天津市五区县2013年高三质量调查试卷理数
2013年天津高考数学理试题（含答案）
2013年(天津卷)理 科 数 学第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么那么)()()(B P A P A P B È=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R p = 其中R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=(A) (,2]-¥ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ³--£+-ì-£ïíïî则目标函数z = y －2x 的最小值为的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等②若两组数据的平均数相等, , , 则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等; ;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③①②③ (B) ①②①②(C) ②③②③ (D) ②③②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = 2,p 1010310515-13,0-1513+-51ö- = . x 的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 . | = . 的长为的长为 . 的长为的长为 . = 时2sin23 2243。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2013年天津市高考数学试卷（理科）及解析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]解析：本题主要考察不等式的解法，和集合的简单应用，属于简单题。
(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2解析：本题主要考查不等式中的线性规划，属于简单题。
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585解析：本题主要考察程序框图，属于简单题。
2013年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）4．（5分）（2013•天津）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．V=V=可知，若一个球的半径缩小到原来的；故的圆心到直线=相切，5．（5分）（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB求出双曲线的渐近线方程与抛物线的面积为，±x，±，双曲线的离心率为，所以则±=的面积为，，得6．（5分）（2013•天津）在△ABC中，，则sin∠BAC=（）BABC=AB=，=得：BAC=x（8．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）．﹣﹣|+1≤讨论，可得时，﹣﹣＜时，解得0＞时，解得，时，（﹣）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．，解得10．（5分）（2013•天津）的二项展开式中的常数项为15．=解；设•r=0的二项展开式中的常数项为=1511．（5分）（2013•天津）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．的极坐标为|CP|==2．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．=﹣，=，当取得最小值时，取得最小值三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合=2）∈，得﹣﹣≤﹣，）在区间sinxcosx=x=2x+2cos2x=2﹣T==≤，∴﹣≤≤﹣）取得最小值﹣时，﹣）在区间上的最大值为）=216．（13分）（2013•天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．张的所有可能结果数有=的卡片的概率为====17．（13分）（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．标系，标出点的坐标后，求出和，由求出（Ⅱ）解：，，即．=．=．的正弦值为（Ⅲ）解：=．所以．的长为．18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．的方程，结合首项为的等比数列=不是递减数列，且等比数列的首项为﹣（﹣）﹣（﹣）=≤﹣==≥﹣=，总有≤，最小项的值为20．（14分）（2013•天津）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．，由导数在（，，一方面由﹣•，，（，，===成立，只需，2+，＜，＜，时，有成立．。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S 的值为(A) 64(B) 73 (C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③ (5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2(D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC .过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分) 已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.2013 National English Contest for College Students.- 11 -。
天津市五区县高三数学质量检查试卷(一)试题 理 新人教A版(含解析)
2013年天津市五区县高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•天津一模）i是虚数单位，复数等于（）解：复数==2．（5分）（2013•天津一模）设x∈R，则“x＞0“是““的（），“∴“时，则“x＞0“是“3．（5分）（2013•天津一模）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为10时，输出S的值为（）4．（5分）（2013•天津一模）在的二项展开式中，x2的系数为（）解：的展开式的通项为（﹣r﹣5．（5分）（2013•天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（），=3，=3两式相除，可得6．（5分）（2013•天津一模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．为三角形的内角，∴sinC==，，sinC=，，∴由正弦定理sinA==7．（5分）（2013•天津一模）直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，点D在斜边AB上，且，λ∈R，若，则λ=（）．，利用两个向量的数，∴BC=，=，∴A=B==）•（=••2××cos，8．（5分）（2013•天津一模）定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3﹣x），若f（1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•天津一模）某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取12 人．=84×10．（5分）（2013•天津一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为36π．V=•11．（5分）（2013•天津一模）已知集合A={x∈R||x﹣1|＞2}，集合B={x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}，若A∩B=（3，5）则实数a= 5 ．12．（5分）（2013•天津一模）若直线x﹣y+t=0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为﹣2或6 ．解：由，得被曲线（为参数）截得的弦长为则半弦长为．13．（5分）（2013•天津一模）如图，在⊙O中，CD垂直于直径AB，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB=8，CE•CB=7，则AD= 1 ．14．（5分）（2013•天津一模）设函数若f（﹣3）=f（﹣1），f（﹣2）=﹣3，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为 3 个．所以，解得所以．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）（2013•天津一模）已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．）由的范围，根据正弦函数的图象求出﹣（Ⅰ）由已知得，（Ⅱ）由，得所以）的最大值为；最小值为16．