高三一轮测试题-不等式
高三数学第一轮复习单元测试题—不等式
金太阳教育网 高三数学第一轮复习单元测试题—不等式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的 （ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）Ａ．8 Ｂ．6 C ．4D ．23．（文）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |>1是|a +b|>1的充分而不必要条件； 命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)．则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．“p 且q ”为真（理）设偶函数f (x )=log a |x －b |在(－∞，0)上递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系是（ ） A ．f (a +1)=f (b +2) B ．f (a +1)>f (b +2)C ．f (a +1)<f (b +2)D ．不确定4．（文）若011<<ba ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+b a a b中，正确的不等式有 （ ）A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个（理）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2*∈+--=N x x y 则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为 （ ）.A 2 .B 3 .C 4 .D 5 6．函数f (x1x + （ ）.A 25.B 12.C 2.D 17． 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （ ）A ．||||||c b c a b a -+-≤-B ．aa aa 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2138．（文）实数满足,sin 1log 3θ+=x 则91-+-x x 的值为（ ）A ．8B ．-8C ．8或-8D ．与θ无关（理）已知y x c c y c c x c ,,1,1,1则且--=-+=>之间的大小关系是（ ）A ．y x >B ．y x =C ．y x <D ．y x ,的关系随c 而定9．（文）若函数)(x f 是奇函数，且在（+∞,0），内是增函数，0)3(=-f ，则不等式0)(<⋅x f x 的解集为（ ） A ．}303|{><<-x x x 或 B ．}303|{<<-<x x x 或C ．}33|{>-<x x x 或D ．}3003|{<<<<-x x x 或（理）若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是（ ） A ．（－1，0） B ．（－∞，0）∪（1，2）C ．（1，2）D ．（0，2）10．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0B ． –2C ．-52D ．-311．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 （ ）A ．200件B ．5000件C ．2500件D ．1000件12．不等式,011<-+-+-ac cb ba λ对满足c b a >>恒成立，则λ的取值范围是（ ）A ．(]0,∞-B ． ()1,∞-C ．(]4,∞-D ．()+∞,4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 13．（文）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变甜咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 . （理）已知三个不等式①ab >0 ② ac >bd ③bc >ad 以其中两个作条件余下一个作结论，则可组 个正确命题.14．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b =2b a +，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数，a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_________. 15．设a ＞0，n ≠1，函数f (x ) =alg(x 2-2n +1)有最大值.则不等式log n （x 2-5x +7）＞0的解集 为__ _.16．设集合{()||2|},A x y y x =-1，≥2{()|||}B x y y x b =-+，≤，A B ≠∅ ．（1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）（文科做）比较下列两个数的大小： （1）；与3212-- （2）5632--与；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明 （理科做）已知：[]1,0...∈d c b a()()()()d c b a N d c b a M ----=----=1,1111，试比较M ，N 的大小：你能得出一个一般结论吗？18．（本小题满分12分）已知实数P 满足不等式,0212<++x x 判断方程05222=-+-Pz z有无实根,并给出证明.19．（本小题满分12分）（文科做）关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{－2}，求实质数k 的取值范围.（理科做）若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x 满足()()()x f f x f y y=-. （1）求)1(f 的值;（2）若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<--x f x f .20．（本小题满分12分）某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域. （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？21．（本小题满分12分）（文科做）设(),1433221+++⨯+⨯+⨯=n n s求证：()()221121+<<+n n s n n（理科做）设1,,131211>∈++++=n N n nA（1）证明A>n ;（2）n A n 2212<<-+22． （本小题满分14分）（2006年广东卷）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ （1）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ;（2）设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的; （3）设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k ,对任意的正整数p ,成立不等式||1||121x x LLx x k k l k --≤-++.参考答案（5）1．A. 本小题主要考查充要条件的判定。
新高考数学一轮二轮复习专题-专题二 二次函数、方程与不等式(原卷版)-4月5月真题汇编
专题二 二次函数、方程与不等式一、单选题1．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞2．（2021·山西高三一模（理））已知,,+∈a b c R ，且4,4a ab ac >+=，则2232a b c a b c+++++的最小值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．23．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<4．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2021·浙江高三专题练习）已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(-∞，2)∪(3，+∞) B ．(-∞，1)∪(2，+∞) C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)7．（2021·全国高二单元测试）设x y z >>，n N ∈，且11nx y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．49．（2020·河南高二月考（文））函数2y = ）A ．2B ．4C ．6D ．810．（2021·全国高三专题练习（理））已知正数,a b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B．C ．4D．二、多选题11．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）下列说法正确的是（ ） A ．1x x+的最小值为2 B ．21x +的最小值为1 C ．()32x x -的最大值为2D ．2272x x ++最小值为2 12．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ )A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->-13．（2021·河北张家口市·高三一模）已知0,0a b >>，且281a b +=，则（ ） A．433a b ->B1b C ．22log log 6a b +-D ．221168a b +<14．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）若0a b >>，则（ ） A ．11a b b a+>+ B ．11a b b b a a+<<+ C ．114a b a b +≥+ D ．144b a a ab ++的最小值为2 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题15．（2021·全国高三专题练习）已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)1()02x a x b x---⋅-≥恒成立，则3b a +的最小值是_____. 16．（2021·天津高三一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则+a b 的最小值为___________.17．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若()2f a =，则实数a 所有可能的取值组成的集合为______．18．（2021·射阳县第二中学高二开学考试）若命题x R ∃∈，2410mx mx ++≤为假命题，则实数m 的取值范围是__________．19．（2021·江苏苏州市·苏州中学高二月考）已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．20．（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数,a b 满足2a b ab ++=，则3711a b +--的最小值是________．21．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知1,0x y ，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________．22．（2021·江苏高三专题练习）设,a b 为正实数，且11410a b a b+++=，则4a b +的最大值与最小值之差为_______.23．（2020·上海高一专题练习）对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 24．（2020·上海高一专题练习）若1,(0,0,,a bx y a b x y+=>>为正常数且a b ，则实数x y +的取值范围_________.25．（2021·吴县中学高一月考）已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.26．（2021·苏州市第五中学校高一月考）正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =___________.27．（2021·浙江衢州市·高一月考）已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为___________.28．（2021·浙江高三月考）设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________.29．（2021·安徽滁州市·高一期末）已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________.四、解答题30．（2021·安徽高三二模（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=. （1）证明：1113ab bc ac++≥. （23≥.31．（2021·吉林吉林市·高二三模（文））已知函数()41,f x x x x R =-+-∈ （1）解不等式：()5f x ≤（2）记()f x 的最小值为M ，若正实数,a b 满足a b M +=，试求：1121a b +++的最小值32．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知0x >，0y >，4xy x y a =++． （1）当12a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求41x y x y+++的最小值． 33．（2020·泰州市第二中学高一期中）设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =，且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2，解不等式210bx cx ++>； （2）若0,1,1a b a c <=-=-，解关于x 的不等式()0f x >；（3）若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ，且(1)(3)f f ≤-，求22453||ab a u a-=-的取值范围. 34．（2020·泰州市第二中学高一期中）（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值；（2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 35．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知(),0a b ∈+∞,，1a b +=，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()1212233b ay a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =- 则12y a b=+的最小值为3+.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，求1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数123,,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=.求证：2222312122334112n n a a a a a a a a a a a a ++++≥++++. 36．（2020·上海高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2满足2212x x +＝11，求k 的值．37．（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<038．（2021·浙江高二期末）设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．39．（2021·全国高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．40．（2021·安徽芜湖市·高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.41．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x++=>；（2）2)y x R =∈；（3）226(1)1x x y x x ++=>-.42．（2020·上海高一专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1（1）求证：11(1)(1)9ab ++≥；（2）求证：4418a b +≥；（3）求证 (a +1a )(b +1b )≥254. 43．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数2()21f x kx kx =+-.（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数k 的值；（2）若方程()0f x =在[]12，有解，求实数k 的取值范围. 44．（2020·河南高二月考（文））已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 五、双空题45．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知a ，b R +∈，且2284a b +=，则2+a b的最大值为______；4122a b ++的最小值为______．。
不等式测试题及详解
不等式第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(文)(2011·甘肃天水一中期末)已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2 B.1a >1b C.1ab 2<1a 2b D.1a －b >1a[答案] C[解析] ∵a ，b 为非零实数，且a <b ，∴当a ＝－5，b ＝1时，A 、B 不成立，当a ＝1，b ＝2时，D 不成立，故选C.[点评] C 可证明如下：∵a ，b 为非零实数，∴a 2b 2>0，∵a <b ，∴a a 2b 2<b a 2b 2，∴1ab 2<1a 2b. (理)(2011·东北育才期末、辽宁大连市联考)若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤18[答案] D[解析] ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b 2＝2，∴ab ≤4，∴1ab ≥14， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故A 、B 、C 均错，选D. [点评] 对于D 有，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥16－2×4＝8，∴1a 2＋b 2≤18.2．(2011·辽宁铁岭六校联考)设a >0，点集S 的点(x ，y )满足下列所有条件：①a2≤x ≤2a ；②a2≤y ≤2a ；③x ＋y ≥a ；④x ＋a ≥y ；⑤y ＋a ≥x .则S 的边界是一个有几条边的多边形( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[答案] C[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图可知，它是一个六边形．3．(2011·山东潍坊一中期末)设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋ba>2.上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)>0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a >2或a b ＋ba<－2，故选B.4．(2011·巢湖质检)二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x ≥0y ≥0所表示的平面区域与圆面x 2＋(y －2)2≤2相交的公共区域的面积为( )A.π8 B.π4 C.π2 D ．π [答案] B[解析] 画出可行域如图△OAB ，它与圆面相交的公共区域为扇形BEF ，∵∠OBA ＝π4，圆半径为2，∴扇形面积为S ＝12×π4×(2)2＝π4.5．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y ≥0y ≤a ，若Z ＝x ＋2y 的最大值是3，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．2[答案] A[解析] 画出可行域如图，∵z ＝x ＋2y 的最大值为3，∴y ＝－x 2＋z2经过可行域内的点A (a ，a )时，z 取到最大值3，∴a ＋2a ＝3，∴a ＝1.6．(2011·福州市期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≤2x －y ≤0，则x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] 画出可行域如图，令u ＝x ＋y ，则当直线y ＝－x ＋u 经过点A (1,1)时，u 取最小值2，故选A.7．(2011·蚌埠二中质检)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．9[答案] B[解析] 由条件知，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝32|AB →|·|AC →|＝23，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin30°＝1，∴x ＋y ＋12＝1，∴x ＋y ＝12(x >0，y >0)，∴1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x 时成立，∴x ＋y ＝12，∴x ＝16，y ＝13时，1x ＋4y取最小值18.8．(2011·陕西宝鸡质检)“x ≥3”是“(x －2)x 2－2x －3≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分与不必要条件[答案] A[解析] 由(x －2)x 2－2x －3≥0(※)得，x ≤－1或x ≥3，∴x ≥3时，※式成立，但(※)式成立时，不一定有x ≥3，故选A.9．(2011·辽宁铁岭六校联考)已知A 、B 是△ABC 的两个内角，若p sin A <sin(A ＋B )，q ：A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] sin A <sin(A ＋B )，即sin A <sin C ，∴a <c ，∴A <C ，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，但当A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，未必有sin A <sin C ，如A ＝π3，B ＝5π12，C ＝π4时不满足sin A <sin(A ＋B )．10．(2011·巢湖市质检)定义在R 上的函数f (x )对∀x 1，x 2∈R ，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，若函数f (x ＋1)为奇函数，则不等式f (1－x )<0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，1) [答案] C[解析] 由条件知f (x )在R 上单调递减，∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (1)＝0，∴不等式f (1－x )<0化为f (1－x )<f (1)，∴1－x >1，∴x <0.[点评] 如果F (x )定义域为R ，F (x )为奇函数，则必有F (0)＝0，∵F (x )＝f (x ＋1)为奇函数，∴有F (0)＝f (1)＝0.11．(2011·北京朝阳区期末、山东日照调研)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A ．