2.3.2数学归纳法学案含作业优质课用

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《2.3数学归纳法(2)》教学案

《2.2.3数学归纳法（2）》教学案教学目标知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；过程与方法:通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；情感、态度与价值观：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．教学重点:体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．教学难点:用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．教学过程:1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.2.不完全归纳法：根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法：把研究对象意义都考查到了而推出结论的归纳法叫做完全归纳法.又叫枚举法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法.5.数学归纳法的基本思想：先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，那么就可以递推出对所有小于n0的正整数命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.学生探究过程：数学归纳法公理；用数学归纳法证明：当*n N ∈时111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++．数学运用例1．设*n N ∈， 1()5231n n f n -=+⨯+．(1)当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；(2)你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)当1n =时，111(1)5231881f -=+⨯+==⨯；当2n =时，221(2)52313284f -=+⨯+==⨯；当3n =时，331(3)5231144818f -=+⨯+==⨯；当4n =时，441(4)5231680885f -=+⨯+==⨯．(2)猜想：当*n N ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除．①当1n =时，有111(1)52318f -=+⨯+=能被8整除，命题成立．②假设当n k =时，命题成立，即()f k 能被8整除，那么当1n k =+时，有1(1)11(1)523155631k k k k f k ++--+=+⨯+=⨯+⨯+111(5231)4(53)()4(53)k k k k k k f k ---=+⨯+++=++．这里，5k 和13k -均为奇数，它们的和1(53)k k -+必为偶数，从而14(53)k k -+能被8整除．又依归纳假设，()f k 能被8整除，所以(1)f k +能被8整除．这就是说，当1n k =+时，命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何*n N ∈都成立．变式：求证当n 取正奇数时，n n x y +能被x y +整除.证明：(1)1n =时，11x y x y +=+，能被x y +整除，命题成立.(2)假设n k = (k 为正奇数)时，有k k x y +能被x y +整除，当2n k =+时，22222222k k k k k k k k x y x x y y x x y x y x y y +++=⋅+⋅=⋅+⋅-⋅+⋅ 2222()()()()()k k k k k k x y x y x y x y x y x y x y +--=+-+-∵以上两项均能被x y +整除，∴22k k x y +++能被x y +整除，即当2n k =+时命题仍成立.由(1)、(2)可知，对一切正奇数n ，都有n n x y +能被x y +整除．例2．已知*1111(1,)23n S n n N n=+++⋅⋅⋅+>∈，求证：212n n S >+*(2,)n n N ≥∈．巩固练习：1. 证明对*n N ∈，111()11231f n n n n =++⋯>+++成立． 2．课本90P 练习1，2．课外作业：课本91P 习题2.3第3，4，5，6，7题．教学反思：。

《2.3.2 数学归纳法应用举例》课件1-优质公开课-人教B版选修2-2精品

2.3 数学归纳法
目标导航预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习交流
(1)思考:①在数学归纳法的第一步“归纳奠基”中,第一个值 n0 是否一定为 1?
提示:不一定,n0 还可以取其他值,如证明“2n>n2”中,n0=5,而证明“凸 n 边形内角和为(n-2)·180°”中,n0=3.
式子左边增加的项是什么?共多少项? 提示:(k2+1)+(k2+2)+…+(k2+2k+1),共 2k+1 项. 2.若在证明 n=k+1 时没用到 n=k 时的结论,而是借助其他知识证明
了 n=k+1 时也成立,这样证可以吗? 提示:不可以,用数学归纳法证明 n=k+1 时必需用 n=k 时成立的结
2.3 数学归纳法
《2.3.2 数学归纳法应用举例》课件1
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
目标导航预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
学习目标重点难点
1.能说出数学归纳法的原理及特点,掌握数学归纳法的证题步骤; 2.学会用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 重点:数学归纳法及其应用; 难点:对数学归纳法原理的理解.
答案:D
解析:f(n+1)=��+1 2
+
��+1 3+…+21��
+
1 2��+1

2.3.数学归纳法-人教B版选修2-2教案

2.3 数学归纳法-人教B版选修2-2教案一、教学目标1.了解数学归纳法的基本思路和定义；2.掌握使用数学归纳法解决具体问题的方法；3.能够对于一些有规律的数列进行归纳总结，并利用数学归纳法进行验证。

