13.2.1画轴对称图形

A’
B C l
A
B’
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚: 1、找点 （确定图形中的一些特殊点）；
2、画点 （画出特殊点关于已知直线的对称点）； （连接对称点）。 3、连线
请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案
议一议
7 6
5
1
2 3 4
如图: 你能求出 这七个角 的和吗?
问题一
• 如图１,A村到B村的最短路线是________。 理由是_______________________
A
N
D P
? O
C
M
DA=DP（
同理可有：CB=CP PCD周长＝PC+PD+CD
）
B
PCD周长＝BC+AD+CD＝AB 又AB＝ 15cm PCD周长为15cm
寄语
如果你智慧的双眼善于观察，善 于发现，那你一定会觉得数学就在我 们的身边。 老师相信：你辛勤的汗水一定会 浇灌出智慧的花朵！
O
B
M
B
O （D）
N’ B
拓展应用，巩固提高
八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了 一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪 个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A 处。 路线：小明——P——A
A
P
小明
如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球， 还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按 怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木 棍，才能最快跑到目的地A处。 路线：小明——D——E——A
任务1:测量点C到A 、 B的距离, 求和，填入学案的空格上。 任务2:小组合作，由组长安 排分工(一人找点,一人测量, 一人计数，其余监督)任意 在直线L上取点C ′(不与点C 重合)探究测量，填入空格。
B A
l
C
B
/
证明:
在L上任取另一点C ',连结AC '、BC'、B'C'.
∵ 直线 L是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ'在 对称轴上， ∴CB=CB',C'B=C'B'.
C A E B
D
F
如图，直线L两侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
C 两点之间，线段最短。
如图，直线L同侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
B A
l
C
B
/
如图，直线L同侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
• .
对称是一种思想，通过它，人们毕生追求， 并创造次序、美丽和完善…… ------赫尔曼· 外尔
复
习
回
忆：
1．轴对称是 两个 图形关于某条直线对称。 轴对称图形是 一个 图形关于某条直线对称。 2.轴对称的性质： (1).对应点连线段被对称轴垂直平分 (2).对应线段相等，对应角相等。
花边艺 术
尝试探究
已知对称轴 l 和一 个点A，如何画出点A 关于 l 的对称点A′ ? 作法:
过点A作直线l的垂线在垂线上截取 OA’=OA,垂足为点O，点A’就是点A 关于直线l的对称点.
l
A
O
A′
探 究 二
2.已知对称轴L和一条线段AB，画 出线段AB 关于L的对应线段A´B´。
L A´ C A
B´
动脑想一 想
左脚印和右脚印有什么关系？ 成轴对称 对称轴是 折痕所在的 直线，既直线 图中的
︱
PP 与
︱
是什么关系？
探究一
1.已知对称轴L和一个点A，你 能画出点A关于L的对应点A´吗？
L A· B
· A
1、过点A作对称轴L的垂线，垂足为B 2、延长AB至A´，使得B A´=AB 则： 点A´就是点A关于直线L的对应点
B A a B B B A a
A
C
C
a
C
a
C
小猫
小猪
A‘
小猴
小熊
巩固新知
练 习 二
∠AOB的边OA上有两点M、N，在∠AOB 的 角平分线OC上找一点P，使MP+NP最小，下列作 法正确的是（）
A N C M P B （A） A N P C M P O （C） N C O （B） A M P N C A
探究1
A.
