第13讲-湍流及转捩1
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d 2u =0 dy 2 d du (ρ ) = 0 dy dy
GIPs
0.5
不可压边界层速度剖面 （Blasius解）—— 无拐点 解 可压缩情况—— Mach数足够高时会出现广义拐 可压缩情况 数足够高时会出现广义拐 点—— 出现无粘不稳定性 模态（ 第1模态（T-S波） 模态 波 超音速平板边界 层的不稳定波 模态） 第2模态 （Mack模态） 模态 模态
ω 为实数
α = α r + iα i
为复数
−α i x
空间增长率
扰动波的振幅沿流向指数变化 A( x) / A(0) = e
> 0 − α i < 0 = 0
扰动增长 扰动衰减 中性
时间模式： 时间模式： 扰动具有流向的周期性 假设一窗口沿流向运动， 假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化
Copyright by Li Xinliang 2
自然界中 K-H不稳定性图片 不稳定性图片
澳大利亚Duval山上空的云 山上空的云 澳大利亚 佛兰格尔岛周围的卡 门涡街 高速流
智利塞尔扣克岛 的卡门涡街
受阻减速，压力升高， 受阻减速，压力升高， 产生高压区
高压导致变 形加剧
低速流 Kelvin–Helmholtz instability clouds in San Francisco 自由剪切层受到扰动界面变形后的情况 K-H不稳定性的产生机理 不稳定性的产生机理
（6） 谱方法的常 规做法
线性偏微方程（ ）转化成为含参数的线性常微方程组（ ） （ ） 线性偏微方程（3）转化成为含参数的线性常微方程组（4）-（6） 通过消元法， 不是必须的） 通过消元法，转化为更高阶的常微方程 （不是必须的）
∂ (5) − iα (4) ∂y
消去 p ˆ
∂2 ∂ 2u ω ∂2 2 − α 2 v = iα Re u − 2 − α 2 − 2 v ˆ ˆ ∂y ∂y α ∂y
扰 动 源 研究扰动发展的空间模式和时 间模式
沿流向及时间方向具有波动特性 称为Tolmien-Schlichting（T-S）波 称为 （ ）
任意扰动可分解为正弦波的叠加—— 线性系统各成分无 任意扰动可分解为正弦波的叠加 相互作用—— 可独立研究 相互作用 空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性 空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性—— 符合物理条件
2
常用做法， 常用做法，通常还可以 反向为之： 反向为之： 高阶方程转 化为低阶方程组 Orr-Sommerfeld（O-S) （ 方程
12
ˆ u=
ˆ 1 ∂v iα ∂y
2
其中：
∂2 ∂4 ∂2 2 − α 2 = 4 + α 2 − 2α 2 2 ∂y ∂y ∂y
计算流体力学讲义
第十三讲
湍流与转捩 （1） ）
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼 力学所主楼219； 82543801 ；
知识点： 知识点：
1. 2. 3. 线性稳定性理论 转捩的预测方法 壁湍流转捩的涡动力学机制
讲义、 流体中文网） 流体论坛” “ 讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 流体中文网 基础理论 讲课录像及讲义上传至网盘 http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
Copyright by Li Xinliang 9
稳定性问题示例—— 不可压缩槽道流动 三、 稳定性问题示例 的线性稳定性（ 以二维为例) 的线性稳定性（LST）理论 (以二维为例 ） 以二维为例
1） 控制方程及边界条件 ）
∇ ⋅u = 0 ∂u 1 2 + u ⋅ ∇u = −∇p + ∇u ∂t Re
∇p
密度 界面
激波
Copyright by Li Xinliang
5
