高中数学例题：圆的标准方程

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高中数学圆及其方程

圆及其方程一、公式及相关内容（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心及半径）（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++= （无xy 项，22,x y 系数相等且不为零）（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上述方程中均有三个字母系数，因此确定一个圆需要三个独立的条件。

（4）过圆 222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=圆 222xy r +=的斜率为k 的切线方程为y kx =± （掌握推导方法）（5）经过两圆：221110x y D x E y F ++++=，222220x y D x E y F ++++=交点的圆的方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++= 当1λ=-时，得到两圆公共弦所在直线方程121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=（6）判断点与圆的位置关系：取决于点与圆心的距离与圆半径的比较结果（7）直线与圆的位置关系：一：圆心到直线的距离与圆半径比较二：直线与圆方程组成的方程组的解的个数：∆法（8）圆与圆位置关系：圆心距d 与两圆半径,R r 的比较：d R r d R r R r d R r d R r d R r>+⎧⎪=+⎪⎪-<<+⎨⎪=-⎪<-⎪⎩（9）公切线求法：通过比例求得公切线与连心线的交点A 的坐标，用点斜式设公切线的方程，然后求得斜率k ，得到公切线方程。

外离外切相交内切内含二求圆的方程1. 求经过两点(1,4),(3,2)A B -，且圆心在y 轴上的圆的方程。

（标准方程法，垂径弦性质）2.（1）已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程；（2）求过点(1,0),(3,0),(0,1)A B C -的圆的方程。

圆的方程高中数学讲义

圆的方程讲义一、圆的标准方程：1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为特别的，圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为注：特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点（2）圆心在x 轴上（3）圆心在y 轴上（4）圆过原点（5）与x 轴相切的圆（6）与y 轴相切的圆2.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，点M 到圆心C 的距离为d ，则（1）点M 在圆上⇔ ⇔（2）点M 在圆内⇔ ⇔（3）点M 在圆外⇔ ⇔3.典型例题例1.ABC ∆的三个顶点)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程例2.已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线 l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程例 3.已知两点),(),,(2211y x B y x A ，求证：以AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x二、圆的一般方程1.对于方程022=++++F Ey Dx y x（1）当0422>-+F E D 时，方程表示（2）当0422=-+F E D 时，方程表示（3）当0422<-+F E D 时，方程表示2.圆的一般方程：方程叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为注圆的一般方程的系数特点：（1）22,y x 项的系数（2）无xy 的项（3）3.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）点M 在圆上⇔（2）点M 在圆内⇔（3）点M 在圆外⇔例1.若方程01222222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的取值范围变式：若原点在圆01222222=-+++++a a ay ax y x 外，求a 的取值范围例2.求过三点)2,4(),1,1(),0,,0(B A O 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.三、直线与圆的位置关系1.平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有个公共点；（2）直线与圆相切，有个公共点；（3）直线与圆相离，有个公共点．2.直线与圆的位置关系的判定：已知直线l ：0=++C By Ax ，圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x（1）方法1：（几何法）设圆心C 到直线l 的距离（弦心距）为22b a C bB aA d +++=，则 ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离（2）方法2：（代数法）联立直线l 与圆C 的方程0)()(02222=++⇒⎩⎨⎧=-+-=++t qx px r b y a x C By Ax ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离例1.如图，已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系例2.直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限内有两个交点，求实数m 的取值范围3.弦长公式：设直线l ：b kx y +=与圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x 相交于B A ,两点，则弦长AB 的求法有：（1）几何法：由弦心距d ，半弦长2L ，圆的半径r 满足勾股定理222)2(r L d =+=⇒L （2）代数法：（弦长公式）=AB == =例3.已知直线l ：012=--y x 与圆C ：01222=--+y y x 交于B A ,，求弦长AB例4.过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程变式1：过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为8，求直线l 的方程变式2：过点)0,3(P 直线l 被圆C ：0122822=+--+y x y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程4.弦的中点（中点弦）问题：例5.过点)0,4(P 的直线l 与圆C ：422=+y x 交于B A ,两点，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程例6.直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 相交于B A ,，求弦AB 的中点P 的轨迹方程5.以弦为直径的圆过定点问题例7.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值四、圆的切线问题1.求过圆上一点的圆的切线方程例8.求过点)3,1(P 的圆O ：422=+y x 的切线l 的方程例9.证明：过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为：200r y y x x =+注：常见的与圆的切线有关的结论（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（4）过二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）022=++++F Ey Dx Cy Ax 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为2.求过圆外一点的圆的切线方程例10.求过点)3,4(-A 的圆1)1()3(22=-+-y x 的切线l 的方程练习：求过点)4,3(A 的圆1)1()2(22=-+-y x 的切线l 方程3.求切线长例11.过圆C ：1)2()2(22=-+-y x 外一点)2,0(P 作圆C 的切线PT ，T 为切点，求切线PT 的长注：圆的切线长公式：（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT例12.已知圆C ：1)1()2(22=-+-y x ，在直线l ：01243=--y x 上求一点P ，过点P 作圆C 的切线，使得切线段最短4.切点弦例13.设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为注：圆的切点弦所在直线方程（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为五、圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系：（1）圆和圆相离，有个公共点（2）圆和圆外切，有个公共点（3）圆和圆相交，有个公共点（4）圆和圆内切，有个公共点（5）圆和圆内含，有个公共点2.圆和圆的五种位置关系的判定（1）几何法：设两圆21,C C 的半径分别为21,r r ，圆心距为d ，则①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔④圆和圆内切⇔⑤圆和圆内含⇔（2）代数法：联立两圆的方程①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔注：用代数法判断出两圆相切后，若要进一步区分是外切还是内切，则还要判断小圆圆心是在大圆内还是在大圆外，若在大圆内，则两圆，若在大圆外，则两圆，类似可以区分外离与内含例14.已知圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系例15.设圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x 相交于B A ,两点，求（1）两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）求两圆的公共弦AB 的长3.两圆的公切线条数（1）当两圆外离时，有条公切线，条外公切线，条内公切线（2）当两圆外切时，有条公切线，条外公切线，条内公切线（3）当两圆相交时，有条公切线（4）当两圆内切时，有条公切线（5）当两圆内含时，有条公切线例16.（1）圆1C ：122=+y x 与圆1C ：1)3(22=-+y x 有条公切线（2）点)1,0(A 和)5,4(B 到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线l 有条4.两圆公切线的求法例17.已知圆1O ：096222=++++y x y x ，2O ：012622=++-+y x y x ，求两圆的公切线方程。

