高等概率论

第一章：测度与积分
第一节：集族与测度
(Ω,Φ,μ)---------测度空间
①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体
②Φ----------------σ代数（域）-------由Ω的一些子集组成 σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭 Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数
③μ：Φ+
→R （[0,1]）集函数（是Ω的元素的一种测度或度量）
例：Ω=[0,1].（a,b]⊂Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集，I 为区间，()I μ=I 的长度，Φ=B （[0,1]）=()σε--------包含ε的最小σ代数，[0,1]ε=中的一切开集
测度的唯一扩张定理
,{:()}n x x ωξω∀∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数
({})a b μξξ<≤---的分布
①..()lim ()n x a e μξωμ→∞
⎧⎪
⎨⎪⎩
几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛（弱收敛）
②ξ是一维可测函数，积分ξωμωΩ
⎰
（）d ()-------数学期望
积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理
lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞
→∞
Ω
Ω=⎰⎰
Fatou 引理，Levy 引理 记号、述语：
大写英文字母表示Ω的子集（事件）
花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类（集类，集族）
AαBβXχ∆δEεΦφΓγHηIιϑϕKκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυςϖΩωΞξψψZζ 某集类对某种运算封闭：如A 对可数并封闭指：对∀A1，A2，…A n ∈A ，则
1
i ∞
=
A i ∈A
第二节：集族与测度
1. 集合序列的极限 设1,2,...,,...,A A An ⊂Ω
111limsup {:}
{,,...,}
x K k k K k n k
An n An X A A An
ωω→∞
∞
+=∞
∞
==∈Ω∃∈== 可数个不同的，使至少一个发生
111lim inf {:}
{,,...,}
x k k k k n k
An n An A A An
ωω→∞
∞
+=∞
∞
==∈Ω∈== 除有限个以外，都发生
关系：lim inf lim sup n n An An →∞
→∞
⊂
如果lim inf lim sup n n An An →∞
→∞
=，称{}An 的极限存在，记为lim x An →∞
特例：单调上升集合列：121,lim n n A A An An ∞
→∞
=⊂=
单调下降集合列：121
,lim n n A A An An ∞
→∞
=⊃=
例：A,B 是Ω的两个子集，
221,,1,2,n n A A A B n -=== ，则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞
→∞
==
11
((1),1(1))n
n An n n
=-+-，则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞==
11
(
,1)(0,1)22
11
(,1)(0,1)
22n n n n An Bn =-↑=-+↓
2几种常用集类的定义：
①A 称为一个π类：如果A 对有限交封闭 ②∆称为一个λ类：如果：(a).ω∈ ∆;
(b). ∆对真差封闭：若,A B ∈∆,且A B ⊂,则B A -∈∆ （c ）∆对单调上升（下降）集合列的极限封闭 ③环A ：如果A 对有限并、差运算封闭（交：()A B A A B =-- ）
④代数Φ：如果Φ是环，且Ω∈Φ0（代数对一切有限次运算封闭）
⑤σ环A ：如果A 对可数并、差运算封闭（⇒可数交封闭，极限运算封闭）
⑥σ代数（域）Φ：如果Φ是σ环，且Ω∈Φ（σ代数对一切可数次集合运算封闭） ⑦单调族M ：如果M 对单调上升（下降）列的极限封闭，
即：如果An ∈M ，且An ↑，则
1
n An ∞
=∈ M
如果An ∈M ，且An ↓，则
1
n An ∞
=∈ M
代数、且又是单调族σ⇒代数 π类、且又是λ类σ⇒代数
A 是任意集类，分别称λ（）A ，σ（）A ，M （A ）是由A 生成的最小λ类，最小σ代数，
最小单调类。

如：σ（）A 是A 生成的最小σ代数指：
①σ（）A 是σ代数，且σ
⊃（）A A ②如果Φ是σ∀代数，且Φ⊃A ，且σ⊂（）A F ⇒σσ⊃=
是代数
（）F A
F A F
单调类定理的两种形式和证明方法：
λπ-类方法：设C 是一个π类，D 是λ类，且⊂C D ，则：σ⊃（）D C 单调族方法：设0F 是一个代数，M 是一个单调族，且0⊃M F ，则σ⊃0（）
M F 推论：πλλσ==是类，（），则（）（）C D C C C
0000
σ==是代数，（），则（）（）F M M F M F F 证明：λσ⊂（）（）C C ，显然（σλ （）是包含的类C C ） 只要证λσ⊃（）（）C C ，令λ=（）D C
如果D 对有限交封闭，则D 是一个σ代数
C 11111.2.A \A A 3.A ,,B ,B B ,B ,lim B n n C C
n k n k k k n n n k n k A A A ==∞→∞
=Ω∈⎛⎫ ⎪∈Ω=∈ ⎪
⎪∈==∈ ⎪ ⎪
⎪
⎪∴∈↑=∈ ⎪⎝⎭
，D D D D D D D
()σ∴⊃D C
①A {B A B }A ∀∈=⊂Ω∈ 固定，令；C H D 验证：
A A A B,C
B
C C-B A C A-B A λ⊃∈⊂∈ 是类，且，，则（）=H H C
H D
A ∴⊃H D ,即对A
B ,A B ∀∈∈∈ ，
C
D D
②B B ={E :E B }∀∈⊂Ω∈ 固定，令D H D
验证：B B B λλ⊃∴⊃=，且是类（）
H C H H D C ， 即B ,E B E ∀∈∀∈∈ ，D D D #
方法：实际中，要证明σ代数()σC 中集合（元素）具有某种性质（*），先证C 中元素具有性质（*），然后将定义类{:*}A A =∈Ω具有性质（）D 。

