精品2019届高三数学模拟试卷1

※精品试卷※云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷5一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|log2x＞0}，则A∪B=（）A．（1，2）B．[﹣1，2）C．[﹣1，+∞）D．（1，+∞）2．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则有如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974高三（1）班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（）A．32 B．24 C．16 D．84．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．485．命题p：a=﹣1；命题q：直线ax+y+1=0与直线x+ay+2a﹣1=0平行，则p是q（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．现将4个“优秀班级”名额和1个“优秀团支部”名额分给4个班级，每个班级至少获得1个名额，则不同分法有（）种．A．24 B．28 C．32 D．167．如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B ．C ．D．8 8．设实数x，y 满足，则xy的最大值为（）A ．B ．C．12 D．169．若函数f（x）=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的某一个极大值点为某一个极小值点的2倍，则φ的取值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知正三棱锥P﹣ABC中，E，F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则下列说法中正确的个数为（）①EF⊥PC②PA与BE 所成角的正切值为③正三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为6π④正三棱锥P﹣ABC 的内切球表面积为．A．1 B．2 C．3 D．411．已知双曲线C：mx2+ny2=1（m＜0，n＞0）的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切，则C的离心率等于（）A ．B ．C ．D ．或12．已知函数f（x）=x ﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．（x ﹣）（1﹣）6的展开式中x的系数是31，则常数a=________．14．已知函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，则f（x﹣1）＞的解集为________．15．在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分别是边BC，CD上的动点，且MN=，则的取值范围为________．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2﹣a2=ac ，则﹣的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a n+1=S n（n∈N*）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）令b n =ln，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某培训机构对沈阳市两所高中的学生是否愿意参加自主招生培训的情况进行问卷调查和考试测验，从两所学校共随机抽取※精品试卷※（2）考试测验中分客观题和主观题，客观题共有8道，每道分值5分，学生李华答对每道客观题的概率均为0.8．主观题共有8道，每道分值12分，须随机抽取5道主观题作答，其中李华完全会答的有4道，不完全会的有4道，不完全会的每道主观题得分S 的概率满足：P （S=3k ）=，k=1，2，3，假设解答各题之间没有影响． ①对于一道不完全会的主观题，李华得分的数学期望是多少？ ②求李华在本次测验中得分ξ的数学期望．参考公式：k=．19．△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点． （Ⅰ）求证：IH ∥BC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣GI ﹣C 的余弦值．20．已知椭圆C 1： +y 2=1，抛物线C 2：y 2=ax （a ＞0），点T 为椭圆C 1的右顶点，设椭圆C 1与抛物线C 2交于点A ，B ．（1）求•的最小值，并求此时抛物线C 2的方程；（2）设点M 是椭圆C 1上异于A ，B 的任意一点，且直线MA ，MB 分别与x 轴交于点P ，Q ，O 为坐标原点，求证：|OP|•|OQ|为定值．21．已知函数f （x ）=e x +ln （x+1）﹣ax ，a∈R．（1）g （x ）为f （x ）的导函数，讨论g （x ）的零点个数；（2）当x ≥0时，不等式e x+（x+1）ln （x+1）≥ax 2+ax+1恒成立，求实数a 的取值范围．四.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲] [选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l 1，l 2均过点F （1，0），且l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为α． （1）写出曲线Γ的直角坐标方程；写出l 1，l 2的参数方程；（2）设直线l 1，l 2分别与曲线Γ交于点A ，B 和C ，D ，线段AB 和CD 的中点分别为M ，N ，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）若|x ﹣a|+|2x ﹣1|≤|2x+1|（a∈R）的解集包含集合[，1]，求实数a 的取值范围． （2）已知a ＞0，b ＞0，求证：a 2b 2+a 2+b 2≥ab （a+b+1）．