数学精英解平面向量、数列题

(5) 数学精英解“平面向量”题1.（湖北卷第2题）将⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为 A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 解答：看向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D.答案为A.【说明】 口诀是经验的总结.直用口诀可不讲道理.沿向量a =(m,n)移动y=f(x)图象的结果是y-n=f(x-m) (同旁相减) 或y=f(x-m)+n (异旁相加) 2.（北京卷第4题）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且OC OB OA ++2=0，那么A ．OD AO = B.OD AO 2= C.OD AO 3= D.OD AO =2 解答：.,2OD AO OD OC OB ==+因此 答案A.3.（湖南卷第4题）设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有 （ ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b解答： f (x )的图象是一直线，则f (x )是x 的一次式.而f (x )展开后有x 的二次-x 2a ·b ，故-a ·b=0⇒a ⊥b ，故选A.4.（全国卷Ⅰ第3题）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向D ．平行且反向解答：05665=⨯+⨯-，即a ·b =0. 答案为A.5.（浙江卷第7题）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ．22<+b a b解答： +=a b b ,∴|a+b |2=|b |2,即(a+b )2=b 2,整理得a ·b =-21|a |2. ∴（|a +2b |-|2b |）2=a 2+4a ·b =-|a |2<0,∴|a +2b |<|2b |. 答案为C.6.（全国卷Ⅱ第5题）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31 (C) -31 (D) -32解答： 1222()33AD DB CD CA CB CD CD CA CB =⇒-=-⇒=+，故选A【说明】 本题在正常运算的情况下，基本不会出现错误，除非在马虎大意的情况下，将向量“移项”过程中没有变号. 7．（全国卷Ⅱ第9题）把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x -3+2 (B) e x +3-2 (C) e x -2+3 (D) e x +2-3 解答： 按“左加右减，上加下减”法则和所给向量易知，答案为C. 【说明】 如果法则和向量平移问题连接不好，易选错为A 或B 或D. 8.（天津卷第10题）设两个向量22(2cos)λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ．[-6,1]Ｂ．[48]，Ｃ．[-1,1]Ｄ．[-1,6]解答： 由题意知λ+2=2m ， ①α+=α-λsin 2cos 22m , ②由①得.22mm -=λ 由①②得,3sin 2sin 4cos sin 294222-α+α-=-α+α=-m m ∴-6≤4m 2-9m ≤-2.∴41≤m ≤2. ∴]1,6[22-∈-=λmm 答案为A. 【说明】 两个参数的比值转化为只含一个参数，再求其范围.9.（重庆卷第10题）如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，0,4||||||||=∙=∙=∙+∙DC BD BD AB DC BD BD AB ，则AC DC AB ∙+)(的值为（ ） Ａ．2Ｂ．22Ｃ．4Ｄ．42DCAB题（10）图解答： 由,4|)||(|||,4|)||(|||=+⋅=++DC AB BD DC AB BD 以及 得.2||||||=+=DC AB BD∴.42|)||(|2)()()(222222==+=+⋅⋅+=+⋅+⋅+⋅+⋅+=++⋅+=⋅+DC AB DCDC AB AB DC BD DC AB DC DC AB BD AB AB DC BD AB DC AB AC DC AB答案为C.【说明】 向量积的简单运用.10.（辽宁卷第3题）若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且b b a b a a c ⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-=，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．0B ．6π C ．3πD ．2π解答： 0=∙-∙=⎪⎭⎫⎝⎛∙∙∙-∙=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-∙=∙a a a a b a a a b a a a b b a b a a a c a . 则a 与c 的夹角为2π. 答案为D.11.（辽宁卷第6题）若函数y=f(x)的图象按向量a 平移后，得到函数y=f(x+1)-2的图象，则向量a =( )A ．（-1，-2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（1，2） 解答： 由y=f(x+1)-2，得y+2=f(x+1)，可知它是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位，再向下平移两个单位得到的，所以向量a =（-1，-2）.答案为A.12.（福建卷第4题）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a ·b=0，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a ·b=a ·c ，则b =c解答： 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ∙b =0， 对于C ，a 2=b 2只能推得|a |=|b |，而不能推出a =±b . 对于D ，a ∙b = a ∙c 可以移项整理推得a ⊥(b - c ). 答案为B.数学精英解“数列”题1．（广东卷第5题）已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k =（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6解答： B 此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k -10<8得到k =8.2．（天津卷第8题）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8解答： 由题意得，a n =（n +8）d ,a k k a a 212=, ∴（k +8）2d 2=9d (2k +8)d .∴k =4. 