二、教学重难点1.理解数学归纳法的基本思路及其应用；2.掌握数学归纳法的应用方法。

三、教学内容及安排时间内容教学活动学生活动教学方法5 min 课程介绍介绍本课程的学习内容、学习目标和教学重难点聆听讲授10 min 数学归纳法的定义与原理讲解数学归纳法的基本定义和思路聆听、记录讲授20 min 基本的数列归纳通过例题讲解数学归纳法的应用方法讨论、记录讲授、互动10 min 数学归纳法在证明中的应用教师通过具体例子讲解数学归纳法应用于证明中的方法及步骤讨论、记录讲授、互动15 min 练习题演练通过具体例子让学生练习数学归纳法的应用方法做题、记录讲授、互动5 min课后作业布置课后作业并提醒学生预习下一节课内容接受、记录讲授四、教学方法本节课采用讲授和互动相结合的方法，教师通过讲解基本定义和思路让学生理解数学归纳法的基本思路，通过具体例子让学生掌握数学归纳法的应用方法，同时也鼓励学生互相讨论和思考问题，培养其独立思考和解决问题的能力。

五、教学评估通过练习题演练和课堂互动等方式对学生进行评估，观察学生掌握数学归纳法的程度，是否能够应用数学归纳法解决具体问题，以评价本节课的教学效果，同时也为下一节课的教学准备奠定基础。

六、教学反思数学归纳法作为一种重要的数学证明方法，在教学中应当注重培养学生的独立思考、解决问题的能力，通过具体例子引导其理解基本思路和应用方法，并鼓励学生积极参与课堂互动，达到高效学习的效果。

苏教版选修(2-2)2.3《数学归纳法义》word学案

2.3数学归纳法导学案一、课标要求了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、知识清单1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立。

这种证明方法叫做数学归纳法。

可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。

2、数学归纳法证明命题的类型与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

三、问题探究1、数学归纳法的归纳奠基中n 0一定等于1吗？2、为什么可以先假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？四、思维误区1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k 时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k 时的式子，或将n=k+1的情况用n=k 的情况表示。

2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k 变化到n=k+1“和”或“积”的情况。

五、典例分析题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n 2（n ＋1）2题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）．题型三、用数学归纳法证明几何问题例3．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、用数学归纳法证明32n ＋2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．题型五归纳、猜想、证明例5．是否存在常数a ，b ，c 使等式()()()122334111222222···…++++=+++n n n n anbn c 对一切自然数n 都成立，并证明你的结论。

高中数学选修2-2 2.3数学归纳法学案2 含解析

课堂探究探究一利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式时，要注意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数是多少，项的多少与n 的关系是什么，由n ＝k 到n ＝k ＋1时项数增加多少项，增加怎样的项等．【典型例题1】用数学归纳法证明：11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝n 3n ＋1(n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×4＝14，右边＝13×1＋1＝14，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1，则当n ＝k ＋1时，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13k ＋4＝k ＋13(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)知等式对n ∈N ＋成立．探究二用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明．【典型例题2】用数学归纳法证明：1＋12＋13＋ (1)＞n (其中n ∈N ＋，n ＞1)．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k ＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1k ＋1 . (方法1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －k k ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1，即1＋12＋13＋ (1)＋1k ＋1 ＞k ＋1. (方法2)因为k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1. 即当n ＝k ＋1时原不等式也成立，由(1)(2)知原不等式成立．点评本例中在应用归纳假设后，方法1是利用了比较法，方法2是利用了放缩法来进行后面的证明．探究三用数学归纳法证明整除问题与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n ＝k ＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来．【典型例题3】用数学归纳法证明：n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除(n ∈N ＋)．思路分析：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．证明：(1)当n ＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时结论成立，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋[(k ＋3)3－k 3]＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9k 2＋27k ＋27＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9(k 2＋3k ＋3)．因为k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，9(k 2＋3k ＋3)也能被9整除，所以(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3也能被9整除，即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n ∈N ＋成立．探究四归纳—猜想—证明1．由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．2．在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法．【典型例题4】某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．思路分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归纳法．解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22.∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222. 同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此该数列的前五项为1,4，94，169，2516. (2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，n 2(n －1)2，n ≥2，n ∈N ＋.下面用数学归纳法证明当n ≥2，n ∈N ＋时，a n ＝n 2(n －1)2. ①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22，猜想正确． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，猜想正确，即a k ＝k 2(k －1)2. ∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2k 2 ＝(k ＋1)2k 2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．根据①和②，可知当n ≥2，n ∈N ＋时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2(n －1)2. ∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，n 2(n －1)2，n ≥2，n ∈N ＋.探究五易错辨析易错点：因不运用归纳假设而出错【典型例题5】用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N ＋)．错证：(1)当n ＝1时，左边＝12×4，右边＝14(1＋1)＝14×2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，那么当n ＝k ＋1时，直接使用裂项相减法求得12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －12k ＋2＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＋4 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12k ＋4＝k ＋14[(k ＋1)＋1]，即当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N ＋都成立．错因分析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时等式的证明没有用归纳假设，而是运用了数列中的求和方法证得的，虽然结论正确，但没有运用数学归纳法证明，不符合题目要求．正确证法：(1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)成立．那么当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)和(2)，可知对一切n ∈N ＋等式都成立．。