高中数学公式圆

圆1、圆的定义点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、圆的方程(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是222)()(r b y a x =-+-圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是222r y x =+(2)一般方程：当0422>-+F E D 时，一元二次方程022=++++F Ey Dx y x ，叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E )，半径是24F -E D 22+.配方，将方程022=++++F Ey Dx y x 化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+ 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点(-2D ,-2E ); 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.3、点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.4、直线和圆的位置关系(1)直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点直线与圆相切⇔有一个公共点直线与圆相离⇔没有公共点(2)直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22CBb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判定；距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

5、若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x经过两个圆011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：经过直线0=++C By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ6、圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是 200r y y x x =+一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。

高中数学必修2：4.1 圆的方程

4.1 圆的方程一、圆的标准方程1．圆的标准方程2．圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为(,)C a b ，半径长为r (其中a ,b ,r 都是常数，r >0).设()，M x y 为该圆上任意一点，那么圆心为C 的圆就是集合{}|P M MC r ==.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M 的坐标(x ,y )r = ①，①式两边平方，得222()()=x a y b r -+-.3．点与圆的位置关系圆C ：222()(0())x a y b r r -+-=>，其圆心为,()C a b ，半径为r ，点00(,)P x y ，设||d PC ==.二、圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r =.2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得：220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E F x y +-+++=. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为；当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，所以它表示一个点；当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是： P 在圆内⇔，P 在圆上⇔， P 在圆外⇔.三、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的方程组；③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程．四、轨迹和轨迹方程1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①建系：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；②设点：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =；③列式：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =；④化简：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线10x y +-=与230x y -+=的交点，半径长为14．【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即0,0,2a b r ===，∴圆的标准方程为224x y +=．【例2】过点111,(1())A B --,,且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ C ）A ．22()(31)4x y -++=B ．22()(31)4x y ++-=C ．22()(11)4x y -+-=D ．22()(11)4x y +++= 【解析】解法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由已知条件，知222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解此方程组，得2114a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为22()(11)4x y -+-=．解法2：设点C 为圆心，因为点C 在直线20x y +-=上，所以可设点C 的坐标为(),2a a -．又因为该圆经过,A B 两点，所以||||.CA CB == 解得1a =．所以2211a -=-=．所以圆心坐标为()1,1C ，半径|2|r CA ==．故所求圆的标准方程为22()(11)4x y --+=．2．会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．【例3】已知点（2，0）和（x -2）2 + （y +1）2 = 3，则点与圆的位置关系是( A ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．不确定【解析】由于（2-2）2+（0+1）2<3，故点在圆内．【例4】已知点A （1，2）和圆C ：（x-a ）2+（y+a ）2=2a 2，试求满足下列条件的实数a 的取值范围．（1）点A 在圆C 的内部；（2）点A 在圆C 上（3）点A 在圆C 的外部．3．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号判断．（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．【例5】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．（1）x 2+y 2+2x+1=0；（2）x 2+y 2+2ay-1=0；（3）x 2+y 2+20x+121=0；（4）x 2+y 2+2ax =0．【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y 2=0，它表示点（-1，0），不表示圆．（2）原方程可化为x 2+（y+a ）2=a 2+1，它表示圆心为（0，-a ），半径为的圆，标准方程为x 2+（y+a ）2=（）2 ．（3）原方程可化为（x+10）2+y 2=-21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．（4）原方程可化为（x+a ）2+y 2=a 2．①当a =0时，方程表示点（0，0），不表示圆；②当a ≠0时，方程表示以（-a ，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a ）2+y 2=a 2．【例6】方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是( B )A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >14．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例7】已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的方程．【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->．由圆经过点（4，2）和（-2，-6），得4220026400　①　②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩，设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1，x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根，得x 1+x 2=-D ．设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1，y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根，得y 1+y 2=-E ．由已知，得-D+（-E ）=-2，即D+E-2=0． ③联立①②③，解得D =-2，E =4，F =-20，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0．【例8】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上．5．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【例9】已知点P （x ，y ），A （1，0），B （-1，1），且|PA|=|PB|．（1）求点P 的轨迹方程；（2）判断点P 的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．【例10】已知直角ABC △的斜边为AB ，且1,0,()(,0)3A B -，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】（1）解法一：设顶点,()C x y ，因为AC BC ⊥，且,,A B C 三点不共线，所以3x ≠且1x ≠-．又1AC k y x =+， 3BC y k x =-，且·1AC BC k k =-，所以113y y x x ⋅=-+-，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-．由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得()1,0D ，由直角三角形的性质知， 122||||CD AB ==，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心，以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．设,()C x y ，则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且．6．忽视圆标准方程的结构致错【例11】求圆()222230()()x y b b ++-≠=的圆心及半径．【错解】由圆的标准方程知圆心为(2,)3-，半径为b ．【错因分析】在圆的标准方程2220()()()x a y b r r -=>-+中，此圆的圆心为(),a b ，半径长为r ．错解中没有准确把握圆的标准方程的结构形式．【正解】由圆的标准方程知圆心为()2,3-，半径为||b ．7．