913B ．313 C.72 D.74[答案] D[解析] 作出平面区域A 如图，当a 从－2到1连续变化时，动直线y ＝－x ＋a 从l 1变化到l 2，扫过A 中的那部分平面区域为四边形EOFG ，其面积S ＝S △OBE －S △FGB ＝12×2×2－12×1×12＝74.12．(2011·宁夏银川一中检测)设f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，当0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，12)D ．(－∞，1)[答案] D[解析] ∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数且在R 上为增函数，∴不等式f (m sin θ)＋f (1－m )>0，即f (m sin θ)>f (m －1)，即m sin θ>m －1在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立．当m >0时，即sin θ>m －1m 恒成立，只要0>m －1m 即可，解得0<m <1；当m ＝0时，不等式恒成立；当m <0时，只要sin θ<m －1m 恒成立，只要1<m －1m，只要0>－1，这个不等式恒成立，此时m <0.综上可知：m <1.[点评] 这里函数性质是隐含在函数解析式中的，其目的是考查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识．在不等式的恒成立问题中要善于使用参数分类的方法解决问题，本题的解析是对参数取值进行分类，也可以直接使用分离参数的方法求解，即m sin θ>m －1可以化为(1－sin θ)m <1，当θ＝π2时，m ∈R ；当θ≠π2时，m <11－sin θ＝f (θ)，只要m <f (θ)min 即可，即只要m <1即可．综合两种情况得到m <1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2011·重庆南开中学模拟)不等式2x 2－x <4的解集是________． [答案] (－1,2)[解析] 不等式化为2x 2－x <22， ∴x 2－x <2，∴－1<x <2.(理)(2011·甘肃天水一中期末)不等式x －2x 2－4x ＋3<0的解集为________．[答案] (－∞，1)∪(2,3)[解析] 不等式化为(x －2)(x －1)(x －3)<0，由数轴穿根法易得x <1或2<x <3. 14．(文)(2011·江西南昌调研)函数f (x )＝x 2－9log 2(x －1)的定义域为________．[答案] [3，＋∞) [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－9≥0x －1>0x －1≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3或x ≤－3x >1x ≠2，∴x ≥3. (理)(2011·咸阳市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ≥0－1 x <0，则不等式(x ＋1)f (x )<x 的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－12，0 [解析] 不等式(x ＋1)f (x )<x 化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋1<x或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－(x ＋1)<x ，∴－12<x <0.15．(文)(2011·厦门期末)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤02x ＋y ＋1≥0所确定的平面区域为D ，则该平面区域D 在圆x 2＋(y ＋1)2＝4内的面积是________．[答案] π[解析] 如图，直线x －2y －2＝0和直线2x ＋y ＋1＝0的斜率依次为k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1k 2＝－1，∴两直线互相垂直，故所求面积为S ＝14×π×22＝π.[点评] 若两直线不垂直，可先写出两直线的方向向量，利用向量求得两直线夹角，再求面积．(理)(2011·浙江宁波八校联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤4ax ＋by ＋c ≤0且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则a ＋b ＋ca＝________.[答案] －2[分析] 作出直线x ＝1和x ＋y ＝4，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤4表示的平面区域为图中阴影部分，由于目标函数z ＝2x ＋y 最大值为7，最小值为1，∴y ＝－2x ＋1及y ＝－2x ＋7分别与直线x ＝1及x ＋y ＝4的交点为最优解，故此二点必在直线ax ＋by ＋c ＝0上．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2x ＋1得A (1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4y ＝－2x ＋7得B (3,1)，直线AB ：y ＋11＋1＝x －13－1，即x －y －2＝0，此直线即ax ＋by ＋c ＝0，比较系数得a 1＝b －1＝c－2＝a ＋b ＋c －2，∴a ＋b ＋ca＝－2. 16．(2011·豫南九校联考)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))的最小值为________．[答案] 25[解析] 依据给出的结论可知f (x )＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25等号在22x ＝31－2x ，即x ＝15时成立． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·四川广元诊断)已知x ∈[0,1]时，不等式x 2cos θ－x (1－x )＋(1－x )2sin θ>0恒成立，试求θ的取值范围．[解析] 由题意知：x ＝0或x ＝1时，原不等式成立 即sin θ>0，cos θ>0，∴θ在第一象限，∵x ∈(0,1)时，x 2cos θ＋(1－x )2sin θ≥2x (1－x )sin θcos θ， ∴原不等式成立，只须 2x (1－x )sin θcos θ－x (1－x )>0 注意到x (1－x )>0，∴2sin θcos θ>1 ∴sin2θ>12∴k π＋π12<θ<k π＋5π12，∴θ的取值范围应是⎝⎛⎭⎫k π＋π12，k π＋5π12，k ∈Z . 18．(本小题满分12分)(文)(2011·厦门期末质检)某人要建造一间地面面积为24m 2、墙高为3m ，一面靠旧墙的矩形房屋．利用旧墙需维修，其它三面墙要新建，由于地理位置的限制，房子正面的长度x (单位：m)不得超过a (单位：m)(其平面示意图如下)．已知旧墙的维修费用为150元/m 2，新墙的造价为450元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5400元(不计门、窗的造价)．(1)把房屋总造价y (单位：元)表示成x (单位：m)的函数，并写出该函数的定义域； (2)当x 为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？[解析] (1)依题意得：y ＝3x (150＋450)＋24x ×2×3×450＋5400＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400(0<x ≤a ) (2)y ＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400≥1800×2x ·36x＋5400＝21600＋5400＝27000 当且仅当x ＝36x，即x ＝6时取等号若a >6时，则x ＝6总进价最低，最低总造价是27000元． 当a ≤6时，则y ′＝1800⎝⎛⎭⎫1－36x 2 ∴当0<x <6时，y ′<0，故函数y ＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400在(0，a ]上是减函数， ∴当x ＝a 时，y 有最小值，即最低总造价为1800⎝⎛⎭⎫a ＋36a ＋5400元 答：当a >6时，x ＝6总造价最低，最低总造价是27000元；当a ≤6时，x ＝a 总造价最低，最低总造价为1800⎝⎛⎭⎫a ＋36a ＋5400元． (理)(2011·宁夏银川一中模拟)在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d (米)与车速v (千米/小时)需遵循的关系是d ≥12500a v 2(其中a (米)是车身长，a 为常量)，同时规定d ≥a2.(1)当d ＝a2时，求机动车车速的变化范围；(2)设机动车每小时流量Q ＝1000va ＋d ，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q 最大．[分析] (1)把d ＝a 2代入d ≥12500a v 2，解这个关于v 的不等式即可；(2)根据d 满足的不等式，以最小车距代替d ，求此时Q 的最值即可．[解析] (1)由a 2＝12500a v 2得，v ＝252，∴0<v ≤25 2.(2)由v ≤252时，Q ＝1000v32a ，Q 是v 的一次函数，v ＝252时，Q 最大为5000023a ，当v >252时，Q ＝1000a ⎝⎛⎭⎫1v ＋v 2500≤25000a ， ∴当v ＝50时Q 最大为25000a.[点评] 本题中对车距d 有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于252时，两车之间的最小车距是a2，当车速大于252时，两车之间的最小车距是12500a v 2.19．(本小题满分12分)(文)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． [解析] (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.当a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0.综合得a 的取值范围为(－∞，1]．(理)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.[解析] (1)解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln 2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.20．(本小题满分12分)(2011·黄冈市期末)已知函数f (x )＝2－x x ＋1. (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数；(2)是否存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立，若存在求出x 0；若不存在，请说明理由．[解析] (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，∵f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3x 2－3x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0， ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数． (2)不存在假设存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立，则∵x 0<0，∴0<3x 0<1，即0<f (x 0)<1，∴0<2－x 0x 0＋1<1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x 0<2－2x 0＋1x 0＋1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 0<2x 0<－1或x 0>12 ⇒12<x 0<2与x 0<0矛盾， 所以不存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立．[点评] (2)可另解如下：f (x )＝－1＋3x ＋1，由x 0<0得：f (x 0)<－1或f (x 0)>2但0<3x 0<1，所以不存在． 21．(本小题满分12分)(2011·北京市朝阳区期末)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图像过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个实数根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0，－f (x ) x <0，当mn <0，m ＋n >0，a >0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?[解析] (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0.∵方程f (x )＝0有且只有一个实数根，∴Δ＝b 2－4a ＝0.∴b 2－4(b －1)＝0.∴b ＝2，a ＝1.∴f (x )＝(x ＋1)2.(2)∵g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －k －222＋1－(k －2)24. 所以当k －22≥2或k －22≤－2时， 即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．(3)f (x )为偶函数，所以b ＝0.所以f (x )＝ax 2＋1.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1 x >0，－ax 2－1 x <0. 因为mn <0，不妨设m >0，则n <0.又因为m ＋n >0，所以m >－n >0.所以|m |>|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0.所以F (m )＋F (n )>0.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解析] (1)由f (x )的图象经过P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，∴f ′(－1)＝6，且－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝3，b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)因为f ′(x )＝3x 2－6x －3，令3x2－6x－3＝0，即x2－2x－1＝0，解得x1＝1－2，x2＝1＋ 2.当x<1－2或x>1＋2时，f′(x)>0，当1－2<x<1＋2时，f′(x)<0，故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，1－2)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数，在(1＋2，＋∞)内是增函数．。
不等式测试题及答案
不等式单元测试题及答案(1)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式x 2≥2x 的解集是( )A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |x ≤0或x ≥2} 2．下列说法正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)4．不等式x －1x ＋2>1的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形7．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－38．若关于x 的函数y ＝x ＋m2x在(0，＋∞)的值恒大于4，则( )A ．m >2B ．m <－2或m >2C ．－2<m <2D ．m <－2 9．已知定义域在实数集R 上的函数y ＝f (x )不恒为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有( ) A ．f (x )<－1 B ．－1<f (x )<0 C ．f (x )>1 D ．0<f (x )<110．若x ＋23x －5<0，化简y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3的结果为( )A ．y ＝－4xB ．y ＝2－xC ．y ＝3x －4D ．y ＝5－x二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是_________．12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．13．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．15．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0.18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z ＝x ＋3y 的最大值．20．(13分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a4元； (3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<x <14)为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面长x ≥14. 试比较①②两种方案哪个更好．不等式单元测试题及答案(1)1．解析：原不等式化为x 2－2x ≥0，则x ≤0或x ≥2. 答案：D2．解析：A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0>b ＝－1时，a 2＝0<b 2＝1，所以B 不正确；D 中，当(－2)2>(－1)2时，－2<－1，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C3．解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A4．解析：x －1x ＋2>1⇔x －1x ＋2－1>0⇔－3x ＋2>0⇔x ＋2<0⇔x <－2.答案：A5．解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0， 所以M ≥N . 答案：B6．解析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．则平面区域是△ABC . 答案：A7．解析：画出可行域如下图中的阴影部分所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＝0.得A (2,1)．由图知，当直线y ＝x －z 过A 时，－z 最大，即z 最小，则z 的最小值为2－1＝1.答案：A8．解析：∵x ＋m 2x≥2|m |，∴2|m |>4.∴m >2或m <－2. 答案：B9．解析：令x ＝y ＝0得f (0)＝f 2(0)， 若f (0)＝0，则f (x )＝0·f (x )＝0与题设矛盾． ∴f (0)＝1.又令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )·f (－x )，故f (x )＝1f (－x ).∵x >0时，f (x )>1，∴x <0时，0<f (x )<1，故选D. 答案：D10．解析：∵x ＋23x －5<0，∴－2<x <53.而y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3＝|3x －5|－|x ＋2|－3＝5－3x －x －2－3＝－4x .∴选A.答案：A二、填空题（填空题的答案与试题不符）11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是__________．解析：式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，即kx 2＋kx ＋1>0恒成立．当k ≠0时，k >0且Δ＝k 2－4k <0，∴0<k <4；而k ＝0时，kx 2＋kx ＋1＝1>0恒成立，故0≤k <4，选C.答案：C12．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．解析：求原函数定义域等价于解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x >0，解得2≤x <3或3<x <4.∴定义域为[2,3)∪(3,4)． 答案：[2,3)∪(3,4)13．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________． 解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB .可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，AB ＝42，所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋4 214．已知函数f (x )＝x 2－2x ，则满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋f (y )≤0，f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )所形成区域的面积为__________．解析：化简原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2≤2，(x －y )(x ＋y －2)≥0， 所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积． 答案：π 15．(2010·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x %)，八月份销售额为500×(1＋x %)2，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，可列出不等式为4360＋1000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7000.令1＋x %＝t ，则t 2＋t －6625≥0，即⎝⎛⎭⎫t ＋115⎝⎛⎭⎫t －65≥0.又∵t ＋115≥0，∴t ≥65，∴1＋x %≥65，∴x %≥0.2，∴x ≥20.故x 的最小值是20. 答案：20三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．解：e a －c －eb －d ＝e (b －d )－e (a －c )(a －c )(b －d )＝(b －a )＋(c －d )(a －c )(b －d )e .∵a >b >0，c <d <0，∴a －c >0，b －d >0，b －a <0，c －d <0.又e <0，∴e a －c －e b －d >0.∴e a －c >eb －d.17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.解：(1)－x 2＋2x －23>0⇔x 2－2x ＋23<0⇔3x 2－6x ＋2<0.Δ＝12>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式解集为{x |1－33<x <1＋33}．(2)9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0. ∴x ∈R .∴不等式解集为R .18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0. 解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x >1； 当－3<m <－2时，不等式变成(x －1)[(m ＋3)x－m ]>0，得x >1或x <mm ＋3；当m <－3时，得1<x <mm ＋3.综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当－3<m <－2时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，m m ＋3∪(1，＋∞)；当m <－3时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，m m ＋3.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z ＝x ＋3y 的最大值．解：(1)由x ，y 取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分．(2)作出直线l ：x ＋3y ＝0，将直线l 向上平移至l 1与y 轴的交点M 位置时，此时可行域内M 点与直线l 的距离最大，而直线x ＋y －3＝0与y 轴交于点M (0,3)．∴z max ＝0＋3×3＝9.20．(13分)(2009·江苏苏州调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 解：(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1200,1225]， 在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1200]， 在t ＝20时，y 取得最小值为600.21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a4元；(3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<x <14)为矩形一边； ②矩形厂房利用旧墙的一面长x ≥14. 试比较①②两种方案哪个更好．解：方案①：修旧墙费用为ax4(元)，拆旧墙造新墙费用为(14－x )a2(元)，其余新墙费用为(2x ＋2×126x－14)a (元)，则总费用为y ＝ax 4＋(14－x )a 2＋(2x ＋2×126x －14)a ＝7a (x 4＋36x－1)(0<x <14)，∵x 4＋36x ≥2x 4·36x＝6， ∴当且仅当x 4＝36x即x ＝12时，y min ＝35a ，方案②：利用旧墙费用为14×a 4＝7a2(元)，建新墙费用为(2x ＋252x －14)a (元)，则总费用为y ＝7a 2＋(2x ＋252x －14)a ＝2a (x ＋126x )－212a (x ≥14)，可以证明函数x ＋126x在[14，＋∞)上为增函数，∴当x ＝14时，y min ＝35.5a . ∴采用方案①更好些．。
