初一数学不等式与不等式组教案

授课内容不等式和不等式组教学目标1.掌握不等式的解集表示方法；2.掌握不等式的性质3.了解什么是不等式组教学内容【知识梳理】知识点一、不等式的解集1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式2．解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1．3．不等式解集及其数轴表示法⑴不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8.(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如：知识点二、不等式的性质1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c．2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，用式子表示：a>b，c<0，那么，ac<bc 或ac<bc．知识点三不等式组1、由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、一元一次不等式组的两个步骤：（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集。

【例题精讲】题型1：不等式的变形例若a>b，试比较下列各题中两个代数式的大小.(1)a+c与b+c；(2)3a与3b；(3)-a与-b；(4)ac与bc.【解答】1、(1)不等式a>b两边都加上c，根据不等式性质1可知a+c>b+c；(2)不等式a>b两边都乘以3，根据不等式性质2可知3a>3b；(3)不等式a>b两边都乘以-1，根据不等式的基本性质3可知-a<-b；(4)分三种情况，①若c>0，不等式a>b两边都乘以c，得ac>bc；②若c=0，不等式a>b两边都乘以c，得ac=bc=0；③若c<0，不等式a>b两边都乘以c，得ac<bc.【点评】解答这类题应根据不等式的变形要求灵活选择运用不等式的性质.对于第(4)题，因c的值没有确定，还应分类讨论.巩固说出下列变形的依据：(1)由x-7<1，得x<8；(2)由x+2>=4，得x>=2；(3)由4x>=2，得；(4)由-3x≤3，得x>=-1；(5)由-2x-5<1，得x>-3.【分析】用不等式的基本性质解答.【解答】1、解：(1)由x-7<1，得x<8的依据是不等式的基本性质1，不等式两边都加上7得到的.(2)由x+2>=4，得x>=2的依据是不等式的基本性质1，不等式两边都减去2得到的.(3)由4x>=2，得的依据是不等式的基本性质2，不等式两边都除以4得到的.(4)由-3x≤3，得x>=-1的依据是不等式的基本性质3，不等式两边都除以-3得到的.(5)由-2x-5<1得x>-3的依据是不等式的基本性质1和3，先是不等式两边都加5，得-2x<6，再是不等式两边都除以-2，得x>-3.【点评】不等式的变形主要依据就是不等式的基本性质.题型2：不等式的性质例根据不等式的性质，将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.(1)x+3<5；(2)5x-7>4x；(3)2x-3>=4x；(4).【解答】1、(1)不等式x+3<5的两边都减去3，不等号的方向不变，所以不等式可化为x<2.(2)不等式5x-7>4x的两边都减去4x，不等号的方向不变，得x-7>0；两边都加上7，不等号的方向不变，所以不等式可化为x>7.(3)不等式2x-3>=4x的两边都减去4x，得-2x-3>=0，两边都加上3，得-2x>=3，两边同除以-2，不等号的方向改变，所以不等式可化为.(4)不等式的两边都加2得，两边同除以，不等号的方向改变，所以不等式可化为.【点评】解答此类问题，就是要求灵活选择运用不等式的性质，按顺序进行变化.巩固用不等式的性质，将不等式变形成x>a或x<a的形式.(1)x+3>2+3；(2)；(3)-2x>8.【分析】(1)在不等式两边都减去3；(2)在不等式两边都乘以5；(3)在不等式两边都除以-2，同时改变不等号的方向.【解答】1、(1)根据不等式的性质1，不等式两边都减3，不等号方向不变，所以x+3-3>2+3-3，得x>2；(2)根据不等式的性质2，不等式两边都乘以5，不等号方向不变，所以，得x>15；(3)根据不等式的性质3，不等式两边都除以-2，不等号改变方向，所以-2x÷(-2)<8÷(-2)，得x<-4.【点评】熟练掌握和运用不等式的性质，是解不等式的前提.题型3：解不等式例1解不等式：，并把解集在数轴上表示出来.【分析】根据不等式的性质得到2(x+1)≥x+4，即可求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来. 