复杂正方形拓展练习题(拓展拔高)

合集下载

专题5-5正方形专项提升训练(重难点培优)--2023-2024学年八年级数学(0002)

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题5.5正方形专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•阜平县期末）下列说法正确的是（）A．菱形的四个内角都是直角B．矩形的对角线互相垂直C．正方形的每一条对角线平分一组对角D．平行四边形是轴对称图形2．（2022春•巴中期末）下列说法正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形3．（2022春•唐河县期末）已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC＝MD＝AD，则∠AMB的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°4．（2022春•青秀区校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝3，则OD的长是（）A．3B．4C．5D．65．（2022春•肥城市期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE 相交于点G，下列结论中正确的是（）①AF＝BE；②AF⊥BE；③AG＝GE；④S△ABG＝S四边形CEGF．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．（2022秋•舞钢市期中）如图，正方形ABCD中，点P和H分别在边AD、AB上，且BP＝CH，AB＝15，BH＝8，则BE的长是（）A．B．5C．7D．7．（2022•大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若，则线段AC的长为（）A．B．C．D．8．（2021秋•吉州区期末）如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线CF滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形C．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形D．四边形ACDF不可能是正方形9．（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在边长为15的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝3，则EF的长为（）A．12B．13C．14D．15二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•北京期中）如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为．12．（2021秋•太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是．13．（2022春•岱岳区期末）如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF ＝25°，则∠AED的大小为度．14．（2022秋•和平区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，则DF的长为．15．（2022春•吴中区校级月考）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H若AB＝2，AG＝，则EB＝．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点F在边DC上运动（不包含两个端点），点E是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为等腰三角形，AE为底边时，CF的长为．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•周至县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AB上，且AF＝BE，AE、DF相交于点O．求证：∠BAE＝∠ADF．18．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．19．（2021•陕西模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O．过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E，求证：DE＝CE．20．（2022春•东莞市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB 边上点，过点D作DE⊥BC交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC再满足条件时，四边形CDBE是正方形（直接填写答案）．22．（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，点P在边BC的延长线上，连接AP交BD于F，过点C作CG∥AP交BD于点G，连接AG，CF．（1）求证：△ADF≌△CBG；（2）判断四边形AGCF是什么特殊四边形？请说明理由．23．（2021秋•宁阳县期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，且∠CGD＝∠DGE，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）猜想：△DEH的形状，并说明理由．（2）猜想BH与AE的数量关系，并证明．。

八年级数学正方形拔高拓展题专项练习(20200710162331)

八年级数学正方形拔高拓展题专项练习拓展： 1.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．，且EF 交正方形外角的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．90AEF DCG 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证，所以．AME ECF △≌△AE EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A DFC G EB 图1A D FC G E B 图2AD FC GE B 图3绕正方形ABCD的中心O顺时是全等图形，则当正方形A′OB′C′2.如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′针旋转的过程中．（1）证明：CF=BE；（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．3.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC,交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，求BF的长。

4.如图，正方形ABCD 和直角△ABE ，∠AEB=90°，将△ABE 绕点O 旋转180°得到△CDF（1）在图中画出点O 和△CDF ，并简要说明作图过程（2）若AE=12，AB=13,求EF 的长。

5.边长为的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A,C 不重合）。

连接BP,将BP 22绕点B 顺时针旋转90°得到BQ,连接QP,QP 与BC 交于点E ，QP 的延长线于AD （或AD 的延长线）交于点F 。

人教版八年级数学下《正方形》拔高练习

人教版八年级数学下《正方形》拔高练习《正方形》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．13．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N，若AD＝4，则线段AM 的长为（）A．2B．2C．4﹣D．8﹣44．（5分）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）A．13B．14C．15D．165．（5分）已知?ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A．当OA＝OB时?ABCD为矩形B．当AB＝AD时?ABCD为正方形C．当∠ABC＝90°时?ABCD为菱形D．当AC⊥BD时?ABCD为正方形二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为．7．（5分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为．8．（5分）已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27和54，则正方形③的边长为．9．（5分）如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为度（正方形的每个内角为90°）10．（5分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，则∠1+∠2+∠3的度数为°．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F 点．已知FG＝2，求线段AE的长度．12．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，F 是AE的中点，过点F垂直于AE的直线与边CD的交点为M，与AD 的延长线的交点为N．若AB＝12，BE＝5，求DN的长．13．（10分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，请判断AE和BF的关系，并说明理由．14．（10分）如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠F AE，求证：AF＝AD+CF．15．（10分）如图1，P为正方形ABCD内一点，且P A：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设P A＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把P A、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，P A：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝度．请写出推理过程．《正方形》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD 的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG＝AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE＝CF，在△BCE与△CDF中，∴△BCE≌△CDF，（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故①正确；在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG＝CD＝AD，故④正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG＝HD＝CD，∴DK＝GK，∴AH垂直平分DG，∴AG＝AD，故②正确；∴∠DAG＝2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH＝∠CDF，∵GH＝DH，∴∠HDG＝∠HGD，∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．故选：D．【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．1【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH 为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，然后证明∠BNM＝∠BMN，BN ＝BM＝1．【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∵AM＝，∴AH＝MH＝1，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，∵∠BAC＝45°，∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM＝1，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质作辅助线是解决问题的关键．3．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N，若AD＝4，则线段AM 的长为（）A．2B．2C．4﹣D．8﹣4【分析】过点M作MF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可知FM＝BM，再由四边形ABCD为正方形，可得出∠F AM＝45°，在直角三角形中用∠F AM的正弦值即可求出FM与AM的关系，最后由AM+BM＝4列方程求解即可．．【解答】解：过点M作M F⊥AC于点F，如图所示．∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，∴∠CAB＝45°，FM＝BM．在Rt△AFM中，∠AFM＝90°，∠F AM＝45°，AM＝2，∴BM＝FM＝AM?sin∠F AM＝AM．又∵AM+BM＝4，∴AM+AM＝4，解得：AM＝8﹣4．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出FM 的长度与AM的关系．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角平分的性质及正方形的特点找出边角关系，再利用解直角三角形的方法即可得以解决．4．（5分）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）A．13B．14C．15D．16【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，所以a2+b2＝13，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．5．（5分）已知?ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A．当OA＝OB时?ABCD为矩形B．当AB＝AD时?ABCD为正方形C．当∠ABC＝90°时?ABCD为菱形D．当AC⊥BD时?ABCD为正方形【分析】直接利用矩形、菱形的判定方法分析得出答案．【解答】解：A、当OA＝OB时，可得到?ABCD为矩形，故此选项正确；B、当AB＝AD时?ABCD为菱形，故此选项错误；C、当∠ABC＝90°时?ABCD为矩形，故此选项错误；D、当AC⊥BD时?ABCD为菱形，故此选项．故选：A．【点评】此题主要考查了矩形、菱形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为9．【分析】过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，根据正方形的性质得出∠A OB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM＝OF，OM＝FB，求出四边形ACFM为矩形，推出AM＝CF，AC＝MF＝3，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF＝OF＝6，求出BF，即可求出答案．【解答】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，∵∠ACB＝90°，∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，∴四边形ACFM是矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．7．（5分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为16．【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC ＝∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，即∠BAC＝∠DCE，在△ABC和△CED中，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB＝CE，BC＝DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2＝7+9＝16，即S b＝16，则b的面积为16，故答案为16【点评】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB ≌△DCE．8．（5分）已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27和54，则正方形③的边长为9．【分析】根据正方形的性质就可以得出∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD，∠AEB＝∠CBD，就可以得出△ABE≌△CDB，得出AE＝BC，AB＝CD，由勾股定理就可以得出BE的值，进而得出结论．【解答】解：∵四边形①、②、③都是正方形，∴∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DBC＝90°，∴∠AEB＝∠CBD．在△ABE和△CDB中，，∴△ABE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，AB＝CD．∵正方形①、②的面积分别27cm2和54cm2，∴AE2＝27，CD2＝54．∴AB2＝27．在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2＝AE2+AB2＝27+54＝81，∴BE＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是勾股定理，正方形的性质的运用，正方形的面积公式的运用，三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明△ABE≌△CDB是关键．9．（5分）如图，有两个正方形夹在AB与CD 中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为70度（正方形的每个内角为90°）【分析】如图，延长KH交EF的延长线于M，作MG⊥AB于G，交CD于H．利用四边形内角和36°，求出∠HMF，再根据∠KME＝∠MKG+∠MEH，求出∠MKG即可解决问题；【解答】解：如图，延长KH交EF的延长线于M，作MG⊥AB 于G，交CD于H．∵∠GHM＝∠GFM＝90°，∴∠HMF＝180°﹣150°＝30°，∵∠HMF＝∠MKG+∠MEH，∠MEH＝10°，∴∠MKG＝20°，∴∠1＝90°﹣20°＝70°，故答案为70．【点评】本题利用正方形的四个角都是直角，直角的邻补角也是直角，四边形的内角和定理和两直线平行，内错角相等的性质，延长正方形的边构造四边形是解题的关键．10．（5分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，则∠1+∠2+∠3的度数为150°．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠ABC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝150°．故答案为：150．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F 点．已知FG＝2，求线段AE的长度．【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出＝2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由AB∥CD，可得，即可得AE＝2AG＝12．【解答】解：∵G为CD边中点，∴CG＝DG＝CD∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝2，∴AF＝2GF＝4，∴AG＝6．∵AB∥DC∴∴AE＝2GE＝2（AE﹣AG）∴AE＝2AG＝12【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键12．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，F 是AE的中点，过点F垂直于AE的直线与边CD的交点为M，与AD 的延长线的交点为N．若AB＝12，BE＝5，求DN的长．【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠F AN，根据新的数据线的性质和勾股定理得到AN＝16.9，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠F AN，∵FN⊥AE，∴∠AFN＝90°，∴∠B＝∠AFN，∴△ABE∽△NF A，∴，在Rt△ABE中．AE＝＝＝13，∵F是AE的中点，∴AF＝AE＝6.5，∴＝，∴AN＝16.9，∵AB＝AD＝12，∴DN＝AN﹣AD＝4.9．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（10分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，请判断AE和BF的关系，并说明理由．【分析】根据正方形的性质得到AD＝CD＝AB＝BC，∠ADE＝∠BAF＝90°，证明△BAF≌△ADE，根据全等三角形的性质证明．【解答】解：AE＝BF，AE⊥BF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ADE＝∠BAF＝90°，∵CE＝DF，∴AF＝DE，在△BAF和△ADE中，，∴△BAF≌△ADE（SAS），∴AE＝BF，∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，即AE⊥BF．【点评】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边相等，四个角都是90°是解题的关键．14．（10分）如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠F AE，求证：AF＝AD+CF．【分析】过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明Rt△AEG≌Rt △AED，即可得AG＝AD，同理证明出CF＝GF，于是结论可以证明AF＝AD+CF．【解答】解：过E点作EG⊥AF，垂足为G，∵∠DAE＝∠EAF，∠B＝∠AGE＝90°，即AE为角平分线，ED⊥AD，EG⊥AG，∴DE＝EG，在Rt△AEG和Rt△AED中，，∴Rt△AEG≌Rt△AED（HL），∴AG＝AD，∵E是CD的中点∴DE＝EC＝EG同理可知CF＝GF，∴AF＝AG+FG＝AD+CF．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，此题难度不大．15．（10分）如图1，P为正方形ABCD内一点，且P A：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设P A＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把P A、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝135度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，P A：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝150度．请写出推理过程．。