高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案
高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案学习目标：1。
了解基本不等式的证明过程。
2.用基本不等式求解X的简单大(小)值问题。
(3)如果x，(0，)和2x 8-x=0，求x的最小值。
变体迁移2被称为x0，0，z0。
转型3 (2011广州月考)为了获得更多的市场份额，一家国际化妆品制造商计划在2012年伦敦奥运会期间开展一系列促销活动。
据市场调研计算，化妆品年销量为1万件，年推广费1万元与3-x、t 1成反比。
如果不进行促销活动，化妆品的年销量只能是1万件。
据了解，2012年化妆品生产设备折旧维护固定成本为3万元，每万件化妆品需要32万元的生产成本。
如果把每件化妆品的售价定为其生产成本的150%和每件平均促销成本的一半之和，当年生产的化妆品正好可以销售一空。
一、选择题(每题5分，共25分)案例36基本不等式及其应用自梳理1.(1)a0，b0 (2)a=b 2。
(1)2ab (2)2 (4)3.两个正数A B2AB的算术平均值不小于它们的几何平均值4。
(1) X=较小的2p (2) X=较大的p24自测1.A 2。
A 34.大-22-1 5。
[15, )教室活动区例1解题引导基本不等式的作用在于“和与积”的相互转化。
用基本不等式计算X的值时，给定的形式可能并不直接适用于基本不等式，但往往需要进行分、加项或匹配因子(一般和或积的形式是固定值)来构造基本不等式的形式，然后求解。
基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，以及“三相等”意味着它必须被验证。
解(1)x0，0，1x 9=1，x+=(x+)1x+9=x+9x+106+10=16。
当只有x=9x时，上述等式成立，1x 9=1，当x=4，=12时，(x ) in=16。
(2)x54,5-4x0.=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2 5-4x15-4x+3=1，当只有5-4x=15-4x时，即当x=1时，上述方程成立，所以当x=1时，ax=1。
高三数学一轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数综合测试(一)
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数阶段质量评估（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）2．已知函数①()ln f x x =；②cos ()xf x e =；③()xf x e =；④()cos f x x =．其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在定义域内的唯一一个自变量2x ，使得12()()1f x f x •=成立的函数是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③D ．④3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A ()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x xf x a a -=+ D.2()ln 2x f x x -=+ 4．下列结论①命题“0,2>-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”；②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方；③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0. ④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 4 5．命题“x R ∀∈，2240x x -+≤”的否定为 ( )A ．x R ∀∈，2240x x -+≥ B ．2,240x R x x ∀∉-+≤C ．x R ∃∈,2240x x -+>D ．x R ∃∉,2240x x -+>6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．4x y -B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（e ，3）C ．（2，e ）D ．(e,+∞)8．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a =-对称。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >． （1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=， 即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
2023年高考数学(理科)一轮复习——不等式选讲 第一课时 绝对值不等式
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当__a_b_≥__0____时，等 号成立. 定 理 2 ： 如 果 a ， b ， c 是 实 数 ， 那 么 ___|_a_－__b_|≤__|_a_－__c_|＋__|c_－__b_|___ ， 当 且 仅 当 ____(a_－___c)_(_c_－__b_)≥__0__________时，等号成立.
索引
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值. 解 |x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5， 当且仅当x＝0，y＝3时等号成立， 即|x－2y＋1|的最大值为5.
索引
感悟提升
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： (1)利用绝对值的几何意义. (2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||. (3)利用零点分区间法.
索引
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 绝对值不等式的解法
例1 (2022·西安五校联考)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋a|. (1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥3的解集； 解 当a＝－1时，f(x)≥3， 即|x－3|＋|x－1|≥3， ∴x4≤ －12，x≥3或12<≥x3<3，或x2≥ x－3，4≥3，
索引
(2)求f(x)≥g(x)的解集. 解 因为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点为(0，2)和(6，4)，结合函数图象可 得f(x)≥g(x)的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞).
(全国通用)高考数学一轮复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式习题 理 选修4-5-人教版高三选修4
选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2.(2015·某某统测)不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3.(2015·某某巴蜀中学三诊)已知关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值X围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值X围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5.(2015·某某三模)若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6.(2015·某某高考)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.(2015·东北三省四市二模)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,某某数t的取值X围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8.(2015·某某实验中学质检)设函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,某某数a的取值X围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值X围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值X围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值X围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值X围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分)(2015·某某调研)设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)=f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)=f(x)min=f a-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值X围是[-2,0].3.(10分)(2015·某某测试)设函数f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值X围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值X围是.4.(10分)(2015·某某监测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,某某数k的取值X围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分)(2015·某某二中二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,某某数a的取值X围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值X围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 4 基本不等式
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结4基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．若0<a<12，则a(1－2a)的最大值是()A．18B．14C．12D．1答案 A解析由0<a<12，得1－2a>0，则a(1－2a)＝12·2a(1－2a)≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a＋（1－2a）22＝18，当且仅当a＝14时取等号．故选A.2．已知m>0，n>0，2m＋n＝1，则14m＋2n的最小值为()A．4 B．22C．92D．16答案 C解析 由于m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C. 3．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32 答案 A解析 由于x >0，则y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数y 的最小值为0.故选A.4．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥n2a ＋b 恒成立，则n 的最大值为( )A ．9B ．12C ．16D ．20 答案 A解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，2a ＋1b ≥n 2a ＋b⇒(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥n ，(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22a b ·2b a ＝9(当且仅当a ＝b 时，取等号)，要想不等式2a ＋1b≥n2a ＋b恒成立，只需n ≤9，即n 的最大值为9.故选A. 5．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．42 C ．2 D ．2 2解析∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x＋2y＝4，当且仅当3x＝2y，即x＝13，y＝12时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4.故选A.6．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为()A．14B．12C．1 D．2答案 B解析因为a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2．又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥22xy，当且仅当x＝12，y＝1时等号成立，即22xy≤2，所以xy≤12，所以当且仅当x＝12，y＝1时，xy取到最大值，最大值为12.故选B.7．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a2＋b2的最小值为()A．2 B．22C．4 D．4 2 答案 C解析∵a>0，b>0，∴1a ＋1b＝ab≥21ab，∴ab≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，∴a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．综上，a2＋b2的最小值为4.故选C.8．已知函数f(x)＝cosπx(0<x<2)，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则1a＋4b的最小值为()A．92B．9 C．18 D．36解析函数f(x)＝cosπx(0<x<2)的图象的对称轴为直线x＝1.因为a≠b，且f(a)＝f(b)，所以a＋b＝2，所以1a ＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)×12＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋ba＋4ab≥12×⎝⎛⎭⎪⎫5＋2ba·4ab＝92，当且仅当a＝23，b＝43时取等号，故1a＋4b的最小值为92.故选A.9．(多选)设x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，S＝x＋y，P＝xy，以下四个命题中正确的是()A．若P＝1，则S有最小值2 B．若S＋P＝3，则P有最大值1C．若S＝2P，则S有最小值4 D．若S＋P＝3，则S有最大值2答案AB解析对于A，若xy＝1，则S＝x＋y≥2xy＝2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故A 正确；对于B，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≥2xy＋xy，解得0<xy≤1(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故B正确；对于C，若x＋y＝2xy，则x＋y＝2xy≤（x＋y）22，可得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故C错误；对于D，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≤x＋y＋（x＋y）24，解得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故D错误．10．(多选)下列说法正确的是()A．x＋1x(x＞0)的最小值是2 B．x2＋2x2＋2的最小值是 2C．x2＋5x2＋4的最小值是2 D．2－3x－4x的最大值是2－4 3解析 当x ＞0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，A 正确；∵x 2≥0，∴x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确；x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，令t ＝x 2＋4，则t ∈[2，＋∞)，∵y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥2＋12＝52，即x 2＋5x 2＋4≥52，C 错误；当x ＜0时，2－3x －4x 无最大值，D 错误．故选AB.11．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 答案 4解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t ＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，∴t ≥4，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值为4.12．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则m ＋n ＝________，1m ＋9n 的最小值是________．答案 4 4解析 由于数列{a n }是正项等比数列，由a 6＝a 5＋2a 4得q 2＝q ＋2，解得q ＝2(负根舍去).由a m a n ＝2a 1，得2m ＋n －2＝22，m ＋n ＝4.故1m ＋9n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n (m ＋n )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9＋n m ＋9m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝14×(10＋6)＝4，当且仅当m ＝1，n ＝3时，1m ＋9n取得最小值4.二、高考小题13．(2022·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋4 |sin x|C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋4 ln x答案 C解析对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且y min＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝|sin x|＋4|sin x|≥2|sin x|·4|sin x|＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝4|sin x|，即|sin x|＝2时取等号，但是根据正弦函数的性质可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x ≥22x·22－x＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时取等号，所以y min＝4，所以C符合题意；对于D，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋4ln x<0，所以D不符合题意．14．(2022·浙江高考)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于12的个数的最大值是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sinα，cos β，sin β，cos γ，sin γ，cosα均为正数．由基本不等式可知sin αcos β≤sin2α＋cos2β2，sinβcos γ≤sin2β＋cos2γ2，sinγcosα≤sin 2γ＋cos 2α2.三式相加可得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α≤32，当且仅当sin α＝cos β，sin β＝cos γ，sin γ＝cos α，即α＝β＝γ＝π4时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＜32，所以这三个值不会都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，则sin π6cos π3＝12×12＝14＜12，sin π3cos π4＝32×22＝64＞24＝12，sin π4cos π6＝22×32＝64＞12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.15．(2022·上海高考)下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2≤2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b ≥2|ab | D ．a 2＋b 2≤－2ab 答案 B解析 显然当a <0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤2ab 不成立，故A 错误；∵(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2＋2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，故B 正确；显然当a <0，b <0时，不等式a ＋b ≥2|ab |不成立，故C 错误；显然当a >0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤－2ab 不成立，故D 错误．