高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：4.1 平面向量的概念及其线性运算 word版含答案

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高三数学一轮复习讲义平面向量的基本定理及坐标表示教案新人教A版

平面向量的基本定理及坐标表示自主梳理1．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.1．不共线有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．夹角（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．(2)向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________．2.(1)夹角 (2)[0，π] 0 π (3)π2a ⊥b3．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．3.互相垂直4．平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．4.(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴 y 轴 ②设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是________的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为__________，反之亦成立.(O 是坐标原点)②终点A (x ，y )注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息. 5．平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝________________________，a －b ＝________________________，λa ＝________________.|a |＝____________.(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) x 21＋y 21 （2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.已知A （11x y ，），B （22x y ，），则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标． |AB →|＝______________. (2)终点始点x 2－x 12＋y 2－y 126．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________________． x 1y 2－x 2y 1＝0注意：.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等.7．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为_____________________．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________．7.(1)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 331.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y ). 当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化.基础检测1.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝__________.(7,3)2.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为____.(－3，－5)3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.04.在平面坐标系内，已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0).给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.45.若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于 ( B )A.3a ＋bB.3a －bC.－a ＋3bD.a ＋3b6．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．]7．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0，∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.] 8.已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上，则实数λ等于( ) A.52 B.32 C ．－52 D ．－32A [c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52.]9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析 a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ，得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1.10.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120° .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA→＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______. 解析建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设AOC ∠＝α,则OA →＝ (cos α，sin α)．∵OC →＝xOA→＋yOB →＝(x,0)＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴错误!∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值．探究点一平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d表示AB →，AD →.解方法一设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ， ①b ＝AM →＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a . ②将②代入①得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，代入②得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d ).∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d ).方法二设AB →＝a ，AD→＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12ad ＝a ＋12b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c b ＝232c －d，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d ). 变式训练1 （1）如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解析如右图，OC →＝OD →＋OE → ＝λOA →＋μOB →在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°，可求|OD →|＝4，同理可求|OE →|＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.（2）在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，与边 AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，如图，设AB→＝a，AC→＝b，试用a和b表示DN→.解∵AD→＝14AB→，DE∥BC，M为BC中点，∴DN→＝14BM→＝18BC→＝18(b－a).探究点二平面向量的坐标运算例 2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2) 求M、N的坐标及向量MN→的坐标.解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2) 设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).∴M(0,20).又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2).∴MN→＝(9，－18).变式训练2（1）已知点A（1，-2），若向量|AB→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，则点B的坐标为________．解析∵向量AB→与a同向，∴设AB→＝(2t,3t) (t>0)．由|AB→|＝213，∴4t2＋9t2＝4×13.∴t2＝4.∵t>0，∴t＝2.∴AB→＝(4,6)．设B为(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.(5,4)（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标.解如图所示，设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)， D (x ，y ). (1)若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →，而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5).由AD 1→＝BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴D 1(－3，－5).(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD →2. 而AB →＝(4,0)，CD →2＝(x －1，y ＋5).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5.∴D 2(5，－5).(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD →3＝CB →. 而AD →3＝(x ＋1，y )，CB →＝(2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.∴D 3(1,5).综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5).探究点三在向量平行下求参数问题例3 已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)， a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3，∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3).变式训练3 （1）已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.（2）已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1). ①求|a ＋3b |；②当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解 ① 因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，∴|a ＋3b |＝72＋32＝58.②k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反.（3）已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4，5)，OP →＝t 1OA →＋t 2AB →， ①求点P 在第二象限的充要条件.②证明：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线； ③试求当t 1，t 2满足什么条件时，O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形.①解 OP→＝t 1(1,2)＋t 2(3,3)＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，P在第二象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2<02t 1＋3t 2>0有解.∴－32t 2<t 1<－3t 2且t 2<0.②证明当t 1＝1时，有OP →－OA →＝t 2AB →，∴AP →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线. ③解由OP →＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，得点P (t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，∴O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形有三种情况.当OA →＝BP →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2－4＝12t 1＋3t 2－5＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝2t 2＝1；当OA →＝PB→，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2－4＝－12t 1＋3t 2－5＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0t 2＝1；当OP →＝BA →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2＝－32t 1＋3t 2＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0t 2＝－1.点评：1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB →＝(2,2)．一、选择题1.已知a,b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ，(λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2－1＝0D ．λ1λ2＋1＝01．C [∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →＝k AC →⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，kλ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.]2.若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( D )A.(2,0)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(0,2) 3．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－∞，1]D ．[－1,6]3．A [∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α.又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2， ∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2m≤1.] 4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A. 2B. 3 C ．3 2 D ．23 5.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4) 二、填空题6.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．6．2解析方法一若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM→＋nAN →，AO →＝m 2AM →＝m 2AM →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n 2＝1. ∴m ＋n ＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．(0，－2)解析设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知ＢＣ→＝ＡＤ→，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________．3 S ＝|AB →|＝|ＢＣ→|sin 60°＝2×2×32＝ 3.三、解答题 9.（12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →. 9．证明设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得ＡＣ→＝(2,2)，ＢＣ→＝(－2,3)，ＡB →＝(4，－1)．∴A Ｅ→＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝13ＢC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴A Ｅ→＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.∴ＥＦ→＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵ＡB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴ＥＦ→∥ＡB →.10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C2，2sinA )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．证明 ∵m ∥n ，∴a cosB ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为三角形的内角，∴－π<A －B <π.∴A ＝B . ∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C 2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．11.如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC→，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；（2）若m +n=1,求MN 的最小值．11．解（1）由A ，M ，N 三点共线，得A Ｍ→∥A Ｎ→，设A Ｍ→＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋A Ｆ→)＝12λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＡB →＋nAC →＝λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＝n .（２）因为ＭN →＝AN →－AM →＝12(AB →－AC →)＝12(AE →－AF →)＝12(1－m )AB → ＋12(1－n )AC →，又m ＋n ＝1，所以MN →＝12 (1－m )AB → ＋12mAC →，所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋12(1－m )mAB→·AC →＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316.故当m ＝12时，|MN →|min ＝34. 一、选择题1.与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为 (C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±1213，±5132.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于 (B )A.(－2,7)B.(－6,21)C.(2，－7)D.(6，－21)3.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn等于 ( C )A.－2B.2C.－12D.124．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于 ( A )A.(－3,6)B.(3，－6)C.(6，－3)D.(－6,3) 5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2).若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( D )A.(2,6)B.(－2,6)C.(2，－6)D.(－2，－6)二、填空题6.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝___.(－2,0)或(－2,2)____________.7.△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝__60°______.8.已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝___2_____.9.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为___12_____.10.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是___8_____. 三、解答题11.a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b ).∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.12.如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB → ＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，令 CP →＝p ，试用p 表示PQ →.解设PA →＝a ，PB →＝b ，由已知条件3CP →＝PA →＋2PB →，即3p ＝a ＋2b ，PQ →＝λCP →＝λ3(a ＋2b )，又PQ →＝PA →＋AQ →＝PA →＋μAB →＝PA →＋μ(PB →－PA→)＝(1－μ)a ＋μb ，由平面向量基本定理⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝1－μ2λ3＝μ.解得λ＝1，因此PQ →＝λCP →＝p .13.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8).(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE →＝2EC →，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标. 解 (1)设点D (x ，y )，因为AD →＝BC →，所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，所以顶点D 的坐标为(2,7).(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，72，(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )⇒E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233，BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，52，BI →＝(x －4，y －1)，BF →∥BI →⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE →∥AI →⇒233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝9152，y ＝299104，则点I的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9152，299104.14.已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB→且△ABM 的面积为12时a 的值.8.(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM→＝(4t 2,4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA→＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴A 、B 、M 三点共线.(3)解当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2).又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2).又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。

