第2章 平面体系的机动分析

结论：无论从受力的角度看还是从位移的角度看，瞬变体 系均不能作为结构在实际工程中采用。 一般说来，当几个简单组成规则中的条件不满足时，都为 瞬变体系，如下面几个体系：
§2-5 机动分析举例
机动分析需注意：
1. 如果有二元体，一般先去掉。
2. 若体系内部与地基的连接满足“两刚片规则”，则可以去 掉地基，只分析体系本身。
W 3
§2-3 几何不变体系的组成规则
1. 规则1—— 三刚片规则
三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一 直线上，则组成几何不变体系且无多余约束。 B 被约束对象：刚片 I，II，III
提供的约束：铰A、B、C 注意： II A
III C I
(1) 铰A、B、C不能在一条直线上； (2) 必须是两两相连，即每两个刚片之间有一个单铰； (3) 铰A、B、C可以是实铰，也可以是虚铰。
当组成虚铰的两根链杆互相平行时，我们称该虚铰在无穷远。 关于∞点的情况需强调几点： (1) 每一个方向有一个∞点; (2) 不同方向有不同∞点; (3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线； (4) 各有限点都不在∞线上。 1. 一铰无穷远 图示体系，一个瞬铰 C在无穷远 处，铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1 、 2 不平行，故三个铰不在同一直线 上，该体系几何不变且无多余约束。
y
x
II I
II
3 2 I 1
y
2(3-1)=4
x, y, 1 , 2 , 3
x
3）刚性连结
思考：任何约束都能使体系的 自由度减少吗？
看作一个刚片
一个刚性连结相当于3个约束
不能使体系的自由度减少的装 置称为多余约束。
二、平面体系的计算自由度
设平面体系是由m个刚片用h 个单铰相连，然后与基 础用r个链杆相连，假设每个约束都能减少一个自由度， 则其计算自由度为：
3. 当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的瞬铰相连。 4. 刚片扩大法（两种装配方式：直接从基础上出发进行装 配；首先从体系内部出发进行装配）。 5. 等效替换：对一个几何不变部分，在不改变其与周围的 连结方式的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组 成。即用一个等效（与外部连结等效）刚片代替它。
表明：瞬变体系在很小的荷载作用下也会产生巨大的内力， 以致体系破坏。 设每个杆长为l，当中间点产生向下的微小位移δ时，杆件的 伸长量为： 2 4 2 1 1 l 2 2 l l 1 l 2l 2 l 8 l 该式表明：杆件稍有变形时，结点就会产生显著的位移。
1 I 2 II B III C
o
A
1 I A III 2 II
C
B
当铰A、B连线与形成瞬铰的链杆 1 、 2 平行时，则三个铰处在同一 直线上，该体系便成为几何瞬变 体系。
1
I A III 2 B II
特殊情况下，如果A，B为实铰，且 1、2与A、B的连线等长，则体系为 几何常变。
2. 两铰无穷远
A
3
1 4 D
B
5 7 E 10
r —为支座链杆数目
对右图体系， 其计算自由度为
j 5
b7
r 3
W 25 7 3 0
思考：计算自由度小于零，或者等 于零，体系一定是几何不变的吗？ W=0 几何可变
三 、组成几何不变体系的必要条件
1. W 0 缺少必要的联系，体系为几何可变。
• 抛开基础，分析上部 • 去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连 • 故：该体系为有一个自由度的几何可体系
• 抛开基础，只分析上部 •上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。 • 故：该体系为无多余约束的几何不变体系。
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与 刚片间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。
4
5
例3 求图示体系的计算自由度。
A(2) 1 2 3 4 8 C(1) 9 6 D(3)
B(2) 5 7 E(1) 10
解：
m7 h9 r 3
W 3 7 (2 9 3) 0
注：对铰结链杆体系，其计算自由度可用下式计算
W 2 j br
其中， j —为铰结点的数目 b —为体系内部链杆数目 2 8 C 9 6
1、去掉二元体，将体系简单化，然后再分析。
D
A
依次去掉二元体A、B、C、D 后，剩下大地。故该体系为无 多余约束的几何不变体系。
C B
G F D C E B A
依次去掉二元体A、B、C、D、 E、F、G 后剩下大地，故该 体系为几何不变体系且无多余 约束。
