初一数学不等式与不等式组教案
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版一、教学目标:1. 让学生理解不等式的概念,掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题能力,能够将实际问题转化为不等式问题。
3. 使学生了解不等式组的概念,学会解不等式组。
二、教学内容:1. 不等式的概念与性质2. 不等式的解法3. 实际问题中的不等式应用4. 不等式组的概念与解法5. 不等式组的实际应用三、教学重点与难点:1. 教学重点:不等式的概念,不等式的基本性质,不等式组的解法。
2. 教学难点:不等式组的实际应用,解不等式组的方法。
四、教学方法:1. 采用问题驱动法,引导学生自主探究不等式的概念与性质。
2. 利用实例讲解法,让学生理解不等式在实际问题中的应用。
3. 采用小组合作学习法,培养学生的团队协作能力。
4. 运用练习法,巩固所学知识,提高解题能力。
五、教学过程:1. 导入新课:通过复习等式的概念,引出不等式的概念。
2. 自主探究:让学生自主探究不等式的性质,总结规律。
3. 实例讲解:利用实际问题,讲解不等式在生活中的应用。
4. 小组合作:学生分组讨论,探索解不等式组的方法。
5. 练习巩固:布置课堂练习题,让学生巩固所学知识。
6. 总结反馈:对本节课的内容进行总结,解答学生的疑问。
教案内容待补充。
六、教学评价:1. 通过课堂提问、作业批改和课堂练习,评估学生对不等式概念和性质的理解程度。
2. 通过解决实际问题,评估学生将实际问题转化为不等式问题的能力。
3. 通过解答不等式组的问题,评估学生对不等式组解法的掌握情况。
七、教学反思:1. 反思教学方法的有效性,是否有助于学生对不等式概念的理解。
2. 反思实例讲解是否贴近生活,是否能够激发学生的学习兴趣。
3. 反思小组合作学习的效果,是否培养了学生的团队协作能力。
4. 反思练习题的难度是否适中,是否能够巩固所学知识。
八、教学拓展:1. 引导学生思考不等式在实际生活中的应用,例如分配问题、比赛评分等。
人教版数学七年级下册第9章不等式与不等式组教学设计
一、教学目标
(一)知识与技能
1.理解不等式的定义,掌握不等式的性质,能够运用不等式解决实际问题。
2.学会解一元一次不等式,包括移项、合并同类项、系数化等方法,并能够解决实际问题。
3.理解不等式组的定义,掌握解不等式组的方法,能够解决实际问题。
4.能够运用数轴表示不等式的解集,理解区间表示方法。
(3)采用讲练结合法,让学生在练习中掌握解不等式的方法,提高解题能力。
(4)小组合作学习,培养学生协作解决问题的能力,提高课堂互动性。
2.教学过程:
(1)导入:以实际情境导入,提出问题,引导学生思考,激发学习兴趣。
(2)新知:讲解不等式的性质,引导学生通过实例发现性质,加强理解。
(3)例题:讲解一元一次不等式的解法,通过典型例题,让学生掌握解题方法。
5.引导学生运用数轴表示不等式的解集,培养学生直观想象能力。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对待数学学习的积极态度,增强学生对数学学科的兴趣和信心。
2.引导学生认识到不等式在生活中的广泛应用,激发学生学习数学的积极性。
3.培养学生勇于探索、克服困难的精神,让学生在解决不等式问题的过程中,体验到成功的喜悦。
5.部分学生对数学学习存在恐惧心理,需要教师关注学生的情感需求,鼓励学生积极参与课堂,增强自信心。
在教学过程中,教师应充分了解学生的实际情况,针对不同层次的学生进行差异化教学,关注学生的个体发展,激发学生的学习兴趣,提高学生的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
(一)教学重难点
1.理解并掌握不等式的性质,能够熟练运用性质解决实际问题。
3.拓展题:针对不等式组的内容,设计2-3道拓展题,要求学生运用所学知识解决问题,培养学生的综合应用能力。
不等式与不等式组教案
不等式与不等式组教案本节课的主要内容是关于不等式的概念和解题方法。
通过本节课的学习,学生将掌握不等式的基本概念和性质,能够熟练解不等式,并能够应用不等式解决实际问题。
一、引入活动教师可以通过讲解一道数学问题来引入本节课的学习内容。
例如:小明的语文成绩是90分,数学成绩不低于语文成绩的1.5倍,小明能够获得多少分数?请同学们思考一下。
二、概念解释1. 不等式的定义:不等式是含有不等号的数学命题,表示两个数(或两个式子)之间的大小关系。
2. 不等式的解:使不等式成立的数值叫做不等式的解。
3. 解不等式的步骤:(1) 先化简:将不等式中的复杂式子化简为简单形式。
(2) 移项:通过加减法将所有含变量的项移到一个侧边,将常数项移到另一个侧边。
(3) 化简:合并同类项,将整理后的不等式化为简单形式。
(4) 确定解的范围:根据不等式的性质确定解的范围。
三、解题方法及实例1. 一元一次不等式的解法:(1) 当不等式中含有分数时,可通过乘除法解决。
(2) 当不等式中含有方根时,可通过平方解决。
例题1:解不等式:2x + 3 > 7解:先将常数项移到右边,得到:2x > 7 - 3,化简得到:2x > 4。
由于系数为正数,所以不等号方向不变。
将不等式化为简单形式:x > 2。
解集为:x ∈ (2, +∞)。
2. 一元一次不等式组的解法:(1) 将不等式组中的不等式进行化简,使其成为简单不等式。
(2) 将不等式组中所有的简单不等式合并成一个不等式。
(3) 解不等式并确定解的范围。
例题2:解不等式组:{x - 2 < 4, x + 1 > 2}解:分别解这两个不等式:x - 2 < 4,得到:x < 6;x + 1 > 2,得到:x > 1。
将简单不等式合并成一个不等式得:1 < x < 6。
解集为:x ∈ (1, 6)。
四、应用实例通过给出一些应用实例,让学生通过解不等式解决实际问题。
七年级下册不等式与不等式组教案3篇(不等式课件七年级下册)
七年级下册不等式与不等式组教案3篇(不等式课件七年级下册)下面是分享的七年级下册不等式与不等式组教案3篇(不等式课件七年级下册),供大家品鉴。
七年级下册不等式与不等式组教案1教学目的让学生通过独立思考,积极探索,从而发现;初步体会数形结合思想的作用。
重点、难点1.重点:通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题。
2.难点:找出“等量关系”列出方程。
教学过程一、复习提问1.列一元一次方程解应用题的步骤是什么?2.长方形的周长公式、面积公式。
二、新授问题3.用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。
(1)使长方形的宽是长的专,求这个长方形的长和宽。
(2)使长方形的宽比长少4厘米,求这个长方形的面积。
(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小,还能围出面积更大的长方形吗?不是每道应用题都是直接设元,要认真分析题意,找出能表示整个题意的等量关系,再根据这个等量关系,确定如何设未知数。
(3)当长方形的长为18厘米,宽为12厘米时长方形的面积=18×12=216(平方厘米)当长方形的长为17厘米,宽为13厘米时长方形的面积=221(平方厘米)∴(1)中的长方形面积比(2)中的长方形面积小。
问:(1)、(2)中的长方形的长、宽是怎样变化的?你发现了什么?如果把(2)中的宽比长少“4厘米”改为3厘米、2厘米、1厘米、0.5厘米长方形的面积有什么变化?猜想宽比长少多少时,长方形的面积呢?并加以验证。
实际上,如果两个正数的和不变,当这两个数相等时,它们的积,通过以后的学习,我们就会知道其中的道理。
三、巩固练习教科书第14页练习1、2。
第l题等量关系是:圆柱的体积=长方体的体积。
第2题等量关系是:玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积=原来整瓶水的体积。
四、小结运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,有些等量关系是隐藏的,不明显,要联系实际,积极探索,找出等量关系。
五、作业教科书第16页,习题6.3.1第1、2、3。
七年级数学下册 不等式与不等式组教案(8套)(新版)新人教版
9.1 不等式(第一课时)教学目标1. 感受生活中存在着大量的不等关系.2. 了解不等式和一元一次不等式的意义.3. 通过解决简单的实际问题,使学生自发地寻找不等式的解,会把不等式的解集正确地表示到数轴上.4. 灵活运用不等式性质解法解决相关题目,能举一反三,拓展思维.5. 经历由具体实例建立不等式模型的过程,经历探究不等式解与解集的不同意义的过程,渗透数形结合思想.6. 通过观察可以获得数学结论,初步体会一元一次不等式的应用价值,发展学生分析问题和解决问题的能力.7. 通过对不等式、不等式解与解集的探究,引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学,并能将它们应用到生活的各个领域.教学重点1. 不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法.2. 掌握不等式的两条基本性质教学难点1.不等式的解集的概念.2.不等式的基本性质的理解和熟练运用;教学内容不等式.一、导入新课一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50 km.要在12:00以前驶过A地,车速应该具备什么条件?若设车速为每小时x km ,能用一个式子表示吗?二、新课教学1. 不等式的概念(1)在学生充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳得出:用“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式;用“并”表示不等关系的式子也是不等式.(2)下列式子中哪些是不等式?① a +b =b +a ②-3>-5 ③x ≠l④x 十3>6 ⑤2m <n ⑥2x -3上述不等式中,有些不含未知数,有些含有未知数.(3)小组交流:说说生活中的不等关系.分组活动.先独立思考,然后小组内互相交流并做记录,最后各组选派代表发言.2. 不等式的解、不等式的解集问题1 要使汽车在12:00以前驶过A 地,你认为车速应该为多少呢?问题2 车速可以是每小时85 km 吗?每小时82 km 呢?每小时75.1 km 呢?每小时74 km 呢? 问题3 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”,我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.刚才同学们所说的这些数,哪些是不等式x 32>50的解? 问题4 除了80和78,不等式x 32>50还有其他解吗?如果有,这些解应满足什么条件? 可以发现,当x >75时,不等式x 32>50总成立;而当x <75或x =75时,不等式x 32>50不成立.这就是说,任何一个大于75的数都是不等式x 32>50的解,这样的解有无数个;任何一个小于或等于75的数都不是不等式x 32>50的解.因此,x >75为使不等式x 32>50成立的x 的取值范围,它可以在数轴上表示.由上可知,在前面问题中,汽车要在12:00以前驶过A 地,车速必须大于75km/h.一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做解不等式.三、 巩固新知1. 下列哪些是不等式x +3>6的解?哪些不是?-4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,122. 求出不等式的解集,并在数轴上表示出来:(1)x+3 > 6 (2)2x < 8 (3)x-2 > 0四、总结归纳1. 不等式的概念.2. 不等式的解与不等式的解集.3. 不等式的解集在数轴上的表示.五、布置作业教材P119习题9.1第1、2题.9.1 不等式(第二课时)教学内容不等式的性质.一、导入新课教师出示天平,并请学生仔细观察老师的操作过程,回答下列问题:1. 天平被调整到什么状态?2. 给不平衡的天平两边同时加上相同质量的砝码,天平会有什么变化?3. 不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码,天平会有什么变化?4. 如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数,天平会平衡吗?缩小相同的倍数呢?二、探究新知1. 用“>”或“<”填空.(1)5>3:5+2 3+2;5-2 3-2.(2)-1<3:-1+2 3+2;-1-3 3-3.(3)6>2: 6×5 2×5;6×(-5) 2×(-5).(4)-2<3:(-2)×6 3×6;(-2)×(-6) 3×(-6).2. 从以上练习中,你发现了什么?请你再用几个例子试一试,还有类似的结论吗?请把你的发现告诉同学们并与他们交流.3. 让学生充分发表“发现”,师生共同归纳得出:不等式性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变. 不等式性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式性质3:不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.三、巩固新知1. 判断(1)∵a <b ,∴a -b <b -b.(2)∵a <b ,∴3a <3b.(3)∵a <b ,∴-2a <-2b.(4)∵-2a >0,∴a >0.(5)∵-a <0,∴a <3.2. 填空(1)∵2a >3a ,∴a 是 数.(2)∵3a <2a,∴a 是 数.(3)∵ax <a 且x >1,∴a 是 数.3.根据下列已知条件,说出a 与b 的不等关系,并说明是根据不等式哪一条性质.(1)a -3>b -3;(2)3a <3b;(3)-4a >-4b.四、总结归纳在学生自己总结的基础上,教师应强调两点:1. 等式性质与不等式性质的不同之处;2. 在运用“不等式性质3”时应注意的问题.五、布置作业教材P120习题9.1第4、5题.9.1 不等式(第三课时)教学内容不等式的性质.一、导入新课利用不等式的性质解下列不等式(1)x -7>26;(2)3x <2x +1;(3)32x >50;(4)-4x >3. 二、例题分析分析:解不等式.就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x >a 或x<a (a 为常数)的形式. 解:(1)根据不等式的性质1,不等式两边加7,不等式的方向不变,所以x -7+7>26+7.x >33.(2)根据不等式的性质1,不等式两边减2x ,不等式的方向不变,所以3 x -2 x <2 x +1-2x ,x <1.(3)根据不等式的性质2,不等式两边乘23,不等式的方向不变,所以 3223⨯x >50×23 x >75(4)根据不等式的性质3,不等式两边除以-4,不等式的方向改变,所以44--x <43-, x <43-. 