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例12】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围．【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得1 1.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-1(,)2+∞．【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<<又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-．综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--，．基础训练1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为（ A ）A ．x 2+（y –3）2=1B ．x 2+（y +3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=12．已知圆C ：（x –6）2+（y –8）2=4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ C ）A ．（x –3）2+（y +4）2=100B ．（x +3）2+（y –4）2=100C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y–4）2=253．（x+1）2+（y–1）2=1的圆心在（B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（C ）A．x2+y2=25 B．x2+y2=5 C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y+4）2=255．以两点A（–3，–1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（A ）A．（x–1）2+（y–2）2=25 B（x+1）2+（y+2）2=25 C．（x+1）2+（y+2）2=100 D．（x–1）2+（y–2）2=1006．已知圆心在点P（–2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（B ）A．（x–2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y–3）2=4 C．（x–2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y–3）2=9 7．圆x2+y2–2x+4y=0的圆心坐标为（B ）A．（1，2）B．（1，–2）C．（–1，2）D．（–1，–2）8．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为（5，0），则它的半径为（D ）A．3 B C．5 D．49．圆x2+y2–4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（C ）A．r=1；（–2，1）B．r=2；（–2，1）C．r=1；（2，–1）D．r=2；（2，–1）10．圆x2+y2–2x+2y=0的周长是（A ）A．B．2πC D．4π11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（x–1）2+（y–1）2=2_．12．圆（x+1）2+（y–3）2=36的圆心C坐标（–1，3），半径r=___6_____．13．求圆心在直线y=–2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．14．已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x–y–2=0上．求圆C的方程．∵圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，∴点C在线段AB的垂直平分线y=–x+7，又∵圆心C在直线2x–y–2=0上，∴联立7220y xx y=-+⎧⎨--=⎩，得C（3，4）．圆C的半径r=|AC|==1，∴圆C的方程是（x–3）2+（y–4）2=1．15．求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得D=–4，E=3，F=0，∴圆的方程为x2+y2–8x+6y=0，化为（x–4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，–3）、半径r=5．16．求过三点A（–1，0），B（1，–2），C（1，0）的圆的方程．17．已知方程x2+y2–2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．(1）由圆的一般方程，得4–4t2>0，∴–1<t<1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程：（x–1）2+y2=1．能力18．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( B )A．x2+y2–x+2y+1=0 B．x2+y2+2x–2y+1=0 C．x2+y2–2x+y–1=0 D．x2+y2–2x+2y–1=019．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为( C )A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=220．若方程x2+y2–4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是( A )A．（–∞，1）B．（–∞，1] C．[1，+∞）D．R21．圆（x–1）2+（y–2）2=1关于直线x–y–2=0对称的圆的方程为( A )A．（x–4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x–2）2+（y+1）2=122．由方程x2+y2+x+（m–1）y+12m2=0所确定的圆中，最大面积是( B )A B．34πC．3πD．不存在23．若圆x2+y2–4x+2y+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( C ) A．m<–1 B．m>–6 C．–6<m<–5 D．m<–524．已知圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是( C )A．2x–y–1=0 B．2x–y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y–1=025．已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，–7），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( D )A．10 B．C．5 D26．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是( D )A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线27．已知点A（–3，0），B（–1，–2），若圆（x–2）2+y2=r2（r>0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是）．28．已知圆C：（x–3）2+（y–4）2=1和两点A（–m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为_____6_____．29．已知函数f（x）=13x2–43x+1的图象与坐标轴的交点均在圆M上，则圆M的标准方程为（x–2）2+（y+1）2=5．30．已知动点A在圆P：x2+y2=1上运动，点Q为定点B（–3，4）与点A距离的中点，则点Q的轨迹方程为x2+y2+3x–4y+6=0_．31．已知点A，B的坐标分别为（–1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为x2–xy–1=0（x≠±1）．32．如图，直角△OAB中，OA═4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为y2=8x，（x≠0）_．33．已知直线l1：mx–y=0，l2：x+my–m–2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是_（x–1）2+（y–12）2=54_．34．已知函数y=x2–4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．（1）由题意与坐标轴交点为M （3，0），N （1，0），P （0，3），设圆的方程为：（x –a ）2+（y –b ）2=r 2代入点，得222222222(3)(0)(1)(0)(0)(3)a b r a b ra b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩，解得a =2，b =2，r（x –2）2+（y –2）2=5．（2）由题意|AB |=4：设圆心到直线距离为d ，则222()2ABr d =+，即：1d ==，解得n =35．已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C ：（x +1）2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．36．已知圆C 过A （1，4）、B （3，2）两点，且圆心在直线y =0上．（1）求圆C 的方程；（2）判断点P （2，4）与圆C 的位置关系．（1）∵圆心在直线y =0上，∴设圆心坐标为C （a ，0），则|AC |=|BC |=，即（a –1）2+16=（a –3）2+4，解得a =–1，即圆心为（–1，0），半径r =|AC== 则圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20；（2）∵|PC5===>r ，∴点P （2，4）在圆C 外． 37．已知曲线C 的方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0（1）当m 为何值时，此方程表示圆？（2）若m =0，是否存在过点P （0，2）的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |=|AB |，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1）方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0可化为（x –2）2+（y +1）2=5–5m ∵方程表示圆，∴5–5m >0，即m <1；（2）设A （a ，b ），则B （2a ，2b –2），代入圆的方程，可得a 2+b 2–4a +2b =0，且4a 2+（2b –2）2–8a +2（2b –2）=0，∴a =0，或a =2413，∵直线l 过点P （0，2），∴直线l 的方程为x =0或5x +12y –24=0． 38．求圆x 2+y 2–2x –6y +9=0关于直线2x +y +5=0对称的圆的方程．39．已知圆过点A （–2，4），半径为5，并且以M （–1，3）为中点的弦长为设所求的圆的方程是（x –a ）2+（y –b ）2=25，根据题设知（a +2）2+（b –4）2=25，再由弦长公式得：（a +1）2+（b –3）2+12=25，联立解得21a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩所以圆的方程为：（x –2）2+（y –1）2=25或（x –1）2+y 2=25． 40．圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( C )A ．1B ．2CD ．41．圆x 2+y 2–2x –8y +13=0的圆心到直线ax +y –1=0的距离为1，则a =( A )A ．–43B ．–34CD ．242．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x –1）2+y 2=1（或x 2+y 2–2x =0）_________．43．已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是（–2，–4），半径是_5_．。

