2020版一轮复习理科数学习题：第六篇_不等式 第4节_基本不等式含解析
2020版高考数学一轮复习第六篇不等式必修5第4节基本不等式习题理含解析3
第4节基本不等式1.(2018·衡水周测)下列不等式一定成立的是( C )(A)lg(x2+)>lg x(x>0)(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D) >1(x∈R)解析:当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg(x2+)≥lg x(x>0),故A错误;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x≠ kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故B错误;当x=0时,有=1,故D错误.故选C.2.(2018·黄石月考)设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )(A)a<b<< (B)a<<<b(C)a<<b< (D) <a<<b解析:法一由a=,b==,0<a<b,及均值不等式知< <<.故选B.法二特殊值法,令a=1,b=2,代入验证即可.3.(2015·湖南卷)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( C )(A) (B)2 (C)2 (D)4解析:由题设易知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,当且仅当b=2a时等号成立,故选C.4.(2018·白城模拟)若x>,则f(x)=4x+的最小值为( D )(A)-3 (B)2 (C)5 (D)7解析:f(x)=4x+=4x-5++5.因为x>,所以4x-5>0,所以4x-5+≥2.故f(x)≥2+5=7,等号成立的条件是x=.5.(2018·孝感模拟)已知a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值是( D )(A)4 (B) (C)8 (D)9解析:因为2a+b=1,又a>0,b>0,所以+=(+)·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立.故选D.6.(2018·西宁模拟)设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于( C )(A)0 (B)4 (C)-4 (D)-2解析:由++≥0得k≥-,而=++2≥4(a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.7.(2018·南阳模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站公里处.解析:设x为仓库与车站距离,由已知y1=;y2=0.8x费用之和y=y1+ y2=0.8x+≥2=8,当且仅当0.8x=,即x=5时“=”成立.答案:58.(2017·天津卷)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.解析:因为a,b∈R,ab>0,所以≥=4ab+≥2=4,当且仅当即时取得等号.故的最小值为4.答案:4能力提升(时间:15分钟)9.(2018·大连一模)已知首项与公比相等的等比数列{a n}中,若m,n∈N*满足a m=,则+的最小值为( A )(A)1 (B) (C)2 (D)解析:设{a n}的公比为q,由题意得a m=q m,a n=q n,a4=q4,所以q m+2n=q8.所以m+2n=8,所以=1,又因为m,n∈N*,所以+=+=+++≥+2=1.当且仅当=,即m=2n=4时取“=”.故选A.10.(2018·信阳模拟)已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时,x,y的值分别为( B )(A)5,5 (B)10, (C)10,5 (D)10,10解析:因为x>0,y>0,所以xy=x+4y+5≥4+5.令=t,则t2≥4t+5,即t2-4t-5≥0.解得t≥5或t≤-1(舍去),所以≥5.由解得所以x=10,y=.11.(2018·太原模拟)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为( D )(A) (B) (C) (D)4解析:作出可行域如图中阴影部分所示.因为a>0,b>0,所以由图知,当直线z=ax+by过点A(1,1)时,z取得最大值1,所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4.当且仅当a=b=时取等号.12.(2018·南昌二中月考)在△ABC中,D为AB的中点,点F在线段CD(不含端点)上,且满足=x+y,若不等式+≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,则a的最小值为( B )(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4解析:根据图象知道点D,F,C三点共线,故=x+y=2x+y,由共线定理得到2x+y=1,则(+)(2x+y)=4++≥8,故问题转化为8≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,当a=0时0≤8恒成立,因为y=at+a2-8(a≠0)是关于t的一次函数,故直接代入端点即可, ⇒a∈[-2,2],故a的最小值为-2.13.(2018·唐山模拟)规定记号“⊗”表示一种运算,即a⊗b=+a+b(a,b为正实数).若1⊗k=3,则k的值为,此时函数f(x)=的最小值为.解析:1⊗k=+1+k=3,即k+-2=0,所以=1或=-2(舍),所以k=1.f(x)= = =1++≥1+2=3,当且仅当=即x=1时等号成立.答案:1 314.(2018·常州模拟)已知a>b>0,则a2+的最小值是.解析:因为a>b>0,所以b(a-b)≤()2=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:16。
2020版高考数学大一轮精准复习精练---基本不等式Word版含解析