教师在数轴上表示(1)(2)的解集,让学生在数轴上表示(3)(4)的解集.教师指出像a ≥b 或a ≤b 这样的式子,也经常用来表示两个数量的大小关系. 例如,为了表示2011年9月1日北京的最低气温是19℃,最高气温是28℃,我们可以用t 表示这天的气温,t 是随时间变化的.但是它有一定的变化范围,即t ≥19℃,并且t ≤28℃,符号“≥”读作“大于或等于”,也可说是“不小于”;符号“≤”读作“x 小于或等于”,也可说是“不大于”,A ≥b 或A ≤b 形式的式子,具有与前面所说的不等式的性质类似的性质.三、巩固新知1. 解下列不等式,并在数轴上表示解集:(1)x+5>-1;(2)4x<3x-5;(3)8x-2<7x+3.2. 用不等式表示下列语句并写出解集:(1)x与3的和不小于6;(2)y与1的差不大于0.四、解决问题例某长方体形状的容器长5 cm,宽3 cm,高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm,现准备向它继续注水.用V(单位:cm3)表示新注入水的体积,写出V的取值范围.解:新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积,即V+3×5×3≤3×5×10,V≤105.又由于新注入水的体积V不能是负数,因此, V 的取值范围是V≥0并且V≤105.在数轴上表示V 的取值范围如下图所示.五、课堂小结师生共同归纳本节课所学内容:通过学习,我们学会了简单的一元一次不等式的解法.还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的.六、布置作业教材P119页练习.9.2 一元一次不等式(第一课时)教学目标1. 感受生活中存在着大量的不等关系,了解一元一次不等式的意义.2. 通过解决简单的不等式,使学生会把一元一次不等式的解集正确地表示到数轴上.3. 能熟练解一元一次不等式.4. 会根据实际问题中数量关系建立数学模型,解决实际问题.5. 了解数学中的转化思想,感知不等式与方程的内在联系.6. 在积极参与数学学习活动的过程中,形成实事求是的态度和独立思考的习惯.教学重点1. 正确理解一元一次不等式解集的意义.2. 能熟练解一元一次不等式.3. 列不等式解决实际问题.教学难点1. 正确理解一元一次不等式解集的意义.2. 找出不等关系并用准确的不等式表示出来.教学内容一元一次不等式.一、提出问题我们已经知道了什么是不等式以及不等式的性质,本节我们将学习一元一次不等式及其解法.二、新课教学思考:观察下面的不等式.x -7>26,3x <2x +1,x >50,-4x >3.它们有哪些共同特征?可以发现,上述每个不等式都只含有一个未知数,并且未知数的次数是1.类似于一元一次方程,含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.从上节我们知道,不等式x -7>26的解集是x >33.这个解集是通过“不等式两边都加 7,不等号的方向不变”而得到的,事实上,这相当于由x -7>26得x >26+7.这就是说,解不等式时也可以“移项”,即把不等式一边的某项变号后移到另一边,而不改变不等号的方向.一般地,利用不等式的性质,采取与解一元一次方程相类似的步骤,就可以求出一元一次不等式的解集.三、实例探究例 解下列不等式,并在数轴上表示解集.(1)2(1+x )<3; (2)22x +≥312-x .解:(1)去括号,得2+2 x <3.移项,得2 x <3-2.合并同类项,得2 x <1.系数化为1,得 x <21. 这个不等式的解集在数轴上的表示如下图.让学生仿照(1),完成(2)的解答. 这个不等式的解集在数轴上的表示如下图.师提醒学生注意不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向改变.三、归纳总结解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为x<a或x>a的形式.四、布置作业教材P126习题9.2第1题.9.2 一元一次不等式(第二课时)教学内容一、导入新课有些实际问题中存在不等关系,用不等式来表示这样的关系,就能把实际问题转化为数学问题,从而通过解不等式得到实际问题的答案.二、新课教学1. 问题去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%.若到明年(365天)这样的比值要超过70%,那么明年空气质量良好的天数要比去年至少要增加多少天?2. 分析(1)去年空气质量良好的天数是365×60 %;(2)用x表示明年增加的空气质量良好的天数,则明年空气质量良好的天数是x+365×60%;(3)与x有关的哪个式子的值应超过70 %?这个式子表示什么?本题的不等关系是什么?不等关系是:明年空气质量良好的天数/365>70 %.(4)怎样解不等式(x +365×60%)/365>70 % ?3. 解答设明年比去年空气质量良好的天数增加了x .去年有365×60%天空气质量良好,明年有(x +365×60%)天空气质量良好,并且3656036500⨯+x >70%. 去分母,得x +219>255.5.移项,合并同类项,得x >36.5.由x 应为正整数,得:x ≥37.答:明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37,才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.注意:用不等式解应用问题时,要考虑问题的实际意义. 问题中的未知数都应是正整数.4. 思考比较解这个不等式与解方程(x +365×60%)/365=70%的步骤,两者有什么不同吗?学生分组讨论,师生共同归纳:一次不等式与解一元一次方程类似,只是不等式两边同乘(或除)以一个数时,要注意不等号的方向. 解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为x =a 的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为x >a (或x <a )的形式.四、课堂练习某工程队计划在10天内修路6 km. 施工前2天修完1.2 km 后,计划发生变化. 准备提前2天完成修路任务,以后几天内平均每天至少要修路多少?设以后几天内平均每天至少要修路x km ,则6x ≥6-1.2.解得x ≥0.8.所以,工程队以后几天内平均每天至少要修路0.8 km.五、布置作业教材P126习题6.2第6题.9.2 一元一次不等式(第三课时)教学内容.一、导入新课前面我们结合实际问题,讨论了如何根据数量关系列不等式以及如何解不等式.在本节课上,我们将进一步探究如何用一元一次不等式解决生活中的一些实际问题.二、新课教学1. 问题甲、乙两方案商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后,超过100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超过50元的部分按95%收费. 顾客到哪家商场购物花费少?2. 分析在甲商场累计购物超过100元后享受优惠,在乙商场累计购物超过50元后享受优惠. 因此,我们需要分三种情况讨论.(1)累计购物不超过50元.(2)累计购物超过50元但不超过100元.(3)累计购物超过100元.3. 解答(1)当累计购物不超过50元,在甲、乙两商场购物花费有区别吗?为什么?没有区别,因为两家商店都没有优惠.(2)当累计购物超过50元而不超过100元时,在哪家商店购物花费小?为什么?在乙商店购物花费小. 因为乙商店有优惠,而甲商店没有优惠.(3)当累计购物超过100元时,在哪家商店购物花费小?要分三种情况考虑:设累计购物x(x>100)元.①若到甲商场购物花费小,则50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100).解得x>150 .②若到乙商场购物花费小,则50+0.95(x-50)<100+0.9(x-100).解得 x <150 .这就是说,累计购物超过100元而不到150元时,到乙商场购物花费少.③ 若50+0.95(x -50)=100+0.9(x -100),解得x =150 .这就是说,累计购物为150元时,到甲、乙两商场购物花费一样.4. 注意问题比较复杂时,要考虑分类解答. 分类要做到不重不漏.四、课堂练习某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分,他至少要答对多少道题?设小明答对x 道题,则10x -5(20-x )>90.解得x >1232. 所以,小明至少要答对13道题.五、布置作业教材P126习题6.2第5、7、8题.9.3 一元一次不等式组教学目标1.理解一元一次不等式组解集的概念,掌握一元一次不等式组的解法.2.会利用数轴解简单的一元一次不等式组.3.通过练习,理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况.4.通过利用数轴来寻求不等式组的解,培养学生的观察能力、分析能力.5. 让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况,培养学生归纳总结能力.6. 通过用不等式组解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点1.掌握一元一次不等式组的解法.2.会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况.教学难点不等式组解集几种情况的灵活应用.教学内容一元一次不等式组.一、导入新课1. 问题用每分可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水超过1200 t 而不足1500 t,那么将污水抽完所用时间的范围是什么?2. 分析设用x min将污水抽完,则x 同时满足不等式30x>1 200,①30x<1 500.②类似于方程组,把这两个不等式合起来,组成一个一元一次不等式组,记作30x>1 200,30x<1 500.由不等式①,解得x>40.由不等式②,解得x<50.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(下图).从上图容易看出,x 取值的范围为40<x<50.这就是说,将污水抽完所用时间多于40 min 而少于50 min.3. 总结一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.三、课堂小结解一元一次不等式组的步骤:①求出每个不等式的解集;②把不等式的解集在同一数轴上表示;③找出这几个不等式解集的公共部分,可用阴影表示;④不等式组的解集就是这个公共部分.四、布置作业教材P129练习.9.3 一元一次不等式组(第二课时)教学目标1.理解一元一次不等式组解集的概念,掌握一元一次不等式组的解法.2.会利用数轴解简单的一元一次不等式组.3.通过练习,理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况.4.通过利用数轴来寻求不等式组的解,培养学生的观察能力、分析能力.5. 让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况,培养学生归纳总结能力.6. 通过用不等式组解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点1.掌握一元一次不等式组的解法.2.会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况.教学难点不等式组解集几种情况的灵活应用.教学内容一元一次不等式组的解法.一、导入新课复习上节内容,导入新课的教学.二、新课教学例1 解下列不等式组:(1)⎩⎨⎧-<++>-148112x x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧-<-++≥+xx x x 213521132 解:(1)解不等式①,得x >2.解不等式②,得x >3.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(下图).从上图可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集x >3.(2)解不等式①,得x ≥8.解不等式②,得x <54.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(下图).从上图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分,不等式组无解. 归纳:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.例2 x 取哪些整数值时,不等式5x +2>3(x -1)与21x -1≤7-23x 成立.分析:求出这两个不等式组成的不等式组的解集,解集中的整数就是 x 可取的整数值.具体步骤参见教材第129页例2.三、课堂小结解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.四、布置作业教材P130习题9.3第1、2题.。
第九章《不等式与不等式组》章末(教案)
1.讨论主题:学生将围绕“不等式与不等式组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点:
-不等式的性质及其应用
-不等式与不等式组的实际应用问题
-常见不等式的证明方法
-不等式组的解法与综合应用
2.教学难点:
-理解并灵活运用不等式的性质
-将实际问题转化为不等式模型
-掌握不等式证明的逻辑推理
-处理复杂的多元不等式性质在解题中的应用,如不等式的乘法、除法法则,以及如何利用性质简化不等式的解法。
在今后的教学中,我将继续关注学生的需求,努力提高他们的学科素养,使他们在学习不等式与不等式组的过程中,既能掌握知识,又能培养解决问题的能力。同时,我也将不断学习,提升自己的教学水平,为学生们提供更优质的教育。
4.不等式组的解法与应用:巩固不等式组的解法,学会将不等式组应用于解决实际问题。
5.综合练习:通过综合性的练习题,提高学生对本章知识点的掌握程度,培养其解决问题的能力。
二、核心素养目标
第九章《不等式与不等式组》章末核心素养目标:
1.培养学生逻辑推理与分析问题的能力,通过对不等式性质的探讨与运用,提高其数学逻辑思维。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与不等式相关的实际问题,如家庭预算分配、购物优惠策略等。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,比如制作不等式的数轴模型,演示不等式的解集表示。
第九章不等式与不等式组教案(人教版初一下)