高中数学圆的标准方程

圆的方程1．以C (a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 2．以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程的概念当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．4．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F .5．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明6、直线与圆的位置关系的判定例题讲解1、已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外2、已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝523、以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25巩固练习1、求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．2、求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．3、若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．4、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|P A|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.图4-1-15、直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A．过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心6、已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在7、已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y ＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．8、过点P(－1,2)且与圆C：x2＋y2＝5相切的直线方程是________.课后练习1、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2、已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 3、若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.4、设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是__________．5、求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程.6、过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．7、已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？8、已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，请求出直角顶点C 的轨迹方程．9、已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．。

高中数学(人教A版)选择性必修一课后习题：圆的标准方程(课后习题)【含答案及解析】

圆的方程圆的标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29 D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254.答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A .10.已知圆O :x 2+y 2=1,点A (-2,0)及点B (2,a ),从A 点观察B 点,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1)∪(-1,+∞) B .(-∞,-2)∪(2,+∞) C .-∞,-4√33∪4√33,+∞D .(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A ,B 两点的直线方程为y=a 4x+a 2, 即ax-4y+2a=0, 令d=√a 2+16=1,化简后,得3a 2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C . (方法2)(数形结合法)如图,设直线AB 切圆O 于点C 在Rt △AOC 中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt △BAD 中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C .11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则√3x+y 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-∞,2] C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x 2+y 2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sin α+π6,所以√3x+y 的取值范围是[-2,2].故选C .12.(多选题)若经过点P (5m+1,12m )可以作出圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,则实数m 的取值可能是( ) A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即|3×a+4×0+4|√3+4=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点 T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A (x A ,y A ),B (x B ,y B )为平面直角坐标系内的两点,其中x A ,y A ,x B ,y B ∈Z .令Δx=x B -x A ,Δy=y B -y A ,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B 为点A 的“相关点”,记作B=τ(A ). (1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx ,Δy 为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x ,y ).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x 2+y 2=5.。

高中数学人教版必修2 4.1.1圆的标准方程作业(系列一)