届数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析

第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。

了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。

掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。

规定：0与任一向量平行。

（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。

2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。

（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。

［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。

中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。

错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。

人教A版高考总复习一轮数学精品课件第七章平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算 (2)

第七章
第一节平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础增分策略
02
增素能精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+

4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1

+

,所以
4
4
=
3

4
=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
5
A.2

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ；结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_

2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章第一节平面向量的概念及其线性运算含答案

答案A
1．(配合例2使用)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，| |＝| |＝| |＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析由| |＝| |得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－( ＋ )＝－2 ，所以PD＝ AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由| |＝2，PD＝1可得| |＝，则| |＝2 ，所以△ABC的面积为 ×2×2 ＝2 。故选B。
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
答案(1)A(2)D
考点三共线定理及应用微点小专题
方向1：共线定理
【例3】已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝( )

高考数学(理)一轮复习课件：平面向量的概念及其线性运算(新人教A版)共31页文档

设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且 |a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
第33讲 │ 要点探究
[思路] 从相等向量与共线向量的定义出发，注意从模和方向两方面进行考虑．
[思路] 由 a，tb，13(a＋b)三向量的终点共线，得 m＝λn 这样一种形式，由平面向量的基本定理得方程组，解方程组得 t 的值．
第33讲 │ 要点探究
[解答] 设O→A＝a，O→B＝tb，O→C＝13(a＋b)， ∴A→C＝O→C－O→A＝－23a＋13b，A→B＝O→B－O→A＝tb－a. 要使 A、B、C 三点共线，只需A→C＝λA→B(λ∈R)，即－23a＋13b＝λ(tb－a)．因为 a，b 是两个不共线的非零向量，则由平面向量的基本定理，得
第33讲 │ 要点探究
[思路] 向量概念的关键词是大小和方向，正确理解向量的有关概念是解决这类问题的关键；要注意特殊情况，否定命题只要举出一个反例即可．
第33讲 │ 要点探究
②③ [解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C. 又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此A→B＝D→C. ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.

