2015年天津中考数学试卷及答案

2015年天津中考数学一、选择题（共12小题；共36.0分）1. 计算(−18)÷6的结果等于 ( )A. −3B. 3C. −13D. 132. cos45∘的值等于 ( )A. 12B. √22C. √32D. √33. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 ( )A.B.C.D.4. 据 2015 年 5 月 4 日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为 ( )A. 0.227×107B. 2.27×106C. 22.7×105D. 227×1045. 右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是A.B.C.D.6. 估计√11的值在 ( )A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间7. 在平面直角坐标系中，把点P(−3,2)绕原点O顺时针旋转180∘，所得到的对应点Pʹ的坐标为 ( )A. (3,2)B. (2,−3)C. (−3,−2)D. (3,−2)8. 分式方程2x−3=3x的解为 ( )A. x=0B. x=3C. x=5D. x=99. 已知反比例函数y=6x，当1<x<3时，y的取值范围是 ( )A. 0<y<1B. 1<y<2C. 2<y<6D. y>610. 已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为 ( )A. 1 dmB. √2 dmC. √6 dmD. 3 dm11. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BAʹEʹ，连接DAʹ．若∠ADC=60∘，∠ADAʹ=50∘，则∠DAʹEʹ的大小为A. 130∘B. 150∘C. 160∘D. 170∘12. 已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD的长为 ( )A. 154B. 92C. 132D. 15213. 计算x2⋅x5的结果等于．14. 若一次函数y=2x+b（b为常数）的图象经过点(1,5)，则b的值为．15. 不透明的袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为．16. 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为．17. 如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L，M，则图中等边三角形共有个．18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，且BE=DF．时，计算AE+AF的值等于；（I）如图①，当BE=52（II）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置是如何找到的（不要求证明）．19. 解不等式组 {x +3≥6, ⋯⋯①2x −1≤9. ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式 ①，得 ； (2)解不等式 ②，得 ；(3)把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为 ．20. 某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额数据，绘制出如下的统计图 ① 和图 ②．请根据相关信息，解答下列问题：(1)该商场服装部营业员人数为 ，图 ① 中 m 的值为 ； (2)求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．21. 已知 A ，B ，C 是 ⊙O 上的三个点，四边形 OABC 是平行四边形，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 D ．(1)如图 ①，求 ∠ADC 的大小；(2)如图 ②，经过点 O 作 CD 的平行线，与 AB 交于点 E ，与 ⊙O 交于点 F ，连接 AF ，求 ∠FAB 的大小．22. 如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一直线上．小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47∘，观测旗杆底部B的仰角为42∘．已知点D到地面的距离DE为1.56 m，EC=21 m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：tan47∘≈1.07，tan42∘≈0.90．23. 1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升．两个气球都匀速上升了50 min．设气球上升时间为x min(0≤x≤50)．(1)根据题意，填写下表：(2)度？如果不能，请说明理由；(3)当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？24. 将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A(√3,0)，点B(0,1)，点O(0,0)．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点Aʹ．设OM=m，折叠后的△AʹMN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．(1)如图①，当点Aʹ与顶点B重合时，求点M的坐标；(2)如图 ②，当点 Aʹ 落在第二象限时，AʹM 与 OB 相交于点 C ，试用含 m 的式子表示 S ； (3)当 S =√324 时，求点 M 的坐标（直接写出结果即可）． 25. 已知二次函数 y =x 2+bx +c （b ，c 为常数）． (1)当 b =2，c =−3 时，求二次函数的最小值；(2)当 c =5 时，若在函数值 y =1 的情况下，只有一个自变量 x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3)当 c =b 2 时，若在自变量 x 的值满足 b ≤x ≤b +3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 21，求此时二次函数的解析式．