D. R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性 —— 重力带来的不稳定性 不稳定性
重 介 质
轻 介 质
R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性 不稳定性
Copyright by Li Xinliang
6
E Barnard热对流不稳定性 热对流不稳定性
Copyright by Li Xinliang 1
§ 13.1 线性稳定性理论
一、 稳定性基本概念
已知某运动状态； 已知某运动状态； 在此基础上施加微小扰动； 在此基础上施加微小扰动； 如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定， 如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定
流体不禁搓， 流体不禁搓， 一搓搓出涡
常识： 常识：流体中的不稳定性 A. K-H (Kelvin-Helmholtz）不稳定性 自由剪切流的无粘不稳定性 ）不稳定性—— 自由剪切流的无粘不稳定性
K-H不稳定性的关键： 不稳定性的关键： 不稳定性的关键 速度剖面有拐点
混合层—— K-H不稳定性 混合层 不稳定性 K-H不稳定性 不稳定性 Lee-Lin: 速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件
Copyright by Li Xinliang
ρ du/dy
degree θ=0 θ=22.5 degree θ=180 degree
z=400
0 0
0.5
y/ δ
1
1.5
Mach 6 钝锥（1°攻角） 钝锥（ °攻角） 不同子午面 ρ du 的分布
dy
4
C. R-M (Richtmyer-Meshkov)不稳定性 不稳定性 —— 激波与密度界面作用的斜压效应 激波与密度界面作用的斜压 斜压效应
（3）
∂u ∂ = (u + u ' ) (u + u ' ) ∂x ∂x ∂u ∂u ' ∂u ∂u ' =u +u + u' + u' ∂x ∂x ∂x ∂x
Copyright by Li Xinliang
10
假设扰动具有如下形式： 假设扰动具有如下形式：
ˆ u u( y) i (αx −ωt ) ˆ v = v ( y ) e p p( y) ˆ
2
y =1 y=0 y = −1
边界条件： 边界条件： y=±1 （固壁）:
ˆ u=0
ˆ v=0
ˆ ∂v =0 ∂y
ˆ iαu +
ˆ ∂v =0 ∂y
y=0 （中心线，对称）： ∂v 中心线，对称） ˆ
ˆ ∂ 3v = 3 =0 ∂y ∂y ˆ ∂v ˆ iαu + =0 ∂y
可以取计算域[-1,1],使用固壁边界条件； 可以取计算域 使用固壁边界条件； 使用固壁边界条件 也可以取计算域[-1,0],使用固壁及对称 也可以取计算域 使用固壁及对称 边界条件
α
为实数
ω = ωr + iωi 为复数
A(t ) / A(0) = eωi t
时间增长率
扰动波的振幅虽时间变化
> 0 ωi < 0 = 0
扰动增长 扰动衰减 中性
11
Copyright by Li Xinliang
以时间模式为例： 以时间模式为例：
ˆ u' u( y) ˆ v' = v( y ) e i (αx −ωt ) p' p( y ) ˆ
计算出
ˆ v
后，利用公式
计算其他两个量 流函数形式的O-S方程 方程 流函数形式的 引入流函数，使得： 引入流函数，使得： 则：
u' = −
∂u 1 ∂2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [−iω + iαu ]u + v = −iαp + (−α + 2 )u ∂y Re ∂y
激 波 密度界面 惯性约束聚变（ 惯性约束聚变（ICF） ） 示意图
小知识—— 涡的产生机制： 涡的产生机制： 小知识 粘性、 斜压、 粘性、 斜压、有旋的外力
∇ p × ∇ρ ≠ 0
斜压项
∇ρ