验证D 是一个λ类，则：
λσ⊃=（）（）D C C
例：11R ,(R )（）B 上Lebesgue 测度的1(R )------Borel σ代数B ，即由1
R 得全体开集（开区间）生成的最小σ代数，也是左开右闭区间生成的最小σ代数。

在1R （）B 上定义一个
集函数μ：使I =I μ（）的长度，I 是区间，令{}=∞≤≤∞（
a,b ）:-a<b +C ，则C 是一个π类。

(,),b a a b μ-⎧∀∈⎨
+∞
⎩区间有限定义（（a,b ））=区间无限
C ，
1i
A R ,*(A)=inf{():A}i i i i
I I I μμ∀∈∃∈⊃∑ 有限个，使C
*i
(A)=sup{():A}i i i i
I I I μμ∃∈⊂∑ 有限个，使C
1*{:*()()}A R A A μμ=⊂=⊃D C R λσ∴⊃1是一个类，（）=（）D D B C
测度的连续性：
n An An A An ()An An A ,..(),
lim (n)()
n A s t A A A μσμμμμμμμ→∞
∀∈↑→∞∀∈↓∃<∞= 00n 设是代数的一个非负可数可加集函数
（a)下方连续：，，（）（b)上方连续：，，n 则F F F
有限可加+连续性⇔可数可加性
第三节：测度的扩张定理
Ω 非空集，F （代数或σ代数）
R μ+→：F ，集函数，满足：①μ
φ（）=0；②具有可数可加性：即 1n n 1
A ,,A An ∞
=∀∈∈ ，且互不相交，且F F ，n 1
n 1
An An μμ∞
∞
==∑ （）=（）
（有限可加：1n A ,,A 有限个），称μ是上的一个测度F
测度分类：11An ..,()1[0,1],([0,1])A A A R R I I I L An An n n n s t A A Borel μμσμσμμμμσμ∞=Ω∞Ω=∃∈Ω=<∞Ω==---∈Ω∀∈== 有限测度：（
）<+,概率测度（）有限测度：，非有限无穷测度：（）
域，（）=的长度，则是有限测度，且是概率测度（2）=，=（），区间（）=的长度----ebesgue 测度则是有限测度。

令（-n,n ）,(An)=2n.且：F F B F F B F n 1R (3)[0,1],A A A μμ∞=⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪=∞∞⎪⎪
Ω==Ω∈⎪
⎪⎩
（-,+）的一切子集，（）中点的个数，是一个计数测度F F
扩张的步骤：
01
P 是代数0F 上的概率测度：中单调上升序列的极限集全体0G =F =，将P 的定义扩
张到G 上，0n A An An An lim P An μμ→∞
∀∈∃∈↑ ，，，（）（），在上具备的性质：G F G
①0,0()1P A μφμμμΩ=≤≤（）=0，（）=1，F |； ②,,,()()()A B A B A B A B φμμμ∈==+ G ; ③,,A B A B A B μμ⊂∈≤、则（）（）
G ； ④n An An A lim An A μμμ→∞
∈↑在上下方连续，即，，且（）=（）G G
02
设=Ω的一切子集所成集类，E 将μ的定义扩张到E 上。

*A *A G G A μμμ∀∈∈⊃ （外侧度）：，（）inf{（）：，}E G G ，则：
①***,0*A μμμφμμ=Ω≤≤，（）=0，（）=1（）1G |； ②
*A B +*A B *A +*B (),*A +*B 1
A B μμμμμμ≤≥∀∈ （）（）（）（）次可加性（）（）、E
③A B *A *B μμ⊂≤，则（）（）
④n *An An A lim *An *A μμμ→∞
∈↑=下方连续，即，，则（）（）E
证④：1
11
n n n n 0,,,..,()*(),
2
,*()*()()lim ()
1
(
)*()()2lim *()lim *()A A *()*()*()lim *()
n n n n n n
n
n n n n k n n
n
k n n
k n k
k k n n n n n G s t G A G A A A G G A G G G G A A A A A A A ε
εμμμμμμμμεμεμε
μμμμ→∞
===→∞
→∞
→∞
∀>∀∃∈⊃≤+
=⊂∈≤==<≤+>≤++≥≥∴≥∑
且归纳法（）=，，G G
03
令C {A :*()+*()=1}A A μμ=∈H E
则H 是一个σ代数，且*μ在H 上是概率测度。