（13分）（2013•天津一模）一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．（I）求两球颜色不同且标号之和为3的概率；（Ⅱ）记所摸出的两球标号之积为ξ，求ξ的分布列与数学期望．种，颜色不同且标号之和为；；；；；17．（13分）（2013•天津一模）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，E，F分别为AB、SB的中点．（I）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值；（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．各点的坐标，从而得到向量的坐标，计算出数量积的一个法向量，而为平面量，利用空间向量的夹角公式算出的距离为，，，，，即得（Ⅱ）由（Ⅰ）得，为平面，取．的一个法向量为又∵的余弦值为，可得18．（13分）（2013•天津一模）已知数列{a n}中a1=2，，数列{b n}中，其中 n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）设S n是数列{}的前n项和，求；（Ⅲ）设T n是数列的前n项和，求证：．，再由，从而得到=，用裂项法求出=的解析式，可得T（Ⅰ），∴是首项为，于是，故有==6．∴．+…+19．（14分）（2013•天津一模）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．到点的坐标，由依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，，得，故．=∴所求椭圆方程为．，知点得是方程①的两个不等的实根，故有从而有，的坐标为的斜率为⊥MN，得，解得，∴20．（14分）（2013•天津一模）已知函数f（x）=ax3+bx2在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y﹣10=0，且对任意的x∈[0，+∞）f'（x）≤kln（x+1）恒成立．（I）求a，b的值；（Ⅱ）求实数k的最小值；（Ⅲ）证明：．=，令，得代入切线方程得，∴①②联立，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即时，设由分析题意可知当∴k﹣1≥0，k≥1，∴令，得∴＜。
2013年全国高考数学理科试卷天津卷(word版)
☠♋♦♓☐⏹♋● ☜⏹♑●♓♦♒ ☐⏹♦♏♦♦ ♐☐❒ ☐●●♏♑♏ ♦◆♎♏⏹♦♦2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷☎非选择题✆两部分 共 分 考试用时 分钟 第Ⅰ卷 至 页 第Ⅱ卷 至 页答卷前 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时 考生务必将答案凃写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利✐第Ⅰ卷注意事项：每小题选出答案后 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选凃其他答案标号本卷共 小题 每小题 分 共 分参考公式如果事件✌ 互斥 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+棱柱的体积公式✞ ♒， 其中 表示棱柱的底面面积 ♒表示棱柱的高如果事件✌ 相互独立 那么)()(()B P A A P P B =球的体积公式34.3V R π=其中 表示球的半径一．选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的☎✆ 已知集合✌ ⌧ ⌧ ♎❝ ✌ ⌧ ⌧♎❝ 则A B⋂=☎✌✆ (,2]-∞ ☎✆ ☯ ☎✆ ☯－ ☎✆ ☯－ ☎✆ 设变量⌧ ⍓满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数 ⍓－ ⌧的最小值为☎✌✆ － ☎✆ －☎✆ ☎✆ ☎✆ 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 若输入⌧的值为 则输出 的值为☎✌✆ ☎✆ ☎✆ ☎✆ ☎✆ 已知下列三个命题①若一个球的半径缩小到原来的12则其体积缩小到原来的18②若两组数据的平均数相等 则它们的标准差也相等③直线⌧ ⍓ 与圆221 2x y+=相切 其中真命题的序号是☎✌✆ ①②③ ☎✆ ①②☎✆ ②③ ☎✆ ②③☎✆ 已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于✌ 两点 为坐标原点 若双曲线的离心率为 △✌的面积为3 则☐ ☎✌✆ ☎✆ 32☎✆ ☎✆ ☎✆ 在 ✌中,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ ☎✆ 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 ☎✌✆ ☎✆ ☎✆ ☎✆ ☎✆ 已知函数()(1||)f x x a x =+ 设关于⌧的不等式()()f x a f x +< 的解集为✌ 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦则实数♋的取值范围是☎✌✆ ⎫⎪⎪⎝⎭☎✆ ⎫⎪⎪⎝⎭☎✆ ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭☎✆ ⎛- ⎝⎭∞年普通高等学校招生全国统一考试☎天津卷✆理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 本卷共 小题 共 分二．填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分☎✆ 已知♋ ♌ ♓是虚数单位 若☎♋ ♓✆☎ ♓✆ ♌♓ 则♋ ♌♓ ☎✆ 6x x ⎛- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为 ☎✆ 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ= 圆心为 点 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭则 ☎✆ 在平行四边形✌中 ✌ 60BAD ︒∠= ☜为 的中点 若·1AD BE = 则✌的长为 ☎✆ 如图 △✌为圆的内接三角形 为圆的弦 且 ✌ 过点✌ 做圆的切线与的延长线交于点☜ ✌与 交于点☞ 若✌ ✌ ✌☜ 则线段 ☞的长为 ☎✆ 设♋ ♌ ♌ 则当♋ 时 1||2||a a b+取得最小值三．解答题 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤☎✆ ☎本小题满分 分✆已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R☎Ⅰ✆ 求♐☎⌧✆的最小正周期☎♋✆ 求♐☎⌧✆在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值☎✆ ☎本小题满分 分✆一个盒子里装有 张卡片 其中有红色卡片 张 编号分别为 白色卡片 张 编号分别为 从盒子中任取 张卡片 ☎假设取到任何一张卡片的可能性相同✆☎Ⅰ✆ 求取出的 张卡片中 含有编号为 的卡片的概率☎♋✆ 再取出的 张卡片中 红色卡片编号的最大值设为✠ 求随机变量✠的分布列和数学期望☎✆ ☎本小题满分 分✆如图 四棱柱✌－✌ 中 侧棱✌ ✌⊥底面✌ ✌ ✌ ✌ ✌ ✌✌ ✌ ☜为棱✌✌ 的中点☎Ⅰ✆ 证明 ☜☎♋✆ 求二面角 － ☜－ 的正弦值☎♌✆ 设点 在线段 ☜上 且直线✌与平面✌ ✌ 所成角的正弦值为2求线段✌的长☎✆ ☎本小题满分 分✆设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为☞ 过点☞且与⌧轴垂直的直☎Ⅰ✆ 求椭圆的方程☎♋✆ 设✌ 分别为椭圆的左右顶点 过点☞且斜率为 的直线与椭圆交于两点 若··8AC DB AD CB += 求 的值☎✆ ☎本小题满分 分✆ 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列 其前⏹项和为(*)n S n ∈N 且 ♋ ♋ ♋ 成等差数列☎Ⅰ✆ 求数列{}n a 的通项公式 ☎♋✆ 设*()1n n nT S n S ∈=-N 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值☎✆ ☎本小题满分 分✆ 已知函数2l ()n f x x x =☎Ⅰ✆ 求函数♐☎⌧✆的单调区间☎♋✆ 证明 对任意的♦ 存在唯一的♦ 使()t f s =☎♌✆ 设☎♋✆中所确定的♦关于♦的函数为()s g t = 证明 当2>e t 时 有2ln ()15ln 2g t t <<。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为. (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为.(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为.(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
