(完整版)地质统计学与随机建模原理2-变差函数
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2 h zx zx h2 zx 2 zx h2 2zxzx h
由二阶平稳假设条件之二 Varzx =C（0），x ，当h=o
C0 Varzx EZ x2 EZ x2 EZ x2 m2
故： EZ x2 C0 m2
同理有： EZ X h2 C0 m2
而由h≠0 时的二阶平稳假设条件二有：
2.功能
能同时反映地质变量的结构性与随机性。
①当空间点x固定后， Z(x）即为一个随机变量； ②x与x+h两点处的Z(x）具有某种程度的相关性（因随 机场有相关函数R（x，x+h））即为一个随机变量；
3.物理学或地质学特征
①空间局限性；②不同程度的连续性；③不同类型 的各向异性。
二、协方差函数与变差函数
zx, zx h ch m2
则： 2 h c0 m2 c0 m2 2ch m2
2c0 2ch
h c0 ch或ch c0 h
[只要协方差函数存在，则C（0）存在，于是r(h)存在 ]
协方差函数不存在，而r(h)存在的例子
步朗运动：其随机函数的理论模型即Wiener-Levy 过程 (随机游走过程)，其验前方差和协方差函数皆不确定。但其 增量却具有限方差：
Varzx zx h 2 h A• h A常数
zx zx h2 这必须有若干对Z（ x ）和Z（ x+h ）的值才可通 过求 zx zx h2 平均数的办法来估计上述数学期望。而这
在实际地质，采矿工作中是不可实现的，因为不可能恰在空间同一点上 重复直接取得二个样品。这就使统计陷入困境。需借助假设来解决。
两个重要的假设条件:
1. 平稳假设 2. 本征假设
第二章 地质统计学理论基础
第一节 区域化变量的理论
一、随机场与区域化变量
1．定义：以空间点x的三个直角坐标xu, x v, xw为自变量的随机场 Z(xu,xv,xw）=Z(x）称为一个区域化变量。
[区域化变量具有两重性]： 观测前，将Z(x）看作随机场；观测后，将Z(x）看作一个普通的三元
实值函数。即空间点函数，一次观测后，就得到它的一个实现Z(x)。
则：
p
y
1
1
y
2
y
[zx] [zx h]
wenku.baidu.com
y 1 y2
dy
lim 1 d(1 y2 )
1 ln 1 y2 m
2 1 y2
m 2
m
,不存在
但：zx zx h y y 0 0 ，存在且为0
1） 二阶平稳假设的第二个条件可以推出本征假设条件之二
在二阶平稳假设满足时：
当r（x，h）与x的取值无关时，r（x，h）只依赖与h（ 滞后、间隔、步长），则可将r（x，h）写成r（h），此时 以h为横坐标，r（h）为纵坐标作出图形谓之变差图。
r (h)
拱高C 块金常数C0
基台值C+C0
h 变程a
三．平稳假设与本征假设
[问题]：由数理统计知：要估计变差函数值 就要估计数学期望值
rx, h 1 Varzx zx h
2
1 zx zx h2 1 zx zx h2
2
2
在二阶平稳和本征假设条件下：
zx zx h, h
于是变差函数的计算公式变为：
rx, h 1 zx zx h2
2
x x+h
基 本 公 式
在二维、三维情况下定义时，以一维变差函数为基础， 需考虑各向异性，结构套合等问题。
1. 协方差函数
若Z(x）是随机场，在空间两点x和x+h 处两个随机变量Z(x）和 Z（x+h）的二阶中心混合矩
Covzx, zx h Cx, x h
Ezx zx h Ezx Ezx h
称为随机场的Z(x）自协方差函数，简称协方差函数。一般地讲
，它是依赖于点x和向量h 的函数。
特殊地：当h =0时，Cx, x 0 zx2 zx 2
即只依赖于滞后h，而与x无关）
Covzx, zx h zxzx h zxzx h
zxzx h m2 ch, x,h
特殊地：当h=0时
Varzx =C（0）
即方差存在且为常数。当上述条件仍不能满足时，条