第九章不等式与不等式组教案(人教版初一下)第一节、知识梳理一、学习目标1. 把握不等式及其解〔解集〕的概念,明白得不等式的意义.2. 明白得不等式的性质并会用不等式差不多性质解简单的不等式.3. 会用数轴表示出不等式的解集.二、知识概要1. 不等式:一样地,用不等号”〉"、”v"表示不等关系的式子叫做不等式2. 不等式的解:一样地,在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解3. 不等式的解集:一个不等式的所有解,组成那个不等式的解的集合,称之为此不等式的解集.4. 一元一次不等式:只含有一个未知数,且未知数的次数是 1 的不等式,叫做一元一次不等式.5. 不等式的性质:性质一:不等式的两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.性质二:不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数,不等号的方向不变.性质三:不等式的两边都乘以〔或除以〕同一个负数,不等号方向改变.6. 三角形中任意两边之差小于第三边.三、重点难点重点是不等式的差不多性质及其应用,难点是不等式和不等式解集的明白得.四、知识链接本周知识由往常学过的比较大小拓展而来,又为解决实际咨询题提供了一个解题的工具,并为以后学的不等式组打下基础.五、中考视点不等式也是经常考到的内容,经常显现在选择题、填空题中,以解不等式为主. 有时在一些解答题中也要用到不等式,利用不等关系求范畴等.第二节、教材解读1. 常用的不等号有哪些?常用的不等号有五种,其读法和意义是:〔1〕”工"读作”不等于",它讲明两个量是不相等的,但不能明确哪个大哪个小〔2〕”>"读作”大于'’,表示其左边的量比右边的量大〔3〕”v"读作”小于'’,表示其左边的量比右边的量小〔4〕”》"读作”大于或等于",即”不小于",表示左边的量不小于右边的量〔5〕y"读作”小于或等于",即”不大于'’,表示左边的量不大于右边的量2. 如何恰当地列不等式表示不等关系?〔1〕找准题中不等关系的两个量,并用代数式表示〔2〕正确明白得题目中的关键词语,如:多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义〔3〕选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来依照以下关系列不等式:a的2倍与b的亍的和不大于3.前者用代数式表示是2a+丁 b. ”不大于"确实是”小于或等于".列不等式为:2a+〒b w 3.3. 用数轴表示不等式注意什么?用数轴表示不等式要注意两点:一是边界;二是方向•假设边界点在范畴内那么用实心点表示,假设边界点不在范畴内,那么用空心圆圈表示;方向是关于边界点而言,大于向右画,而小于那么向左画在同一个数轴上表示以下两个不等式:x>-3 ; x w 2.V J 」O L 2 3第三节、错题剖析一、去括号时,错用乘法分配律【例1】解不等式3x+2〔2-4x〕<19.错解:去括号,得3x+4-4x<19,解得x>-15.诊断:错解在去括号时,括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解:去括号,得3x+4-8x<19 ,-5x<15,因此x>-3.二、去括号时,忽视括号前的负号5x-3 〔2x-1〕>-6.错解:去括号,得5x-6x-3>-6,解得x<3.诊断:去括号时,当括号前面是”-〃时,去掉括号和前面的”-〃,括号内的各项都要改变符号•错解在去括号时,没有将括号内的项全改变符号•正解:去括号,得5x-6x+3>-6 ,因此-x>-9,因此x<9.三、移项时,不改变符号【例3】解不等式4x-5<2x-9.错解:移项,得4x+2x<-9-5 ,即6x<-14,因此弓诊断:一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号,错解忽略了这一点.正解:移项,得4x-2x<-9+5 ,解得2x<-4,因此x<-2.四、去分母时,忽视分数线的括号作用【例4】解不等式错解:去分母,得6x-2x-5>14,解得4诊断:去分母时,假如分子是一个整式,去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时, 忽视了分数线的括号作用.正解:去分母,得6x- 〔2x-5〕>14,去括号,得6x-2x+5>14,解得儿【例5】解不等式3x —6 v 1+7x.错解:移项,得3x —7x v 1+6,即一4x v 7,因此诊断:将不等式一4x v 7的系数化为1时,不等式两边同除以一4后,依照不等式的差不多性质: 不等式两边同乘以或同除以同一个负数,不等号要改变方向,因此造成了错解正解:移项,得3x—7x<1+6,即—4x V 7,因此x > ■'【例6】x2与a的和不是正数用不等式表示.错解及分析:x 2+a<0.对”不是正数"明白得不清.x2与a的和是0或负数.正解:x2+a w 0.【例7】求不等式2 的非负整数解.—错解及分析:整理得,3x w 16,因此3故其非负整数解是1,2,3,4,5.本例的解题过程没有错误,错在对”非负整数'‘的明白得正解:整理得,3x< 16,因此故其非负整数解是0,1,2,3,4,5.【例8】解不等式3-5〔=x-2〕-4〔-1+5x〕<0.错解及分析:去括号,得3-x-2-4+5x<0,即4x<3,因此4此题一是去括号后各项没有改变符号;二是一个数乘以一个多项式时应该把那个数和多项式的每一项相乘.正解:去括号得3-x+10+4-20x<0,即-21x<-17,因此21【例9】解不等式7x-6<4x-9.错解及分析:移项,得7x+4x<-9-6 ,即11x<-15,因此LL '一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样,都要改变符号正解:移项,得7x-4x<-9+6 ,即3x<-3,因此x<-1.错解及分析:去分母,得3+2〔2-3x〕w 5〔1+x〕即11x>2,因此_'I |错误的缘故是在去分母时漏乘了不含分母的一项”3".正解:去分母,得30+2〔2-3x〕w 5〔1+x〕.即11x> 29,因此M【例11】解不等式6x-6W 1+7x.错解及分析:移项,得6x-7x w 1+6.即-x< 7,因此x<-7.将不等式-X W7的系数化为1时,不等式两边同除以-1,不等号没有改变方向,因此造成了错解正解:移项,得6x-7x<1+6.即-x< 7,因此x>-7.【例12】解关于x的不等式m〔x-2〕>x-2.错解:化简,得〔m-1〕x>2〔m-1〕,因此x>2.诊断:错解默认为m-1>0,实际上m-1还可能小于或等于0.正解:化简,得〔m-1〕x>2〔m-1〕,①当m-1>0 时,x>2;②当m-1<0 时,x<2;③当m-1=0时,无解.【例13】解不等式〔a —1〕x > 3.3错解:系数化为1,得X>4l .诊断:此题的未知数系数含有字母,不能直截了当在不等式两边同时除以那个系数,应该分类讨论正解:①当a— 1 > 0时,x > :I ;②当a= 1时,O X x> 3,不等式无解;③当a—1v 0 时,x v 口-1 .J【例14】不等式组12工-1<0的解集为错解:两个不等式相加,得x-1 v 0,因此x v 1.求出不等式组中各个不等式的解集,然后在数轴上表示出来,求得的公共部分确实是不等式组的解集,而不能用解方程组的方法来求解正解:解不等式组,得 2 .在同一条数轴上表示出它们的解集,如图,因此不等式组的解集为:[例15】解不等式组1儀+2心-£错解:因为5x-3 > 4x+2,且4x+2 > 3x-2 ,因此5x-3 > 3x-2.移项,得5x-3x > -2+3.解得x >L I.诊断:上面的解法套用了解方程组的方法,是否正确,我们能够在x>T的条件下,任取一个x的值,看是否满足不等式组•如取x = 1,将它代入5x-3 > 4x+2,得2 > 6〔不成立〕.可知x>—不是原方程组的解集,其造成错误的缘故是由原不等式组变形为一个新的不等式时,改变了不等式的解集正解:由5x-3 >4x+2,得x> 5.由4x+2> 3x-2,得x>— 4.综合x>5和x>—4,得原不等式组的解集为x>5.【例16】解不等式组5—49错解:由不等式2x+ 3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.因此原不等式组的解集为2>x>3.诊断:由不等式性质可得,2>3,这是不可能的.正解:由不等式2x+ 3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.因此原不等式组无解.错解:去分母,得 3 —4x —1>9x.移项,得—4x —9x> 1 —3合并,得—13x>—2系数化为1,得.诊断:此题忽视了分数线的双重作用,去分母时,假设分子为多项式,应对其加上括号•正解:去分母,得3-〔4x —1〕> 9x去括号,得3 —4x+1 > 9x.移项,得一4x —9x>-1 —3合并,得—13x >—4系数化为1,得I」【例18】假设不等式组^ 的解集为x>2,那么a的取值范畴是〔〕.A. a<2B. a <2C. a>2D. a >2s错解及分析:原不等式组可分为爼=6得a<2,应选A.x>2 f当a=2时,原不等式组变为厶解集也为x>2.正解:应为a< 2 ,应选B.2T<7+X ■)①【例19】解不等式组殳C.②错解:②—①,得不等式组的解集为x<-13.诊断:错解中把方程组的解法套用到不等式组中正解:由不等式2x<7+x得到x<7.由不等式3x<x-6得到x<-3.因此原不等式组的解集为x<-3.第四节、思维点拨一、巧用乘法【例1】解不等式0.125x V 3.【摸索与分析】此不等式是一元一次不等式的一样形式,只需不等式两边同时除以0.125,就能够化系数为” T,然而较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷.解:两边同乘以8,得x v 24.、巧去分母【例2】解不等式【摸索与分析】常规方法是先去分母,但认真观看就会发觉,可先进行移项【例2】解不等式移项,合并同类项,得6x w -6两边同时除以6得 x < -1.三、依照条件取专门值° -4-3-2-1 0 1合并同类项,得x > -1.2?t+l _喑-2小0.25fl 25 J【摸索与分析】 常规方法是去分母,两边同乘以分母的最小公倍数•但我们会注意到” 0.25 X 4 = 1, 0.5 X 2= 1”,那么利用分数的性质,对左边第一项分子、分母同乘以 4,第二项分子、分母同乘以2,如此就能够化去分母同时系数为整数解:利用分数的性质〔即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2〕,得 8X+4-2〔x — 2〕W 2,去括号,得 8x+4-2x+4W 2, ■号,【例4】 设a 、b 是不相等的任意正数,,那么x 、y 这两个数- —定是都不大于2 都不小于2 至少有一个大于2 至少有一个小于 2【摸索与分析】 不妨取a = 1,b = 3,得x = 10, y = J从而排除 A 、B ,再取 a = 3, b = 4,得,从而排除D,应选C.答案:C.【反思】用专门值法解选择题时,假如所取的专门值使部分选项取得相同的结果,那么应另选专门值再验,直至选出答案.四、依照数轴取专门值【例5】不等式组的解集在数轴上表示出来是如以下图中的〔解:移项,得 23-- ― -- >【例3】解不等式【摸索与分析】此题的常规方法是先解不等式组,然后再对比各选项选出正确答案,由于如此做要解不等式组,比较苦恼•认真观看各选项中的数轴,有两个专门数2,-1,不妨先取x = 2,代入临-I魯知常-I冶烁T之时T “2 2 不成立,故可排除A B.再取x = 0,代入丁~ 不成立,又可排除C,从而选D,如此做不仅节约了时刻,而且又减少了出错的机会.答案:D.【反思】用专门值法解选择题时,要综合运用验证法,排除法等技巧,快速选出正确答案.比较两个数或两个代数式的大小,能够运用求差法:假如a—b>0,那么a>b;假如a —b<0,那么a<b.运用求差法比较大小的一样步骤是:〔1〕作差;〔2〕判定差的符号;〔3〕确定大小.【例6】设x>y,试比较代数式-〔8-10x丨与—〔8-10y〕的大小,假如较大的代数式为正数,那么其中最小的正整数x或y的值是多少?【摸索与分析】依照求差法的步骤我们先求出两个式子的差,然后再依照条件x>y,来判定那个差的符号,从而比较两个代数式的大小解:由两式作差得-〔8-10x 丨一[—〔8-10y 丨]=-8+10x+8-10y = 10x-10y.因为x>y,因此10x>10y,即10x-10y>0.因此-〔8-10x〕>—〔8-10y〕.又由题意得-〔8-10x〕>0,即x>3",因此x最小的正整数值为1.【例7】有一个三口之家预备在假期出外旅行,咨询时了解到东方旅行社规定:假设父母各买一张全票那么小孩能够按全票的七折购票;而光明旅行社那么规定:三人均可按团体票计价,即按全票的80% 收费.假设两家旅行社的票价相同,那么实际哪家收费较低呢?【摸索与分析】要比较哪家旅行社的收费低,我们能够先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用,然后依照求差法的步骤,求出两个式子的差,再依照条件判定那个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解:设这两家旅行社全票的价格为a元,依题意东方旅行社的收费为2a+ 70%a= 2.7a ,光明旅行社的收费为3a x 80%= 2.4a.因为 2.7a — 2.4a = 0.3a>0 ,因此实际上光明旅行社的收费较低.【反思】在解题时我们什么缘故设这两家旅行社全票的价格为a元呢?因为假如不设的话,我们即使明白用求差法比较大小,也无从下手五、巧去括号【例8】【摸索与分析】观看题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号,再去小括号,如此会使运算简便解:去中括号,得'去分母,得3x+60 v 28+8x,移项,合并同类项,得-5x V -32 ,化系数为I「得怎碍【例2】解不筹式:2呼讥討一圭山訴一【摸索与分析】观看题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号,给后面的运算带来方便解:去小括号,得鬲二討丄]耳4,即3 3 5 4再去中括号「得去分曰•得&0x+24^ I 5% F移项「合并同类项「得血A24一北济数为1「得心-菩□J六、巧用”整体思想〃【例9】解不等式:2x-l-[3(2x-l)-b3]<|-.【摸索与分析】观看题目中括号内外可知都有相同的项:2x-1,我们把2x —1视为整体,再去中括号和分母,那么可使运算简捷.解:3〔2x-1〕-9〔2x-1〕-9 v 5.合并同类项得-6X〔2x-1〕V 14.反思:我们在解带有括号的一元一次不等式时,我们要善于观看题目的特点,巧去括号可使运算简便•【例10】在欧洲足球锦标赛中,共有16支队伍参加竞赛,争夺象征欧洲足球最高荣誉的”德劳内杯" .16支队伍被分成4个小组,进行单循环赛〔即每个队需同其他三个队各赛一场〕,胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分,每组按照积分的前两名出线进入前八强,每个队在小组赛中需积多少分,才能确保出线?