数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A={x|﹣1≤x ＜2}，B={x|log 2x ＞0}，则A ∪B=（ ） A ．（1，2） B ．[﹣1，2） C ．[﹣1，+∞） D ．（1，+∞） 【考点】并集及其运算．【分析】求出A ，B ，由此利用并集的定义能求出A ∪B ．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x ＜2}，B={x|log 2x ＞0}={x|x ＞1}， ∴A ∪B={x|x ≥﹣1}=[﹣1，+∞）． 故选：C ． 2．复数z=（m∈R，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，化简复数到最简形式为a+bi （a 、b∈R）的形式， 分析实部和虚部的大小关系． 【解答】解：z=（m∈R，i 为虚数单位）==，此复数的实部为 m ﹣1，虚部为 m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选 D ．3．若随机变量X ～N （μ，σ2）（σ＞0），则有如下结论：P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）=0.9974高三（1）班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=120对称，在130分的概率为（1﹣0.6826）=0.1587，得到要求的结果． 【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N ， P （|x ﹣u|＜σ）=0.6826， ∴P （|x ﹣120|＜10）=0.6826，根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分的概率为（1﹣0.6826）=0.1587∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×48≈8． 故选：D ．4． 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ） （参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）※精品试卷※A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．5．命题p：a=﹣1；命题q：直线ax+y+1=0与直线x+ay+2a﹣1=0平行，则p是q（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=﹣1时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=﹣1，故必要性成立，推出结果．【解答】解：当a=﹣1 时，直线ax+y+1=0 即﹣x+y+1=0，直线x+ay+2a﹣1=0即 x﹣y﹣3=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线ax+y+1=0与直线x+ay+2a﹣1=0平行时，由斜率相等得：，a2=1，a=±1，a=1时两条直线重合，故由直线ax+y+1=0与直线x+ay+2a﹣1=0平行，推出a=﹣1，故必要性成立．综上命题p：a=﹣1；命题q：直线ax+y+1=0与直线x+ay+2a﹣1=0平行，则p是q的充要条件，故选：A．6．现将4个“优秀班级”名额和1个“优秀团支部”名额分给4个班级，每个班级至少获得1个名额，则不同分法有（）种．A．24 B．28 C．32 D．16【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分两类，有一个半径分到1个优秀班级和1个“优秀团支部”，有1个“优秀班级”分到2个名额，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，每位班级各分1个优秀班级，再把1个优秀团支部全部分给4名班级任意一个，共有4种方法，第二类，1个“优秀团支部”单独分给其中一个班级，4个“优秀班级”名额，分给另外3个班级，共有C41C31=12种，根据分类计数原理，共有4+12=16种，故选：D．7．如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B ．C ．D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：底面是等腰三角形，AB=BC=2，棱长是4，其中D是CG的中点，∵BF⊥平面EFG，∴BF⊥EF，∵EF⊥FG，BF∩FG=F，∴EF⊥平面BFGC，∴组合体的体积：V=V三棱柱ABC﹣EFG﹣V三棱锥E﹣DFG═=，故选：C．8．设实数x，y 满足，则xy的最大值为（）A ．B ．C．12 D．16【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，※精品试卷※故xy 的最大值为，故选：A9．若函数f（x）=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的某一个极大值点为某一个极小值点的2倍，则φ的取值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的最值．【分析】根据极值点的定义和正弦函数的图象，求出函数f（x）的极大值点和极小值点，由条件列出方程，根据φ的范围求出φ的值．【解答】解：根据正弦函数的性质得，函数的极大值点和极小值点分别是f（x）取最大值和最小值时的x的值，由x+φ=得，，则极大值点是，由x+φ=得，，则极小值点是，由条件得， =2（），化简得，，∵0＜φ＜π，∴当4k′﹣2k=2时，φ=，故选：D．10．已知正三棱锥P﹣ABC中，E，F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则下列说法中正确的个数为（）①EF⊥PC②PA与BE 所成角的正切值为③正三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为6π④正三棱锥P﹣ABC 的内切球表面积为．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】异面直线及其所成的角；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】证明PA、PB、PC互相垂直，利用正方体的外接球、内切球，即可得出结论．