4-5不等式的基本性质
高中数学-选修4-5不等式的基本性质
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
性质7 如果 a > b>0, 那么an bn.(n N, n 1)
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 a b ab0 a b ab0 a b
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例4：已知12 a 60,15 b 36,求a b 及 a的取值范围。
b
例5：已知f (x) ax2 c,且 4 f (1) 1, 1 f (2) 5,求f (3)的取值范围。
a>b b<a
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以1
ab
得 a
1
＞b得1
> ，
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0＞,所c 1以b
,正确.
a＞b ca cb
(3)由 a ＞,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb＞c0且，c所d以>0ac或dd＞a0bd，c＞<0b，或c且accddd＜<0b.c0＜, 0，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆 的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然 成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的 正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一 作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么? 提示:常用作差比较法.
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
f1＝a＋b， ∴ f－1＝a－b.
1 a＝2[f1＋f－1]， ∴ b＝1[f1－f－1]. 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4. ∴6≤f(－2)≤10.
法二：设 f(x)＝ax2＋bx， 则 f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b. 令 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
[精讲详析] 本题考查对不等式的性质的理解， 解答本题 需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断． (1)错误．因为当取 a＝4，b＝2，c＝6 时，有 a＞b，c＞ b 成立，但 a＞c 不成立． a (2)错误．因为 a、b 符号不确定，所以无法确定b＞1 是 a 否成立，从而无法确定 lgb＞0 是否成立．
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2
北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
人教B版数学选修4-5课件：1.1.1 不等式的基本性质
②作差法或作商法; ③函数的单调性.
(2)在直接利用不等式的性质证明不等式时,特别注意以下几点:
①是不是同向不等式; ②此性质是不是可以逆用.
题型一 题型二 题型三 题型四
易错辨析
易错点:由于多次应用同向不等式相加(乘)法则导致变量的取值
范围扩大.
【例4】 已知f(x)=mx2-n,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值
对于④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时,ac>bd 不成立;
对于⑤,当 cd 不一定大于 0,故不正确.
答案:②
1.使用不等式的性质时要注意哪些问题?
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号,而另
一个不带等号,那么等号是不能传递的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘(除)中,要特别注意乘(除)数的符号.
.
解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1>0,
即(x2-x)-(x-2)>0.
所以x2-x>x-2.
答案:x2-x>x-2
【做一做1-2】 设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足
的条件为
.
解析:∵x>y,
范围.
错解:依题意,有
-4 ≤ ������-������ ≤ -1, -1 ≤ 4������-������ ≤ 5,
加减消元,得0≤m≤3,1≤n≤7,
从而,得-7≤f(3)=9m-n≤26,即f(3)的取值范围是[-7,26].
题型一 题型二 题型三 题型四
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1.不等式的基本性
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．已知x，y均为正数，设m＝x ＋y，n＝x＋y，试比较m和n的大小．两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝＋－4xy＋＝－＋，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b2≥0. 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a4，B 点对应的实数为1，试判断A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a29＋a4－1＝－－9＋a4≤0，所以6a29＋a4≤1. 当且仅当a ＝±3时，等号成立，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合.已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：a －c >b －d .可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． 法一：e a －c －eb －d＝－d －a ＋－－＝－a ＋c －－－，∵a >b >0，c <d <0，∴b －a <0，c －d <0.∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0.同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴－a ＋c －－－>0，即e a －c >eb －d . 法二：⎭⎪⎬⎪⎫c<d<0⇒－c>－d>0a>b>0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c>b －d>0⇒1a －c <1b －d e<0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y . 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y )＝(1－y )(xy －1)(x －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 所以x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y .4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，所以x a >y b ，所以a x <by .故a x ＋1<b y ＋1，即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.(1)已知－π2≤α≤β≤2，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围． 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． (1)∵－π2≤α≤β≤π2， ∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b .解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α＋β，－3≤32α－β－32⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.6．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求ba 的取值范围．解：两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，①b a ≤1＋c a ≤2·ba ，②将②×(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32. 课时跟踪检测(一)1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a>3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d－c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b ；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b2a ＋a2b≥a ＋b . 证明：∵b2a ＋a2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝－＋ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴－＋ab≥0.∴b2a ＋a2b≥a ＋b . 9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，ab 的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2. 又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤ab <4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab＜0.综合①②得－3<ab<4.∴2a ＋b ，a －b ，ab的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。
【人教版】高中数学选修4-5第1讲不等式和绝对值不等式课堂练习
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．lg 6，＋∞)
D．3lg 2，＋∞)
解析：因为 lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而 xyz≤x＋3y＋z3＝23， 所以 lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当 x＝y＝z＝2 时，取等号． 答案：B 4．已知 x＋2y＋3z＝6，则 2x＋4y＋8z 的最小值为( )
(3)当 a＝1，b＝－2，k＝2 时，显然命题不成立．所以是假命题．
(4)取 a＝2，b＝0，c＝－3 满足 a＞b，b＞c 的条件，但是 a－b＝2＜b－c
＝3.所以是假命题．
10．已知 a＞b＞0，比较ba与ba＋＋11的大小．
解：ab－ab＋＋11＝a（b＋b1（）b－＋b1（）a＋1）＝b（ab－＋b1）.