【摸索与分析】依照题意,只有小组赛中的积分的前两名才能出线,我们能够分几种情形来讨论出线积分的多少.〔1〕假设某一队三战全胜积9分,那么同组的另一小队需保证小组第二才有出线的期望,在剩下的两场竞赛中,它有六种可能:两场全胜积6分,一胜一平积4分,一胜一负积3分,两平积2分,一平一负积1分,两负积0分•〔三场竞赛,确信有一场负〕因此,在这种情形中,至少积6分才能确保出线;〔2〕假设某一队三战两胜一平积7分,那么小组第二至少要两胜积6分才能出线;〔3〕假设某一队三战两胜一负积6分,那么其他两个队也可能三战两胜一负积6分,如此三队同积6分,不能确保小组出线•由以上摸索讨论可知,在小组赛中,积分可能显现三个队积分相同,为了确保出线,至少需积7分,才能保证以小组第二的身份出线.解:需7分.【小结】通过解题过程我们明白做这类题的时候要注意:在足球竞赛中,一样按积分多少排名次;积分相等的两队,净胜球数多的队名次在前;积分、净胜球数都相等的球队,进球数多的队名次在前;分析有关足球竞赛的咨询题时,不能单纯的利用不等关系判定,还要注意到相互之间的胜负关系第五节、竞赛数学【例1】满足:「' 的x的值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于.【摸索与分析】要求出那些整数之和,必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解,因此我们应该先解不等式.解:原不等式去分母,得3〔2 + x〕》2〔2x —1〕,去括号,移项,合并同类项,得—x>—8, 即卩x w8.满足x<8且绝对值不超过11的整数有0, 土 1 ,± 2,± 3,± 4,± 5,± 6,± 7,± 8,—9,—10, —11.这些整数的和为〔一9〕+〔一10〕+〔一11〕= —30.【例2】假如关于x的一元一次方程3〔x+ 4〕= 2a+ 5的解大于关于x的方程—5 》—的解,那么〔〕•A. €>2艮心<2匚* 18【摸索与分析】这道题把方程咨询题转化为解不等式咨询题,利用了转化的数学思想.由于第个方程的解大于第二个方程的解, 只要先分不解出关于 x 的两个方程的解〔两个解差不多上关于 a 的式子〕, 再令第一个方程的解大于第二个方程的解,就能够求出咨询题的答案_勿-7解:关于x 的方程3〔x + 4〕= 2a + 5的解为”:丄^2【例3】 假如爭 7肛,2+c>2,那么〔答案.因此a<0.由2+c>2,得c>0,那么有一c<c. 两边都加上a ,得a-c<a+c ,排除A ;由 a<0, c>0,得 ac<0, - ac>0,从而 ac<-ac ,排除 C ; 由a<0,两边都加上 2a ,得3a<2a ,排除D.答案应该选B,事实上,由a<0,得—a>0,从而—a>a ,两边同时加上 c ,可得c — a>c + a.5【例4】 四个连续整数的和为 S , S 满足不等式,这四个数中最大数与最小数的平方差等于 __________________________ .【摸索与分析】 由于四个数是连续整数,我们欲求最大值与最小值,故只须知四数之一就行了,由它们的和满足的不等式就能够求出•解: 设四个连续整数为 m-1, m m+1, m+2它们的和为 S = 4m + 2.解得7<m<9.由于m 为整数,因此 m= 8,那么四个连续整数为7 , 8 , 9 ,10 ,因此最大数与最小数的平方的差2 2为 10 — 7 = 51.从数轴上看,一个数的绝对值确实是表示那个数的点离开原点的距离•但除零以外,绝对值差不多上 表示两个数的绝对值,即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于那个性质,含有绝对值号的不等式的 求解过程显现了一些C. ac>-acD. 3a>2a【摸索与分析】两个不等式分不是关于 a 和c 的不等式,求得它们的解集后,便能够找到正确的A. a-c>a+cB. c-a>c+a产旳得心警<19 ,新特点.A. 1 , 2B.1 , 2, 3C. 1 , 2, 0D. 1 , 2 , 3 , 0一个实数a 的绝对值记作I a I,指的是由a 所惟一确定的非负实数:当时;1^1= C r 当 50 时;-Or 当Q 如时. 含绝对值的不等式的性质: 〔1〕 I a I>I b I —b w |a| 或 b > -|a| ,I a IwI b I 一• I b Iw a wI b I ;〔2〕 I a I - I b IwI a+b IwII a I + I b I; 〔3〕 I a I- I b IwI a-b IwI a I + I b I .由于绝对值的定义,含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算•通常的手法是按照绝对值符号内 的代数式取值的正、负情形,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值号的代数式进行运算,即含有绝对值号 的不等式的求解,常用分类讨论法•在进行分类讨论时,要注意所划分的类不之间应该不重、不漏•下面 结合例题予以分析.【例5】解不等式丨x-5 | - | 2x+3 |< 1.【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论: 2 ' 2解:〔1〕当当x w 2时,原不等式化为-〔x-5丨-:-〔2x+3〕< 1,ra解得x<-7,结合x w ■,故x<-7是原不等式的解; 〔2〕当I 匕<x w5时,原不等式化为 -〔x-5〕-〔 2x+3〕< 1,条冷-r 结合◎理行故£炊理5解得 3丄3是原不等式的解;〔3〕当x > 5时,原不等式化为: x-5-〔 2x+3〕< 1,解得x >-9,结合x > 5,故x > 5是原不等式的解.年叱一7动I 富A --~综合〔1〕,〔2〕,〔3〕可知, 3是原不等式的解.第六节、本章训练基础训练题1.不等式x + 3< 6的非负整数解为〔 〕2. 三个连续奇数的和不超过27且大于10,如此的数组共有〔A. 1个B. 2 个C. 3个D. 4个3. 的值不小于一2,那么a的取值范畴是〔〕.yB. 心}°^4_L 旦4. 假设I + 2x的值不大于8 —」的值,那么x的正整数解是_____________________________________ .5. 小明预备用26元钞票买火腿肠和方便面,一根火腿肠2元,一盒方便面3元,他买了5盒方便面,还能够买多少根火腿肠?6. 小华用最小刻度是1厘米的刻度尺,测量一本书的长,测得结果是17.5厘米,这0.5厘米是他估量的,并不准确,假设设他所测量的书的长为x厘米,那么x应该满足的不等式是什么?答案1. C2. B3. C4. 1 ,2,5. 解:设还能够买x根火腿肠.由题意我们可列不等式5X 3+ 2x w 26,解得因为x必须为正整数,因此x= 1 , 2, 3,4,5.答:小明还能够买火腿肠的数目不超过6. 解:17V X V 18.提高训练题2.李明在第一次数学测验中得76分,在第二次测验中得92分,设第三次测验的分数为x,且三次的平均分不低于85分,求x的取值范畴3. 小强去超市买某种牌子的衬衣,该种衬衣单价为每件100元,小强想买的衬衣数许多于5件,路上交> 5通费为10元,小强预备钞票时有以下几种选择:预备 400元,预备500元,预备510元,预备610元.请你讲明哪种方案可行?4. 某商城以单价260元购进一批DVD 机,出售时标价398元,由于销售不行,商场预备降价出售,但要 保证利润不低于10% .小明讲: ”可降价 100元.” 小英讲: ”可降价 150元.” 小华讲: ”降价不能超过 112元.” 你同意他们谁的讲法?5. 巧解以下不等式:〔1〕0.375x- 2W 0.5xI! 42 〔2〕7 33 72 <2 % ! 13〔4〕91 [ 9 1[6. 解以下不等式: 〔1〕9-2 〔 x — 2〕》6 〔2〕 12-3x v 8-2x答案1M ;将原不等式裂顷早字一亠一字―丄4 4 8b PR,约分得冷++” 移项峙■+ 合并得S &2. 解:由题意得我们可列不等式7百十92林3>85,解得 x >87.3. 解:设小明预备了 x 元钞票.5E-IOToo -7.我们由题意可列不等式勺3c —5解得x > 510.因此预备510元或预备610元都能够.4. 解:设降价x元.5. 〔1〕x>-16〔提示:不等式两边同乘8〕;(2).提示原不筠式勰项再合那卩■U可消去令母);(3)g-K提示同<5x2-1 闪」2S«H Th(4)应寻(提氐原不等武先移项再合并即可消去分母).2.{I)兀丘壬;⑵;r>4.玄榊豳惫可知辛亠竽朋导込¥我们能够由题意列不等式398-x —260》260X 10% .解得x< 112.因此小明和小华的讲法是正确的.强化训练题a丰2 片2a+11. 假设实数a > 1,那么实数M= a, 一3的大小关系是〔〕.A . P > N> M B. M> N> PC . N > P> M D. M> P> N2. 假设0v a v 1,那么以下四个不等式中正确的选项是〔〕.A. c<l<—B T a<—<la aC. ■--I D- L U-a a3. a、b、c在数轴上的对应点的位置如下图,以下式子正确的有〔丨.£占心■_ ------- 1—«_■ -1_*_i ---- -- -2-10123① b+c > 0 :② a+b > a+c;③ be > ac;④ ab >ac.A . 1 个B. 2 个C . 3 个D. 4 个.4. 我市某初中举行”八荣八耻〃知识抢答赛,总共50道抢答题.抢答规定:抢答对1题得3分,抢答错1题扣1分,不抢答得0分.小军参加了抢答竞赛,只抢答了其中的20道题,要使最后得分许多于50分,咨询小军至少要答对几道题?5. 前年物价涨幅〔即前年物价比上一年,也确实是大前年物价增加的百分比〕为 15%,估量今年物价涨幅降低 5个百分点,为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出必须比今年物价涨幅至少再降低 x 个百分点〔x 为整数〕那么x =〔 〕6.某商场打算投入一笔资金,采购紧销商品 .经调查发觉,如月初出售,可获利投资其他商品,那么月末又可获利 10% ;如等到月末出售可获利 30%,但需要支付仓储费用 700元.请咨询依照商场资金多少,如何购销获利较多? 7. 小王家里装修,他去商店买灯,商店柜台里现有功率100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯,它们的单价分不为2元和32元,经了解明白这两种灯的照明成效和使用寿命差不多上一样的 .小王家所在地的电价为每度0.5元,请咨询当这两种灯的使用寿命超过多长时刻时,小王选择节能灯才合算。
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版
一、教学目标1. 知识与技能:学生能够理解不等式的基本概念。
学生能够解一元一次不等式。
2. 过程与方法:学生通过实例感知不等式的实际应用。
学生通过合作交流,掌握解不等式的方法。
3. 情感态度价值观:学生培养对数学的兴趣,感知数学与生活的联系。
二、教学重点与难点1. 重点:不等式的概念与性质。
不等式的解法。
2. 难点:不等式组的解法与解的意义。
三、教学方法与手段教学方法:采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法。
教学手段:多媒体教学、板书、教学软件。
四、教学内容1. 第一课时:不等式的概念与性质导入:通过生活实例引入不等式概念。
新课:讲解不等式的基本性质。
练习:解简单的不等式。
2. 第二课时:不等式的解法导入:回顾一元一次方程的解法。
新课:引导学生掌握不等式的解法。
练习:解不同类型的不等式。
3. 第三课时:不等式组的解法导入:通过实例引入不等式组的概念。
新课:讲解不等式组的解法。
练习:解复杂的不等式组。
4. 第四课时:不等式应用题导入:通过实际问题引入不等式应用。
新课:讲解不等式在实际问题中的应用。
练习:解决实际问题的不等式应用题。
5. 第五课时:复习与拓展复习:总结不等式与不等式组的主要知识点。
拓展:引导学生思考不等式在生活中的广泛应用。
五、教学反思课后收集学生反馈,评估教学效果。
根据学生掌握情况,调整后续教学计划。
反思教学方法,确保学生能够有效理解和运用不等式知识。
六、教学评价通过课堂练习和课后作业评估学生的掌握情况。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法。
结合学生的课堂表现和作业完成情况,全面评价学生的学习效果。
七、教学拓展引导学生将不等式知识应用到其他学科中,如科学实验中的数据比较。
通过数学故事或历史,让学生了解不等式在数学发展中的地位和作用。
鼓励学生参与数学竞赛或研究项目,提高解决复杂问题的能力。
八、教学资源利用互联网资源,如教育平台和数学论坛,获取最新的教学内容和方法。
结合学校图书馆的资源,推荐相关的数学读物,拓宽学生的知识视野。
数学人教版七年级下册不等式与不等式组教学设计
数学人教版七年级下册不等式与不等式组教学设计教学目标:1. 理解不等式的含义,能够用符号表示不等式。
2. 学会解不等式,并能够在数轴上表示出解集。
3. 能够解不等式组,并能够在数轴上表示出解集。
教学重点:1. 不等式的理解和解不等式的方法。
2. 不等式组的理解和解不等式组的方法。
教学难点:1. 不等式组的解集表示及其在数轴上的表示。
教学程序:1. 导入:教师通过提问和情境引入不等式的概念,例如:小明有一些苹果和橙子,苹果的个数比橙子多,用不等号表示苹果的个数比橙子多。
2. 呈现:教师通过示例展示不等式的符号表示法,并解释符号的意义。
3. 讲解:教师向学生讲解解不等式的方法,例如:1)当不等式中含有加法或减法时,可以通过移项的方式得到解;2)当不等式中含有乘法或除法时,需要注意正负号对不等式的影响。
4. 操练:教师设计一些不等式的练习题,让学生进行解答,并在黑板上解答出解。
5. 总结:教师带领学生总结解不等式的方法和技巧,并整理出解不等式的步骤。
6. 引入:教师通过情境和问题引入不等式组的概念,例如:小明和小红要一起去买书,小明有50元,小红有80元,他们想要买的书的价格范围在多少之内?7. 呈现:教师通过示例展示不等式组的符号表示法,并解释符号的意义。
8. 讲解:教师向学生讲解解不等式组的方法,例如:1)当不等式组中含有和或差时,可以通过求解每个不等式得到解集;2)当不等式组中含有乘积或商时,需要考虑正负号对不等式的影响。
9. 操练:教师设计一些不等式组的练习题,让学生进行解答,并在黑板上解答出解集。
10. 总结:教师带领学生总结解不等式组的方法和技巧,并整理出解不等式组的步骤。
11. 练习:教师设计一些综合性的练习题,让学生进行解答,并在黑板上解答出解集。
12. 拓展:教师鼓励学生思考不等式在实际问题中的应用,并给予一些拓展题目进行思考和解答。