2020版高考数学大一轮精准复习精练7.2 基本不等式挖命题【考情探究】分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则;2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点;3.不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.破考点【考点集训】考点一基本不等式的应用1.“a>0”是“a+≥2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为( )A.8B.6C.4D.2答案C3.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为.答案3考点二不等式的综合应用4.(2015山东文,14,5分)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x 的最小值为.答案5.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,处理池中建一条与长边垂直的分隔墙壁,池的深度一定,池的四周墙壁建造单价为每米400元,分隔墙壁的建造单价为每米100元,池底建造单价为每平方米60元(池壁厚度忽略不计).(1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低?(2)如果受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低?解析(1)设污水处理池的长为x米,则宽为米,则总造价f(x)=400×+100×+60×200=800×+12000≥1600+12000=36000,当且仅当x=(x>0),即x=15时等号成立.故污水处理池的长设计为15米时,可使总造价最低.(2)记g(x)=x+.由已知得解得<x≤14.5,显然g(x)是减函数,所以当x=14.5时,g(x)取最小值,总造价f(x)取最小值.故污水处理池的长设计为14.5米时,可使总造价最低.炼技法【方法集训】方法不等式与函数、方程、数列的综合问题1.已知A,B是函数y=2x的图象上的不同的两点.若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-∞,-2)C.(-1,+∞)D.(-2,+∞)答案B2.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为. 答案83.已知点A(2,0),B(0,1),若点P(x,y)在线段AB上,则xy的最大值为.答案过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2017天津文,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )A. B. C.[-2,2] D.答案A2.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.答案3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案44.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.答案-2B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一基本不等式的应用(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )A. B.2 C.2 D.4答案C考点二不等式的综合应用1.(2014重庆,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4答案D2.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).答案160C组教师专用题组考点一基本不等式的应用1.(2013福建,7,5分)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]答案D2.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为( )A.0B.C.2D.答案C3.(2015重庆,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.答案34.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案5.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为.答案-1考点二不等式的综合应用(2013山东文,16,4分)定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln+(a b)=bln+a;②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)答案①③④【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019届天津耀华中学第二次月考,6)已知x>0,y>0且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为( )A. B.2 C. D.2答案D2.(2017天津河西二模,6)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为( )A.+B.C.D.+2答案A3.(2018天津河西三模,7)已知正数a,b满足a+b=2,则+的最大值为( )A. B.+1 C. D.+1答案C4.(2018天津河北二模,7)若正数a,b满足:+=1,则+的最小值为( )A.1B.6C.12D.16答案B5.(2018天津河东一模,8)设正实数a,b,c满足a2-3ab+4b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.2D.3答案B二、填空题(每小题5分,共50分)6.(2018天津和平一模,13)已知a>0,b>0,a+b=m,其中m为常数,则y=+的最小值为.答案7.(2017天津河东二模,12)若a>0,b>0且2a+b=4,则的最小值是.答案8.(2018天津河北一模,12)已知a>0,b>0,则的最小值为.答案49.(2017天津南开三模,14)若a>0,b>0,且2a+b=1,则2-4a2-b2的最大值是.答案10.(2018天津十二区县一模,12)已知a>b>0,则2a++的最小值为.答案2+211.(2018天津和平二模,13)已知ab>0,a+b=3,则+的最小值为.答案12.(2019届天津新华中学期中,13)已知正数x,y满足2x+y=1,则+的最小值为.答案3+213.(2018天津十二区县二模,13)已知a>b,二次三项式ax2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立,又∃x0∈R,使a+4x0+b=0成立,则的最小值为.答案414.(2018天津和平三模,13)已知a>2b>0,则a2++的最小值为.答案415.(2017天津滨海新区统考,14)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线与AB,AC两边分别交于M、N两点,且=,=,则+的最小值为.答案2。
高考数学大一轮复习-第六章 不等式与推理证明 第4课时 基本不等式课件 理 北师大版
(2) 依 题 意 得 ， P→A ·(P→B ＋ P→C ) ＝ 2 P→A ·P→D ＝ － 2| P→A |·| P→D |≥ － 2|P→A|＋2 |P→D|2＝－|A→2D|2＝－12，当且仅当|P→A|＝|P→D|＝12时取等号， 因此P→A·(P→B＋P→C)的最小值是－12，选 D.