复杂正方形拓展练习题(拓展拔高)

正方形拓展题目练习（拔高）拓展：1.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF∠=，且EF交正方形外角DCG∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF△≌△，所以AE EF=．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A DFC GEB图1 A DFC GEB图2A DFC GEB图32.如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．（1）证明：CF=BE；（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．3.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC,交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，求BF的长。

5.边长为22ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A,C 不重合）。

连接BP,将BP 绕点B 顺时针旋转90°得到BQ,连接QP,QP 与BC 交于点E ，QP 的延长线于AD （或AD 的延长线）交于点F 。

六年级拔高题数学正方形里还有个正方形

六年级拔高题数学正方形里还有个正方形摘要：一、问题概述二、解题思路1.分析大正方形内的正方形特点2.运用数学知识求解三、具体解题过程四、结论与拓展正文：六年级拔高题数学正方形里还有个正方形，这是一道极具挑战性的数学题目，需要我们运用观察能力、思维能力和数学知识来解决。

首先，我们来了解一下问题。

题目描述了一个大正方形内部有一个小正方形，我们需要求解这两个正方形的相关参数，如面积、边长等。

接下来，我们要分析大正方形内的正方形特点。

由于两个正方形相互嵌套，我们可以观察到小正方形的边长是大正方形边长的平方根。

也就是说，小正方形的边长与大正方形的边长之间存在一定的倍数关系。

有了这个特点，我们可以开始运用数学知识求解。

设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，那么根据题目条件，我们可以得到以下等式：a = √b接下来，我们需要求解这两个正方形的面积。

大正方形的面积为a，小正方形的面积为b。

根据题目要求，大正方形内部还有一个小正方形，所以大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个小正方形的面积。

即：a =b + 4b将第一个等式代入第二个等式，我们可以得到：(√b) = b + 4b将方程整理后，我们得到：b - b = 0将方程因式分解，得到：b(b - 1) = 0这时，我们可以得到两组解：1.b = 0，此时b = 0，但边长不能为0，所以这组解不符合题意，舍去。

2.b - 1 = 0，此时b = 1，a = √b = 1。

所以，我们得到了大正方形的边长a=1，小正方形的边长b=1。

这时，我们可以计算出大正方形的面积为1=1，小正方形的面积为1=1。

最后，我们来总结一下解题过程。

通过观察题目中的正方形特点，我们发现了两个正方形边长之间的倍数关系，然后运用数学知识求解得到了正方形的边长。

在此基础上，我们求解了两个正方形的面积，并得到了最终答案。

此外，我们还可以对这个问题进行拓展。

例如，如果正方形内部的正方形边长与大正方形边长的倍数关系不是1：1，而是其他比例，我们应该如何求解？又或者，如果正方形内部的正方形形状发生了变化，如圆形、三角形等，我们又应该如何处理这个问题？。

正方形综合提高练习题

正方形综合提高练习题
问题1
一个正方形的边长为5 cm，请计算该正方形的周长和面积。

问题2
一个正方形的周长为20 cm，请计算该正方形的边长和面积。

问题3
一个正方形的面积为36 cm²，请计算该正方形的边长和周长。

问题4
正方形A的面积是正方形B面积的2倍，正方形A的边长比正方形B的边长多3 cm。

请分别计算正方形A和正方形B的边长和周长。

问题5
正方形C的边长是正方形D的边长的2倍，正方形C的面积是正方形D面积的4倍。

请计算正方形C和正方形D的面积。

问题6
在一个正方形的四个角上分别连接线段，形成一个小正方形和4个等腰直角三角形。

已知小正方形的边长为2 cm，请计算大正方形的边长和面积。

问题7
在一个正方形的四个角上分别连接线段，形成一个小正方形和4个等腰直角三角形。

已知大正方形的面积为25 cm²，请计算小正方形的面积。

问题8
一个正方形的边长为x cm，请用x的代数式表达出该正方形的周长和面积。

问题9
已知正方形的面积为A cm²，请用A的代数式表示出该正方形的边长和周长。

问题10
已知正方形的周长为P cm，请用P的代数式表示出该正方形的边长和面积。

小结
通过这些练习题，你可以巩固和提高对正方形的周长和面积计算的能力。

通过多次练习，你会更加熟练地运用这些概念，并能够灵活解决与正方形相关的问题。

为了加强你的学习效果，可以自行编写更多类似的练习题进行练习。

祝你学习进步！。

八年级数学正方形拔高拓展题专项练习(20201006044017)

八年级数学正方形拔高拓展题专项练习拓展： 1.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．，且EF 交正方形外角的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．90AEF DCG 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证，所以．AME ECF △≌△AE EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADF CGE B图2ADFC GEB图3绕正方形ABCD的中心O顺时是全等图形，则当正方形A′OB′C′2.如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′针旋转的过程中．（1）证明：CF=BE；（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．3.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC,交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，求BF的长。

5.边长为的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A,C 不重合）。

连接BP,将BP22绕点B 顺时针旋转90°得到BQ,连接QP,QP 与BC 交于点E ，QP 的延长线于AD （或AD 的延长线）交于点F 。

长方体和正方体基础+拓展+提高练习题

长方体和正方体基础+拓展+提高练习题1、长方体有6个面，每个面是矩形，特殊情况有两个相对的面是正方形，相邻的面完全相同。

长方体有12条棱，相对的棱长度相等。

长方体有8个顶点。

2、正方体有6个面，每个面都是正方形，正方体有12条棱，棱的长度相等，正方体有8个顶点。

3、相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的三条棱、正方体可以看成是边长都相等的长方体。

正方体是特殊的长方体。

4、长方体或正方体的外侧面积，叫做它的表面积。

5、三维物体所占的空间大小，叫做物体的体积。

6、计量体积要用立方单位，常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米。

相邻两个长度单位间的进率是10，相邻两个面积单位间的进率是100，相邻两个体积单位间的进率是1000.7、三维物体所容纳的空间大小，通常叫做它们的容积。

计量液体的容积一般用升作单位。

8、一个正方体的棱长是a，棱长之和是4a，表面积是6a²，体积是a³。

9、一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h，它的棱长之和是2(a+b+h)，表面积是2(ab+ah+bh)，体积是abh。

10、一个正方体的棱长是7分米，它的表面积是294平方分米。

11、一个长方体的长是6厘米，宽和高都是4厘米，它的表面积是88平方厘米。

12、正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍。

13、一个长7厘米，宽6厘米，高3厘米的礼盒，用绳子将它捆起来，接头处5厘米，至少要25分米的绳子。

14、有一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体。

15、用96厘米长的铁丝焊接成一个正方体的框架，然后用纸给它的表面包裹起来，至少需要216平方厘米的纸。

16、一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，求正方体的棱长为2厘米。

17、一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。

现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是63平方米。

正方形综合提高练习题

正方形综合提高练习题1. 题目描述本练题旨在提高学生对正方形的理解和运用能力。

题目涵盖了正方形的基本性质、特征和相关定理。

学生需要通过解答题目来巩固对正方形知识的掌握。

2. 练题题目1：已知正方形ABCD的边长为5cm，求：(a) 正方形的周长；(b) 正方形的面积。

题目2：已知正方形EFGH的对角线EF的长度为6√2cm，求：(a) 正方形的边长；(b) 正方形的面积。

题目3：正方形IJKL的顶点J在坐标轴上，坐标为(0, 4)，求：(a) 正方形的边长；(b) 正方形的周长。

题目4：正方形MNOP的对角线MN与坐标轴的交点分别为M(2, 0)和N(0, -2)，求：(a) 正方形的边长；(b) 正方形的面积。

题目5：正方形QRST中，点R的坐标为(-3, 4)，求：(a) 正方形的边长；(b) 正方形的周长。

3. 答案解析题目1：(a) 正方形的周长等于4倍边长，所以周长为4 * 5cm = 20cm；(b) 正方形的面积等于边长的平方，所以面积为5cm * 5cm = 25cm²。

题目2：(a) 正方形的对角线等于边长的√2倍，所以边长为6√2cm ÷ √2 = 6cm；(b) 正方形的面积等于边长的平方，所以面积为6cm * 6cm = 36cm²。

题目3：由于顶点J位于坐标轴上，所以正方形的边长等于J的纵坐标，即边长为4；正方形的周长等于4倍边长，所以周长为4 * 4 = 16。

题目4：由已知条件可得正方形MNOP是边长为2的正方形，所以边长为2；正方形的面积等于边长的平方，所以面积为2 * 2 = 4。

题目5：由已知条件可得正方形QRST是边长为8的正方形，所以边长为8；正方形的周长等于4倍边长，所以周长为4 * 8 = 32。

4. 总结通过这些练习题，学生可以进一步巩固对正方形的性质和定理的理解，并能够灵活运用所学知识解决各种问题。

正方形是几何学中重要的基本形状，掌握好正方形的相关知识对于学生的数学学习非常重要。

正方形的判定和性质拔高训练题

正方形的判定和性质拔高训练题正方形是一种特殊的四边形，具有以下重要的性质：四条边的长度相等，且四个内角都是直角。

判定一个四边形是否为正方形，以及进一步探索正方形的性质，是数学研究的重点之一。

在判定一个四边形是否为正方形时，我们可以根据以下条件进行判断：1. 边长判定：四条边的长度相等是正方形的必要条件。

我们可以测量每条边的长度，并进行比较，如果它们相等，则该四边形可能是正方形。

2. 角度判定：正方形的四个内角都是直角，即90度。

我们可以使用角度测量工具测量每个内角的度数，并进行比较。

如果每个内角都是90度，则该四边形可能是正方形。

需要注意的是，判定一个四边形是否为正方形只是初步的判断。

为了确保判定的准确性，我们可以采用以下方法来进一步验证：1. 对角线长度比较：正方形的对角线相等且垂直平分对方，即对角线互相垂直且长度相等。

我们可以测量对角线的长度，并进行比较，如果它们相等，则该四边形可能是正方形。

2. 边垂直性判定：正方形的边互相垂直。

我们可以使用角度测量工具测量相邻两边的夹角，并进行比较。

如果相邻两边的夹角都是90度，则该四边形可能是正方形。

在进一步验证判定的基础上，我们可以探索正方形的其他性质：1. 面积计算：正方形的面积计算公式为边长的平方。

如果我们已知一个正方形的边长，就可以通过计算边长的平方得到正方形的面积。

2. 周长计算：正方形的周长计算公式为边长乘以4。

如果我们已知一个正方形的边长，就可以通过计算边长乘以4得到正方形的周长。

正方形的判定和性质是学习几何学中的基础内容。

通过练习判定和探索正方形的性质，我们可以加深对几何学的理解和运用能力。

六年级上册数学正方形的拔高题

六年级上册数学正方形的拔高题
正方形是一种特殊的四边形，它的四条边都相等且每个角都是直角。

在六年级上册数学中，学生已经研究了正方形的基本概念和性质。

下面是一些拔高题，旨在进一步巩固学生对正方形的理解和运用能力。

1. 正方形的面积
已知正方形的边长为2cm，求其面积。

2. 正方形的对角线
已知正方形的边长为5cm，求其对角线的长度。

3. 正方形的周长和面积比较
有两个正方形，一个的边长是3cm，另一个的周长是12cm，比较两个正方形的面积大小。

4. 建立坐标系中的正方形
在坐标平面上，建立一个正方形，其中一个顶点位于原点(0, 0)，边长为4个单位长度。

求该正方形的另外三个顶点坐标。

5. 正方形的变换
将一个正方形按照顺时针方向旋转90度，再按照原来的中心
点放大2倍，最后平移到坐标平面的(2, 3)处。

求变换后正方形的四
个顶点坐标。

6. 已知两个正方形的面积比为1:4，求它们对应边长的比值。

这些拔高题旨在帮助学生更深入地理解和应用正方形的相关知识。

通过解答这些问题，学生可以提高他们的数学思维能力和问题
解决能力。

为了更好地完成这些拔高题，请学生们充分运用所学的数学知识，包括正方形的特性、公式和坐标系等，并注重列式运算的准确性和逻辑性。

精选)小学数学长方体和正方体拔高题难题

精选)小学数学长方体和正方体拔高题难题1.制作一个棱长为4分米的无盖正方体玻璃鱼缸，至少需要多少平方分米的玻璃？2.一个量筒盛有200毫升的水，放入4颗大小相等的玻璃球后，水面上升到280毫升。

每颗玻璃球的体积是多少立方厘米？3.一个边长为60厘米的正方形底面、高为110厘米的冰箱，占用的空间是多少立方分米？4.一个棱长和为12分米的正方体的体积是多少立方分米？5.用一根长为36分米的铁丝做一个长和宽都是4分米的长方体框架，它的高是多少分米？6.将一个棱长为x的正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的y倍，体积扩大到原来的z倍。

求y和z。

7.将一个棱长为6厘米的正方体切成棱长为2厘米的小正方体，可以得到多少个小正方体？8.一个长10米、宽8米、高3米的教室，四面墙的下部涂了1米高的绿色油漆，涂绿色油漆的面积是多少平方分米？9.___家订购了50根长为4米、横截面面积为0.06平方米的长方体木料，这些木料的体积是多少立方米？10.一个长5分米、宽3分米、高7分米的长方体，缸中水深5分米，缸中有多少升水？11.一个长50厘米、宽30厘米、高10厘米的长方体水箱，能盛多少升水？如果在水箱里装入3升水，水深多少厘米？12.一个棱长为4米的正方体砖堆，改堆成长8米、宽4米的长方体砖堆后，高是多少米？13.一个底面积为24平方分米、高为6分米的长方体油桶，全部倒入棱长为6分米的正方体油桶里，高是多少分米？14.用三个棱长为5厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积和体积分别是多少？15.用240厘米长的铁丝围成一个正方体灯笼框架，至少需要多少平方厘米的彩纸来糊上灯笼？16.将一个棱长为8厘米的正方体铁块锻造成一个长32厘米、宽4厘米的长方体铁块，该长方体的高是多少分米？17.一根长12米的木料平均锯成两段后，表面积增加了4.8平方米，这段木料的体积是多少立方米？18.___家的卧室长6米、宽4米，要铺上长50厘米、宽10厘米、厚3厘米的木质地板，大约需要多少块木质地板？19.一个长方体鱼缸，长9分米、宽4分米，盛有6.5分米高的水。

六年级拔高题数学正方形里还有个正方形

六年级拔高题数学正方形里还有个正方形【实用版】目录1.引言：介绍六年级拔高题的特点，以及掌握此知识点的意义。

2.正文一、概念六年级拔高题是指相对于课本基础知识的较难题目，需要学生具备更强的数学思维能力和综合能力。

这类题目通常需要学生运用多个知识点来解决问题，或者需要学生具备一定的推理能力和创新能力。

二、方法解决六年级拔高题需要掌握以下方法：1.理解概念：学生需要深入理解所涉及的知识点，包括定义、公式、定理等。

2.建立模型：学生需要建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决。

3.推理分析：学生需要运用推理能力，分析问题中的条件和结论之间的关系，推导出答案。

4.创新思维：学生需要具备一定的创新思维，能够从不同角度思考问题，找到新的解决方案。

三、例题例1：有一个正方形里还有一个正方形，求内层正方形的边长。

解法：设外层正方形的边长为a，则内层正方形的边长为√a。

根据题意，可得方程√a ×√a = a，解得a=25。

所以，内层正方形的边长为5。

例2：有一个长方形里还有一个正方形，求内层正方形的边长。

解法：设长方形长为b，宽为c，则内层正方形的边长为bc/√b。

根据题意，可得方程bc/√b × bc/√b = bcxc，解得bc=81。

所以，内层正方形的边长为9。

四、总结解决六年级拔高题需要学生具备扎实的基础知识、严谨的推理能力、创新思维能力等多方面的能力。

在解决此类问题时，学生应该先理解概念，建立数学模型，然后通过推理分析得出答案。

此外，学生还应该具备创新思维，能够从不同角度思考问题，找到新的解决方案。

正方形拔高试题

正方形拔高试题一．解答题（共30小题）1．如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．（1）求EC：CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．2．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．3．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．4．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．5．如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）6．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．7．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）FC/EF的值为√10/10；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．8．如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；（2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．9．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10．已知：如图所示，O为等腰直角△BCD斜边BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；（3）若BE•GB=4+3√2 ，求△DBG的面积．11．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）求△AEF的面积．12．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC-CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC 的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．14．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由．15．如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AE+FC，DG⊥EF于G，求证：DG=DA．16．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC 于点Q，连接BQ．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当△ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1：6时，求BQ的长度，并直接写出此时点P在AB上的位置．17．如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度数．18．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE 交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．19．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG=√2 ，求EB的长．20．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH 位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3√2 ，求AG，MN的长．21．如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当CE/CB=1/n 时，请直接写出SABCD/SDEFG的值．22．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．23．如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形；（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图（3），求tan∠DEM．24．如图，F为正方形ABCD的对角线AC上一点，FE⊥AD于点E，M为CF的中点．（1）求证：MB=MD；（2）求证：ME=MB．25．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为点O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）当点E是AB边中点时，试比较∠AEF和∠CEB 的大小，并说明理由．26．已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连接BF、BD、FD．（1）BD与CF的位置关系是（2）①如图，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为②如图，当CE=2（即点E为CD中点）时，△BDF 的面积为③如图，当CE=3时，△BDF的面积为．（3）如图，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．27．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为√3 +1时，求正方形的边长．28．如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN=EC．29．如图，在正方形ABCD中，G是DC上的任意一点，（G与D、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=DF+EF，∠1=∠2，请判断线段DF与BE有怎样的位置关系，并证明你的结论．30．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．。