2013年高考天津卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷） 第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A 解析可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585 答案 B解析 第1次运行：S ＝0＋13＝1<50 第2次运行：x ＝2，S ＝1＋23＝9<50 第3次运行：x ＝4，S ＝9＋43＝73>50 ∴输出S ＝73，选B. 4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案 C解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案 C解析 e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴|AB |＝2·p2tan 60°又S △AOB ＝3，即12·p 2·2·p 2tan 60°＝3，∴p 24＝1，∴p ＝2，选C.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010，选C.7．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.另法：0.52log 10xx -=⇒ 0.51log 2x x =⇒0.51log ()2xx =，画这两个函数的图像，看图可知选B8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)， 由f (x ＋a )<f (x )得，x ＋a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<x ＋ax |x |， 而a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<ax |x |，(1)当a ＝0时，不合题意． (2)当a >0时有1＋(x ＋a )|x ＋a |<x |x |由于当x ＝0时1＋|a |<0无解，故a <0，去掉C. (3)当a <0时，1＋(x ＋a )|x ＋a |>x |x | 取a ＝－12，则1＋⎝⎛⎭⎫x －12⎪⎪⎪⎪x －12>x |x |* ①当x ≤0时，由*得－34<x ≤0②当0<x ≤12时，由☆得0<x ≤2＋279>12此时⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A 符合题意，由于－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0， －12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52去掉B 、D ，故选A. 第Ⅱ卷二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴a ＋b i ＝1＋2i.10.⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．答案 15解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r (－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2(r ＝0,1，…，6)， 由题意得6－3r2＝0，∴r ＝4.故常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝C 26＝6×52×1＝15. 11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案 2 3解析 由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x 2＋y 2＝4x ， ∴(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2,0)， 点P ⎝⎛⎭⎫4，π3的直角坐标为P (2,23)．∴|CP |＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.另法：如图建系:由题意AD=1，60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,212(-xB ， 1(2,22AC x =+,1(,22BE x =-由题意 .1AD BE = 得：143)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为21。
天津五区县2013高三质量检查(一)--数学理.
天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）数 学（理工类）本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效， 祝各位考生考试顺利l一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)是虚数单位，复数31i i++等于(A)2i + (B)2i - (C) 12i + (D)12i - (2)设x ∈R ，则“x>0"是“12x x+≥"的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 当输入的值为10时，输出S 的值为 (A) 45 (B) 49(C) 52 (D) 54 (4)在5(x 的二项展开式中，2x 的系数为 (A) 40 (B) -40 (C) 80 (D) -80 (5)在等比数列{}n a 中，12512511127,3aa a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，则3a =(A)±9 (B)9(C)±3 (D)3(6)设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b,c ，且12,3,cos 4a b C ===,则sinA=(7)直角三角形ABC 中，90,2,1C AB AC ∠===，点D 在斜边AB 上，且AD AB λ=,R λ∈,若2CD CB ⋅=，则λ=(A)12(B)13(D ）23(8)定义在R 上奇函数，()f x 对任意x R ∈都有(1)(3)f x f x +=-，若(1)2f =-，则2012(2012)2013(2013)f f -=(A) -4026 (B) 4026(C) -4024 (D) 4024天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．(9)某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取_______人． (10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______． (11)已知集合{}|12A x R x =∈->，集合{}2|(1)0B x R x a x a =∈-++<,若(3,5)AB =则实数a=______. (12)若直线x - y+t=0被曲线14cos 34sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为，则实数t 的值为______。
2013年高考理科数学天津卷(含详细答案)
)(A B P A=棱柱的体积公式S表示棱柱的底面面积A B=]2,2C.1D.2x的值为1,()B.73D.585()B.①②D.②③22(0)px py=>的准线分别2,AOB△则p=()C.2D.33,则sin BAC∠=C DC.3D.4的不等式()()f x a f x+<的解集为A.若11,22A⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a的取值范围是()A.B.C.13(0,+D.(-∞第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(i)(1i)ia b++=,则ia b+=.10.6(x-的二项展开式中的常数项为.11.已知圆的极坐标方程为4cosρθ=,圆心为C,点P的极坐标为π(4,)3,||CP=.12.在平行四边形ABCD中,1AD=,60BAD︒∠=,E为CD的中点.若1AC BE=,则AB的长为.13.如图,ABC△为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD AC∥.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB AC=,6AE=,5BD=,则线段CF的长为.14.设2a b+=,0b>,则当a=时,1||2||aa b+取得最小值.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、k 的直线与椭圆交于C ,D 两若8AC DB AD CB +=,求k n 项和为(*)n S n ∈N ,且33S a +,.20.（本小题满分14分）已知函数2l ()n f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的0t >,存在唯一的s ,使()t f s =；（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =,证明：当2e t >时,有2ln ()15ln 2g t t <<.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由已知得{22}A x x =∈-≤≤R ，于是{21}AB x x =∈-≤≤R【提示】先化简集合A ，解绝对值不等式可求出集合A ，然后根据交集的定义求出A B 即可.