应用一元一次方程——追赶小明

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5.6.应用一元一次方程-追赶小明(教案)

d.解决学生在移项、合并同类项等操作中常见的错误。
-举例解释：对于上述小明跑步的问题，学生可能会在将时间单位从分钟转换为小时时出现错误，或者在对等式进行操作时忘记乘除法的规则。教师需要通过具体例题和反复练习，帮助学生理解和掌握这些难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用一元一次方程-追赶小明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人在不同速度下开始跑，最后一个人追上另一个人的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元一次方程在实际问题中的奥秘。
5.6.应用一元一次方程-追赶小明（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第五章第六节，主题为“应用一元一次方程-追赶小明”。教学内容主要包括以下几个方面：
1.理解速度、时间和路程的关系，掌握公式：路程=速度×时间。
2.学习如何将实际问题转化为数学方程，通过解一元一次方程解决追赶小明的实际问题。
3.通过追赶小明的实例，让学生掌握以下知识点：
2.提升学生的逻辑推理能力：在解决追赶小明问题的过程中，学会运用等式性质和方程求解方法，培养学生严密的逻辑思维和推理能力。
3.增强学生的数学应用意识：将所学的一元一次方程应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的紧密联系，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元一次方程在实际问题中的应用，特别是速度、时间和路程的关系。
2.教学难点
-难点内容：学生对于将实际问题转化为数学方程的过程，以及解方程时对等式性质的理解和运用。
-难点突破：
a.帮助学生理解实际问题背后的数学模型，特别是如何将描述性的语言转化为数学表达式。

应用一元一次方程—追赶小明

甲的行程=乙先走的行程+乙后走的行程。
3、相遇问题的相等关系：
甲的行程+乙的行程=两地的距离。
作业布置：
完成练习册本课时的习题
3、相遇后，当联络员再次追上七（1）学生时，用了多长时间？此时联络员或七（1）班学生及七（2）班学生离学校又有多远？或两个班的学生相距有多远？
4、当七（2）班学生追上了七（1）班学生时，用了多长时间？此时他们离学校有多远？
谈谈这节课你有什么收获？
1、借助线段图理解题意。 2、追及问题的相等关系：
分析：1、应用题的类型：行程问题。 2、计算公式：路程=速度×时间。 3、相等关系：A、B两地的路程=小亮的行程+小明的行程。
x 4、若设小亮的速度为千米/小时，可
x 解：若设小亮的速度为千米/小时，根据题意，得
+
x 解方程，得 = 19
= 72
19 — 2 = 17
所以，小亮的速度为19千米/小时，小明的速度为17 千米/小时。
分析：1、这是一道关于行程问题的应用题，在七（1）班学生、七（2）班学生、联络员这三个对象中，他们的速度是已知的，而他们的行程和时间是未知的，所以在提问时应从行程和时间两方面来提。
2、在行程过程中，联络员先是追七（1）班学生，后是与七（2）学生相遇，然后又去追七（1）班学生，而七（2）班学生一直都是在追七（1）班学生。
x 解方程，得 = 4
因此，爸爸追上小明用了4min。
（2）180×4=720（m）
1000 —720=280（m）所以，追上小明时，距离学校还有280（m）。
小亮骑自行车
小亮骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到 A地，两人均匀速前进，2小时后，他们相遇。已知A、B 两地相距72千米，小亮的速度比小明的速度每小时快2千米，求两人的速度。

