角梯形绕着直角的腰旋转一周得到的几何体是圆台。

⑤半圆绕着直径旋转着一周得到的几何体是球。

2、突破用一个平面去截正方体的教学重点、难点的方法教科书和有关的参考资料对截几何体只有图形，没有语言描述。

在教学截几何体时，我们不但运用实物和图形进行教学，而且要积极引导学生用准确的语言描述其截法和截面的特征，帮助学生理解，牢固掌握这些数学知识。

例如：用一个平面去截正方体的十种图形和表述方法如下：7 8 9⑦⑧⑨10⑩①从正方体的一个顶点发出的三条棱的末端截去一个角，得到的截面是两个全等的等边三角形，其边长等于正方形的对角线。

②从正方形的一个顶点发出的三条棱中，一条棱的中间部分和别两条棱的末端截去一个角，得到的截面是两个全等腰三角形，腰长等于正方形的对角线。

③从正方形的一个顶点发出的三条棱中，两条棱的中间部分和另一条的末端截去一个角，截面是两个全等的不等边三角形。

④从一个顶点发出的三条棱的中间部分截去正方体的一个角，其截面是两个全等的不等边三角形。

⑤从一个正方形相对的两条边垂直地向对面截下去，其截面是两个全等的正方形，它的边长等于正方体的棱长。

⑥从一个正方形的对角形沿着两条侧棱向对面截下去的截面是两个全等的长方形，其长等于正方形的一条对角线，宽等于正方体的一条棱。

⑦经过一条侧棱上底面的顶点和这条侧棱不相邻的一条侧棱在下底面的顶点及另外两条侧棱中点的截面是两个全等的菱形。

⑧从正方体上底面相邻的两条边非垂直地向下底面对应的两条边截下去，得到两个全等的梯形。

⑨从一条侧棱上底面的一个顶点出发，经过这条侧棱相邻两条侧棱的中间部分和四个侧面截向下底面，得到的截面是两个全等的五边形。

⑩从截去上底面东北方的一个角开始，然后经过这个角下相邻两个侧面，向与另外两个侧面相交的两条侧棱的中间部分截去；再经过另外两个侧面，向下底面截去西南方的一个角；得到两个全等的六边形截面。

附：用一个平面去截正方体的十五种图形。

三、突破北师大七年级上册数学“三视图”的教学重点、难点的方法。

为了进一步学好立体几何，发展空间概念，我们必须掌握三视图的特征、规律，保证学生顺利过关。

下面重点剖析，用若干个小正方体搭成几何体的三视图的规律、特征：1、三视图的概念①从正面看到几何体的平面图形叫做主视图。

②从上面看到的几何体的平面图形叫做俯视图。

③从左面看到的几何体的平面图形叫做左视图。

2、三视图的规律、特征。

①竖对着观察者的叫做“列”，横对着观察者的叫做“行”。

②主视图和俯视图的“列”与“行”是一致的。

③左视图的“列”是主视图和俯视图的“行”，左视图的“行”是主视图和俯视图的“列”。

④几何体左右的长度叫做“长”，前后的长度叫做“宽”，上下和长度叫做“高”。

⑤主视图的长＝俯视图的长。

主视图的高＝左视图的高俯视图的宽＝左视图的宽⑥主视图每列的方块数＝该列中最多那一行中的方块数左视图每列的方块数＝该列中最多那一行中的方块数俯视图每格的方块数用数字标明。

3、典型习题剖析①若干个小正方体搭成的几何体，分别画出它主视图、俯视图和左视图。

例如：主视图：第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三个有1个正方形，一共有3行。

俯视图：第一列的第一行有一个正方形，第二行有两个方块，只画一个正方形。

第二列的3个方块都在第二行，只画一个正方形。

第三列的1个块在第二行，只画一个正方形。

左视图：注意实体的左边为第一列可看见3个正方形，第二列看见一个正方形。

第一行看见2个正方形，第二行看见一个正方形，第3行也只看见一个正方形。

三视图如下：23 1 1 主视图 俯视图 左视图②下图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数学表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图。