【解答】解：去分母，得2(x+1)≥x+4，去括号，得2x+2≥x+4，移项，合并同类项，得x≥2.在数轴上表示为：【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的理解和掌握，用数轴表示解集时注意空心圆和实心圆的使用也是很关键的.例2 解不等式，并在数轴上表示它的解集.【分析】根据一元一次不等式的解法求这个不等式的解集.【解答】1、.去分母得：4(x-1)-3(2x+5)>-24，去括号得：4x-4-6x-15>-24，移项得：4x-6x>-24+4+15，合并同类项得：-2x>-5，化系数为1得：.【点评】一元一次不等式解法与一元一次方程解法类似，关键在于“去分母”和“系数化成1”时，两者是不同的，记住：“在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”.在用数轴表示不等式的解集时，因为是，所以x能取的值在的左侧，而且这个数x不能取到，所以用空心圈表示.巩固1解不等式【分析】先去分母再求解，在系数化为1时，若两边同除以一个负数，要改变不等号的方向.【解答】1、去分母，得6-3(4x-5)>=5-8x.(注意：不要漏乘“1”和“”项)去括号，得6-12x+15>=5-8x.移项，得-12x+8x>=5-6-15.合并同类项，得-4x>=-16.系数化为1，得x≤4.(注意改变不等号方向)【点评】解不等式应注意，解不等式与解方程步骤相同，前四步注意的问题也相同，如去分母注意不要漏乘原来没有分母的项，去括号注意符号的变化，移项注意变号等；解不等式更应注意最后一步系数化为1时，若不等式两边除以的是一个负数，不等号方向必须改变，此点应特别注意.巩固2 解不等式：(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3)+2.【分析】不等式左边运用平方差公式求解，右边用乘法法则计算，然后将得到的不等进行整理即可解.【解答】解：(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3)+2去括号得移项得-9x<-36系数化为1得x>4【点评】本题主要考查平方差公式与乘法法则在解不等式中的应用，注意在解不等式时不等式基本性质的应用.题型4：解不等式组例1 解不等式.【分析】本题可以看做是把两个不等式和连写在一起，所以这种连写在一起的不等式实质就是不等式组.1、写为不等组的形式，得解不等式①，得x>=-1，解不等式②，得x<8.将不等式①②的解集在同一数轴上表示出来，如图所示.所以原不等式的解集为-1≤x<8.【点评】对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式，也可以按照解不等式的步骤两边求解.例2解不等式组：【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再求两个不等式解集的公共部分.1、解：解不等式①得，x>=-1.解不等式②，得x<3.所以原不等式组的解集为-1≤x<3.【点评】本题是根据“大小小大取中间”的规律求不等式的解集，也可在数轴中画出直观解题.巩固1 解不等式组：【分析】分别解两个不等式，然后取两不等式解集的公共部分即可.1、解不等式①，得x≤4.解不等式②，得x>0.在同一条数轴上表示①②的解集，如图，从而不等式组得解集为0<x≤4.【点评】解决稍复杂的不等式组的时候，先分别解不等式组中包含的各个不等式的解，最后求它们的公共部分，即为不等式组的解集.巩固2解不等式组：【分析】分别解出两个不等式，它们的公共部分即为不等式组的解集.【解答】解：解不等式①，得x>-1.解不等式②，得x<1.因此，不等式组的解集为-1<x<1.【点评】不等式组的解集是使不等式组中的不等式同时成立的未知数的取值范围.题型5：不等式的同解例下列不等式中，与同解的不等式是A：3-2x≥5；B：2x-3≥5；C：3-2x≤5；D：x≤4【分析】先解不等式，然后求出下面四个选项的解集，比较对照一下，选出解集相同的一项.不等式的解集为x≥4；而不等式3-2x≥5的解集为x≤-1，故A不可选.不等式的解集为x≥4；不等式2x-3≥5的解集为x≥4，故选B.不等式的解集为x≥4；而不等式3-2x≤5的解集为x≥-1，故C不可选.不等式的解集为x≥4，这与不等式x≤4是不同的，故D不可选.【解答】1、不等式的解集为x≥4；而不等式3-2x≥5的解集为x≤-1，故A不可选.2、不等式的解集为x≥4；不等式2x-3≥5的解集为x≥4，故选B.3、不等式的解集为x≥4；而不等式3-2x≤5的解集为x≥-1，故C不可选.4、不等式的解集为x≥4，这与不等式x≤4是不同的，故D不可选.