新人教A版版高考数学一轮复习第五章平面向量平面向量的概念及其线性运算教案理解析版

基础知识整合１．向量的有关概念（１）向量：既有大小又有错误!方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的错误!模．（２）零向量：长度为错误!0的向量，其方向是任意的．（３）单位向量：长度等于错误!１个单位的向量．（４）平行向量：方向相同或错误!相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．（５）相等向量：长度相等且方向错误!相同的向量．（6）相反向量：长度相等且方向错误!相反的向量．２．向量的线性运算３．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λＡ．１．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋An—１An＝错误!.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．２．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．３．错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝１．１．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析当a＋b＝0时，a＝—b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝—b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选Ａ．２．（２0１9·嘉兴学科基础测试）在△ABC中，已知M是BC中点，设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝（）Ａ．错误!a—b Ｂ．错误!a＋bＣ．a—错误!b Ｄ．a＋错误!b答案A解析错误!＝错误!—错误!＝错误!错误!—错误!＝错误!a—Ｂ．故选Ａ．３．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是（）Ａ．a＋b＝0 Ｂ．a＝bＣ．a与b共线反向Ｄ．存在正实数λ，使a＝λb答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．４．已知向量i与j不共线，且错误!＝i＋mj，错误!＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是（）Ａ．m＋n＝１Ｂ．m＋n＝—１Ｃ．mn＝１Ｄ．mn＝—１答案C解析由A，B，D共线可设错误!＝λ错误!，于是有i＋mj＝λ（ni＋j）＝λni＋λj.又i，j不共线，因此错误!即有mn＝１．５．（２0１9·大同模拟）△ABC所在的平面内有一点P，满足错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则△PBC与△ABC的面积之比是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析因为错误!＋错误!＋错误!＝错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝—２错误!＝２错误!，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝错误!AC，由三角形的面积公式可知，错误!＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一平面向量的概念１若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；３若A，B，C，D是不共线的四点，则错误!＝错误!，则ABCD为平行四边形；４a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；５已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案３解析１错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．２错误，若b＝0，则a与c不一定共线．３正确，因为错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|且错误!∥错误!；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．４错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．５错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填３.触类旁通平面向量有关概念的四个关注点（１）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．错误!３向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.错误!即时训练１．设a0为单位向量，下列命题中：１若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；２若a与a0平行，则a＝|a|a0；３若a与a0平行且|a|＝１，则a＝a0．假命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故１是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝—|a|a0，故２３也是假命题．综上所述，假命题的个数是３．故选Ｄ．考向二平面向量的线性运算角度错误!向量加减法的几何意义例２（１）在四边形ABCD中，错误!＝a＋２b，错误!＝—４a—b，错误!＝—５a—３b，则四边形ABCD的形状是（）Ａ．矩形Ｂ．平行四边形Ｃ．梯形Ｄ．以上都不对答案C解析由已知得，错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝a＋２b—４a—b—５a—３b＝—8a—２b＝２（—４a—b）＝２错误!，故错误!∥错误!.又因为错误!与错误!不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选Ｃ．（２）（２0１7·全国卷Ⅱ）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a—b|，则（）Ａ．a⊥b Ｂ．|a|＝|b|Ｃ．a∥b Ｄ．|a|＞|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a—b|，∴|a＋b|２＝|a—b|２．∴a２＋b２＋２a·b＝a２＋b２—２a·Ｂ．∴a·b＝0．∴a⊥Ｂ．故选Ａ．解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，由|a＋b|＝|a—b|知|错误!|＝|错误!|，从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥Ｂ．故选Ａ．角度错误!平面向量线性运算例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!答案A解析根据向量的运算法则，可得错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝错误!—错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．（２）（２0１9·唐山统考）在等腰梯形ABCD中，错误!＝—２错误!，M为BC的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!答案B解析因为错误!＝—２错误!，所以错误!＝２错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.故选Ｂ．角度错误!利用线性运算求参数例４（１）在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且错误!＝４错误!＝r错误!—s错误!，则s＋r等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３答案C解析因为错误!＝４错误!，所以错误!＝错误!错误!.又因为错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以r＝s＝错误!，s＋r＝错误!.（２）（２0１9·河南中原联考）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），则λ２＋μ２＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!答案A解析错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以λ＝错误!，μ＝—错误!，故λ２＋μ２＝错误!.故选Ａ．触类旁通平面向量线性运算的一般规律（１）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．（２）在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．即时训练２．已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d，则（）Ａ．a＋b＋c＋d＝0 Ｂ．a—b＋c—d＝0Ｃ．a＋b—c—d＝0 Ｄ．a—b—c＋d＝0答案B解析如图所示，a—b＝错误!，c—d＝错误!，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC，且错误!与错误!反向，即错误!＋错误!＝0，也就是a—b＋c—d＝0．３．设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝３错误!，则（）Ａ．错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!＝错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!＝错误!错误!—错误!错误!答案A解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!.故选Ａ．４．（２0１9·唐山模拟）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝３0°，AB＝２错误!，BC＝２，点E在线段CD上，若错误!＝错误!＋μ错误!，则μ的取值范围是________．答案0≤μ≤错误!解析由题意可求得AD＝１，CD＝错误!，所以错误!＝２错误!.∵点E在线段CD上，∴错误!＝λ错误!（0≤λ≤１）．∵错误!＝错误!＋错误!，又错误!＝错误!＋μ错误!＝错误!＋２μ错误!＝错误!＋错误!错误!，∴错误!＝１，即μ＝错误!.∵0≤λ≤１，∴0≤μ≤错误!.考向三共线向量定理的应用例５（１）（２0１9·朔州模拟）设e１与e２是两个不共线向量，错误!＝３e１＋２e２，错误!＝ke１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，若A，B，D三点共线，则k的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．—错误!Ｄ．不存在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得错误!＝λ错误!.又错误!＝３e１＋２e２，错误!＝ke１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，所以错误!＝错误!—错误!＝３e１—２ke２—（ke１＋e２）＝（３—k）e１—（２k＋１）e２，所以３e１＋２e２＝λ（３—k）e１—λ（２k＋１）e２，所以错误!解得k＝—错误!.故选Ａ．（２）（２0１9·河北衡水调研）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若错误!＝２错误!，错误!＝３错误!，错误!＝λ错误!—μ错误!（λ，μ∈R），则错误!μ—λ＝（）Ａ．—错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．—３答案A解析错误!＝λ错误!—μ错误!＝λ错误!—μ（错误!＋错误!）＝（λ—μ）错误!—μ错误!＝２（λ—μ）错误!—３μ错误!，因为E，M，F三点共线，所以２（λ—μ）＋（—３μ）＝１，即２λ—５μ＝１，所以错误!μ—λ＝—错误!.故选Ａ．触类旁通１三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数.错误!２三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O O不在直线BC上满足即时训练５．（２0１9·济南模拟）已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（２λ—１）b，若c 与d共线反向，则实数λ的值为（）Ａ．１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—２答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k<0），于是λa＋b＝k[a＋（２λ—１）b]，整理得λa＋b＝ka＋（２λk—k）Ｂ．由于a，b不共线，所以有错误!整理得２λ２—λ—１＝0，解得λ＝１或λ＝—错误!.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝—错误!.故选Ｂ．6．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则m＋n的值为________．答案２解析解法一：错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.∵M，O，N三点共线，∴错误!＋错误!＝１．∴m＋n＝２．解法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，此时m＝n＝１，∴m＋n＝２．。