件进一步放宽，导致本征假设。
对平稳的理解：空间变异性只与两点间的距 离和方向有关，而与点的位置无关。
1． 平稳假设 ① 严格的平稳假设 区域化变量Z（x）的任意n维分布函数不因空间点 x发生位移h而改变。 即：
Fx,x2 ,xN1 Z1, Z2, , ZN PZ x1 Z1, Z x2 Z2, , ZxN ZN PZx1 H Z1, Zx2 H Z2, ZxN H ZN Fx1h,x2 h, xN h Z1, Z2 , , Z N
n, h, x1, x2 , , xn
这种要求是Z（x）的各阶矩存在，且平稳，这在实 际中不能满足，且不好验证。所以实用上采用的只需一、
二阶矩且平稳就够了。→ 二阶平稳（弱平稳）。
② 二阶平稳假设
满足下列两个条件
1）整个研究区内，Z（x）的数学期望存在，且等于常
数，
zx m(常数），x
2）整个研究区内，Z（x）的协方差函数存在且平稳（
=zx zx h2 EZ x Z x h 2 =2r(h), x, h
即Z（x）的变差函数存在且平稳。
3 .二阶平稳假设与本征假设的比较
总的结论：二阶平稳假设较强，本征假设较弱
1） 由二阶平稳假设的第一个条件可推出本征假设
条件一。 如：设
E(zx)
E(zx
h)
y,
x, y
y为一服从柯西分布的随机变量，其概率密度为
x2
x1+h
x1 x2
x2+h x3
x3+h
x1
2. 本征假设
区域化变量Z（x）的增量[Z（x）- Z（x+h）]满足下 列两个条件：
1） 在整个研究区内有:
zx zx h 0 x,h
2）增量[Z（x）– Z（x+h）]的方差函数存在且平稳（ 不依赖于x）即：
Varzx zx h zx zx h2 zx zx h2
就等于方差函数: D2 Z x 或 varZ x
当其不依赖于x时简称方差，故有:
D2Z x VarZ x EZ x2 EZ x 2
2. 变差函数与变差图
假设空间点x只在一维的x轴上变化，我们把区域化变量Z（x）在x
，x+h两点处的值之差的方差之半定义为Z（x）在x 轴方向上的变差函数
，记为r (x,h),即:
由二阶平稳假设条件之二 Varzx =C（0），x ，当h=o
C0 Varzx EZ x2 EZ x2 EZ x2 m2
故： EZ x2 C0 m2
同理有： EZ X h2 C0 m2
而由h≠0 时的二阶平稳假设条件二有：
2.功能
能同时反映地质变量的结构性与随机性。
①当空间点x固定后， Z(x）即为一个随机变量； ②x与x+h两点处的Z(x）具有某种程度的相关性（因随 机场有相关函数R（x，x+h））即为一个随机变量；
3.物理学或地质学特征
①空间局限性；②不同程度的连续性；③不同类型 的各向异性。
二、协方差函数与变差函数
zx, zx h ch m2
则： 2 h c0 m2 c0 m2 2ch m2
2c0 2ch
h c0 ch或ch c0 h
[只要协方差函数存在，则C（0）存在，于是r(h)存在 ]
协方差函数不存在，而r(h)存在的例子
步朗运动：其随机函数的理论模型即Wiener-Levy 过程 (随机游走过程)，其验前方差和协方差函数皆不确定。但其 增量却具有限方差：
Varzx zx h 2 h A• h A常数
zx zx h2 这必须有若干对Z（ x ）和Z（ x+h ）的值才可通 过求 zx zx h2 平均数的办法来估计上述数学期望。而这
在实际地质，采矿工作中是不可实现的，因为不可能恰在空间同一点上 重复直接取得二个样品。这就使统计陷入困境。需借助假设来解决。
两个重要的假设条件:
1. 平稳假设 2. 本征假设
第二章 地质统计学理论基础
第一节 区域化变量的理论
一、随机场与区域化变量
1．定义：以空间点x的三个直角坐标xu, x v, xw为自变量的随机场 Z(xu,xv,xw）=Z(x）称为一个区域化变量。
[区域化变量具有两重性]： 观测前，将Z(x）看作随机场；观测后，将Z(x）看作一个普通的三元