0＜x≤16， (2)由限制条件知0＜16x2≤16， ∴1018≤x≤16. 设 g(x)＝x＋10x01018≤x≤16， 由函数性质易知 g(x)在1018，16上是增函数， ∴当 x＝1018时此时16x2＝16，
g(x)有最小值，即 f(x)有最小值 1 296×1018＋88010＋12 960＝38 882(元)． ∴当长为 16 米，宽为 1018米时，总造价最低，为 38 882 元．
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第4课时 基本不等式
1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式
如果 a、b 都是正数，那么a＋2 b≥
ab，当且仅当a＝b 时，等 a＋b
号成立，称上述不等式为基本不等式．其中 2 称为 a、b 的算
答案：D
2．已知 x>0，y>8.
证明：∵x>0，y>0，z>0，
∴yx＋xz≥2 xyz>0，xy＋yz≥2 yxz>0，
xz＋yz≥2 zxy>0，
∴yx＋xzxy＋yzxz＋yz≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
的条件．
解析 当x＝12时，x2＋14＝x即lgx2＋14＝lgx，故A不正确． 运用基本不等式时需保证一正、二定，三相等，而当x≠kπ(k ∈Z)时，sin x正负不定，故选项B不正确． 由x2＋1＝(|x|)2＋1≥2|x|可知选项C正确． 当x＝0时，x2＋1 1＝1，故D错． 答案 C
2020版高考数学一轮复习教案 第6章_第3节_基本不等式(含答案解析)
[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题．
a＋b 1．基本不等式 ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
ba (2) ＋ ≥2(a，b 同号且不为零)；
当且仅当 x2＝2y2 时等号成立．]
利用基本不等式求最值
►考法 1 直接法或配凑法求最值
1 【例 1】 (1)(2018·天津高考)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋ 的最小值为
8b
________．
5
1
(2)已知 x＜ ，则 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为________．
4
x
(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的 x＞0，不等式
≤a 恒成立，则实数 a 的取值
x2＋3x＋1
范围为( )
1 A．a≥
5
1 B．a＞
5
1 C．a＜
5
1 D．a≤
5
21 (3)已知正实数 x，y 满足 2x＋y＝2，则 ＋ 的最小值为________．
xy
9
1
1
(1)C (2)A (3) [(1)当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋ ＋2≥2
ab
( ) a＋b 2
(3)ab≤
(a，b∈R)；
2
( ) a＋b a2＋b2
(4)
2≤
(a，b∈R)．
2
2
3．算术平均数与几何平均数 a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为： 2
2020届高考数学一轮复习通用版讲义基本不等式
第四节基本不等式一、基础知识批注——理解深一点12．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.二、常用结论汇总——规律多一点(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b ∈R ，且a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( ) (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (3)x ＞0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×(二)选一选1．设a >0，则9a ＋1a 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 因为a >0，所以9a ＋1a ≥2 9a ×1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，9a ＋1a 取得最小值6.故选C.2．若x >0，y >0，且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36D ．81解析：选A 由2(x ＋y )＝36，得x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．3．“x >0”是“x ＋1x ≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2( 当且仅当⎭⎫x ＝1x 时，等号成立.因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2”成立的充要条件，故选C.(三)填一填4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 当且仅当x ＝2y 且xy ＝1时等号成立． 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案：2 25．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0<x <10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：25考点一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的基本方法有拼凑法、常数代换法等.[典例] (1)已知a >2，则a ＋3a －2的最小值是( ) A ．6 B ．2 C ．23＋2D ．4(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．(3)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．(4)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为________． [解析] (1)拼凑法因为a >2，所以a －2>0，所以a ＋3a －2＝(a －2)＋3a －2＋2≥2 (a －2)·3a －2＋2＝23＋2，当且仅当a －2＝3a －2，即a ＝2＋3时取等号．故选C. (2)拼凑法y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)常数代换法∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2yy ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋2 2y x ·xy＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y 且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号．∴1x ＋1y 的最小值为3＋2 2. (4)拼凑法 因为x >0，y >0，所以8＝x ＋2y ＋x ·2y ≤(x ＋2y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22， 令x ＋2y ＝t ，则8≤t ＋t 24，即t 2＋4t －32≥0，解得t ≥4或t ≤－8，即x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立． [答案] (1)C (2)92(3)3＋22 (4)4[解题技法] 基本不等式求最值的2种常用方法[题组训练]1.(常数代换法)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：选B 因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12.故选B. 2.(两次基本不等式)设x >0，y >0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：选D 因为x ＋4y ＝40，且x >0，y >0，所以x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) 所以4xy ≤40.所以xy ≤100. 所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 所以lg x ＋lg y 的最大值为2. 3.(拼凑法)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝(a 2－ab )＋1(a 2－ab )＋1ab＋ab ≥2(a 2－ab )·1(a 2－ab )＋21ab ×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 4.