《不等式的基本性质》课件

例 3．用“＞”或“＜”填空： (１)已知 a>b，则 3a____3b； (２)已知ａ>b，则-a____-b； （3）已知 a<b，则- +2____- +2． 3 3
ａ
ｂ
解：(1)因为 a>b，两边都乘３，由不等式基本性质 2，得 3a>3b．
(2)因为 a>b，两边都乘-1，由不等式基本性质 3，得-a<-b．
4 3＋□ 4 5＋□
> 0 > 3－□ 0 5－□ -2 >3－ -2 5－□ □ 4 < 3－□ 4 -1－□ 0 < 3－□ 0 -1－□ -2 < 3－□ -2 -1－□
4 3－□ 4 5－□
自主 设计
-2>-5
结论
--2+3>-5+3
-2-4>-5-4
发现:当不等式两边加或减去同一个数(正数或负数)时，不等号的方向不变.
ａ b 的方向不变．即，如果 a>b，c>0，那么 ac>bc， > ． c c
不等式基本性质 3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
ａ b 的方向改变．即，如果 a>b，c<0，那么 ac<bc， < ． c c
不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？
说一说
不等式的性质
等式的性质
……
小知识
不等式的其它基本性质：
①对称性：如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y． ②传递性：如果x>y，y>z；那么x>z． ③加法单调性：即同向不等式可加性． ④同向正值不等式可乘性：如果x>y>0，m>n>0，那么 xm>yn． ⑤正值不等式可乘方：如果x>y>0，那么xn>yn． ……
本章内容 第4章
一元一次不等式（组）
本课内容 本节内容 4.2
不等式的基本性质
复习回顾
• 等式的性质1: 等式两边同时加(或减)同一个数 （或式子），结果仍相等. • 等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同 一个不为0的数，结果仍相等. • 那么不等式是否有和等式类似的性质呢？
动脑筋
动脑筋
解：(１)因为 a>b，两边都加上 3， 由不等式基本性质 1，得 a+3>b+3． (２)因为 a<b，两边都减去 5， 由不等式基本性质 1，得 a-5<b-5．
例 2．把下列不等式化为 x>a 或 x<a 的形式： (１)x+6>5； (２) 3x<2x-2．
解：(１)不等式的两边都减去 6， 由不等式基本性质 1，得 x+6-6>5-6，即 x>-1． (２)不等式的两边都减去 2x， 由不等式基本性质 1，得 3x-2x<2x-2-2x，即 x<-2．
结论
一般地，不等式具有如下性质： 不等式基本性质 1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式)， 不等号的方向不变．即，如果 a>b，那么 a+c>b+c，a-c>b-c．
例 1．用“＞”或“＜”填空： (１)已知 a>b，则 a+3____b+3； (２)已知 a<b，则 a-5_____b-5．
探究
数学小实验
操作：在“□”内按要求填上数字，在“ 观察：不等号gt;”、“<”或“=”号；
两边减去同一个数
5>3
-1<3
> 0 > 0 5＋□ 3＋□ -2 > 5＋□ 3＋□ -2 4 <3＋□ 4 -1＋□ 0 -1＋□ 0 <3＋□ -2 <3＋-2 -1＋□ □
由(２)可以看出， 运用不等式基本性质 1 对 3x<2x-2 进行化简的过程， 就是对不等式 3x<2x-2 作了如下变形：3x<2x-2=>3x-2x<-2． 从变形前后的两个不等式可以看出，这种变形就是把不等式一边的某 一项变号后移到另一边，我们把这种变形称为移项．
做一做
我们知道三角形任意两边之和大于第三边， 即如图 4-2 所示， 在△ABC 中，有 AB+BC>AC，BC+AC>AB，AC+AB>BC．那么，三角形中两边之 差与第三边又有怎样的关系呢？
性质1：不等式两边都加上（或减去） 同一个数（或式子），不等号的方向 性质1：等式两边加上（或减去）同一 不变； 个数（或式子），结果仍相等. 性质2：不等式两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变； 性质2：等式两边乘以同一个数，或除 性质3：不等式两边都乘以（或除以） 以同一个不为0的数，结果仍相等. 同一个负数，不等号的方向改变.
③绝对不等式：不等式中对于字母所能取的一切允许值不等式都成立，这样
的不等式叫绝对不等式． ④矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值不等式都不成立，
这样的不等式叫矛盾不等式．
⑤条件不等式：不等式中对于字母所能取的某些允许值不等式能成立面对字 母所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这样的不等式叫条件不等式．
解：根据不等式基本性质 1，我们可以把不等 式 AB+BC>AC 中的 BC 移到右边，于是得到 AB>AC-BC，即 AC-BC<AB． 同理，AB-AC<BC，BC-AB<AC． 由此可得，三角形任意两边之差小于第三边．
图 4-2
探究
不等式
数学小实验
两边乘以同一个数
两边除以同一个数
6>2
-2<3
自主 设计
-2>-6 -2>-6
结论
-2×2>-6×2 -2×(-2) <-6×(-2)
-2÷2>-6÷2 -2÷(-2)<-6÷(-2)
发现: 当不等式的两边同乘或同除以同一个正数时，不等号的方向不变.
结论
一般地，不等式还有如下性质： 不等式基本性质 2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号
2 >2×□ 4 >2×□ 4 6×□ 0 = 2×□ 0 6×□ -4 < 2×□ -4 6×□ 2 -2×□ 2 < 3×□ 4 < 3×□ 4 -2×□ 0 = 3×□ 0 -2×□ -4 -2×-4 □ > 3×□ 2 6×□
2 >2÷□ 4 > 4 6÷□ 2÷□ 2 6÷□ 0 6÷□ 0(无意义) 2÷□ -4 <2÷-4 6÷□ □ 2 2 <3÷□ -2÷□ 4 <3÷□ 4 -2÷□ 0 3÷□ 0(无意义) -2÷□ -4 -2÷-4 □>3÷□
(3)因为 a<b，两边都除以-3，由不等式基本性质 3，得- >- ， 3 3 因为- >- ，两边都加上 2，由不等式基本性质 1，得- +2>- +2． 3 3 3 3
ａ ｂ
ａ ｂ
ａ
ｂ
小知识
不等式的分类：
①严格不等式：用“>”或“<”连接的不等式称为严格不等式．
②广义不等式：用 “≥”或“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广 义不等式．