故选B.16．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12 B ．2a －b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.17．(2022·天津高考)若a >0，b >0，则1a ＋ab 2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴1a ＋ab2＋b 的最小值为2 2. 三、模拟小题18．(2022·浙江杭州富阳中学高三上第一次二校联考)已知正实数a ，b 满足1a ＋9b ＝6，则(a ＋1)(b ＋9)的最小值是( )A ．8B ．16C ．32D ．36 答案 B解析 因为正实数a ，b 满足1a ＋9b ＝6，所以6＝1a ＋9b ≥29ab ，即ab ≥1，当且仅当1a ＝9b 时，即a ＝13，b ＝3时取等号．因为1a ＋9b ＝6，所以b ＋9a ＝6ab ，所以(a ＋1)(b ＋9)＝9a ＋b ＋ab ＋9＝7ab ＋9≥7＋9＝16.故(a ＋1)(b ＋9)的最小值是16.故选B.19．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，若不等式1a ＋1b >m 恒成立，m ∈N *，则m 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 A解析 ∵不等式1a ＋1b >m 恒成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min >m ，又a ＋b ＝1，a >0，b >0∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min＝4，∴m <4，又m ∈N *，∴m ＝3.故选A.20．(2022·河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考)已知x >0，y >0，且x ＋4y －xy ＝0，若不等式a ≤x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，6]B ．(－∞，7]C ．(－∞，8]D ．(－∞，9] 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋4y －xy ＝0，∴4x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋x y ＋4y x .∵x y＋4yx≥2x y ·4y x ＝4(当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y ＝6时取等号)，∴x ＋y ≥5＋4＝9.又不等式a ≤x ＋y 恒成立，∴a ≤9.21．(2022·辽宁六校高三上学期期初联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )＝|x －m ＋1|－2，若正实数a ，b 满足f (a )＋f (2b )＝m ，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．85B ．8＋435 C ．835D ．2105 答案 B解析 ∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|－x －m ＋1|－2＝|x －m ＋1|－2，即(－x －m ＋1)2＝(x －m ＋1)2，整理得2(m －1)x ＝－2(m －1)x ，∴m ＝1，∴f (x )＝|x |－2.∴f (a )＋f (2b )＝a －2＋2b －2＝1，即a ＋2b ＝5.∴2a ＋3b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (a ＋2b )＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4b a ＋3a b ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋24b a ·3a b ＝8＋435(当且仅当4b a ＝3a b ，即2b ＝3a 时取等号)，∴2a ＋3b 的最小值为8＋435.故选B.22．(多选)(2022·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均速度为v ，则( )A ．a ＜v ＜ abB ．v ＝abC ．ab ＜v <a ＋b 2D ．v ＝2ab a ＋b答案 AD解析 设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s a ＋s b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b .∵b ＞a ＞0，∴v ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ；另一方面，v ＝2ab a ＋b ＜2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22a ＋b＝a ＋b 2，v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ，则a ＜v ＜ab .故选AD. 23．(多选)(2022·河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一))以下结论正确的是( )A ．x 2＋1x 2≥2B ．x 2＋3＋1x 2＋3的最小值为2 C ．若a 2＋2b 2＝1，则1a 2＋1b 2≥3＋2 2 D ．若a ＋b ＝1，则1a ＋1b≥4 答案 AC解析 对于A ，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x 2＝1时等号成立，故A 正确；对于B ，x 2＋3＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，当且仅当x 2＋3＝1时等号成立，但x 2＋3≥3≠1，故B 错误；对于C ，1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(a 2＋2b 2)＝3＋2b 2a 2＋a 2b 2≥3＋22，当且仅当a 2＝2－1，b 2＝2－22时等号成立，故C 正确；对于D ，当a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋b a ≥4，但当a ＋b ＝1时，不一定有a ＞0，b ＞0，故D 错误．故选AC.24．(多选)(2022·辽宁葫芦岛协作校高三上第一次考试)下列函数中，最小值为9的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x B ．y ＝1sin 2x ＋4cos 2xC ．y ＝lg x ＋4lg x －5D ．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2答案 AB解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＝5＋x 2＋4x 2≥5＋24＝9，当且仅当x 2＝2时，等号成立．y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝5＋cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ≥5＋24＝9，当且仅当tan 2x ＝12时，等号成立．当lg x －5小于0时，y ＝lg x ＋4lg x －5无最小值．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2＝4（2x 2＋1）（x 2＋2）（x 2＋1）2≤4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x 2＋1）＋（x 2＋2）22（x 2＋1）2＝9，当且仅当x 2＝1时，等号成立，则y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2的最大值为9.故选AB. 25．(2022·福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))若lg x ＋lg y ＝0，则4x ＋9y 的最小值为________．答案 12解析 因为lg x ＋lg y ＝0，所以xy ＝1(x >0，y >0)，所以4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12.等号成立的条件为4x ＝9y ，即x ＝32，y ＝23时取得最小值．26．(2022·河北正定中学高三开学考试)已知x ，y >0，且1x ＋3＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为________．答案 5解析x ＋y ＝2[(x ＋3)＋y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3＋1y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋3＋x ＋3y －3≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋3·x ＋3y －3＝5，当且仅当y x ＋3＝x ＋3y ，即x ＝1，y ＝4时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为5.一、高考大题1．(2022·全国Ⅲ卷)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1.(1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34.证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2). 由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0.∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝（b ＋c ）2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a≥34，即max{a，b，c}≥34.2．(2022·全国Ⅰ卷)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc ＝1a＋1b＋1c.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33（a＋b）3（b＋c）3（c＋a）3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.二、模拟大题3．(2022·福建龙岩高三检测)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.(1)求1x ＋1y 的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由.解 (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y ).又x ，y ∈(0，＋∞)，所以0<x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.4．(2022·广东省珠海市高三模拟)某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元．(1)求k 的值；(2)请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应的最少费用．解 (1)由题意，当每批购入400台时，全年的运费为400×3600400＝3600(元)，每批购入的电视机的总价值为400×2000＝800000(元)，所以保管费为k·800000(元).因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以3600＋k·800000＝43600，解得k＝0.05.(2)设每批进货x台，则运费为400×3600x ＝1440000x，保管费为0.05×2000x＝100x.所以支付运费与保管费的和为1440000x＋100x，因为1440000x ＋100x≥21440000x×100x＝24000，当且仅当1440000x＝100x，即x＝120时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元．5.(2022·江苏镇江模拟)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且点P在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10，20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37kS元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS元(k为正常数).(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围；(2)写出总造价T 与面积S 的函数关系式；(3)如何选取|AM |，才能使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解 (1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10，20]，由x (30－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝225， 可知当x ＝15时，S 取得最大值，为2253，当x ＝10或20时，S 取得最小值，为2003，∴2003≤S ≤2253，即S 的取值范围为[2003，2253].(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又△ABC 的面积为12×30×303＝4503，∴草坪造价T 2＝12k S(4503－S ). ∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S＝2163，S即S＝2163时等号成立，此时3x(30－x)＝2163，解得x＝12或x＝18.∴选取|AM|为12米或18米时，能使总造价T最低．。
2022北师大版高考数学一轮复习—基本不等式和不等式的性质习题含答案
基本不等式[A 组 基础保分练]1．（2021·荆门一中期中测试）函数f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8解析：f （x ）＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为4．答案：B 2．（2021·钦州期末测试）已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是（ ） A ．15 B ．12 C ．5 D ．3 解析：因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5． 答案：C3．（2021·烟台期中测试）已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．256解析：∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x ＋14y 的最小值为8．答案：B 4．（2021·湖南衡阳期末）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△P AB ，△P AC和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是（ ）A ．23＋13B ．3＋23C ．13D ．3解析：因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x 1－x ＋1≥2 1－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x ＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z 的最小值为3． 答案：D5．（2021·北京通州区期中测试）设f （x ）＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f （ab ），q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12（f（a ）＋f （b ）），则下列关系式中正确的是（ ） A ．q ＝r <p B ．q ＝r >p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，∵f （x ）＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，∴f （ab ）<f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，又f （a ）＋f （b ）2＝ln ab <ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2， ∴f （a ）＋f （b ）2<f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，∴p ＝r <q ．答案：C6．（2021·鹰潭模拟）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为（ ）A ．4B ．2 2C ．8D ．16解析：因为a ＞0，b ＞0，所以根据a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，可得ab ＝1，所以1a ＋2b ≥21a ·2b＝22，当且仅当b ＝2a ＝2时等号成立． 答案：B7．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1，所以a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋3． 答案：2＋38．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系为y ＝－x 2＋18x －25（x ∈N ＋），则该公司年平均利润的最大值是 万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：89．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22．（1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若（a －b ）2≥4（ab ）3，求ab 的值．解析：（1）由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1．（2）由（a －b ）2≥4（ab ）3得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab≤2，又ab＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1． 10．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100，当且仅当12x ＝45 000x，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．（2）获利．设该单位每月获利为s 元，则s ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12（x －400）2＋35 000．因为x ∈[300，600]，所以s ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．[B 组 能力提升练]1．（2021·吕梁月考）一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0（a >b ）的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b的最小值是（ ）A ．1B ．2C ． 2D ．22解析：∵一元二次不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，∴a >0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，且a >b >0，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b＝a －b ＋2a －b≥22，当且仅当a ＝6＋22，b ＝6－22时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为22．答案：D2．设函数f （x ）＝x a －x 2－12对任意x ∈[－1，1]，都有f （x ）≤0成立，则a ＝（ ）A ．4B ．3C ． 2D ．1解析：由a －x 2≥0对任意x ∈[－1，1]恒成立得a ≥1；又由f （x ）＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0得a ≤1，所以a ＝1． 答案：D3．（2021·吉安期中测试）设正数x ，y 满足x ＋y ＝1，若不等式1x ＋ay≥4对任意的x ，y 成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．[4，＋∞） B ．（1，＋∞） C ．[1，＋∞） D ．（4，＋∞）解析：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，a >0，∴1x ＋a y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a y （x ＋y ）＝a ＋1＋y x ＋axy≥a ＋1＋2a ， ∴a ＋2a ＋1≥4，即a ＋2a －3≥0，解得a ≥1． 答案：C4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB →|＝3，|AC →|＝4，AD →＝λAB →＋μAC→（λ>0，μ>0），则当λμ取得最大值时，|AD →|的值为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．125解析：∵点D 是边BC 上的动点且AD →＝λAB →＋μAC →（λ>0，μ>0），∴λ＋μ＝1，∴λμ≤（λ＋μ）24＝14，当且仅当λ＝μ＝12时等号成立，λμ取得最大值，此时点D是边BC 的中点，∴|AD →|＝12|BC →|，∵|AB →|＝3，|AC →|＝4，∠BAC ＝90°，∴|AD →|＝12|BC →|＝52．答案：C 5．（2021·上海普陀区月考）设正数a ，b 满足2a ＋3b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是________．解析：∵2a ＋3b ＝ab ，a >0，b >0，∴3a ＋2b＝1，∴a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝2a b ＋3b a ＋5≥26＋5，当且仅当2a 2＝3b 2时等号成立，∴a ＋b 的最小值为26＋5． 答案：26＋56．（2021·鹤岗一中月考）已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．解析：∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫y ＋12＋12－⎝⎛⎭⎫y ＋12≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－2．答案：12－27．（2021·唐山模拟）已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1． （1）求证：a ＋b ≤2；（2）判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．解析：（1）证明：由题意得（a ＋b ）2＝3ab ＋1≤3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号．