第四章 4.1圆的方程 4.1.1圆的标准方程基础巩固一、选择题1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( ) A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10[答案] A[解析] 设圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋1)2＝r 2，把点(5,2)代入可得r 2＝10，即得选A ．2．若一圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( ) A ．(－1,5)， 3 B ．(1，－5)， 3 C ．(－1,5)，3 D ．(1，－5)，3[答案] B3．方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0表示的圆形是( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．点(a ，b ) C ．以(－a ，－b )为圆心的圆 D ．点(－a ，－b )[答案] D4．点P (a,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点在圆外 B ．点在圆内 C ．点在圆上 D ．不确定[答案] A[解析] 因为a 2＋52＝a 2＋25＞24，所以点P 在圆外． 5．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A ．12 B ．32C ．1D ． 3[答案] A[解析] 先求得圆心坐标(1,0)，再依据点到直线的距离公式求得d ＝331＋13＝12.6．已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)，此圆的标准方程为( ) A ．(x －3)2＋y 2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4[答案] A[解析] 由题意可知圆心坐标为(3,0)，r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.故选A ．二、填空题7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是__________ ________. [答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝252[解析] 将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝252.8．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是__________ ________.[答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝1[解析] 圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.三、解答题9．圆过点A (1，－2)，B (－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．[解析] (1)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10.(2)解法1：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .即x －3y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.即圆心坐标是C (3,2)．r ＝|AC |＝ 3－1 2＋ 2＋2 2＝2 5.∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法2：待定系数法设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－2－b 2＝r 2，－1－a 2＋ 4－b 2＝r 2，2a －b －4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝20.∴圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.[点评] ∵圆心在直线2x －y －4＝0上，故可设圆心坐标为C (x 0,2x 0－4)，∵A ，B 在圆上，∴|CA |＝|CB |可求x 0，即可求得圆的方程，自己再用此思路解答一下．10．(2015·台州高一检测)已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0)． (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值；(2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．[解析] (1)因为点M 在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，又由a >0，可得a ＝10； (2)由两点间距离公式可得|PN |＝ 3－5 2＋ 3－6 2＝13， |QN |＝ 5－5 2＋ 3－6 2＝3，因为线段PQ 与圆有且只有一个公共点，即P 、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<13，所以3<a <13.即a 的取值范围是(3，13)．能力提升一、选择题1．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－1,1) C ．(2,5) D ．(1，＋∞)[答案] B[解析] 点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则(2a )2＋a 2＜5，解得－1＜a ＜1. 2．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆[答案] D[解析] 方程y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，所以方程y ＝9－x 2表示圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方的部分，是半个圆．3．(2015·安徽“江南十校”高三联考)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0[答案] D[解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－12，又点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ，∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.4．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．2[答案] D[解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M 到直线的最短距离为5－3＝2.二、填空题5．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________ ________.[答案] (x －2)2＋y 2＝10[分析] 圆心在x 轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r ，写出圆C 的标准方程，将A ，B 两点坐标代入求a ，r 即可得圆C 的方程．[解析] 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，把所给两点坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧5－a 2＋12＝r 21－a 2＋32＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2r 2＝10，所以所求圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.6．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________ __________.[答案] x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20 [解析] 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2，∴直线与两轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20，以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20. 三、解答题7.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程．[解析] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM |＝ 2－0 2＋ 0＋2 2＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.8．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．[解析] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，b ＋2a －3＝1， 3－a 2＋－2－b 2＝r 2.化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，b ＝a －5，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，r 2＝8.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆．。