北师大版数学七年级上册第五章一元一次方程应用一元一次方程——追赶小明

解：36 km/h=10 m/s，则4.87n+5.4(n-1)=20×10，
解得n=20. 答：n的值是20.
课堂检测
能力提升题
操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10 米,两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？
解：设经过x秒两人第一次相遇，
小明
依题意，得 10x+5x=400,
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的. 根据题意，得 8x-5x=25-1. 解得 x=8.
答：战斗是在开始追击后8小时发生的.
探究新知
议一议根据下面的事实提出问题并尝试去解答. 育红学校七年级学生步行到郊外旅行.七（1）班的学生组成前队，步行的速度为4千米/小时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/小时.前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/小时. 问题1：后队追上前队用了多长时间？
解：设后队追上前队用了x小时，由题意列方程得： 6x=4x+4 . 解方程得：x=2.
答：后队追上前队时用了2小时.
探究新知
问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？解：由问题1得后队追上前队用了2小时，因此联络员共行进了 12 × 2 = 24 （千米）
答：后队追上前队时联络员行了24千米. 问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？解：设联络员第一次追上前队时用了x小时，由题意列方程得： 12x = 4x + 4.
北师大版数学七年级上册
5.6 应用一元一次方程 ——追赶小明
导入新知龟兔赛跑
素养目标
2. 通过分析追及问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题.进一解决实际问题，进一步感知数学在生活中的作用.

应用一元一次方程追赶小明

问题5：联络员在前队出发多少时间后第一次追上前队？解：设联络员在前队出发x小时后第一次追上前队，由题意列方程得； 4x = 12（x - 1）解方程得： x = 1.5 答：联络员在前队出发后1.5 小时后第一次追上前队.
课堂小结
行程问题中的基本等量关系为：
路程=速度×时间，
一般可从下面两个方面寻找追及问题中的等量关系：（1）从时间考虑：速度慢的用时－速度快的用时＝多用的时间（2）从路程考虑：速度快的行程－速度慢的行程＝两者的距离
解方程得：x =0.5
答：联络员第一次追上前队时用了0.5小时。
育红学校七年级学生步行到郊外旅行，1班的学生组成前队，步行的速度为4千米/小时，2班的学生组成后队，速度为6千米/小时，前队出发１小时后，后队出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米 /小时。
5.6应用一元一次方程 ——追赶小明
复习回顾
基本等量关系为：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度
例1 ：小明家距学校1000米，小明以 80米/分钟的速度上学，5分钟后小明爸爸发现小明没带语文课本，以180米/分钟的速度追小明，并在途中追上小明。思考(1) 爸爸追上小明用了多少时间？ (2) 追上小明时距离学校还有多远？小明分析：家学校
议一议:育红学校七年级学生步行到郊外旅行，1班的学生组成前队，步行的速度为4千米/小时，2班的学生组成后队，速度为6千米/小时，前队出发１小时后，后队出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米 /小时。
请根据以上的事实提出问题并尝试回答。
问题1：后队追上前队用了多长时间？

应用一元一次方程-追赶小明

解决实际问题
通过应用一元一次方程，可以解决许多实际问题，例如追赶小明
的问题。
提高数学应用能力
通过解决实际问题，可以提高学生的数学应用能力和问题解决能力。
培养逻辑思维
解决实际问题需要严密的逻辑思维和推理能力，通过解决实际问题可以培养学生的逻辑思维和推理能力。
THANKS
感谢观看
适用于解决实际问题
一元一次方程在实际生活中有广泛的应用，例如购物时计算找零、计算时间等。
方程的局限性
仅适用于匀速直线运动
一元一次方程只能描述匀速直线运动，对于变速运动或曲线运动则不适用。
无法描述复杂情况
一元一次方程无法描述复杂的情况，例如多物体相互作用或多个未知数的情况。
实际应用的意义
详细描述
在解决追赶小明问题时，首先需要明确起始状态，包括起始时间、小明和追赶者的起始位置以及两者的速度。这些信息是构建一元一次方程的基础。
追赶过程分析
总结词
分析追赶过程中的变量和关系
详细描述
在追赶过程中，我们需要考虑时间、距离和速度等变量，以及它们之间的相互关系。例如，距离 = 速度 × 时间。通过这些变量和关系，我们可以建立一元一次方程来描述追赶过程。
最终状态分析
总结词
确定追赶结果
详细描述
在分析完追赶过程后，我们需要确定最终状态，即追赶者是否追上了小明，以及追赶者和小明的位置。通过解一元一次方程，我们可以得出追赶者和小明的最终位置，从而判断追赶结果。
04
CATALOGUE
问题的反思与总结
方程的适用性
适用于描述匀速直线运动问题
一元一次方程可以用来描述匀速直线运动中的距离、速度和时间之间的关系，例如追赶小明的问题。