dΩ 1 1 − (Ω ⋅ ∇) v + Ω(∇ ⋅ v) = ∇ × F + 2 ∇ρ × ∇p + ∇ × (ν∆v) + ∇ × (ν∇(∇ ⋅ v )) ρ dt 3
Copyright by Li Xinliang
最终，控制方程为O-S方程： 最终，控制方程为 方程： 方程
∂ 2u ∂2 ω ∂2 2 − α 2 v = iα Re u − 2 − α 2 − 2 v ˆ ∂y ∂y ˆ α ∂y
U = U 0 + U'
PU = P(U 0 + U' ) = 0
舍弃高阶小量， 舍弃高阶小量，得到线性化的 扰动方程
LU ' = 0
（1）
线性方程
Copyright by Li Xinliang
8
Step 2: 求解 LU' = 0 的特征值问题 什么条件下具有非零解，非零解如何？ 什么条件下具有非零解，非零解如何？ 数值方法： 数值方法： 将 （1） 离散 ） 离散——代数方程 代数方程 何时有非零解， 非零解如何？ 何时有非零解， 非零解如何？ —— 特征值问题
∂u ' ˆ = iαuei (αx −ωt ) ∂x , ˆ ∂u ' ∂u i (αx −ωt ) = e ∂y ∂y , ∂u ' ˆ = −iωue i (αx −ωt ) ∂t
ˆ iαu +
ˆ ∂v =0 ∂y
（4） （5）
1 ∂u ∂2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [−iω + iαu ]u + v = −iαp + (−α + 2 )u ∂y Re ∂y ˆ [−iω + iαu ]v = ˆ ∂p 1 ∂2 2 ˆ + (−α + 2 )v ∂y Re ∂y
Bx = 0
( A − λI ) x = 0
Ax = λx
什么条件下有 非零解？ 非零解？
特征值问题计算量巨大，目 特征值问题计算量巨大， 前通常只能处理一维问题
通常假设在某些方向具有周期性， 通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维 问题
ˆ U ' = U ( y )e i (αx + βz −ωt )
Barnard 热对流 的胞格结构
其他学科的不稳定性： 其他学科的不稳定性： 板壳的不 稳定性
Euler压杆 压杆 的不稳定性
Copyright by Li Xinliang
7
稳定性问题的常用数学方法—— 线性稳定性分析 二、 稳定性问题的常用数学方法 Step 1: 得到线性化的扰动方程
控制方程为： 控制方程为：
Copyright by Li Xinliang 3
B. T-S (Tollmien-Schlichting) 不稳定性 不稳定性——不可压 壁面剪切流的 不可压 壁面剪切流的 粘性不稳定性 粘性不稳定性
Mack 不稳定性 不稳定性—— 超声速壁面剪切流的不稳定性
不可压缩无粘不稳定性 不可压缩无粘不稳定性—— 需存在拐点 不稳定性 可压缩无粘不稳定性 不稳定性——需存在广义拐点 可压缩无粘不稳定性 需存在广义拐点
PU = 0
最好是精确解， 最好是精确解，也可 用高精度的数值解
来自百度文库
已知其具有解 U 0
P U0 = 0
u ∂u ∂ = (u0 + u ' ) (u0 + u ' ) ∂x ∂x ∂u ∂u ∂u ' ∂u ' = u0 0 + u0 + u' 0 + u' ∂x ∂x ∂x ∂x
例如： 平板的Blasius解，槽道的 例如： 平板的 解 Poiseuille 解 令：
Step 1: 获得线性化扰动方程
令： (2)
u = u + u'
p = p + p'
Poiseuille解： 解
u = 1 − y 2 , v = 0, p = −
2x Re
代入方程（ ）， ），并舍去高阶小量得到线性化 代入方程（2），并舍去高阶小量得到线性化 的扰动方程
u
∇ ⋅ u′ = 0 ∂u′ 1 2 + u ⋅ ∇u′ + u′ ⋅ ∇ u = −∇p′ + ∇ u′ ∂t Re
∂u ' ∂v' =0 + ∂x ∂y ∂u ' ∂u ' ∂u ∂p' 1 ∂ 2u ' ∂ 2u ' +u + v' =− + ( + ) ∂t ∂x ∂y ∂x Re ∂x 2 ∂y 2 ∂v' ∂v' +u ∂t ∂x ∂p ' 1 ∂ 2 v' ∂ 2 v' =− + ( + ) ∂y Re ∂x 2 ∂y 2