高中数学选择性必修一：2.4.1圆的标准方程精选考点提升训练

第二章 2.4.1圆的标准方程A 级——基础过关练1．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝100D ．(x －1)2＋(y －2)2＝100【答案】A 【解析】由题意可得，圆心为线段AB 的中点C (1,2)，半径为r ＝12|AB |＝1282＋62＝5，故要求的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.2．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．－1<a <15D ．－15<a <1 【答案】D 【解析】因为点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以(2a )2＋(a －1－1)2<5，整理得5a 2－4a －1<0，解得－15<a <1. 3．点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定【答案】A 【解析】因为m 2＋25>24，所以点P 在圆外．4．圆心在x ＋y ＝0上，且与x 轴交于点A (－3,0)和B (1,0)的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5【答案】A 【解析】由题意得圆心在直线x ＝－1上，又圆心在直线x ＋y ＝0上，所以圆心M 的坐标为(－1,1)．又A (－3,0)，半径|AM |＝－1＋32＋1－02＝5，则圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝5.5．一圆与圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝3为同心圆且面积为圆C 面积的两倍，此圆的标准方程为________．【答案】(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝6 【解析】圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝3，此圆的半径为3，而要求的圆的面积是已知圆的面积的两倍，所以所求圆的半径为2× 3＝6×.所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝6.6．圆心在x 轴上，半径长为2，且过点(－2,1)的圆的方程为____________．【答案】(x ＋1)2＋y 2＝2或(x ＋3)2＋y 2＝2【解析】设圆心坐标为(a,0)，则由题意知a ＋22＋0－12＝2，解得a ＝－1或a ＝－3，故圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2或(x ＋3)2＋y 2＝2.7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．【答案】(x －2)2＋y 2＝9 【解析】设C (a,0)(a >0)，由题意知|2a |5＝455，解得a ＝2，所以r ＝22＋5＝3.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.8．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝________.【答案】46 【解析】由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2－－74－1＝3，所以k AB ·k CB ＝－1.所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径r ＝5.所以外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2.所以|MN |＝4 6.9．已知A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？解：设经过A ，B ，C 三点的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1－b 2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，3－a 2＋4－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，r 2＝5.所以经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是(x －1)2＋(y －3)2＝5.把点D 的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上．所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.10．已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0)．(1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值；(2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．解：(1)因为点M 在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2.又由a >0，可得a ＝10.(2)由两点间距离公式可得|PN |＝3－52＋3－62＝13， |QN |＝5－52＋3－62＝3，因为线段PQ (不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P ，Q 两点一个在圆内，另一个在圆外．由于3<13，所以3<a <13，故a 的取值范围是(3，13)．B 级——能力提升练11．已知实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝25，那么x 2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．8C ．13D ．18 【答案】B 【解析】由题意得x 2＋y 2＝x －02＋y －02，表示点P (x ，y )到原点的距离，所以x 2＋y 2的最小值表示圆(x ＋5)2＋(y －12)2＝25上一点到原点距离的最小值．又圆心(－5,12)到原点的距离为－52＋122＝13，所以x 2＋y 2的最小值为13－R ＝8.12．(多选)瑞士数学家欧拉(Leonhard×Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)【答案】AD 【解析】设C (x ，y )，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的外心为欧拉线x －y ＋2＝0与直线y ＝－x 的交点M (－1,1)，∴|MC |＝|MA |＝10，∴(x ＋1)2＋(y －1)2＝10①.由A (－4,0)，B (0，4)，△ABC 重心为⎝⎛⎭⎫x －43，y ＋43，代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x －y －2＝0②.由①②可得x ＝2，y ＝0或x ＝0，y ＝－2.13．已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎭⎫－52，0∪(0，＋∞) 【解析】由题意知，点A 在圆C 上或圆C 的外部，因为(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，所以2a ＋5≥0.所以a ≥－52.又a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，0∪(0，＋∞)．14．已知圆C 经过点A (1,4)，B (3，－2)，圆心C 到直线AB 的距离为10，则圆C 的方程为____________．【答案】(x ＋1)2＋y 2＝20或(x －5)2＋(y －2)2＝20【解析】方法一，设圆心C (a ，b )，半径为r ，易得线段AB 的中点为M (2,1)．因为CM ⊥AB ，k AB ＝－2－43－1＝－3，所以k CM ＝b －1a －2＝13，即3b ＝a ＋1①.又因为|CM |＝10，所以(a －2)2＋(b －1)2＝10②.联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2，即C (－1,0)或C (5,2)，所以r 2＝|CA |2＝20.故圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20或(x －5)2＋(y －2)2＝20.方法二，因为A (1,4)，B (3，－2)，所以直线AB 的方程为3x ＋y －7＝0.因为线段AB 的中点为M (2,1)，所以圆心C 落在直线AB 的中垂线x －3y ＋1＝0上．不妨设C (3b －1，b )．所以|33b －1＋b －7|32＋12＝10，解得b ＝0或b ＝2，即C (－1,0)或C (5,2)，所以r 2＝|CA |2＝20.故圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20或(x －5)2＋(y －2)2＝20.15．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上． (1)求圆C 的方程；(2)设点P 在圆C 上，求△P AB 的面积的最大值．解：(1)根据题意，所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x ＋3y －15＝0的交点．因为AB 中点为(1,2)，斜率为1，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＋3y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，即圆心C (－3,6)，半径r ＝－3＋12＋6－02＝210，所以所求圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40.(2)|AB |＝42＋42＝42，圆心到AB 的距离为d ＝42，因为点P 到AB 距离的最大值为d ＋r ＝42＋210，所以△P AB 面积的最大值为124 2 (42＋210)＝16＋8 5. 16．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．解：(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，得点A 的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM |＝2－02＋0＋22＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.C 级——探究创新练17．在平面直角坐标系Oxy 中，直线l ：mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点________，以点(1,0)为圆心且与l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．【答案】(2，－1) (x －1)2＋y 2＝2 【解析】因为mx －y －2m －1＝m (x －2)－y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以直线l 经过定点(2，－1)．以点(1,0)为圆心且与l 相切的所有圆中，最大圆的半径为2－12＋－1－02＝2，所以所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 18．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，半径为5，且与直线4x ＋3y ＋17＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)设点P ⎝⎛⎭⎫－1，32，过点P 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若AB ＝8，求直线l 的方程；(3)设P 是直线x ＋y ＋6＝0上的点，过P 点作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，求证：过A ，P ，C 三点的圆心过定点，并求出定点的坐标．(1)解：设圆心C (a,0)(a ＞0)，则由直线和圆相切的条件d ＝r ，可得||4a ＋0＋1716＋9＝5，解得a ＝2(负值舍去)，即有圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝25.(2)解：若直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝－1，代入圆的方程可得，y ＝±4，即有|AB |＝8，成立；若直线l 的斜率存在，可设直线l ：y －32＝k (x ＋1)，即为2kx －2y ＋3＋2k ＝0，圆心C 到直线l 的距离为d ＝||4k －0＋3＋2k 4k 2＋4＝||6k ＋34k 2＋4，由AB ＝8，即有225－d 2＝8，即有d ＝3，即||6k ＋34k 2＋4＝3，解得k ＝34，则直线l 的方程为3x －4y ＋9＝0.(3)证明：由于P 是直线x ＋y ＋6＝0上的点，设P (m ，－m －6)，由切线的性质可得AC ⊥P A ，经过A ，P ，C 三点的圆，即为以PC 为直径的圆，则方程为(x －2)(x －m )＋y (y ＋m ＋6)＝0，整理得(x 2＋y 2－2x ＋6y )＋m (y －x ＋2)＝0，令x 2＋y 2－2x ＋6y ＝0，且y －x ＋2＝0，解得x ＝2，y ＝0，或x ＝－2，y ＝－4.则有经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，定点的坐标为(－2，－4)．。