3列；第一23 1 3 45列有3个正方形，第二列有4个正方形，第三列有3个正方形。

B、左视图的列数与俯视图的行数相同，因此左视图有二列；第一列有4个小正方形，第二列有2个小正方形。

主视图和左视图如下：③一个几何体由若干小立方体块搭成，它的主视图、左视图和俯视图分别如下，请你搭出相应的几何体。

剖析：现将左视图和主视图小立方块的分布情况列表如下：左一列 2 1 1视二列 1图三列 1一列二列三列主视图这个表与俯视图完全符合因此得到下面的几何体。

多需要多少小立方体？最少需要多少小立方体？一共可以搭成几种几何体？分析：⑴主视图和俯视图的列数相同；⑵主视图每列的方块数＝俯视图该列中的最大数字；⑶俯视图第一列三格中至少有一个3，第二列两个格中，至少有一个3，第三列两个中必须全是1；因此最少需要的小立方体的个数为：3×2+1×5＝11（个）⑷最多需要的小立方体的个数，俯视图第一列三格的个数都是3，第二列两格的个数都是3，第三列的个数都是1。

因此得到：3×5+1×2＝17（个）⑸因为最多的几何体需要17个小立方体，最少的几何体需要11个小立方体，所以由17个小立方体每减少一个小立方体就是种新的几何体，因此得到一共可以搭成的几何体为：17-11+1＝7（种）解：最多需要的小立方体的个数为：3×5+1×2＝17（个）最少需要的小立方体的个数为：3×2+1×5＝11（个）一共可以搭成的几何体的种数为：17-11+1＝7（种）附：由于近年来中考越来越注重能力的考查，因而几何体的三视图成为考试的一个热点，这类题不仅考查了同学们的空间想象能力，同时更注重动手操作能力的考查．现对考点归纳如下，供同学们参考．㈠、由几何体，识别其视图例1（2006年泰州市）下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是( )析解：这道题主要考查的是由几何体来识别其视图．从上面看，共有2行，第一行只能看到3个小正方体，第二行2个小正方体，所以俯视图是D ，故应选D ．点评：我们从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同方向观察同一物体，描绘三次所看到的图，即为三视图．从正面看到的图形叫做主视图；从左边看到的图形叫做左视图；从上面看到的图形叫做俯视图．㈡、由视图，确定几何体例2（2006年眉山市）一个物体的三视图如图所示，该物体是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．棱锥D ．棱柱析解：由正（主）视图可知，此几何体是锥体，可排除A 、D ；再结合俯视图和左视图可知，此几何体是圆锥，故应选B ．点评：由三视图确定几何体的形状要借助三个视图进行综合分析、想象，同时合理的猜想、结合生活经验进行估测也非常重要．㈢、由视图，确定小立方块个数例3（2006年成都市）右图是由一些完全相同的小立方块搭成的B C A几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个析解：观察主视图，从左到右每列中小立方块的个数依次为1、2、2；将数字填入俯视图中从左到右的每列小正方形中（每个小正方形中左边的数字）；观察左视图，从左到右每行小立方块的个数依次为1、2、1，将数字填入俯视图中从上到下的每行小正方形中（每个小正方形中右边的数字）；取图中每个小正方形中一对数字中较小的一个数（两数相等则任取一个），于是可求得搭成的几何体所用的小立方块的个数是1+1+1+2+2+1=8，故应选D．点评：解这类问题的一般思路是先根据主视图和左视图确定出俯视图中每个小正方形相应位置上的小立方块的个数，再求出组成这个几何体所用的小立方块的个数．㈣、由俯视图及小立方块个数，识别其它视图例4（2006年常州市）下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）析解：根据俯视图上小立方块的数字，先确定主视图有3列，然俯视图主（正）视图左视图后再根据每一列中最大的数字确定这一列的层数，第一列有4层，第二列有3层，第三列有2层．则该几何体的主视图为C，故应选C．点评：解这类问题的一般方法是先由俯视图确定几行几列，再根据各个位置上的小立方块的个数确定每行每列的最高层数，从而识别出其它视图．四、突破有关欧拉公式的应用的教学重、难点的方法。

我们仔细观察实物，全力抓住立体图形的规律、特征，运用数学公式准确表示，才能正确、迅速地进行计算，有效地提高教学质量。

1、将一个三角形纸片剪成四个小三角形，再将其中一个按同样的方法剪成四个更小的三角形……如此下去，如图所示，结果如下表：求a n 等于多少？分析：①从所剪三角形的个数7-4＝3，10-7＝3，13-10＝3……则它们的公差用d=3表示；②所剪的次数1，2，3，4……用n表示；③剪一次所得三角形的个数a1 ＝4来表示；④剪二次所得三角形的个数a2＝a1 +3 来表示；⑤剪三次得三角形的个数a3＝a1+2×3；………………………………………………………………⑥剪n次得三角形的个数a n＝a1+nd解：根据观察的规律得：a n＝a1+nd（即等差数列第n项的公式）2、如图搭成棱长为a的小正方体的几何体，k n表示搭到n 层时小正方体的总块数，S n表示搭到n层该几何体的表面。