第六节2.3.2数学归纳法(2)

学案6 2.3.2 数学归纳法（2）一、知识要点1.不完全归纳法得出的结论是否正确需要用数学归纳法加以证明；2.对于与自然数有关的问题，关键通常归结为探寻递推关系.二、典型例题例1.设n N *Î，1()5231n n f n -=+?.⑴当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；⑵你对()f n 有何猜想？用数学归纳法，证明你的猜想？例2.在平面上画n 条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少个部分？三、巩固练习先计算1,2,3,4n =提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想1～3：1.求135(1)(21)nn -+-++-?L 的和.2.25()n n n N *+?能被哪些自然数整除？3.求凸n 边形对角线的条数.四、课堂小结与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列以及几何问题，都可以考虑用数学归纳法。

五、课后作业1.根据条件，猜想结论：⑴数列{}n a 中，11a =，且11,,2n n S S S +成等差数列，则1234,,,S S S S 分别为，猜想n S = . ⑵112(),1,()(2)2n n x f x x x f x n x -===+≥，则234,,x x x 分别为，猜想n x = .2.探寻递推关系：⑴凸n 棱锥有()f n 个对角面，则(1)()f n f n +=+ ；⑵平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任三条不过同一点，该n 条直线把平面分成()f n 个区域，则(1)()f n f n +=+ .⑶平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任三个圆不相交于同一点，则n 个圆分平面区域数为()f n ，则(1)()f n f n +=+ .3.设n N *Î，求证：22()389n f n n +=--是64的倍数.。

人教版选修2-2 2.3 数学归纳法导学案

2.3 《数学归纳法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-04-06【学习目标】1、了解数学归纳法的原理；2、能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【学习重点】运用数学归纳法证明有关的数学命题【学习难点】数学归纳法的原理以及运用数学归纳法证明有关的数学命题【预习导航】下图为多米诺骨牌：如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？【问题探究】探究活动一：什么是数学归纳法?例 1 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n×(2n＋2)＝n4(n＋1).探究活动二：数学归纳法的应用范围及注意事项例2 已知正项数列{b n}的前n项和B n ＝14(b n＋1)2.(1) 求出b1，b2，b3，b4的值；(2) 猜想{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明．探究活动三：如何运用数学归纳法证明有关的数学问题？【课堂巩固练习】1、用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中0n的取值应为( )A．1 B．2 C．3 D．42、用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝2)1(kk，则当n＝k＋1时，表达式应为__________.3、证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(其中n∈N*)．【总结概括】本节课的收获：【分层作业】必做题：教材第96页习题2.3第1,2题选做题：同步练习册课后作业提升习题。

