七年级下册不等式及其基本性质讲义

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《不等式的基本性质》讲义

《不等式的基本性质》讲义一、不等式的定义在数学中，不等式是表示两个数或者表达式之间大小关系的一种数学表达式。

用不等号（如“＞”大于、“＜”小于、“≥”大于等于、“≤”小于等于）连接两个数或表达式所组成的式子，就叫做不等式。

例如：3 ＜5，x ＋ 2 ＞ 5 等等。

二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b，那么 b ＞ a 。

这就好像两个人比身高，如果甲比乙高，那么反过来乙就比甲矮，道理是很直观易懂的。

2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c，那么 a ＜c 。

比如说，甲比乙高，乙又比丙高，那自然甲就比丙高；反过来，如果甲比乙矮，乙又比丙矮，那甲肯定比丙矮。

3、加法性质如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

这意味着，当不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。

就好比甲和乙有身高差，两人同时穿上一样厚的增高鞋，身高差依然不变。

4、减法性质如果 a ＞ b，那么 a c ＞ b c 。

跟加法性质类似，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向也不变。

5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc 。

当不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。

可以想象成把两个长度不同的线段同时按相同的比例放大，它们的长度差还是保持原来的大小关系。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。

但如果乘以一个负数，不等号方向就要改变。

这有点像在镜子里看东西，左右方向会反过来。

6、除法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 a/c ＞ b/c 。

不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 a/c ＜ b/c 。

除以一个负数时，不等号方向改变。

7、乘方性质如果 a ＞ b ＞ 0，那么 a^n ＞ b^n（n 为正整数，n ≥ 1）。

人教版初一下数学-不等式的定义及性质 ]讲义(学生版)

1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集；2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质；难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用.第12讲不等式定义及其性质不等式的定义1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式.例如：2-<-+>-+++>≠≤≥等都是不等式．52,314,10,10,0,35a x a x a a2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．注意：不等式32≥成立．=成立，所以不等式33≥成立；而不等式33≥也成立，因为333.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”.例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式.列不等式1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系.2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号3．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．（1）和、差、积、商、幂、倍、分等运算．（2）“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．如：某人至少有10元钱，是说这个人的钱数多于或等于10元．（3）正数、负数、非负数、非正数等概念．如：a是非正数，应写成：a≤0．例1.用不等式表示：（1）x的23与5的差小于1；（2）8与y的2倍的和是正数；（3）x与5的和不小于0；（4）x的14小于等于2；（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；（6）x与8的差的23不超过0.练习1.用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．练习2.用适当的不等式表示下列关系：（1）a是非负数；（2）x 与2差不足15 ；（3）x+3与y ﹣5的和是负数.一般根据所描述的语句，列出不等关系.注意非正数、非负数、不大于、不小于等符号表示.例2.用“＜”或“＞”填空：⑴4______－6； (2)－3______0； (3)－5______－1； (4)6＋2______5＋2； (5)6＋(－2)______5＋(－2)； (6)6×(－2)______5×(－2)．练习1.下列不等式中，正确的是( )． A.4385-<-B.5172< C.(－6.4)2＜(－6.4)3D.－｜－27｜＜－（－3）3练习2.用“＜”或“＞”填空：⑴－2.5______－5.2； (2);125______114--(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a 2＋1______0； (5)0______｜x ｜＋4； (6)a ＋2______a ．给出已知数，可直接判断它们的大小关系；含字母的可带特殊值法进行比较.例3.金坛市2月份某天的最高气温是15°C ，最低气温是﹣2°C ，则该天气温t （°C ）的变化范围是．练习1.在数轴上有A ，B 两点，其中点A 所对应的数是a ，点B 所对应的数是1．已知A ，B 两点的距离小于3，请你利用数轴．（1）写出a 所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B 的距离小于3吗？练习2.若a 是有理数，比较2a 和3a 的大小．利用不等关系解决实际问题，另注意分类讨论的思想.例4.如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．A. B. C. D.ab ＜1练习1.｜a ｜＋a 的值一定是( )． A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D.不小于零练习2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a 2＞b 2，则a ＞bC.若a ≠b ，则｜a ｜≠｜b ｜D.若｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b给出字母的不等关系，在这个基础上去判断其他的不等式的关系：可采用设数法、分类讨论法等.不等式的解、解集及解集的表示方法1.相关概念：①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；1>b a 1<b a ba 11<③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式； 2.不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示.联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内. 3.用数轴表示不等式的解集： ①x ≥-2表示为： ②x ≤-2表示为：③x ﹤2表示为：④x ＞2表示为：特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向：“小于向左，大于向右”.例1.下列说法不正确的是（）A ．不等式﹣x ≤1的解集是x ≥1B ．不等式﹣x ＞﹣2的解集是x ＜4C ．不等式2（x ﹣1）≤3的解集是x ≤2.5D ．不等式1≤x 的解集是x ≥1练习1.下列说法中错误的是（）A.不等式的解集是；B.是不等式的一个解C.不等式的正整数解有无数多个D.不等式正数解有无限个练习2.下列不等式的解集不正确的是（）A ．不等式2x ＞4的解集是x ＞2B ．不等式x ﹣3＜5的解集是x ＜8C ．不等式x ﹣2≥1的解集是x ≥3D ．不等式＜3的解集是x ＞﹣3根据不等式的解和解集的概念去判断或选择是不是不等式的解或解集例2.当x=3时，下列不等式成立的是（）A ．x+2＜6B ．x ﹣1＜2C ．2x ﹣1＜OD ．2﹣x ＞028x -<4x >-40-28x <-6x <6x<练习1.在、、、、、、中，能使不等式成立的有（）A.个B.个C.个D.个练习2.下列不等式＞50的解的个数有（）①x=80；②x=75；③x=78；④x=10． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的意义是解本题的关键例3. 在数轴上表示x ＜﹣3的解集，下图中表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．练习1.如图在数轴上表示的是下列哪个不等式（）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ≥﹣2D ．x ≤﹣2 练习2.把下列不等式的解集表示在数轴上 (1)x ≥﹣5 (2) x ＜6在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．不等式的性质1.基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么a c b c ±<±2.基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c>) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 12-1-2-03-1232-32x +<43213.基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或a b c c>) 补充：不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的传递性：如果，，那么．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．例1. 填空：⑴ 如果，则，是根据； ⑵ 如果，则，是根据；⑶ 如果，则，是根据； ⑷ 如果，则，是根据； ⑸ 如果，则，是根据．练习1.利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若，则_______； ⑵ 若，则______； ⑶ 若，则______； ⑷ 若，，则______；⑸ 若，，，则_______．练习2.若，用“”或“”填空 ⑴； ⑵⑶； ⑷利用不等式的三个基本性质，去判断新的不等式之间的关系.a b >b a a b >b c >a c >a b >2a a b >+a b >33a b >a b >a b -<-1a >2a a >1a <-2a a >-a b <2a 2b a b >4a -4b -362x ->x 4-a b >0c >ac bc 0x <0y >0z <()x y z -0a b <><2_____2a b ++2_____2a b --11______33a b ____a b --例2.如果ax ＞b 的解集为则a ______0．练习1.如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（） A. B. C. D.练习2.根据，则下面哪个不等式不一定成立( )A. B ． C. D.利用不等式的性质，解决未知数系数是含参数的不等式.例3.设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）．A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■练习1.设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量,用天枰称两次,情况如图所示,则这三个物体的质量从小到大排序正确的是( ).A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c,abx >x (1)1a x a +>+1x <a 0a >0a <1a >-1a <-a b >22a c b c +>+22a c b c ->-22ac bc >2211a bc c >++练习2.若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（）．A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞b+c作差法比较大小应用有理数(式子)的减法运算可以比较两个有理数(式子)的大小,这就是“作差法”,即要比较两个有理数(式子)A与B的大小，可先求出A与B的差A-B，再通过其结果进行判断.如果A-B＞0，则A＞B；如果A-B=0, 则A=B；如果A-B＜0，则A＜B.例1.用等号或不等号填空：（1）比较4m与m2+4的大小当m=3时，4m m2+4当m=2时，4m m2+4当m=﹣3时，4m m2+4（2）无论取什么值，4m与m2+4总有这样的大小关系吗？试说明理由．练习1.比较2x2+4x+2与2x2+4x-6的大小关系，并说明理由练习2.比较2x+3与﹣3x﹣7的大小关系利用作差法，不能直接判断出关系时，采用分类讨论.例2.试判断a2﹣3a+7与﹣3a+2的大小．练习1.通过计算比较下列各组数中两个数的大小：1221；2332；3443；4554；5665；…由以上结果可以猜想n n+1与（n+1）n的大小关系是．根据以上猜想，你能判断20032004与20042003的大小吗？练习2.比较与的大小．利用作差法，比较较复杂的两个式子的大小，结果与0做比较，再判断原式的大小关系即可.本讲内容主要讲解了不等式的定义、不等式的解与解集，会用数轴表示不等式的解集,以及不等式的三个性质，要学会利用不等式的性质去判断不等关系，以及进行不等变换；学会用数轴标数法比较大小、以及会用作差法比较两个代数式的大小等.。