GIPs
0.5
不可压边界层速度剖面 （Blasius解）—— 无拐点 解 可压缩情况—— Mach数足够高时会出现广义拐 可压缩情况 数足够高时会出现广义拐 点—— 出现无粘不稳定性 模态（ 第1模态（T-S波） 模态 波 超音速平板边界 层的不稳定波 模态） 第2模态 （Mack模态） 模态 模态
ω 为实数
α = α r + iα i
为复数
−α i x
空间增长率
扰动波的振幅沿流向指数变化 A( x) / A(0) = e
> 0 − α i < 0 = 0
扰动增长 扰动衰减 中性
时间模式： 时间模式： 扰动具有流向的周期性 假设一窗口沿流向运动， 假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化
Copyright by Li Xinliang 2
自然界中 K-H不稳定性图片 不稳定性图片
澳大利亚Duval山上空的云 山上空的云 澳大利亚 佛兰格尔岛周围的卡 门涡街 高速流
智利塞尔扣克岛 的卡门涡街
受阻减速，压力升高， 受阻减速，压力升高， 产生高压区
高压导致变 形加剧
低速流 Kelvin–Helmholtz instability clouds in San Francisco 自由剪切层受到扰动界面变形后的情况 K-H不稳定性的产生机理 不稳定性的产生机理
（6） 谱方法的常 规做法
线性偏微方程（ ）转化成为含参数的线性常微方程组（ ） （ ） 线性偏微方程（3）转化成为含参数的线性常微方程组（4）-（6） 通过消元法， 不是必须的） 通过消元法，转化为更高阶的常微方程 （不是必须的）
∂ (5) − iα (4) ∂y
消去 p ˆ
∂2 ∂ 2u ω ∂2 2 − α 2 v = iα Re u − 2 − α 2 − 2 v ˆ ˆ ∂y ∂y α ∂y
扰 动 源 研究扰动发展的空间模式和时 间模式
沿流向及时间方向具有波动特性 称为Tolmien-Schlichting（T-S）波 称为 （ ）
任意扰动可分解为正弦波的叠加—— 线性系统各成分无 任意扰动可分解为正弦波的叠加 相互作用—— 可独立研究 相互作用 空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性 空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性—— 符合物理条件
2
常用做法， 常用做法，通常还可以 反向为之： 反向为之： 高阶方程转 化为低阶方程组 Orr-Sommerfeld（O-S) （ 方程
12
ˆ u=
ˆ 1 ∂v iα ∂y
2
其中：
∂2 ∂4 ∂2 2 − α 2 = 4 + α 2 − 2α 2 2 ∂y ∂y ∂y
计算流体力学讲义
第十三讲
湍流与转捩 （1） ）
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼 力学所主楼219； 82543801 ；
知识点： 知识点：
1. 2. 3. 线性稳定性理论 转捩的预测方法 壁湍流转捩的涡动力学机制
讲义、 流体中文网） 流体论坛” “ 讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 流体中文网 基础理论 讲课录像及讲义上传至网盘 http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
Copyright by Li Xinliang 9
稳定性问题示例—— 不可压缩槽道流动 三、 稳定性问题示例 的线性稳定性（ 以二维为例) 的线性稳定性（LST）理论 (以二维为例 ） 以二维为例
1） 控制方程及边界条件 ）
∇ ⋅u = 0 ∂u 1 2 + u ⋅ ∇u = −∇p + ∇u ∂t Re
∇p
密度 界面
激波
Copyright by Li Xinliang
5
D. R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性 —— 重力带来的不稳定性 不稳定性