【点评】本题实质上是让我们解不等式，找出与题设给出的不等式同解的不等式，按照解不等式的步骤解题，去分母，合并同类项，解得最终的结果(当然有时有的步骤可以省略).巩固已知不等式与ax-6>5x同解，试求a的值.【分析】已知两不等式同解，则分别解出两不等式，利用解相同可得关于a的方程，解之.【解答】1、∵，∴，即x<-2.又ax-6>5x，整理，得(5-a)x<-6，因为不等式与ax-6>5x同解，所以解得故a=2.【点评】两个不等式同解，一个未知(含参数)，一个已知（不含参数），则我们先解出已知的那个不等式的解集，然后对含参数的那个不等式进行变形，为使得两个不等式同解，得到限制参数的条件，从而得解.综合题1：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n为非负整数时，如果，则<x>=n.如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…试解决下列问题：(1)填空：①<π>=________(π为圆周率)；②如果<2x-1>=3，由实数x的取值范围为________；(2)①当x>=0，m为非负整数时，求证：<x+m>=m+<x>；②举例说明<x+y>=<x>+<y>不恒成立；(3)求满足的所有非负实数x的值；【分析】(1)①π≈3.14，②解不等式.(2)①可设<x>=n，n为非负整数，再由和不等式的性质得，即可证明.②可举特殊值，如x=0.6，y=0.7等.【解答】1、解：(1)①π≈3.14，所以<π>=3.②因为<2x-1>=3，所以.所以，所以.(2)①设<x>=n，n为非负整数，则.因为m为非负整数，所以，且n+m为非负整数，所以<x+m>=m+n=m+<x>.②如当x=0.6，y=0.7时，<x+y>=<0.6+0.7>=<1.3>=1.<x>+<y>=<0.6>+<0.7>=1+1=2.所以<x+y>≠<x>+<y>，即<x+y>=<x>+<y>不恒成立.综合题2：解不等式.【分析】为去绝对值符号需分情况讨论：(1)；(2)，且x+2<0；(3)x+2>0.【解答】1、(1)当时，即时，原不等式恒成立；(2)当时，原不等式可化为.解得x<-3，∴.(3)当x>=-2，原不等式为.解得x>2.综上所述，原不等式的解集为x<-3或x>2.【点评】这道题目的原型为|x|>a，解不等式|x|>a.a>0时，不等式的解集为x>a或x<-a；a=0时，不等式的解集为x>0或x<0；a<0时，不等式的解集为全体实数.································1、根据不等式的性质，将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.(1)x+3<5；(2)5x-7>4x；(3)2x-3>=4x；(4).【解答】1、(1)不等式x+3<5的两边都减去3，不等号的方向不变，所以不等式可化为x<2.(2)不等式5x-7>4x的两边都减去4x，不等号的方向不变，得x-7>0；两边都加上7，不等号的方向不变，所以不等式可化为x>7.(3)不等式2x-3>=4x的两边都减去4x，得-2x-3>=0，两边都加上3，得-2x>=3，两边同除以-2，不等号的方向改变，所以不等式可化为.(4)不等式的两边都加2得，两边同除以，不等号的方向改变，所以不等式可化为.【点评】解答此类问题，就是要求灵活选择运用不等式的性质，按顺序进行变化.2、求不等式的最小整数解【分析】先解不等式，再求最小整数解.【解答】1、解不等式，得x>=2.所以不等式的最小整数解为x=2.【点评】求不等式的最小整数解首先要求不等式的解集.3、已知方程组的解是负数，试化简|a+3|-|5a-3|.【分析】解方程组可得含有a的解，由于方程组的解是负数，所以可得关于a的不等式组，解出a的范围，从而可以对绝对值化简.【解答】解：由4、在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a-b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图所示，则k 的值是【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1，通过解不等式即可得到用x表示k的取值范围，结合图象中x 的取值范围可以求得k的取值范围.【解答】∵由题意可知：x△k=2x-k≥1，∴2x≥k+1，∴,又由图示知，不等式x△k≥1的解集是：x≥-1，∴=-1,解得：k=-3.故k的值是-3.【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解含参数的一元一次不等式.在表示解集时“≥”，“≤”要用实11。