实值函数。即空间点函数，一次观测后，就得到它的一个实现Z(x)。
则：
p
y
1
1
y
2
y
[zx] [zx h]
wenku.baidu.com
y 1 y2
dy
lim 1 d(1 y2 )
1 ln 1 y2 m
2 1 y2
m 2
m
,不存在
但：zx zx h y y 0 0 ，存在且为0
1） 二阶平稳假设的第二个条件可以推出本征假设条件之二
在二阶平稳假设满足时：
当r（x，h）与x的取值无关时，r（x，h）只依赖与h（ 滞后、间隔、步长），则可将r（x，h）写成r（h），此时 以h为横坐标，r（h）为纵坐标作出图形谓之变差图。
r (h)
拱高C 块金常数C0
基台值C+C0
h 变程a
三．平稳假设与本征假设
[问题]：由数理统计知：要估计变差函数值 就要估计数学期望值
rx, h 1 Varzx zx h
2
1 zx zx h2 1 zx zx h2
2
2
在二阶平稳和本征假设条件下：
zx zx h, h
于是变差函数的计算公式变为：
rx, h 1 zx zx h2
2
x x+h
基 本 公 式
在二维、三维情况下定义时，以一维变差函数为基础， 需考虑各向异性，结构套合等问题。
1. 协方差函数
若Z(x）是随机场，在空间两点x和x+h 处两个随机变量Z(x）和 Z（x+h）的二阶中心混合矩
Covzx, zx h Cx, x h
Ezx zx h Ezx Ezx h
称为随机场的Z(x）自协方差函数，简称协方差函数。一般地讲
，它是依赖于点x和向量h 的函数。
特殊地：当h =0时，Cx, x 0 zx2 zx 2
即只依赖于滞后h，而与x无关）
Covzx, zx h zxzx h zxzx h
zxzx h m2 ch, x,h
特殊地：当h=0时
Varzx =C（0）
即方差存在且为常数。当上述条件仍不能满足时，条
件进一步放宽，导致本征假设。
对平稳的理解：空间变异性只与两点间的距 离和方向有关，而与点的位置无关。
1． 平稳假设 ① 严格的平稳假设 区域化变量Z（x）的任意n维分布函数不因空间点 x发生位移h而改变。 即：
Fx,x2 ,xN1 Z1, Z2, , ZN PZ x1 Z1, Z x2 Z2, , ZxN ZN PZx1 H Z1, Zx2 H Z2, ZxN H ZN Fx1h,x2 h, xN h Z1, Z2 , , Z N
n, h, x1, x2 , , xn
这种要求是Z（x）的各阶矩存在，且平稳，这在实 际中不能满足，且不好验证。所以实用上采用的只需一、
二阶矩且平稳就够了。→ 二阶平稳（弱平稳）。
② 二阶平稳假设
满足下列两个条件
1）整个研究区内，Z（x）的数学期望存在，且等于常
数，
zx m(常数），x
2）整个研究区内，Z（x）的协方差函数存在且平稳（
=zx zx h2 EZ x Z x h 2 =2r(h), x, h
即Z（x）的变差函数存在且平稳。
3 .二阶平稳假设与本征假设的比较
总的结论：二阶平稳假设较强，本征假设较弱
1） 由二阶平稳假设的第一个条件可推出本征假设
条件一。 如：设
E(zx)
E(zx
h)
y,
x, y
y为一服从柯西分布的随机变量，其概率密度为
x2
x1+h
x1 x2
x2+h x3
x3+h
x1
2. 本征假设
区域化变量Z（x）的增量[Z（x）- Z（x+h）]满足下 列两个条件：
1） 在整个研究区内有:
zx zx h 0 x,h
2）增量[Z（x）– Z（x+h）]的方差函数存在且平稳（ 不依赖于x）即：
Varzx zx h zx zx h2 zx zx h2
就等于方差函数: D2 Z x 或 varZ x
当其不依赖于x时简称方差，故有:
D2Z x VarZ x EZ x2 EZ x 2
2. 变差函数与变差图
假设空间点x只在一维的x轴上变化，我们把区域化变量Z（x）在x
，x+h两点处的值之差的方差之半定义为Z（x）在x 轴方向上的变差函数
，记为r (x,h),即: