2017-2018学年三明市沙县九年级上期中数学试卷(有答案)

2017-2018学年福建省三明市沙县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）方程（﹣2）（+3）=0的解是（ ）A ．=2B ．=﹣3C ．1=﹣2，2=3D ．1=2，2=﹣32．（4分）若（m+n ）：n=5：2，则m ：n 的值是（ ）A ．5：2B ．2：3C ．2：5D ．3：23．（4分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（ ）A ．2+1=0B ．2﹣3+1=0C ．2﹣2+1=0D ．2+2+3=04．（4分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4，则OC 等于（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．55．（4分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）A ．289（1﹣）2=256B ．256（1﹣）2=289C ．289（1﹣2）=256D ．256（1﹣2）=2896．（4分）正方形ABCD 的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（ ）A ．4B ．32C ．64D ．1287．（4分）如图，▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于（ ）A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．2：38．（4分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是（）A．① B．②C．①②D．①③9．（4分）如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2 B．C．D．二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）已知一元二次方程2﹣4﹣3=0的两根为m ，n ，则m+n= ．12．（4分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C ；过点B 的直线DE 分别交l 1、l 3于点D 、E ．若AB=3，BC=6，BD=2.5，则线段BE 的长为 ．13．（4分）假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1：500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为 m ．14．（4分）若将方程2﹣8=7化为（﹣m ）2=n ，则m= ，n= ．15．（4分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，若DE ∥BC ，=，则= ．16．（4分）如图所示，正方形ABCD 的边长为4，E 是边BC 上的一点，且BE=1，P 是对角线AC 上的一动点，连接PB 、PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是 ．三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（8分）如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，试求出及∠α的大小．18．（8分）用适当的方法解方程：（+3）2=（1﹣2）2．19．（8分）图中的网格称之为三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正三角形的顶点处），如图所示，请在图①和②中分别画出一个与△ABC相似，且不全等的格点三角形，并写出相应的相似比（△ABC与△A′B′C′之比）20．（8分）某市电解金属锰厂从今年元月起安装了使用回收净化设备（安装时间不计），这样既保护环境，又节省原料成本，据统计使用回收净化设备后1～月的利润的月平均值W（万元）满足W=10+90．请问多少个月后的利润和为1620万元？21．（8分）已知关于的方程2+2+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．22．（10分）在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．23．（10分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE，（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．24．（12分）已知边长为1正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E是线段OA上的点，过点E作EH⊥AB，垂足为点H，连结CH交BE于点F，交OB于点G．（1）如图1，当点E在线段OA中点位置时，求AH的长度；（2）当点E在线段OA移动，若使CH⊥BE，①求证：∠OCG=∠OBE；②求HB的长．25．（14分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=50°，∠B=30°，求证：CD为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．2017-2018学年福建省三明市沙县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）方程（﹣2）（+3）=0的解是（ ）A ．=2B ．=﹣3C ．1=﹣2，2=3D ．1=2，2=﹣3【解答】解：（﹣2）（+3）=0，﹣2=0，+3=0，1=2，2=﹣3，故选：D ．2．（4分）若（m+n ）：n=5：2，则m ：n 的值是（ ）A ．5：2B ．2：3C ．2：5D ．3：2【解答】解：∵（m+n ）：n=5：2，∴=，∴=，即m ：n=3：2；故选：D ．3．（4分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（） A ．2+1=0 B ．2﹣3+1=0 C ．2﹣2+1=0 D ．2+2+3=0【解答】解：A 、∵△=02﹣4×1×1=﹣4＜0，∴该方程无实数根，A 不符合题意；B 、∵△=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，B 不符合题意；C 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴该方程有两个相等的实数根，C 符合题意；D、∵△=22﹣4×1×3=﹣8＜0，∴该方程无实数根，D不符合题意．故选：C．4．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则OC等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．5【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴OA=OC=4；故选：C．5．（4分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣）2=256 B．256（1﹣）2=289 C．289（1﹣2）=256 D．256（1﹣2）=289【解答】解：设平均每次降价的百分率为，则第一降价售价为289（1﹣），则第二次降价为289（1﹣）2，由题意得：289（1﹣）2=256．故选：A．6．（4分）正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（）A．4B．32 C．64 D．128【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为8，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S=ab（a、b是正方形对角线长度）∴S=×8×8=32，故选：B．7．（4分）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；∴△DEF∽△BCF，∴；∵点E是边AD的中点，∴BC=AD=2DE，∴．故选B．8．（4分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是（）A．① B．②C．①②D．①③【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，故选：B．9．（4分）如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：列表得：根据题意分析可得：共6种情况；为奇数的2种．故选：B．10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，∴AB==5．∵OH⊥AB，∴AO•BO=AB•OH，∴OH=，故选：D．二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）已知一元二次方程2﹣4﹣3=0的两根为m，n，则m+n= 4 ．【解答】解：∵一元二次方程2﹣4﹣3=0的两根为m，n，∴m+n=4，故答案为：4．12．（4分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C ；过点B 的直线DE 分别交l 1、l 3于点D 、E ．若AB=3，BC=6，BD=2.5，则线段BE 的长为 5 ．【解答】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴=，即=，∴BE=5．故答案为5．13．（4分）假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1：500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为 160000 m ．【解答】解：设明所居住的城市与A 地的实际距离为m ，根据题意得32：=1：500000，解得=16000000cm=160000m ．即明所居住的城市与A 地的实际距离为160000m ．故答案为160 000．14．（4分）若将方程2﹣8=7化为（﹣m ）2=n ，则m= 4 ，n= 23 ．【解答】解：∵2﹣8=7，∴2﹣8+16=7+16，即（﹣4）2=23，则m=4、n=23，故答案为：4，23．15．（4分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，若DE ∥BC ， =，则=．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==．故答案为：．16．（4分）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是 6 ．【解答】解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE 周长的最小值，∵BE=1，BC=CD=4，∴CE=3，DE=5，∴BP′+P′E=DE=5，∴△PBE周长的最小值是5+1=6，故答案为：6．三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（8分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出及∠α的大小．【解答】解∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴C=∠G，∠A=∠E=118°，，∵四边ABCD，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠C=80°，∴∠α=∠G=80°，∵AB=12，EF=6，FG=7，∴，∴=14．18．（8分）用适当的方法解方程：（+3）2=（1﹣2）2．【解答】解：方法一、∵（+3）2=（1﹣2）2，∴+3=1﹣2或+3=2﹣1，解得：=﹣或=4；方法二、∵（+3）2=（1﹣2）2，∴（+3）2﹣（1﹣2）2=0，则（+3+1﹣2）（+3﹣1+2）=0，即（﹣+4）（3+2）=0，∴﹣+4=0或3+2=0，解得：=4或=﹣．19．（8分）图中的网格称之为三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正三角形的顶点处），如图所示，请在图①和②中分别画出一个与△ABC 相似，且不全等的格点三角形，并写出相应的相似比（△ABC 与△A ′B ′C ′之比）【解答】解：如图①所示，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为2：1，如图②所示，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为2：．20．（8分）某市电解金属锰厂从今年元月起安装了使用回收净化设备（安装时间不计），这样既保护环境，又节省原料成本，据统计使用回收净化设备后1～月的利润的月平均值W （万元）满足W=10+90．请问多少个月后的利润和为1620万元？【解答】解：设前个月的利润和等于1620万元，102+90=1620即：2+9﹣162=0得1=9，2=﹣18（舍去），答：9个月后的利润和为1620万元．21．（8分）已知关于的方程2+2+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．【解答】解：（1）∵b 2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．（10分）在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两数差为0的结果数为3，所以 P （两数差为0）==；（2）该游戏公平．理由如下：因为这两数的差为非正数的结果数为6，这两数的差为正数的结果数为6，小马赢的概率==，小虎赢的概率==，所以游戏公平．23．（10分）如图，在四边形ABFC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB于点E，且CF=AE，（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，又∵∠ACB=90°，∴EF∥AC，又∵D为BC中点，∴E为AB中点，即BE=AE，∵CF=AE，∴CF=BE，∴CF=FB=BE=CE，∴四边形BECF是菱形．（2）解：∵四边形BECF是正方形，∴∠CBA=45°，∵∠ACB=90°，∴∠A=45°．24．（12分）已知边长为1正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E是线段OA上的点，过点E作EH⊥AB，垂足为点H，连结CH交BE于点F，交OB于点G．（1）如图1，当点E在线段OA中点位置时，求AH的长度；（2）当点E在线段OA移动，若使CH⊥BE，①求证：∠OCG=∠OBE；②求HB的长．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，AO=AC，∵EH⊥AB，∴EH∥BC，∴=，即=，解得AH=；（2）①如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COG=∠BOE=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵CF⊥BE，∴∠OEB+∠OCG=90°，∴∠OBE=∠OCG；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCB=∠OBA=∠OAB=45°，∵∠OBE=∠OCG，∴∠HCB=∠EBH，设BH=，∵四边形ABCD是正方形，AB=1，∴AH=1﹣，∵EH⊥AB，∴∠AEH=∠EAH=45°，∴EH=AH=1﹣，∵EH ⊥AB ，∴∠EHB=∠HBC=90°，∴△BHE ∽△CBH ，∴=，∴HB 2=EH •BC ，∴2=（1﹣）•1，解得1=，2=（舍去），∴HB=．25．（14分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A=50°，∠B=30°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC 中，AC=2，BC=，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠A=50°，∠B=30°，∴∠ACB=100°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=50°，∴∠ACD=∠A=50°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=50°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．综上所述，∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=，∴（）2=（+2），∵＞0，∴=1，∵△BCD∽△BAC，∴=，即=，∴CD=．。