高三数学一轮复习教案全套人教A版平面向量的概念与线性运算

高三一轮复习第四章平面向量与复数
4.1平面向量的概念与线性运算
【教学目标】
1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【重点难点】
1.教学重点理解平面向量的概念，掌握向量加法、减法、向量数乘的运算；
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
平行四边形法则
，得BA →＝PC →.又AP →＝
＋AB →)＝12·2AD →＝AD →
.。

高考数学一轮总复习第26讲平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版

(5)因为O→A＋O→B＋O→C＝0，
第二十五页，共45页。
所以O→A＝－(O→B＋O→C)，即O→B＋O→C是与O→A方向相反且长度相等的向量．
如图所示，以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，
则O→D＝O→B＋O→C，所以O→D＝－O→A，在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E，B→E＝E→C，则O→E＝E→D. 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|O→A|＝2|O→E|. 所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
第二十二页，共45页。
(4)O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；
(5)已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点，若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心．
第三十四页，共45页。
三平面向量 (xiàngliàng)共线问题
【例 3】设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，试问 b 与 a ＋c 是否共线？并证明你的结论．
第三十五页，共45页。
【解析】 b 与 a＋c 共线，证明如下：因为 a＋b 与 c 共线，所以存在唯一实数 λ，使得 a＋b＝λc，① 又因为 b＋c 与 a 共线，所以存在唯一实数 μ，使 b＋c＝μa，② ①－②，得 a－c＝λc－μa，即(1＋μ)a＋(－1－λ)c＝0. 因为 a 与 c 不共线，由平面向量基本定理，得
素材 (sùcái )3
已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a －3b 平行，且平行时它们是同向还是反向？

高三理科数学第一轮复习§4.1：平面向量的概念及其线性运算

第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算
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第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算
提示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算
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第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算

高三数学,一轮复习人教A版, 第四章第1讲,平面向量的概念,及线性运算课件

2．三点共线的等价关系 → → → → → A，P，B 三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)· OA＋tOB(O → → → 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
1.教材习题改编如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( D ) → → A．EF＝CD → → B．AB与DE共线 → → C．BD与CD是相反向量 → 1→ D．AE＝ |AC| 2
1 1 A． a＋ b 2 2
1 1 B． a－ b 2 2
1 1 1 1 C．－ a－ b D．－ a＋ b 2 2 2 2 1 1 → 1→ 1 [解析] MD＝ BD＝ (b－a)＝－ a＋ b，故选 D. 2 2 2 2
4.教材习题改编已知 a， b 是非零向量，命题 p： a＝b，命题 q： |a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3.两个向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， b＝λa 使得__________ ．
1．辨明两个易误点 (1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则 λ 可能不存在，也可能有无数个．
[解析] 因为 e1 与 e2 不共线，且 a＝e1－e2 与 b＝－2e1＋λe2 共线，所以存在 μ∈R，使 e1－e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2，
1＝－2μ 得，所以－1＝μλ