13. 归纳:教师和学生一起对本节课所学的内容进行归纳总结,并回顾解不等式和不等式组所用到的方法和技巧。
不等式与不等式组教案
不等式与不等式组教案一、教学目标知识与技能:1. 理解不等式的概念,掌握不等式的基本性质。
2. 掌握不等式组的解法,能够解决实际问题。
过程与方法:1. 通过实例,培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
2. 学会用不等式表示实际问题,培养建模能力。
情感态度价值观:1. 培养学生的逻辑思维能力,提高解决实际问题的积极性。
2. 培养团队协作精神,提高课堂参与度。
二、教学重点与难点重点:1. 不等式的概念与基本性质。
2. 不等式组的解法。
难点:1. 不等式组在实际问题中的应用。
2. 不等式求解过程中的边界条件判断。
三、教学方法情景教学法、案例教学法、小组讨论法、问答法。
四、教学准备教材、多媒体课件、实例题、练习题、小组讨论卡片。
五、教学过程1. 导入:利用实例引入不等式的概念,如身高、体重等,引导学生理解不等式的意义。
2. 讲解:讲解不等式的基本性质,如加减乘除对不等式的影响,并通过示例进行演示。
3. 案例分析:给出实际问题,让学生用不等式表示,并求解。
如:“某班有男生和女生共60人,男生人数是女生的两倍,求男生和女生各有多少人?”4. 练习:让学生独立解决练习题,巩固所学知识。
5. 小组讨论:分组讨论不等式组的问题,如:“已知a>b,求解不等式组a+c>b+c和ac>bc。
”6. 总结:对本节课的主要内容进行总结,强调不等式和不等式组在实际问题中的应用。
7. 作业布置:布置一些有关不等式和不等式组的练习题,巩固所学知识。
8. 课后反思:对本节课的教学效果进行反思,针对学生的掌握情况,调整教学策略。
六、教学拓展1. 引入不等式的历史背景,让学生了解不等式的发展过程。
2. 介绍不等式在数学和其他学科中的应用,拓宽学生视野。
七、课堂互动1. 问答环节:教师提问,学生回答,巩固知识点。
2. 小组竞赛:设置有关不等式的竞赛,激发学生学习兴趣。
八、教学评价1. 课后作业:检查学生对不等式和不等式组的掌握情况。
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版一、教学目标:知识与技能:使学生掌握不等式的概念、性质和基本运算;学会解一元一次不等式及不等式组。
过程与方法:通过观察、实验、探究等活动,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生克服困难、自主学习的品质。
二、教学内容:第一课时:不等式的概念与性质1. 不等式的定义2. 不等式的性质第二课时:不等式的基本运算1. 不等式的加减法2. 不等式的乘除法第三课时:解一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法2. 解不等式组的策略第四课时:不等式应用举例1. 应用不等式解决实际问题2. 不等式组在实际问题中的应用第五课时:复习与拓展1. 复习不等式、不等式组的解法及应用2. 拓展练习三、教学重点与难点:重点:不等式的概念、性质,解一元一次不等式及不等式组的方法。
难点:不等式的性质,解一元一次不等式,不等式组在实际问题中的应用。
四、教学方法:采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等,引导学生主动探究、合作交流,培养学生的数学素养。
五、教学过程:第一课时:1. 导入新课:通过生活中的实例引入不等式概念。
2. 讲解不等式的性质。
3. 练习不等式的基本运算。
第二课时:1. 讲解不等式的加减法运算。
2. 讲解不等式的乘除法运算。
3. 练习不等式的基本运算。
第三课时:1. 讲解一元一次不等式的解法。
2. 讲解解不等式组的策略。
3. 练习解一元一次不等式及不等式组。
第四课时:1. 举例讲解应用不等式解决实际问题。
2. 举例讲解不等式组在实际问题中的应用。
3. 练习不等式及不等式组在实际问题中的应用。
第五课时:1. 复习不等式、不等式组的解法及应用。
2. 拓展练习。
六、教学评价:采用课堂练习、课后作业、小组讨论、个人总结等方式进行教学评价。
重点关注学生对不等式及不等式组的掌握程度,以及在实际问题中的应用能力。
七、教学策略:1. 采用多媒体课件辅助教学,直观展示不等式的性质和运算过程。
初一数学不等式与不等式组教案
初一数学不等式与不等式组教案不等式是数学中一种重要的比较大小关系表示方式,不等式组则是由多个不等式组成的集合。
在初一数学中,不等式与不等式组是基础知识之一,掌握好这部分内容对于后续学习的数学知识具有重要意义。
在本文中,笔者将介绍初一数学中不等式与不等式组的相关知识,以及教学过程中的注意点和教学案例。
一、不等式1.基本概念不等式是表示数值大小比较关系的一种数学符号组合,通常用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号进行表示。
其中,大于号“>”表示左边的数值大于右边的数值,小于号“<”表示左边的数值小于右边的数值,大于等于号“≥”表示左边的数值大于等于右边的数值,小于等于号“≤”表示左边的数值小于等于右边的数值。
例如,2>1表示2大于1;3<5表示3小于5;4≥3表示4大于等于3;7≤9表示7小于等于9。
2.解不等式解不等式是指找出不等式中变量的取值范围。
对于一元一次不等式ax+b>0(a≠0)来说,解法与一元一次方程类似,首先将不等式移项,然后根据系数的正负性进行分类讨论,最后得到变量x的取值范围。
例如,对于不等式3x-4>2x+1,首先将不等式移项得到x>5。
由于系数3和2都是正数,因此变量x的取值范围是大于5的实数集合。
即x∈(5,∞)。
不等式组是由多个不等式组成的集合,通常用大括号“{}”表示。
不等式组中的不等式可以相互独立,也可以相互依存。
例如,{x+y<2,x-y>1}就是一个包含两个不等式的不等式组。
解不等式组是指找出满足所有不等式的解集。
对于一组由n个不等式构成的不等式组来说,其解法相对于解单个不等式就要复杂得多。
我们可以采用图示法、消元法、逐步缩减法等方法进行求解。
例如,对于不等式组{x+y>1,x-y<2},我们可以通过将其转化为单个不等式来求解。
将两个不等式相加,得到2x>3,即x>3/2;将两个不等式相减,得到2y<-1,即y<-1/2。
不等式与不等式组教案
不等式与不等式组教案教案标题:不等式与不等式组教学目标:1. 理解不等式的概念及其符号表示法。
2. 掌握不等式的解集表示方法。
3. 能够分析和解决简单的一元一次不等式。
4. 理解不等式组的概念及其符号表示法。
5. 能够解决简单的一元一次不等式组。
教学准备:1. 教师准备:教学课件、教材、黑板、白板、彩色笔等。
2. 学生准备:课本、作业本、笔、计算器等。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 教师通过举例引入不等式的概念,如:5 > 3、2x + 1 < 7等。
2. 引导学生思考不等式与等式的区别,并让学生总结不等式的符号表示法。
二、讲解不等式(15分钟)1. 教师通过教学课件或黑板上的示意图,讲解不等式的图形表示法。
2. 介绍不等式的解集表示方法,如用集合的形式表示解集。
3. 引导学生通过例题分析不等式的解集,如x > 3的解集为{x | x ∈ R, x > 3}。
三、解决一元一次不等式(20分钟)1. 教师通过示例讲解解决一元一次不等式的步骤,如移项、化简、判断符号等。
2. 引导学生通过练习解决一元一次不等式,如2x + 1 > 7、3x - 2 ≤ 4等。
四、讲解不等式组(10分钟)1. 教师引入不等式组的概念,并讲解不等式组的符号表示法。
2. 介绍不等式组的解集表示方法,如用集合的形式表示解集。
3. 引导学生通过例题分析不等式组的解集,如{x, y | x + y ≤ 5, x - y > 1}。
五、解决一元一次不等式组(20分钟)1. 教师通过示例讲解解决一元一次不等式组的步骤,如联立、化简、判断符号等。
2. 引导学生通过练习解决一元一次不等式组,如{x, y | x + y ≤ 5, x - y > 1}。
六、总结与拓展(10分钟)1. 教师与学生共同总结本节课所学的知识点和解题方法。
2. 引导学生思考不等式与等式的联系和区别,并解答学生提出的问题。
不等式与不等式组教案
不等式和不等式组一. 不等式和不等式的解1.不等式的定义先回忆一下,什么是等式?等式是用等号连接起来的式子。
那么不等式呢?不等式当然是用不等号连接起来的式子啦。
不等号有哪些呢?“”,“”,“≤”,“≥”,“≠”这些都是表示不等关系的不等号。
2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解例题:下面选项中是不等式3x+7≥13的解的是()A.0B.1C.2D.33.不等式的解集:使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集例题:如果-3(x+3)≤-27,则x的取值范围是,在下面的数轴上表示该解集。
*注意区分“解”和“解集”。
4.不等式的性质:①不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变:若a>b,则a+c__b+c(a-c__b-c)②不等式的两边乘(或除)同一个正数,不等号的方向不变:若a>b,且c>0;则ac__bc(ac__bc)③不等式的两边乘(或除)同一个负数,不等号的方向改变:若a>b,且c<0;则ac__bc(ac__bc)例题:利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示出来:1.x-7>26 2.3x<2x+13.2503x> 4.-4x≥35.解不等式的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1。
例题:解下列不等式:1. 3(2x+7)>232. 12-4(3x-1) ≤2(2x-16)3.325153x x+-<- 4.213153212x x---≥练一练:解不等式101532x x++≥-,并在数轴上表示出来。
*注意,在数轴上表示不等式的解集时,注意两“定”:一定“边界点”,二定“方向”。
若边界点包含于解集,则为实心圆点,若边界点不包含于解集则为空心圆圈;对于方向,相对于边界点而言,“大于向右,小于向左”。
二. 不等式组回忆一下二元一次方程组,我们知道方程组是有几个不同的方程组成的,不等式组也是由不同的不等式组成的,这里的不等式都是指一元一次不等式。
不等式及不等式组教案5篇
不等式及不等式组教案5篇(实用版)编制人:______审核人:______审批人:______编制单位:______编制时间:__年__月__日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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不等式及不等式组教案
不等式及不等式组教案一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念,掌握不等式的基本性质。
2. 让学生学会解一元一次不等式,并能应用不等式解决实际问题。
3. 使学生了解不等式组的概念,掌握解不等式组的方法。
二、教学内容1. 不等式的概念与基本性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式组的解法4. 不等式及不等式组在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点:不等式的概念,不等式的基本性质,一元一次不等式的解法,不等式组的解法。
2. 教学难点:不等式组的解法,不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生探索不等式的概念与性质。
2. 采用实例分析法,让学生通过实际问题学习不等式的解法。
3. 采用小组合作法,让学生在探讨不等式组的解法过程中,培养团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课:通过生活实例引入不等式的概念,激发学生的学习兴趣。
2. 讲解不等式的概念与基本性质,让学生通过例题掌握不等式的解法。
3. 讲解一元一次不等式的解法,引导学生运用不等式的性质解决实际问题。
4. 讲解不等式组的解法,让学生通过练习掌握解不等式组的方法。
6. 课后作业:布置相关练习题,巩固所学知识,提高学生的解题能力。
六、教学评价1. 评价学生对不等式概念的理解程度,通过课堂提问和作业批改进行评估。
2. 评价学生对不等式基本性质的掌握情况,通过相关练习题和测验进行评估。
3. 评价学生对一元一次不等式解法的应用能力,通过实际问题解决和作业批改进行评估。
4. 评价学生对不等式组的解法能力,通过解不等式组的练习题和测验进行评估。
七、教学拓展1. 引导学生思考实际生活中的不等式问题,提高学生运用不等式解决实际问题的能力。
2. 介绍不等式的进一步概念,如不等式的两边乘以或除以同一个负数时,不等号的方向如何变化。
3. 引导学生探索不等式组在更复杂问题中的应用,如线性不等式系统或多变量不等式系统。
八、教学资源1. 教案、PPT课件、教学视频等教学资料。
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版
教案:七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版第一章:不等式的概念与性质1.1 不等式的定义教学目标:理解不等式的概念;掌握不等式的基本性质。
教学内容:引入不等式的概念,介绍大于、小于、等于的关系;讲解不等式的读写方法;强调不等式的两边都要进行相同的操作。
教学步骤:1. 引入不等式的概念,通过实际例子让学生理解不等式的含义;2. 讲解不等式的读写方法,例如“2 > 1”读作“2大于1”;3. 强调不等式的两边都要进行相同的操作,例如如果两边乘以同一个正数,不等号的方向不变;4. 进行一些简单的练习题,让学生巩固不等式的概念和性质。
1.2 不等式的运算教学目标:掌握不等式的基本运算规则;能够解决一些简单的不等式问题。
教学内容:介绍不等式的加减乘除运算规则;讲解不等式的运算顺序;举例说明不等式的运算方法。
教学步骤:1. 介绍不等式的加减乘除运算规则,例如同号相加、异号相减等;2. 讲解不等式的运算顺序,例如先乘除后加减;3. 通过一些具体的例子,让学生学会解决一些简单的不等式问题;4. 布置一些练习题,让学生巩固不等式的运算方法。
第二章:不等式组的解法2.1 不等式组的定义教学目标:理解不等式组的含义;学会解不等式组的方法。
教学内容:引入不等式组的概念;讲解不等式组的解法步骤;强调解不等式组时的注意事项。
教学步骤:1. 引入不等式组的概念,通过实际例子让学生理解不等式组的含义;2. 讲解不等式组的解法步骤,例如先解每个不等式,根据不等式之间的关系进行取舍;3. 强调解不等式组时的注意事项,例如要注意不等号的方向和大小关系;4. 进行一些简单的练习题,让学生巩固不等式组的解法。