七年级l下册数学不等式知识点

七年级l下册数学不等式知识点七年级下册数学不等式知识点在初中数学中，不等式是一个重要的数学概念，也是数学竞赛和数学考试的重要内容之一。

在七年级下册数学课程中，学生们将开始学习不等式的基本概念、性质及应用。

本文将针对七年级下册数学不等式知识点进行详细讲解。

不等式的定义不等式是一种数学关系，它表示两个数的大小关系不同于相等。

以数学符号来表示，我们可以用“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等符号。

例如，对于两个实数a和b，如果a小于b，则我们可以用a<b表示。

同理，如果a小于等于b，则我们可以用a≤b表示。

不等式的基本性质不等式有许多基本性质，其中最基本的是不等式的传递性。

也就是说，如果a<b且b<c，则a<c。

这可以通过图像进行理解，如下图所示：除了传递性外，还有许多其他的不等式性质，比如以下几点：1. 两个不等式的加法或减法可以得到一个新的不等式。

例如，如果a<b且c<d，则a+c<b+d。

2. 两个不等式的乘法可以得到一个新的不等式，但要注意乘法时需要将不等式的符号进行变化。

例如，如果a<b且c>d，则a·c<b·d，且a·d<b·c。

3. 不等式的两侧都可以加上或减去同一个数，而不改变不等式的符号。

例如，如果a<b，则a+c<b+c。

4. 不等式的两侧都可以乘以或除以同一个正数，而不改变不等式的符号。

例如，如果a<b，则a·c<b·c，且a/c<b/c。

不等式的应用场景在实际生活和数学问题中，不等式得到广泛的应用。

以下是几个简单的例子：1. 购物打折：假设一件衣服原价100元，现在打7折，那么衣服的价格就是70元以下。

2. 不等式的求解：如果给你一个不等式a+b>5，你需要根据这个不等式找到a和b的取值范围。

《不等式及其基本性质》课件

《不等式及其基本性质》课件ppt
这个课件介绍了不等式的定义、运算性质、解集表示，还包括一元一次不等式、多元一次不等式的求解方法，以及不等式组的求解方法和在实际问题中的应用。
不等式的定义
1 概念解释
不等式是用不等号连接的两个数或两个式子，表示大小关系。
2 种类
常见的不等式类型有大于、小于、不大于、不小于等。
不等式在实际问题中的应用
1 金融领域
利用不等式来决材料强度、承重能力等问题。
3 生活领域
通过不等式来优化日常生活，如控制饮食、调整作息等。
图像法
将多元不等式的解集表示在平面直角坐标系上，求出解集的范围。
线性规划法
利用线性规划方法求解多元不等式问题，找到最优解。
不等式组的求解方法
1
代入法
2
通过代入变量的方式，逐个求解不等式
组的每个不等式。
3
图形解法
将不等式组在平面直角坐标系上展示，找出满足所有不等式的交集。
矩阵解法
利用矩阵运算和线性方程组的方法求解不等式组。
可以用数轴上的点或线段来表示解集的范围。
3
区间表示
可以用开区间、闭区间或半开半闭区间来表示解集的范围。
一元一次不等式的求解方法
图形法
将不等式在数轴上表示成线段或阴影部分，求出解集。
代数法
使用代数方法进行计算和推导，求出解集。
多元一次不等式的求解方法
子代数法
将多元不等式化简为含有一个变量的式子，再进行求解。
3 示例
例如：2x + 3 > 7 是一个不等式。
不等式的运算性质
加减法性质
• 对不等式两边同时加减一个相同的数，不等式方向不变。

不等式-基本不等式辅导讲义(含详细解答)

例题1证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．训练1解：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2、解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3、解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C4、解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b ＝2时取等号．答案9解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y＝2时取等号．答案 3解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．3、答案 C解析作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4、答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式，解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)．7、答案 [－1,0]解析由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8答案 3解析由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.。