5.6应用一元一次方程--追赶小明

5.6应用一元一次方程 ——追赶小明
路程=速度时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
相遇问题
甲乙两人从相距60千米的两地同时出发相向而行,甲步行速度是5千米/小时,乙骑车3小时后两人相遇.求乙的速度.
60千米
Tips: ①相向 ②等量关系：距离=路程和 ③单位统一
例2:小明每天早上要在7：50之前赶到距家 1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。
以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用
了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？
小结：追及问题（同向而行）设甲先走，乙后走等量关系： ①甲的路程=乙的路程； ②甲的时间=乙的时间＋时间差.
• P151 T2
变式
• 一队学生去校外进行军事训练，他们以每小时5千米的速度行进，在他们走了一段时间后，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以每小时14 千米的速度按原路追上去，只用了10分钟就追上了学生队伍，通讯员出发前，学生走了多少时间？
提升1
• P151 T3
80×5 180x
80x
解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟，依题意，得 80×5＋80x=180x. 解得 x=4. 答：爸爸追上小明用了4分钟．
（2）180×4=720（米），1000-720=280（米）. 答：追上小明时，距离学校还有280米．
例2:小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。一天，小明
பைடு நூலகம்.会借线段图分析行程问题. 2.各种行程问题中的规律及等量关系.

56应用一元一次方程——追赶小明

56应用一元一次方程——追赶小明追赶小明小明是一个活泼好动的孩子，非常喜欢跑步。

有一天，小明在学校里参加了一次1500米的长跑比赛。

比赛开始后不久，小明发现有一个同学比他快了一些。

小明决定加快自己的速度，追赶上那个同学。

小明知道，自己跑完1500米需要的时间是8分钟，而那个同学跑完同样的距离只需要6分钟。

小明想知道，他要想在比赛结束前追赶上那个同学，他需要以多快的速度跑步。

首先，我们设小明的速度为x米/分钟，那个同学的速度为y米/分钟。

根据题意可得以下一元一次方程：1500=8x（1）1500=6y（2）我们可以通过联立方程（1）和方程（2）来求解x和y的值。

通过方程（2）可以得到y=1500/6=250米/分钟。

将y=250代入方程（1），得到1500=8x，解得x=1500/8=187.5米/分钟。

所以，小明的速度为187.5米/分钟，即每分钟小明能跑过187.5米的距离。

为了追赶上那个同学，小明需要以比他快的速度跑。

那个同学的速度为250米/分钟，所以小明的速度需要大于250米/分钟。

假设小明的速度为250+z米/分钟，其中z为任意正数。

那么，小明追赶那个同学所需的时间为：追赶时间=1500/（250+z）假设追赶时间为T分钟，代入上述公式可得：T=1500/（250+z）在这个等式中，只要z>0，T就会小于8分钟。

也就是说，小明只需要以比那个同学快的任何速度跑，就能在比赛结束前追赶上他。

比如说，如果小明的速度为251米/分钟，那么他追赶那个同学所需的时间为：T=1500/（250+1）=1500/251可以看出，不论小明的速度有多快，只要他的速度大于那个同学的速度，他都能在比赛结束前追赶上他。

