图像处理与分析作业汇总

)
]

F
(u

u0
,
v

v0
)
频域向右平移
(u0
,
v0
)
对应空域乘以
e
j
2
(
u0 x M
,
v0 y N
)
特别地， F[ f (x, y)(1)xy ] F (u M ,v N ) 表示空域乘以 (1)xy 可以将频域中 22
的图像移动到中间位置，即频域图像中心化。
2)平均性和对称性
0 0
6000 5000 4000 3000 2000 1000
0 0
原始直方图
50
100
150
200
250
第一次均衡化的直方图
50
100
150
200
250
6000
第二次均衡化的直方图
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
50
100
150
200
250
由结果可以看出，第二次均衡化后的直方图与第一次的相同。
目标：
2
2
根据傅里叶变换的频域平移的性质
[f (x,y)e j2 (u0x/M ] v0y/N ) F(u u0,v v0)
u0
将
M 2
,
v0
N 2 代入性质中，得到空域的函数为：
1[F(u M ,v N )] f (x,y)e j (x y) f (x,y)( 1)x y
2
2
3、 观察如下所示图像。右边的图像这样得到：(a)在原始图像左边乘以(−1)x+y；(b) 计算
[f (x x0,y y0)] F(u,v)e j2 (u0x/M v0y/N )
答案：
证明：
M1 N1
[f (x x0,y y0)]
f (x
x0,y
y )e j2 (ux/M vy/N ) 0
x x0 0 y y0 0
M 1N 1
f (x ', y ')e j2 (u(x ' x0 )/M v(y ' y0)/N )
4.请围绕本周课堂讲授的内容编写至少一道习题，并给出自己的分析解答。题目 形式可以是填空题、选择题、判断对错题、计算题、证明题。发挥你的创造力吧。
（判断题）直方图均衡化一定能够将原始图像的直方图分布映射为整个灰度区 间上较为平坦的直方图分布。
答案：错。直方图均衡化具体增强效果不容易控制，可能出现直方图从一个极 端变为另一个极端，直观上来看图像由过暗变为过亮或者由过亮变为过暗。同 时，映射出的直方图也并非一定十分平坦。
第一次作业 1、完成课本习题 3.2(a)(b), 课本中文版《处理》第二版的 113 页。可以通过 matlab 帮助你 分析理解。
(a)
s

T
(r
)

1

1 (m
/
r
)
E
其中，r 为输入图像的亮度，s 为输出图像的亮度，E 控制函数坡度。 (b)假设图像为二值灰度图像，则 m 的值固定为 0.5 设计变换程序如下：
的傅立叶变换为
证明： 已知：
[e ] (x2 y2 )
e (u2 v2 )
证明：
[Ae ] A2 e 1
(u2 v2 )/2 2
2 2 2 2 (x2 y2 )
令G(u, v)
e
(u2
v2 )
,
g(x,y)
e (x2 y2 )
则根据傅里叶变换的相似性性质
[f (ax,by)]
|
1 ab
|
F(au
,
v b
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
3. (选做题)课本习题 3.6。对于离散的情况，用 matlab 进行一下实验。
假设 r 被归一化到[0,1]区间上，第一次直方图均衡化，有：
r
s T (r) pr ()d, 0 r 1
0
ps (s)

pr (r) |
dr ds
j0
j0
向上取整得到 s0 1, s1 3, s2 5, s3 6, s4 6, s5 7, s6 7, s7 7 计算后的灰度级和其对应概率为
灰度级 0
1
2
3
4
5
6
7
概率
0
0.17
0
0.25
0
0.21 0.23 0.14
均衡后的直方图示意图如下图所示：
0.25
[平均性]：
f (x, y)F(0, 0)
1
M 1 N 1
f (x, y)
MN x0 y0
频域中的零频率对应空域中像素点灰度值的平均值
[共轭对称性]： F(u, v) F*(u, v)
频域中的所有点都是共轭对称的，成对出现的。
[对称性]： | F(u,v) || F*(u. v) |
f ( x, y)e2j (x y)
f ( x, y)
因此，产生的新图像关于原始图像的上下左右镜像对称（中心对称）。
4.请围绕本周课堂讲授的内容编写至少一道习题，并给出自己的分析解答。题目 形式可以是填空题、选择题、判断对错题、计算题、证明题。发挥你的创造力吧。
题目：（证明题）请证明二维离散傅里叶变换的时移性成立
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
(2)
1 3 1 3 2 0 4
1 2 1
0 0 0
1
1 2 1
*
1
0 2
3
3 0 4 3 1
2 3 1 2 0
0 2 0 1 4
4
3
5 4
2

3
3 3
7 8
6 7 11 11 5
4 6 4 2 6
clc;clear;
x=0:0.01:1;
m=0.5;
E=1;
g=1./(1+(m./(double(x)+eps)).^E);
figure;plot(x,g);
通过改变E的值分别为1,5,10,20,50,100.有如下图像（顺序为从左向右、
从上到下依次对应）。
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
离散傅里叶变换(DFT); (c) 对变换取复共轭; (d) 计算傅里叶反变换; (d) 结果的实部再乘以 (−1)x+y。(用数学方法解释为什么会产生右图的效果。)
解：
由题意，设原始图像函数为 f (x,y)
则经过步骤（a） 得到 f (x,y)( 1)x y
经过步骤（b） 得到 质）
[f (x,y)( 1)x y ]
4 3 8 5 4
9
11
15 17
15
8
3 1 3 3 2 4 2
3.请围绕本周课堂讲授的内容编写至少一道习题，并给出自己的分析解答。题目 形式可以是填空题、选择题、判断对错题、计算题、证明题。发挥你的创造力吧。
（选择题）以下哪种滤波方式去除椒盐噪声的效果最好？（） A 中值滤波 B 均值滤波 C 拉普拉斯滤波 D 高斯滤波
F(u
M ,v 2
N 2
)
（频域平移的性
经过步骤（c） 得到 F *(u
M ,v 2
N) 2
F( (u
M ), (v 2
N )) 2
（共轭
对称性）
经过步骤（d） 得到
1[F( (u
M ), (v 2
N ))] 2
f ( x, y)e j (x y)（相
似性和频域平移性质）
经过步骤（f） 得到
f ( x, y)ej (x y)( 1)x y
sk

⌈
k
G
Pr
(rj
)
1
⌉
j 1
其中 G=8。
1
s0 T (r0 ) 8 Pr (rj ) 1 0.36 s1 T (r1) 8 Pr (rj ) 1 2.36
j0
j0
2
3
s2 T (r2 ) 8 Pr (rj ) 1 4.04 s3 T (r3) 8 Pr (rj ) 1 5.32
第二次作业
1、 完成课本数字图像处理第二版 114 页，习题 3.10。 解：
由图可知：
原图像的概率密度函数为 pr (r) 2r 2
灰度变换后的图像的概率密度函数为 pz (z) 2z
思路：将原图像和目标图像进行直方图匹配，从而找到变换函数。
对原图像直方图均衡化得到
s T (r)