【解答】解：∵E、F分别是AC，PC的中点，∴EF∥PA，∵P﹣ABC是正三棱锥，∴PA⊥BC（对棱垂直），∴EF⊥BC，又EF⊥BF，而BF∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，∴EF⊥PC，即①正确；∴PA⊥平面PBC，∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，∵BF=，∴PA与BE 所成角的正切值为=，即②正确以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，又AB=2，∴PA=，∴2R=PA=，∴R=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为：4πR2=6π，即③正确．设正三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r ，则由等体积可得=×（3×+）×r，∴r=，∴正三棱锥P﹣ABC 的内切球表面积不为，故④不正确．故选：C．11．已知双曲线C：mx2+ny2=1（m＜0，n＞0）的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切，则C的离心率等于（）A ．B ．C ．D ．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出圆的标准方程，利用双曲线的渐近线和圆相切的等价条件建立方程得到a，b的关系即可得到结论．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，则圆心为M（3，1），半径R=1，由mx2+ny2=0得﹣=1，则双曲线的焦点在y轴，则对应的渐近线为y=±x，设双曲线的一条渐近线为y=x，即ax﹣by=0，∵一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切，∴即圆心到直线的距离d==1，即|3a﹣b|=c，平方得9a2﹣6ab+b2=c2=a2+b2，即8a2﹣6ab=0，则4a﹣3b=0，则b=a，平方得b2=a2=c2﹣a2，※精品试卷※即c2=a2，则c=a，则离心率e==，故选：A．12．已知函数f（x）=x ﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l 的方程，再假设l与曲线y=e x相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a 得x0﹣﹣1=0，设h（x）=e x x﹣e x﹣1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．【解答】解：函数f（x）=x ﹣的导数为f′（x）=1﹣e，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e，lna ＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y=e x相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a 得，设h（x）=e x x﹣e x﹣1，则h′（x）=e x x，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．（x ﹣）（1﹣）6的展开式中x的系数是31，则常数a=﹣2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，列出方程C66+（﹣a）•C62=31，求出a的值即可．【解答】解：（x ﹣）（1﹣）6的展开式中x的系数是31，∴C66+（﹣a）•C62=31，∴a=﹣2，故答案为：﹣2 14．已知函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，则f（x﹣1）＞的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的偶函数求出a，利用函数的单调性，列出不等式求解不等式的解集即可．【解答】解：函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得e x+ae﹣x=e﹣x+ae x，解得a=1．函数f（x）=e x+e﹣x，当x＞0时，f′（x）=e x﹣e﹣x＞0，函数是增函数，f（x﹣1）＞=f（2），可得|x﹣1|＞2，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．15．在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分别是边BC，CD上的动点，且MN=，则的取值范围为[4，8﹣2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，设CM=a ，得出关于a的解析式，根据a的范围和基本不等式得出答案．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：设CM=a，则CN=．∴0．∴M（2，2﹣a），N（2﹣，2）．∴=（2，2﹣a），=（2﹣，2）．∴=4﹣2+4﹣2a=8﹣2（a+）．∵2a≤a2+（）2=2，∴（a+）2=2+2a≤4．∴a+≤2．又由三角形的性质可得MC+CN＞MN=，当M，C，N三点共线时，MC+CN=MN=．∴a+≤2．∴当a+=时，取得最大值8﹣2，当a+=2时，取得最小值4．故答案为：[4，8﹣2]．※精品试卷※16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2﹣a2=ac ，则﹣的取值范围是．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据正弦定理化简已知式子，由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后，由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系，由锐角三角形的条件求出B的范围，利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．