学案5：2.3.1 数学归纳法~2.3.2 数学归纳法应用举例

2.3.1 数学归纳法~2.3.2 数学归纳法应用举例学习目标1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点) 2．掌握数学归纳法的步骤．(难点)3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点) 知识梳理教材整理数学归纳法数学归纳法的定义一个与________相关的命题，如果(1)_______________________________；(2)在假设当________________________时命题也成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立．预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 合作探究类型1 用数学归纳法证明等式例1 (1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N ＋)时，第一步验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为__________. 名师点拨数学归纳法证题的三个关键点1．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． 3．利用假设是核心在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练1．下面四个判断中，正确的是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n －1(n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1＋k C ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N ＋)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4类型2 用数学归纳法证明不等式例2 (1)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________． (2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)．跟踪训练2．试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式．类型3 归纳——猜想证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．名师点拨1．“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．跟踪训练3．已知函数y＝f(n)(n∈N＋)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N＋，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．探究共研型探究点用数学归纳法证明整除性问题探究1数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?探究2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？例4 用数学归纳法证明：n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除(n ∈N ＋)．名师点拨与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n ＝k ＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来. 跟踪训练4．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________．课堂检测1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N ＋，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 33．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为________.4．以下是用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即2k ＞k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n－1)(n＋1)4.参考答案知识梳理教材整理数学归纳法【答案】自然数(1)当n取第一个值n0时命题成立(2)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)预习自测1.【答案】 (1)× (2)× (3)√ 例1 【答案】 (1)D (2)2(2k ＋1)【解析】 (1)当n ＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D. (2)令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)…(k ＋k )，跟踪训练 1．【答案】 C【解析】 A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ； B 中，n ＝1时，式子＝1； C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋13；D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1.故正确的是C. 例2 (1) 【答案】1(2k ＋1)(2k ＋2)【解析】当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2).(2)解：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k ·k ＋1＋1k ＋1<(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N ＋都成立．跟踪训练2．证明：①当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324. ②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N ＋)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324，那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 >1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1324＋12(2k ＋1)(k ＋1)>1324. 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．例3 解：(1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜得：a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1.因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．跟踪训练3．解：(1)因为f(1)＝2，f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N＋)．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想正确，即f(k)＝2k，那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，所以，当n＝k＋1时，猜想正确．由①②知，对任意的n∈N＋，都有f(n)＝2n.探究1 【答案】不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.探究2 【答案】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．例4解：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立．跟踪训练4．【答案】(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6【解析】由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6. 课堂检测 1．【答案】 C【解析】边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3. 2．【答案】 B【解析】当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2. 3．【答案】 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)2【解析】当n ＝k ＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2中的k 更换为k ＋1.4．【答案】 (2)【解析】在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论．如k ＝2时，k 2＜2k ＋1. 5．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2) ＝k 2(k －1)(k ＋1)4.那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k ) ＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)] ＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4.所以当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立．。

数学：2.3《数学归纳法》教案(新人教A版选修2-2)