答案第一部分1. A2. B3. A4. B5. A6. C7. D8. D9. C 10. B11. C 12. D 第二部分 13. x 7 14. 315. 29 16. 18517. 818. （I ）5+√612；（II ）如图，取格点 H ，K ，连接 BH ，CK ，相交于点 P ．连接 AP ，与 BC 相交，得点 E ．取格点 M ，N ，连接 DM ，CN ，相交于点 G ，连接 AG ，与 BD 相交，得点 F ．线段 AE ，AF 即为所求．第三部分 19. (1) x ≥3 19. (2) x ≤519. (3) 如图所示：19. (4) 3≤x ≤520. (1) 25；2820. (2) 观察条形统计图．∵x=12×2+15×5+18×7+21×8+24×325=18.6，∴这组数据的平均数是18.6．∵在这组数据中，21出现了8次，出现次数最多，∴这组数据的众数是21．∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18，∴这组数据的中位数是18．21. (1) ∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD，即∠OCD=90∘．∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，即AD∥OC．∴∠ADC+∠OCD=180∘．∴∠ADC=180∘−∠OCD=90∘．21. (2)如图，连接OB，则OB=OA=OC．∵四边形OABC是平行四边形，∴OC=AB．∴OA=OB=AB．即△AOB是等边三角形．于是，∠AOB=60∘．由OF∥CD，∠ADC=90∘，得∠AEO=∠ADC=90∘，∴OF⊥AB，∴BF⏜=AF⏜．∴∠FOB=∠FOA=12∠AOB=30∘．∴∠FAB=12∠FOB=15∘．22. (1) 如图，根据题意，DE=1.56，EC=21，∠ACE=90∘，∠DEC=90∘．过点D作DF⊥AC，垂足为F，则∠DFC=90∘，∠ADF=47∘，∠BDF=42∘．可得四边形 DECF 为矩形．∴DF =EC =21，FC =DE =1.56．在 Rt △DFA 中，tan∠ADF =AFDF ，∴AF =DF ⋅tan47∘≈21×1.07=22.47．在 Rt △DFB 中，tan∠BDF =BFDF ，∴BF =DF ⋅tan42∘≈21×0.90=18.90．于是，AB =AF −BF =22.47−18.90=3.57≈3.6， BC =BF +FC =18.90+1.56=20.46≈20.5．答：旗杆 AB 的高度约为 3.6 m ，建筑物 BC 的高度约为 20.5 m ． 23. (1) 填表如下：23. (2) 两个气球能位于同一高度，根据题意 x +5=0.5x +15， 解得 x =20． 有 x +20=25．答：此时，气球上升了 20 min ，都位于海拔 25 m 的高度．23. (3) 当 30≤x ≤50 时，由题意，可知 1 号气球所在位置的海拔始终高于 2 号气球．设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差 y m ，则 y =(x +5)−(0.5x +15)=0.5x −10． ∵0.5>0，∴y 随 x 的增大而增大．∴ 当 x =50 时，y 取得最大值 15．答：两个气球所在位置的海拔最多相差 15 m ．24. (1) 在 Rt △ABO 中，点 A(√3,0)，点 B (0,1)，点 O (0,0)， ∴OA =√3，OB =1．由 OM =m ，得 AM =OA −OM =√3−m ． 根据题意，由折叠可知 △BMN ≅△AMN ， ∴BM =AM =√3−m ．在 Rt △MOB 中，由勾股定理，BM 2=OB 2+OM 2，得 (√3−m)2=1+m 2， 解得 m =√33． ∴ 点 M 的坐标为 (√33,0)． 24. (2) 在 Rt △ABO 中，tan∠OAB =OB OA=√3=√33， ∴∠OAB =30∘．由 MN ⊥AB ，得 ∠MNA =90∘．∴ 在 Rt △AMN 中，得 MN =AM ⋅sin∠OAB =12(√3−m), AN =AM ⋅cos∠OAB =√32(√3−m).∴S △AMN =12MN ⋅AN =√38(√3−m)2．由折叠可知 △AʹMN ≅△AMN ，有 ∠Aʹ=∠OAB =30∘， ∴∠AʹMO =∠Aʹ+∠OAB =60∘．∴ 在 Rt △COM 中，得 CO =OM ⋅tan∠AʹMO =√3m ．∴S△COM=12OM⋅CO=√32m2．又S△ABO=12OA⋅OB=√32，于是，S=S△ABO−S△AMN−S△COM=√32−√38(√3−m)2−√32m2，即S=−5√38m2+34m+√38(0<m<√33)．24. (3) (2√33,0)．25. (1) 当b=2，c=−3时，二次函数的解析式为y=x2+2x−3，即y=(x+1)2−4．∴当x=−1时，二次函数取得最小值−4．25. (2) 当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5．由题意，得方程x2+bx+5=1有两个相等的实数根．有Δ=b2−16=0，解得b1=4，b2=−4．∴此时二次函数的解析式为y=x2+4x+5或y=x2−4x+5．25. (3) 当c=b2时，二次函数的解析式为y=x2+bx+b2．它的图象是开口向上，对称轴为x=−b2的抛物线．①若−b2<b，即b>0，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，故当x=b时，y=b2+b⋅b+b2=3b2为最小值．∴3b2=21，解得b1=−√7（舍），b2=√7．②若b≤−b2≤b+3，即−2≤b≤0，当x=−b2时，y=(−b2)2+b⋅(−b2)+b2=34b2为最小值．∴34b2=21，解得b1=−2√7（舍），b2=2√7（舍）．③若−b2>b+3，即b<−2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小，故当x=b+3时，y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9为最小值．∴3b2+9b+9=21，即b2+3b−4=0．解得b1=1（舍），b2=−4．综上所述，b=√7或b=−4．∴此时二次函数的解析式为y=x2+√7x+7或y=x2−4x+16．。