重 介 质
轻 介 质
R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性 不稳定性
Copyright by Li Xinliang
6
E Barnard热对流不稳定性 热对流不稳定性
Copyright by Li Xinliang 1
§ 13.1 线性稳定性理论
一、 稳定性基本概念
已知某运动状态； 已知某运动状态； 在此基础上施加微小扰动； 在此基础上施加微小扰动； 如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定， 如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定
流体不禁搓， 流体不禁搓， 一搓搓出涡
常识： 常识：流体中的不稳定性 A. K-H (Kelvin-Helmholtz）不稳定性 自由剪切流的无粘不稳定性 ）不稳定性—— 自由剪切流的无粘不稳定性
K-H不稳定性的关键： 不稳定性的关键： 不稳定性的关键 速度剖面有拐点
混合层—— K-H不稳定性 混合层 不稳定性 K-H不稳定性 不稳定性 Lee-Lin: 速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件
Copyright by Li Xinliang
ρ du/dy
degree θ=0 θ=22.5 degree θ=180 degree
z=400
0 0
0.5
y/ δ
1
1.5
Mach 6 钝锥（1°攻角） 钝锥（ °攻角） 不同子午面 ρ du 的分布
dy
4
C. R-M (Richtmyer-Meshkov)不稳定性 不稳定性 —— 激波与密度界面作用的斜压效应 激波与密度界面作用的斜压 斜压效应
（3）
∂u ∂ = (u + u ' ) (u + u ' ) ∂x ∂x ∂u ∂u ' ∂u ∂u ' =u +u + u' + u' ∂x ∂x ∂x ∂x
Copyright by Li Xinliang
10
假设扰动具有如下形式： 假设扰动具有如下形式：
ˆ u u( y) i (αx −ωt ) ˆ v = v ( y ) e p p( y) ˆ
2
y =1 y=0 y = −1
边界条件： 边界条件： y=±1 （固壁）:
ˆ u=0
ˆ v=0
ˆ ∂v =0 ∂y
ˆ iαu +
ˆ ∂v =0 ∂y
y=0 （中心线，对称）： ∂v 中心线，对称） ˆ
ˆ ∂ 3v = 3 =0 ∂y ∂y ˆ ∂v ˆ iαu + =0 ∂y
可以取计算域[-1,1],使用固壁边界条件； 可以取计算域 使用固壁边界条件； 使用固壁边界条件 也可以取计算域[-1,0],使用固壁及对称 也可以取计算域 使用固壁及对称 边界条件
α
为实数
ω = ωr + iωi 为复数
A(t ) / A(0) = eωi t
时间增长率
扰动波的振幅虽时间变化
> 0 ωi < 0 = 0
扰动增长 扰动衰减 中性
11
Copyright by Li Xinliang
以时间模式为例： 以时间模式为例：
ˆ u' u( y) ˆ v' = v( y ) e i (αx −ωt ) p' p( y ) ˆ
计算出
ˆ v
后，利用公式
计算其他两个量 流函数形式的O-S方程 方程 流函数形式的 引入流函数，使得： 引入流函数，使得： 则：
u' = −
∂u 1 ∂2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [−iω + iαu ]u + v = −iαp + (−α + 2 )u ∂y Re ∂y
激 波 密度界面 惯性约束聚变（ 惯性约束聚变（ICF） ） 示意图
小知识—— 涡的产生机制： 涡的产生机制： 小知识 粘性、 斜压、 粘性、 斜压、有旋的外力
∇ p × ∇ρ ≠ 0
斜压项
∇ρ
dΩ 1 1 − (Ω ⋅ ∇) v + Ω(∇ ⋅ v) = ∇ × F + 2 ∇ρ × ∇p + ∇ × (ν∆v) + ∇ × (ν∇(∇ ⋅ v )) ρ dt 3