高中数学选修必修2-圆的标准方程

A．－4<a<3 B．－5<a<4
C．－5<a<5 D．－6<a<4
1.已知P是圆 x2 y2 4 上的动点，
点A的坐标为(0,5)，求PA的取值范围
2．点M(0,1)与圆 x2 y 52 25 上的动
点N之间的距离的取值范围
3.已知实数 x0 , y0 满足 x0 12 y0 22 5
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2),且圆心在直线l :x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
1．点 sin30,cos30 与圆 x2 y2 1
的位置关系是（）．
2
A．点在圆上 B．点在圆内
C．点在圆外 D．不能确定
2．已知点P(a，a＋1)在圆 x2 y2 25 内部，那么a的取值范围是( )
一、圆的标准方程(圆心A（a，b）及圆的半径r) 若圆心为O(0,0),半径为r，则圆的标准方程为：
二、求圆的标准方程需确定的要素：
1.自主测评P78 自主练习 1，2，3，4．
2. △ABC的三个顶点的坐标分别A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求它的外接圆的方程．
求 x0 52 y0 42 的最小值.
1.已知P是圆 x2 y2 4 上的动点，
点A的坐标为(0,5)，求PA的中点M的轨迹方程
2．点M(0,1)与圆 x2 y 52 25 上的动
点N的中点P的轨迹
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2),且圆心在直线l :x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
已知圆的圆心A及圆的半径r,在直角坐标系下，如何用坐标表示圆的方程？
P={M||MC|=r}

高中数学圆的方程与性质解析

高中数学圆的方程与性质解析一、引言在高中数学中，圆是一个重要的几何概念，它具有独特的性质和方程。

掌握圆的方程与性质，对于解决与圆相关的问题至关重要。

本文将详细介绍圆的方程与性质，并通过具体的题目举例，帮助读者理解和掌握这一知识点。

二、圆的方程1. 圆的标准方程圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

这个方程的推导可以通过距离公式得到。

例题1：已知圆心为(2, 3)，半径为4，求圆的方程。

解析：根据圆的标准方程，代入已知的圆心和半径，得到方程为：(x - 2)² + (y - 3)² = 16。

2. 圆的一般方程圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。

这个方程的推导可以通过将标准方程展开得到。

例题2：已知圆的方程为x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0，求圆心和半径。

解析：根据圆的一般方程，将方程与标准方程进行比较，得到圆心的坐标为(2, -3)，半径的长度为√(D² + E² - F) = √(16 + 36 - 9) = 7。

三、圆的性质1. 圆的切线性质圆的切线与半径垂直。

这个性质可以通过证明圆心、切点和切线之间的关系得到。

例题3：已知圆的方程为(x - 1)² + (y + 2)² = 25，求过点(3, 4)的切线方程。

解析：首先，计算圆心到点(3, 4)的距离，得到√[(3 - 1)² + (4 + 2)²] = √20。

由于这个距离小于圆的半径，所以点(3, 4)在圆上。

然后，计算切线的斜率，得到斜率为-2/5。

最后，代入点(3, 4)和斜率-2/5，得到切线方程为y = -2/5x + 14/5。

2. 圆的切点性质切线与圆的切点处，切线的斜率等于切线与半径的夹角的正切值。

高中数学圆的方程典型例题

（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个
4：过点 P(− 3，− 4)作直线 l ，当斜率为何值时，直线 l 与圆 C：(x −1)2 + (y + 2)2 = 4 有公共点
类型五：圆与圆的位置关系
例 14、判断圆 C1 : x 2 + y 2 + 2x − 6 y − 26 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 − 4x + 2 y + 4 = 0 的位置关系，
=
y−2
的几何意义是过圆
x2
+
y2
= 1上一动点和定点 (−1 ,
2) 的连线的斜率，利用
x +1
此直线与圆 x2 + y2 = 1有公共点，可确定出 u 的取值范围．
解法二：由 u
=
y−2
得：
y − 2 = u(x +1) ，此直线与圆 x2
+
y2
= 1 有公共点，故点 (0 , 0) 到
x +1
解法三：设 A(r cosα , r sinα ) 、 B(r cos β , r sin β ) 、 Q(x , y) ，
第5页
由于 APBQ 为矩形，故 AB 与 PQ 的中点重合，即有
x + a = r cosα + r cos β ，
①
y + b = r sinα + r sin β ，
②
cosθ +1 ∴ u cosθ − sinθ = −(u + 2) ．
即 u 2 + 1 sin(θ − ϕ ) = u + 2 （ tanϕ = u ）
(u + 2)

高中数学圆的方程典型例题(含答案)