精选2019-2020年沪教版小学数学三年级上正方形组成的图形拔高训练十六

精选2019-2020年沪教版小学数学三年级上正方形组成的图形拔高训练十六第1题【单选题】用4根相同的小棒不可能搭成一个( )。

A、长方形B、平行四边形C、正方形【答案】：第2题【多选题】两个完全一样的锐角三角形可以拼成( )A、长方形B、三角形C、平行四边形两个完全一样的钝角三角形可以拼成( )A、长方形B、三角形C、平行四边形两个完全一样的直角三角形可以拼成( )A、长方形B、三角形C、平行四边形【答案】：【解析】：第3题【判断题】两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形。

A、正确B、错误【答案】：【解析】：第4题【判断题】判断对错将下面的两个小平行四边形，拼成一个大平行四边形，有两种拼法.A、正确B、错误【答案】：【解析】：第5题【填空题】三角形有______个A、6【答案】：第6题【填空题】两个完全一样的______三角形，可以拼成一个正方形；两个完全一样的______梯形，可以拼成一个长方形。

【答案】：【解析】：第7题【填空题】在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取______个直径是2分米的圆形铁板。

【答案】：【解析】：第8题【填空题】有______个有______个A、5B、1【答案】：第9题【填空题】数一数．○______个A、3______个A、1□______个A、2△______个A、12【答案】：第10题【填空题】拼一拼，数一数。

有______个，有______个，有______个△，有______个，有______个。

【答案】：第11题【填空题】从右面选两个图形拼成左面的图形______。

【答案】：第12题【填空题】右面哪些图形可以拼成左边的图形？把你的拼法和同桌说一说．A、8,3,10,1【答案】：【解析】：第13题【解答题】把下面的图形平均分成两个四边形．A、【答案】：第14题【解答题】涂一涂．涂绿色，□涂黄色，△涂红色，○涂蓝色．A、【答案】：第15题【解答题】在下图中画一条线，分成两个指定的图形．一个正方形和一个方形．A、【答案】：。

人教版八年级数学下册《正方形》拓展练习

《正方形》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．7C．7D．2．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④⑤⑥3．（5分）如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°5．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB＝AF，则∠BFE＝（）A．45°B．30°C．60°D．55°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F．若OE＝2，则CF＝．7．（5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F 分别在BC和CD上下列结论：①BE＝DF；②∠AEB＝75°；③CE＝2；④S ＝2+．其中正确答案的序号是（把你认为正确的都填上）．正方形ABCD8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP 等于．9．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE ＝30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ ＝AE ，则AP 等于 cm ．10．（5分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是BC 边上的高，若BD ＝3，CD ＝1，则AD 的长为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的两条直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．【感知】如图①，若四边形ABCD 是正方形，且AG ＝BE ＝CH ＝DF ，则S四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．12．（10分）如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC 交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长．13．（10分）（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI．＝16，求S六边形DEFGHI14．（10分）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD＝AF+2DM．15．（10分）在正方形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E、F分别是边CD、BC 上的中点，点P是一动点．记∠DEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝∠α．（1）如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α＝，∠1+∠2＝．（2）如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系？（3）当点P在直线AD上（在线段AD之外且PE与PF不重合）运动时，∠1、∠2和∠α之间又有何关系？说明理由．《正方形》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．7C．7D．【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题；【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，∴AD的最大值为，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④⑤⑥【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DP＝EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②，PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2；⑥证明∠PFH+∠HPF＝90°，则AP⊥EF．【解答】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵GF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，∴当∠P AD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，由正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP，∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故④正确；⑤由EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝＝2时，EF的最小值等于2，故⑤正确；⑥∵GF∥BC，∴∠AGP＝90°，∴∠BAP+∠APG＝90°，∵∠APG＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴AP⊥EF，故⑥正确；本题正确的有：①②④⑤⑥；故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．3．（5分）如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出∠F＝90°，FB＝FC，再根据正方形的判定方法逐个判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝∠ABC＝90°，∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠FCB＝DCB＝45°，∠FBC＝ABC＝45°，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴CF＝BF，∠F＝180°﹣45°﹣45°＝90°，①∵EB∥CF，CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形，∵CF＝BF，∠F＝90°，∴四边形BFCE是正方形，故①正确；∵BE＝CE，BF＝BE，CF＝BF，∴BF＝CF＝CE＝BE，∴四边形BFCE是菱形，∵∠F＝90°，∴四边形BFCE是正方形，故②正确；∵BE∥CF，CE⊥BE，∴CF⊥CE，∴∠FCE＝∠E＝∠F＝90°，∴四边形BFCE是矩形，∵BF＝CF，∴四边形BFCE是正方形，故③正确；∵CE∥BF，∠FBC＝∠FCB＝45°，∴∠ECB＝∠FBC＝45°，∠EBC＝∠FCB＝45°，∵∠F＝90°，∴∠FCE＝∠FBE＝∠F＝90°，∵BF＝CF，∴四边形BFCE是正方形，故④正确；即正确的个数是4个，故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能灵活运用判定定理进行推理是解此题的关键．4．（5分）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED 的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数．【解答】解：设∠BAE＝x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵AE＝AB，∴AB＝AE＝AD，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝90°﹣x°，∴∠DAE＝90°﹣x°∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+ x°，∴∠BED＝90°﹣x°+45°+x°＝135°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．5．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB＝AF，则∠BFE＝（）A．45°B．30°C．60°D．55°【分析】由正方形的性质再结合已知条件可证明△ABF和△ADF是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质、四边形内角和为360°和三角形内角和定理即可求出∠BFD＝135°，进而可求出∠BFE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AB＝AF，∴AF＝AD，∴△ABF和△ADF都是等腰三角形，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BAD+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∴2∠2+2∠3＝270°，∴∠2+∠3＝135°，∴∠BFE＝180°﹣135°＝45°，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判断和性质、四边形内角和定理以及三角形内角和定理的运用，利用整体思想求出∠BFD的度数是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F．若OE＝2，则CF＝4．【分析】取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出OG＝FC，OG ∥FC，根据正方形的性质求出∠OAB、∠ABO、∠OCB的度数，求出∠OEA 和∠OGF的度数，推出OG＝OE即可解决问题．【解答】证明：取AF的中点G，连接OG，∵O、G分别是AC、AF的中点，∴OG＝FC，OG∥FC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），∵正方形ABCD，∴∠OAB＝∠ABO＝∠OCB＝45°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠OAF＝22.5°，∴∠GEO＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵GO∥FC，∴∠AOG＝∠OCB＝45°，∴∠OGE＝67.5°，∴∠GEO＝∠OGE，∴GO＝OE，∴CF＝2OE＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线，等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．7．（5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F 分别在BC和CD上下列结论：①BE＝DF；②∠AEB＝75°；③CE＝2；④S ＝2+．其中正确答案的序号是①②④（把你认为正确的都填正方形ABCD上）．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；由△CEF为等腰直角三角形可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴①说法正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②说法正确；如图，∵△CEF为等腰直角三角形，EF＝2，∴CE＝．∴③说法错误；∵EF＝2，∴CE＝CF＝，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，解得a＝，则a2＝2+，S正方形ABCD＝2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于cm或cm．【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝，即DE＝cm，∴AE＝cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PF A＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD﹣AP＝3﹣＝cm，综上，AP等于cm或cm．故答案为：cm或cm．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．9．（5分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于2或1cm．【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝，即DE＝cm，根据勾股定理得：AE＝2cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PF A＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝2cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD﹣AP＝3﹣2＝1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，若BD＝3，CD＝1，则AD的长为+2．【分析】作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝1；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE ＝DF＝2；则在Rt△AOF中，易得AF＝，进而得到AD的长．【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF ⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝3+1＝4，∴BO＝CO＝2．∵OE⊥BC，O为圆心，∴BE＝BC＝2，∴DE＝OF＝1．在Rt△BOE中，BO＝2，BE＝2，∴OE＝DF＝2．在Rt△AOF中，AO＝2，OF＝1，∴AF＝，∴AD＝+2．故答案为：+2．【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识的综合运用，解题时注意辅助线的作法，构造直角三角形和矩形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的两条直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．【感知】如图①，若四边形ABCD 是正方形，且AG ＝BE ＝CH ＝DF ，则S四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，根据图形的面积得到mb ＝AG •a ，于是得到结论；【探究】如图③，过O 作KL ⊥AB ，PQ ⊥AD ，则KL ＝2OK ，PQ ＝2OQ ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，，∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝；【探究】如图③，过O 作KL ⊥AB ，PQ ⊥AD ，则KL ＝2OK ，PQ ＝2OQ ，∵S 平行四边形ABCD ＝AB •KL ＝AD •PQ ，∴3×2OK ＝5×2OQ ， ∴＝，∵S △AOB ＝S 平行四边形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 平行四边形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OK ＝×1×OK ，S △AOG ＝AG •OQ ， ∴×1×OK ＝AG •OQ ，∴＝AG ＝，∴当AG ＝CH ＝，BE ＝DF ＝1时，直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．【点评】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE ＝S△AOG是解决问题的关键．12．（10分）如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC 交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长．【分析】（1），利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS，即可证得△BCE≌△DCF；（2），由BE平分∠DBC，BD是正方形ABCD的对角线，及△BCE≌△DCF可得∠DEG＝∠BEC，∠BGD＝∠BCD＝90°＝∠BGF．从而得到△DBG≌△FBG，根据全等三角形的性质可得BF的长，最后由勾股定理及线段的和差，即可求得CF的长度．【解答】（1）证明：如图，∵在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）．（2）如图，∵BE平分∠DBC，BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC＝∠DBC＝22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°，∵∠DEG＝∠BEC∴∠BGD＝∠BCD＝90°＝∠BGF．在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（SAS），∴BD＝BF，DG＝FG，∵BD＝＝，∴BF＝，∴CF＝BF﹣BC＝﹣1．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．13．（10分）（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI．＝16，求S六边形DEFGHI【分析】（1）作辅助线，证明△AMC≌△ANF（AAS），得CM＝FN根据三角形面积公式可得结论；（2）同理得：S△AEF ＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，设BO＝x，则CO＝4﹣x，根据勾股定理列方程得：17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，根据面积和可得S六边形DEFGHI．【解答】证明：（1）如图①，过点C作CM⊥AB，过F作FN⊥EA与EA的延长线交于点N，∴∠CMA＝∠ANF＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACGF是正方形，∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠CAM+∠CAN＝∠F AN+∠CAN＝90°，∴∠CAM＝∠F AN，在△AMC和△ANF中，∵，∴△AMC≌△ANF（AAS），∴CM＝FN，∴AE•FN＝，∴S△AEF ＝S△ABC．（2）由上题结论得：S△AEF ＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，由题意得：AB＝，AC＝5，BC＝4，过点O作AO⊥BC，设BO＝x，则CO＝4﹣x，在Rt△ABO和Rt△ACO中，AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，∴AO＝4，S六边形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，＝17+25+16+4××4×4，＝90．【点评】本题考查正方形的性质，三角形和多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，恰当作辅助线，学会利用面积和求六边形面积，属于中考常考题型．14．（10分）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD＝AF+2DM．【分析】（1）过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，只要证明△EBC≌△FME（AAS）即可解决问题；（2）过点F作FG∥AB交BD于点G．首先证明四边形ABGF为平行四边形，再证明△FGM≌△DMC（AAS）即可解决问题；【解答】（1）解：过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠M＝∠CEF＝90°，∴∠MEF+∠CEB＝90°，∠CEB+∠BCE＝90°，∴∠MEF＝∠ECB，∵EC＝EF，∴△EBC≌△FME（AAS）∴FM＝BE∴EM＝BC∵BC＝AB，∴EM＝AB，∴EM﹣AE＝AB﹣AE∴AM＝BE，∴FM＝AM，∵FM⊥AB，∴∠MAF＝45°，∴∠EAF＝135°．（2）证明：过点F作FG∥AB交BD于点G．由（1）可知∠EAF＝135°，∵∠ABD＝45°∴∠EAF＝135°+∠ABD＝180°，∴AF∥BG，∵FG∥AB，∴四边形ABGF为平行四边形，AF＝BG，FG＝AB，∵AB＝CD，∴FG＝CD，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠FGM＝∠CDM，∵∠FMG＝∠CMD∴△FGM≌△DMC（AAS），∴GM＝DM，∴DG＝2DM，∴BD＝BG+DG＝AF+2DM．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（10分）在正方形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E、F分别是边CD、BC 上的中点，点P是一动点．记∠DEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝∠α．（1）如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α＝45°，∠1+∠2＝90°．（2）如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系？（3）当点P在直线AD上（在线段AD之外且PE与PF不重合）运动时，∠1、∠2和∠α之间又有何关系？说明理由．【分析】（1）只要证明△PDE是等腰直角三角形，四边形CDPF是矩形即可解决问题；（2）连接PC．利用三角形的外角的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解即可；【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝DC，AD∥BC，∵P A＝PD，DE＝EC，BF＝FC，∴PD＝DE，∴∠1＝45°，∵PD＝FC，PD∥FC，∴四边形CDPF是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形CDPF是矩形，∴PF∥CD，∠PFC＝90°，∴∠α＝∠1＝45°，∠2＝90°，故答案为45°，90°．（2）如图2中，连接PC．∵∠1＝∠EPC+∠ECP，∠2＝∠FPC+∠FCP，∴∠1+∠2＝∠EPC+∠FPC+∠ECP+∠FCP＝∠α+90°．（3）如图：①当点P在线段DA的延长线上时，由（2）可知：∠1+∠2＝∠α+90°．②当点P在线段AD的延长线上且在直线EF的上方时，∵∠2＝∠α+∠PKF，∠PKF＝90°+∠KEC＝90°+∠1，∴∠2＝∠α+∠1+90°．③当点P在直线EF的下方时，设PF交CD于K．∵∠2＝90°+∠FKC＝90°+∠PKE＝90°+（∠1﹣∠α），∴∠2＝90°+∠1﹣∠α．【点评】本题考查正方形的性质、平行线的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。

专题20 正方形--拔高题

AD专题20 正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l 】如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G .下列结论：①05.112=∠AGD ；②2=AEAD；③OGD AGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤OG BE 2=. 其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上)(BC CG >，取线段AE 的中点M .连MD ，MF ．（1）探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2），其他条件不变．探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由M 为AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．图2图1EABEBA【例3】如图，正方形ABCD 中，E ，F 是AB ，BC 边上两点，且FC AE EF +=，EF DG ⊥于G ，求证：DA DG =.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造FC AE +的线段是解本例的关键．B A E【例4】如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测HAF ∠的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．求证：（1）045=∠EAF ；（2）222DN BM MN +=．（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．BAFA B CD E F GHP【例6】已知：正方形ABCD 中，045=∠MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点N M ,．当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当M AN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造BM DN -是解题的关键．能力训练A 级1. 如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为__________.（北京市竞赛试题）2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ，给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===；②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,； ④DA CD BC AB ==,．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）A BCDMN图3ABCDMN图2ABCDMN图13．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）BA E第1题图第3题图第4题图4.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合，若3=PB ，则'PP =__________. （河南省中考试题）5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放，点n A A A ,,21分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A .241cm B ．24cm n C. 241cm n - D. 2)41(cm n（晋江市中考试题）B F第5题图第6题图6. 如图，以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果26,4==AO AB ，则AC 的长为( )A . 12B ．8 C.34 D. 28（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形ABCD 中，035,=∠=MCE MN CE ，那么ANM ∠是( ) A .045 B ．055 C. 065 D. 075ABCDPP ''B 'D '8．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，CEF Rt ∆的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．10第8题图第7题图ABAD E F9．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BD 与CE 交于F 点，求证：BE AF ⊥．B A10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41= ．求证：CE 平分BCF ∠．BAE11. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足．求证：EF AP =．（扬州市中考试题）EBA12.（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >，G C B ,,在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1 图2B 级1. 如图，在四边形ABCD 中，090,=∠=∠=ABC ADC DC AD ，AB DE ⊥于E ，若四边形ABCD 的面积为8，则DE 的长为__________.2.如图，M 是边长为1的正方形ABCD 内一点，若02290,21=∠=-CMD MB MA ，则=∠MC D __________.（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图CBAAAC3.如图，在ABC Rt ∆中，3,900==∠AC C ，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，且24=OC ，则BC 的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）ABCDEFGMABCDEFGM4.如图：边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于M ，过M 作AQ MN ⊥交BC 于N 点，作BD NP ⊥于点P ，连接NQ ，下列结论：①MN AM =；②BD MP 21=； ③NQ DQ BN =+；④BMBNAB +为定值，其中一定成立的是( )A . ①②③B ．①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图，ABCD 是正方形，AC BF //，AEFC 是菱形，则ACF ∠与F ∠度数的比值是( ) A . 3 B ．4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A .58 B ．527C. 8D. 65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图Q BABADA QP7.如图，正方形ABCD 中，8=AB ，Q 是CD 的中点，设α=∠DAQ ，在CD 上取一点P ，使α2=∠BAP ，则CP 的长度等于 ( )A . 1B ．2 C. 3 D.3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD 中，M 是AB 中点，E 是AB 延长线上一点，DM MN ⊥且交CBE ∠平分线于N （如图1）（1）求证：MN MD =；（2）若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点M 是AB 的延长线上（除B 点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）图3图2图1AAA DDDE `9.已知,10,10<<<<b a 求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a ．10.如果，点N M ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）ADM11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH ，对角线CG AE ,分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：CG AE ⊥，且CG AE =．（北京市竞赛试题）12.如图，正方形MNBC 内有一点A ，以AC AB ,为边向ABC ∆外作正方形ABRT 和正方形ACPQ ，连接BP RM ,．求证：RM BP //．（武汉市竞赛试题）PR。

正方体和五边形经典提高题

正方体和五边形经典提高题
正方体是一种立体几何体，拥有六个面，每个面都是一个正方形。

五边形是一种平面几何图形，拥有五条边和五个角。

以下是一
些关于正方体和五边形的经典提高题。

题一
一个正方体的体积是64立方厘米，求其边长是多少？
解答：
设正方体的边长为x，则根据正方体的体积公式，有x^3 = 64。

解这个方程可以得到 x = 4。

所以，正方体的边长是4厘米。

题二
一个正方体的表面积是96平方厘米，求其边长是多少？
解答：
设正方体的边长为x，则根据正方体的表面积公式，有 6x^2 = 96。

解这个方程可以得到 x = 4。

所以，正方体的边长是4厘米。

题三
一个五边形的周长是30厘米，求其边长是多少？
解答：
设五边形的边长为x，则根据五边形的周长公式，有 5x = 30。

解这个方程可以得到 x = 6。

所以，五边形的边长是6厘米。

题四
一个五边形的面积是20平方厘米，求其边长是多少？
解答：
设五边形的边长为x，则根据五边形的面积公式，可以使用正弦公式来计算边长。

首先，求五边形内角的度数：(5-2) × 180 = 540 度。

然后，使用正弦公式：2 × 20 = x^2 × sin(540/5)。

解这个方程可以得到x ≈ 4.5。

所以，五边形的边长约为4.5厘米。

以上就是关于正方体和五边形的经典提高题。

希望对您有帮助！。

〖2021年整理〗《正方形》拓展训练配套精选卷

《正方形》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共分）1．（4分）下列说法中正确的是（）A．两条对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（4分）用两个边长为3的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形3．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．44．（4分）如图正方形ABCD中以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE度数为（）A．15°B．30°C．45°D．20215．（4分）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是平行四边形B．如果AB∥CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果AO＝BO，AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形6．（4分）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝2021则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°7．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED为（）A．10°B．15°C．30°D．120218．（4分）如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC 交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则3OF2CE＝（）（供参考（1）（﹣1）＝a﹣1，其中a≥0）A．3B．42C．1D．29．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N 两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．1二、填空题（本大题共5小题，共分）11．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N分别在边AB、DC上，连接MN，若MN∥BC，FN＝1，BE＝2，则BM＝．12．（4分）如下图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE＝AC，连接AE，则∠E＝度．13．（4分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分面积依次记为S1，S2，若S1的面积为2，则S2的面积为．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥AC，分别交BC，CD于点F，H，若AF ＝10cm，则AH＝cm．15．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为．三、解答题（本大题共5小题，共分）16．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD中点，连接BE，AC，交于点O．求的值．17．（8分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，AF与DE相交于点G，且AF＝DE．求证：（1）BF＝AE；（2）AF⊥DE．18．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC＝CE，求∠DAE的度数．19．（8分）如图，直线是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线上取一点，则AH＝10cm．【分析】根据正方形的性质得到∠HCE＝∠FCE＝45°，根据垂直的定义得到∠CEH＝∠CEF＝90°，求得∠CHE＝∠CFE＝45°，推出△CEH与△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到HE＝CE＝EF，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠HCE＝∠FCE＝45°，∵FH⊥AC，∴∠CEH＝∠CEF＝90°，∴∠CHE＝∠CFE＝45°，∴△CEH与△CEF是等腰直角三角形，∴HE＝CE＝EF，∴AH＝AF＝10cm，故答案为：10．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为．【分析】连接BE，证明△ABE≌△ADE，可得ED＝BE，在等腰直角三角形AEF中，求出AF，EF的长，再在Rt△BEF中求出BE的长，即可得出ED的长．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∵EF⊥AB于点F，AE＝，∴AF＝EF＝3，∵AB＝10，∴BF＝7，∴BE＝，∴ED＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共分）16．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD中点，连接BE，AC，交于点O．求的值．【分析】由点E是AD中点，得到AE＝AD，根据正方形的性质得到AE∥BC，AD＝BC，得到AE＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点E是AD中点，∴AE＝AD，∵四边形ABCD是正方形，∴AE∥BC，AD＝BC，∴AE＝BC，∴△AOE∽△COB，∴＝．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．17．（8分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，AF与DE相交于点G，且AF＝DE．求证：（1）BF＝AE；（2）AF⊥DE．【分析】（1）根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAE＝∠ABE＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠BAF，根据余角的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABE＝90°，在Rt△DAE与Rt△ABF中，，∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL），∴BF＝AE；（2）∵Rt△DAE≌Rt△ABF，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE＝∠AED＝90°，∴∠BAF＝∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥DE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．18．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC＝CE，求∠DAE的度数．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠DAC＝∠ACB＝45°，再根据等边对等角可得∠E＝∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠EAC，再根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC 代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∵AC＝CE，∴∠E＝∠EAC，∵2∠EAC＝∠E∠EAC＝∠ACB＝45°，∴∠EAC＝°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝45°﹣°＝°．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角的性质，三角形的外角性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．19．（8分）如图，直线是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线上取一点A交直线于点C，连接BC．（1）设∠ONN的度数；（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明．【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质可得N，由等腰三角形的性质可得∠＝α，由正方形的性质可得AN 的度数；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得MN＝CN，AN＝BN，∠MNC＝∠ANB＝45°，可证△CBN ∽△MAN，可得AM＝BC．【解答】解：（1）如图，连接M N的垂直平分线，∴N∴∠＝α∴∠M＝∠M∴∠＝＝45°α，∴∠AMN＝∠AMN＝45°α﹣α＝45°（2）AM＝BC理由如下：如图，连接AN，CN，∵直线是线段MN的垂直平分线，∴CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM＝45°，∴∠MCN＝90°∴MN＝CN，∵四边形ANC＝∠ANB＝45°∴∠ANM＝∠BNC又∵∴△CBN∽△MAN∴∴AM＝BC【点评】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．20218分）如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2．若G为AE中点，延长DG至N，使DG＝NG，连接EN，且∠EDG＝∠ENG．求证：BFDF＝AF．【分析】（1）设BM＝，则MC＝2，由此得到AB＝BC＝3，在Rt△ABM中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求AM长，再利用勾股定理可求AB长；（2）要证明的三条线段没有组成一个三角形或一条线段，所以延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，证明△ABF≌△ADH，把BF转化到DH，从而三条线段放在了等腰直角三角形中便解决了问题．【解答】解：（1）设BM＝，则CM＝2，BC＝3，∵BA＝BC，∴BA＝3．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2AB2，即40＝292，解得＝2．∴AB＝3＝6．（2）∵∠EDG＝∠ENG，∴DE＝EN，∵DG＝NG，∴AE⊥DN，∵G为AE中点，∴DA＝DE，延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DG⊥AF，∴∠3＝∠4．∵∠1∠2∠3∠4＝90°，∴∠2∠3＝45°．∴∠DFG＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF∠DAF＝90°，∠HAD∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DHDF＝BFDF，∴BFDF＝AF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质、勾股定理，综合性较强，正确作出辅助线，把三条线段转化到一个等腰直角三角形是解题的关键．。