2019-2020年高三数学一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算教案新人教A版

2019-2020年高三数学一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算教案新人教A 版自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有__大小____又有__方向____的量叫做向量．平面向量是自由向量（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示． (3)模：向量的__长度____叫向量的模，记作___ |a |__或____．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是__任意的___． (5)单位向量：长度为_1个___单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝__±a|a|___. (6)平行向量：方向__相同___或__相反__的__非零___向量；平行向量又叫___ 共线向量_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量_平行 __．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(7)相等向量：长度___相等___且方向__相同___的向量．2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作 a ＋b ，即 a ＋b =AB →+BC →= AC →，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 . （2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 .(3)加法运算律a ＋b ＝___ b ＋a _____ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝__ a ＋(b ＋c )__________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____长度相等__、____方向相反__的向量，叫做a 的相反向量，记作__－a ____． (2)向量的减法① 定义a －b ＝a ＋__(－b ) __，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____．② 图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ a ＋b ，DB →＝__ a －b ____.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作__λa ____，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝___|λ||a | ___；②当λ>0时，λa 与a 的方向__相同____；当λ<0时，λa 与a 的方向__相反______；当λ＝0时，λa ＝____. (2)运算律设λ，μ是两个实数，则① λ(μa )＝__(λμ)a ___.(结合律)② (λ＋μ)a ＝__λa ＋μa ___.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__λa ＋λb ____.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的___重心__；PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的___重心___．3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得___ b =λa _. 自我检测1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，|，|则|AM →|等于 ( )A ．8B ．4C ．2D ．1 1.2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ；③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．] 3.如图，正六边形ABCDEF 中，＋＋＝( )A ．0 B. C. D .４．设P 是△ABC 所在平面内的一点，＋＝2，则( )A.＝0 B .＋＝0 C.＋＝0 D.＋＝0５．在平行ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34bA [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .] ６.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m 成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.]７.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.解析设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .⑤a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .以上命题中正确的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0 [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a |是a 方向上的单位向量.变式训练1 (1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0； ④若 a ＝b ，则|a|＝|b|；⑤若λ＝0，则λa ＝0；⑥若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上．变式训练1解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③ 只有零向量的模才为0，故③正确；⑥④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故⑥正确．故应选②③④⑤⑥⑦.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (7)任一向量与它的相反向量不相等.解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的. (7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二向量的线性运算例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 变式训练２ (1)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝＝＝ .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .(2)如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →题型三共线向量问题例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.变式训练３ (1) 设两个非零向量e 1和e 2不共线．①如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；②如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．（1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2＝4e 1＋e 2＝（－8e 1－2e 2) ＝CD →． ∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD → 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.（2）如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值. 解:∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.(3)如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.证明在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a .由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线．(4)设，不共线，点P 在AB 上，求证：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R . 证明：∵P 在AB 上，∴与共线． ∴＝t .∴－＝t (－)． ∴＝＋t －t ＝(1－t )＋t .设1－t ＝λ，t ＝μ，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .用方程思想解决平面向量的线性运算问题如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →， OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ， OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线.∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .变式训练4综合问题如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是 ________；当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：由题意得：OP →＝a ·OM →＋b ·OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ·λAB →＋b ·OB → (λ>0)＝a λ(OB →－OA →)＋b ·OB ＝－αλ·OA →＋(αλ＋b )·OB →.由－a λ<0，求得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，求得：y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32变式训练5如图,平面内有三个向量其中的夹角为1200,的夹角为300, 且||1,|23,OA OB OC ===|||则的值是_6__.在△ABC 中, O 是△ABC 的重心.∠A,∠B, ∠C 的对边分别为a ,b ,c,若求证△ABC 是等边三角形.λμ+平面向量的概念及线性运算练习一一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A .AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →3．如图，正六边形 ABCDEF 中，＋＋＝ ( ) A ．0 B ． C ．D ．4. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，＋＝2，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向 D .k ＝－1且c 与d 反向6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（）A .23 B.13 C ．－13 D ．－237. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( ) A .12B.13C.14D ．18．在四边形ABCD 中，＝，且·＝0，则四边形ABCD 是 ( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．如图，e1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为 ( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 210．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是 ( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]11．化简：(1)AB →＋BC →＋CD →＝________； (2)AB →－AD →－DC →＝________；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.12．已知在平面上不共线的四点O 、A 、B 、C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝__2______.13.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______.14.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为_____－2____.15．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是____ __．解析：∵a ＝λb ，∴a 与b 共线，λ＝±35.16．已知a ，b 是不共线的向量，若＝λ1a ＋b ，＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为_____．解析：A 、B 、C 三点共线⇔∥⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.17．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |＝__10______.18．已知3x ＋4y ＝a,2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则向量x ＝________，y ＝________.答案：317a ＋417b 217a －317b19．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线． (2) 试判断A 、C 、D 三点是否共线，并说明理由． (3)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解 (1)∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )， ∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )，＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5.∴、共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解：A 、C 、D 三点不共线． ∵＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ， ∴＝＋＝a ＋b ＋2a ＋8b ＝3a ＋9b . 而＝3a －3b ，假设存在λ∈R ，使得＝λ，即3a ＋9b ＝3λa －3λb .则⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，9＝－3λ显然满足上述条件的实数λ不存在，故A 、C 、D 三点不共线．(3)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.20．设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果＝e 1＋e 2，＝2e 1－3e 2，＝2e 1－ke 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．＝＋＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－ke 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.平面向量的概念及线性运算练习二1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为( )A.1B.2 C .3 D.42．平面向量a ，b 共线的充要条件是 ( ) A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为0C ．存在λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0解析：a ，b 共线时，a ，b 方向相同或相反，故A 错．a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，故B 错．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立，故C 错．排除A 、B 、C.3．下列命题是假命题的是 ( ) A ．对于两个非零向量a 、b ，若存在一个实数k 满足a ＝k b ，则a 、b 共线 B ．若a ＝b ，则|a |＝|b | C ．若a 、b 为两个非零向量，则|a ＋b |＞|a －b | D ．若a 、b 为两个方向相同的向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |4．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ；②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b .其中正确的结论有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心外心B ．重心内心C ．外心重心D ．外心内心解析：由||＝||＝||知，O 为△ABC 的外心；＋＋＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案：C6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若＝λ (λ＞0)，＝μ (μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9B.72 C ．5 D.92解析：由题意得，＋＝2＝λ＋μ⇔＝λ2＋μ2，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号．答案：D7.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足＋＋＝，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵＋＋＝， ∴＋＋＝－，∴＝－2＝2， ∴P 是AC 边的一个三等分点．8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心9.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B .AC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上10.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A.外心B .内心 C.重心D.垂心解：由条件得＝λ，因与都是单位向量，故点P 在∠BAC 的平分线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心．选B.11．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ ( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D .23a ＋13b 解析：∵AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.12.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为___－1_______.13.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是_________(将正确的序号填在横线上).①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线. 14.已知＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .15.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b ).∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ， MN →＝12a －16b .16.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上.平面向量的概念及线性运算练习三1．若△ABC 满足|CB →|＝|AB →＋AC →|，则△ABC 的形状必定为 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2.命题p ：a 与b 是方向相同的非零向量，命题q: a 与b 是两平行向量，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( ) A.13 B.12 C .23 D.344．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ (λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有＝λ，＝μ，且1λ＋1μ＝2.若C 是线段AB 的中点，则有＝12，此时λ＝12.又1μ＋1λ＝2，∴1μ＝0，不可能成立．因此选项A 不正确，同理B 也不正确．若C ，D 同时在线段AB 上，由＝λ，＝μ知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，因此选项C 不正确．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则＝λ时，λ＞1，＝μ时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．5.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__±4______. 解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.6．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a ＋b ，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a ________0，b ________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且＝a ＋b ，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0. 答案：＞＜7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为_(－4，－2)_______．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝a 1＋a 200，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S200＝_100_____9.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为____311_____.10.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为____.解析方法一若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2＝＋＝m ＋n ，＝m 2＝m 2.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2. 11. 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为___±2_____.12．如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32，所以BF →＝32AB →FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（）AB →＋32AC →.14．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.解析：如图所示，连接BO ，并延长交圆O 于点D ，连接CH ，CD ，AD ，则∠BCD ＝∠BAD ＝90°，∴CD ⊥BC ，AD ⊥AB .又H 为△ABC的垂心，∴AH ⊥BC ，CH ⊥AB . ∴CD ∥AH ，AD ∥HC .∴四边形AHCD 为平行四边形． ∴AH →＝DC →＝OC →－OD →.∵O 为BD 的中点，∴OB →＝－OD →.∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋OC →－OD →＝OA →＋OB →＋OC →. ∴m ＝1.故填1.15．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为___12_____．三、解答题16．如图，在△ABC 中，，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b .用a ，b 表示AP →.解析：由题意知：AM →＝13AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b ，BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b .设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb ，∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb 而AP →＝AP →，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a ＋211b .17已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明显然OM →＝12(a ＋b ).因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b ).由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.。