【考点】集合的基本运算 2.【答案】A【解析】作出可行域，平移直线2y x =，当直线过可行域内的点(5,3)A 时，Z 有最小值，min 3257Z =-⨯=-.【提示】先根据条件作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【考点】二元线性规划求目标函数的最值 3.【答案】B【解析】10150295047350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，，，，，，，跳出循环，输出73S =. 【提示】直接执行程序框图中的语句求值. 【考点】循环结构的程序框图 4.【答案】C【解析】命题①，设球的半径为R ，则33414ππ3283R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；数学试卷 第10页（共39页）对于命题③，圆2212x y +=的圆心(0,0)到直线10x y ++=的距离1222d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.【提示】对于①由球的体积公式可知命题正确；对于②通过举反例，如1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，故命题错误；对于③利用圆2212x y +=的圆心到直线10x y ++=的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可.【考点】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系 5.【答案】C【解析】由已知得2c a =，所以2224a b a +=，解得3b a=，即渐近线方程为3y x =±.而抛物线的方程为2p x =-，于是3,22p p A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22p p B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而AOB △的面积为13=322pp，可得2p =. 【提示】求出双曲线的渐进方程和抛物线的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB △的面积为3，可求p 的值.【考点】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质 6.【答案】C【解析】由余弦定理可得2222cos 2922352AC BA BC BA BC ABC =+-∠=+-⨯⨯⨯=，于是由正弦定理可得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，于是233102sin 105BAC ⨯∠==. 【提示】由已知条件，利用余弦定理求出AC 的长，再由正弦定理即可求出sin BAC ∠的值. 【考点】正弦定理，余弦定理 7.【答案】B【解析】令0.5()2|log |10xf x x =-=，可得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()|log |g x x =，1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一坐标系下分别画出函数()g x ，()h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.【提示】函数的零点转化为两个函数图像的交点个数，作出函数的图象即可判断. 【考点】函数的图象，函数零点的判断 8.【答案】A 【解析】11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，()(0)f a f ∴<，(1||)0a a a ∴+<，解得10a -<<，可排除C ， 又1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++-+<-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，115224a a a a ⎛⎫∴-+-+<- ⎪⎝⎭10a -<<，115224a a ⎛⎫∴-+-+>- ⎪⎝⎭21524a ⎛⎫∴--+>- ⎪⎝⎭，21524a ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭，1502a -∴<<.排除B ，D ，应选A .【提示】由题目可知11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，将0x =带入()()f x a f x +<可得()(0)f a f <，解得10a -<<；将12x =-代入()()f x a f x +<解得1502a -<<.【考点】解含参的一元二次不等式第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】12i +【解析】由(i)(1i)i a b ++=可得(1)(1)i i a a b -++=，因此10a -=，1a b +=，解得1a =，2b =， 故i 12i a b +=+【提示】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a ，b 的值即可得到结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【答案】15【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为36621661(1)(1)rr r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3602r -=，解得4r =，故数学试卷 第16页（共39页）常数项为446(1)15C -=. 【提示】利用二项式展开式的通项公式36216(1)r rr r T C x-+=-中x 的幂指数为0即可求得答案.【考点】二项式定理 11.【答案】23【解析】由4cos ρθ=可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)，又点P 的直角坐标为(2,23)，因此||23CP =.【提示】求出圆的直角坐标方程，求出圆心坐标，化P 的极坐标为直角坐标，利用两点间的距离公式求出距离即可.【考点】坐标系与参数方程，两点间的距离公式12.【答案】12【解析】用AB ，AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC AD AB =+，12BE BC CE AD AB =+=-， ∴221122AC BE AD AB AD AB AD AB =-+-2211111||1||||cos60||12222AB AD AB AB AD AB ︒=+-=+-=，∴12AB =.【提示】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积的运算即可得出.【考点】向量的线性运算，平面向量的数量积运算13.【答案】83【解析】因为AB AC =，所以ABC C ∠=∠，因为AE 与圆相切，所以EAB C ∠=∠，所以ABC EAB ∠=∠，所以AE BC ∥.又因为AC DE ∥，所以四边形AEBC 是平行四边形，由切割线定理可得2AE EB ED =，于是26(5)EB EB =+，所以4EB =（负值舍去），因此4AC =，6BC =.又因为AFC DFB △∽△，所以456CF CF =-，解得83CF =. 【提示】证明四边形AEBC 是平行四边形，利用圆的切割线定理求出EB ，通过三角形相似求出CF 即可. 【考点】圆的切割线定理，三角形相似 14.【答案】2-【解析】由于2a b +=，所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，由于0b >，||0a >，所以||||214||4||b a b a a b a b +≥=，因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=；当0a <时1||2||a a b +的最小值是13144-+=，故1||2||a a b +的最小值为34，此时||4||0ba ab a ⎧=⎪⎨⎪<⎩，即2a =-. 【提示】由于2a b +=，从而1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，由于0b >，||0a >，所以||||214||4||b a b a a b a b+≥=，由1||2||a a b +的最小值求a 的值. 【考点】基本不等式求最值 三、解答题 15.【答案】（Ⅰ）2ππ2T == （Ⅱ）()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为2-【解析】（Ⅰ）ππ()2sin 2cos2cos2sin 3sin 2cos244f x x x x x =--+-， π2sin 22cos222sin 24x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（Ⅱ）因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且(0)2f =-，3π228f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为2-.