数学： 2.3 《数学概括法》教课设计（新人教 A 版选修 2-2 ）第一课时 2.3数学概括法（一）教课要求：认识数学概括法的原理 , 并能以递推思想作指导 , 理解数学概括法的操作步骤 , 能用数学概括法证明一些简单的数学命题 , 并能严格依据数学概括法证明问题的格式书写 .教课重点：能用数学概括法证明一些简单的数学命题 . 教课难点：数学概括法中递推思想的理解 .教课过程：一、复习准备：a n1. 问题：在数列 { a n } 中 , a 1 1,a n ,( n*) , 先算出 a 2 , a 3 , a 4 的值 , 再11N1推断通项 a n 的公式 .1 1 a n 1a 41 由此获得： a n* ）（过程： a 2, a 3, , , n N 2. 问题 2： 2 n 41 , 234nf (n) n nf (n) 能否都为质数？当 ∈N 时,过程： f (0) =41, f (1) =43, f (2) =47, f (3) =53,f (4) =61, f (5) =71, f (6) =83,f (7) =97, f (8) =113, f (9) =131, f (10) =151, f (39) =1 601 ．可是 f (40) =1681=412 是合数3. 问题 3：多米诺骨牌游戏 . 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的摆列 , 保证前一张牌倒则后一张牌也必然倒 .二、讲解新课：1. 教课数学概括法观点：① 给出定义：概括法：由一些特别案例推出一般结论的推理方法 . 特色：由特别→一般 .不完整概括法：依据事物的部分 ( 而不是所有 ) 特例得出一般结论的推理方法叫不完整概括法 .完整概括法：把研究对象一一都考察到了而推出结论的概括法称为完整概括法 .② 议论：问题 1 中, 假如 n=k 猜想建立 , 那么 n=k+1 能否建立？对所有的正整数 n 能否建立？③ 提出数学概括法两大步：（i ）概括奠定：证明当 n 取第一个值 n 0 时命题建立；（ ii ）概括递推：假定 n=k （ k ≥ n 0 , k ∈N* ）时命题建立 , 证明当 n=k+1 时命题也建立 . 只需达成这两个步骤 , 就能够判定数题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都建立 .原由：在基础和递推关系都建即刻 , 能够递推出对所有不小于 n 0 的正整数 n 0+1, n 0+2, , 命题都建立 . 重点：从假定 n=k 建立 , 证得 n=k+1 建立 .2. 教课例题：① 出示例 1： 12 2 2 3 2 K n 2 n ( n 1)(2 n 1) , n N * .剖析：第 1 步怎样写？ n k 的假定怎样写？ 6待证的目标式是什么？怎样从假= 设出发？小结：证 n=k+1 时, 需从假定出发 , 对照目标 , 剖析等式两边同增的项 , 朝目标进行变形 . ② 练习：求证：1 4 2 7 3 10 K n(3n 1) n( n 1)2 ,n N * .1③ 出示例：设 a n ＝ 1×2 + 2×3 n(n 1) ( n ∈ N*),a( n ＋ 1) 2 . 21 + + 1 求证： n <2 重点：a k 1 < ( k ＋1) 2 + (k 1)(k 2) ＝ ( k+1) 2+ k 2 3k12 +( k+ 3)2 22 < ( k+1)22＝ 1( k+2) 22, 对照目标发现放缩门路 .变式：求证 a n > 1 n n ＋ 1) 小结：放缩法2 (3. 小结：书写时一定明确写出两个步骤与一个结论 ,注意“递推基础不行少 , 归纳假定要用到, 结论写明莫忘记”；从 n k 到 n k时 ,变形方法有乘法公式、== +1因式分解、添拆项、配方等 .三、稳固练习： 1. 练习：教材 108 练习 1、2 题 2. 作业：教材 108 B 组 1、2、3 题 . 第二课时 2.3 数学概括法（二）教课要求：认识数学概括法的原理 , 并能以递推思想作指导 , 理解数学概括法的操作步骤 , 能用数学概括法证明一些简单的数学命题 , 并能严格依据数学概括法证明问题的格式书写 .教课重点：能用数学概括法证明一些简单的数学命题 .教课难点：经历试值、猜想、概括、证明的过程来解决问题 . 教课过程：一、复习准备：1. 练习：已知 f (n) 1 3 5 L2n 1 , n N * , 猜想 f (n) 的表达式 , 并给出证明？过程：试值 f (1) 1, f (2) 4 , , → 猜想 f ( n) n 2→ 用数学概括法证明 .2. 发问：数学概括法的基本步骤？二、讲解新课：1. 教课例题：1 , 11 1① 出示例 1：已知数列2 8 , , , 1) , 猜想 S n 的表达式 , 并证明 .5 5 8 11 (3n (3n 2)剖析：怎样进行猜想？（试值 S 1 ,S 2 , S 3 ,S 4 →猜想 S n ） → 学生练惯用数学概括法证明 → 议论：怎样直接求本题的 S n ？（裂项相消法）小结：探究性问题的解决过程（试值→猜想、概括→证明） ②练习：是否存在常数 a 、 b 、 c 使得等式1 32 43 5 ...... n( n 2)1 n( an2 bn c) 对全部自然数 n 都建立 ,试证明你的结论 .6解题重点：试值 n=1,2,3, → 猜想 a 、 b 、 c → 数学概括法证明2. 练习：① 已知111a i 0 (i 1,2,L , n) ,考察 (i) a1a 11； (ii ) (a 1 a 2 )( a 1 a 2 ) 4 ；(iii ) (a 1 a 2 a 3)(1) 9以后概括出对 a 1 ,a 2 ,L ,a n 也建立的近似不等式并证明你11的结论 . a 1a 2a 3② （ 89 年全国理科高考题）能否存在常数a 、b 、c, 使得等式（答案：a=3, b=11, c=10）1 22 2 32 .....n(n 1)2n( n 1) ( an 2 bnc) 对全部自然数 n 都建立？并证明你的结论123. 小结：探究性问题的解决模式为“一试验→二概括→三猜想→四证明” . 三、稳固练习：1. 平面内有 n 个圆 , 随意两个圆都订交于两点 , 任何三个圆都不订交于同一点 , 求证这 n 个圆将平面分红 f ( n)= n 2－ n+2 个部分 .2.能否存在正整数 m, 使得 f （ n） =（ 2n+7）·3n+9 对随意正整数 n 都能被 m 整除 ?若存在 , 求出最大的 m值 , 并证明你的结论；若不存在 , 请说明原由 . （答案：m=36）3.试证明面值为 3 分和 5 分的邮票可支付任何n (n 7, n N )的邮资 .证明：（ 1）当n 8,9,10时, 由8 3 5,9 333,10 5 5可知命题建立；（ 2）假定n k ( k 7, k N ) 时,命题建立.则当 n k 3 时,由（1）及概括假定 , 明显n k 3 时建立.依据（1）和（2）,可知命题建立 .小结：新的递推形式 , 即（ 1）考证P(n0 ), P(n01),L, P( n0 l1)建立(l N )；（）2假定 P(k ) 建立,并在此基础上 , 推出P( k l )建立 .依据 (1)和 (2),对全部自然数 n ( n0 ) ,命题 P( n) 都建立.2.作业：。