高三数学一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算教案新人教A版

平面向量的概念及线性运算自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有__大小____又有__方向____的量叫做向量．平面向量是自由向量（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的__长度____叫向量的模，记作___ |a |__或__AB__．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是__任意的___． (5)单位向量：长度为_1个___单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝__±a|a|___. (6)平行向量：方向__相同___或__相反__的__非零___向量；平行向量又叫___ 共线向量_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量_平行 __．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(7)相等向量：长度___相等___且方向__相同___的向量．2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作 a ＋b ，即 a ＋b =AB →+BC →= AC →，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 . （2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 .(3)加法运算律a ＋b ＝___ b ＋a _____ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝__ a ＋(b ＋c )__________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____长度相等__、____方向相反__的向量，叫做a 的相反向量，记作__－a ____． (2)向量的减法① 定义a －b ＝a ＋__(－b ) __，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____．② 图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ a ＋b ，DB →＝__ a －b ____.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作__λa ____，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝___|λ||a | ___；②当λ>0时，λa 与a 的方向__相同____；当λ<0时，λa 与a 的方向__相反______；当λ＝0时，λa ＝____. (2)运算律设λ，μ是两个实数，则① λ(μa )＝__(λμ)a ___.(结合律)② (λ＋μ)a ＝__λa ＋μa ___.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__λa ＋λb ____.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的___重心__；PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的___重心___．3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得___ b =λa _. 自我检测1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC =16 ，|AB AC AB AC +-＝，|则|AM →|等于 ( )A ．8B ．4C ．2D ．1 1.2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ；③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]3.如图，正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF＝( )A ．0 B.BE C.AD D .CF４．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP，则( )A.PA PB + ＝0 B .PC ＋PA ＝0C.PB ＋PC ＝0D.PA PB + ＋PC＝0５．在平行ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34bA [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .] ６.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m AM 成立，则m 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.]７.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.解析设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .⑤a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .以上命题中正确的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0 [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a|a |是a 方向上的单位向量.变式训练1 (1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0； ④若 a ＝b ，则|a|＝|b|；⑤若λ＝0，则λa ＝0；⑥若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上．变式训练1解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③ 只有零向量的模才为0，故③正确；⑥④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故⑥正确．故应选②③④⑤⑥⑦.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (7)任一向量与它的相反向量不相等.解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的. (7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二向量的线性运算例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 变式训练２ (1)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝1()2AB BA AC λ++＝1()2AB AB AC λ+-+ ＝ 1(1)2a b λ-+ .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .(2)如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →题型三共线向量问题例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.变式训练３ (1) 设两个非零向量e 1和e 2不共线．①如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；②如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．（1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2＝4e 1＋e 2＝12-（－8e 1－2e 2) ＝12-CD →．∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD → 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.（2）如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值.解:∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.(3)如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.证明在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a .由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线． (4)设OA ，OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP ＝λOA＋μOB 且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .证明：∵P 在AB 上，∴AP 与AB共线．∴AP ＝t AB .∴OP －OA＝t (OB －OA )．∴OP ＝OA ＋t OB－t OA ＝(1－t )OA ＋t OB .设1－t ＝λ，t ＝μ，则OP＝λOA ＋μOB 且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .用方程思想解决平面向量的线性运算问题如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →， OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ， OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线.∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .变式训练4综合问题如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是 ________；当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：由题意得：OP →＝a ²OM →＋b ²OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ²λAB →＋b ²OB → (λ>0)＝a λ(OB →－OA →)＋b ²OB ＝－αλ²OA →＋(αλ＋b )²OB →.由－a λ<0，求得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，求得：y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32变式训练5如图,平面内有三个向量其中OA OB 与的夹角为1200,OA OC与的夹角为300,且||1,|OA OB OC === |||则的值是_6__.在△ABC 中, O 是△ABC 的重心.∠A,∠B, ∠C 的对边分别为a ,b ,c,若求证△ABC 是等边三角形.,,OA OB OC ,(,R),OB μλμ∈+λμ+OC OA λ= λμ+0,aOA bOB cOC ++=平面向量的概念及线性运算练习一一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A .AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →3．如图，正六边形 ABCDEF 中，BA ＋CD＋EF ＝ ( )A ．0B ．BEC ．AD D ．CF4. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向 D .k ＝－1且c 与d 反向6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（）A .23 B.13 C ．－13 D ．－237. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点， AN ＝λAB＋μAC ，则λ＋μ的值为( ) A .12B.13C.14D ．18．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ²BD＝0，则四边形ABCD 是 ( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．如图，e1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为 ( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 210．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是 ( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]11．化简：(1)AB →＋BC →＋CD →＝___AD _____；(2)AB →－AD →－DC →＝___CB _____；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝____0 ____.12．已知在平面上不共线的四点O 、A 、B 、C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝__2______.13.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______.14.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为_____－2____.15．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是____ __．