探究1与探究2的区别与联系
C .B
L
直线异侧两点到直线上 一点的距离和最小问题 轴 对 称 转 化
探究2
A. C
. B’ B. L
直线同侧两点到直线上 一点的距离和最小问题
轴 某开发区新建了两片住宅区:A区、B区（如图）.现 对 在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向 称 这两个小区供气.请问,这个接口应建在哪,才能使得所 在 用管道最短? B 小区 实 A小区 际 生 煤气主管 活 道 中 ） 的 你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规 应 律吗？ 用
∴AC+CB=AC+CB'=AB'
B
A
Ｃ'
在△AC'B'中， AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
C
l
B
/
总结经验一： 通过轴对称变换，把A，B在直线 同侧的问题转化为在直线的两侧， 从而可利用“两点之间线段最短”加 以解决。
总结经验二：
• 在证明最大或最小问题时 ，往往需要另找 一个量与要求证的最大或最小量进行比较 来证明。
轴对称变换的特征: 1、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对 称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全 一样；
2、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关 于直线l的对称点；
3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
动手试一试
在一 张半透明的纸的左边画一只左脚印， 在把这张纸对折后描图，打开对折的纸。 就能得到相应的 右脚印
从对称轴来看：
定理3、 两个图形关于某直 线对称，如果它们的对应线 或延长线相交，那么交点在 对称轴上。
从对称轴来看：
定理3、 两个图形关于某直 线对称，如果它们的对应线 或延长线相交，那么交点在 对称轴上。
例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与 △ABC关于直线l对称的图形。
分析：△ABC可以由三个 顶点的位置确定，只要能分别作 B 出这三个顶点关于直线l的对称点， 连接这些对称点，就能得到要作 C 的图形。 A 作法： O l 1、过点A作直线l的垂线，垂足 A’ 为点O， 在垂线上截取OA’=OA， C’ 点A’就是点A关于直线l的对称 点； B’ 2、类似地，分别作出点B、C关 ∴△A’B’C’即为所求。 于直线l的对称点B’、C’； 3、连接A’B’、B’C’、C’A’。
E
A
D
C
小明
归纳小结
知 识 与 技 能
直线同侧两点到直线上一点的距离和最小问题 轴 对 称
转 化
直线异侧两点到直线上一点的距离和最小问题
已知：P为MON内一点。P与A关于ON对称， P与B关于OM对称。若AB长为15cm 求： PCD的周长.
解: P与A关于ON对称 ON为PA的中垂线（
A′ B′
C
C′
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:
1、找点 （确定图形中的一些特殊点） 2、画点 （画出特殊点关于已知直线的对称点） 3、连线 （连接对称点）
A A’
C C’ B B’
探究：轴对称的两个图形的性质
性质1、轴对称的两个图形全等，对应的 量均对应相等。
A
D
B
C F
E
探究：轴对称的两个图形的性质
已知:直线l和l的同侧两点A、B.
求作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最
B A P A' l P' 作法:
1.作点A关于直线l的对 点 A′ ; 2.连结A′B,交l于点 P. ∴ 点P就是所求的点.
知:直线l和l的同侧两点A、B. 作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最小. B 作法: 1.作点A关于直线l的对称 点 A’; l 2.连结A’B,交l于点 P. P P' ∴ 点P就是所求的点. ' 明: 在l 上任取另一点P’, 连结AP、AP’、BP’、A’P’. 直线 l是点A、A’的对称轴，点P、P’在对称轴上，
D
B
1、过点A作对称轴L的垂线A A´，使CA=C A´ 2、过点A作对称轴L的垂线BB´，使DB=DB´ 3、连接A´B´，线段A´B´就是关于直线 L的对应线段
探 究 三
3.请同学们拿出一张纸，在上面 任意画一个△ＡＢＣ和一条直线 ＭＮ，如何作出这个图形关于直 线ＭＮ的轴对称图形呢？
A
B
M P Q S N
AP=A’P,AP’=A’P’. ∴AP+BP=A’P+BP=A’B.
在△A’BP’中，A’B<A’P’+BP’, ∴AP+BP <A’P’+BP’,
即AP+BP 最小.
如果再在黑板上写出如下时间， 那么镜子里出现的是几点 ?
练习 1
巩固新知
练习 2
练 习 一
A
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直 线a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B， 最先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、 小熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
演示；想一想对称轴在哪里？
结论1.对称轴的方向和位置发生变
化时，得到的图形的方向和位置也发 生变化。