数学试卷 第22页（共39页）【提示】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式将πsin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得()2sin 22cos2f x x x =-，再利用辅助角公式化简得π()22sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用正弦函数的周期公式即可算出()f x 的最小正周期；（Ⅱ）由()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【考点】三角函数的周期性和最值 16.【答案】（Ⅰ）67（Ⅱ）175EX =【解析】（Ⅰ）记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +==，故所求概率为67； （Ⅱ）X 的所有可能取值为1，2，3，4.33471(1)35C P X C ===，34474(2)35C P X C ===，35472(3)7C P X C ===，36474(4)7C P X C ===，故X 的分布列如下表是： X 1 2 3 4 P1354352747其期望14241712343535775EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【提示】（Ⅰ）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有47C ，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解；（Ⅱ）先判断随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列和期望值.【考点】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望17.【答案】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，由题意得(0,0,0)A ，(0,0,2)B ，(1,0,1)C ，1(0,2,2)B ，1(1,2,1)C，(0,1,0)E.（Ⅰ）易得11(1,0,1)B C=-，(1,1,1)CE=--，故11B C CE=，因此11B C CE⊥；（Ⅱ）1(1,2,1)B C=--，设(,,)n x y z=是平面1B CE的法向量，则1n B Cn CE⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20x y zx y z--=⎧⎨-+-=⎩，取1z=可得平面1B CE的一个法向量()3,2,1n=--；由（Ⅰ）11B C CE⊥，又111B C CC⊥，故11B C⊥平面1CEC，知11(1,0,1)B C=-为平面1CEC的一个法向量.故111111427cos,7142|n B Cn B Cn B C-<>===-⨯|，知1121sin,7n B C<>=，所以所求二面角的正弦值为217；（Ⅲ）(0,1,0)AE=，1(1,1,1)EC=，设1(,,)(01)EM ECλλλλλ==≤≤，则(,1,)AM AE EMλλλ=+=+.取(0,0,2)AB=为平面11ADD A的一个法向量，设θ为AM与平面11ADD A所成的角，则2||sin|cos,|||||321AM ABAM ABAM ABλθλλ=<>==++.于是226321λλλ=++，解得13λ=（负值舍去），所以2AM=.【提示】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出11B C和CE，由11B C CE=得到11B C CE⊥；（Ⅱ）求出平面1B CE和平面1CEC的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基数学试卷 第28页（共39页）本关系求出其正弦值，则二面角的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M 的坐标用E 和C 1的坐标及待求系数表示，求出平面11ADD A 的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM 的长可求.【考点】两条直线的位置关系，二面角，线面角，空间向量的应用18.【答案】（Ⅰ）22=132x y + （Ⅱ）2k =±【解析】（Ⅰ）设(,0)F c -，用33c a =，知3a c =. 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆的方程有2222()1c y a b-+=，解得63y b =±，于是264333b =，解得2b =. 又222a cb -=，从而3a =，1c =，所以椭圆的方程为22=132x y +. （Ⅱ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+，由方程组221132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2222(23)6360k x k x k +++-=，求解可得12x x +22623k k =-+，12x x =223623k k-+. 因为(3,0)A -，(3,0)B ， 所以AC DB AD CB +11222211(3,)(3,)(3,)(3,)x y x y x y x y =+--++--1212622x x y y =--21212622(1)(1)x x k x x =--++22212126(22)2()2k x x k x x k =-+-+- 22212623k k +=++.11 / 13由已知得222126823k k ++=+，解得2k =±. 【提示】（Ⅰ）由离心率为33，可求出a ，b ，c 的关系，根据椭圆的一般方程，令x c =-代入求出弦长等于433，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，直线CD 的方程为(1)y k x =+，由221132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(23)6360k x k x k +++-=，再由韦达定理进行求解，求得AC DB AD CB +，利用8AC DB AD CB +=，即可求得k 的值.【考点】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系19.【答案】（Ⅰ）13(1)2n n n a -=- （Ⅱ）{}n T 的最大项为56，最小项为712- 【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为33S a +，55S a +，44S a +成等差数列.所以55334455S a S a S a S a +--=+--，即534a a =，故25314a q a ==. 又{}n a 不是递减数列，且132a =，故12q =-， 故等比数列{n a }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭， （Ⅱ）由（Ⅰ）得12()11212()n n n n n S n --⎧+⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎩为奇数为偶数， 当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，故1312n S S <≤=，故1111506n n S S S S <-≤-=； 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，故2314n S S =≤<，故22117012n n S S S S >-≥-=-. 综上，{}n T 的最大项为56，最小项为712-. 【提示】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由33S a +，55S a +，44S a +成等差数列，可构造关于q 的方程，结合首项为32等比数列{n a }不是递减数列，求出q 值；数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得n S 的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出1n nS S -在n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案.【考点】等比数列的通项及性质，前n 项和 20.【答案】（Ⅰ）由题得()2ln (2ln 1)(0)f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得1ex =， 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表所示. x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' - 0+ ()f x极小值 因此，函数的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）证明：当01x <≤时，()0f x ≤，设0t >，令()()(1)h x f x t x =-≥，由（Ⅰ）知，()h x 在区间(1,)+∞单调递增，(1)0h t =-<，22(e )e lne (e 1)0t t t t h t t =-=->，故存在唯一的(1,)s ∈+∞，使得()t f s =成立；（Ⅲ）证明：因为()s g t =，由（Ⅱ）知()t f s =，且1s >，从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s u t f s s s s s u u====++，其中ln u s =， 要使2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2u u <<. 