高中数学 2.3 2数学归纳法及其应用举例教案新人教A版选修2-2

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

2.3数学归纳法教学设计教案（最终定稿）

2.3数学归纳法教学设计教案（最终定稿）第一篇：2.3数学归纳法教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)2、过程与方法（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率．3、情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯．2.教学重点/难点重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握．难点：数学归纳法中递推思想的理解3.教学用具多媒体、板书4.标签教学过程一、课堂探究【问题导思】问题1 在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】（1）第一辆自行车倒下；（2）任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？【提示】一些与正整数n有关的问题．问题2多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答（1）第一张牌被推倒；（2）任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件（2）给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．数学归纳法的定义 1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立；②(归纳递推)假设____________________________．答案：第一个值n0(n0∈N*)，当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．一、数学归纳法的步骤原理例1.用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：（1）n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．（2）假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．【答案】从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，第二步证明时，未用到归纳假设．因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列的求和公式．【变式训练】用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2 证明:（1）当n=1时左＝1，右＝12＝1 ∴n=1时，等式成立（2）假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k2 那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k-1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立N*都成立由(1)、(2)可知等式对任何nÎ【小结】数学归纳法证明步骤的框图展示二、用数学归纳法证明等式综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．【变式训练】 1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是_________；当n＝2时，左边所得项是__________；n=1时，左边是（）A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3 答案：1.1+2+3 1+2+3+5 2.C 三．用数学归纳法证明不等式【小结】用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．四、用数学归纳法证明数列问题下面我们用数学归纳法证明这个猜想．变式训练】数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．解：由a1＝2－a1，【小结】归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．“归纳—猜想—证明”的一般环节五、当堂检测1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有（）A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是______________．解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n ＋1)2(其中n∈N*)．4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．证明(1)当n＝1时，左边＝1×(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．课堂小结在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；（2）递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；（3）利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．第二篇：机械制造教案(数3)（二）计划（30学时）教学步骤：1、要求学生收集与典型零件加工有关的图书与资料；2、利用多媒体课件或现场教学等手段，讲解典型零件加工方法，了解轴类零件、套筒类零件、箱体类零件的加工工艺；了解机床夹具设计的方法，学会设计一种机床专用夹具。

课时作业3：2.3.2 数学归纳法应用举例

2.3.2 数学归纳法应用举例一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 答案 D解析等式左边的数是从1加到n ＋3.当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( ) A ．2k －1项 B ．2k ＋1项C ．2k 项D ．以上都不对答案 C 解析观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k. 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C解析当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．答案 S n ＝2n n ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. 6．k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)与f (k )的递推关系式为________．答案 f (k ＋1)＝f (k )＋k －1解析三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)， ∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1，∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k )＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.二、能力提升8．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．9．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1 (n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．10.用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立．则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是_______________________________________________．答案 122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12.已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2. ∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34， S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．三、探究与拓展13.已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358；而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 ①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． ②假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3，只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．由①②可知，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。