Copyright by Li Xinliang
最终，控制方程为O-S方程： 最终，控制方程为 方程： 方程
∂ 2u ∂2 ω ∂2 2 − α 2 v = iα Re u − 2 − α 2 − 2 v ˆ ∂y ∂y ˆ α ∂y
U = U 0 + U'
PU = P(U 0 + U' ) = 0
舍弃高阶小量， 舍弃高阶小量，得到线性化的 扰动方程
LU ' = 0
（1）
线性方程
Copyright by Li Xinliang
8
Step 2: 求解 LU' = 0 的特征值问题 什么条件下具有非零解，非零解如何？ 什么条件下具有非零解，非零解如何？ 数值方法： 数值方法： 将 （1） 离散 ） 离散——代数方程 代数方程 何时有非零解， 非零解如何？ 何时有非零解， 非零解如何？ —— 特征值问题
∂u ' ˆ = iαuei (αx −ωt ) ∂x , ˆ ∂u ' ∂u i (αx −ωt ) = e ∂y ∂y , ∂u ' ˆ = −iωue i (αx −ωt ) ∂t
ˆ iαu +
ˆ ∂v =0 ∂y
（4） （5）
1 ∂u ∂2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [−iω + iαu ]u + v = −iαp + (−α + 2 )u ∂y Re ∂y ˆ [−iω + iαu ]v = ˆ ∂p 1 ∂2 2 ˆ + (−α + 2 )v ∂y Re ∂y
Bx = 0
( A − λI ) x = 0
Ax = λx
什么条件下有 非零解？ 非零解？
特征值问题计算量巨大，目 特征值问题计算量巨大， 前通常只能处理一维问题
通常假设在某些方向具有周期性， 通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维 问题
ˆ U ' = U ( y )e i (αx + βz −ωt )
Barnard 热对流 的胞格结构
其他学科的不稳定性： 其他学科的不稳定性： 板壳的不 稳定性
Euler压杆 压杆 的不稳定性
Copyright by Li Xinliang
7
稳定性问题的常用数学方法—— 线性稳定性分析 二、 稳定性问题的常用数学方法 Step 1: 得到线性化的扰动方程
控制方程为： 控制方程为：
Copyright by Li Xinliang 3
B. T-S (Tollmien-Schlichting) 不稳定性 不稳定性——不可压 壁面剪切流的 不可压 壁面剪切流的 粘性不稳定性 粘性不稳定性
Mack 不稳定性 不稳定性—— 超声速壁面剪切流的不稳定性
不可压缩无粘不稳定性 不可压缩无粘不稳定性—— 需存在拐点 不稳定性 可压缩无粘不稳定性 不稳定性——需存在广义拐点 可压缩无粘不稳定性 需存在广义拐点
PU = 0
最好是精确解， 最好是精确解，也可 用高精度的数值解
来自百度文库
已知其具有解 U 0
P U0 = 0
u ∂u ∂ = (u0 + u ' ) (u0 + u ' ) ∂x ∂x ∂u ∂u ∂u ' ∂u ' = u0 0 + u0 + u' 0 + u' ∂x ∂x ∂x ∂x
例如： 平板的Blasius解，槽道的 例如： 平板的 解 Poiseuille 解 令：
Step 1: 获得线性化扰动方程
令： (2)
u = u + u'
p = p + p'
Poiseuille解： 解
u = 1 − y 2 , v = 0, p = −
2x Re
代入方程（ ）， ），并舍去高阶小量得到线性化 代入方程（2），并舍去高阶小量得到线性化 的扰动方程
u
∇ ⋅ u′ = 0 ∂u′ 1 2 + u ⋅ ∇u′ + u′ ⋅ ∇ u = −∇p′ + ∇ u′ ∂t Re
∂u ' ∂v' =0 + ∂x ∂y ∂u ' ∂u ' ∂u ∂p' 1 ∂ 2u ' ∂ 2u ' +u + v' =− + ( + ) ∂t ∂x ∂y ∂x Re ∂x 2 ∂y 2 ∂v' ∂v' +u ∂t ∂x ∂p ' 1 ∂ 2 v' ∂ 2 v' =− + ( + ) ∂y Re ∂x 2 ∂y 2