答案为B.3．（湖北卷第6题）若数列{a n }满足∈=+，n p p a a nn 为正常数(221N*),则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列.则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解答：p a a nn ±=+1，所以此数列{a n }并不是等比数列；若{a n }是等比数列，则2212121q a a a a n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++，数列{a n }是等方比数列. 答案为B.【说明】 1，2，4，8，-16，-32，……是等方比数列，但不是等比数列. 4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 解答： 运用中值定理，n n a n S )12(12-=-.()()()()212121721451438212132271912711n n n n n n n a n a A n b n b B n n n n n ----++====--+++==+++可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时，nn b a 为正整数.答案为D. 5．（辽宁卷第4题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．27 解析1：设等差数列首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+.2,1.362566,92233111d a ••d a d a 解得 ∴a 7+a 8+a 9=3a 8=3(a 1+7d )=3×(1+7×2)=45.解析2：由等差数列的性质知：S′3=S 6-S 3=36-9=27，d′=S′3-S 3=27-9=18. ∴S 〞3=S 3+2d′=9+2×18=45. 答案为B. 6．（福建卷第2题）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56C ．16D ．130解答： 由)1(1+=n n a n ，得111+-=n n a n ，.65611514141313121211543215•••a a a a a S =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=答案为B.7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．解法一：将S 2=（1+q ）S 1,S 3=（1+q +q 2）S 1代入4.0332312=-+=q q ，S S S 得 注意到q ≠0,得公比q =.31解法二：由题设得),(3)(4,34321121312a a a a a a S S S +++=++=即化简得a 2=3a 3，故公比q =.3123=a a 解法三：由4S 2=S 1+3S 3，得S 2-S 1=3（S 3-S 2）,即a 2=3a 3,故公比q =.3123=a a 8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列{}n a 中12a =，1(21)(2)n n a a +=-+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…， 证明：432n n b a -<≤，123n =，，，…． 解答：（Ⅰ）解法1：由题设：1(21)(2)n n a a +=-+(21)(2)(21)(22)n a =--+-+ (21)(2)2n a =--+， 12(21)(2)n n a a +-=--．所以，数列{}2n a -是首项为22-，公比为21-的等比数列，22(21)n n a -=-，即n a 的通项公式为2(21)1nn a ⎡⎤=-+⎣⎦，123n =，，，…． 解法2：设),)(12(1t a t a n n +-=++ 整理得.)22()12(1t a a n n -+-=+ 由已知)12(2)12(1-+-=+n n a a 比较系数得2-=t .∴)2)(12(21--=-+n n a a .即数列{}.12公比为,22221的等比数列是以首项为--=--a a n ∴n n a )12(22-+=，（n ∈N +）（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =时，因22<，112b a ==，所以112b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =时，结论成立，即432k k b a -<≤， 也即43023k k b a -<--≤． 当1n k =+时，1342223k k k b b b ++-=-+(322)(432)23k k b b -+-=+(322)(2)023k k b b --=>+，又1132223223k b <=-++，所以 1(322)(2)223k k k b b b +---=+2(322)(2)k b <-- 443(21)(2)k a ---≤ 412k a +=-．也就是说，当1n k =+时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知432n n b a -<≤，123n =，，，…． 解法2：由32)2)(223(232432,324311+--=-++=-++=++n n n n n n n n b b b b b b b b 得 于是)223(22)223(2)32)(223()2)(223(322121++-+=-++=--+=-+n n n n n n b b b b b b 令),223(2)223(,2121+++==-+n n n n c c c b 得有.42)223(4221⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++n n c c ∵423142214211+=+-=+b c ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+42n c 是以首项为1+423，公比为（3+22）2的等比数列. ∴()12223423442-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+=+n n c , .221)12(2221)223(22212412>+-+=+-+=+=--n n n n c b 又2)12(23434+-=--n n a ,∴要证明34-≤n n a b ，只需证明().2)12(1123424≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--n n 而 ()()()[],22112)12(12)12(1212)12()12(1123434343424=-++≥--+=---++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-----n n n n n综上所得.234-≤<n n a b。