(常数代换法)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y ＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2. 当且仅当x ＝2y 时取等号． 答案：3＋2 2考点二 基本不等式的实际应用[典例] 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x， 即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．[解题技法] 有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [题组训练]1．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：302．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为______米时，可使总造价最低．解析：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．答案：15 [课时跟踪检测]1．(2019·长春调研)“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当a >0，b >0时，a ＋b 2≥ab ，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当a ＝b 时，ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的充分条件．当ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22时，a ，b 可以异号，故a >0，b >0不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的既不充分也不必要条件，故选D.2．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12解析：选C 因为x >0，y >0，x ＋2y ＝2， 所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 因为1a ＋2b ＝ab ，所以a >0，b >0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故m ＋n 的最小值为4.5．(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.6．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为( ) A.43 B.53 C.54D ．2解析：选D 30＝4x 2＋9y 2＋3xy ≥236x 2y 2＋3xy ， 即30≥15xy ，所以xy ≤2， 当且仅当4x 2＝9y 2，即x ＝3，y ＝233时等号成立． 故xy 的最大值为2.7．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12C ．1D.32解析：选A y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.8．已知x >1，y >1，且log 2x ，14，log 2y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值 2B ．最小值2C ．最大值 2D ．最大值2解析：选A ∵x >1，y >1，∴log 2x >0，log 2y >0.又∵log 2x ，14，log 2y 成等比数列，∴116＝log 2x ·log 2y ，∴由基本不等式，得log 2x ＋log 2y ≥2log 2x ·log 2y ＝12，当且仅当log 2x ＝log 2y时取等号，故log 2(xy )≥12，即xy ≥ 2.选A.9．当3＜x ＜12时，函数y ＝(x －3)(12－x )x的最大值为________．解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋15≤－2 x ·36x ＋15＝3，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时，y max ＝3.答案：310．(2018·南昌摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2 (x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 答案：411．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a－3b＝22－6＝2×2－3＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立． 答案：1412．(2018·聊城一模)已知a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3.答案：2＋ 313．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]， 所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x ，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16； ②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数， 所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．。
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练【含解析】
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。
2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第四节基本不等式学案理(含解析)新人教A版
第四节 基本不等式2019考纲考题考情1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)。
2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0。
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立。
(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数。
3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P 。
(简记：“积定和最小”)(2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值S 24。
(简记：“和定积最大”)4．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)。
(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )。
(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )。
(4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)。
以上不等式等号成立的条件均为a ＝b 。
1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。
忽略某个条件，就会出错。
2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系。
3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。
若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。
一、走进教材1．(必修5P 99例1(2)改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析 因为x >0，y >0，所以x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《基本不等式》含答案