解得（a ＋b ）2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2． （2）不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2．因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．[C 组 创新应用练]1．已知f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0）在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为（ ）A ．3＋223B ．3＋22C ．3D ．22解析：由f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0），得f ′（x ）＝x 2＋2ax ＋b －4．由题意得f ′（1）＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b （2a ＋b ）＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3． 答案：C2．若直线l ：ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b的最小值为（ ） A ．2 2 B ．2C ．22＋1D ．2＋32解析：直线ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，即圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax －by ＋2＝0上，可得－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b ＝2，所以1a ＋1b ＝12（a ＋2b ）⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝32＋12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ≥32＋ 2b a ·a b ＝32＋2，当且仅当2b a ＝a b时等号成立，所以1a ＋1b 的最小值为32＋2．答案：D3．已知棱长为6的正四面体ABCD ，在侧棱AB 上任取一点E （与A ，B 不重合），若点E 到平面ACD 与平面BCD 的距离分别为a ，b ，则43a ＋1b的最小值为（ ）A ．72 B ．7＋336C ．7＋436D ．76解析：如图，连接CE ，DE ，设O 为底面三角形BCD 的中心，连接OA ，则正四面体的高OA＝2．因为V A BCD ＝V E BCD ＋V E ACD ，所以a ＋b ＝2，所以43a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫43a ＋1b （a ＋b ）＝12⎝⎛⎭⎫73＋4b 3a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫73＋24b 3a ·a b ＝7＋436，当且仅当4b 3a ＝a b ，即b ＝32a 时取等号．答案：C不等式的性质、一元二次不等式[A 组 基础保分练]1．已知a ，b ∈R ，若a ＜b ，则一定有（ ） A ．a ＜2b B ．ab ＜b 2C ．a 12＜b 12D ．a 3＜b 3解析：因为－2＜－1，而－2＜2×（－1）不成立，A 项错误；当b ＝0时，B 项错误；当两者均小于0时，根式没有意义，C 项错误；y ＝x 3是增函数，若a ＜b ，则a 3＜b 3，D 项正确． 答案：D2．设m ＝6－5，n ＝7－6，p ＝8－7，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m ＞p ＞n B ．p ＞n ＞m C ．n ＞m ＞p D ．m ＞n ＞p解析：m －n ＝6－5－7＋6＝26－（5＋7），因为（26）2＝24，（5＋7）2＝12＋235＜12＋2×6＝24，所以m －n ＞0，同理n ＞p ，所以m ，n ，p 的大小关系是m ＞n ＞p ． 答案：D 3．（2021·湖北黄冈元月调研）关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0的解集是（ ） A ．（－∞，1）∪（2，＋∞） B ．（－1，2） C ．（1，2） D ．（－∞，－1）∪（2，＋∞）解析：因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），所以a >0，且－ba＝1，所以关于x的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋ba （x －2）<0，即（x －1）（x －2）<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}． 答案：C 4．（2021·六安一中第四次月考）在区间（1，2）上，不等式x 2＋mx ＋4＞0有解，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞－4 B ．m ＜－4 C ．m ＞－5 D ．m ＜－5解析：记f （x ）＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图像知，f （1）＞0或f （2）＞0时，不等式x 2＋mx ＋4＞0一定有解，即m ＋5＞0或2m ＋8＞0，解得m ＞－5． 答案：C5．若存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，1] B ．（－∞，－8] C ．[1，＋∞） D ．[－8，＋∞）解析：设f （x ）＝2x －x 2，则当x ∈[－2，3]时，f （x ）＝－（x －1）2＋1∈[－8，1]，因为存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f （x ）max ，所以a ≤1． 答案：A 6．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，6] B ．[－6，－2] C ．（2，6） D ．（－6，－2） 解析：由题意知不等式x 2＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2－4（2m －3）≤0，解得2≤m ≤6． 答案：A7．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．所以a ＜b和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ． 答案：a ＜0＜b8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是（－∞，－1）∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________． 解析：ax －1x ＋1＜0⇔（ax －1）（x ＋1）＜0，根据解集的结构可知，a ＜0且1a ＝－12，∴a ＝－2．答案：－29．已知函数f （x ）＝kx 2＋kx ＋2（k ∈R ）． （1）若k ＝－1，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）若不等式f （x ）＞0的解集为R ，求实数k 的取值范围． 解析：（1）若k ＝－1，则f （x ）＝－x 2－x ＋2≤0， x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1，所以不等式的解集为（－∞，－2]∪[1，＋∞）．（2）当k ＝0时，f （x ）＝2＞0，显然恒成立，解集为R ；当k ≠0时，要使f （x ）＝kx 2＋kx ＋2＞0的解集为R ，则k ＞0且Δ＝k 2－8k ＜0，即0＜k ＜8． 综上所述，k ∈[0，8）．10．设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，函数F （x ）＝f （x ）－x 的两个零点为m ，n （m ＜n ）． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f （x ）与m 的大小．解析：（1）由题意知，F （x ）＝f （x ）－x ＝a （x －m ）·（x －n ）， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F （x ）＞0， 即a （x ＋1）（x －2）＞0．当a ＞0时，不等式F （x ）＞0的解集为 {x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F （x ）＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）f （x ）－m ＝a （x －m ）（x －n ）＋x －m ＝（x －m ）（ax －an ＋1），因为a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，所以x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0．所以f （x ）－m ＜0，即f （x ）＜m ．[B 组 能力提升练]1．（2021·安徽蒙城五校联考）在关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－3，5） B ．（－2，4） C ． [－3，5] D ．[－2，4]解析：因为关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0可化为（x －1）（x －a ）<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }； 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ∈[－2，4]． 答案：D 2．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜－2 B ．a ＞－2 C ．a ＞－6 D ．a ＜－6解析：令g （x ）＝x 2－4x －2，不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，等价于a ＜g （x ）的最大值，因为g （x ）＝（x －2）2－6，x ∈（1，4），所以g （x ）＜g （4）＝－2，所以a ＜－2． 答案：A 3．已知函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，则不等式（x －2）f （x ）<0的解集为（ ） A ．（－2，2）∪（2，＋∞） B ．（－2，＋∞） C ．（2，＋∞） D ．（－2，2）解析：因为函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f （x ）＝－2x 2＋4，所以不等式（x －2）f （x ）<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2． 故原不等式的解集为（－2，2）∪（2，＋∞）． 答案：A4．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y ＜4＋xy ，则x 、y 的取值范围是（ ） A ．x >2且y ＞2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2 D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y ＞0，由2x ＋2y －4－xy ＝（x －2）·（2－y ）<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 答案：C 5．函数y ＝log 13（4x 2－3x ）的定义域为________．解析：函数y ＝log 13（4x 2－3x ） 的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解得－14≤x ＜0或34<x ≤1．答案：⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤34，1 6．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为（|k |＋2）（|k |－1）<0，所以|k |<1，所以－1<k <1． 答案：（－1，1）7．已知函数f （x ）＝ax 2＋（b －8）x －a －ab ，当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0． （1）求f （x ）在[0，1]内的值域；（2）若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解析：（1）因为当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0．所以－3，2是方程ax 2＋（b －8）x －a －ab ＝0的两个根．所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba，所以a ＝－3，b ＝5．所以f （x ）＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754．因为函数图像关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f （x ）在[0，1]上为减函数， 所以f （x ）max ＝f （0）＝18，f （x ）min ＝f （1）＝12，故f （x ）在[0，1]内的值域为[12，18]．（2）由（1）知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512． [C 组 创新应用练]1．若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则（ ） A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6解析：当x ＝1，y ＝－1时，－6≤a －b ＋c ≤4，所以a －b ＋c 的最小值为－6，最大值为4，故B 、D 两项错误；当x ＝－1，y ＝－1时，－12≤－a －b ＋c ≤－2，则2≤a ＋b －c ≤12，所以a ＋b －c 的最小值为2，最大值为12，故A 项正确，C 项错误． 答案：A2．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）＝x 3，若不等式f （－4t ）＞f （2m ＋mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2） B ．（－2，0） C ．（－∞，0）∪[2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪[2，＋∞）解析：∵f （x ）在R 上为奇函数，且在[0，＋∞）上为增函数，∴f （x ）在R 上是增函数，结合题意得－4t ＞2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m ＜0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈（－∞，－2）． 答案：A3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a，所以⎩⎨⎧1<b a ＋ca≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为（0，2）．答案：（0，2）。
2023年新高考数学一轮复习2-3 二次函数与一元二次方程、不等式(真题测试)解析版
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（真题测试）一、单选题1．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩的值域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质求解. 【详解】解：()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩, 当[]2,1x ∈-，()[]21,4f x x =-+∈，当()()1,,2x ∈+∞⋃-∞-，()()2154f x x =-++<，所以()(,4]∈-∞f x ， 故选：A2．（2008·江西·高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ．[4,4]- B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-【答案】C 【解析】 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立； 当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.3．（2014·北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t --+，因为0t >，所以当153.754t ==时，p 取最大值， 故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.4．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x 轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >，因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A5．（2022·陕西·长安一中高一期中）设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-．若函数()221f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≤-，或0=t ，或2t ≥D ．12t ≤-，或0=t ，或12t ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出函数()f x 在[1,1]-上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答. 【详解】因奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-，则max ()(1)(1)1f x f f ==--=， 依题意，[1,1]a ∈-，22211()20t at g a ta t -+≥⇔=-+≥恒成立，则有22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩，解得2t ≤-或0=t 或2t ≥， 所以t 的取值范围是2t ≤-或0=t 或2t ≥. 故选：C6．（2016·浙江·高考真题（文））已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b-，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．7．（2022·广东佛山·二模）设,,R a b c ∈且0a ≠，函数2(),()(2)()g x ax bx c f x x g x =++=+，若()()0f x f x +-=，则下列判断正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为-a B ．()g x 的最小值为-a C ．()()22g x g x +=- D ．()()2g x g x +=-【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用a 表示b ，c ，再结合二次函数的性质求解作答. 【详解】依题意，232()(2)()(2)(2)2f x x ax bx c ax a b x b c x c =+++=+++++，因()()0f x f x +-=，则()f x 是奇函数，于是得2020a b c +=⎧⎨=⎩，即2,0b a c =-=， 因此，22()2(1)g x ax ax a x a =--=-，而0a ≠，当0a >时，()g x 的最小值为-a ，当0a <时，()g x 的最大值为-a ，A ，B 都不正确；2(2)(1)g x a x a +=+-，2(2)(1)g x a x a -=-+-，22()(1)(1)g x a x a a x a -=---=+-，即()()22g x g x +≠-，()()2g x g x +=-，因此，C 不正确，D 正确. 故选：D8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）当11x -时，21ax bx c ++恒成立，则（ ）A ．当2a =时，||||1b c +=B ．当2a =时，||||2b c +=C ．当1b =时，||0a c +=D ．当1b =时，||||0a c +=【答案】AC 【解析】 【分析】先举出反例，排除BD 选项，对于A 选项，根据绝对值三角不等式，得到11b -≤≤，31c -≤≤-，再根据14b f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭得到288c b ≥-，综合得到88c =-，288b -=-，求出1c =-，0b =，从而判断出A 正确；D 选项，利用类似方法得到0a c +=，验证后得到结论. 【详解】当2a =时，221x bx c ++在11x -上恒成立，可取0,1b c ==-，验证可知符合题意，此时2b c +≠，B 错误；当1b =时，21ax x c ++在11x -上恒成立，可取11,44a c ==-，验证可知符合题意，故D 错误；对于A 选项，令()22f x x bx c =++，必有()()11,11f f ≤-≤，即21,21b c b c ++≤-+≤，则222222b c b c b c b c b ≥+++-+≥++-+-=， 解得：11b -≤≤，则()f x 的对称轴1,144b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，同理：2222222b c b c b c b c c ≥+++-+≥+++-+=+， 所以21c +≤，解得：31c -≤≤-，于是()1f x ≤要满足()()28114811212111b c b f f b c b c f ⎧⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪-≤⇒-+≤⎨⎨⎪⎪++≤≤⎪⎪⎪⎪⎩⎩①②③，由①知：288c b ≥-，因为11b -≤≤，故2888c b ≥-≥-④， 因为31c -≤≤-所以88c ≤-⑤，综合④⑤，可知：88c =-， 解得：1c =-，此时288b -=-，解得：0b =，所以()221f x x =-，经验证满足题意，且||||1b c +=，A 正确；对于C 选项，令()2g x ax x c =++，由()111g a c =++≤，()111g a c -=-+≤可得：2002a c a c -≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，故0a c +=， 则()2g x ax x a =+-，所以211ax x a -≤+-≤恒成立，即211x ax a x --≤-≤-，易知：1122a -≤≤即可，故C 正确 故选：AC 【点睛】对于含有绝对值不等式的二次不等式问题，要充分考虑函数图象，以及对称轴和端点值的取值范围，结合绝对值三角不等式进行求解. 二、多选题9．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，则下面结论中正确的是（ ） A ．20a b += B ．420a b c -+＜C ．240b ac -＞D ．当0y ＜时，1x -＜或4x ＞【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，所以12bx a=-=得20a b +=，故A 正确； 当2x =-时，420y a b c =-+＜，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则240b ac -＞，故C 正确；因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，所以点A 的坐标为()3,0，所以当0y ＜时，1x -＜或x 3＞，故D 错误. 故选：ABC.10．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<，若对任意12x x ≠，则（ ）A ．当124x x +=时，()()12f x f x =恒成立B ．当124x x +>时，()()12f x f x <恒成立C ．0x ∃使得()00f x ≥成立D ．