探究式导学案2：2.3数学归纳法

《数学归纳法》导学案【学习目标】了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.【重点难点】重点：能用数学归纳法证明难点：理解数学归纳法证思路.模块一: 自主学习，明确目标（1）设(){}p n 是一个与正整数相关的命题集合,如果证明起始命题1p (或0p )成立; 在假设p ｋ成立的前提下，推出p ｋ+１也成立，()p n 对一切正整数都成立.（2）归纳法步骤:① 证明当n 取第一个值n 0时命题成立；② 假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.模块二：合作释疑例1.归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109（n ＞1，且N ∈n ）．例2. 用数学归纳法证明32n+2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．模块三：巩固训练，整理提高一．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思二．课堂测试1.数学归纳法证明1＋21＋31＋…＋121-n ＜n （n ＞1）的过程中，第二步证明从n =k 到n =k ＋1成立时，左边增加m 个项，则m 等于( ) (A) 2k －1 (B) 2k －1 (C) 2k (D) 2k ＋12.数学归纳法证明（n ＋1）（n ＋2）…（n ＋n ）=2n ·1 · 3…（2 n －1）()N ∈n 时，证明从n =k 到n =k ＋1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以( )(A) 2k ＋2 (B)（2k ＋1）（2k ＋2） (C) 122++k k(D) ()()12212+++k k k 3.已知()111()123f n n N n*=++++∈,证明不等式()2n f n >时, ()12k f +比()2k f 多的项数为( )A. 12k -B. 12k +C. 2kD.21k +【作业】1.*11111,23421n n n N +++++≤∈-.2用数学归纳法证明:n 为奇数时，n n x y +能被x +y 整除.3对一切正整数N,是比较2n 与2n 的大小，并证明你的结论.答案例1【解析】（1）当n=2时，左=13+14+15+16=5760>5460=910，成立．（2）假设n=k 时，有1k+1+1k+2+1k+3+⋯+13k >910那么1k+2+1k+3+⋯+13(k+1)=1k+1+1k+2+1k+3+⋯+13k +13k+1+13k+2+13k+3−1k+1>910+13k+1+13k+2+13k+3−1k+1=910 即n =k +1时命题也成立，从而原不等式对n ∈N ，且n >1成立．例2【解析】当n=1 的时候上面的式子 = 34−8−9=64 成立假设当n=k 的时候32k+2－8 k －9能够被64整除当n=k+1式子= 32k+4－8 k －17=9[32k+2−8k −9]+64k +64因为32k+2－8 k －9能够被64整除∴9[32k+2−8k −9]+64k +64能够被64整除 n=k+1时，成立根据上面的由知道用数学归纳法证明32n+2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．课堂测试1【答案】C2【答案】D3【答案】C。

《2.3 数学归纳法》教学案二

《2.3数学归纳法》教案(二)教学目标1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力；2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤； 3．抽象思维和概括能力进一步得到提高。

教学重点、难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n (n 取无限多个值)有关的数学命题。

难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

教学过程一、复习回顾一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1) (归纳奠基)证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；(2) (归纳递推)假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。

--------------数学归纳法二、例题剖析：例题1、用数学归纳法证明：3n 5()n n N ++∈能被6整除证明：(1)当n =1时，3n 5n +=6能被6整除，命题成立；(2)假设当n =k (1)k ≥时命题成立，即3n 5()n n N ++∈能被6整除那么，当n =k +1时，3323(1)5(1)33155(k 5)3(1)6k k k k k k k k k +++=+++++=++++由归纳假设3n 5()n n N ++∈能被6整除，而(1)k k +是偶数，故3(1)k k +能够被6整除，从而3(1)5(1)k k +++能够被6整除，因此，当1n k =+时命题成立。

由(1)(2)知，命题对一切正整数成立，即任意的+∈N n 均成立，即3n 5()n n N ++∈能被6整除。

特别提示：数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论”，在证题的过程中，归纳推理一定要起到条件的作用，即证明n =k +1成立时必须用到归纳递推这一条件。

人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2学案 2.3.2 数学归纳法应用举例

2．3.2 数学归纳法应用举例明目标、知重点 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与自然数n 有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步归纳递推时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．探究点一用数学归纳法证明不等式思考用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立．证明由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝ (2k ＋3)24(k ＋1)＝ 4k 2＋12k ＋94(k ＋1)> 4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝ 4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1) ＝ 4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N ＋都成立．反思与感悟用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．证明当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．探究点二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n－1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N ＋. 证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时， a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n ＝k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x 2n －1＋y 2n －1(n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．证明 (1)当n ＝1时，x 2n －1＋y 2n －1＝x ＋y ，能被x ＋y 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，命题成立，即x 2k －1＋y 2k －1能被x ＋y 整除．那么当n ＝k ＋1时，x 2(k＋1)－1＋y 2(k ＋1)－1 ＝x 2k ＋1＋y 2k ＋1＝x 2k－1＋2＋y 2k －1＋2 ＝x 2·x 2k －1＋y 2·y 2k －1＋x 2·y 2k －1－x 2·y 2k －1＝x 2(x 2k －1＋y 2k －1)＋y 2k －1(y 2－x 2)．∵x 2k －1＋y 2k －1能被x ＋y 整除，y 2－x 2＝(y ＋x )(y －x )也能被x ＋y 整除，∴当n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－1＋y 2(k ＋1)－1能被x ＋y 整除．由(1)，(2)可知原命题成立．探究点三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n (n ∈N ＋，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f (n )＝n (n －1)2. 证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k >2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2) ＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋(n ≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．证明 (1)n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立；(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分；那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域．∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．1．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立答案 C解析 ∵n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题成立．∴若n ＝5时，该命题不成立，则n ＝4时该命题不成立．2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C．假设n＝k(k∈N＋)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确D．假设n≤k(k∈N＋)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确答案B解析因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B. 3．用数学归纳法证明3n>n3(n≥3，n∈N＋)第一步应验证________．答案n＝3时是否成立解析n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是______________．答案(2k＋2)＋(2k＋3)解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k ＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．1．数学归纳法证明与自然数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定等于1，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设．。

