基于Floyd算法求有向带权图的最短路径

哈尔滨师范大学学年论文题目基于Floyd算法求有向带权图的最短路径学生王仁鹏指导教师张军教授年级 2008级专业计算机科学与技术系别计算机系学院计算机科学与信息工程学院哈尔滨师范大学2011年5月5日论文题要在一个网络中，如果两个结点之间有直接的因果关系，则这两个结点直接连通，在连接两个结点的弧上标上它的代价或权，值得注意的是这样的代价不一定是对称的，即A到B 的代价不一定等于B到A的代价，实际问题中以行船为例，有顺水和逆水的区别。

在图Ｇ中，给出两个结点求这样一条最短的路径，使经过这条路径上的代价之和最小，这就是最短路径问题。

网络分析作为GIS最主要的功能之一，在电子导航、交通旅游、城市规划以及电力、通讯等各种管网、管线的布局设计中发挥了重要的作用，而网络分析中最基本、最关键的问题是最短路径问题。

最短路径不仅仅指一般地理意义上的距离最短，还可以引申到其它的度量，如时间、费用、线路容量等等。

相应地，最短路径问题就成为最快路径问题、最低费用问题等。

对于单源点的最短路径问题，一般采用经典的最短路径算法——Dijkstra算法，只是不同系统对Dijkstra算法采用了不同的实现方法。

本文对多源路径算法Floyd算法做了详细的介绍，并编程实现了该算法，最后测试了该算法的性能本算法采用邻接矩阵存储图的网络信息，在此用邻接矩阵cost[MAX][MAX]来表示带权有向图，若从Vi到Vj有弧，则cost[i][j]值为弧(Vi，Vj)上的权值，否则为∞。

从图的邻接矩阵cost出发，求图中从Vi到Vj的最短路径长度和结点序列。

如果从Vi到Vj存在弧，则从Vi到Vj存在一条长度为cost「i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。

基于Floyd算法求有向带权图的最短路径王仁鹏摘要：在一个网络中，如果两个结点之间有直接的因果关系，则这两个结点直接连通，在连接两个结点的弧上标上它的代价或权，值得注意的是这样的代价不一定是对称的，即A 到B的代价不一定等于B到A的代价，实际问题中以行船为例，有顺水和逆水的区别。

在图Ｇ中，给出两个结点求这样一条最短的路径，使经过这条路径上的代价之和最小，这就是最短路径问题。

本算法采用邻接矩阵存储图的网络信息，在此用邻接矩阵cost[MAX][MAX]来表示带权有向图，若从Vi到Vj有弧，则cost[i][j]值为弧(Vi，Vj)上的权值，否则为∞。

从图的邻接矩阵cost出发，求图中从Vi到Vj的最短路径长度和结点序列。

如果从Vi到Vj存在弧，则从Vi到Vj存在一条长度为cost「i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。

关键词：Floyd算法定义核心思路算法过程时间复杂度算法实现最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。

矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

一、Floyd算法定义Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。

二、核心思路通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)= A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。

矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。

所以时间复杂度为O(n^3); 其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]} map[i,j]表示i到j的最短距离 K是穷举i,j的断点 map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i, k]这条路三、算法过程把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=空值。

定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。

把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。

在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

比如，要寻找从V5到V1的路径。

根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

四、时间复杂度O(n^3)五、优缺点分析Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。

此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

六、算法实现c语言：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>#define INFINITY 1000typedef struct{int **data_head;//二维数组头指针int vertex_num;//保存图顶点数int edge_num;//保存图的边数}Graph;/*有向网的邻接矩阵存储算法*/void CreateGraph(Graph *g){int i,first,second,temp;printf("Enter Vertex number,Arc number of the Graph:");scanf("%d%d",&g->vertex_num,&g->edge_num);g->data_head = (int **)malloc(g->vertex_num * sizeof(int));for(i = 0;i < g->vertex_num; i++){g->data_head[i] = (int *)malloc(g->vertex_num * sizeof(int));}//初始化网的邻接矩阵for(first = 0;first < g->vertex_num; first++){for(second = 0;second < g->vertex_num; second++){if(first == second){g->data_head[first][second] = 0;}else{g->data_head[first][second] = INFINITY;}}}printf("请输入该网%d条边的头与尾的顶点序号和其权值:\n",g->edge_num);for(i = 0;i < g->edge_num; i++){scanf("%d%d%d",&first,&second,&temp);g->data_head[first - 1][second - 1] = temp;}}/*网任意两点之间的最短路径Floyed算法*/void Floyed(Graph *g, int **distance, int **path){int i,j,k;void Printf_path(Graph *g, int **distance, int **path);for(i = 0;i < g->vertex_num; i++)//给distance和path赋值,distance[][]记录任意两定点之间的最短路径{for(j = 0;j < g->vertex_num; j++){if(g->data_head[i][j] != INFINITY){path[i][j] = i + 1;}else{path[i][j] = 0;}distance[i][j] = g->data_head[i][j];}}for(k = 0;k < g->vertex_num; k++)//n次迭代产生矩阵序列{for(i = 0;i < g->vertex_num; i++){for(j = 0;j < g->vertex_num; j++){if(distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j]){distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];path[i][j] = path[k][j];}}}}printf("\n");Printf_path(g,distance,path);}/*输出任意两定点之间的最短路径*/void Printf_path(Graph *g, int **distance, int **path){int i,j,Pathstack[10];int base = 0,top = 0;for(i = 0;i < g->vertex_num; i++){for(j = 0;j < g->vertex_num; j++){if(i != j && path[i][j] != 0){Pathstack[top++] = j + 1;while(1){if(path[i][Pathstack[top - 1] -1] != i + 1) Pathstack[top++] = path[i] [Pathstack[top - 1] -1];else break;}printf("V%d",i + 1);while(base != top){printf("→V%d",Pathstack[--top]);}printf(" 最短路径长度为:%d\n",distance[i][j]);}}}//for}/*每一对定点间的最短路径Floyd算法*/int main(){Graph g;int **Distance,**Path;//Distance保存着网中任意两个顶点的路径权值，Pat h通过回溯的方法可得到任意两点之间的路径int i;CreateGraph(&g);Distance = (int **)malloc(g.vertex_num * sizeof(int));Path = (int **)malloc(g.vertex_num * sizeof(int));for(i = 0;i < g.vertex_num; i++){*(Distance + i) = (int *)malloc(g.vertex_num * sizeof(int));*(Path + i) = (int *)malloc(g.vertex_num * sizeof(int));}Floyed(&g,Distance,Path);return 0;}运行结果：Matlab源代码为%floyd算法通用程序，输入a为赋权邻接矩阵%输出为距离矩阵D,和最短路径矩阵pathfunction [D,path]=floyd(a)n=size(a,1);D=a;path=zeros(n,n);for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)~=infpath(i,j)=j;endendendfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);endendendend%配合floyd算法的后续程序,s为源点,t为宿点%L为长度,R为路由function [L,R]=router(D,path,s,t)L=zeros(0,0);R=s;while 1if s==tL=fliplr(L);L=[0,L];L=L(end);returnendL=[L,D(s,t)];R=[R,path(s,t)];s=path(s,t);if s==0returnendend在M文件中建立参考文献：[1] 李春葆：数据结构教程上机实验指导，清华大学出版社[2] 严蔚敏，吴伟民.数据结构（C语言版）.北京：清华大学出版社，1996[3] 张福炎.《〈程序员高级程序员程序设计及〉》（第二版）. 北京：清华大学出版社，1996[4] 黄刘生，唐策善：《《数据结构》》第二版，中国科学技术大学出版社,2000。