第四节基本不等式知识点一 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．1．判断正误(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件．( √ ) (3)若a ≠0，则a 2＋1a 2的最小值为2.( √ )知识点二 利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)2．如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)2．(必修5P100习题3.4A 组第1(2)题改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( C )A ．80B ．77C ．81D ．82解析：xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立．故选C.3．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4解析：f (x )≤－2(－x )·(－1x )－2＝－4，当且仅当x ＝－1时，f (x )max＝－4.4．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为14.解析：由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即b ＝1时等号成立．利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．考向一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－（5－4x ＋15－4x ）＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝（1＋a ＋b a ）（1＋a ＋b b ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】 (1)1 (2)9若将本例(2)中的条件不变，设问改为：则1a ＋1b 的最小值为4. 解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)设x >0，y >0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( D ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2(2)(2019·南昌摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为4.解析：(1)因为x ＋4y ＝40，且x >0，y >0，所以x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”)所以4xy ≤40.所以xy ≤100.所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2.所以lg x ＋lg y 的最大值为2.(2)∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥ 2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 考向二 基本不等式的实际应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 【解】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x＋2×130360x ， x ∈[50,100]⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]. (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ， 即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(2)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (3)还原为实际问题，写出答案．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30.解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为f (x )＝600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x 的值是30. 考向三 基本不等式与函数的综合应用【例3】 (1)对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)(2019·洛阳模拟)设函数f (x )＝98cos2x ＋16－sin 2x 的最小值为m ，且与m 对应的x 的最小正值为n ，则m ＋n ＝________.(2)f (x )＝98cos2x ＋16＋cos2x －12＝98cos2x ＋2＋cos2x ＋22－32，因为cos2x＋2>0，所以f (x )≥2×34－32＝0，当且仅当98cos2x ＋2＝cos2x ＋22，即cos2x ＝－12时等号成立，所以x 的最小正值为n ＝π3，所以m ＋n ＝π3.【答案】 (1)B (2)π3求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.(1)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( C )A.12B.32 C ．1D ．2(2)已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为2.解析：(1)由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.(2)因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点为(1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝12＋12＋n 2m ＋m2n ≥1＋2n 2m ·m 2n ＝2，当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2＝n 2时取等号，所以1m ＋1n 的最小值为2.合理配凑 妙解基本不等式利用基本不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点，应用该公式时需要满足“一正、二定、三相等”，在运用基本不等式时，常常遇到不能直接套用公式的情况，这时需要对题中的关系式进行适当的配凑变形，使问题快速解决．本文对运用基本不等式时的配凑方法适当概括，以帮助考生理清解题思路，妙用基本不等式．1．妙用常值“1”，变形求解典例1 已知x ∈(0，12)，求函数f (x )＝2x ＋91－2x的最小值． 【解】 因为2x ＝42x ，且2x ＋(1－2x )＝1，所以f (x )＝2x ＋91－2x＝[2x ＋(1－2x )]·(42x ＋91－2x )＝4＋9＋2(1－2x )x ＋18x 1－2x，又x ∈(0，12)，所以1－2x ∈(0,1)，所以f (x )≥13＋22(1－2x )x ·18x 1－2x＝25， 当且仅当2(1－2x )x ＝18x 1－2x时等号成立，又x ∈(0，12)，所以x ＝15时，等号成立．故函数f (x )＝2x ＋91－2x的最小值为25. 【点评】 当两个式子之和为定值(无论是否为1)，均可灵活运用“1”进行变形，进而迅速、准确求解． 2．合理拆项分组，拼凑定积典例2 设a >b >0，则a ＋1b ＋1a －b的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．3＋2 2【解析】 a ＋1b ＋1a －b ＝(a －b )＋1a －b＋b ＋1b ≥2(a －b )·1a －b ＋2b ·1b ＝4，当且仅当⎩⎨⎧ a －b ＝1a －b ，b ＝1b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1时等号成立．故选C. 【答案】 C【点评】 本题解答的关键是将变量a 拆解为a －b ＋b ，以及拆项后的恰当组合，同时在利用基本不等式解题时要注意基本不等式适用的条件，即“一正、二定、三相等”；切记要注意等号成立的条件．3．消元法，多元变单元典例3 已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．【解析】 ∵2log a b ＋3log b a ＝2log a b ＋3log a b ＝7， ∴2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，∴(2log a b －1)(log a b －3)＝0，∴log a b ＝12或log a b ＝3.又a >b >1，∴log a b ＝12＝log a a ，b 2＝a .∴a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号． 故a ＋1b 2－1的最小值为3.【答案】 3【点评】本题利用对数的运算得到a，b的关系，利用该关系进行消元，转化为单变量的关系式，进而构造基本不等式求得最值．。
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第4节基本不等式
知识点、方法题号
基本不等式的理解1,2
利用基本不等式求最值3,4,5,8
基本不等式的实际应用7
综合应用6,9,10,11,12,13,14
1.(2018·衡水周测)下列不等式一定成立的是( C )
(A)lg(x2+)>lg x(x>0)
(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
(C)x2+1≥2|x|(x∈R)
(D)>1(x∈R)
解析:当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg(x2+)≥lg x(x>0),故A错误;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x≠ kπ,k∈Z时,sin x
的正负不定,故B错误;当x=0时,有=1,故D错误.故选C.