解析：∵a ＝λb ，∴a 与b 共线，λ＝±35.16．已知a ，b 是不共线的向量，若AB ＝λ1a ＋b ，AC＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为_____．解析：A 、B 、C 三点共线⇔AB ∥AC⇔λ1λ2－1³1＝0⇔λ1λ2＝1.17．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |＝__10______.18．已知3x ＋4y ＝a,2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则向量x ＝________，y ＝________.答案：317a ＋417b 217a －317b19．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC＝2a ＋8b ，CD＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线． (2) 试判断A 、C 、D 三点是否共线，并说明理由． (3)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解 (1)∵AB ＝a ＋b ，BC＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD＝2a ＋8b ＋3(a －b )，＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解：A 、C 、D 三点不共线．∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ， ∴AC ＝AB ＋BC＝a ＋b ＋2a ＋8b ＝3a ＋9b .而CD＝3a －3b ，假设存在λ∈R ，使得AC＝λCD ，即3a ＋9b ＝3λa －3λb .则⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，9＝－3λ显然满足上述条件的实数λ不存在，故A 、C 、D 三点不共线．(3)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.20．设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，CD＝2e 1－ke 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．AC ＝AB＋BC ＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD共线，从而存在实数λ使得AC ＝λCD ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－ke 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.平面向量的概念及线性运算练习二1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为( )A.1B.2 C .3 D.42．平面向量a ，b 共线的充要条件是 ( ) A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为0C ．存在λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0解析：a ，b 共线时，a ，b 方向相同或相反，故A 错．a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，故B 错．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立，故C 错．排除A 、B 、C.3．下列命题是假命题的是 ( ) A ．对于两个非零向量a 、b ，若存在一个实数k 满足a ＝k b ，则a 、b 共线 B ．若a ＝b ，则|a |＝|b | C ．若a 、b 为两个非零向量，则|a ＋b |＞|a －b | D ．若a 、b 为两个方向相同的向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |4．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ；②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b .其中正确的结论有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心外心B ．重心内心C ．外心重心D ．外心内心解析：由|OA |＝|OB |＝|OC |知，O 为△ABC 的外心；NA ＋NB ＋NC＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案：C6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB＝λAE (λ＞0)，AC ＝μAF (μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9B.72 C ．5 D.92解析：由题意得，AB ＋AC ＝2AD ＝λAE ＋μAF ⇔AD ＝λ2AE ＋μ2AF，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号．答案：D7.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋ PB ＋PC ＝AB，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB－PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP ，∴P 是AC 边的一个三等分点．8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心9.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B .AC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上10.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A.外心B .内心 C.重心D.垂心解：由条件得＝λ，因与都是单位向量，故点P 在∠BAC 的平分线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心．选B.11．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ ( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D .23a ＋13b 解析：∵AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.12.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为___－1_______.13.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是_________(将正确的序号填在横线上).①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ²a ＋μ²b ＝0； ③x ²a ＋y ²b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线.14.已知1OP ＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .15.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b ).∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ， MN →＝12a －16b .16.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上.平面向量的概念及线性运算练习三1．若△ABC 满足|CB →|＝|AB →＋AC →|，则△ABC 的形状必定为 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2.命题p ：a 与b 是方向相同的非零向量，命题q: a 与b 是两平行向量，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12 C .23 D.34 4．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13AA ＝λ12A A(λ∈R)，14A A ＝μ12A A(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2.若C 是线段AB 的中点，则有AC ＝12AB，此时λ＝12.又1μ＋1λ＝2，∴1μ＝0，不可能成立．因此选项A 不正确，同理B 也不正确．若C ，D 同时在线段AB 上，由AC＝λAB ，AD＝μAB 知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，因此选项C 不正确．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC＝λAB 时，λ＞1，AD ＝μAB 时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．5.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__±4______. 解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.6．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若OP ＝a 1OP ＋b 2OP，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a ________0，b ________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP ＝a 1OP ＋b 2OP，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0. 答案：＞＜7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为_(－4，－2)_______．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB ＝a 1OA＋a 200OC ，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S200＝_100_____9.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为____311_____.10.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为____.解析方法一若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2＝＋＝m ＋n ，＝m 2＝m 2.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2. 11. 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为___±2_____.12．如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62³22＝32，所以BF →＝32AB →⋅FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（12+）AB →＋32AC →.14．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.解析：如图所示，连接BO ，并延长交圆O 于点D ，连接CH ，CD ，AD ，则∠BCD ＝∠BAD ＝90°，∴CD ⊥BC ，AD ⊥AB .又H 为△ABC的垂心，∴AH ⊥BC ，CH ⊥AB . ∴CD ∥AH ，AD ∥HC .∴四边形AHCD 为平行四边形． ∴AH →＝DC →＝OC →－OD →.∵O 为BD 的中点，∴OB →＝－OD →.∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋OC →－OD →＝OA →＋OB →＋OC →. ∴m ＝1.故填1.15．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为___12_____．三、解答题16．如图，在△ABC 中，AMAN 11AB 3AC 4==，，，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b .用a ，b 表示AP →.解析：由题意知：AM →＝13AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b ，BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b .设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb ，∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb 而AP →＝AP →，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a ＋211b .17已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明显然OM →＝12(a ＋b ).因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b ).由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.。