当2e t >时，若()e s g t =≤，则由()f s 的单调性，有2()(e)e t f s f =≤=，矛盾.故e s >，即1u >，从而ln 0u >成立.另一方面，令()ln (1)2u F u u u =->，则11()2F u u '=-，令()0F u '=，得2u =， 当12u <<时，()0F u '>；当2u >时，()0F u '<，故对1u >，()(2)0F u F ≤<，因此ln 2u u <成立.13 / 13综上，当2e t >时，有2ln ()15ln 2g t t <<. 【提示】（Ⅰ）求导可得()2ln (2ln 1)(0)f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得1e x =，由导数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的正负可得单调性； （Ⅱ）当01x <≤时，()0f x ≤，设0t >，令()()(1)h x f x t x =-≥，由（Ⅰ）知，()h x 的单调性，可得结论；（Ⅲ）令ln u s =，原题转化为0ln 2u u <<，一方面由()f s 的单调性可得1u >，从而ln 0u >成立；另一方面，令()ln (1)2u F u u u =->，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证. 【考点】利用导数求函数的单调区间，函数的零点的应用，不等式的证明。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷 非选择题 两部分 共 分 考试用时 分钟 第Ⅰ卷 至 页 第Ⅱ卷 至 页答卷前 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时 考生务必将答案凃写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：每小题选出答案后 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选凃其他答案标号本卷共 小题 每小题 分 共 分参考公式如果事件 互斥 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积表示棱柱的高如果事件 相互独立那么)()(()B P A A P P B =球的体积公式34.3V R π= 其中 表示球的半径一．选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的已知集合 ∈ ∈ 则A B⋂=(,2]-∞ － －设变量 满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数 － 的最小值为－ －阅读右边的程序框图 运行相应的程序 若输入 的值为 则输出 的值为已知下列三个命题①若一个球的半径缩小到原来的12则其体积缩小到原来的18②若两组数据的平均数相等 则它们的标准差也相等③直线 与圆221 2x y+=相切 其中真命题的序号是①②③ ①②②③ ②③已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于 两点 为坐标原点 若双曲线的离心率为 △ 的面积为3 则32在 中 ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为已知函数()(1||)f x x a x =+ 设关于 的不等式()()f x a f x +< 的解集为 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦则实数 的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ ⎛- ⎝⎭∞年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上本卷共 小题 共 分二．填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分已知 ∈ 是虚数单位 若 则 6x⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ= 圆心为 点 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭则在平行四边形 中60BAD ︒∠= 为 的中点 若·1AD BE = 则 的长为如图 △ 为圆的内接三角形 为圆的弦且 过点 做圆的切线与 的延长线交于点与 交于点 若 则线段 的长为设 则当 时1||2||a a b+取得最小值三．解答题 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤本小题满分 分 已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R Ⅰ 求 的最小正周期Ⅱ 求 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值本小题满分 分一个盒子里装有 张卡片 其中有红色卡片 张 编号分别为 白色卡片 张 编号分别为 从盒子中任取 张卡片 假设取到任何一张卡片的可能性相同Ⅰ 求取出的 张卡片中 含有编号为 的卡片的概率Ⅱ 再取出的 张卡片中 红色卡片编号的最大值设为 求随机变量 的分布列和数学期望本小题满分 分 如图 四棱柱 － 中 侧棱 ⊥底面 ⊥为棱 的中点Ⅰ 证明 ⊥Ⅱ 求二面角 － － 的正弦值Ⅲ 设点 在线段 上 且直线 与平面 所成角的正弦值为2 求线段 的长本小题满分 分设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 离心率为3 过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43 Ⅰ 求椭圆的方程Ⅱ 设 分别为椭圆的左右顶点 过点 且斜率为 的直线与椭圆交于两点 若··8AC DB AD CB += 求 的值本小题满分 分已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列 其前 项和为(*)n S n ∈N 且 成等差数列Ⅰ 求数列{}n a 的通项公式Ⅱ 设*()1n n nT S n S ∈=-N 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值本小题满分 分已知函数2l ()n f x x x =Ⅰ 求函数 的单调区间Ⅱ 证明 对任意的 存在唯一的 使()t f s =Ⅲ 设 Ⅱ 中所确定的 关于 的函数为()s g t = 证明 当2>e t 时 有2ln ()15ln 2g t t <<。
【解析版】天津市五区县2013年高考数学一模试卷(理科)
2013年天津市五区县高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•天津一模）i是虚数单位，复数等于（）解：复数==2．（5分）（2013•天津一模）设x∈R，则“x＞0“是““的（）“”∴∴∴“时，“3．（5分）（2013•天津一模）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为10时，输出S的值为（）4．（5分）（2013•天津一模）在的二项展开式中，x2的系数为（）解：的展开式的通项为=）r﹣5．（5分）（2013•天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（），=3∵，∴，=3两式相除，可得6．（5分）（2013•天津一模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．．D为三角形的内角，，sinC=，，sinC=c=得：=．7．（5分）（2013•天津一模）直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，点D在斜边AB上，且，λ∈R，若，则λ=（）．．D的值，根据由（，利用两个向量的数，cosA=，∴A=，B==•（=λ•×cos=2 =8．（5分）（2013•天津一模）定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3﹣x），若f（1）=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•天津一模）某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取12人．，×10．（5分）（2013•天津一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为36π．V=•π•11．（5分）（2013•天津一模）已知集合A={x∈R||x﹣1|＞2}，集合B={x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}，若A∩B=（3，5）则实数a=5．12．