对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为2x =，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的对称轴为422-=-=mx m. 因为0m <，所以其函数图象为开口向下的抛物线，对于A 选项，当124x x +=时，1x ，2x 关于直线2x =对称， 所以()()12f x f x =恒成立，所以A 选项正确；对于B 选项，当124x x +>，若12x x >，则不等式可化为1222x x ->-， 所以()()12f x f x <；若12x x <，则不等式可化为2122x x ->-，所以()()21f x f x <，所以B 选项错误； 对于C 选项，因为0m <，所以()()224412332120m m m m m ∆=---=-+<，所以二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的图象开口向下，且二次函数与x 轴无交点，所以不存在0x 使得()00f x ≥成立，所以C 选项错误；对于D 选项，()()max 24812383f x f m m m m ==-+-=-，所以对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立，所以D 选项正确， 故选：AD.11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．()30-，B ．(]30-，C ．()31--，D ．()3∞-+，【答案】AC 【解析】 【分析】先求命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23,208x R kx kx ∀∈+-<为真命题，所以0k =或230k k k <⎧⎨+<⎩30k ⇔-<≤， 所以()30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，A 对， 所以(]30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充要条件，B 错， 所以()31--，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，C 对， 所以()3∞-+，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题必要不充分条件，D 错， 故选：AC12．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对于()()y f x x R =∈，当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的范围可以是下面选项中的（ ）A ．()B ．(),1-∞C ．(0D ．)+∞【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求得函数()f x 为偶函数，且在()0-∞，上为减函数，在()0+∞，上为增函数，把不等式转化为2221ax x <+，得到不等式4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称， 可得函数()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在()0-∞，上为减函数，则()f x 在()0+∞，上为增函数， 又因为()()2221f ax f x <+，所以2221ax x <+，即22424441a x x x <++恒成立，即4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，即()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，当2102a t -=≤时，即11a -≤≤时，()g t 在[0,)+∞为单调递增函数，则满足()min (0)10g t g ==>，符合题意；当当2102a t -=>时，即1a <-或1a >时，要使得()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，则满足22(44)160a ∆=--<，解得a <0a ≠，即1a <<-或1a <<综上可得，实数a 的取值范围是(， 结合选项，选项A 、C 符合题意. 故选：AC.三、填空题13．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为__________． 【答案】9． 【解析】 【详解】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m a a m m c +=-+=-解得c ＝9.14．（2022·天津·耀华中学二模）已知不等式28(8)0x x a a -+-<的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】[)(]1,26,7⋃ 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】28(8)0()[(8)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<，当4a =时，原不等式化为2(4)0x -<，显然x ∈∅，不符合题意； 当4a >时，不等式的解集为8a x a -<<，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得18045a a -≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，08156a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是2,3,4,5,6时，18267a a ≤-<⎧⎨<≤⎩67a ⇒<≤，若五个整数是3,4,5,6,7时，28378a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集；当4a <时，不等式的解集为8a x a <<-，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得10485a a -≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，01586a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 若五个整数是2,3,4,5,6时，1212687a a a ≤<⎧⇒≤<⎨<-≤⎩， 若五个整数是3,4,5,6,7时，23788a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集， 故答案为：[1,2)(6,7].15．（2015·湖北·高考真题（文））a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()h a . 当=a _________时，()h a 的值最小.【答案】2．【解析】【详解】因为函数2()||f x x ax =-，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数22()f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，所以max ()()1f x g a a ==-；②当02a <<时，此时22()()2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22(2)(1)2044a a a +--=-<，所以max ()()1f x g a a ==-； ③当22a ≤<时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减．当2a x =时，()f x 取得最大值2()24a a f =； ④当2a ≥时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取得最大值(1)1f a =-，则()21,2{,2241,2a a a h a a a a -<=≤<-≥在(,2)-∞上递减，2,)+∞上递增，即当2a =时，()g a 的值最小．故答案为：2．16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知()283f x ax x =++，对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()5f x ≤，则()M a 的最大值为___________.【解析】【分析】二次函数配方得到()f x 的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出()M a 的最大值.【详解】()22416833f x ax x a x a a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，当1635a ->，即80a -<<时，要使()5f x ≤在()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦上恒成立，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=的较小的根，即()M a =当1635a-≤，即8a ≤-时，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=-的较大的根，即()M a =当80a -<<时，()12M a ==<，当8a ≤-时，()M a =()M a .四、解答题17．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>的定义域为R ，且在区间[0,3]上有最大值5，最小值1．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数()()22g x f x mx m =-+-，求()0>g x 的解集．【答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知函数在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，则()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而可求出a ，b 的值，（2）由（1）得2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，然后分2m =，2m >和2m <三种情况解不等式(1)∵22()2(1)(0)f x ax ax b a x b a a =-+=-+->，在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即21,965,a a b a a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由（1）知2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，①2m =时，()0>g x 的解集为{}2x x ≠；②2m >时，()0>g x ，则x m >或2m <，故2m >时，()0>g x 的解集为{x x m >或2}x <；③2m <时，()0>g x ，则2x >或x m <，故2m <时，()0>g x 的解集为{2x x >或}x m <．综上，当2m =时，解集为{}2x x ≠；当2m >时，解集为{x x m >或2}x <；当2m <时，解集为{2x x >或}x m <． 18．（2015·浙江·高考真题（理））已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是()f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求a b +的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）3.【解析】【详解】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，再由(,)2M a b ≤可得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x xb =++-，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥，得 12a -≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得{}max (1),(1)2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得{}max (1),(1)2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，故3a b +≤，3a b -≤，由,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，得3a b +≤，当2a =，1b =-时，3a b +=，且221x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴a b +的最大值为3.19．（2014·辽宁·高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 【答案】（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或 当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（） ，求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证． （1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞ 当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤. 当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤. 20．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知二次函数()()223R f x x kx k =-+∈．(1)若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1k ≤(2)1k ≤【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；（2）将()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，转化为12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立求解． (1)解：因为()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，所以()212k --≤， 解得1k ≤；(2)因为()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以2210x kx -+≥在()0,x ∈+∞恒成立， 即12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立．令()1g x x x =+，则()12g x x x =+≥=， 当且仅当1x =时等号成立．所以1k ≤．21．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n 年(*)n ∈N 花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)3年(2)方案①较为合算【解析】【分析】（1）由22549(5)0n n n --+≥，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n =时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.(1)由题意可得22549(5)0n n n --+≥，即220490n n -+≤，解得1010n ≤≤3n ∴≥，∴该车运输3年开始盈利.；(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤， 当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25749(4935)1759⨯--++=（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， ∴方案①较为合算.22．（2009·江苏·高考真题）设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【答案】（1） （2）22min 2,0(){2,03a a f x a a -≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞; 当[a ∈时，解集为)+∞. 【解析】【详解】(3)。
不等式测试题(带答案)
【章节训练】第9章不等式与不等式组-2一、选择题（共10小题）1．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A ．B．C．D．2．不等式组的解为（）A．x＜2B．x≤2C．﹣2≤x＜2D．无解3．a是任意实数，下列各式正确的是（）A．3a＞4a B．C．a＞﹣a D．4．下列说法中正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a≠b，则|a|≠|b|D．若a≠b，则a2≠b2 5．（2014镇海区模拟）若不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≥2C．m＜1D．1≤m＜26．不等式组的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．7．若不等式组无解，则不等式组的解集是（）A．2﹣b＜x＜2﹣a B．b﹣2＜x＜a﹣2C．2﹣a＜x＜2﹣b D．无解8．已知m为整数，则解集可以为﹣1＜x＜1的不等式组是（）A．B．C．D．9．（2009大丰市一模）若a＜b，则下列不等式中正确的是（）10．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞8B．m≥8C．m＜8D．m≤8二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）11．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a+5和2x＞4的解集相同，则a的值为_________．12．不等式﹣2x＞4的解集是_________；不等式x﹣1≤0的非负整数解为_________．13．如果不等式组无解，那么a的取值范围是_________．14．若不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是_________．15．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________．16．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x+4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有_________个．17．如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是_________．18．6﹣的整数部分是_________．19．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是_________．20．若不等式组无解，则m的取值范围是_________．三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）21．（2014石景山区一模）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案22．解不等式：1﹣≥，并把解集在数轴上表示出来．23．（2009黔东南州）若不等式组无解，求m的取值范围．24．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）（2）．25．阅读下列材料，然后解答后面的问题．求下列不等式的解集：（x+2）（x﹣3）＞0我们知道：“两个有理数相乘，同号得正”，则：或解得：x＞3或x＜﹣2．求下列不等式的解集：①；②．26．（2011眉山）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．（1）求运往两地的数量各是多少立方米（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A 地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E 两地哪几种方案（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：A地B地C地运往D地（元/立方米）222020运往E地（元/立方米）202221在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少27．解不等式：3+＞x，并将解集在数轴上表示出了．28．（2012栖霞市二模）解不等式组并写出它的正整数解．29．阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜＜2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分﹣1，根（1）的整数部分是_________，小数部分是_________；（2）1+的整数部分是_________，小数部分是_________；（3）若设2+整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．30．（2009雅安）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并求该不等式组所有整数解的和．．【章节训练】第9章不等式与不等式组-2参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A ．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．解答：解：解不等式组得，所以此不等式组的解集是﹣1＜x≤1．故选A．点评：考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．2．不等式组的解为（）A．x＜2B．x≤2C．﹣2≤x＜2D．无解考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，由①得，x＜2，由②得，x≤2，所以，不等式组的解集为x＜2．故选A．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．3．a是任意实数，下列各式正确的是（）A．3a＞4a B．C．a＞﹣a D．考点：不等式的性质．分析：根据不等式的基本性质或举出反例进行解答．解答：解：A、当a≤0时，不等式3a＞4a不成立．故选项A错误；B、当a=0时，不等式不成立．故选项B错误；C、当a≤0时，不等式a＞﹣a不成立．故选项C错误；D、在不等式1＞﹣的两边同时减去a，不等式仍然成立，即．故选项D正确；故选D．点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．下列说法中正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a≠b，则|a|≠|b|D．若a≠b，则a2≠b2考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质分析判断．解答：解：A、如果a=﹣1，b=﹣2，则a2=1，b2=4，因而a2＜b2，错误；B、若a＞|b|，则a2＞b2一定正确；C、a=﹣1，b=1，则|a|=|b|，故C不对；D、a=﹣1，b=1，则a2=b2，故D不对．故选B．点评：利用特殊值法验证一些式子的准确性是有效的方法．5．（2014•镇海区模拟）若不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≥2C．m＜1D．1≤m＜2考点：解一元一次不等式组．分析：本题实际就是求这两个不等式的解集．先根据第一个不等式中x的取值，分析m的取值．解答：解：原不等式组可化为（1）和（2），（1）解集为m≤1；（2）有解可得m＜2，则由（2）有解可得m＜2．