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

高中数学圆的方程

第15课时圆的方程1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 圆心半径(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．圆心半径2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r→相离；d＝r→相切；d<r→相交．4．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系相离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|5.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．例1(1)圆心在原点，半径长是5的圆的标准方程为________________.(2)圆心在点C(2,1)，半径长是3的圆的标准方程为________________.(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)的圆的标准方程为________________.跟踪训练1(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是()A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝100B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝25(3)一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程．(4)如右图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C 的标准方程为____________________．(5)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．例2若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.跟踪训练2圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为()A.r＝1，(－2,1)B.r＝2，(－2,1)C.r＝2，(2，－1)D.r＝1，(2，－1)例3已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.例4已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0).(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.例5(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.跟踪训练5(1)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1 B．2 C. 2 D．2 2(2)若两圆x2＋(y＋1)2＝1和(x＋1)2＋y2＝r2相交，则正数r的取值范围是________________．(3)已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.例6过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程.跟踪训练6已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB的面积的最小值为________．。

16高中数学：圆的标准方程全解析

高中数学：圆的标准方程全解析一、引言圆是平面几何中最基本、最重要的图形之一。

在数学中，我们常用圆的标准方程来描述一个圆。

掌握圆的标准方程及其性质，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

本文将详细解析高中数学中圆的标准方程的知识点，帮助学生更好地掌握这一内容。

二、基本概念与性质1.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2。

这个方程反映了圆上任意一点到圆心的距离等于半径的几何性质。

2.圆心与半径：在圆的标准方程中，点O(a,b)称为圆心，r称为半径。

圆心是圆的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

3.圆的性质：圆具有许多重要的性质，如圆的任意两点间的距离小于等于直径、圆的切线垂直于半径等。

这些性质在解决与圆相关的问题时非常有用。

三、求解与圆相关的问题1.求解圆的方程：给定圆的圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程。

例如，以(2,3)为圆心，4为半径的圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=16。

2.判断点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小关系，可以判断点是否在圆内、圆上或圆外。

若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；若等于半径，则点在圆上；若大于半径，则点在圆外。

3.求解与圆相关的最值问题：利用圆的性质，可以求解一些与圆相关的最值问题。

例如，求解点到圆的最近距离、最远距离等。

4.求解与圆相交的直线方程：当直线与圆相交时，可以通过联立直线和圆的方程求解交点坐标。

若直线方程为Ax+By+C=0，则联立方程组{Ax+By+C=0(x−a)2+(y−b)2=r2可求得交点坐标。

四、应用举例1.几何问题中的应用：在解决一些几何问题时，需要利用圆的标准方程及其性质。

例如，在求解两圆的公切线、内切圆等问题时，可以通过分析两个圆的方程和性质找到解决方法。

2.实际问题中的应用：在实际生活中，圆的标准方程也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，可以利用圆的标准方程来确定建筑物的圆形结构的尺寸和位置；在物理学中，可以利用圆的标准方程来描述物体的运动轨迹等。

高中数学圆的标准方程

高中数学圆的标准方程嘿，朋友们！今天咱们来唠唠高中数学里圆的标准方程，这玩意儿就像一个魔法咒语，能精准地描绘出圆这个完美的图形呢！圆的标准方程啊，就像一个神秘的宝藏图。

它的形式是$(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2$。

这里的$(a,b)$就像是圆的心脏，是圆心的坐标哦。

你可以想象圆心是圆的大boss，所有的点都围绕着它转圈圈。

而这个$r$呢，那可不得了，$r$就是圆的半径，它就像是圆的手臂，决定了这个圆的大小。

如果把圆比作一个大披萨，那半径就是从披萨中心到边缘的长度，要是半径大，那这个披萨可就超级大啦，能喂饱好多好多人呢！想象一下，我们在一个巨大的平面上找宝藏，这个平面就是我们的坐标系。

圆心$(a,b)$就是宝藏的准确位置。

方程就像是我们的寻宝指南，告诉我们离宝藏多远才能找到它。

就好像是有个神秘的声音在耳边说：“嘿，从这个点$(a,b)$出发，按照半径$r$的距离找，宝藏就在那个圆上啦！”有时候我们会遇到一些简单的圆，比如圆心在原点$(0,0)$的圆，那它的方程就简化成了$x^2 + y^2 = r^2$。

这就像是最基础的魔法，简单又纯粹。

就好比是最开始学骑自行车，没有那些花里胡哨的东西，就单纯地骑着走。

当我们要在坐标系里画出这个圆的时候，就像是按照藏宝图的指示在大地上做标记一样。

我们先找到圆心的位置，然后根据半径的大小，拿个圆规“嗖”地一下就画出了这个圆。

这个过程就像是一个艺术家在创作，只不过我们的工具是数学公式，而不是画笔。

要是我们改变圆心的位置，就像是把宝藏移到了新的地方。

方程也会跟着变，但是那个圆还是那么圆溜溜的，就像一个永远不会变形的魔法护盾。

不管圆心在哪，半径多大，圆总是那么规规矩矩的，按照方程所规定的规则存在着。

再比如说，我们要判断一个点是不是在圆上，那就把这个点的坐标代入圆的标准方程。

这就像是拿着钥匙去开宝藏的门，如果等式成立，那就像钥匙刚好插进锁孔，“咔哒”一声，这个点就在圆上啦。

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