基于模拟退火的OD矩阵估计研究

东方企业文化·百家论坛 2011年3月
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基于模拟退火的OD 矩阵估计研究
刘 阔
（沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳，110034）
摘 要：由路段交通量估计交通起止点矩阵OD 时，一般都要求解非线性的目标函数，使用通常的随机搜索算法容易陷入局部最优的陷阱。

本文将模拟退火算法应用于OD 估计问题，使用双层规划的OD 估计模型，并给出了启发性算法。

关键字：模拟退火 OD 估计模型 全局最优 中图分类号：U494.123 文献标识码：A 文章编号：1672—7355（2011）03—0195—01
一、OD 矩阵估计模型
令所要估计的OD 矩阵为一OD 流向量，即将待估计ＯＤ矩阵按列展开成列向量，记为()T
P
p
t
t
t
t
,......, (1)
=
，
其中P 为OD 对的总数量，T 位转置符号；
()
T
P
p t t t t ˆ,......ˆ,......ˆˆ1=为现状ＯＤ流数据；
()T
A a v v v v ˆ,......ˆ,......ˆˆ1=为路段观测流量数据，其中Ａ为所观测
的路段的总数量。

通过最小化现状ＯＤ矩阵t ˆ与待估计矩
阵t ，观测路段流量v
ˆ与估计路段流量v 之间的平方距离，建立如下的最小二乘模型：
()()()()()v
v W v
v t t U t t t Z T T
ˆˆˆˆmin 1
1−−+−−=−− 其中Ｕ和Ｗ分别为t ˆ
和v
ˆ的方差矩阵，在缺少相关数据的情况下，可使用单位矩阵代替，v 采用Logit 随机用户平衡模型确定：
()∑∑∑+
=p
k
pk
pk
a
a f
f
C v Z ln 1
min θ
双层规划OD 矩阵估计模型的基本思路是将上层规划中求得的ＯＤ流向量t （第一步为历史OD 矩阵）传入下层规划中求解Logit 随机用户平衡模型，得到的路段流向量v ，然后将v 回传至上层规划中，通过求解最小二乘模型改进OD 矩阵估计值t ，如满足收敛条件，则输出结果t ；否则将改进的OD 流向量t 再传入下层规划中，重复执行上述步骤，直至满足收敛条件。

二、模拟退火算法简介
1982年，Kirkpatrick 等首先意识到该过程与一般组合优化问题之间存在的相似性，为此把退火思想引入组合优化问题领域，结合Metropolis 准则提出一种求解大规模组合优化问题，特别是NP 完全组合优化问题的有效近似算法，即Simulated Annealing Algorithm 。

这种算法总体思路是：在控制参数缓缓下降的过程中，利用Metropolis 随机搜索算法实现每一参数下的准平衡，与固体物质退火过程类似，控制参数的值也必须缓慢衰减，才能确保模拟退火算法最终趋于组合优化问题的整体最优解集。

设组合优化问题的一个解i 及其目标函数f （i ）分别与固体的一个微观状态i 及其能量E i 等价，对于随算法进程递减其值的控制参数的每一取值，算法持续进行“产生新解一判断一接受／舍弃”的迭代过程，它在约束范围内随机产生组合优化问题解的序列，并由与Metropolis 准则对应的转移概率P i 确定是否接受从当前解i 到新解j 的转移。

式中的t 表示控制参数，开始取较大的值（与固体的熔解温度相
对应），在进行足够多的转移后，缓慢减小t 的值，如此重复，直至满足某个停火准则时算法终止。

()()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−≤=→否则
时当t i f j f j i P j f i f exp 1
模拟退火算法依据Metropolis 准则接受新解，在搜索
方法上与传统的随机搜索方法不同，它在搜索过程中不仅接受使目标函数值变“好”的试探点，而且还能够以一定的概率接受使目标函数值变“差”的试探点，接受概率随着温度的下降逐渐减少，这种思想使得模拟退火算法几乎不受初始值的影响，最大限度地得到全局最优解，避免陷入局部最优的陷阱中。

三、合并的OD 估计模型及其模拟退火算法 将前面介绍的双层规划估计模型合并为：
()()()()∑∑∑++−−+−−=−−p k
pk pk a
a T T f f C v v W v v t t U t
t Z ln 1ˆˆˆˆmin 11θ
其求解算法是：
Step1 初始化l=0，m=0，S=S 0，令当前ＯＤ流向量t 等于现状ＯＤ流向量t 0的一定倍数，当前路段流向量v 等于现状路段流向量v 0的一定倍数，计算当前函数值Z=Z （t ，v ），并记当前最优函数值Z*＝Z ；
Step2 在约束范围内产生随机矩阵T ，并令v ′=v+T ，计算函数值Z ′=Z （t ，v ′）；
Step3 若Z ′Z*≦，则令Z*= Z ′，Z= Z ′，同时令v*= v ′，v= v ′，t*=t ，l=0；若Z ′Z ≦，则令Z= Z ′，v= v ′，并记l=l+1；否则，产生（0，1）上的均匀分布随机数α，若exp[（Z- Z ′）/S]>α，则令v= v ′，Z= Z ′，l=l+1；
Step4 若l>l 0（l 0为事先确定的控制参数），则转Step5，否则转Step2；
Step5 在约束范围内产生随机矩阵P ，并令t ′=t+p ，计算函数值Z ′=Z （t ′，v ）；
Step6若Z ′Z*≦，则令Z*= Z ′，Z= Z ′，同时令t*=t ′，t=t ′，v*=v ，m=0；若Z ′Z ≦，则令Z= Z ′，t=t ′，并记m=m+1；否则，产生（0，1）上的均匀分布随机数α，若xp[（Z- Z ′）/S]>α，则令t=t ′，Z= Z ′，m=m+1；
Step7 若m>m 0（m 0为事先确定的控制参数），则转Step8，否则转Step5；
Step8 令S=λS ，0<λ<1，若S<S f ，（S f 为事先确定的控制参数），则输出t*，否则转Step2。

在计算路径流量时，有效路径集R 的确定原则是，若某ＯＤ对有多条可行路径，将各条路径出行成本与该OD 对下最小的路径出行成本比较，若大于一定的倍数，则认为该路径不可行。

使用模拟退火算法在三种不同的初始值情况下都能得到基本一致的估计值，说明该算法受初始值的影响不大。

由模拟退火算法随机搜索的特性以及所依据的Metropolis 取舍准则，可知该算法的结果是全局最优的。