高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版

[最新考纲] 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
[考情分析]
[核心素养]
平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向 1.数学运算
量定理及其应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是 2.直观想象
选择题与填空题，分值为 5 分.
1
课前 ·基础巩固
‖知识梳理‖ 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 1 __方__向_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 2 _____模____． (2)零向量：长度为 3 ___0______的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 4 _1_个__单__位___的向量．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴kλk－－λ＝1＝0，0. ∴k2－1＝0.∴k＝±1.
|变式探究| 1．若将本例(1)中“B→C＝2a＋8b”改为“B→C＝a＋mb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？解：B→D＝B→C＋C→D＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使B→D＝λA→B，即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴4m＝－λ3，＝λ，解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线．
法则(或几何意义)
运算律
交换律：a＋b＝ 8 __b_＋__a____；
结合律： (a ＋ b) ＋ c ＝ 9 _a_＋__(b_＋__c_)_

(人教A版)高考数学一轮复习精品学案：平面向量的概念及运算

2019年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）平面向量的概念及运算一．【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。

以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

此类题难度不大，分值5~9分。

预测2019年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】1．向量的概念 ①向量既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x y x a =+= 。

向量的大小即向量（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量可以比较大小. ②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别） ③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

最新人教版A版高考数学理科一轮复习4.1 平面向量的概念及其线性运算教学设计

第一节平面向量的概念及其线性运算向量的线性运算及几何意义(1)理解平面向量的有关概念及向量的表示方法．(2)掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义．(3)理解两个向量共线的含义．(4)了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识点一向量的有关概念易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．答案：D知识点二向量的线性运算平行四边形法则易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．(2016·通州模拟)已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是( )A.AB→＋AC→＝BC→B.AB→＝12BC→＋DA→C.AD→－DC→＝AC→D．2CD→＋BA→＝CA→解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为AB→＋AC→＝2AD→；B错，应为12BC→＋DA→＝BD →＋DA→＝BA→；C错，应为AC→＝AD→＋DC→；D正确，2CD→＋BA→＝CB→＋BA→＝CA→，故选D.答案：D知识点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．必记结论三点共线等价关系：A，P，B三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP→＝xOA→＋yOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一向量的基本概念|1．(2015·郑州二模)已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，则a ，b 方向相同或相反； ③若a ＝－b ，则|a |＝|b |；④若a ，b 不共线，则a ，b 中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b ＝0，则①②都错误；若a ＝－b ，则|a |＝|b |，③正确；若a ，b 不共线，则a ，b 中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．答案：D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b |b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b |b |·|a |≠0，则a ，b 共线且方向相反，因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．对照各个选项可知，选项A 中向量a ，b 的方向相同，选项B 中向量a ，b 共线，方向相同或相反，选项C 中向量a ，b 的方向相反，选项D 中向量a ，b 互相垂直，故选C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．考点二平面向量的线性运算|(1)(2015·高考课标卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD→＝43AB→－13AC→[解析] 由题意得AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13AC→－13AB→＝－13AB→＋43AC→，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.[解析] 因为AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.[答案] 2 3平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O为△ABC内部的一点，且OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△AOC的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32B.53C．2 D．1解析：取AB的中点E，连接OE，则有OA→＋OB→＋2OC→＝2(OE→＋OC→)＝0，OE→＋OC→＝0，所以E，O，C三点共线，所以有△AEO与△BEO面积相等，因此△AOC的面积与△BOC的面积之比为1，故选D.答案：D考点三共线向量定理的应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b 平行，则实数λ＝________.[解析] 由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a ＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝1 2 .[答案] 1 21．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A、B、C三点共线．2．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－k e2，且A，C，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2，又CD →＝－8e 1－2e 2，∴CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线．∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量， ∴⎩⎨⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b . 又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎨⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎨⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n＝6.答案：6A 组考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．(2015·嘉兴一模)已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB→＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n＝32，所以m －n ＝－2. 答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，t b ，13(a＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB→－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa即可，又a ，b是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎨⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.(2016·青岛一模)已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解：如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD → C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．(2015·高考陕西卷)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a·b |＝|a ||b ||cosθ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 答案：124．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。

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