2.(2018·黄石月考)设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )
(A)a<b<<(B)a<<<b
(C)a<<b<(D)<a<<b
解析:法一由a=,b==,0<a<b,及均值不等式知< <<.故选B.
法二特殊值法,令a=1,b=2,代入验证即可.
3.(2015·湖南卷)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( C )
(A)(B)2 (C)2 (D)4
解析:由题设易知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,当且仅当b=2a时等号成立,故选C.
4.(2018·白城模拟)若x>,则f(x)=4x+的最小值为( D )
(A)-3 (B)2 (C)5 (D)7
解析:f(x)=4x+=4x-5++5.
因为x>,所以4x-5>0,
所以4x-5+≥2.故f(x)≥2+5=7,等号成立的条件是x=.
5.(2018·孝感模拟)已知a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值是( D )
(A)4 (B)(C)8 (D)9
解析:因为2a+b=1,又a>0,b>0,
所以+=(+)·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立.故选D.
6.(2018·西宁模拟)设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于( C )
(A)0 (B)4 (C)-4 (D)-2
解析:由++≥0得k≥-,而=++2≥4(a=b时取等号),所以
-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.
7.(2018·南阳模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站公里处.
解析:设x为仓库与车站距离,由已知y1=;y2=0.8x费用之和y=y1+ y2=0.8x+≥
2=8,当且仅当0.8x=,即x=5时“=”成立.
答案:5
8.(2017·天津卷)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.
解析:因为a,b∈R,ab>0,
所以≥=4ab+≥2=4,
当且仅当即时取得等号.
故的最小值为4.
答案:4
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·大连一模)已知首项与公比相等的等比数列{a n}中,若m,n∈N*满足
a m=,则+的最小值为( A )
(A)1 (B)(C)2 (D)
解析:设{a n}的公比为q,由题意得a m=q m,a n=q n,a4=q4,所以q m+2n=q8.
所以m+2n=8,所以=1,
又因为m,n∈N*,
所以+=+=+++≥+2=1.
当且仅当=,即m=2n=4时取“=”.故选A.
10.(2018·信阳模拟)已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时,x,y 的值分别为( B )
(A)5,5 (B)10,(C)10,5 (D)10,10
解析:因为x>0,y>0,
所以xy=x+4y+5≥4+5.
令=t,
则t2≥4t+5,即t2-4t-5≥0.
解得t≥5或t≤-1(舍去),
所以≥5.
由解得
所以x=10,y=.
11.(2018·太原模拟)设x,y满足约束条件
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为( D )
(A) (B)(C) (D)4
解析:作出可行域如图中阴影部分所示.因为a>0,b>0,
所以由图知,当直线z=ax+by过点A(1,1)时,z取得最大值1,
所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4.当且仅当a=b=时取等号. 12.(2018·南昌二中月考)在△ABC中,D为AB的中点,点F在线段CD(不含端点)
上,且满足=x+y,若不等式+≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,则a的最小值为( B )
(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4
解析:根据图象知道点D,F,C三点共线,故=x+y=2x+y,由共线定理得到
2x+y=1,则(+)(2x+y)=4++≥8,故问题转化为8≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,当a=0时0≤8恒成立,因为y=at+a2-8(a≠0)是关于t的一次函数,故直接代入端
点即可,⇒a∈[-2,2],故a的最小值为-2.
13.(2018·唐山模拟)规定记号“⊗”表示一种运算,即a⊗b=+a+b(a,b为正实数).
若1⊗k=3,则k的值为,此时函数f(x)=的最小值为.
解析:1⊗k=+1+k=3,
即k+-2=0,
所以=1或=-2(舍),
所以k=1.
f(x)===1++≥1+2=3,
当且仅当=即x=1时等号成立.
答案:1 3
14.(2018·常州模拟)已知a>b>0,则a2+的最小值是.
解析:因为a>b>0,所以b(a-b)≤()2=,当且仅当a=2b时等号成立.
所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,
当且仅当a=2时等号成立.
所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.
答案:16。