2.2 不等式组的应用教学目标:能够应用不等式组解决实际问题;学会不等式组的应用方法。
教学内容:介绍不等式组在实际问题中的应用;讲解不等式组的应用方法;举例说明不等式组的应用例子。
教学步骤:1. 介绍不等式组在实际问题中的应用,例如合理安排时间、分配资源等;2. 讲解不等式组的应用方法,例如将实际问题转化为不等式组,解不等式组得到答案;3. 通过一些具体的例子,让学生学会解决一些实际问题;4. 布置一些练习题,让学生巩固不等式组的应用方法。
七年级不等式与不等式组教案
12、求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围.13、若关于x 的不等式组41320x x x a +⎧≥+⎪⎨⎪+≤⎩的解集为x ≤2,试求a 的取值范围.14、你能求出三个不等式513(1)x x ->+,131322x x ->-,131x x -<+的解集的公共部分吗?四、(应用拓展、边讲边练)1、解不等式0.125x <3.【思考与分析】 此不等式是一元一次不等式的一般形式,只需不等式两边同时除以0.125,就可以化系数为“1”,但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷.解: 两边同乘以8,得x <24.2、解不等式【思考与分析】 常规方法是先去分母,但仔细观察就会发现,可先进行移项.解: 移项,得合并同类项,得x ≥-1.3、解不等式 【思考与分析】 常规方法是去分母,两边同乘以分母的最小公倍数.但我们会注意到“0.25×4=1,0.5×2=1”,则利用分数的性质,对左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2,这样就可以化去分母并且系数为整数.解: 利用分数的性质(即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2),得8x+4-2(x -2)≤2,去括号,得8x+4-2x+4≤2,移项,合并同类项,得6x ≤-6两边同时除以6得x≤-1.4、设a、b是不相等的任意正数,又x=,则x、y这两个数一定是()A.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个大于2D.至少有一个小于2【思考与分析】不妨取a=1,b=3,得x=10,y=从而排除A、B,再取a=3,b=4,得,从而排除D,故选C.答案:C.【反思】用特殊值法解选择题时,如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果,则应另选特殊值再验,直至选出答案.5、不等式组的解集在数轴上表示出来是如下图中的()【思考与分析】本题的常规方法是先解不等式组,然后再对照各选项选出正确答案,由于这样做要解不等式组,比较麻烦.仔细观察各选项中的数轴,有两个特殊数2,-1,不妨先取x=2,代入不成立,故可排除A、B.再取x=0,代入不成立,又可排除C,从而选D,这样做不仅节省了时间,而且又减少了出错的机会﹒答案:D.【反思】用特殊值法解选择题时,要综合运用验证法,排除法等技巧,快速选出正确答案﹒比较两个数或两个代数式的大小,可以运用求差法:如果a-b>0,则a>b;如果a-b<0,则a<b.运用求差法比较大小的一般步骤是:(1)作差;(2)判断差的符号;(3)确定大小.6、设x>y,试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小,如果较大的代数式为正数,则其中最小的正整数x或y的值是多少?【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差,然后再根据已知条件x>y,来判断这个差的符号,从而比较两个代数式的大小.解:由两式作差得-(8-10x)-[-(8-10y)]=-8+10x+8-10y =10x-10y.因为x>y,所以10x>10y,即10x-10y>0.所以-(8-10x)>-(8-10y).又由题意得-(8-10x)>0,即x>,所以x最小的正整数值为1.7、有一个三口之家准备在假期出外旅行,咨询时了解到东方旅行社规定:若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票;而光明旅行社则规定:三人均可按团体票计价,即按全票的80%收费.若两家旅行社的票价相同,则实际哪家收费较低呢?【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低,我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用,然后根据求差法的步骤,求出两个式子的差,再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解:设这两家旅行社全票的价格为a元,依题意东方旅行社的收费为2a+70%a=2.7a,光明旅行社的收费为3a×80%=2.4a.因为2.7a-2.4a=0.3a>0,所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢?因为如果不设的话,我们即使知道用求差法比较大小,也无从下手.8、【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号,再去小括号,这样会使运算简便.解:去中括号,得去分母,得 3x+60<28+8x,移项,合并同类项,得-5x<-32,【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号,给后面的运算带来方便.解:去小括号,得9、解不等式:【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项:2x-1,我们把2x-1视为整体,再去中括号和分母,则可使运算简捷.解: 3(2x-1)-9(2x-1)-9<5.合并同类项得-6×(2x-1)<14.解得反思:我们在解带有括号的一元一次不等式时,我们要善于观察题目的特点,巧去括号可使运算简便.10、在欧洲足球锦标赛中,共有16支队伍参加比赛,争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内杯”.16支队伍被分成4个小组,进行单循环赛(即每个队需同其他三个队各赛一场),胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分,每组按照积分的前两名出线进入前八强,每个队在小组赛中需积多少分,才能确保出线?【思考与分析】根据题意,只有小组赛中的积分的前两名才能出线,我们可以分几种情况来讨论出线积分的多少.(1)若某一队三战全胜积9分,则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望,在剩下的两场比赛中,它有六种可能:两场全胜积6分,一胜一平积4分,一胜一负积3分,两平积2分,一平一负积1分,两负积0分.(三场比赛,肯定有一场负)因此,在这种情况中,至少积6分才能确保出线;(2)若某一队三战两胜一平积7分,则小组第二至少要两胜积6分才能出线;(3)若某一队三战两胜一负积6分,则其他两个队也可能三战两胜一负积6分,这样三队同积6分,不能确保小组出线.由以上思考讨论可知,在小组赛中,积分可能出现三个队积分相同,为了确保出线,至少需积7分,才能保证以小组第二的身份出线.解:需7分.11、满足的x的值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于 .【思考与分析】要求出那些整数之和,必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解,因此我们应该先解不等式.解:原不等式去分母,得3(2+x)≥2(2x-1),去括号,移项,合并同类项,得-x≥-8,即x≤8.满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,±7,±8,-9,-10,-11.这些整数的和为(-9)+(-10)+(-11)=-30.12、如果关于x的一元一次方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程的解,那么().【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题,利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解,只要先分别解出关于x的两个方程的解(两个解都是关于a的式子),再令第一个方程的解大于第二个方程的解,就可以求出问题的答案.解:关于x的方程3(x+4)=2a+5的解为关于x的方程的解为由题意得,解得.因此选D.13、如果,2+c>2,那么().A. a-c>a+cB. c-a>c+aC. ac>-acD. 3a>2a【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式,求得它们的解集后,便可以找到正确的答案.解: 由所以a<0.由2+c>2,得c>0,则有-c<c.两边都加上a,得a-c<a+c,排除A;由a<0,c>0,得ac<0,-ac>0,从而ac<-ac,排除C;由a<0,两边都加上2a,得3a<2a,排除D.答案应该选B,事实上,由a<0,得-a>0,从而-a>a,两边同时加上c,可得c-a>c+a.14、四个连续整数的和为S,S满足不等式,这四个数中最大数与最小数的平方差等于 .【思考与分析】由于四个数是连续整数,我们欲求最大值与最小值,故只须知四数之一就行了,由它们的和满足的不等式就可以求出.解:设四个连续整数为m-1,m,m+1,m+2,它们的和为S =4m+2.由<19,解得7<m<9.由于m为整数,所以m=8,则四个连续整数为7,8,9,10,因此最大数与最小数的平方的差为102-72=51.从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零以外,绝对值都是表示两个数的绝对值,即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于这个性质,含有绝对值号的不等式的求解过程出现了一些新特点.一个实数a的绝对值记作∣a∣,指的是由a所惟一确定的非负实数:含绝对值的不等式的性质:(1)∣a∣≥∣b∣b≤|a|或b≥-|a|,∣a∣≤∣b∣∣b∣≤a≤∣b∣;(2)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣∣a∣+∣b∣;(3)∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.由于绝对值的定义,含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值号的代数式进行运算,即含有绝对值号的不等式的求解,常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.下面结合例题予以分析.15、解不等式|x-5|-|2x+3|<1.【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论:解:(1)当当x≤时,原不等式化为-(x-5)-[-(2x+3)]<1,解得x<-7,结合x≤,故x<-7是原不等式的解;(2)当<x≤5时,原不等式化为-(x-5)-(2x+3)<1,解得是原不等式的解;(3)当x>5时,原不等式化为:x-5-(2x+3)<1,解得x>-9,结合x>5,故x>5是原不等式的解.综合(1),(2),(3)可知,是原不等式的解.16、我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛,总共50道抢答题.抢答规定:抢答对1题得3分,抢答错1题扣1分,不抢答得0分.小军参加了抢答比赛,只抢答了其中的20道题,要使最后得分不少于50分,问小军至少要答对几道题?17、已知前年物价涨幅(即前年物价比上一年,也就是大前年物价增加的百分比)为20%,去年物价涨幅为15%,预计今年物价涨幅降低5个百分点,为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出55%,明年物价涨幅必须比今年物价涨幅至少再降低x个百分点(x为整数)则x=().A. 6B. 7C.8 D. 918、某商场计划投入一笔资金,采购紧销商品.经调查发现,如月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,则月末又可获利10%;如等到月末出售可获利30%,但需要支付仓储费用700元.请问根据商场资金多少,如何购销获利较多?因为x 为整数,最小值为8)6.解:设商场有本金x 元,采取月初出售商品的办法到月末可共获利y 1元,采取月末出售商品的办法可以获利y 2元,则由题意可得y 1=x ·15%+10%(x +15%x )=0.265x ,y 2=30%x -700=0.3x -700,所以y 1-y 2=-0.035(x -20000).所以当x > 20000时,y 1<y 2,选月末出售.当x<20000时,y 1>y 2,选月初出售.当x=20000时,y 1=y 2,任选一种办法.7.解:设使用寿命超过x 小时时,选择节能灯合算.由题意得解得x >1000.所以当这两种灯的使用寿命超过1000小时时,选择节能灯才合算. 五、(归纳小结)1、不等式组 图示 解集x a x b>⎧⎨>⎩ b a x a >(同大取大) x a x b <⎧⎨<⎩b a x b <(同小取小) x a x b <⎧⎨>⎩ b ab x a <<(大小交叉取 中间)x a x b >⎧⎨<⎩ b a无解(大小分离解为空) 2、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.确定不等式(组)中字母的取值范围3、 已知求不等式(组)的解集,确定不等式(组)中字母的取值范围,有以下几种方法:(1)逆用不等式(组)的解集;(2)分类讨论确定;(3)借助数轴确定。
七年级数学《不等式与不等式组-数学活动》教案
“三部五环”教学模式设计《第九章不等式与不等式组数学活动》教学设计环节三引导猜测尝试建模活动2:猜数游戏4张卡片上各写了未知的正整数,从中随机抽取2张,并将它们上面的数相加,重复这样做,每次所得的和都是:5、6、7、8中的一个,并且这4个数都能取到,猜猜看,这4张卡片上各写了什么数。
1、学生猜想,小组交流2、在老师的引导下,尝试用数学放法解密。
【教师活动】1、教师展示这个游戏,(手持4张写了数字但又被覆盖的纸片,然后随机抽取两张,然后告诉学生和是5、6、7、8中的任意一个,重复这样的游戏)让学生猜测老师手中卡片上的数字是多少?2、让小组发挥共同的智慧猜测老师手中卡片的数字。
3、引导学生,不要盲目的猜测,要寻找其中的奥妙。
4、构建不等式数学模型,解密该游戏。
【学生活动】1、小组交流猜测结果,并谈个人思路;2、在老师的引导下,运用数学方式解密。