0⊃H F ，同时0*P μ=F |，（称*μ为
μ的扩张）。

0是的扩张H F ，限制到σ⊂0（）（）
F H 结论：
0P **P
σμμσμΩΩ=000（，，）扩张到了（，（），），使得*是（）上的概率测度。

F F F F |
04
如果P 是0F 的一个有限测度，
1
, 1.2.....,P n n n n n ∞
=∃Ω∈Ω=Ω=ΩΩ∞ 且互不相交，且（）<
将00
1~3用到00(,,),()()*,()n n n n n P P A P A μσΩΩ 扩张为一个F F 对01
(),*()*()n
n n A A A σμμ
∞
=∀∈=Ω∑ F ，00(,(),*)P σμΩΩ是（，，）
F F 的扩张，且还是唯一的。

μΩ （，，）测度空间F
{:,,()0,,}B A N N B A C C N μμμ=⊂Ω∃∈∃∈==+⊂=即：中的集合与一切零测集的子集的并的全体
F F F F F
B B=A C,A ,
C N,N ,(N)=0μμμμ∀∈∈⊂∈ 扩张到上，记为，，如果F V F F F
(B)(A),=μμ F V V |,称
μμΩΩ（，，）为（，，）F V F 的完备化测度空间。

μΩ（，，）F 称为是完备化的m.s.如果N ,(N)=0,C N,C .μ∀∈∀⊂∈则对F F
(,,*)μσμΩΩ是（，（），*）的完备化测度空间H F
101
1
{R }A ,A=,(,].()()
n
n
k k k k k k k k I I a b m A b a ===∀∈=-∑ 上有限个互不相交的左开右闭的区间的并F F
扩张：
11(,(),)L B R R ebesgue erol 测度
完备化后测度
B M
第四节．Lebesgue----Stieltjes 测度
结论：一维分布函数与R,(R)（）B 上的一个L —S 测度对应（某种意义下是1-1的），n
维分布函数与n n R ,(R )（）
B 上的某一个L —S 测度对应 定义：R,(R)（）B 上的测度μ称为是L —S 测度，如果对R ，一个任意有界集().()A R A μ∈<∞B
函数F ：R R →
称为分布函数.如果单调不减，右连续。

,()x R F x ∀∈<∞
给定R,(R),μ（）B 是L —S 测度，空间()((,])F x x μ-∞
，则F 是一个分布函数（适用
于μ是有限测度。

一般：(0)((0,]),0
()(0)((,0]),0
F x x F x F x x μμ+≥⎧=⎨
-<⎩
右连续⇔μ的下方连续
任给R 上的一个分部函数，定((,])()()a b F b F a μ-
0{}R =中有限个左开右闭不交区间的并F
01
1
A=(,),()((,])n
n
k k k k a b A a b μμ==∈∑ F
0(,,)F(+)-F(-)=1R μσμ∞∞是有限测度空间（特别，当时，是概率测度）
F 0(,,)R μF 可以唯一扩张成
R,(R),*μ（）B ,则*μ是L-S 测度 F(x,y)P(X x,Y y)≤≤ ，矩形不等式成立，即：
1212221221(,)(,)(,)(,)(,)0P x x x y y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤+--≥ .()()()b a F x F b F a =- 关于变量x 的差分。

121,,.(,)[(,)(,)]
[(,)(,)][(,)(,)]
a b d c b a F x y F x d F x c F b d F a d F b c F a c =-=---
111(,,),(,,),(,,),.n n n n n i i x x R a a b b R a b a b =∈==∈≤≤x a b 如果
1.1,1,1()(,,)(2)n n b a b a bn an n F x F x x 项
定义：F:n
→R R 成为一个n 元分布函数。

如果： ①F 对每个变元单调不减； ②F 右连续；
③,()n x F x ∀∈<∞R
④,,,,()0n
b a a b a b F x ∀∈≤≥R
给定(,())n n
R R B 上的一个L---S 测度，定义.(),..()((,]),,n b a F x s t F x a b a b μ=∈R 当μ有限测度时，()((,])F x x μ-∞
反之，给定n
R 上的一个分布函数.(),,,,((,])n b a F x a b a b a b F μ∀∈≤R 定义
0{}n =R 中有限个不相交的左开右闭矩形的并F
第六节．可测函数及其收敛性。