A．a－b＞0
B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0
D．a＋b＜0
解析：当 b≥0 时，a＋b＜0，当 b＜0 时，a－b＜0，所以 a＋b＜0，
故选 D.
答案：D
4．(2015·浙江卷)设 a，b 是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：y＝3－3x＋1x≤3－2 3，
当且仅当 3x＝1x，即 x＝ 33时，等号成立．
所以 ymax＝3－2 3. 答案：3－2 3 7．已知函数 f(x)＝2x，点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，那么 f(a)·f(b) 的最小值是________． 解析：点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，所以有 ab＝1. 因为 a＞0，b＞0，所以 f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22 ab＝4， 当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立． 答案：4 8．当 x＞0 时，f(x)＝x22＋x 1的值域是________． 解析：因为 x＞0，所以 x＋1x≥2，所以 0＜x＋1 1x≤12. 所以 0＜x＋2 1x≤1. 又因为 f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x， 所以 0＜f(x)≤1，当且仅当 x＝1 时，等号成立．故 f(x)的值域是(0，1]． 答案：(0，1] 三、解答题 9．已知 x＜0，求 2x＋1x的最大值． 解：由 x＜0，得－x＞0， 得－2x＋－1x≥2 （－2x）－1x＝2 2， 所以 2x＋1x≤－2 2，
人教新课标A版选修4-5第一讲1.1.1不等式的基本性质
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
20
即
11
33
< <3.
答案:(27,56)
20
11
,3
<
<
84
28
,
典型例题领会
-21-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
题型四
反思本题不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围,应严
格利用不等式的基本性质去求得取值范围.在有些题目中,还要注
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
(6)如果 a>b>0,那么 > (n∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论根据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:① 作差;② 变形;③ 判断符号;④ 下结论.
典型例题领会
-5-
学习目标导引
-17-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
-18-
题型四
用作差法比较大小
【例 2】当 a≠0 时,比较(a2+ 2a+1)(a2- 2a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)
的大小.
分析:比较两个数(式)的大小,将两数(式)作差,若差值为正,则前者
大;若差值为负,则后者大.
1
1
1
高三数学第一轮复习：4-5 第一章 不等式的基本性质(理)人教实验B版 知识精讲
高三数学第一轮复习：4－5 第一章 不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
教学设计 选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计
教学设计选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计本教学设计旨在帮助学生掌握不等式的基本性质，理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义。
教学目标包括理解不等式研究的基础，掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，分析法证明简单的不等式。
教学重点为应用不等式的基本性质推理判断命题的真假，利用不等式的性质求范围。
教学难点在于灵活应用不等式的基本性质。
引入部分介绍了现实世界中的不等关系，说明了本章知识的地位和作用。
不等式的基本性质部分分为六个小点，包括实数的运算性质与大小顺序的关系，对称性、传递性、可加性、可乘性、乘、开方法和倒数性质。
通过例题演示了“差比法”的应用，引导学生灵活运用不等式的基本性质。
本教学设计的目的是帮助学生全面掌握不等式的基本性质，理解实数大小的比较方法，能够应用不等式的基本性质推理判断命题的真假，利用不等式的性质求范围。
1.差比法和商比法是比较大小的常用方法。
差比法指如果A减去B大于0，则A大于B；如果A减去B等于0，则A 等于B；如果A减去B小于0，则A小于B。
商比法指如果A和B都大于0，则A除以B大于1，则A大于B；如果A 除以B等于1，则A等于B；如果A除以B小于1，则A小于B。
2.在命题判断中，第一题中的命题错误，因为无法确定c 和d的大小关系；第二题中的命题正确，因为如果a除以b大于1，则a大于b；第三题中的命题错误，因为无法确定a和b的大小关系；第四题中的命题错误，因为无法确定c和d的大小关系；第五题中的命题正确，因为如果a小于b小于c，则a小于c。
3.在例3中，已知c大于a大于b大于0，可以通过分析得出证题思路。
因为a除以c大于b除以c，所以a减去b除以c减去b大于0，即(a-b)/(c-b)大于0.又因为c减去a除以c 减去b小于1，即(c-a)/(c-b)小于1.因此，可以得出a小于c乘以b除以a小于b小于c。
4.在例4中，已知-π/2小于等于α小于β小于等于π/2，需要求α加β除以α减去β除以2的范围。
5.1不等式的基本性质 课件(人教A版选修4-5)
(1) a b b a (对称性) (2) a b, b c a c (传递性) (3) a b a c b c (加法法则) (i ) a b c a c b.
(ii ) a b, c d a c b d
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
作业：P 2. 3
补充 已知a > 0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试 比较a、b、c的大小。
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。 思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1， -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c，给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)若a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.
2. 在三角形ABC中, A-B 的取值范围是 ( , ) ______________.
x y a b 3.若a、b、x、y∈R,则 是 ( x a)( y b) 0
x a y b 成立的（ C ）
A. 充分不必要条件
C. 充要条件 4. P 2. 2
1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应 的点分别为A, B，那么, 当点A在点B的左 边时, a<b; 当点A在点B的右边时, a>b。 AHale Waihona Puke a a< b B bx
5.1.2不等式的基本性质(2) 课件 (人教A版选修4-5)
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
不等式的基本性质
（ ）a b b a(对称性）； 1 单向性 （2）a b, b c a （传递性） c ; 双向性 （3）a b a c b （可加性） ; a b,c d a c b d ; （4）a b,c 0 ac bc;a b,c 0 ac bc; a b 0,c d 0 ac bd ; n b n ; （5）a b 0,nN ,n 1 a （6）a b 0, n N , n 1 n a n b .
（1）1-x （2）x(1-x) 解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以 做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运 算。本题常见的错误是将取值范围扩大。 变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的 取值范围.
1 1 1 a 0, A 1 a 2 , B 1 a 2 , C ,D , 1 a 1 a 例5、已知 2 则A、、B、C、 的大小关系是 （ ）
例1已知a b 0，c d 0,求证 a d b . c
e e 例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求证： a c bd
【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能
自己“制造”性质来进行．
例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范围.
选修4-5不等式知识点
第1课时课时 不等式的性质不等式的性质 [探索研究]1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 0>-Û>b a b a0=-Û=b a b a 0<-Û<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质（、不等式的基本性质（66个）： [参考习题]1、若a 、b 、x 、y ∈R ，则()()0x y a b x a y b +>+ìí-->î是x a y b>ìí>î成立的（成立的（ ））A. A. 充分不必要条件充分不必要条件充分不必要条件B. B. B. 必要不充分条件必要不充分条件必要不充分条件C. C. 充要条件充要条件充要条件D. D. D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2、已知2()f x ax c =+，且4(1)1f -££-，1(2)5f -££，求f(3)f(3)的取值范围。
的取值范围。
的取值范围。
3、已知a>0a>0，，2220a ab c -+=，2bc a >，试比较a 、b 、c 的大小。
的大小。
第2课时课时 基本不等式基本不等式 [探索研究]1、定理1：如果R b a Î,，那么ab b a 222³+（当且仅当b a =时取“时取“==”） 2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ³+2（当且仅当b a =时取“时取“==”） 3、已知x, y 都是正数。
则都是正数。
则（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2p ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值214s[参考习题]1、当x 取什么值时，函数2294xx y +=有最小值？最小值是多少？有最小值？最小值是多少？ 2、求函数1622++-=x x x y （0³x ）的最小值。
2012届数学人教A版4-5教案001不等式的基本性质