（5分）（2013•天津一模）若直线x﹣y+t=0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为﹣2或6．解：由，得被曲线为参数）截得的弦长为则半弦长为d=13．（5分）（2013•天津一模）如图，在⊙O中，CD垂直于直径AB，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB=8，CE•CB=7，则AD=1．14．（5分）（2013•天津一模）设函数若f（﹣3）=f（﹣1），f（﹣2）=﹣3，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为3个．所以，解得所以．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）（2013•天津一模）已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．）由的范围，根据正弦函数的图象求出﹣，1=）由，得所以）的最大值为；最小值为16．（13分）（2013•天津一模）一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．（I）求两球颜色不同且标号之和为3的概率；（Ⅱ）记所摸出的两球标号之积为ξ，求ξ的分布列与数学期望．种，颜色不同且标号之和为∴；；；；；0 1 2 3 4 6∴17．（13分）（2013•天津一模）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，E，F分别为AB、SB的中点．（I）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值；（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．各点的坐标，从而得到向量的坐坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出的一个法向量，而为平面利用空间向量的夹角公式算出的距离为，，，∴，∵∴）得为平面，取．的一个法向量为又∵为平面∴的余弦值为，可得∵18．（13分）（2013•天津一模）已知数列{a n}中a1=2，，数列{b n}中，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）设S n是数列{}的前n项和，求；（Ⅲ）设T n是数列的前n项和，求证：．）由条件可得，再由，于是，用裂项法求出的值．=T）∴是首项为，==．19．（14分）（2013•天津一模）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．的坐标，由依题意，设椭圆方程为则其右焦点坐标为，，得，故．=12所求椭圆方程为．，知点得的两个不等的实根，故有从而有，的坐标为的斜率为，解得，∴20．（14分）（2013•天津一模）已知函数f（x）=ax3+bx2在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y﹣10=0，且对任意的x∈[0，+∞）f'（x）≤kln（x+1）恒成立．（I）求a，b的值；（Ⅱ）求实数k的最小值；（Ⅲ）证明：．=）得再令，利用累加求和和裂项求和即可证明．代入切线方程得，∴，时，时，设，可知分析题意可知当，∴，得∴。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.- 11 - 2013高考真题。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A, B 互斥, 那么)()()(B P AP A P B⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ， 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1},则A B⋂=(A) (,2]-∞(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x, y满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切.其中真命题的序号是: (A) ①②③(B) ①②(C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y=>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积3则p = (A) 1 (B) 32(C) 2(D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =10 103105 (7) 函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15⎫-⎪⎪⎝⎭(B) 13⎫-⎪⎪⎝⎭(C) 1513⎛+⋃ ⎝⎫-⎪⎝⎭⎪⎭(D)51⎛-- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 +i ) = bi , 则a + bi = .(10)6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C ,点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r,则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分) 已知函数2()226sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC, AB⊥AD, AD = CD =1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为2, 求线段AM的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F, 离心率为3, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}na 不是递减数列, 其前n 项和为(*)nS n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}na 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1nn nTS n S ∈=-N , 求数列{}nT 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
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天津市五区县2013年高三质量调查试卷参考答案数 学（理工类）一、选择题：每小题5分，满分40分.（1）B （2）C （3）D （4）A （5）C （6）C （7）D （8）A二、填空题：每小题5分，共30分.（9）12 （10）36π （11）5 （12）2-或6 （13）1 （14）3三、解答题（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得2()=sin +cos 0424f a πππ= 即11+=02a ，………………………………………………………………2分 所以=2a - ………………………………………………3分 所以2()s i n 22c o s =s i n 2c o s 21f x x x x x =--- ……………………4分s i n (2)14--πx …………………………………5分所以函数()f x 的最小正周期为π …………………………………6分 （Ⅱ）由112424,ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，得22463--,πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x …………………………………7分 则1s i n (2)142--,π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ……………………………………………………9分所以1s i n ()2124--≤--≤πx …………………………………11分所以函数()y f x =1；最小值为12--…………………13分（16）（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有2936C =种 ………… 2分颜色不同且标号之和为3的情况有6种 ………………………………… 4分 ∴61366P == …………………………………………… 5分(Ⅱ) 依题意ξ的可取值为0,1,2,3,4,6112363217(0)363612C C C P ξ+====； ………………………………………………6分 231(1)3612C P ξ===； ………………………………………………7分 11231(2)366C C P ξ===；………………………………………………8分 131(3)3612C P ξ===； ………………………………………………9分1(4)36P ξ==； ………………………………………………10分 121(6)C P ξ=== ………………………………………………11分（不列表不扣分）71111110012346121261236189=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ …………………13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）法一：取A C 中点O ，连结S O ，B O ．