点评：本题除用代数法外，还可画出数轴，表示出解集，与四个选项对照即可．同学们可以自己试一下．6．不等式组的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，最后把不等式组的解集在数轴表示出来，即可选出答案．解答：解：，∵解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≥2，∴不等式组的解集为x≥2，在数轴上表示不等式组的解集为：，故选C．点评：本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集等知识点，注意：包括该点用黑点，不包括该点用圆圈，找不等式组解集的规律之一是同大取大．7．若不等式组无解，则不等式组的解集是（）A．2﹣b＜x＜2﹣a B．b﹣2＜x＜a﹣2C．2﹣a＜x＜2﹣b D．无解考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：根据不等式组无解求出a≥b，根据不等式的性质求出2﹣a≤2﹣b，根据上式和找不等式组解集的规律找出即可．解答：解：∵不等式组无解，∴a≥b，∴﹣a≤﹣b，∴2﹣a≤2﹣b，∴不等式组的解集是2﹣a＜x＜2﹣b，点评：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的应用，关键是求出不等式2﹣a≤2﹣b，题目比较好，有一定的难度．8．已知m为整数，则解集可以为﹣1＜x＜1的不等式组是（）A．B．C．D．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题；压轴题．分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答：解：A、不等式组的解集大于1，不等式组的解集不同，故本选项错误；B、∵m＞0时，不等式组的解集是x＜，∴此时不等式组的解集不同；但m＜0时，不等式组的解集是＜x＜1，∴此时不等式组的解集相同，故本选项正确；C、不等式组的解集大于1，故本选项错误；D、∵m＞0时，不等式组的解集是＜x＜1，m＜0时，不等式组的解集是x＜，∴此时不等式组的解集不同，故本选项错误；故选B．点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．9．（2009•大丰市一模）若a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a﹣2＞b﹣2B．﹣2a＜﹣2b C．2﹣a＞2﹣b D．m2a＞m2b考点：不等式的性质．分析：看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．解答：解：A、不等式两边都减2，不等号的方向不变，错误；B、不等式两边都乘﹣2，不等号的方向改变，错误；C、不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，都加2后，不变，正确；D、m=0时，错误；故选C．点评：不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．10．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞8B．m≥8C．m＜8D．m≤8考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：根据不等式取解集的方法，大大小小无解，可知m和8之间的大小关系，求出m的范围即可．解答：解：因为不等式组无解，即x＜8与x＞m无公共解集，利用数轴可知m≥8．故选B．点评：本题考查不等式解集的表示方法，根据大大小小无解，也就是没有中间（公共部分）来确定m 的范围．做题时注意m=8时也满足不等式无解的情况．二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）11．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a+5和2x＞4的解集相同，则a的值为7．考点：解一元一次不等式．专题：计算题．分析：先求出第二个不等式的解集，再根据两个不等式的解集相同，表示出第一个不等式的解集并列方程求解即可得到a的值．解答：解：由2x＞4得x＞2，∵两个不等式的解集相同，∴由（a﹣1）x＞a+5可得x＞，∴=2，解得a=7．故答案为：7．点评：本题考查了解一元一次不等式，表示出第一个不等式的解集，再根据解集相同列出关于a的方程是解题的关键．12．不等式﹣2x＞4的解集是x＜﹣2；不等式x﹣1≤0的非负整数解为1，0．考点：一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：第一个不等式左右两边除以﹣2，不等号方向改变，即可求出解集；第二个不等式移项求出解集，找出解集中的非负整数解即可．解答：解：﹣2x＞4，解得：x＜﹣2；解得：x≤0，则不等式的非负整数解为1，0．故答案为：x＜﹣2；1，0点评：此题考查了一元一次不等式的解法，以及一元一次不等式的整数解，熟练不等式的解法是解本题的关键．13．如果不等式组无解，那么a的取值范围是a≤2．考点：解一元一次不等式组．分析：不等式组无解，则x必定大于较大的数，小于较小的数，因此可知a必定不大于2，由此可解出a的取值．解答：解：由不等式无解可知a≤2．故填≤2．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解．可根据“比大的大，比小的小，无解”来解此题．14．若不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是9≤m＜12．考点：一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．解答：解：不等式3x﹣m≤0的解集是x≤，∵正整数解是1，2，3，∴m的取值范围是3≤＜4即9≤m＜12．点评：考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥3．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：由题意分别解出不等式组中的两个不等式，由题意不等式的解集为无解，再根据求不等式组解集的口诀：大大小小找不到（无解）来求出a的范围．解答：解：由x﹣a＞0，∴x＞a，由5﹣2x≥﹣1移项整理得，2x≤6，又不等式组无解，∴a≥3．点评：主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集为无解反过来求a的范围．16．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x+4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有6个．考点：一次函数与一元一次不等式；解一元一次不等式．专题：计算题；压轴题．分析：根据已知得出不等式x+4≥0和x＜0，求出两不等式的解集，再求出其整数解即可．解答：解：∵已知点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y≤x+4，∴0＜y＜4，x＜0，又∵x、y为整数，∴当y=1时，x可取﹣3，﹣2，﹣1，当y=2时，x可取﹣1，﹣2，当y=3时，x可取﹣1．则P坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1）共6个．故答案为：6点评：本题考查了解一元一次不等式和一次函数的应用，关键是根据题意得出不等式x+4≥0和x＜0，主要培养学生的理解能力和计算能力．17．如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是m≥2．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出第一个不等式的解集，再根据“同小取小”解答．解答：解：，解不等式①，2x﹣1＞3x﹣3，2x﹣3x＞﹣3+1，﹣x＞﹣2，x＜2，∵不等式组的解集是x＜2，∴m≥2．故答案为：m≥2．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），18．6﹣的整数部分是3．考点：估算无理数的大小；不等式的性质．专题：推理填空题．分析：根据二次根式的性质求出2＜＜3，根据不等式的性质推出4＞6﹣＞3即可．解答：解：∵2＜＜3，∴﹣2＞﹣＞﹣3，∴6﹣2＞6﹣＞6﹣3，即4＞6﹣＞3，∴6﹣的整数部分是3，故答案为：3．点评：本题考查了对不等式的性质，估计无理数的大小等知识点的应用，解此题的关键是确定的范围，此题是一道比较典型的题目．19．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是﹣1≤a＜﹣．考点：一元一次不等式的整数解．专题：计算题；分类讨论．分析：首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．注意当x的系数含有字母时要分情况讨论．解答：解：不等式ax+3≥0的解集为：（1）a＞0时，x≥﹣，正整数解一定有无数个．故不满足条件．（2）a=0时，无论x取何值，不等式恒成立；（3）当a＜0时，x≤﹣，则3≤﹣＜4，解得﹣1≤a＜﹣．故a的取值范围是﹣1≤a＜﹣．点评：本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．当x的系数含有字母时要分情况讨论．20．若不等式组无解，则m的取值范围是m≥8．考点：解一元一次不等式组．分析：不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分，可利用数轴进行求解．解答：解：x＜8在数轴上表示点8左边的部分，x＞m表示点m右边的部分．当点m在8这点或这点的右边时，两个不等式没有公共部分，即不等式组无解．则m≥8．故答案为：m≥8．点评：本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值，利用数轴能直观的得到，易于理解．三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）21．（2014•石景山区一模）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案考点：一元一次不等式的应用．分析：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（x﹣50）台，根据两种显示器的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可；（2）由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式x≤50﹣x与（1）的结论构成不等式组，求出其解即可．解答：解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（x﹣50）台，由题意，得1000x+2000（50﹣x）≤77000解得：x≥23．∴该公司至少购进甲型显示器23台．（2）依题意可列不等式：x≤50﹣x，解得：x≤25．∴23≤x≤25．∵x为整数，∴x=23，24，25．∴购买方案有：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台．点评：本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键．22．解不等式：1﹣≥，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：首先不等式两边乘以各分母的最小公倍数，然后移项、合并同类项，再把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：去分母，原不等式的两边同时乘以6，得6﹣3x+1≥2x+2，移项、合并同类项，得5x≤5，不等式的两边同时除以5，得x≤1．在数轴上表示为：点评：本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集．把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．23．（2009•黔东南州）若不等式组无解，求m的取值范围．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分．解答：解：∵原不等式组无解，∴可得到：m+1≤2m﹣1，解这个关于m的不等式得：m≥2，∴m的取值范围是m≥2．点评：解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．24．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）（2）．考点：解一元一次不等式；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：（1）去括号得到3x+6﹣1≥8﹣2x+2，移项、合并同类项得出5x≥5，不等式的两边都除以5，即可求出答案；（2）去分母后去括号得：28﹣8x+36＞9x+24﹣12x，移项、合并同类项得出﹣5x＞﹣40，不等式的两边都除以﹣5，即可求出答案．解答：（1）解：去括号得：3x+6﹣1≥8﹣2x+2，移项得：3x+2x≥8+2﹣6+1，合并同类项得：5x≥5，∴x≥1．在数轴上表示不等式的解集是：．（2）解：去分母得：4（7﹣2x）+36＞3（3x+8）﹣12x，去括号得：28﹣8x+36＞9x+24﹣12x，移项得：﹣8x﹣9x+12x＞24﹣28﹣36，合并同类项得：﹣5x＞﹣40，∴x＜8，在数轴上表示不等式的解集是：点评：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点的运用，主要检查学生能否运用不等式的性质正确解不等式，注意：不等式的两边都除以一个负数，不等号的方向应改变．25．阅读下列材料，然后解答后面的问题．求下列不等式的解集：（x+2）（x﹣3）＞0我们知道：“两个有理数相乘，同号得正”，则：或解得：x＞3或x＜﹣2．求下列不等式的解集：①；②．考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；不等式的解集．专题：阅读型．分析：①根据两个有理数相乘，异号得负得出不等式组和，求出不等式的解集即可；②化为＞0，根据两个有理数相乘，同号得正得出和，求出不等式组的解集即可．解答：①解：∵两个有理数相乘，异号得负，∴或，解得：空集或﹣1＜x＜5，即不等式的解集为﹣1＜x＜5．②解：﹣1＞0，＞0，即＞0，∵两个有理数相乘，同号得正，∴或，解得：6＜x＜7或空集，即不等式的解集为6＜x＜7．点评：本题考查了有理数的除法，不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，关键是正确得出两个不等式组，题目具有一定的代表性，有一定的难度．26．（2011•眉山）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．（1）求运往两地的数量各是多少立方米（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A 地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E 两地哪几种方案（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：A地B地C地运往D地（元/立方米）222020运往E地（元/立方米）202221在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．专题：优选方案问题．分析：（1）设运往E地x立方米，由题意可列出关于x的方程，求出x的值即可；（2）由题意列出关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围，再根据a是整数可得出a 的值，进而可求出答案；（3）根据（1）中的两种方案求出其费用即可．解答：解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10=140，解得：x=50，∴2x﹣10=90．答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；（2）由题意可得，，解得：20＜a≤22，∵a是整数，∴a=21或22，∴有如下两种方案：第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；（3）第一种方案共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元），第二种方案共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元），所以，第一种方案的总费用最少．点评：本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次不等式组及一元一次方程是解答此题的关键．27．解不等式：3+＞x，并将解集在数轴上表示出了．考点：解一元一次不等式；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：去分母得出9+x+1＞3x，移项、合并同类项地：﹣2x＞﹣10，不等式的两边都除以﹣2，即可求出答案．解答：解：去分母得：9+x+1＞3x，移项得：x﹣3x＞﹣1﹣9，合并同类项地：﹣2x＞﹣10，解得：x＜5，在数轴上表示不等式的解集是：．点评：本题考查了用不等式的性质解一元一次不等式，关键是理解不等式的性质，不等式的性质是①不等式的两边都乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以或除以一个负数，不等号的方向改变．28．（2012•栖霞市二模）解不等式组并写出它的正整数解．考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．分析：根据不等式的性质求出每个不等式得解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，即不等式组的正整数解是1，2．点评：本题考查了不等式得性质、解一元一次不等式（组）、不等式组的整数解等知识点，能根据不等式得解集找出不等式组的解集是解此题的关键．29．阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜＜2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分﹣1，根据以上的内容，解答下面的问题：（1）的整数部分是2，小数部分是﹣2；（2）1+的整数部分是2，小数部分是﹣1；（3）若设2+整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．考点：估算无理数的大小；代数式求值；不等式的性质．专题：计算题；阅读型．分析：（1）求出的范围是2＜＜3，即可求出答案；（2）求出的范围是1＜＜2，求出1+的范围即可；（3）求出的范围，推出2+的范围，求出x、y的值，代入即可．解答：解：（1）∵2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分是﹣2，故答案为：2，﹣2．（2）∵1＜＜2，∴2＜1+＜3，∴1+的整数部分是2，小数部分是1+﹣2=﹣1，故答案为：2，．（3）∵1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴x=3，y=2+﹣3=﹣1，∴x﹣y=3﹣（﹣1）=．点评：本题考查了估计无理数的大小，不等式的性质，代数式求值等知识点的应用，关键是关键题意求出无理数的取值范围，如2＜＜3，1＜＜2，1＜＜2．30．（2009•雅安）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并求该不等式组所有整数解的和．．考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．专题：计算题．分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，找出不等式组的整数解，相加即可．解答：解：，∵解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，在数轴上表示不等式组的解集为：，∵不等式组的整数解为﹣1，0，1，∴不等式组所有整数解的和是：﹣1+0+1=0．点评：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点的应用，关键是求出不等式组的解集，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》经典测试题含解析
新数学《不等式》复习资料一、选择题1．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.2．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤()2n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得22m n m n+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.3．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．43B ．2log 3C ．25D ．24log 3【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出2a b+的最小值后可得221a ba b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可得c 的最大值. 【详解】因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立. 又因为2222abca b c++++=，故2114211212133a b ca b a b +++==+≤+=--，当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24log 3c =. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.5．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）. A．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得t <或t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.6．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.7．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.8．已知函数24,0()(2)1,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.9．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,3212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．34 B ．33C ．32D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即3AF BF AB +≤，所以3MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14πB ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩„…„的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【答案】A 【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.14．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形. 故选：A .【点睛】 本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.15．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．12k > B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D【解析】【分析】 联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】 解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<． 故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．16．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==， 即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.17．已知正数x ，y 满足144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9B ．6C ．94D ．52【答案】C【分析】先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足144x y +=， 11414149()14524444y x y x x y x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当4144y x x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.18．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。