不等式七年级下册知识点

不等式七年级下册知识点七年级下册数学课程重点知识点之一是不等式。

本文将介绍不等式的基本概念、性质和解不等式的方法。

一、基本概念1. 不等式的定义不等式是用于表示两个数之间大小关系的数学式子。

例如：a > b，a < b，a ≥ b，a ≤ b等均为不等式。

2. 不等式的符号不等式中常见的符号有“<” (小于)，“>” (大于)，“≤” (小于等于)，“≥” (大于等于)。

例如：a < b，表示 a 小于 b；a > b 表示 a 大于 b；a ≤b 表示 a 小于或等于 b；a ≥ b 表示 a 大于或等于 b。

3. 不等式的解解不等式指确定不等式中未知数的取值范围，使不等式成立。

解不等式时需要注意不等式符号的反向变换。

二、基本性质1. 等价性质如果在一个不等式的两边同时加（减）同一个数，不等式的方向不变。

例如：若 a > b，则 a + c > b + c，a - c > b - c。

2. 反比例性质如果在一个不等式的两边同时乘（除）同一个正数（负数），不等式的方向不变。

例如：若 a > b，则 ac > bc 当 c > 0，ac < bc 当 c < 0。

3. 基本不等式a²≥0。

三、解不等式的方法1. 用加减法解不等式例如：3x + 5 > 8，把不等式两边同时减 5，得到 3x > 3。

再把不等式两边同时除以 3，得到 x > 1。

2. 用乘法解不等式例如：-2x + 5 < 11，把不等式两边同时减 5，得到 -2x < 6。

再把不等式两边同时乘以 -1，且要注意不等式方向变化，得到 2x > -6。

再将方程两边同时除以 2，得到 x > -3。

3. 用不等式的性质解不等式例如：-2x + 5 < 11，把不等式两边同时减 5，得到 -2x < 6。

七年级数学拓展第五讲不等式与不等式组讲义

例 19. 已知 x1, x2 ,, x7 为正整数，且 x1 x2 x3 x6 x7 ，如果 x1 x2 x3 x7 2012 ，那么 x1 x2 x3 的最大可能值是多少？
例 16.（2010 江苏）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆你玩”.以绿豆为例，5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克。市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格。经市场调硏预测，该市每调进 100 吨绿豆，市场价格就下降 1 元/千克。为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在 8 元汘千克到 10 元/汘克之间（含 8 元/千克和 10 元/千克）。问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？
例 17.某工厂现有甲种原料 36 千克，乙种原料 20 千克，计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 12 件。已知生产一件 A 种产品需甲种原料 3 千克，乙种原料 1 千克；生 B 种产品需甲种原料 2 千克乙种原料 5 千克（1）设生产 x 件 A 种产品，写出 x 应满足的不等式组（2）请你设计出符合题意的几种生产方案
第五讲不等式与不等式组
不等式的概念
1.不等式的概念
用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
5 2, a 3 4 1, x 1 0,| x | 0,3a 4a
等都是不等式
常见的不等号有 5 种： " "," "," "," "," "
2.不等式的性质
（1）基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或是同一个整式，不等号方向不变
其中空心点用来表示“>”和“<”，实心点用来表示“≥”和“≤”

七年级不等式知识点讲解

七年级不等式知识点讲解不等式是数学中的一种运算符号，它是“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”的简称。

在数学中，不等式和等式一样重要，经常出现在数学题中。

在初中的学习中，我们将涉及到一些基础的不等式知识。

今天，我们将学习七年级不等式知识点的讲解。

一、不等式的概念不等式是一种比较两个数大小关系的符号表示。

如“1＜2”，表示“1小于2”，“4≥3”，表示“4大于等于3”。

二、不等式的性质1、不等式两边同时乘以一个正数时，不等式的方向不变。

例如：3x > 6，两边同时乘以2，得到6x > 12，x > 2。

再例如：5y < 10，两边同时乘以1/2，得到2.5y < 5，y < 2。

2、不等式两边同时乘以一个负数时，不等式的方向改变。

例如：6a > 24，两边同时乘以-1，得到-6a < -24，a < -4。

再例如：9b < -18，两边同时乘以-1/9，得到-b > 2，b < -2。

3、不等式两边同时加上一个数时，不等式的方向不变。

例如：2x > 10，两边同时加上-4，得到2x-4 > 6，x > 3。

再例如：5y < -3，两边同时加上2，得到5y+2 < -1，y < -0.6。

4、不等式两边同时减去一个数时，不等式的方向不变。

例如：3a < 9，两边同时减去2，得到3a-2 < 7，a < 3。

再例如：4b > 8，两边同时减去3，得到4b-3 > 5，b > 2。

三、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，实质上是将含有未知数的项移项相等，但要注意要根据不等式的方向确定正负性。

例如：4x-5 > 7，首先将-5移到右边：4x > 12，然后将4移到左边：x > 3。

再例如：7y+2 ≤ 23，首先将2移到右边：7y ≤ 21，然后将7移到左边：y ≤ 3。

人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件

第九章不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
4.(人教7下P119)用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集: (1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于3; (3)y与1的差不大于0;
(4)y 的1小于或等于－2.
4
(1)3x≥1,即 x≥1
3
(3)y－1≤0,即 y≤1
数轴略.
(2)x＋3≥3,即 x≥0 (4)1y≤－2,即 y≤－8
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
数轴略.
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q

七年级数学第9章不等式与不等式组(整章知识详解)

X>-3
2、不等式组
X<2 X<5
的非负整数解是__0_,1____
方法：先求不等式(组)的解集，再确定整数解问题
七年级数学第9章不等式与不等式组
考点三:不等式（组）的特殊解
3.(烟台)不等式4－3x≥2x－6的非负整数
解是___0_,1__,2.
x 3≥0,
4.
（苏州）不等式组

x
2
考点四：求字母的取值范围
1. 如- -果- -不- - 等- - -式- -xxm5 有解，那么m的取值范围是
_m__<_5___.若无解，则m的取值范围是_m__≥_5___.
2.如
果
不
等
式
组xx
m m

1的 2
解
集
是x
-
1，
则m的取值范围是______.
.
不等式组的解集是x>m+2，有因解集是x>-1
所以 m+2= -1，即 m = -3
（较小）
(1)若不等式组
xm1 （较大无）解，则
x 2 m 1
m的取值范围为___m_____3_______
2m 2 m 1
(2)若不等式组
xБайду номын сангаас（1 较小的）解集为x>3，
x3 （较大）

3
的所有整数
解有（ B ）个
A、2
．
B、3
C、4
D、5
方法:先求不等式(组)的解集，再确定整数解的问题
（2 x-6）<3-x
①
求不等式组

不等式及其性质(基础)知识讲解

不等式及其性质（基础）知识讲解知识梳理要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5．【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．举一反三：【变式】a a +的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x ＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a ≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确；④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．类型二、不等式的基本性质3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．a b c c【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A.【解析】A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】（2015春•秦淮区期末）根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．。

七年级数学下不等式知识点

七年级数学下不等式知识点不等式是一个数值或者代数表达式和一个不等关系符号组成的式子。

在数学中，不等式同等重要于等式。

在七年级学习的数学中，不等式是一个重要的知识点。

本文将会详细介绍七年级下学期数学中的不等式知识点。

一、不等式的意义不等式是数与数之间的大小关系的一种表示方式。

例如，a > b 表达了a比b大的关系，a < b表达了a比b小的关系，a ≥ b表达了a大于等于b的关系，a ≤ b表达了a小于等于b的关系。

二、不等式的基本性质1. 对于任何实数a、b和c，都有以下基本的不等式性质：（1）加减性质：如果a > b，则a + c > b + c (c为任意实数)；如果a < b，则a + c < b + c （c为任意实数）。

（2）乘除性质：如果a > b 且 c > 0，则ac > bc；如果a > b 且c < 0，则ac < bc。

（3）绝对值的性质：如果a > b，则|a| > |b|。

2. 简单的破折号法则。

例如：（1）1 < x < 2，表示x在1到2之间。

（2）x > 3 或 x < -2，表示x大于3或x小于-2。

三、不等式的解不等式问题的解决很大程度上依赖于不等式的基本性质。

解不等式的方法有以下几种：1. 图像法：把不等式表示成一个数轴上的图像，确定图像的范围，根据图像找出不等式的解。

2. 试数法：在不等式两边插入相同数量的数进行比较，根据比较结果调整不等式的范围，直到找出不等式的解为止。

3. 分类讨论法：由前面的性质可知，不等式具有很好的可加性和可减性，这时可以根据“大于”或“小于”进行分类，找到不等式的解。

四、常见的不等式1. 一元一次不等式一元一次不等式的形式是ax + b > c（或ax + b < c），x ∈ R。

例如：2x + 1 > 5，需要求解x的取值范围，使得不等式成立。

不等式的基本性质-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义(苏科版)