教学设计2：2.3数学归纳法

《数学归纳法》教学设计【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到： 221+1=5 222+1=17, 223+1=257, 224+1=65537归纳猜想：任何形如22n +1 （n ∈N ∗）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质670041764112525⨯=+=F数,从而推翻了费马的猜想。

——“不完全归纳有时是错误的”（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）情境2 、数列{n a }中, 1a ＝1, n n n a a a +=+11(n ∈*N )通过对n=1,2,3,4前4项归纳，猜想a n =1n ——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。

人教A版选修2-2 2.3 数学归纳法(一) 学案

2.3 数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． [知识链接]1．对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答 (1)当n ＝1时，猜想成立；(2)若当n ＝k 时猜想成立，证明当n ＝k ＋1时猜想也成立． [预习导引] 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．要点一正确判断命题从n ＝k 到n ＝k ＋1项的变化例1 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是________．答案 2k解析观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k . 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．规律方法在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.要点二证明与自然数n 有关的等式例2 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1－12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋1k ＋1＋k＋12k ＋1＝右边；所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *等式都成立．规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范； (2)用数学归纳法证题时，要把n ＝k 时的命题当作条件，在证n ＝k ＋1命题成立时须用上假设．要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．跟踪演练2 用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n. 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12－12k k ＋1＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立．要点三证明与数列有关的问题例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．解 (1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22， ∴a 2＝22，∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前五项为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，n 2n －12 n ≥2，下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2n －12.①当n ＝2时，a 2＝222－12＝22，所以等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k 2k －12，则当n ＝k ＋1时，∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， ∴a 1·a 2·…·a k ＋1＝(k ＋1)2. ∴a k ＋1＝k ＋12a 1·a 2·…·a k －1·a k＝k ＋12k －12·k －12[k ＋1－1]2＝k ＋12[k ＋1－1]2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n ＝n 2n －12，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，n 2n －12 n ≥2.规律方法 (1)数列{a n }既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式a n ，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．跟踪演练3 数列{a n }满足：a 1＝16，前n 项和S n ＝n n ＋12a n ，(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)令n ＝2，得S 2＝2×2＋12a 2，即a 1＋a 2＝3a 2，解得a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×3＋12a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，解得a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×4＋12a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，解得a 4＝130.(2)由(1)的结果猜想a n ＝1n ＋1n ＋2，下面用数学归纳法给予证明：①当n ＝1时，a 1＝16＝11＋11＋2，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k ＋1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k ·k ＋12a k ，① S k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1， ②②与①相减得a k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1－k ·k ＋12a k ，整理得a k＋1＝k ＋1k ＋3a k ＝k ＋1k ＋3·1k ＋1k ＋2＝1k ＋2k ＋3＝1[k ＋1＋1][k ＋1＋2]，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②知对于n ∈N *，上述结论都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，(1)求S 1，S 2，T 1，T 2；(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．解 (1)∵当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n .∴S 1＝1－12＝12，S 2＝1－12＋13－14＝712，T 1＝11＋1＝12，T 2＝12＋1＋12＋2＝712. (2)猜想S n ＝T n (n ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证S 1＝T 1，②假设n ＝k 时，S k ＝T k (k ≥1，k ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋1＝T k ＋12k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋1＋12k ＋1＝T k ＋1.由①，②可知，对任意n ∈N *，S n ＝T n 都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对答案 B解析由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1B ．13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项． 6．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋17．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2k ＋2k ＋3＝2k ＋3＝2k ＋1＋2，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)． 9．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．答案缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n n ＋12.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k k ＋12，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k k ＋12＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·k ＋1k ＋22＝(－1)k ＋1－1·k ＋1[k ＋1＋1]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＝15×2n －2n ≥2，n ∈N *.(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立，即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋51－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 n ＝15×2n －2n ≥2，n ∈N *.三、探究与创新13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星 (2)猜想a n ＝1n n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，猜想显然成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k k ＋1. 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1，所以kk ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k ＋1＝1k ＋1k ＋2＝1k ＋1[k ＋1＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立。