【新课标】备战高考数学专题复习测试题_不等式(文科)
高考第一轮复习专题素质测试题不等式（文科）班别______学号______姓名_______评价______ （考试时间60分钟，满分120分，试题设计：隆光诚）一、选择题（每小题5分，共80分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1.（09四川）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c d >，则“a>b”是“a c b d ->-”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（06上海）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）A.11a b< < C.22a b < D.||||a b > 3.（08四川）不等式2||2x x -<的解集为（ ）A.(1,2)-B.(1,1)-C.(2,1)-D.(2,2)- 4．（10江西）不等式22x x ->-的解集是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,)-∞+∞C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞5.（08湖北）函数1()1f x n x=） A.),2[]4,(+∞⋃--∞ B. (4,0)(0,1)-⋃ C. ]1,0()0,4[⋃- D. )1,0()0,4[⋃-6.（08山东）不等式25(1)x x +-≥2的解集是（ ）A.[-3，12]B.[-12，3] C.(]1,11,32⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭D.(]1,11,32⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭7.（06安徽）对于函数()sin 1(0)sin x f x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值8.（06陕西）设x ，y 为正数， 则(x + y)(1x + 4y)的最小值为（ ）A. 6B.9C.12D.15 9.（07浙江）已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （ ）A.21≤abB. 21≥ab C.222≥+b aD.322≤+b a10．（08天津）已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为（ ）A ．[]11-，B ．[]22-，C ．[]21-，D ．[]12-，11．（08江西）已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞-12．（09重庆）已知0,0a b >>，则11a b++ ） A ．2B．C ．4D ．513. （09天津）设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为（ ）A ．2B ．23 C ． 1 D ．21 14.（10辽宁）设m ba ==52，且112a b+=，则m =（ ）B.10C.20D.10015.（06江苏）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A.||||||c b c a b a -+-≤- B.aa a a 1122+≥+C.21||≥-+-ba b a D.a a a a -+≤+-+213 16．（05福建）下列结论正确的是（ ） A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>x x x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 一、选择题答题卡：二、填空题（每小题5分，共40分. 将你认为正确的答案填写在空格上） 17.（08北京）不等式121>+-x x 的解集是 . 18.（09湖北）设集合}1log {2<=x x A ， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=121x x x B ， 则A B = .19. (10全国Ⅰ)不等式22032x x x -++ 的解集是 .20.（06江苏）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 .21.（10山东） 已知(,)x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为____________． 22.（08江苏）已知,,x y z R +∈，满足230x y z -+=，则2y xz 的最小值是 ．23．（08辽宁）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．24.（10安徽）若a >0，b>0，a + b =2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 .(写出所有正确命题的编号)． ①1≤ab ； ②2≤+b a ； ③222≥+b a ； ④333≥+b a ；⑤211≥+ba参考答案：一、选择题答题卡：二、填空题17.），（2-∞-.18.），（20. 19.），（），（∞+-212 .20.{}1,223223=+-<<--x x x 或.21. ____3____． 22. 3 ． 23．3． 24.①③⑤ .。
高考数学大一轮复习 不等式的概念和性质精品试题 文(
精品题库试题文数1.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 已知，现有下列不等式：①；②；③；④，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 1.因为，所以，又，所以，故①正确，对于②，当时，故②错误，因为，所以，故③正确，若，，所以，，故④错误. 所以正确的个数为2个.2.(2012长春高三联合测试, 9, 5分) 已知m∈(b, a) 且m≠0, 的取值范围是, 则实数a, b满足( )A. a>b>0B. a>0>bC. a<0<bD. a<b<0[解析] 2.由题知b<a, 从而排除选项C, D. 若ab<0, 则由>可得a<b, 不合题意, 故选项B不正确. 从而知A正确.3.(2012山东日照高三第二次段考，4，5分)若，则（）A. B. C.D.[解析] 3. ∵，∴；∵，∴.4.(2013福建厦门一月质量检测，2,5分)下列命题中，真命题是A．R,sinx<lB．x∈R，C．若a>b，则ac>bcD．若x>l且y>2，则x+y>3[解析] 4.A中，当时，，所以A是假命题；B中，对任意实数，都有，所以B是假命题；C中，当时，，所以C是假命题；D中，不等式x>l与y>2是同向不等式,相加得，所以D是真命题.5.(2013浙江，10,5分) 设a, b∈R, 定义运算“∧” 和“∨” 如下:a∧b=a∨b=若正数a, b, c, d满足ab≥4, c+d≤4, 则( )A. a∧b≥2, c∧d≤2B. a∧b≥2, c∨d≥2C. a∨b≥2, c∧d≤2D. a∨b≥2, c∨d≥2[解析] 5.不妨设a≤b, c≤d, 则a∨b=b, c∧d=c.若b< 2, 则a< 2, ∴ab< 4, 与ab≥4矛盾, ∴b≥2. 故a∨b≥2.若c> 2, 则d> 2, ∴c+d> 4, 与c+d≤4矛盾, ∴c≤2. 故c∧d≤2. 故选C6.(2013浙江，16,5分) 设a, b∈R, 若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1) 2, 则ab= .[解析] 6.令x=0, 有0≤b≤1, 令x=1, 有a+b=0,∴b=-a, ∴x4-x3-b(x-1) =(x-1) (x3-b).由(x-1) (x3-b) ≥0对x≥0恒成立知b=1, 否则b∈[0,1), 当x∈(, 1) 时, 有x-1< 0, x3-b> 0. 从而(x-1) (x3-b) < 0, 矛盾. ∴b=1, 故a=-1, 即ab=-17.(山西省忻州一中、康杰一中、临汾一中、长治一中四校2014届高三第三次联考) 设函数求函数的最小值;若恒成立，求实数的取值范围.[解析] 7.（1）由题意得所以f（x）在上单调递减，在上单调递增.所以当时取得最小值此时（2）的图像恒过点过由图象可知.答案和解析文数[答案] 1.B[解析] 1.因为，所以，又，所以，故①正确，对于②，当时，故②错误，因为，所以，故③正确，若，，所以，，故④错误. 所以正确的个数为2个.[答案] 2.A[解析] 2.由题知b<a, 从而排除选项C, D. 若ab<0, 则由>可得a<b, 不合题意, 故选项B不正确. 从而知A正确.[答案] 3.C[解析] 3. ∵，∴；∵，∴.[答案] 4.D[解析] 4.A中，当时，，所以A是假命题；B中，对任意实数，都有，所以B是假命题；C中，当时，，所以C是假命题；D中，不等式x>l与y>2是同向不等式,相加得，所以D是真命题.[答案] 5.C[解析] 5.不妨设a≤b, c≤d, 则a∨b=b, c∧d=c.若b< 2, 则a< 2, ∴ab< 4, 与ab≥4矛盾, ∴b≥2. 故a∨b≥2.若c> 2, 则d> 2, ∴c+d> 4, 与c+d≤4矛盾, ∴c≤2. 故c∧d≤2. 故选C[答案] 6. -1[解析] 6.令x=0, 有0≤b≤1, 令x=1, 有a+b=0,∴b=-a, ∴x4-x3-b(x-1) =(x-1) (x3-b).由(x-1) (x3-b) ≥0对x≥0恒成立知b=1, 否则b∈[0,1), 当x∈(, 1) 时, 有x-1< 0, x3-b> 0. 从而(x-1) (x3-b) < 0, 矛盾. ∴b=1, 故a=-1, 即ab=-1[答案] 7.（答案详见解析）[解析] 7.（1）由题意得所以 f（x）在上单调递减，在上单调递增.所以当时取得最小值此时（2）的图像恒过点过由图象可知.。
不等式测试
不等式测试不等式测试题班级姓名得分.一.选择题:1.如果a_gt;b_gt;c,a＋b＋c=0,则有………………………………………………………………………()(A)a·b_gt;a·c(B)a·c_gt;b·c(C)a·b_gt;c·b (D) a2_gt;b2_gt;c22.如果实数a.b.c满足a－c_lt;b,则下列不等式成立的是…………………………………………( )(A)a_gt;b－c(B) a_lt;b－c (C)a_gt;c－b (D)a_lt;b＋c3.设a.b是实数,给出下列条件:⑴a＋b_gt;1;⑵a＋b=2;⑶a＋b_gt;2;⑷a2＋b2_gt;2;⑸a·b_gt;1,能推出〝a.b中至少有一个大于1〞的条件是……………………………………………………………()(A)⑵⑶ (B)⑴⑵⑶(C)⑶⑷⑸(D)⑶4.给出下列命题,其中是真命题的是…………………………………………………………………()(A) (B)(C)a2_gt;b2成立的充分非必要条件是a_lt;b_lt;0 (D)a－b=a＋b成立的充要条件是ab_lt;05.与__lt;3同解的不等式是……………………………………………………………………………()(A) _＋_lt;3＋(B) _＋_lt;3＋(C) __lt;3(D) __lt;36.已知不等式:⑴;⑵;⑶;要同时满足⑴.⑵的_也满足⑶,则实数m的取值范围是…………………………………………………………( )(A)m_gt;9 (B) m=9 (C) m≤9(D)0_lt;m≤97.不等式的解集为………………………………………………………………()(A)[1,＋∞)(B)(1,＋∞)(C) [1,＋∞)∪{－2} (D) [－2,＋∞)8.偶函数y=在_∈(0,＋∞)时,=_－1,则的解集为…………………()(A)(－1,0) (B) (1,2)∪(－∞,0) (C) (0,2) (D)(1,2)9.不等式的解集为(－,2),则不等式的解集为…………()(A)(－3,) (B)(－,＋∞)∪(－∞,－3)(C) (－2,) (D) (,＋∞)∪(－∞,－2)10.若实数a.b满足a＋b=2,则的最小值为………………………………………………()(A) 18(B) 6 (C) 2(D) 211.已知实数_.y满足_2＋y2=1,则有……………………………………………()(A)最小值无最大值 (B) 最大值1无最小值(C)最小值和最大值1 (D) 最小值最大值112.已知=－_－_3,如果a＋b_gt;0,b＋c_gt;0,c＋a_gt;0则的值……………()(A) 小于0(B) 大于0(C) 等于0(D) 符号不确定二.填空题:13.不等式的解集为;14.设一个三角形三边长分别为_.y,,则最长边与最短边的夹角为;15.为了适应社会发展需要,国家决定降低某种存款的利息,现有四种降息方案:⑴先降息p%,后降息q%(p≠q);⑵先降息q%,后降息p%(p≠q);⑶先降息%,再降息%;⑷一次降息(p＋q)%.在上述四种方案中,降息最少的方案是;16.已知_＋y=1(__gt;0,y_gt;0),求的最小值,在下列空格处填写适当内容:解:∵_＋y=1(__gt;0,y_gt;0)∴令_=,y=(其中⑴;⑵)则=≥3＋2,此时当⑶时,取得最小值3＋2说明:⑴指出用了什么方法;⑵指出最合理的范围;⑶指出_.y的取值.三.解答题:17.若a.b.c是不全相等的正数,求证:18.解不等式:19.已知对于_的所有实数值,二次函数=的值都是非负实数,求关于_的方程的根的取值范围.20.某县粮食部门收购晚稻的价格是120元/担,征税标准是每100元征8元(称税率为8个百分点,即8%),原计划在该县收购m万担,为了减轻农民负担,税务部门决定把税率降低_个百分点,这样收购量预计可以增加2_个百分点.⑴把税收y(万元)表示为_的函数关系;⑵要使得调节税率后的税收不低于原计划的78%,试确定_的取值范围.。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》经典测试题及答案
【最新】数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a的取值范围是5a ≤， 故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.2．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.3．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 BCD【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．4．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2【答案】D 【解析】 【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.5．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.6．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.7．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.8．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.9．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,3212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A 73B 35C 33D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C A B ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭335254≥⨯当且仅当5tan B =时等号成立. 故选：B . 【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】 【分析】把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ） ＝13(366b aa b+++12) ≥13×(15+266b a a b⋅=）9 等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等 所以36a b +的最小值为9． 故选：D ． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题12．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A 3B 3C 3D 3【答案】B 【解析】 【分析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即3AF BF AB +≤，所以3MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．13．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．14．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数； 又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.15．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩剟„，则x y y +的取值范围是( )A．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式121x y x +⎧⎨-⎩剟„表示的平面区域，整理得：x y y +1x y =+，利用yx 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得113x y -<-„，问题得解． 【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：x y y+1xy =+ 易知yk x=表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，yk x=取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1， 故31k -≤<-，则113x y -<-„， 故203x y y +<„. 故选B 【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．16．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形. 故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.17．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）A 17B ．342C ．32D ．172【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.18．已知等差数列{}n a的公差0d≠，且1313,,a a a成等比数列，若11a=，nS为数列{}n a 的前n项和，则263nnSa++的最小值为（）A．4 B．3 C．232D．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d+=+，求出公差d的值，得到数列{}na的通项公式，前n项和，从而可得263nnSa++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a=Q，1a、3a、13a成等比数列，2(12)112d d∴+=+．得2d=或0d=（舍去），21na n∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．19．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.20．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。
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高三文科不等式检测题
1、已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. c b a ()-<0 C. cb ab 22< D. ac a c ()->0
2、若
011<<
b
a
，则下列不等式：① ||||b a >；②ab b a <+；③2
>+
b
a a
b ；④
b a b
a
-<22
中，正确的不等式有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、已知集合M }22|{32
2x x x >=，N }0)1(log |{2
1>-=x x 则M N ＝ ( )
（A ）)2
3
,0( （B ）)
2,2
3(
（C ）)2,3
2
( （D ）（0，1）
4、不等式21x <的解集为
A ．{|11}x x -<<
B ．{|1}x x <
C ．{|1}x x >-
D ．{|11}x x x <->或 5、不等式022>++bx ax 的解集是)3
1
,21(-
，则a ＋b 的值是 ( )
（A ）10 （B ）－10 （C ）14
（D ）－14
6、下列不等式中与0)2lg(≤-x 同解的是 ( ) （A ）0)2)(3(≥--x x （B ）
023≥--x
x
（C ）
3
2≥--x x （D ）0)2)(3(>--x x
7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4
y
)的最小值为（ ）
A ．15
B ．12
C ．9
D ．6
8. 设实数x , y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最小值为（ ）
A. 6-
B. 3-
C. 5
D. 27
9. . 若点y)x,（在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-0220
102y x y x 表示的平面区域内运动， 则y x t -=的取值范围是 （ ）
]1,2.[--A ]1,2.[-B ]2,1.[-C ]2,1.[D
10. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原
料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 （ ） A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
11. 不等式
21>-x
的解集是 。
12. ）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____
13. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x
y ，则目标函数y x z +=2的取值范围是
14. 不等式22
112
2
log (325)log (45)x x x x --≤+-的解集是 。
15. （12分）已知2f (x )3x a (6a )x 6.=-+-+（1）解关于a 的不等式f (1)0;> （2）若不等式f (x )b >的解集为()1,3,-求实数a,b 的值 .
16.（12分）如图，公园要把一块边长为2a 的等边三角形ABC 的边角地修成草坪.D E 把草坪分成面积相等的两部分，D 在A B 上，E 在A C 上. （1）设AD x (x a ),DE y,=≥=试用x 表示函数y .
(2)如果D E 是灌溉水管，希望它最短，D E 的位置应该在哪里？
不等式参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11. )21
,0( 12.
116
. 13. [3,9] 14. 5{|3}4
x x -≤<-
.。