2020高考数学(理)仿真模拟试卷(含2019高考真题及模拟题)

2020高考数学（理）仿真模拟试卷（含2019高考真题及模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·宣城二调)若复数z 满足z (1＋2i)＝3＋i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z ＝( )A ．1B ．1－iC ．2D ．1＋i 答案 D解析 由z (1＋2i)＝3＋i ，z ＝3＋i 1＋2i ＝＋－1－4i2＝5－5i5＝1－i ，∴z 的共轭复数z －为1＋i ，故选D.2．(2019·清远联考)已知集合A ＝{x ∈R |log 2(x ＋1)≤2}，B ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2} 答案 B解析 由题可知A ＝(－1,3]，则A ∩B ＝{0,1,2,3}．故选B.3. (2019·泸州一中模拟)军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：①甲的平均成绩比乙的平均成绩高；②甲的成绩的极差是29；③乙的成绩的众数是21；④乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此①正确；甲的成绩的极差是37－8＝29，②正确；乙的成绩的众数是21，③正确；乙的成绩的中位数是18＋192＝18.5，④错误，故选C.4．(2019·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里 答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n }，则{a n }为公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 6＝192×125＝6，故选C. 5．(2019·东北三校模拟)已知α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则sin2α＝( )A.2425 B ．－2425 C.725 D ．－725答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35⇒sin α＝－35，∵sin 2α＋cos 2α＝1，α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin2α＝2sin αcos α＝2425，故选A.6．(2019·黄山质检)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，且a ⊥(a ＋2b )，则b 在a 方向上的投影为( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 2 答案 B解析 由于a ⊥(a ＋2b )，故a ·(a ＋2b )＝0，即a 2＋2a ·b ＝4＋2a ·b ＝0，a ·b ＝－2.故b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－22＝－1.故选B. 7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x2在[－π，π]的图象大致为()答案 D 解析 ∵f (－x )＝－x －x －x ＋－x2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝4＋2ππ2>1，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D.8．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π6答案 B解析 取B 1C 1的中点D 1，连接A 1D 1，CD 1，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点D 为BC 的中点，∴AA 1＝DD 1且AA 1∥DD 1，∴AD ∥A 1D 1且AD ＝A 1D 1，∴∠CA 1D 1就是异面直线AD 与A 1C 所成的角，AB ＝AC ＝2，BC ＝2可以求出AD ＝A 1D 1＝1，在Rt △CC 1D 1中，由勾股定理可求出CD 1＝3，在Rt △AA 1C 中，由勾股定理可求出A 1C ＝2，显然△A 1D 1C 是直角三角形，sin ∠CA 1D 1＝CD 1A 1C ＝32，∴∠CA 1D 1＝π3，故选B. 9．(2019·四川二诊)在数列{a n }中，已知a 1＝1，且对于任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n n －2D ．a n ＝n n ＋2答案 D解析 令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，∴a n －1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋2.故选D.10．(2019·山师附中模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( )A.132 B.133 C.222 D.223答案 D解析 右焦点设为F ，其坐标为(c,0)，令x ＝c ，代入双曲线方程可得y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a ，△OAB 的面积为12·c ·2b 2a ＝133bc ⇒b a ＝133，可得e ＝c a＝1＋b 2a2＝1＋139＝223，故选D. 11．(2019·清华附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．8＋4 2B ．2＋22＋4 3C ．2＋6 3D ．2＋42＋2 3 答案 D解析 由题意可知，该几何体的直观图如图：该几何体为棱长为2的正方体的一部分，三棱锥A －BCD ，三棱锥的表面积为12×2×2＋2×12×2×22＋34×(22)2＝2＋42＋2 3.故选D. 12．(2019·云师附中模拟)已知在菱形ABCD 中，∠BCD ＝60°，曲线C 1是以A ，C 为焦点，通过B ，D 两点且与直线x ＋23y －4＝0相切的椭圆，则曲线C 1的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 22＝1 答案 B解析 如图，由题意可得a ＝2b (b >0)，则设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋23y －4＝0，x 24b 2＋y 2b2＝1，得4y 2－43y ＋4－b 2＝0.由Δ＝48－16(4－b 2)＝0，解得b ＝1.所以曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1.故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2019·东北三校模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －y ≤1，－2≤2x ＋y ≤2，则z ＝3x ＋y的最大值为________．答案 3解析 根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：由z ＝3x ＋y ，可知直线y ＝－3x ＋z 过A (1,0)时，z 有最大值为3×1＋0＝3. 14．(2019·朝阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值为________．答案1712解析 运行程序，x ＝2，n ＝1，判断是，x ＝32，n ＝2，判断是，x ＝1712，n ＝3，判断否，输出x ＝1712.15．(2019·鞍山一中模拟)如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，…，则第40组第21个数对为________．答案 (22,20)解析 由题意可得第一组的各个数对和为3，第二组各个数对和为4， 第三组各个数对和为5，第四组各个数对和为6， ……，第n 组各个数对和为n ＋2，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数对和为42， 则第40组第21个数对为(22,20)．16．(2019·哈三中模拟)函数f (x )＝x 2－6x ＋4ln x 的图象与直线y ＝m 有三个交点，则实数m 的取值范围为________．答案 (4ln 2－8，－5)解析 由题意得f ′(x )＝2x －6＋4x ＝2x 2－6x ＋4x，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝2，易得当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1,2)，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (1)＝－5为极大值，f (2)＝4ln 2－8为极小值，∴4ln 2－8<m <－5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·吕梁一模)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，其中b ＝2，sin(A －B )＝sin C －sin B .(1)求A ；(2)若D 是AC 边的中点，BD ＝7，求a . 解 (1)∵sin(A －B )＝sin C －sin B ， ∴sin B ＝sin C －sin(A －B )， 即sin B ＝sin(A ＋B )－sin(A －B )， 整理得sin B ＝2cos A sin B .又sin B ≠0，则cos A ＝12，则A ＝π3.(2)根据题意，设AB ＝t ， 又由b ＝AC ＝2，则AD ＝1，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos A ＝t 2＋1－2×t ×1×12＝7，即t 2－t －6＝0，解得t ＝3或t ＝－2(舍去)．在△ABC 中，a 2＝BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴a ＝7.18．(本小题满分12分)(2019·凯里一中模拟)某工厂生产A ，B 两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80 cm 的为正品，小于80 cm 的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：(2)生产1个零件A ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B ，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在(1)的条件下：①设X 为生产1个零件A 和一个零件B 所得的总利润，求X 的分布列和数学期望； ②求生产5个零件B 所得利润不少于160元的概率．解 (1)∵指标大于或等于80 cm 的为正品，且A ，B 两种零件为正品的频数分别为80和75，∴A ，B 两种零件为正品的概率估计值分别为P (A )＝80100＝45，P (B )＝75100＝34.(2)①由题意知，X 的可能取值为－25,35,50,110，P (X ＝－25)＝15×14＝120， P (X ＝35)＝45×14＝15， P (X ＝50)＝15×34＝320， P (X ＝110)＝45×34＝35.∴X 的分布列为∴X 的数学期望为E (X )＝(－25)×20＋35×5＋50×20＋110×35＝79.25.②∵生产1个零件B 是正品的概率为P (B )＝34，生产5个零件B 所产生的正品数Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，34， 生产5个零件B 所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件， ∴生产5个零件B 所得利润不少于160元的概率为P ＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫344⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫345＝81128. 19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B －CG －A 的大小．解 (1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ， 所以AD ∥CG ，所以AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BCGE .又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，3)，CG →＝(1,0，3)，AC →＝(2，－1,0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.所以可取n ＝(3,6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝32.因此二面角B －CG －A 的大小为30°.20．(本小题满分12分)(2019·漳州质检)已知动圆P 过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18且与直线y ＝－18相切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若A ，B 是曲线C 上的两个点且直线AB 过△AOB 的外心，其中O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．解 (1)解法一：由题意可知|PF |等于点P 到直线y ＝－18的距离，∴曲线C 是以点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18为焦点，以直线y ＝－18为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为x 2＝12y .解法二：设P (x ，y )，由题意可知|PF |等于点P 到直线y ＝－18的距离，∴x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －182＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋18，整理得曲线C 的方程为x 2＝12y .(2)设直线AB ：y ＝kx ＋m 代入x 2＝12y ，得2x 2－kx －m ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，Δ＝k 2＋8m >0，x 1x 2＝－m 2，y 1y 2＝(2x 21)(2x 22)＝4(x 1x 2)2＝m 2，∵直线AB 过△AOB 的外心， ∴OA ⊥OB ，OA →·OB →＝0，∴－m 2＋m 2＝0，∴m ＝0或m ＝12，∵直线AB 不过点O ，∴m ≠0，∴m ＝12，∴直线AB ：y ＝kx ＋12，∴直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 21．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知函数f (x )＝ln x －ax －3(a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －5，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知得f ′(x )＝1x－a ，当a <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)内单调递增，无减区间； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增，无最大值， 当a >0时，函数f (x )在x ＝1a取得最大值，即f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a－4＝－ln a －4，因此有－ln a －4>a －5，得ln a ＋a －1<0， 设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0，∴g (a )在(0，＋∞)内单调递增，又g (1)＝0，∴g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·太原二模)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)，点M 在曲线C 1上运动，动点P 满足OP →＝2OM →，其轨迹为曲线C 2.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 2的普通方程；(2)若点A ，B 分别是射线l ：θ＝π4与曲线C 1，C 2的公共点，求|AB |的最大值．解 (1)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，∵OP →＝2OM →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝12y ，∵点M 在曲线C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2＋cos φ，y ′＝1＋sin φ，∴曲线C 1的普通方程为(x ′－2)2＋(y ′－1)2＝1， ∴曲线C 2的普通方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－2ρsin θ＋4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－4ρsin θ＋16＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－2ρsin θ＋4＝0，θ＝π4得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝22，θ＝π4，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－8ρcos θ－4ρsin θ＋16＝0，θ＝π4得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝22，θ＝π4或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝42，θ＝π4，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22或B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，42，∴|AB |的最大值为3 2.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·太原二模)已知函数f (x )＝|2x －a |－|x ＋2a |(a >0)． (1)当a ＝12时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)若∀k ∈R ，∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤|k ＋3|－|k －2|成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，原不等式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －12－|x ＋1|≥1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－2x ＋12＋x ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤14，－2x ＋12－x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x >14，2x －12－x －1≥1，∴x <－1或－1≤x ≤－12或x ≥52，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.(2)由题意得f (x )min ≤(|k ＋3|－|k －2|)min ，∵f (x )＝－⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <－2a ，－3x －a ，－2a ≤x ≤a 2，x －3a ，x >a2，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－52a ，∵－5＝－|(k ＋3)－(k －2)|≤|k ＋3|－|k －2|， ∴(|k ＋3|－|k －2|)min ＝－5， ∴－52a ≤－5，∴a ≥2，∴a 的取值范围是[2，＋∞)．。