不等式的基本性质知识点一、不等式的基本性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；即如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c 或a －c ＞b －c ；如果a ＜b ，那么a ＋c ＜b ＋c 或a －c ＜b －c .1. 如果a ＞b ，那么2a -_______2b -（填“=”、“＞”或“＜”）．知识点二、不等式的性质2不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b 且c ＞0，那么ac ＞bc 或a b c c >，如果a ＞b且c ＜0，那么ac ＜bc 或a b c c <．2. 已知x ＜y ，则23x --_____23y --（填“＞”、“＜”或“＝”）一．选择题（共10小题）3. 若x y >，则下列式子中错误的是（）A. 22x y > B. 22x y ->- C. 22x y ->- D. 33x y +>+4. 若不等式21x -<，两边同时除以2-，结果正确的是（）A. 12x >- B. 12x < C. 2x >- D. 2x <5. 下列各式中正确的是（）A. 若a b >，则22a b -<- B. 若a b >，则22a b >C. 若a b >，且0c ≠，则22ac bc > D. 若a b c c>，则a b >6. 已知a b <，若c 是任意有理数，则下列不等式中总成立的是（）A. a c b c +<+B. a c b c ->-C. ac bc >D. 22ac bc >7. 已知a b <，则下列各式成立的是（）A. 22ac bc <B. 1313a b -<-C. 23a b -<-D. 33a b +<+8. 已知实数a b c ≤≤，则（）A. 2a c b +≤B. 3a b c +≤C. 2a b c+≥ D. b a c≤+的9. 如图所示，A ，B ，C ，D 四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）A. D B A C <<<B. B D C A <<<C. B A D C <<<D. B C D A <<<10. 已知非负实数a ，b ，c 满足123234a b c ---==，设S a b c =++，则S 的最大值为（）A. 112 B. 152 C. 274 D.31411. 已知三个实数a ，b ，c 满足0ab >，a b c +<，0a b c ++=，则下列结论一定成立的是（）A. 0a <，0b <，0c > B. 0a >，0b >，0c <C. 0a >，0b <，0c > D. 0a >，0b <，0c <12. 若2a b +=-，且2a b ≥，则（）.A. b a 有最小值12 B. b a 有最大值1C. a b 有最大值2 D. a b 有最小值89-二．填空题（共10小题）13. 若x y >，且(3)(3)a x a y +<+，求a 的取值范围______．14. 若a<0，则a -_____0．（用＜，＝，＞填空）15. 选择适当的不等号填空：若a b <，则2a -______2b -．16. 已知m n >，则 3.51m -+______ 3.51n -+．（填>、=或<）17. 若a b <，则21a -+__________21b -+．(用“＞”，“＜”，或“＝”填空)18. 如果x ＞y ，且（a-1）x ＜（a-1）y ，那么a 的取值范围是______．19. 已知x ，y 满足132x y +=，若13x -≤<，则y 的范围是__________．20. 用不等号填空，并说明根据的是不等式的哪一条基本性质：(1)若x ＋2＞5，则x ________3，根据不等式的基本性质________；(2)若－34x ＜－1，则x ________43，根据不等式的基本性质________．21. 已知 2ab =．①若31b -≤≤-，则a 的取值范围是________；②若0b >，且225a b +=，则a b +=____．22. 某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x 作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x 的取值范围是_____．三．解答题（共8小题）23. 已知关于x ，y 的方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩．（1）若x ，y 为非负数，求a 的取值范围；（2）若x y >，且20x y +<，求a 的取值范围．24. 根据不等式的性质：若0x y -＞，则x y ＞；若0x y -＜，则x y ＜．利用上述方法证明：若0n ＜，则121n n n n -->-．25. 已知：x ，y 满足3x-4y=5．（1）用含x 的代数式表示y ，结果为______；（2）若y 满足-1＜y≤2，求x 的取值范围；（3）若x ，y 满足x+2y=a ，且x ＞2y ，求a 的取值范围．26. 已知实数x 、y 满足231x y +=．（1）用含有x 的代数式表示y ；（2）若实数y 满足y ＞1，求x 的取值范围；（3）若实数x 、y 满足1x >-，13y ≥-且23x y k -=，求k 的取值范围．27. 知识阅读：我们知道，当a ＞2时，代数式a －2＞0；当a ＜2时，代数式a －2＜0；当a ＝2时，代数式a －2＝0．（1）基本应用：当a ＞2时，用“＞，＜，＝”填空：a ＋5________0；(a ＋7)(a －2)________0；（2）理解应用：当a ＞1时，求代数式2a ＋2a －15的值的大小；（3）灵活应用：当a ＞2时，比较代数式a ＋2与2a ＋5a －19的大小关系．28. 用等号或不等号填空：（1）比较4m 与24m +的大小当3m =时，4m24m +当2m =时，4m24m +当3m =-时，4m 24m +（2）无论取什么值，4m 与24m +总有这样的大小关系吗？试说明理由．（3）比较22x +与2246x x ++的大小关系，并说明理由．（4）比较23x +与37--x 的大小关系．29. 阅读下列材料：问题：已知2x y -=，且1x >，0y <，试确定x y +的取值范围解：2x y -= ，2x y ∴=+，又1x > ，21y ∴+>，1y ∴>-，又0y < ，10y ∴-<<①，12202y ∴-+<+<+，即12x <<②，①+②得：1102x y -+<+<+，x y ∴+的取值范围是02x y <+<．请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知5x y -=，且2x >-，0y <，①试确定y 的取值范围；②试确定x y +的取值范围；（2）已知1x y a -=+，且x b <-，2y b >，若根据上述做法得到35x y -的取值范围是103526x y -<-<，请直接写出a 、b 的值．30. 题目：已知关于x 、y 的方程组2324x y a x y a +=-+⎧⎨+=⎩①②，求：（1）若3x ＋3y ＝18，求a 值；（2）若－5x －y ＝16，求a 值.问题解决：（1）王磊解决的思路：观察方程组中x 、y 的系数发现，将①＋②可得3x ＋3y ＝3a ＋3，又因为3x ＋3y ＝18，则a 值为________；（2）王磊解决的思路：观察方程组中x 、y 的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m ，②×n ，得2324mx my ma m nx ny na +=-+⎧⎨+=⎩③④，再将③＋④得：（m +2n ）x +（2m +n ）y =（-m +4n ）a +3m ，又因为-5x -y =16，……，请根据王磊的思路，求出m 、n 及a 的值；问题拓展：（3）已知关于x 、y 的不等式组2324x y a x y a +-+⎧⎨+⎩＞＜，若x ＋5y ＝2，求a 的取值范围．不等式的基本性质知识点一、不等式的基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；即如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c 或a －c ＞b －c ；如果a ＜b ，那么a ＋c ＜b ＋c 或a －c ＜b －c .【1题答案】【答案】<【解析】【分析】根据不等式的性质进行变形即可．【详解】解：∵a >b ，∴-a <-b ，∴2-a <2-b ，故答案为：<．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．知识点二、不等式的性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b 且c ＞0，那么ac ＞bc 或a b c c >，如果a ＞b 且c ＜0，那么ac ＜bc 或a b c c<．【2题答案】【答案】＞【解析】【分析】根据不等式的基本性质进行解答即可．【详解】解：∵x ＜y ，∴22x y ->-，∴2323x y -->--．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向发生改变．一．选择题（共10小题）的【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质可进行求解．