【媒体使用】1、带问号的四张卡片2、有计算结果的卡片+卡片的等式。
【赏析】猜测这个数字游戏分两个步骤:一随意猜测,并交流,在交流中找到个人的思维破绽;二、寻求数学方法解决问题。
环节四实践操作寻找规律活动3、用小实验求三角形面积的最大值。
(1)小组合作,分工操作,探讨AD的取值范围。
(2)计算三角形面积的最大值。
(3)总结规律。
【教师活动】1、组织学生分组合作,动手操作,强调在操作过程中要注意记录。
2、小组汇报交流结果。
3、师生交流探讨总结出的规律。
【学生活动】1、小组分工操作。
得出高AD的取值范围。
2、计算三角形面积的变化范围,得出面积最大值。
3、猜想、总结这个试验可以得到的几何规律。
【媒体使用】1、出示活动3内容2、展示问题答案高AD的取值范围;三角形面积的变化范围。
【赏析】让学生在动手操作中发现数学规律,更直观的得出结论,容易探索出规律,加深印象。
初一数学不等式与不等式组教案
授课内容不等式和不等式组教学目标1.掌握不等式的解集表示方法;2.掌握不等式的性质3.了解什么是不等式组教学内容【知识梳理】知识点一、不等式的解集1.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式2.解一元一次不等式的一般步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,把系数化为1.3.不等式解集及其数轴表示法⑴ 不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x≤8.(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式有无限个解.如:知识点二、不等式的性质1、不等式的性质1:不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变,用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c.2、不等式的性质2:不等式的两边乘以(或除以)同一正数,不等号的方向不变,3、不等式的性质3:不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,用式子表示:a>b,c<0,那么,ac<bc 或ac<bc.知识点三不等式组1、由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
4、一元一次不等式组的两个步骤:(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即求出这个不等式组的解集。
【例题精讲】题型1:不等式的变形例若a>b,试比较下列各题中两个代数式的大小.(1)a+c与b+c;(2)3a与3b;(3)-a与-b;(4)ac与bc.【解答】1、(1)不等式a>b两边都加上c,根据不等式性质1可知a+c>b+c;(2)不等式a>b两边都乘以3,根据不等式性质2可知3a>3b;(3)不等式a>b两边都乘以-1,根据不等式的基本性质3可知-a<-b;(4)分三种情况,①若c>0,不等式a>b两边都乘以c,得ac>bc;②若c=0,不等式a>b两边都乘以c,得ac=bc=0;③若c<0,不等式a>b两边都乘以c,得ac<bc.【点评】解答这类题应根据不等式的变形要求灵活选择运用不等式的性质.对于第(4)题,因c的值没有确定,还应分类讨论.巩固说出下列变形的依据:(1)由x-7<1,得x<8;(2)由x+2>=4,得x>=2;(3)由4x>=2,得;(4)由-3x≤3,得x>=-1;(5)由-2x-5<1,得x>-3.【分析】用不等式的基本性质解答.【解答】1、解:(1)由x-7<1,得x<8的依据是不等式的基本性质1,不等式两边都加上7得到的.(2)由x+2>=4,得x>=2的依据是不等式的基本性质1,不等式两边都减去2得到的.(3)由4x>=2,得的依据是不等式的基本性质2,不等式两边都除以4得到的.(4)由-3x≤3,得x>=-1的依据是不等式的基本性质3,不等式两边都除以-3得到的.(5)由-2x-5<1得x>-3的依据是不等式的基本性质1和3,先是不等式两边都加5,得-2x<6,再是不等式两边都除以-2,得x>-3.【点评】不等式的变形主要依据就是不等式的基本性质.题型2:不等式的性质例根据不等式的性质,将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.(1)x+3<5;(2)5x-7>4x;(3)2x-3>=4x;(4).【解答】1、(1)不等式x+3<5的两边都减去3,不等号的方向不变,所以不等式可化为x<2.(2)不等式5x-7>4x的两边都减去4x,不等号的方向不变,得x-7>0;两边都加上7,不等号的方向不变,所以不等式可化为x>7.(3)不等式2x-3>=4x的两边都减去4x,得-2x-3>=0,两边都加上3,得-2x>=3,两边同除以-2,不等号的方向改变,所以不等式可化为.(4)不等式的两边都加2得,两边同除以,不等号的方向改变,所以不等式可化为.【点评】解答此类问题,就是要求灵活选择运用不等式的性质,按顺序进行变化.巩固用不等式的性质,将不等式变形成x>a或x<a的形式.(1)x+3>2+3;(2);(3)-2x>8.【分析】(1)在不等式两边都减去3;(2)在不等式两边都乘以5;(3)在不等式两边都除以-2,同时改变不等号的方向.【解答】1、(1)根据不等式的性质1,不等式两边都减3,不等号方向不变,所以x+3-3>2+3-3,得x>2;(2)根据不等式的性质2,不等式两边都乘以5,不等号方向不变,所以,得x>15;(3)根据不等式的性质3,不等式两边都除以-2,不等号改变方向,所以-2x÷(-2)<8÷(-2),得x<-4.【点评】熟练掌握和运用不等式的性质,是解不等式的前提.题型3:解不等式例1解不等式:,并把解集在数轴上表示出来.【分析】根据不等式的性质得到2(x+1)≥x+4,即可求出不等式的解集,再把解集在数轴上表示出来.【解答】解:去分母,得2(x+1)≥x+4,去括号,得2x+2≥x+4,移项,合并同类项,得x≥2.在数轴上表示为:【点评】本题主要考查对解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集,不等式的性质等知识点的理解和掌握,用数轴表示解集时注意空心圆和实心圆的使用也是很关键的.例2 解不等式,并在数轴上表示它的解集.【分析】根据一元一次不等式的解法求这个不等式的解集.【解答】1、.去分母得:4(x-1)-3(2x+5)>-24,去括号得:4x-4-6x-15>-24,移项得:4x-6x>-24+4+15,合并同类项得:-2x>-5,化系数为1得:.【点评】一元一次不等式解法与一元一次方程解法类似,关键在于“去分母”和“系数化成1”时,两者是不同的,记住:“在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变”.在用数轴表示不等式的解集时,因为是,所以x能取的值在的左侧,而且这个数x不能取到,所以用空心圈表示.巩固1解不等式【分析】先去分母再求解,在系数化为1时,若两边同除以一个负数,要改变不等号的方向.【解答】1、去分母,得6-3(4x-5)>=5-8x.(注意:不要漏乘“1”和“”项)去括号,得6-12x+15>=5-8x.移项,得-12x+8x>=5-6-15.合并同类项,得-4x>=-16.系数化为1,得x≤4.(注意改变不等号方向)【点评】解不等式应注意,解不等式与解方程步骤相同,前四步注意的问题也相同,如去分母注意不要漏乘原来没有分母的项,去括号注意符号的变化,移项注意变号等;解不等式更应注意最后一步系数化为1时,若不等式两边除以的是一个负数,不等号方向必须改变,此点应特别注意.巩固2 解不等式:(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3)+2.【分析】不等式左边运用平方差公式求解,右边用乘法法则计算,然后将得到的不等进行整理即可解.【解答】解:(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3)+2去括号得移项得-9x<-36系数化为1得x>4【点评】本题主要考查平方差公式与乘法法则在解不等式中的应用,注意在解不等式时不等式基本性质的应用.题型4:解不等式组例1 解不等式.【分析】本题可以看做是把两个不等式和连写在一起,所以这种连写在一起的不等式实质就是不等式组.1、写为不等组的形式,得解不等式①,得x>=-1,解不等式②,得x<8.将不等式①②的解集在同一数轴上表示出来,如图所示.所以原不等式的解集为-1≤x<8.【点评】对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式,也可以按照解不等式的步骤两边求解.例2解不等式组:【分析】先分别解不等式组中的两个不等式,再求两个不等式解集的公共部分.1、解:解不等式①得,x>=-1.解不等式②,得x<3.所以原不等式组的解集为-1≤x<3.【点评】本题是根据“大小小大取中间”的规律求不等式的解集,也可在数轴中画出直观解题.巩固1 解不等式组:【分析】分别解两个不等式,然后取两不等式解集的公共部分即可.1、解不等式①,得x≤4.解不等式②,得x>0.在同一条数轴上表示①②的解集,如图,从而不等式组得解集为0<x≤4.【点评】解决稍复杂的不等式组的时候,先分别解不等式组中包含的各个不等式的解,最后求它们的公共部分,即为不等式组的解集.巩固2解不等式组:【分析】分别解出两个不等式,它们的公共部分即为不等式组的解集.【解答】解:解不等式①,得x>-1.解不等式②,得x<1.因此,不等式组的解集为-1<x<1.【点评】不等式组的解集是使不等式组中的不等式同时成立的未知数的取值范围.题型5:不等式的同解例下列不等式中,与同解的不等式是A:3-2x≥5;B:2x-3≥5;C:3-2x≤5;D:x≤4【分析】先解不等式,然后求出下面四个选项的解集,比较对照一下,选出解集相同的一项.不等式的解集为x≥4;而不等式3-2x≥5的解集为x≤-1,故A不可选.不等式的解集为x≥4;不等式2x-3≥5的解集为x≥4,故选B.不等式的解集为x≥4;而不等式3-2x≤5的解集为x≥-1,故C不可选.不等式的解集为x≥4,这与不等式x≤4是不同的,故D不可选.【解答】1、不等式的解集为x≥4;而不等式3-2x≥5的解集为x≤-1,故A不可选.2、不等式的解集为x≥4;不等式2x-3≥5的解集为x≥4,故选B.3、不等式的解集为x≥4;而不等式3-2x≤5的解集为x≥-1,故C不可选.4、不等式的解集为x≥4,这与不等式x≤4是不同的,故D不可选.【点评】本题实质上是让我们解不等式,找出与题设给出的不等式同解的不等式,按照解不等式的步骤解题,去分母,合并同类项,解得最终的结果(当然有时有的步骤可以省略).巩固已知不等式与ax-6>5x同解,试求a的值.【分析】已知两不等式同解,则分别解出两不等式,利用解相同可得关于a的方程,解之.【解答】1、∵,∴,即x<-2.又ax-6>5x,整理,得(5-a)x<-6,因为不等式与ax-6>5x同解,所以解得故a=2.【点评】两个不等式同解,一个未知(含参数),一个已知(不含参数),则我们先解出已知的那个不等式的解集,然后对含参数的那个不等式进行变形,为使得两个不等式同解,得到限制参数的条件,从而得解.综合题1:对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即:当n为非负整数时,如果,则<x>=n.如:<0>=<>=0,<>=<>=1,<2>=2,<>=<>=4,…试解决下列问题:(1)填空:①<π>=________(π为圆周率);②如果<2x-1>=3,由实数x的取值范围为________;(2)①当x>=0,m为非负整数时,求证:<x+m>=m+<x>;②举例说明<x+y>=<x>+<y>不恒成立;(3)求满足的所有非负实数x的值;【分析】(1)①π≈,②解不等式.(2)①可设<x>=n,n为非负整数,再由和不等式的性质得,即可证明.②可举特殊值,如x=,y=等.【解答】1、解:(1)①π≈,所以<π>=3.②因为<2x-1>=3,所以.所以,所以.(2)①设<x>=n,n为非负整数,则.因为m为非负整数,所以,且n+m为非负整数,所以<x+m>=m+n=m+<x>.②如当x=,y=时,<x+y>=<+>=<>=1.<x>+<y>=<>+<>=1+1=2.所以<x+y>≠<x>+<y>,即<x+y>=<x>+<y>不恒成立.综合题2:解不等式.【分析】为去绝对值符号需分情况讨论:(1);(2),且x+2<0;(3)x+2>0.【解答】1、(1)当时,即时,原不等式恒成立;(2)当时,原不等式可化为.解得x<-3,∴.(3)当x>=-2,原不等式为.解得x>2.综上所述,原不等式的解集为x<-3或x>2.【点评】这道题目的原型为|x|>a,解不等式|x|>a.a>0时,不等式的解集为x>a或x<-a;a=0时,不等式的解集为x>0或x<0;a<0时,不等式的解集为全体实数.································1、根据不等式的性质,将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.(1)x+3<5;(2)5x-7>4x;(3)2x-3>=4x;(4).【解答】1、(1)不等式x+3<5的两边都减去3,不等号的方向不变,所以不等式可化为x<2.(2)不等式5x-7>4x的两边都减去4x,不等号的方向不变,得x-7>0;两边都加上7,不等号的方向不变,所以不等式可化为x>7.(3)不等式2x-3>=4x的两边都减去4x,得-2x-3>=0,两边都加上3,得-2x>=3,两边同除以-2,不等号的方向改变,所以不等式可化为.(4)不等式的两边都加2得,两边同除以,不等号的方向改变,所以不等式可化为.【点评】解答此类问题,就是要求灵活选择运用不等式的性质,按顺序进行变化.2、求不等式的最小整数解【分析】先解不等式,再求最小整数解.【解答】1、解不等式,得x>=2.所以不等式的最小整数解为x=2.【点评】求不等式的最小整数解首先要求不等式的解集.3、已知方程组的解是负数,试化简|a+3|-|5a-3|.【分析】解方程组可得含有a的解,由于方程组的解是负数,所以可得关于a的不等式组,解出a的范围,从而可以对绝对值化简.【解答】解:由4、在实数范围内规定新运算“△”,其规则是:a△b=2a-b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图所示,则k的值是【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1,通过解不等式即可得到用x表示k的取值范围,结合图象中x 的取值范围可以求得k的取值范围.【解答】∵由题意可知:x△k=2x-k≥1,∴2x≥k+1,∴,又由图示知,不等式x△k≥1的解集是:x≥-1,∴=-1,解得:k=-3.故k的值是-3.【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解含参数的一元一次不等式.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆圈表示.【预习思考】初一数学不等式与不等式组教案11 11。