浙教版杭州八年级下册期中期末复习拓展拔高题-菱形正方形-教用

菱形复习课前测：1．如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF交边CD于点M，且直线EF恰好经过点A；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（）A．∠ABC＝60°B．BC＝2CMC．S△ABM＝2S△ADM D．如果AB＝2，那么BM＝4【分析】如图，连接AC，证明△ABC，△ACD都是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接AC．由作图可知，EF存在平分线段CD，∴AC＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝AC，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠ABC＝60°，故A正确，∵BC＝CD＝2CM，故B正确，∵AB＝CD＝2DM，AB∥CD，∴AB＝2DM，∴S△ABM＝2S△ADM，故C正确，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2020春•内江期末）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．邻角相等D．邻边相等【分析】根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可．【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等，故选：D．3．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为．【分析】连接BE，BD，证明△BCD是等边三角形，证得∠ABE＝∠CEB＝90°，由折叠可得AF＝EF，由EF2＝BE2+BF2可求出答案．【解答】解：如图，连接BE，BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴AB＝3＝BC＝CD，∠A＝60°＝∠C，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD中点，∴DE＝＝CE，BE⊥CD，∠EBC＝30°，∴BE＝CE＝，∵CD∥AB，∴∠ABE＝∠CEB＝90°，由折叠可得AF＝EF，∵EF2＝BE2+BF2，∴EF2＝+（3﹣EF）2，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．【菱形性质和判定】例1：．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连接EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．2B．2C．3D．【分析】连接FG，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF＝1，进而利用直角三角形的判定和边长关系解答即可．【解】解：连接FG，∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∠ABC＝120°，∵点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，∴AE＝AF，BF＝BG，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∵BF＝BG，∴△BFG是等腰三角形，∴∠GFB＝，∴∠EFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF＝4﹣1＝3，∴FG＝2×，∴EG＝，故选：B．【点评】此题考查菱形的性质，关键是利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF解答．2.．如图，菱形纸片ABCD的边长为2，∠BAC＝60°，翻折∠B，∠D，使点B、D两点重合在对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2）．（1）证明：AG＝BE；（2）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG的面积可能等于吗？如果能，求此时x的值；如果不能，请说明理由．【分析】（1）由折叠的性质得到BE＝EP，BF＝PF，得到BE＝BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BE＝BF，AE＝FC，推出△ABC是等边三角形，求得∠B＝∠D ＝60°，得到∠B＝∠D＝60°，于是得到结论；（3）记AC与BD交于点O，得到∠ABD＝30°，解直角三角形得到AO＝1，BO＝，求得S四边形ABCD＝2，当六边形AEFCHG的面积等于时，得到S△BEF+S△DGH＝2﹣＝，设GH与BD交于点M，求得GM＝x，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵翻折∠B，∠D，使点BD两点重合在对角线BD上一点P，∴BE＝EP，BF＝PF，∵BD平分∠ABC，∴BE＝BF，∴四边形BFPE是菱形，同理，四边形DGPH是菱形，∴AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，∴四边形AEPG为平行四边形，∴AG＝EP＝BE；（2）不变，∵AG＝BE，四边形BEPF是菱形，∴BE＝BF，AE＝FC，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠D＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠D＝60°，∴EF＝BE，GH＝DG，∴六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+GH+AG＝3AB＝6，故六边形AEFCHG周长的值不变；（3）能，理由：记AC与BD交于点O，∵AB＝2，∠BAC＝60°，∴∠ABD＝30°，∴AO＝1，BO＝，∴S△ABC＝2×＝，∴S四边形ABCD＝2，当六边形AEFCHG的面积等于时，S△BEF+S△DGH＝2﹣＝，∵BE＝AG，∴AE＝DG，∵DG＝x，∴BE＝2﹣x，设GH与BD交于点M，∴GM＝x，∴S△DGH＝x2，同理S△EFB＝（2﹣x）2＝x+x2，即x2+x2﹣x+＝，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，即当x＝1﹣或x＝1+时，六边形AEFCHG的面积可能等于．【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x表示出相关的线段，是一道基础题目．练习：1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（）A．4B．10C．12D．16【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH＝8，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC，∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，∵S菱形ABCD＝AD×8＝AB×CH，∴CH＝8，∴AH＝＝＝16，∵BC2＝CH2+BH2，∴BC2＝（16﹣BC）2+64，∴BC＝10，故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．2．如图，菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，BC边上的动点（不与点A，B，C重合），且BE＝BF，若EG∥BC，FG∥AB，EG与FG相交于点G，当△ADG为等腰三角形时，BE的长为4﹣或．【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG＝30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD＝4，AC＝4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：如图，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∵EG∥BC，FG∥AB，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵BE＝BF，∴四边形BEGF是菱形，∴∠ABG＝30°，∴点B，点G，点D三点共线，∵AC⊥BD，∠ABD＝30°，∴AO＝AB＝2，BO＝AO＝2，∴BD＝4，AC＝4，同理可求BG＝BE，若AD＝DG'＝4时，∴BG'＝BD﹣DG'＝4﹣4，∴BE'＝4﹣，若AG''＝G''D时，过点G''作G''H⊥AD于H，∴AH＝HD＝2，∵∠ADB＝30°，G''H⊥AD，∴HG''＝，DG''＝2HG''＝，∴BG''＝BD﹣DG''＝，∴BE''＝，综上所述：BE为4﹣或．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知，如图1，四边形ABCD是一张菱形纸片，其中∠A＝45°，把点A与点C分别折向点D，折痕分别为EG和FH，两条折痕的延长线交于点O．（1）请在图2中将图形补充完整．（2）求∠EOF的度数．（3）判断四边形DGOH也是菱形吗？请说明理由．【分析】（1）依照题意画出图形；（2）由菱形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠C＝45°，∠ADC＝135°，由折叠的性质可得AE＝DE＝AD，GE⊥AD，∠A＝∠GDA＝45°，DF＝FC＝CD，HF⊥CD，∠C ＝∠CDH＝45°，由四边形的内角和定理可求解；（3）由题意可证GE∥DH，GD∥HF，可证四边形DGOH是平行四边形，由“ASA”可证△DEG≌△DFH，可得DG＝DH，即可证四边形DGOH是菱形．【解答】解：（1）如图所示：（2）延长EG，FH交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝45°，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝45°，∠ADC＝135°，∵把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D 重合，折痕为FH，∴AE＝DE＝AD，GE⊥AD，∠A＝∠GDA＝45°，DF＝FC＝CD，HF⊥CD，∠C＝∠CDH＝45°，∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC＝360°，∴∠EOF＝360°﹣90°﹣90°﹣135°＝45°；（3）∵∠ADC＝135°，∠ADG＝∠CDH＝45°，∴∠GDC＝∠ADH＝90°，且GE⊥AD，HF⊥CD，∴GE∥DH，GD∥HF，∴四边形DGOH是平行四边形，∵AE＝DE＝AD，DF＝FC＝CD，AD＝CD，∴DE＝DF，且∠ADG＝∠CDH＝45°，∠DEG＝∠DFH＝90°，∴△DEG≌△DFH（ASA）∴DG＝DH，∴四边形DGOH是菱形．【点评】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，全等三角形的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长中线AD到点E，作∠AEF＝45°，点P从点E开始沿射线EF方向以cm/秒的速度运动，设运动时间为t秒（0＜t＜6）．过点P作PQ⊥AE，垂足是点Q，连接BQ，CQ．若BC＝4cm，DE＝6cm，且当t＝2时，四边形ABQC 是菱形．（1）求AB的长．（2）若四边形ABQC的一条对角线等于其中一边，求t的值．【分析】（1）根据题意，可以求得DQ和CD的长，从而可以得到CQ的长，再根据四边形ABQC是菱形，从而可以得到AB的长；（2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得t的值，注意t的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，EQ＝×2×sin45°＝2，∵DE＝6，∴DQ＝4，∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD垂直平分BC，∴∠CDQ＝90°，∵BC＝4，∴CD＝2，∴CQ＝2，∵当t＝2时，四边形ABQC是菱形，∴AB＝CQ＝2，即AB的长是2cm；（2）当BC＝CQ时，∵BC＝4，∴CQ＝4，∵CD＝2，∠CDQ＝90°，∴DQ＝＝2，∴EQ＝DE﹣DQ＝6﹣2，∵EQ＝t×sin45°，解得，t＝（6﹣2）；当AB＝AQ时，则AQ＝2，∵AB＝2，BD＝2，∠ADB＝90°，∴AD＝4，∴DQ＝AQ﹣AD＝2﹣4，∴EQ＝DE﹣DQ═6﹣（2﹣4）＝10﹣2，∵EQ＝t×sin45°，解得，t＝10﹣2；当AB＝BC时，不成立；当CQ＝AQ时，∵CQ＝＝，AQ＝AD+DQ＝4+（6﹣t）＝10﹣t，∴＝10﹣t，解得，t＝7.5（舍去），综上所述，t的值是6﹣2或10﹣2．【点评】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连接CE．（1）求证：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，由“SAS”可证△ABE≌△CBE，可得结论；（2）连接AC交BD于H，由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，利用直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵AE⊥BA，∴∠BAE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BAE＝∠BCE＝90°；（2）如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH＝，∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH＝AH，∴AH＝，AB＝2AH＝，∴菱形的边长为．方法二，同理可求∠ABE＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴AB＝＝．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【正方形性质和判定】课前练习1．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．【解析】对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误，故选：A．2．（2020春•阿城区期末）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．【解析】正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．故选：B．例1：．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（）A．B．+1C．+D．【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△ADF，可得∠BAE＝∠DAF＝15°，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，由直角三角形的性质可得HE＝2BE＝AH，BH＝BE，由勾股定理可求解．【解答】解：∵△AEF是边长为2的等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE+∠DAF＝30°，∵AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF＝15°，如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，∴∠BHE＝30°，AH＝HE，∴HE＝2BE＝AH，BH＝BE，∴AB＝（2+）BE，∵AE2＝BE2+AB2，∴4＝BE2+（2+）2×BE2，∴BE＝（﹣1）＝，∴AB＝（2+）BE＝，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，练习：1．如图，正方形ABCD的边长为6，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，EF＝GF，且∠EFG＝90°，则GB+GC的最小值为3．【分析】如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．利用勾股定理求出BK的值即可解决问题．【解答】解：如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB 上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵AM＝MD．AE＝EB，∴AM＝AE，∵AF＝AN，∴FM＝NE，∵∠A＝∠GFE＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE+∠GFM＝90°，∴∠GFM＝∠FEN，∵FG＝FE，∴△FGM≌△EFN（SAS），∴∠GMF＝∠ENF，∵∠ANF＝∠AFN＝45°，∴∠GMF＝∠FNE＝135°，∴∠DMG＝45°，设MJ交CD于R，∵∠D＝∠JCR＝90°，∴∠DMR＝∠DRM＝∠CRJ＝∠CJR＝45°，∴DM＝DR＝CR＝CJ＝3，∵C，K关于MJ对称，∴KJ＝CJ＝2，∠MJK＝∠MJC＝45°，GC＝GK，∴∠KJB＝90°，∴BK＝＝＝3，∵GC+GB＝GK+GB≥BK，∴GC+GB≥3，∴GC+GB的最小值为3．故答案为3．【点评】本题考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为17；（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为6．【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，根据S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF 根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE＝＝＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．故答案为17．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．故答案为6．【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．3．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD 于点G，GF⊥AE交BC于点F．（1）求证：AG＝FG．（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．【分析】（1）由“SAS”可证△ABG≌△CBG，可得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，由四边形内角和定理可证∠BCG＝∠GFC，可得GC＝GF＝AG；（2）过点G作GH⊥BC于H，利用勾股定理可求GH的长，即可求解；（3）在AB上截取BF＝BN，连接NF，由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△ADE，可得∠BAF ＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，可得FC＝BF，即可求解．