【详解】解：由x y >可知：A 、22x y >，正确，故不符合题意；B 、22x y -<-，原不等式错误，故符合题意；C 、22x y ->-，正确，故不符合题意；D 、33x y +>+，正确，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【4题答案】【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】不等式21x -<，两边同时除以2-，可得12x >-，故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 若a b >，则22a b ->-，故该选项不正确，不符合题意；B. 若0a b >>，则22a b >，故该选项不正确，不符合题意；C. 若a b >，且0c >，则22ac bc >，故该选项不正确，不符合题意；D. 若a b c c>，则a b >，故该选项正确，符合题意；【点睛】本题考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、由a b <根据不等式的性质1，可得a c b c +<+，故此选项正确，符合题意；B 、由a b <根据不等式的性质1，可得a c b c -<-，不能得到a c b c ->-，故此选项错误，不符合题意；C 、根据不等式的性质，如果0c <则可得ac bc >，如果0c >，则ac bc <，故此选项错误，不符合题意；D 、当0c 时，22ac bc =，故此选项错误，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可解题．【详解】解：A.a b ＜，当0c ≠时，22ac bc <，故A 不成立；B.a b ＜，1313a b ->-，故B 不成立；C.a b ＜，22a b -<-，故C 不成立；D.33a b a b ++＜，＜，故D 成立；【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．【8题答案】【答案】B【解析】【分析】根据实数a b c ≤≤，逐项给出a b c 、、的值举例，看能否举出反例，即可得到答案．【详解】解：当12a =-，0b =，1c =时，2a c b +>，故A 选项错误；当12a =-，0b =，1c =时，2a b c +<，故C 选项错误；当2a =-，0b =，1c =时，a c b +<，故D 选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查不等式的性质，可以通过举反例来得到结论．【9题答案】【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：D A >①，A C B D +>+②，B C A D +=+③，由③得：C A D B =+-④，把④代入②得：A A D B B D ++->+，22A B >，A B ∴>，0A B ∴->，由③得：A B C D -=-，0D A -> ，0C D ∴->，C D ∴>，C D A B ∴>>>，即B A D C <<<．故本题选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【10题答案】【答案】C【解析】【分析】设123234a b c k ---===，则21a k =+，32b k =+，34c k =-，可得6S k =+；利用a ，b ，c 为非负实数可得k 的取值范围，从而求得最大值．【详解】解：设123234a b c k ---===，则21a k =+，32b k =+，34c k =-，()()()2132346S a b c k k k k ∴=++=++++-=+．a ，b ，c 为非负实数，210320340k k k +≥⎧⎪∴+≥⎨⎪-≥⎩，解得：1324k -≤≤．∴当12k =-时，S 取最小值，当34k =时，S 取最大值．116522S ∴=-+=最小值，327644S =+=最大值．故选：C ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设123234a b c k ---=== 是解题的关键．【11题答案】【答案】A【解析】【分析】根据0ab >，可得a 和b 同号，再根据a b c +<和0a b c ++=，即可判断a ，b ，c 的符号．【详解】解：∵0ab >，∴a 和b 同号，又∵a b c +<和0a b c ++=，∴0a <，0b <，0c >．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；同号两数相加，取它们相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大数的符号．【12题答案】【答案】C【解析】【详解】由已知条件，根据不等式的性质求得b≤23-＜0和a≥43-；然后根据不等式的基本性质求得a b ≤2 和当a ＞0时，b a ＜0；当43-≤a ＜0时，b a ≥12；所以A 、当a ＞0时，b a ＜0，即b a 的最小值不是12，故本选项错误；B 、当43-≤a ＜0时，b a ≥12，b a 有最小值是12，无最大值；故本选项错误；C 、a b有最大值2；故本选项正确；D 、a b 无最小值；故本选项错误．故选C ．考点：不等式的性质．二．填空题（共10小题）【13题答案】【答案】3a <-【解析】【分析】根据题意，在不等式x y >的两边同时乘以(3)a +后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出30a +<，解此不等式即可求解．【详解】解：∵x y >，且(3)(3)a x a y +<+，∴30a +<，则3a <-．故答案为：3a <-．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【答案】＞【解析】【分析】根据不等式的性质可进行求解．【详解】∵a<0，∴0a ->，故答案为：＞．【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【15题答案】【答案】>【解析】【分析】根据不等式的性质，即可解答．【详解】解：∵a b <，∴22a b ->-，故答案为：>．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【16题答案】【答案】<【解析】【分析】先根据不等式的性质3得 3.5m -< 3.5n -，再根据不等式的性质1即可得到结论．【详解】解：m n >，根据不等式的性质3，得 3.5m -< 3.5n -，根据不等式的性质1，得 3.51m -+< 3.51n -+，故答案为：<．【点睛】本题考查不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的三个基本性质，特别是性质3，不等式的两边同乘以或同除以同一个负数不等号的方向改变．【17题答案】【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】解：∵a b <，∴22a b->-2121a b ∴-+>-+故答案为：>【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【18题答案】【答案】a ＜1【解析】【分析】根据不等式的性质3，可得答案．【详解】解：由题意，得a-1＜0，解得a ＜1，故答案为a ＜1．【点睛】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．【19题答案】【答案】-1.5<y ≤3.5【解析】【分析】先变形为x =6-2y ，根据13x -≤<列得-1≤6-2y <3，求解即可．【详解】解：∵132x y +=，∴x =6-2y ，∵13x -≤<，∴-1≤6-2y <3，解得-1.5<y ≤3.5，故答案为：-1.5<y ≤3.5．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，正确理解题意将方程变形得到不等式组是解题的关键．【20题答案】【答案】①. （1）＞ ②. 1 ③. （2）＞ ④. 2【解析】【分析】根据不等式的性质，即可解答．【详解】（1）若x+2＞5，则x ＞3，根据不等式的性质1；（2）若−34x ＜-1，则x ＞43，根据不等式的性质3；故答案为（1）＞，1；（2）＞，3．【点睛】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．【21题答案】【答案】①. 223a -≤≤- ②. 3【解析】【分析】①由2ab =，可得2b a =，代入31b -≤≤-，即可求解，②由0b >，2ab =，可得0a >，即0a b +>，再利用完全平方公式即可作答．【详解】∵2ab =，即2b a=，①若31b -≤≤-，即231a-≤≤-，即有a<0，解得：223a -≤≤-；②若0b >，2ab =，∴0a >，即0a b +>，∵225a b +=，∴()22225229a b a b ab +=++=+⨯=，∴3a b +=．故答案为：①223a -≤≤-；②3．【点睛】本题考查了求解不等式的解，运用完全平方公式进行计算等知识，根据已知条件确定a 的符号是解答本题的关键．【22题答案】【答案】12x ≤【解析】【分析】通过找到临界值解决问题．【详解】由题意知，令3x-1=x ，x=12，此时无输出值当x ＞12时，数值越来越大，会有输出值；当x ＜12时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值故x≤12，故答案为x≤12．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是理解题意，学会找到临界值解决问题．三．解答题（共8小题）【23题答案】【答案】（1）2a ≥（2）30a -<<【解析】【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组，再由题意可得21020a a +≥⎧⎨-≥⎩，求出a 的范围即可；（2）由题意可得212a a +>-，50a <，求出a 的范围即可．