不等式的基本性质备课人：闵党生 授课班级： 累计课时数：1 授课时间：知识目标：1、掌握根据两个实数之差的符号来判断两个实数的大小的基本方法 2、掌握不等式的基本性质，并灵活的运用3、运用作差法及不等式基本性质证明简单的不等式 能力目标：培养逻辑思维和推理能力 情感目标：培养学生科学的世界观 教学过程：一、导入在现实生活中，相等是偶然的，而不等却是普遍存在的，在数学中我们用不等式来表示不等关系，这节课我们就来研究一下不等式的基本性质.首先，我们要了解什么是不等式呢？（板书）用不等号连接的代数式 我们接触过的不等号有哪些？（板书）根据不等式成立的情况，我们可以将它分成以下几类：＞、＜、≥、≤、≠ 二、新课（一）不等式的分类如20x ≥，7＞5，这类不等式无论在什么情况下，它都成立，我们称它为绝对不等式. 如210x -<，5＞7，这类不等式与刚才的情况恰恰相反，它们始终不成立，我们称它为矛盾不等式.在比方说，520x -≥，25x -<这类不等式我们平时遇到的比较多，这些不等式当字母取某些范围的值时它才成立，换句话说，它的成立是有条件的，我们称其为条件不等式. （板书）绝对不等式：20x ≥，7＞5，矛盾不等式：210x -<，5＞7，条件不等式：520x -≥，25x -<下面我们来研究一下如何比较两个数的大小如果给你两个数3和5，你是怎么判断出5＞3？我们通常会考虑它们的差是几，由于5-3=2，我们说5比3大.因此得到（板书）0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<这是不等式的基本原理.（板书） （二）不等式的基本原理假如给你的不是两个确定的数，而是含有字母的代数式，我们该如何比较它们的大小 例题1.比较(3)(7)x x ++和(4)(6)x x ++的大小.分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系. 解：略变式训练1.比较22a b +与2(2)5a b --的大小.解：[]222(2)5a b a b +---224421a a b b =-++++ ()()2221a b =-++当2a =且1b =-时，22a b +=2(2)5a b --； 当2a ≠或1b ≠-时，22a b +＞2(2)5a b --.变式训练备选题1.设0x y +>，比较33x y +与22x y xy +的大小（作差法：过程略） 点评：比较两个代数式的大小，我们通常利用“求差法”，“求商法”，“媒介法”，和“函数的单调性”，,a b b c a c >>⇒>，以b 为桥梁，间接地比较a 与c 的大小的方法，再根据差的符号来判断大小，如果遇到符号不确定的，还要分情况讨论. （三）不等式的基本性质下面我们来研究不等式具有哪些基本性质？已经请大家预习过了，我请同学来说一下. 定理1：如果b a >,那么a b <,如果a b <,那么b a >.(对称性)即a b b a <⇔>证明: ∵b a >,∴0>-b a ,由正数的相反数是负数,得0)(<--b a ,即0<-a b ∴a b <(定理的后半部分略)点评：定理1即 a b b a <⇔>定理2：如果b a >且c b >,那么c a >.(传递性)即c a c b b a >⇒>>,证明：∵c b b a >>,,∴0,0>->-c b b a根据两个正数的和仍是正数得0)()(>-+-c b b a 即0>-c a∴c a >点评：(1)根据定理l,定理2还可以表示为a c a b b c <⇒<<,;(2)不等式的传递性可以推广到n 个的情形.定理3：如果b a >,那么c b c a +>+.即c b c a b a +>+⇒>(加法性质)证明：∵b a >∴0>-b a∴0)()(>+-+c b c a 即c b c a +>+点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3可以得出,如果c b a >+,那么b c a ->,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.推论：如果b a >且d c >,那么d b c a +>+(相加法则) 即d b c a d c b a +>+⇒>>, 证法一：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a d b c a +>+点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：如果b a >且0>c ,那么bc ac >；如果b a >且0<c ,那么bc ac <.(乘法性质) 证明：∵c b a bc ac )(-=-∵b a >,∴0>-b a当0>c 时,0)(>-c b a 即bc ac >；当0<c 时,0)(<-c b a 即bc ac < 推论1: 如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >.(相乘法则)证明：,0a b c >> ac bc ∴> ①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >.说明： (1)所有的字母都表示正数，如果仅有,a b c d >>，就推不出ac bd > 的结论.(2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.定理5: 若0,(1)n na b a b n N n >>>∈>则且.说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意N n ∈1n >且的条件,如果0>>b a ,那么nn b a >(N n ∈且1>n ).定理6: 若0>>b a ,则nnb a >(N n ∈且1>n ).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,即<=所以不能仅仅否定了<就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.证明：假定n a 不大于n b ,<n n b a =，由推论2和定理1,时,有a b <；当n n b a =时,显然有b a =这些都同已知条件0a b >>>点评：反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论.例题2.已知0,0a b c d >>>>>.分析：观察要证的不等式，联系性质（6），可知关键是要证明a b d c>.为此先证明11dc>.证明：略变式训练2.证明：1)1...<++<证明：<<，∴<<.1)1...∴<++<变式训练备用题2.判断下列命题的真假，并说明理由.1.若a b a +>，则0b >.（真）；2.若22a bc c>，则b a >.（真）3.若a b c >，则ca b >.（假）；4.若b a >，d c >，则a c b d ->-.（假）5.若0a b <<，则11a b a b->-.（真）三、小结掌握不等式的基本性质及其简单的运用. 四、作业 教材P 9第1-4题 备课资料：1.如果a b >，b c >那么a c >（传递性）2.如果b a >，d c >，那么d b c a +>+（同向不等式可加性） 证明一：（作差法）()()()()a c b d a b c d +-+=-+-00a b c d ->->()()0a c b d +-+> a c b d ∴+>+证明二：（利用不等式性质）a b a c b c a c b d c d b c b d >⇒+>+⎫⇒+>+⎬>⇒+>+⎭（要求写出每一步用了哪一条性质）接着，我们来研究不等式的乘法性质.3.如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >.（正数同向不等式可乘性）00a b ac bc c ac bd c d bc bd b >⎫⎫⇒>⎬⎪>⎭⎪⇒>⎬>⎫⎪⇒>⎬⎪>⎭⎭如果缺少“大于零”的条件，还成立吗？请给出反例. 可见，“大于零”的条件是不可少的，在与乘法有关的性质中，符号是很重要的. 接着，我们研究一下b a >时1a与1b不等关系.这时会出现几种情况：0a b >>时，11a b<；0a b >>时，11ab>；0a b >>时，11ab<可以归纳出：若b a >且a 、b 同号，那么11a b<.( 同号两数的倒数性质)4.若b a >且0>ab ,则11.ab<(倒数性质)证明：aba b ba -=-11，0,>>ab b a 又，11 0,0b a b a abab-∴-<-=<，ba11<∴备用题目：考点一：不等式的概念和性质 1．(2010·石家庄质检)下列命题中正确的是 ( )A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜b C ．若ac ＞bc ，则a ＞b D ．若a ＜b ，则a ＜b解析：A 错，例如(－3)2＞22；B 错，例如12＞1－3；C 错，例如当c ＝－2，a ＝－3，b ＝2时，有ac ＞bc ，但a ＜b . 答案：D2．给出下列几个命题：①若a ＞b ＞0，则1a ＞1b ；②若a ＞b ＞0，则a －1a ＞b －1b ；③若a ＞b ＞0，则2a ＋b a ＋2b ＞a b.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)解析：①在a ＞b ＞0两端同除以ab 可得1b ＞1a ，故①错；②由于(a －1a )－(b －1b )＝(a －b )(1＋1ab)＞0，故②正确；③由于2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＜0，即2a ＋b a ＋2b ＜ab，故③错．答案：②考点二：实数(式)比较大小 3．(2010·成都模拟)若0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．(1－a )1b ＜(1－a )b B ．(1＋a )a ＞(1＋b )bC ．(1－a )b＞(1－a )b2 D ．(1－a )a ＜(1－b )b解：由于0＜a ＜b ＜1，所以0＜1－a ＜1，1b ＞b ，且函数y ＝(1－a )x 在R 上为减函数，所以(1－a )1b(1－a )b 成立．由于b ＞b 2＞0，所以C 不成立；对于B ，由于0＜a ＜b ＜1，所以(1＋a )a ＜(1＋b )a＜(1＋b )b ，故B 也不成立．对于D ，由于(1－b )b ＜(1－b )a，而(1－a )a (1－b )a ＝(1－a 1－ba ，因为0＜1－b ＜1－a ＜1，所以1＜1－a 1－b ，(1－a 1－b)a＞1，所以(1－a )a ＞(1－b )a ，所以(1－a )a ＞(1－b )b ，故D 也不成立，选A .4．(1)若x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．(2)设a ＞0，b ＞0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a的大小．解：(1)∵(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)∵a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b)a －b .当a ＞b ＞0时，a b 1，a －b ＞0，则(ab)a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a ；当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b ＜0，则(ab)a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a .综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b ＞a b b a. 考点三：求数(式)的取值范围 5．(2010·湖南模拟)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围．