∵SA SC AB AC ==,, ∴A C SO ⊥且AC BO ⊥,∴A C ⊥平面S O B ，又SB⊂平面S O B ，∴A C SB ⊥ …………………………3分 法二：取A C 中点O ，以O 为原点，分别以O A 、O B 、O S 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(100)A ,,,(00)B(00S ,，1(0)22E ,,(022F ,,,(100)C -,, x∴(200)AC = -,,，(0SB =(200)(00AC SB ⋅=-⋅=,, ∴SB AC ⊥． ……………………………………………………………………3分(Ⅱ)由（Ⅰ）得31(0),(02222C E EF ==- ,,,, 设),,(z y x n =为平面C E F的一个法向量，则30221022C E n x y EF n x z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ 取=1z,x y =．∴ )1,6,2(-=n ． …………………………………………………………6分又(00O S = ,为平面ABC 的一个法向量， 1c o s 3n O S n O S n O S ⋅==⋅ ∴,∴二面角F C E B --的余弦值为31． ………………………………………9分(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(0)22EB =- ,，1)n = 为平面C E F 的一个法向量 ∴点B 到平面C E F 的距离3⋅== n E B d n……………………………13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）11111111n n n n n a b a a a ++===---， ………………………………1分而 11n n b a =-，∴ 11111n n n n n a b b a a +-=-=--．*N n ∈ …………………………3分 ∴ {n b }是首项为11111b a ==-，公差为1的等差数列． …………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n b n =， ………………………………………………………5分111(1).(12)3336n n n n b n S n +=∴=+++=, …………………………………6分 于是16(1)n S n n =+ =116(),1n n -+ …………………………………………7分 故有12111n S S S +++ 111116(1)2231n n =-+-++-+ =616(1)11n n n -=++ …………………………………9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知 1()3n n b ⋅1()3n n =⋅, ……………………………10分 则211112()().333n n T n =⋅+⋅++⋅ ()231111111()2()1()33333n n n T n n +⎛⎫=⋅+⋅++-+⋅ ⎪⎝⎭ ∴． …………11分 则 232111()()3333n T =+++…+111()()33n n n +-⋅ 11111()()233n n n +⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦， ∴ n T =131113()()443234n n n ---⋅<． ………………………13分（19）（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x, 则其右焦点坐标为22,)0,(b a c c F -=, ………………………………1分 由=||FB 2,2=,即2(24c -+=,故22=c . …………………………………………2分又∵2=b , ∴212a =, ……………………………………………………3分∴所求椭圆方程为141222=+yx. ……………………4分(Ⅱ)由题意可设直线l 的方程为3y kx =-(0)k ≠, ……………………5分 由||||AN AM =，知点A 在线段MN 的垂直平分线上,由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1412322yx kx y 得223(3)12x kx +=- 即22(13)18150k x kx ++=-……（*） ………………………………………6分222=(18)4(13)15144600k k k ∆+⨯=>---即25>12k 时方程（*）有两个不相等的实数根 …………………………7分设11()M x y ,，22()N x y ,，线段MN 的中点00()P x y , 则1x ，2x 是方程（*）的两个不等的实根，故有1221813k x x k+=+ …………8分 从而有12029213x x k x k+==+，22002293(13)331313k k y kx kk+===++---于是，可得线段M N 的中点P 的坐标为2293()1313kP k k++-, ………………9分 又由于0k ≠，因此直线A P 的斜率为22123256139913k kk kkk+==+---- ………10分由AP M N ⊥，得25619k k k⨯=--- …………………………11分即2569k +=，解得225312k =>，∴3k =±， …………………………12分∴所求直线l的方程为：33y =±-. …………………………14分方法二：设直线l 的方程为3-=kx y (0)k ≠， ………………………………5分则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1412322yx kx y 得：22(13)18150k x kx +-+= ………………………………………6分 由2144600k ∆=>-设11(,)M x y 、22(,)N x y 由韦达定理得12212218131513k x x kx x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ……………8分又22||||AN AM =，则22222121)2()2(-+=-+y x y x ……………9分移项得：k ＝1212x x y y --＝－21214x x y y ++-＝－2121()10x x k x x ++-＝－2110(13)18k k k+-解得3k =±， …………………………………………………………12分此时△＞0适合题意， ∴所求直线l 的方程为：y =±3x －3 …………………………………14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2()32,(2)2f x ax bx f ''=+=-， ∴1242a b +=- ① ………………1分将2x =代入直线方程得23y =-，∴2843a b +=-② ………………2分①②联立，解得11,32a b =-=……………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得3211()32f x x x =-+2()=f x x x '-+，∴2ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立；即2ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立； ………………………………5分 设2()ln(1)g x x x k x =-++，(0)0g =，∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥ …………………………6分[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++设2()21h x x x k =++-， 1）当=18(1)0k ∆--≤，即98k ≥时，()0h x ≥，∴()0g x '≥()g x 在[)0,+∞单调递增，∴()(0)g x g ≥ ……………………………………7分2）当=18(1)0k ∆-->，即98k <时，设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x <由1212x x +=-，可知10x <，分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥； ∴10,1k k -≥≥，∴918k ≤<…………………………………8分综上分析，实数k 的最小值为1. …………………………………9分（Ⅲ）令1k =，有2ln(1),x x x -+≤+即2ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立…10分令1x n=，得221111ln(1)ln(1)ln n n nnnn≤++=++- ……………………11分∴222=111111(ln 2ln 1)(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]23≤+++++-+-+++-∑ni n n in222111=1l n (1)23n n++++++ 1111l n (1)1223(1)n n n <++++++⨯⨯-1n=-++2l n(1)n<++l n(1)2n∴原不等式得证. ……………………………………………………………14分。