【小问1详解】解：325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩①②，①+②得21x a =+，将21x a =+代入①得，2y a =-，x ，y 为非负数，∴21020a a +≥⎧⎨-≥⎩，解得2a ≥；【小问2详解】解：x y > ，212a a ∴+>-，3a ∴>-，20x y +< ，50a ∴<，<0a ∴，30a ∴-<<．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组、并准确求解一元一次不等式组的解集是解题的关键．【24题答案】【答案】见解析【解析】【分析】先求出1211(1)n n n n n n ---=--，根据0n ＜，得出10n -＜，从而得出()10n n -＞，即10(1)n n -＞，从而证明结论．【详解】证明：121n n n n ----2(1)(2)(1)n n n n n ---=-1(1)n n =-∵0n＜，∴10n-＜，∴()10 n n-＞，∴121n nn n-->-．【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．【25题答案】【答案】（1）354x-；（2）13＜x≤133；（3）a＜10．【解析】【分析】（1）解关于y的方程即可；（2）利用y满足-1＜y≤2得到关于x的不等式，然后解不等式即可；（3）先解方程组，由x＞2y得不等式，解不等式即可．【详解】（1）y=354x-；故答案为：y=354x-；（2）根据题意得：-1＜354x-≤2，解得：13＜x≤133；（3）解方程组345,2, x yx y a-=⎧⎨+=⎩得：2553510axay+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，∵x＞2y，∴255a+＞2×3510a-，解得：a＜10．【点睛】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【26题答案】【答案】（1）123x y -=；（2）1x <-；（3）53k -<≤【解析】【分析】（1）移项得出3y ＝1−2x ，方程两边都除以3即可；（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；（3）解方程组求出x 、y ，得出不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）2x ＋3y ＝1，3y ＝1−2x ，123x y -=；（2）123x y -=＞1，解得：x ＜−1，即若实数y 满足y ＞1，x 的取值范围是x ＜−1；（3）联立2x ＋3y ＝1和2x −3y ＝k 得：23123x y x y k +=⎧⎨-=⎩，解方程组得：1416k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由题意得：1141163k x k y +⎧=>-⎪⎪⎨-⎪=≥-⎪⎩，解得：−5＜k ≤3．【点睛】本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识点，能正确解方程组或不等式组是解此题的关键．【27题答案】【答案】（1）＞，＞（2）a 2＋2a －15＞－12（3）当a ≥3时，a 2＋5a －19≥a ＋2；当2＜a ＜3时，a 2＋5a －19＜a ＋2【解析】【分析】（1）当a ＞2时，a +5＞2+5=7＞0；a +7＞2+7=9＞0；a -2＞2-2＞0；根据同号得正判断即可．（2）运用完全平方公式，变形后，运用（1）的性质计算即可．（3）先对代数式作差后，分差值大于等于零和小于零，讨论计算即可．【小问1详解】∵a ＞2，∴a ＋5＞0；∵a ＞2，∴a －2＞0，a ＋7＞0，（a ＋7）（a －2）＞0，故答案为：＞，＞．【小问2详解】因为2a ＋2a －15＝2(1)a +－16，当a ＝1时，2a ＋2a －15＝－12，所以当a ＞1时，2a ＋2a －15＞－12．【小问3详解】先对代数式作差，（2a ＋5a －19）－（a ＋2）＝2a ＋4a －21＝2(2)a +－25，当2(2)a +－25＞0时，a ＜－7或a ＞3．因此，当a ≥3时，2a ＋5a －19≥a ＋2；当2＜a ＜3时，2a ＋5a －19＜a ＋2．【点睛】本题考查了不等式的性质及其应用，熟练掌握性质，灵活运用完全平方公式作差计算是解题的关键．【28题答案】【答案】（1）<=<，，（2）无论取什么值，总有244m m ≤+；理由见解析（3）222246x x x +≤++，理由见解析（4）当2x >-时，2337x x +>--；当2x =-时，2337x x +=--；当<2x -时，2337x x +<--．【解析】【分析】（1）当3m =时，当2m =时，当3m =-时，分别代入计算，再进行比较即可；（2）根据()()224420m m m +-=-≥，即可得出答案；（3）根据 ()()()222246220x x x x ++-+=+≥ ，即可得出答案；（4）先求出()()2337510x x x +---=+，再分当2x >-时，当2x =-时，当<2x -时分别进行讨论即可．【小问1详解】当3m =时，2412413m m =+=，，则244m m <+，当2m =时，24848m m =+=，，则244m m =+，当3m =-时，2412413m m =-+=，，则244m m <+，故答案为；<=<，，；【小问2详解】∵()()224420m m m +-=-≥，∴无论取什么值，总有244m m ≤+；【小问3详解】∵()()()222224624420x x x x x x ++-+=+=+≥+∴222246x x x +≤++；【小问4详解】∵()()2337510x x x +---=+，∴当2x >-时，51002337x x x +>+>--，，当2x =-时，51002337x x x +=+=--，，当<2x -时，51002337x x x +<+<--，．【点睛】本题考查了不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，整式的加减，实数大小的比较等知识点，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．【29题答案】【答案】（1）①70y -<<；②95x y -<+<（2）122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩【解析】【分析】（1）①结合题干给出的思路，根据5x y -=，可得5x y =+，结合2x >-，可得7y >-，即有70y -<<；②由①得：70y -<<，同理可得25x -<<②，问题随之得解；（2）结合题干给出的思路，可得555510a b y b ++<-<-①、63333b a x b ++<<-②，即有11883513b a x y b ++<-<-，结合103526x y -<-<，可得1188101326b a b ++=-⎧⎨-=⎩，解方程即可求解．【小问1详解】①5x y -= ，5x y ∴=+，2x >- ，52y ∴+>-，7y ∴>-，0y < ，70y ∴-<<，②由①得：70y -<<，255y ∴-<+<，即25x -<<②，7205y x ∴--<+<+，x y ∴+的取值范围是95x y -<+<；【小问2详解】1x y a -=+ ，1x y a ∴=++，x b <- ，1y a b ∴++<-，1y a b ∴<---，1y a b ∴->++，2y b > ，2y b ∴-<-，12a b y b ∴++<-<-，即()21b y a b <<-++，即555510a b y b ++<-<-①，105555b y a b ∴<<---，()21b y a b <<-++ 211b a y a b ∴++<++<-，21b a x b ∴++<<-，63333b a x b ∴++<<-②，∴①+②得：11883513b a x y b ++<-<-，35x y - 的取值范围是103526x y -<-<，1188101326b a b ++=-⎧∴⎨-=⎩，解得：122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证．【30题答案】【答案】（1）5；（2）m=1，n=-3，a=-1；（3）a的取值范围为1a>．【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程直接相加，整体代换求值；（2）通过对比得到关于m，n，a的方程组求值；（3）利用不等式的性质得到关于a的不等式，求出a的范围．【小问1详解】解：2324x y ax y a+=-+⎧⎨+=⎩①②，①+②得：3x+3y=3a+3，∵3x+3y=18，∴3a+3=18，∴a=5．故答案为：5；【小问2详解】解：∵（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，∴2521 (4)316m nm nm n a m+=-⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩，∴m=1，n=-3，a=-1；【小问3详解】解：已知关于x，y的不等式组2324x y ax y a+>-+⎧⎨+<⎩①②，①×3得：3x+6y＞-3a+9④，②×（-1）得：-2x-y＞-4a⑤，④+⑤得：x+5y＞-7a+9，∵x+5y=2，∴2＞-7a+9．∴a＞1．【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式，根据题意建立适当的方程和不等式是求解本题的关键．。