【解答】解：∵b2﹣a2=ac，∴由正弦定理得，sin2B﹣sin2A=sinAsinC，，，由和差化积公式得cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B），代入上式得，﹣sin（A+B）sin（A﹣B）=sinAsinC，∵sin（A+B）=sinC≠0，∴﹣sin（A﹣B）=sinA，即sin（B﹣A）=sinA，在△ABC中，B﹣A=A，得B=2A，则C=π﹣3A，∵△ABC 为锐角三角形，∴，解得，则，∴====，由得，sinB∈（，1），则，∴取值范围是，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a n+1=S n（n∈N*）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）令b n =ln，求数列{b n}的前n项和为T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）根据a n+1=S n+1﹣S n化简已知的等式，变形后由等比数列的定义即可证明结论成立；（2）由（1）和等比数列的通项公式求出a n，代入b n =ln由对数的运算化简后，利用分组求和法和裂项相消法、等差数列的前n项和公式求出T n．【解答】证明：（1）由及a n+1=S n+1﹣S n得，，整理得nS n+1=2（n+1）S n，∴，又，∴是以1为首项，2为公比的等比数列．，…（2）由（1）得，，所以，n∈N*则，n≥2，又a1=1也符合上式，所以，n∈N*…∴b n =ln =ln=（n﹣2）ln2+[ln（n+1）﹣lnn]，∴T n=ln2（﹣1+0+1+n﹣2）+（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…++[ln（n+1）﹣lnn]=ln（n+1）=…18．某培训机构对沈阳市两所高中的学生是否愿意参加自主招生培训的情况进行问卷调查和考试测验，从两所学校共随机抽取（2）考试测验中分客观题和主观题，客观题共有8道，每道分值5分，学生李华答对每道客观题的概率均为0.8．主观题共有8道，每道分值12分，须随机抽取5道主观题作答，其中李华完全会答的有4道，不完全会的有4道，不完全会的每道主观题得分S的概率满足：P（S=3k）=，k=1，2，3，假设解答各题之间没有影响．①对于一道不完全会的主观题，李华得分的数学期望是多少？②求李华在本次测验中得分ξ的数学期望．参考公式：k=．【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）由表中数据可得K 2的观测值，与临界值比较，即可得出结论； （2）①直接利用公式，可得李华得分的数学期望； ②直接利用公式求出E （X ），E （Y ），即可求出李华在本次测验中得分ξ的数学期望． 【解答】解：（1）由表中数据可得K 2的观测值：因为8.936＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为愿意参加自主招生培训与学校有关… （2）①由题意（分）…②设李华答对客观题的个数为随机变量X ，李华抽取的5道主观题中完全会答的个数为随即变量Y ， 完全会答的为5﹣Y ，则依据题意有：X ～B （8，0.8），Y 服从参数为8，4，5的超几何分布， 于是 E （X ）=8×0.8=6.4，…因为ξ=5X+12Y+7（5﹣Y ）=5X+5Y+35，…所以E ξ=E （5X+5Y+35）=5E （X ）+5E （Y ）+35=79.5（分）…19．△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点． （Ⅰ）求证：IH ∥BC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣GI ﹣C 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出ED ∥BC ，从而ED ∥平面BCH ，进而ED ∥HI ，由此能证明IH ∥BC ．（Ⅱ） 以D 为原点为，DE 为x 轴，DC 为y 轴，DA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣GI ﹣C 的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以ED ∥BC ， 因为BC ⊂平面BCH ，ED ⊄平面BCH ， 所以ED ∥平面BCH ，因为ED ⊄平面BCH ，ED ⊂平面AED ，平面BCH ∩平面AED=HI ， 所以ED ∥HI ，又因为ED ∥BC ，所以IH ∥BC ． 解：（Ⅱ） 如图，以D 为原点为，DE 为x 轴，DC 为y 轴，DA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得D （0，0，0），E （2，0，0），A （0，0，2），F（3，1，0），E （0，2，0），H （0，0，1），，，，，设平面AGI的一个法向量为，平面CHI 的一个法向量为，则，故，令，解得，则，， 所以二面角A ﹣GI ﹣C 的余弦值为．20．已知椭圆C 1：+y 2=1，抛物线C 2：y 2=ax （a ＞0），点T 为椭圆C 1的右顶点，设椭圆C 1与抛物线C 2交于点A ，B ．（1）求•的最小值，并求此时抛物线C 2的方程；（2）设点M 是椭圆C 1上异于A ，B 的任意一点，且直线MA ，MB 分别与x 轴交于点P ，Q ，O 为坐标原点，求证：|OP|•|OQ|为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设A （x 0，y 0），则B （x 0，﹣y 0），求出，，推出向量的数量积的表达式，利用二次函数求解最小值，然后求出A 的坐标，推出抛物线方程． （2）设M （x 1，y 1），由A （x 0，y 0），求出P 的坐标，Q 的坐标，求出|OP|•|OQ|的表达式，利用M （x 1，y 1），A （x 0，y 0）均在椭圆上，化简求解即可得到|OP|•|OQ|=4． 【解答】解：（1）由抛物线与椭圆关于x 轴对称可得：M ，N 关于x 轴对称． 设A（x 0，y 0），则B （x 0，﹣y 0），且有由T （2，0）可得：，∴=…因为A 在右半椭圆上（非长轴顶点）∴0＜x 0＜2∴时，，将代入可得即A （，），代入到抛物线方程可得：a=，所以此时抛物线C 2的方程为．…※精品试卷※（2）设M（x1，y1），由A（x0，y0）可得：∵MA的方程为：y﹣y1=令y=0，可解得：同理可解得MB与x轴的交点Q 的横坐标…所以①因为M（x1，y1），A（x0，y0）均在椭圆上∴，代入到①可得：…所以|OP|•|OQ|=4，即为定值…21．