2、如果上部体系与基础间由三个约束相联时， 可去掉基础，只分析上部。
E
D F O23 E O13 O12
D A
B C A 如将基础、ADE、 EFC作为刚片，将 找不出两两相联的 三个铰。
Ⅰ
F
B
C
Ⅲ
如图示，三刚片用三个不共线的 铰相连，故：该体系为无多余约 束的几何不变体系。
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
§2-4 几何瞬变体系
瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成为几 何不变的体系称为瞬变体系。 o A B B1 注意： C
只有几何不变体系才能作为结构使用；
应根据几何不变体系的规律设计新结构。
P
N
P
N
θ
l


此时： 若P=0，则N为不定值； 若P≠ 0，则N为无穷大。
虚铰：两根链杆的约束作用相当于在链杆交 点处一个单铰所起的约束作用。故两根链杆 可以看作为在交点处有一个虚铰（瞬铰）。
B
A
I
A II C
III
刚片I, II——用铰A连接（实铰） 刚片I, III——用铰B连接（实铰） 刚片II,III——用铰C连接（虚铰）
2. 规则2—— 两刚片规则
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连， 则组成几何不变体系且无多余约束。
有一个多余约束的几何不变体系
进一步分析可得，体系是无多余约束的几何不变体系
F F G H
G
(1,2)
H
Ⅰ
C A B
Ⅱ
D
C A B D
(2,3)
E
E
Ⅲ
(1,3)
F
G
H
F
G
Ⅰ
(2,3)
C A B
Ⅰ
(2,3)
C E A B
ⅡD Ⅲ
ⅡD Ⅲ
(1,2)
E
几何不变体系
注：构造几何不变体系通常有以下两种方式 1. 从基础开始构造
常见的约束有以下几种：
1）链杆 简单链杆：仅连结两个结点的杆件称为简单链杆。一根简单 链杆能减少一个自由度，故一根简单链杆相当于一个约束。
y
y
x
φ
x
简单链杆
2 3 x 1 y
x,
x, y, 1 , 2 , 3
x
复杂链杆：连结三个或三个以上结点的杆件称为复杂链 杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为 一根链杆连结的结点数。
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 概述 §2-2 平面体系的计算自由度 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 几何不变体系的组成规则 瞬变体系 机动分析举例 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 几何构造与静定性关系
§2-1 概述
一、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系：若不考虑材料的应变，体系的位置和形状 不会改变。
例2. 试分析图示体系的几何构造。
1 2
3 1
(1,2)
(2,3)
2
3
1
(1,2)
2
3
Ⅱ
4 6 5 4 6
Ⅲ
5
Ⅱ
(2,3)
4
Ⅲ
6
5
Ⅰ
Ⅰ
(1,2)
1
2
3
1
2
3
(1,2)
1
2
3
Ⅱ
4
Ⅱ Ⅲ
6 5
Ⅱ
4
(1,2)
Ⅰ
(2,3)
4
Ⅲ
(2,3)
6
5
Ⅲ
(1,3)
6
5
Ⅰ
.
Ⅰ
(2,3)
三铰共线，故该体系为几何瞬变体系
§2-6 三刚片体系中虚铰无穷远情况
§2-2 平面体系的计算自由度
一、几个概念
1. 刚片 由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或 一个几何不变部分作为一个刚体，在几何构造分析中称为 刚片。
2. 自由度 体系运动时所具有的独立运动方式数，也就是体 系运动时可以独立变化的几何参数的数目。 确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
y
y
A B
I
II C
III
图示体系，瞬铰 B 、 C 在两个不同方向 的无穷远处，它们对应于无穷远线上两 个不同的点，铰A为有限点。由于有限 点不在无穷远线上，故三铰不共线，体 系几何不变且无多余约束。
A
图示体系，形成瞬铰 B 、 C 的四根 链杆相互平行（不等长），故铰B 、C在同一无穷远点，所以三个铰 A 、 B 、 C 位于同一直线上，故体 系为瞬变体系。
x
A
x y
φ
y
x
x
1）一个结点在平面内有二个自由度，因为确定该点在 平面内的位置需要二个独立的几何参数x、y。
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定该刚片 在平面内的位置需要三个独立的几何参数x、y、φ。
3. 约束（联系） 凡是限制体系运动的装置(能减少体系自由度的装置)就称 为约束，也称为联系。