不等式及其性质教学讲义(新版教材)

不等式及其性质基础知识1．不等关系与不等式(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换.__不等号__思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a<b”与“a＝b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a<b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．2．比较两个实数大小的方法(1)画数轴比较法.(2)3．性质1a>b⇒a＋c>b＋c性质2__a>b，c>0⇒ac>bc__性质3__a>b，c<0⇒ac<bc__性质4a>b，b>c⇒a>c性质5a>b⇔b<a4．不等式性质的推论推论1__a＋b>c⇒a>c－b__推论2a>b，c>d⇒a＋c>b＋d推论3__a>b>0，c>d>0⇒ac>bd__推论4__a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n>1)__推论5a>b>0⇒a>b思考3：利用不等式性质应注意哪些问题？基础自测1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(B)A．a2>－a3>－a B．－a>a2>－a3C．－a3>－a>a2D．a2>－a>－a3解析：∵－1<a<0，∴1＋a>0,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3.故选B．2．给出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab.其中恒成立的个数是(D)A．0B．1C．2D．3解析：①对，a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0；②对，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；③对，a2＋b2－ab＝(a－b2)2＋34b2≥0.3．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等关系正确的是__(1)(4)__(填序号)．(1)a＋1>b－3；(2)ac>bc；(3)a2>b2；(4)a－b>0.4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是__a>－b>b>－a__.5．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为__m3>m2－m＋1__.解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.类型作差法比较大小┃┃典例剖析__■典例1比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．思路探究：在比较两个代数式的大小时，可采用作差法，再通过因式分解或者配方法判断差的符号，当不能直接得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定．解析：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a ＋b)．∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.归纳提升：比较两个代数式大小的步骤： (1)作差：对要比较大小的两个代数式作差． (2)变形：对差进行变形．(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． (4)作出结论．这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→判断符号→作出结论． ┃┃对点训练__■ 1．已知x ，y ∈R ，P ＝2x 2－xy ＋1，Q ＝2x －y 24，试比较P ，Q 的大小．解析：因为P －Q ＝2x 2－xy ＋1－(2x －y 24)＝x 2－xy ＋y 24＋x 2－2x ＋1＝(x －y 2)2＋(x －1)2≥0，所以P ≥Q .类型利用不等式的性质求范围 ┃┃典例剖析__■典例2 (1)已知－6<a <8,2<b <3，则2a ＋b 的取值范围是__(－10,19)__，a －b 的取值范围是__(－9,6)__.(2)已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．思路探究：(1)求a －b 的取值范围时，应先求出－b 的范围，再利用不等式的性质求解．(2)用f (1)和f (2)表示出a ，c .解析：(1)∵－6<a <8，∴－12<2a <16， ∴－10<2a ＋b <19， ∵2<b <3，∴－3<－b <－2， ∴－9<a －b <6.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f (1)，4a －c ＝f (2)得⎩⎨⎧a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝－43f (1)＋13f (2).则f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)．∵－1≤f (2)≤5，∴－83≤83f (2)≤403.∵－4≤f (1)≤－1，∴53≤－53f (1)≤203.∴－83＋53≤83f (2)－53f (1)≤403＋203，即－1≤f (3)≤20.归纳提升：利用不等式的性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答． (2)将所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件． (3)结合不等式的传递性进行求解． ┃┃对点训练__■2．在本例2(1)条件下，求ab 和ab 的取值范围．解析：①因为－6<a <8,2<b <3，所以当0≤a <8时，0≤ab <24，当－6<a <0时，0<－a <6，所以0<－ab <18，所以－18<ab <0，综上可知－18<ab <24.②因为－6<a <8,2b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >eb －d.思路探究：要证明e a －c >e b －d ，由于e <0，所以只需证明1a －c <1b －d .如果a －c 与b －d 同号，那么只需证明a －c >b －d ，从已知条件可以得到这个不等式，因此本题可证．解析：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )>0，即a －c >b －d >0，∴0<1a －c <1b －d .又∵e <0，∴e a －c >eb －d .2．利用比较法证明不等式典例4 设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.思路探究：要证明3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，即证3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)≥0即可．解析：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.归纳提升：1.简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．2．对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． ┃┃对点训练__■3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d . 解析：由题设知ab >cd >0，则ab >cd . 又a ＋b ＝c ＋d .则(a ＋b )2－(c ＋d )2＝(a ＋b ＋2ab )－(c ＋d ＋2cd )＝2(ab －cd )>0，即(a ＋b )2>(c ＋d )2，而a ＋b >0，c ＋d >0，故a ＋b >c ＋d . 易混易错警示忽略不等式性质成立的条件致错 ┃┃典例剖析__■ 典例5 给出下列命题：①若a bc －3，则a >b ； ③若a >b 且k ∈N ＋，则a k >b k ； ④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b .其中正确命题的序号是__④__.错因探究：在使用不等式的性质时，要考虑全面，否则会得出错误的结果，如①中易因没有考虑ab <0的情况，直接由a 1b ，从而判断①正确；③中易忽视a 与b 的符号，默认a ，b 同为正，即推出a k >b k ，造成错误．解析：①当ab <0时，1a >1b 不成立，故①不正确；②当c <0时，c 3<0，不等式ac －3>bc －3的两边同时乘以c 3，得a b >0⇒－a <－b <0⇒0<c －a <c －b ，同乘以1(c －a )(c －b )，得0<1c －b <1c －a，又a >b >0，∴a c －a >a c －b >b c －b，故④正确．误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”．还应特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”等情况．学科核心素养用不等式(组)表示不等关系 ┃┃典例剖析__■构造不等式模型时，先要分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，再根据题目中的不等关系，即可列出不等式．注意不等式与不等关系的对应，要不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的范围．典例6 糖水在日常生活中经常见到，下列关于糖水浓度的问题，能提炼一个怎样的不等式呢？(1)向一杯糖水里加点糖(假设糖全部溶解)，加糖后更甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡．思路探究：糖水变浓、变淡与浓度有关，所提炼的不等式即为浓度的大小比较．解析：(1)设糖水为b 克，含糖a (b >a )克，则糖水的浓度为ab ，加入m 克糖后糖水的浓度为a ＋mb ＋m.提炼出的不等式：若b >a >0，m >0，则a b <a ＋mb ＋m .(2)设淡糖水为b 1克，含糖a 1(b 1>a 1)克，则糖水的浓度为a 1b 1；浓糖水为b 2克，含糖a 2(b 2>a 2)克，则糖水的浓度为a 2b 2.故混合后的糖水浓度为a 1＋a 2b 1＋b 2.提炼出的不等式：若b 1>a 1>0，b 2>a 2>0，且a 1b 1<a 2b 2，则a 1b 1<a 1＋a 2b 1＋b 2<a 2b 2. 归纳提升：用不等式表示不等关系的步骤：(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．课堂检测·固双基1．下列说法正确的是( C )A ．某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x >y ”C ．某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ”D ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ”解析：对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 不正确；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为y ≤a ，故D 错误． 2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( B ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >b dD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立． 3．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__－1__. 解析：由x 2>1得x >1或x <－1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则{x |x <a }{x |x >1或x <－1}，则a ≤－1，故a 的最大值为－1.4．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是__m ≥n __. 解析：m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.5．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .解析：a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，∴x a >y b ，∴a x <by ，故a x ＋1<by＋1，即0<x ＋a x <y ＋b y ，∴x x ＋a >y y ＋b.A 级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( A ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD ．P ≤Q解析：P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2a －2b －2c ＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0.∵a ，b ，c 不全相等，∴P －Q >0，∴P >Q .2．若不等式a >b 与1a >1b 同时成立，则必有( C )A ．a >b >0B ．0>1a >1bC ．a >0>bD ．1a >1b>0解析：若a >b >0，则1a <1b ，同理0>a >b 时，1a <1b ，所以只有当a >0>b 时，满足1a >1b .3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( C ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 4．若－1<α<β<1，则下列不等式恒成立的是( A ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1，－2<α－β<2，又∵α<β，∴α－β<0，－2<α－β<0.5．已知a >b >c ，则1a －b ＋1b －c ＋1c －a 的值( A )A ．为正数B ．为非正数C ．为非负数D ．不确定解析：因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0，a －c >b －c >0，所以1a －b >0，1b －c >0，1a －c <1b －c ，所以1a －b ＋1b －c －1a －c >0，所以1a －b ＋1b －c ＋1c －a 的值为正数．二、填空题(每小题5分，共15分)6．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为__x 1＋x 2≤12__.解析：∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.7．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b 成立的是__①②④__(填序号)．解析：1a <1b ⇔b －a ab<0，所以①②④能使它成立．8．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为__8(x ＋19)>2_200__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__8xx －12>9__. 解析：(1)原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200.(2)若每天行驶(x －12)km.则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8xx －12>9.三、解答题(共20分)9．(10分)(1)已知a b ，1a <1b，求证：ab >0.解析：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a 0，ab >0.∴(b ＋a )(b －a )ab <0.故b a <a b .(2)∵1a <1b ，∴1a －1b<0，即b －a ab<0，而a >b ，∴b －a <0，∴ab >0. 10．(10分)已知a >b >0，c <d <0，比较b a －c 与ab －d 的大小．解析：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴1b －d >1a －c >0，又a >b >0，∴a b －d >b a －c. B 级素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( A ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，所以c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2，因为1＋a 2－a ＝(a －12)2＋34>0，所以1＋a 2>a ，所以b ＝1＋a 2>a ，所以c ≥b >a .2．已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是( A )A ．[1,7]B ．[－5,13]C ．[－5,7]D ．[1,13]解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β)＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α，β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，v ＝2.由题意得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.故选A ．二、多选题(每小题5分，共10分) 3．已知1a <1b <0，给出下列四个结论：①a |b |；④ab 0，所以a ＋b <ab ，正确；③因为b <a <0，所以|a |>|b |不成立；④ab －b 2＝b (a －b )，因为b <a <0，所以a －b >0，即ab －b 2＝b (a －b )<0，所以ab 0，则c a －d b>0 B ．若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0 C ．若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0 D ．若1a <1b <0，则1a ＋b <1ab解析：A 中，∵ab <0，∴1ab <0，又∵bc －ad >0，∴1ab ·(bc －ad )<0，即c a －d b<0，故A 不正确；B 中，∵ab >0，c a －d b >0，∴ab (c a －d b )>0，即bc －ad >0，故B 正确；C 中，∵c a －d b >0，∴bc －ad ab>0，又∵bc －ad >0，∴ab >0，故C 正确；D 中，由1a <1b <0，可知b <a <0，∴a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b<1ab成立，故D 正确．故选BCD ．三、填空题(每小题5分，共10分)5．若a >b >c ，则1a －b ＋1b －c __>__3a －c(填“>”“＝”或“<”)．解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴1a －b ＋1b －c －3a －c＝(a －b ＋b －c )(a －c )－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )＋(b －c )]2－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )－(b －c )]2＋(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )>0， ∴1a －b ＋1b －c >3a －c.6．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d 0，得b >d ，又d >c ，故a <c <d A >B >D .证明如下：C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a ＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a， ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a＝a (a 2－a －1)1－a ＝a [(a －12)2－54]1－a， ∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .。

