应力状态和强度理论

tan 20 tan 21 1
(1 0 450 )
最大正应力与最大剪应力 所在平面成450
19
第七章 应力状态和强度理论
例：如图所示单元体，求图示 斜截面的应力及主应力、主平面。
60
解：1、求斜截面的应力
50 40 300
x 40MPa, y 60MPa,
x 50MPa, 30
2
(
x
y
)2
2 x
2
OA2
min
OC
CA2 x
y
2
(
x
y
)2
2 x
2
28
D
( x , x )
A1
B1
3 0
第七章 应力状态和强度理论
主平面的方位角
测量出两个角度 ，2 0 2 0
以D为基点，
转向
CD
， C顺A1时针2负0值。
o A2
2
20
D
( x , x )
B2
C 2 0
A1
3
受轴向拉( 压)杆 受扭杆件
1
4
第七章 应力状态和强度理论
2 13
4
2
单向应力状态
2
1
3
4
纯剪切应力状态
横力弯曲杆件 B
第七章 应力状态和强度理论
C 平面应力状态
B
C
5
Ⅲ. 应力状态的分类
第七章 应力状态和强度理论
一点处切应力等于零的截面称为主平面(principal plane)， 主平面上的正应力称为主应力(principal stress)。
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
（单位：MPa）
40 60 40 60 cos(60 0 )
2
2
(50) sin(60 0 ) 58.3MPa
20
x
y
2
sin 2
x cos 2
40 60 sin(600 ) (50) cos(600 ) 2
18.3MPa
第七章 应力状态和强度理论
m in
第七章 应力状态和强度理论
主平面的位置 y
x
由tan 2 0
2 x x
y
，得出两个角度 0； 0
2
min
0
0
±
2
x
max
0
( 0； 0
0
900 ) (
2
, )
2
y
当 x
y ,算出两个角度；其绝对值较小的角度对应
m
a
作用面。
x
当 x
y ,算出两个角度；其绝对值较小的角度对应
由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2为参变量的求 斜 截面上应力，的公式：
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
16
第七章 应力状态和强度理论
讨论：
b
n
1)、 的极值主应力以及主平面方位
x
x
d
0, 正应力有极值。
d 0
x
a y
c
y t
d d
0
( 3 0)
8
( 2 0)
(1 0)
第七章 应力状态和强度理论
研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以： 1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象
是由于在切应力最大的45˚斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭 转破坏是由于在45˚ 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。
2
)2
x2
A1
B1
第七章 应力状态和强度理论
② 主应力与主平面 主应力平圆面上：和τ =横0轴, 交点对应点的A面1和A2
OA1 max; OA2 min
主应力排序：按其代数值排序记作 1，2，3的。
证明得：
o A2 B2
C
2
( y , y )
D’
1
OA1 max OC CA1 x y
绘制步骤：
1、取直角坐标系—— o
x
y
2
2
2
x
y
2
2
2 x
2、取比例尺（严格按比例做图）。
0
** MPa
3、找点 D( x , x )，D( y , y )
OB1 x , B1D x , . OB2 y , B2 D' y ,
4、连 DD 交 轴于 C 点，以C为圆心，CD 为半径画圆——应力圆。
x
2
y
2
2 x
O
C
x y
2
(a)
23
第七章 应力状态和强度理论
⑵.应力圆的画法
应力圆上任一点的横、纵坐标分别对应该点某
y y
一截面上正应力和切应力。
y
D x x
R
(
x
y
)2
2 x
2
D x
R
D (x ,x)
c
D’
即应力圆上的点对应着单
(y ,y)
元体的面。
x y
2
24
第七章 应力状态和强度理论
C
C
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三 向应力状态)；
钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。
7
第七章 应力状态和强度理论
平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是1，也可能是2或 3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。
2 1
3 1
3 2
③ 斜截面上的应力
OF OC CF
( , ) E
2 D ( x , x )
OC CE cos(20 2 ) OC CD cos(20 2 ) OC CD cos 2 0 cos 2
A2 B2
o
C 2 0
A1
F B1
CD sin2 0 sin2
( y , y )
OC CB1 cos 2 DB1 sin2
12
第七章 应力状态和强度理论
平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在 平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。
13
Ⅰ. 斜截面上的应力
第七章 应力状态和强度理论
图b中所示垂直于xy平面的任意斜截 面ef 以它的外法线n与x轴的夹角 定义， 且角以自x 轴逆时针转至外法线n为正； 斜截面上图中所示的正应力 和切应力 均为正值，即 以拉应力为正，以 使其所作用的体元有顺时针转动趋势者 为正。
y
2
(
x
2
y
)2
x2
40 60 2
( 40 60 )2 2
( 50 )2
80.7MPa 60.7MPa
21
1 80.7 MPa , 2 0, 3 60.7 MPa
Ⅱ. 应力圆
第七章 应力状态和强度理论
⑴.应力圆方程
为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征， 可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses) 来表示。
y
D ( x , x )
y x
o x
y
x x
y
B2 C
o
B1
( y , y ) D’
25
※ ※ 结论
第七章 应力状态和强度理论
点面对应；二倍角；转向同。
y
y
y
B
x
A
x
x
180。
O
c
B(y ,y)
A(x ,x)
在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点A和B所夹 圆心角为180˚，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍。
10
第七章 应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力
等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态。
11
第七章 应力状态和强度理论
(a)
(b) (c)
对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的 三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果 将表明A点也处于平面应力状态。
在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定 存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂 直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作1，2，3。
1 2 3
6
第七章 应力状态和强度理论
当三个主应力中只有一个主应力不等于零时为单向应力状态； 当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述 §7-2 平面应力状态的应力分析·主应力 §7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系 §7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
1
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述
在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点 处不同方位截面上的应力不同。
40 50
1
0 90
x x 0
3
x 40MPa, y 60MPa, x 50MPa, 30
tan 20
2 x x y
x
2(50) 1
40 60
0 22.5； 0 90 67.5