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初一数学不等式与不等式组教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN授课内容不等式和不等式组教学目标1.掌握不等式的解集表示方法;2.掌握不等式的性质3.了解什么是不等式组教学内容【知识梳理】知识点一、不等式的解集1.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式2.解一元一次不等式的一般步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,把系数化为1.3.不等式解集及其数轴表示法⑴不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x≤8.(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式有无限个解.如:知识点二、不等式的性质1、不等式的性质1:不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变,用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c.2、不等式的性质2:不等式的两边乘以(或除以)同一正数,不等号的方向不变,3、不等式的性质3:不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,用式子表示:a>b,c<0,那么,ac<bc 或ac <bc.知识点三不等式组1、由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
4、一元一次不等式组的两个步骤:(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即求出这个不等式组的解集。
【例题精讲】题型1:不等式的变形例若a>b,试比较下列各题中两个代数式的大小.(1)a+c与b+c;(2)3a与3b;(3)-a与-b;(4)ac与bc.【解答】1、(1)不等式a>b两边都加上c,根据不等式性质1可知a+c>b+c;(2)不等式a>b两边都乘以3,根据不等式性质2可知3a>3b;(3)不等式a>b两边都乘以-1,根据不等式的基本性质3可知-a<-b;(4)分三种情况,①若c>0,不等式a>b两边都乘以c,得ac>bc;②若c=0,不等式a>b两边都乘以c,得ac=bc=0;③若c<0,不等式a>b两边都乘以c,得ac<bc.【点评】解答这类题应根据不等式的变形要求灵活选择运用不等式的性质.对于第(4)题,因c 的值没有确定,还应分类讨论.巩固说出下列变形的依据:(1)由x-7<1,得x<8;(2)由x+2>=4,得x>=2;(3)由4x>=2,得;(4)由-3x≤3,得x>=-1;(5)由-2x-5<1,得x>-3.【分析】用不等式的基本性质解答.【解答】1、解:(1)由x-7<1,得x<8的依据是不等式的基本性质1,不等式两边都加上7得到的.(2)由x+2>=4,得x>=2的依据是不等式的基本性质1,不等式两边都减去2得到的.(3)由4x>=2,得的依据是不等式的基本性质2,不等式两边都除以4得到的.(4)由-3x≤3,得x>=-1的依据是不等式的基本性质3,不等式两边都除以-3得到的.(5)由-2x-5<1得x>-3的依据是不等式的基本性质1和3,先是不等式两边都加5,得-2x<6,再是不等式两边都除以-2,得x>-3.【点评】不等式的变形主要依据就是不等式的基本性质.题型2:不等式的性质例根据不等式的性质,将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.(1)x+3<5;(2)5x-7>4x;(3)2x-3>=4x;(4).【解答】1、(1)不等式x+3<5的两边都减去3,不等号的方向不变,所以不等式可化为x<2.(2)不等式5x-7>4x的两边都减去4x,不等号的方向不变,得x-7>0;两边都加上7,不等号的方向不变,所以不等式可化为x>7.(3)不等式2x-3>=4x的两边都减去4x,得-2x-3>=0,两边都加上3,得-2x>=3,两边同除以-2,不等号的方向改变,所以不等式可化为.(4)不等式的两边都加2得,两边同除以,不等号的方向改变,所以不等式可化为.【点评】解答此类问题,就是要求灵活选择运用不等式的性质,按顺序进行变化.巩固用不等式的性质,将不等式变形成x>a或x<a的形式.(1)x+3>2+3;(2);(3)-2x>8.【分析】(1)在不等式两边都减去3;(2)在不等式两边都乘以5;(3)在不等式两边都除以-2,同时改变不等号的方向.【解答】1、(1)根据不等式的性质1,不等式两边都减3,不等号方向不变,所以x+3-3>2+3-3,得x>2;(2)根据不等式的性质2,不等式两边都乘以5,不等号方向不变,所以,得x>15;(3)根据不等式的性质3,不等式两边都除以-2,不等号改变方向,所以-2x÷(-2)<8÷(-2),得x<-4.【点评】熟练掌握和运用不等式的性质,是解不等式的前提.题型3:解不等式例1解不等式:,并把解集在数轴上表示出来.【分析】根据不等式的性质得到2(x+1)≥x+4,即可求出不等式的解集,再把解集在数轴上表示出来.【解答】解:去分母,得2(x+1)≥x+4,去括号,得2x+2≥x+4,移项,合并同类项,得x≥2.在数轴上表示为:【点评】本题主要考查对解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集,不等式的性质等知识点的理解和掌握,用数轴表示解集时注意空心圆和实心圆的使用也是很关键的.例2 解不等式,并在数轴上表示它的解集.【分析】根据一元一次不等式的解法求这个不等式的解集.【解答】1、.去分母得:4(x-1)-3(2x+5)>-24,去括号得:4x-4-6x-15>-24,移项得:4x-6x>-24+4+15,合并同类项得:-2x>-5,化系数为1得:.【点评】一元一次不等式解法与一元一次方程解法类似,关键在于“去分母”和“系数化成1”时,两者是不同的,记住:“在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变”.在用数轴表示不等式的解集时,因为是,所以x能取的值在的左侧,而且这个数x不能取到,所以用空心圈表示.巩固1解不等式【分析】先去分母再求解,在系数化为1时,若两边同除以一个负数,要改变不等号的方向. 【解答】1、去分母,得6-3(4x-5)>=5-8x.(注意:不要漏乘“1”和“”项)去括号,得6-12x+15>=5-8x.移项,得-12x+8x>=5-6-15.合并同类项,得-4x>=-16.系数化为1,得x≤4.(注意改变不等号方向)【点评】解不等式应注意,解不等式与解方程步骤相同,前四步注意的问题也相同,如去分母注意不要漏乘原来没有分母的项,去括号注意符号的变化,移项注意变号等;解不等式更应注意最后一步系数化为1时,若不等式两边除以的是一个负数,不等号方向必须改变,此点应特别注意.巩固2 解不等式:(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3)+2.【分析】不等式左边运用平方差公式求解,右边用乘法法则计算,然后将得到的不等进行整理即可解.【解答】解:(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3)+2去括号得移项得-9x<-36系数化为1得x>4【点评】本题主要考查平方差公式与乘法法则在解不等式中的应用,注意在解不等式时不等式基本性质的应用.题型4:解不等式组例1 解不等式.【分析】本题可以看做是把两个不等式和连写在一起,所以这种连写在一起的不等式实质就是不等式组.1、写为不等组的形式,得解不等式①,得x>=-1,解不等式②,得x<8.将不等式①②的解集在同一数轴上表示出来,如图所示.所以原不等式的解集为-1≤x<8.【点评】对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式,也可以按照解不等式的步骤两边求解.例2解不等式组:【分析】先分别解不等式组中的两个不等式,再求两个不等式解集的公共部分.1、解:解不等式①得,x>=-1.解不等式②,得x<3.所以原不等式组的解集为-1≤x<3.【点评】本题是根据“大小小大取中间”的规律求不等式的解集,也可在数轴中画出直观解题.巩固1 解不等式组:【分析】分别解两个不等式,然后取两不等式解集的公共部分即可.1、解不等式①,得x≤4.解不等式②,得x>0.在同一条数轴上表示①②的解集,如图,从而不等式组得解集为0<x≤4.【点评】解决稍复杂的不等式组的时候,先分别解不等式组中包含的各个不等式的解,最后求它们的公共部分,即为不等式组的解集.巩固2解不等式组:【分析】分别解出两个不等式,它们的公共部分即为不等式组的解集.【解答】解:解不等式①,得x>-1.解不等式②,得x<1.因此,不等式组的解集为-1<x<1.【点评】不等式组的解集是使不等式组中的不等式同时成立的未知数的取值范围.题型5:不等式的同解例下列不等式中,与同解的不等式是A:3-2x≥5;B:2x-3≥5;C:3-2x≤5;D:x≤4【分析】先解不等式,然后求出下面四个选项的解集,比较对照一下,选出解集相同的一项.不等式的解集为x≥4;而不等式3-2x≥5的解集为x≤-1,故A不可选.不等式的解集为x≥4;不等式2x-3≥5的解集为x≥4,故选B.不等式的解集为x≥4;而不等式3-2x≤5的解集为x≥-1,故C不可选.不等式的解集为x≥4,这与不等式x≤4是不同的,故D不可选.【解答】1、不等式的解集为x≥4;而不等式3-2x≥5的解集为x≤-1,故A不可选.2、不等式的解集为x≥4;不等式2x-3≥5的解集为x≥4,故选B.3、不等式的解集为x≥4;而不等式3-2x≤5的解集为x≥-1,故C不可选.4、不等式的解集为x≥4,这与不等式x≤4是不同的,故D不可选.【点评】本题实质上是让我们解不等式,找出与题设给出的不等式同解的不等式,按照解不等式的步骤解题,去分母,合并同类项,解得最终的结果(当然有时有的步骤可以省略).巩固已知不等式与ax-6>5x同解,试求a的值.【分析】已知两不等式同解,则分别解出两不等式,利用解相同可得关于a的方程,解之.【解答】1、∵,∴,即x<-2.又ax-6>5x,整理,得(5-a)x<-6,因为不等式与ax-6>5x同解,所以解得故a=2.【点评】两个不等式同解,一个未知(含参数),一个已知(不含参数),则我们先解出已知的那个不等式的解集,然后对含参数的那个不等式进行变形,为使得两个不等式同解,得到限制参数的条件,从而得解.综合题1:对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即:当n为非负整数时,如果,则<x>=n.如:<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,…试解决下列问题:(1)填空:①<π>=________(π为圆周率);②如果<2x-1>=3,由实数x的取值范围为________;(2)①当x>=0,m为非负整数时,求证:<x+m>=m+<x>;②举例说明<x+y>=<x>+<y>不恒成立;(3)求满足的所有非负实数x的值;【分析】(1)①π≈3.14,②解不等式.(2)①可设<x>=n,n为非负整数,再由和不等式的性质得,即可证明.②可举特殊值,如x=0.6,y=0.7等.【解答】1、解:(1)①π≈3.14,所以<π>=3.②因为<2x-1>=3,所以.所以,所以.(2)①设<x>=n,n为非负整数,则.因为m为非负整数,所以,且n+m为非负整数,所以<x+m>=m+n=m+<x>.②如当x=0.6,y=0.7时,<x+y>=<0.6+0.7>=<1.3>=1.<x>+<y>=<0.6>+<0.7>=1+1=2.所以<x+y>≠<x>+<y>,即<x+y>=<x>+<y>不恒成立.综合题2:解不等式.【分析】为去绝对值符号需分情况讨论:(1);(2),且x+2<0;(3)x+2>0.【解答】1、(1)当时,即时,原不等式恒成立;(2)当时,原不等式可化为.解得x<-3,∴.(3)当x>=-2,原不等式为.解得x>2.综上所述,原不等式的解集为x<-3或x>2.【点评】这道题目的原型为|x|>a,解不等式|x|>a.a>0时,不等式的解集为x>a或x<-a;a=0时,不等式的解集为x>0或x<0;a<0时,不等式的解集为全体实数.································1、根据不等式的性质,将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.(1)x+3<5;(2)5x-7>4x;(3)2x-3>=4x;(4).【解答】1、(1)不等式x+3<5的两边都减去3,不等号的方向不变,所以不等式可化为x<2.(2)不等式5x-7>4x的两边都减去4x,不等号的方向不变,得x-7>0;两边都加上7,不等号的方向不变,所以不等式可化为x>7.(3)不等式2x-3>=4x的两边都减去4x,得-2x-3>=0,两边都加上3,得-2x>=3,两边同除以-2,不等号的方向改变,所以不等式可化为.(4)不等式的两边都加2得,两边同除以,不等号的方向改变,所以不等式可化为.【点评】解答此类问题,就是要求灵活选择运用不等式的性质,按顺序进行变化.2、求不等式的最小整数解【分析】先解不等式,再求最小整数解.【解答】1、解不等式,得x>=2.所以不等式的最小整数解为x=2.【点评】求不等式的最小整数解首先要求不等式的解集.3、已知方程组的解是负数,试化简|a+3|-|5a-3|.【分析】解方程组可得含有a的解,由于方程组的解是负数,所以可得关于a的不等式组,解出a的范围,从而可以对绝对值化简.【解答】解:由4、在实数范围内规定新运算“△”,其规则是:a△b=2a-b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图所示,则k的值是【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1,通过解不等式即可得到用x表示k的取值范围,结合图象中x的取值范围可以求得k的取值范围.【解答】∵由题意可知:x△k=2x-k≥1,∴2x≥k+1,∴,又由图示知,不等式x△k≥1的解集是:x≥-1,∴=-1,解得:k=-3.故k的值是-3.【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解含参数的一元一次不等式.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆圈表示.【预习思考】布置日期______________________教师评分______________________完成日期______________________家长签字______________________。