【解答】证明：（1）连接GC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，∴∠BAG+∠BFG＝180°，∴∠BCG+∠BFG＝180°，∵∠BFG+∠GFC＝180°，∴∠BCG＝∠GFC，∴GC＝GF，∴AG＝FG；（2）如图2，过点G作GH⊥BC于H，∵AB＝10，BF＝4，∴AF2＝AB2+BF2＝AG2+GF2，∴GF2＝58，∵∠DBC＝45°，GH⊥BC，∴BH＝GH，BG＝GH，∵GF2＝GH2+FH2，∴58＝GH2+（GH﹣4）2，∴GH＝7，（负值舍去），∴BG＝7；（3）如图，在AB上截取BF＝BN，连接NF，∵AG＝GF，AG⊥GF，∴∠EAF＝45°，∵AE＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，∴CF＝CE，∵BF＝BN，∠ABC＝90°，∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°，∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，∴AN＝NF＝BF，∵AB＝BC，∴BN+AN＝BF+FC，∴FC＝BF，∴BC＝（+1）BF，∴正方形ABCD与△CEF的面积之比＝BC2：FC2＝3+2：1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．4．如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．（1）求证：AE＝BF．（2）若AF＝10，求AE的长．【分析】（1）由正方形的性质可得∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，由余角的性质可得∠BAE＝∠CBF，可证△ABE≌△BCF，可得AE＝BF；（2）由勾股定理可求DF＝6，可得FC＝2，由勾股定理可求AE＝BF＝2．【解答】证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，∴∠ABF+∠CBF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）∵AF＝10，AD＝8，∴DF＝＝＝6，∴CF＝8﹣6＝2，∴BF＝＝＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△ABE ≌△BCF是本题的关键．【课堂练习】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，S△ABC＝8，点M，P，N分别是边AB，BC，AC上任意一点，则（1）AB的长为4．（2）PM+PN的最小值为2．【分析】（1）过点A作AG⊥BC，垂足为G，依据等腰三角形的性质可得到∠BAC＝30°，设AB＝x，则AG＝，BC＝x，然后依据三角形的面积公式列方程求解即可；（2）作点A关于BC的对称点A′，取CN＝CN′，则PN＝PN′，过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，当N′、P、M在一条直线上且MN′⊥AB时，PN+PM有最小值，其最小值＝MN′＝DA′．【解答】解：（1）如图所示：过点A作AG⊥BC，垂足为G．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°．设AB＝x，则AG＝，BG＝x，则BC＝x．∴BC•AG＝•x•x＝8，解得：x＝4．∴AB的长为4．故答案为：4．（2）如图所示：作点A关于BC的对称点A′，取CN＝CN′，则PN＝PN′，过点A′作A′D⊥AB，垂足为D．当N′、P、M在一条直线上且MN′⊥AB时，PN+PM有最小值．最小值＝MN′＝DA′＝AB＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、轴对称﹣最短路径、垂线段的性质，将PM+PN 的长度转化为A′D的长度是解题的关键．2．如图在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝6，M为AC边上一动点（不与A，C重合），以MA、MB为一组邻边作平行四边形MADB，则平行四边形MADB的对角线MD的最小值是3．【分析】如图，作BH⊥AC于H．因为四边形ADBM是平行四边形，所以BD∥AC，所以当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝BH．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝6，∠BHA＝90°，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝3，∵四边形ADBM是平行四边形，∴BD∥AC，∴当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝BH＝3，故答案为3．【点评】本题考查直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC 于点F，且AE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，则AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形．（2）由矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA，求出∠BAE＝36°，则∠OBA＝∠OAB＝54°，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AEO＝∠DFO＝90°，在△AEO和△DFO中，，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠BAE：∠EAD＝2：3，∴∠BAE＝36°，∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．4．如图，正方形ABCD的边长为2，Q为CD边上（异于C，D）的一个动点，AQ交BD 于点M．过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下面结论：①AM ＝MN；②MP＝；③△CNQ的周长为3；④BD+2BP＝2BM，其中一定成立的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①④【分析】①正确．只要证明△AME≌△NMF即可；②正确．只要证明△AOM≌△MPN即可；③错误．只要证明∠ADQ≌△ABH，由此推出△ANQ≌△ANH即可；④正确．只要证明△AME≌△NMF，四边形EMFB是正方形即可解决问题；【解答】解：连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH＝DQ．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝AD＝2，OA＝OC＝，∠DBA＝∠DBC＝45°，∴ME＝MF，∵∠MEB＝∠MFB＝∠EBF＝90°，∴四边形EMFB是矩形，∵ME＝MF，∴四边形EMFB是正方形，∴∠EMF＝∠AMN＝90°，∴∠AME＝∠NMF，∵∠AEM＝∠MFN＝90°，∴△AME≌△NMF（ASA），∴AM＝MN，故①正确，∵∠OAM+∠AMO＝90°，∠AMO+∠NMP＝90°，∴∠AMO＝∠MNP，∵∠AOM＝∠NPM＝90°，∴△AOM≌△MPN（AAS），∴PM＝OA＝，故②正确，∵DQ＝BH，AD＝AB，∠ADQ＝∠ABH＝90°，∴∠ADQ≌△ABH（SAS），∴AQ＝AH，∠QAD＝∠BAH，∴∠BAH+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝90°，∵AM＝MN，∠AMN＝90°，∴∠MAN＝45°，∴∠NAQ＝∠NAH＝45°，∴△ANQ≌△ANH（SAS），∴NQ＝NH＝BN+BH＝BN+DQ，∴△CNQ的周长＝CN+CQ+BN+DQ＝4，故③错误，∵BD+2BP＝2BO+2BP＝2AO+2BP＝2PM+2BP，∴BD+2BP＝2BM，故④正确．故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF，使点E 点F分别在边AD，BC上（不与四边形ABCD顶点重合），连接EB，EC．设ED＝kAE，下列结论：①若k＝1，则BE＝CE；②若k＝2，则△EFC与△OBE面积相等；③若△ABE≌△FEC，则EF⊥BD．其中正确的是（）A．①B．②C．③D．②③【分析】①若k＝1，则AE＝DE，进而证明△ODE≌△OBF，得F为BC的中点，再根据EF不一定垂直BC，便可判断正误；②若k＝2，则S△BEF＝2S△EFC，因为OE＝OF，△EFC与△OBE面积相等即可得证；③若△ABE≌△FEC，可证EC是∠BED的角平分线，若EF⊥BD，则EF是∠BED的角平分线，便可判断正误．【解答】解：①若k＝1，则AE＝DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OED＝∠OFB，∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF（AAS），∴DE＝BF，∵DE＝AE＝∴BF＝，∵EF不一定垂直BC，∴BE不一定等于CE，故①错误；②∵△ODE≌△OBF，∴DE＝BF，OE＝OF，∵AD＝BC，∴AE＝CF，∵k＝2，ED＝kAE，∴BF＝2CF，∴△BEF的面积＝2×△EFC的面积，∵OE＝OF，∴△BEF的面积＝2×△OBE的面积，∴△EFC与△OBE面积相等，故②正确；③∵△ABE≌△FEC，∴BE＝EC，∵BE不一定等于ED，∴EF不一定垂直BD，故③错误；综上所述，正确的是②，故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．下列4个结论中说法正确的有（）①ED⊥CA；②EF＝EG；③FH＝FD；④S△EFD＝S△CED．A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝CD，即可得EF＝EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得FH＝FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF ＝S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S▱ABCD+S▱ABCD＝S▱ABCD，证出得S△EFD＝S△CEG．得出S△EFD＝S△CED，即可得出结论．【解答】解：连接FG，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝2AD，∴OD＝AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，∴EF∥AB，EF＝AB，∵∠CED＝90°，CG＝DG＝CD，∴EG＝CD，∴EF＝EG，故②正确；∵EF∥CD，EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴FH＝DH，即FH＝FD，故③正确；∵△OEF∽△OAB，∴S△OEF＝S△AOB，∵S△AOB＝S△AOD＝S▱ABCD，S△ACD＝S▱ABCD，∴S△OEF＝S▱ABCD，∵AE＝OE，∴S△ODE＝S△AOD＝S▱ABCD，∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S▱ABCD+S▱ABCD＝S▱ABCD，∵＝，∴CE＝AC，∴S△CDE＝S△ACD＝S▱ABCD，∵CG＝DG，∴S△CEG＝S△CDE＝S▱ABCD，∴S△EFD＝S△CEG，∴S△EFD＝S△CED，故④正确；故选：D．7．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH．（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠F AB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠F AB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，又∵CH⊥BE，∴AF∥CH；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QP A，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴＝4．8．正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．（1）已知点F在线段BC上①若AB＝BE，求∠DAE度数；②求证：CE＝EF（2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长．【分析】（1）①先求得∠ABE的度数，然后依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BAE的度数，然后可求得∠DAE度数；②先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；（2）当点F在BC上时，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；当点F在CB的延长线上时，先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照上述思路进行解答即可．【解答】解：（1）①∵ABCD为正方形，∴∠ABE＝45°．又∵AB＝BE，∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°．∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．（2）如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．∵CE＝EF，∴N是CF的中点．∵BC＝2BF，∴＝．又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，∴CN＝DM＝ME，∴ED＝DM＝CN＝．如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．∴FN＝CN．又∵BC＝2BF，∴FC＝3，∴CN＝，∴EN＝BN＝，∴DE＝．综上所述，ED的长为或【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键．9．如图，在线段AB的同侧作射线AC和BD，当AC∥BD时，若∠CAB与∠DBA的角平分线分别交射线BD，AC于点E，F，两条角平分线相交于点P，连接EF．（1）试判断四边形ABEF的形状并给予证明；（2）若AB＝BF＝2，在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，问线段AG的长为多少时？以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证明AE⊥BF，AB＝BE，由AC∥BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得结论；（2）由菱形的性质得到AF＝AB，推出△ABF是等边三角形，得到∠BAF＝60°，求得AP＝，根据正方形的性质得到PG＝PH＝1，于是得到结论．【解答】解：（1）四边形ABEF是菱形，理由是：∵AE平分∠F AB，BF平分∠ABE，∴∠F AP＝∠P AB＝∠F AB，∠PBA＝∠ABE，∵AC∥BD，∴∠F AB+∠ABE＝180°，∠F AP＝∠BEP，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∠BAP＝∠PEB，∴∠APB＝90°，AB＝BE，∴AE⊥BF，∵∠F AP＝∠BAP，∠APF＝∠APB＝90°，∴∠AFP＝∠ABP，∴AF＝AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB，∵AB＝BF＝2，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，∴∠F AP＝30°，∴AP＝，∵以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形，∴HG＝BF＝2，∴PG＝PH＝1，∵在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，∴点G在线段AP上或线段PE上，∴AG＝﹣1或+1．∴线段AG的长为﹣1或+1，以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，角平分线的定义，对称的性质，正确的理解题意是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG．（1）求证：△BEC≌△DGC；（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．【分析】（1）由正方形的性质得出BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，由轴对称的性质得出EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，得出∠BCE＝∠DCG，即可得出△BEC≌△DGC；（2）证出EG∥DF∥BC，由平行线的性质得出∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，得出∠DGE＝∠DGC﹣45°，由全等三角形的性质得出∠DGC＝∠BEC，得出∠DGE+∠FEG ＝∠DGC﹣45°＝180°，证出EF∥DG，即可得出结论；（3）过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，证明△BME≌△ENF得出BE＝EF，由正方形的性质得出BE＝DE，得出DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，证出△DEF 是等边三角形，得出∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，由直角三角形的性质得出BM＝x，得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，∵点E与点G关于直线CD对称，∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，∴∠BCE＝∠DCG，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS）；（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，∴EG∥DF∥BC，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，∵BE⊥EF，∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°＝180°，∴EF∥DG，∴四边形FEGD为平行四边形；（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示：则∠EBM+∠BEM＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∴∠EBM＝∠FEN，∵BM＝AN，AN＝EN，∴BM＝EN，在△BME和△ENF中，，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴BE＝DE，∴DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，∵∠EBM＝30°，∴BM＝x，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，解得：x＝2（﹣1），∴CE＝x＝2﹣2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．。