通过以上的例子，我们可以发现，追赶问题中，解一元一次方程可以帮助我们找到问题的答案。

在这个例子中，方程的解告诉我们小明需要以多快的速度跑步才能追赶上那个同学。

这不仅能帮助我们理解数学中的方程解法，还能让我们更好地应用数学知识解决实际生活中的问题。

应用一元一次方程---追赶小明

10x+5x=400, 解得x= 80 .
3
答：经过 80 秒两人第
3
一次相遇
环形跑道问题：设v甲＞v乙，环形跑道长s米，经过t 秒甲、乙第一次相遇.
一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行： v甲t-v乙t=s. ①同时同地、背向而行： v甲t+v乙t=s.
例2 小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的
6x+4x=100. 解得：x=10. 答：经过10秒后两人相遇.
（2）如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她面前10 米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红？
题目中已知些什么？用图表示出来.
10米
小红跑的路程 (4x)
小丽跑的路程 (6x)
追及点
等量关系:小丽所跑的路程-小红所跑的路程=10米.
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的
数量关系可用线段图表示.
80×5
80x
180x
据题意，得 80×5＋80x=180x. 化简，得 100x=400. x=4.
答：爸爸追上小明用了4分钟．（2）180×4=720（米），1000－720=280（米）.
答：追上小明时，距离学校还有280米．
在审题过程中，如果能把文字语言变成图形语言——线段图，即可使问题更加直观，等量关系更加清晰.我们只要设出未知数，并用代数式表示出来，便可以得到方程.
例题讲解
例1 小丽和小红每天早晨坚持跑步，小红每秒跑 4米，小
丽每秒跑6米.
（1）如果她们从100米跑道的两端相向跑，那么几秒之后两人相遇？（2）如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她面前10米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红？

《应用一元一次方程—追赶小明》一元一次方程

购物优惠问题
在购物时，商家经常会推出各种优惠活动。利用一元一次方程，我们可以计算出最优惠的购物方案。
分配问题
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源使得利益最大化，也是一元一次方程可以解决的问题。
其他数学问题
二元一次方程组
一元一次方程是二元一次方程组的基础，掌握一元一次方程的解法有助于解决更复杂的数学问题
检验解的正确性
代入检验
将解代入原方程，检查左右两边是否相等。
增根检验
检查解是否产生增根，如果产生增根则该解无效。
定义域检验
检查解是否符合原方程的定义域，如果超出定义域则该解无效。
CHAPTER 04
应用扩展
实际生活中的问题
速度、时间、距离问题
例如，在日常生活中，我们经常遇到需要计算速度、时间和距离的问题。通过一元一次方程，我们可以方便地解决这些问题。
《应用一元一次方程—
追赶小明》一元一次方
汇报人：
程
2023-12-07
CONTENTS 目录
• 引入 • 建立一元一次方程 • 解一元一次方程 • 应用扩展 • 总结与反思
CHAPTER 01
引入
故事引入
01
பைடு நூலகம்
02
03
故事背景
在一个美丽的公园里，我和小明正在玩耍。我跑得比小明快，所以我要追赶小明。
建立数学模型
d：起始时我和小明之间的距离（单位：米）建立数学方程
在 t 分钟内，小明会跑 v × t 米。
建立数学模型
当我们追上小明时，两者跑的距离相等，因此 v × t = v × t + d。方程形式：d = 0
在同样的时间 t 内，我会跑 v × t + d 米（因为我需要先跑完起始距离d，然后才能追上小明）。

《应用一元一次方程——追赶小明》课件

中追上了他。（2）追上小明时，距离学校还有多远？
根据题意，得 180x + 80x = 80×5
（1）爸爸追上小明用了多长时间？例2:小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000 m的学校上学。
例1:小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000 m的学校上学。 6 应用一元一次方程
（2）追上小明时，距离学校还有多远？ ——追赶小明
一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。
化简，得
260x = 400
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
问题1：3班追上1班用了多长时间？
(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/小时，(3)班学生组成后队，速度为6千米/小时。
根据题意，得 180x=80x+80×5
5.6 应用一元一次方程 ——追赶小明
快速热身
1.若小明每秒跑4m，那么他5 s能跑_2_0_m.
路程=速度×时间
2.小明用4 min 绕学校操场跑了两圈(每圈400 m)，
那么他的速度为_2_0_0__ m/min.
速度=路程÷时间
3.已知小明家距离火车站1500 m ，他以5m/s的速度
骑车到达火车站需要___5__min. 时间=路程÷速度
解：设x min后小明和爸爸相遇。
根据题意，得 180x + 80x = 80×5
化简，得
260x = 400
甲、乙两站间的路程为450km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65km，一列慢车从乙站开出，每小时行驶85km．设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车？
能力提升 :
育红学校七年级学生步行到郊外旅行。(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/小时，(3)班学生组成后队，速度为6千米/小时。前队出发一小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/小时。