已知函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax，a∈R．（1）g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的零点个数；（2）当x≥0时，不等式e x+（x+1）ln（x+1）≥ax2+ax+1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【分析】（1）先对原函数求导，从而判断单调性，再分类讨论即可得到g（x）的零点个数，（2）设h（x）=e x+（x+1）ln（x+1），求h（x）的最最值，再转化为a ≤在[0，+∞）上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可．【解答】解：（1）g（x）=f′（x）=e x +﹣a，x＞﹣1∴g′（x）=e x ﹣，g′（0）=0，且当x∈（﹣1，0）时，e x＜1，＞1，∴g′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e x＞1，0＜＜1，∴g′（x）＞0；于是g（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，故g（x）min=g（0）=2﹣a．∴①当a＜2时，∵g（x）min=g（0）=2﹣a＞0，∴g（x）无零点；②当a=2时，g（x）min=g（0）=2﹣a=0，g（x）有唯一零点x=0；③当a＞2时，g（x）min=g（0）=2﹣a＜0，取x1=﹣1∈（﹣1，0），x2=lna＞0，则g（x1）=＞0，g（x2）=＞0，于是g（x）在（x1，0）和（0，x2）内各有一个零点，从而有两个零点，（2）由当x≥0时，不等式e x+（x+1）ln（x+1）≥ax2+ax+1恒成立，设h（x）=e x+（x+1）ln（x+1），∴h′（x）=e x+ln（x+1）+1≥1，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1+1=2，∴2≥ax2+ax+1在[0，+∞）上恒成立，即a ≤在[0，+∞）上恒成立，∵y=在[0，+∞）上为减函数，∴a≤0，故a的取值范围为（﹣∞，0]．四.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲] [选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρ=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l1，l2均过点F（1，0），且l1⊥l2，直线l1的倾斜角为α．（1）写出曲线Γ的直角坐标方程；写出l1，l2的参数方程；（2）设直线l1，l2分别与曲线Γ交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为M，N，求|MN|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线Γ的极坐标方程为ρ=，变形为：ρ2sin2θ=4ρcosθ，利用互化公式可得可得直角坐标方程．由题意可得：（t为参数），l2：（t为参数）．（2）将代入抛物线方程可得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0，则 t M =，同理可得：．于是，再利用三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（1）曲线Γ的极坐标方程为ρ=，变形为：ρ2sin2θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：Γ：y2=4x．由题意可得：（t为参数），l2：（t为参数）．（2）将代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0①，则 t M ==，将代入y2=4x，得t2cos2α+4tsinα﹣4=0②，※精品试卷※则．于是=，当时取得等号，且此时满足方程①②的判别式均大于零．故|MN|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）若|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|（a∈R）的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，b＞0，求证：a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．【考点】不等式的证明．【分析】（1）设f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|，由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，化简可得x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，可得（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，求得最值，即可得到a的范围；（2）运用基本不等式，可得a2b2+a2≥2a2b，a2b2+b2≥2ab2，a2+b2≥2ab，累加即可得证．【解答】解：（1）设f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|，即有f（x）≤|2x+1|的解集包含，当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，可得|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，即|x﹣a|≤2，即﹣2≤x﹣a≤2，即x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，可得（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，即有，则a的取值范围是；证明：（2）由均值不等式可得：，三式相加：2（a2b2+a2+b2）≥2（a2b+ab2+ab），即a2b2+a2+b2≥a2b+ab2+ab=ab（a+b+1），当且仅当a=b=1，取得等号．。