( )A ．(－132，172)B ．(－72，112)C ．(－72，132)D ．(－92，132)解析：解法一：∵－1＜a ＋b ＜3，∴－2＜2a ＋2b ＜6.① 又⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋b ＜3，－4＜b －a ＜－2.，∴－52＜b ＜12.②由①②得－92＜2a ＋3b ＜132.解法二：可转化为线性规划问题．答案：D6．已知6≤a ≤10，12a ≤b ≤2a ，c ＝a －b ，求c 的取值范围．解：∵12a ≤b ≤2a ，∴－2a ≤－b ≤－12a ，∴－a ≤a －b ≤12.∵c ＝a －b ，∴－a ≤c ≤12，而且是6≤a ≤10,3≤12a ≤5.∴c ≤12a ≤5.①∵－10≤－a ≤－6，∴c ≥－a ≥－10.② 由①②，得－10≤c ≤5.考点四：利用不等式性质证明不等式7．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c ＞eb －d.证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0.又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0，∴1a －c ＜1b －d . 又∵e ＜0，∴e a －c ＞eb －d.8．设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.证明：∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0.∴1a －b ＞1a －c＞0.∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c ＞0.∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 1.若x ＞y ，且a ＞b ，则在(1)a －x ＞b －y ；(2)a ＋x ＞b ＋y ；(3)ax ＞by ；(4)x －b ＞y －a ；(5)a y ＞b x，这五个式子中恒成立的不等式的序号是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞y ，a ＞b ，得a ＋x ＞b ＋y ，而－b ＞－a ，同理可得x －b ＞y －a .答案：(2)(4)。
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(2)( n 1)3 ( n 1)3与2(n 0)
6
6
谢谢观看！ 2020
b b)
0
是
x
y
a b
成立的（ C ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
（（12））若若ca>>ab>, b1>0，1 则，c则aaa>0，cbb<b0。（（真真命命题题））
ab
6.比 较 大 小
(1)(a2 2a 1)(a2 2a 1)与(a2 a 1)(a2 a 1)(a 0)
(异向相减)
(4)如果a >b, c <0,那么ac<bc. (乘法法则)
如果a b 0,c d 0,那么ac bd .
(5)如果a b 0,那么an bn(n N,n 2).
(乘方法则)
(6)如果a b 0,那么n a n b(n N,n 2).
(开方法则)
(7)如果a >b > 0,那么0< 1 < 1 ; ab
的 正 确 命 题 的 个 数D是
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.已知0 x y a 1,则有 D
A.loga ( xy) 0 B.0 loga ( xy) 1 C .1 loga ( xy) 2 D.loga ( xy) 2
4、若a、b、x、y∈R，则(xxya)(ay
不等式的基本性质:
(1)a >b ⇔b < a (对称性)
(2)a >b,b>c ⇔a >c (传递性)
(3)如果a b, 那么a c b c. (加法法则) (i)如果a b c,那么a c b. (ii)如果a b,c d ,那么a c b d .
(同向相加)
(iii )如果a b,c d ,那么a c b d .
(3)若a b 0, c d 0,则ac bd ,(4)若a b,则
b b x "这四个命题中,正确的个数是 C
a ax A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.已知三个不 等式: ab 0, bc ad 0, c d 0 ab
(其中a, b, c, d均为实数),用其中两个 不等式作为 条件, 余下的一个 作为结论组成一个命题, 可组成
如果a <b < 0,那么1 < 1 < 0; ba
例2
已知a b 0,c d 0,求证
a d
b c
证明: c d 0,cd 0,c d 0, 1 0, 1 1 c d 0
cd
d c cd
1 1 0, 又a 0, a a 0, ①
dc
dc
又 a b 0, 1 0, a b 0, ②
选修4-5 不等式选讲
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分 别为A,B那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点 A在点B的右边时,a>b
A
B
a
b
x
a<bB源自Abax
a>b
abab0 a b ab 0 abab0
例1 比较( x 3)( x 7)和( x 4)( x 6)的大小.
c
cc
由①②可得
a b 0, dc
a d
b c
例3 已知 - ,求 ， 的取值范围。
2
2
22
变式：已知 - 6 a 8,2 b 3,分别求a b, a 的取值范围 b
练习:
1.在"(1)若a b,则 1 1 ,(2)若ac2 bc2 ,则a b, ab