七年级下数学不等式知识点

七年级下数学不等式知识点在七年级下学期数学中，不等式是一个十分重要的知识点。

在这篇文章中，我们将深入了解不等式的定义、性质和解法。

一、不等式的定义不等式是一种数学语句，表示两个数的大小关系。

通常用大于号（>）、小于号（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号来表示不等式。

例如，2 > 1 表示2大于1，3 < 4 表示3小于4，5 ≤ 5 表示5小于等于5。

二、不等式的性质1. 传递性：如果a > b，b > c，则a > c。

2. 对称性：如果a > b，则b < a。

3. 加减性：如果a > b，则a + c > b + c；如果a < b，则a + c <b + c。

4. 乘除性：如果a > 0 且b > 0，则a × b > 0；如果a > b 且c > 0，则a × c > b × c；如果a > b 且c < 0，则a × c < b × c。

5. 反比例关系性质：如果a > b 且c > 0，则a/c < b/c；如果a >b 且c < 0，则a/c > b/c。

三、不等式的解法1. 移项法：把不等号两边的式子移项，使得未知量在一边，常数在另一边。

例如：3x - 2 > 4x + 1，把4x移到左边，把1移到右边，得到x < -3。

2. 加减法：把不等式两边加上或减去相同的数。

例如：2x + 1 < 5x - 2，把2x移到右边，把1移到左边，得到-x < -3，再把不等式两边乘以-1，得到x > 3。

3. 乘除法：如果对不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；如果对不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向翻转。

例如：-2x + 1 > 5，把不等式两边加上-1，得到-2x > 4，再把不等式两边乘以-1/2，得到x < -2。